电动力学总结
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
0 0 0
1
̂ ⃗⃗ ������
⃗⃗ ������
⃗⃗ ������
∮ ������ ∙ d������ = ������ ∫������ ������������������ = ������ ,故∇ ∙ ������ = ������ 。
0 0 0
1
������
������
6. Faraday 电磁感应定律:ε = ∮ ������ ∙ ������������ = − ������������ ∬ ������ ∙ ������������ = − ∬ ������ ������ ������ ∇ × ������ = − ������������ ������,对于静电场,∇ × ������ = 0。 7. Biot-Savart 定律: ������(������ ⃗) =
电动力学总结(部分)
1. 梯度:∇φ =
∂φ ∂n
̂ ;散度:通量Ψ = ∯������ ������ ∙ ������������ = ∭������ (∇ ∙ ������)������������;旋度:环量 ������
Γ=∮ ������ ∙ ������������ = ∬ (∇ × ������) ∙ ������������。 ������ ������ 2. 源 点 与 场 点之 间 的 距离 为 r = √(������ − ������′)2 + (������ − ������′)2 + (������ − ������′)2 。 场 点 处 ̂ ,源点处∇′ r = −������ ̂ 。场点处∇ ∙ ������ = 3,源点处∇′ ∙ ������ = −3。以上为一阶 ∇r = ������ 微分运算。 3. 二阶微分运算: ①∇ × (∇φ) = 0; ∇ ∙ (∇ × ������ ⃗ ) = 0; ∇ × (∇ × ������ ⃗ ) = ∇(∇ ∙ ������ ⃗ ) − ∇2 ������ ⃗; ∇ ∙ (∇φ) = ∇2 ������。 ⃗。 ②如果∇ × ������ ⃗ = 0,则������ ⃗ = ∇φ;如果∇ ∙ ������ ⃗ = 0,则������ ⃗ = ∇ × ������ ⃗⃗⃗⃗);∇ × = 0;∇ × ������ 4. 常用关系:∇ ������ = − ������ 2;∇ ∙ ������ 3 = 4πδ(������ ⃗ − ������′ ⃗ = 0。 ������ 3
⃗⃗ ������������ ������������ ������������
������������ , 即 ∇ ∙ ������ + ������������ = 0 。 位 移 电 流
������������
������������ = ������0 ������������ ,∇ ∙ (������ + ������������ ) = 0满足电荷守恒。[Ampère 环路定理的微分形式写 为∇ × ������ = ������0 (������ + ������������ ),而������0 ∇ ∙ (������ + ������������ ) = ∇ ∙ (∇ × ������) = 0。] 10. Lorentz 力:������ = ������(������ + ������ × ������)。 11. 介质由分子组成,分子内部有带正电的原子核及核外电子,内部存在不规则 而迅变的微观电磁场。介质会发生极化和磁化现象,产生束缚电荷和磁化电 流。 12. 极化:电极化矢量������ =
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ������(������′)������ ⃗ = ������������′������ ⃗⃗ = ∑ ������������ ������ 5. Coulomb 定律:������ ;电场强度������ 或∫ 4������������ ������3 ������������′。高斯定理: 4������������ ������ 3 4������������ ������ 3
������
⃗×������ ⃗ ������������������ ������ 3
。由于∯ ������ ∙ ������������ = 0,所以∇ ∙ ������ = 0。 ������
8. Ampère 环路定理:∮ ������ ∙ ������������ = ������0 ∬ ������ ∙ ������������ = ������0 ������ ;故∇ × ������ = ������0 ������。 ������ ������ 9. 电 荷 守 恒 定 律 : ∯ ������ ∙ ������������ = − ∭������ ������
1
+ ������ ∙
������������ ������������
,故对于线性介质
22. 电势:φ(P) = ∫������ ������ ∙ ������������;电势差为φ(P2 ) − φ(P1 ) = − ∫������ 2 ������ ∙ ������������。场强是电势
1
0 ������(������ ⃗) = 4������ ∫
������
������ ������������
������ ∙ ������������,故
������
∫ 4������
������0
⃗(������′ ⃗⃗⃗⃗)×������ ⃗ ������ ������ 3
������������′, 对于细线上恒定电流激发的磁场,
∑ ������ ⃗ ∆������
,束缚电荷������������ = −������ ∙ ������。非均匀介质极化后一般在
整个介质内部都出现束缚电荷;在均匀介质内,束缚电荷只出现在自由电荷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 附近以及介质界面处。束缚电荷面密度������������ = −������ ⃗⃗ ∙ (������ 2 − ������1 )。
1 ������0 ⃗⃗ ������ ⃗⃗ ������������ ������������
, 磁化电流密度和极化电流密度之和称为诱导电流密度。
⃗⃗ ������������ ������������
⃗⃗ = ������ ⃗������������������������������ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ + ∇ × ������ ������������ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ������������ + ⃗⃗⃗⃗ ������������ + ⃗⃗⃗⃗ ������������ = ⃗⃗⃗⃗ ������������ + ∇ × ������
1
⃗⃗ = ������������ + ������������ ,得∇ ∙ (������0 ������ ⃗⃗ + ������ ⃗⃗ ) = ������������ 。取 ������ ⃗⃗ = ������0 ������ ⃗⃗ + ������ ⃗⃗ ,则∇ ∙ ������ ⃗⃗ = ������������ 。 13. 由������0 ∇ ∙ ������ ⃗⃗ = ������������ ������0 ������ ⃗⃗ ,������ ⃗⃗ = (1 + ������������ )������0 ������ ⃗⃗ = ������������ ������0 ������ ⃗⃗ = ������������ ⃗⃗ 。 ������ 14. 磁化:磁化强度������ =
∑ ������ ⃗⃗⃗⃗ Δ������
,体磁化电流密度������������ = ∇ × ������。非均匀磁化介质内
wenku.baidu.com
部,就有体磁化电流分布;对于均匀磁化介质,在宏观效果上,内部分子电 流会互相抵消, 但其表面若干层分子的厚度 h 内, 分子电流的宏观效应仍存 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在,可视之为面磁化电流。线磁化电流密度⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ������������ = ������ ⃗⃗ × (������ 2 − ������1 )。 15. 极化电流密度⃗⃗⃗⃗ ������������ = 由
������
⃗⃗
⃗和������ ⃗⃗ 的关系是������ ⃗ = ∇ × ������ ⃗⃗ − ������������。 子运动产生的电流。一般地,������ ������������ 17. Maxwell 方程组可以应用于任何连续介质内部。在场作用下,介质界面上一 般出现面束缚电荷和电流分布,束缚电荷使两侧电场发生突变,面磁化电流 使界面两侧磁场突变,微分形式的 Maxwell 方程组不再适用。 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 18. 电场中: ①法向: ������0 (������2������ − ������1������ ) = ������������ + ������������ , ������2������ − ������1������ = ������������ , 即������ ⃗⃗ ∙ (������ 2 − ������1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ������������ ;②切向:������2������ = ������1������ ,即������ ⃗⃗ × (������ 2 − ������1 ) = 0。 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 19. 磁场中: ①法向: ������2������ = ������1������ , 即������ ⃗⃗ ∙ (������ ②切向: ������2������ − ������1������ = ������0 (������������ + 2 − ������1 ) = 0; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ������������ ),������2������ − ������1������ = ������������ ,即������ ⃗⃗ × (������ ������������ 。 2 − ������1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 20. 能量守恒:积分形式为 − ∯ ������ ∙ ������������ = ∭ ������ ∙ ������������������ + ������������ ∭ ������������������ ,微分形式是 ∇ ∙ ������ +
⃗⃗ ������������
⃗⃗⃗ = ������������ ������ ⃗⃗ , 。 ������
⃗⃗ = (1 + ������������ )������0 ������ ⃗⃗ = ������������ ������0 ������ ⃗⃗ = ������������ ⃗⃗。 ������ ⃗ = ������������ ⃗⃗ = ������ ,������������ 是电阻率。这个式子只适用于导体内大量带电粒 16. 欧姆定律:������ ������
������������ ������������ ������
⃗⃗
= −������ ∙ ������ = −������ ∙ ������。
������������ ������������ ������������
21. 能流密度������ = ������ × ������;能量密度变化率 ������������ = ������ ∙ 有������ = 2 (������ ∙ ������ + ������ ∙ ������)。
∞
������
的负梯度, ������ = −∇������。 在没有电荷的空间中, 电势满足 Laplace 方程∇2 ������ = 0。
⃗⃗ ������������ ⃗⃗ ������
0
+ ������0
������������
⃗⃗ ������������ ������������
,
得
⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗ ∇ × (������ − ������ ������������ +
0
⃗⃗ = − ������ ⃗⃗⃗ , 则 ∇ × ������ ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 。 取 ������ ������������ + ������������ ������
1
̂ ⃗⃗ ������
⃗⃗ ������
⃗⃗ ������
∮ ������ ∙ d������ = ������ ∫������ ������������������ = ������ ,故∇ ∙ ������ = ������ 。
0 0 0
1
������
������
6. Faraday 电磁感应定律:ε = ∮ ������ ∙ ������������ = − ������������ ∬ ������ ∙ ������������ = − ∬ ������ ������ ������ ∇ × ������ = − ������������ ������,对于静电场,∇ × ������ = 0。 7. Biot-Savart 定律: ������(������ ⃗) =
电动力学总结(部分)
1. 梯度:∇φ =
∂φ ∂n
̂ ;散度:通量Ψ = ∯������ ������ ∙ ������������ = ∭������ (∇ ∙ ������)������������;旋度:环量 ������
Γ=∮ ������ ∙ ������������ = ∬ (∇ × ������) ∙ ������������。 ������ ������ 2. 源 点 与 场 点之 间 的 距离 为 r = √(������ − ������′)2 + (������ − ������′)2 + (������ − ������′)2 。 场 点 处 ̂ ,源点处∇′ r = −������ ̂ 。场点处∇ ∙ ������ = 3,源点处∇′ ∙ ������ = −3。以上为一阶 ∇r = ������ 微分运算。 3. 二阶微分运算: ①∇ × (∇φ) = 0; ∇ ∙ (∇ × ������ ⃗ ) = 0; ∇ × (∇ × ������ ⃗ ) = ∇(∇ ∙ ������ ⃗ ) − ∇2 ������ ⃗; ∇ ∙ (∇φ) = ∇2 ������。 ⃗。 ②如果∇ × ������ ⃗ = 0,则������ ⃗ = ∇φ;如果∇ ∙ ������ ⃗ = 0,则������ ⃗ = ∇ × ������ ⃗⃗⃗⃗);∇ × = 0;∇ × ������ 4. 常用关系:∇ ������ = − ������ 2;∇ ∙ ������ 3 = 4πδ(������ ⃗ − ������′ ⃗ = 0。 ������ 3
⃗⃗ ������������ ������������ ������������
������������ , 即 ∇ ∙ ������ + ������������ = 0 。 位 移 电 流
������������
������������ = ������0 ������������ ,∇ ∙ (������ + ������������ ) = 0满足电荷守恒。[Ampère 环路定理的微分形式写 为∇ × ������ = ������0 (������ + ������������ ),而������0 ∇ ∙ (������ + ������������ ) = ∇ ∙ (∇ × ������) = 0。] 10. Lorentz 力:������ = ������(������ + ������ × ������)。 11. 介质由分子组成,分子内部有带正电的原子核及核外电子,内部存在不规则 而迅变的微观电磁场。介质会发生极化和磁化现象,产生束缚电荷和磁化电 流。 12. 极化:电极化矢量������ =
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ������(������′)������ ⃗ = ������������′������ ⃗⃗ = ∑ ������������ ������ 5. Coulomb 定律:������ ;电场强度������ 或∫ 4������������ ������3 ������������′。高斯定理: 4������������ ������ 3 4������������ ������ 3
������
⃗×������ ⃗ ������������������ ������ 3
。由于∯ ������ ∙ ������������ = 0,所以∇ ∙ ������ = 0。 ������
8. Ampère 环路定理:∮ ������ ∙ ������������ = ������0 ∬ ������ ∙ ������������ = ������0 ������ ;故∇ × ������ = ������0 ������。 ������ ������ 9. 电 荷 守 恒 定 律 : ∯ ������ ∙ ������������ = − ∭������ ������
1
+ ������ ∙
������������ ������������
,故对于线性介质
22. 电势:φ(P) = ∫������ ������ ∙ ������������;电势差为φ(P2 ) − φ(P1 ) = − ∫������ 2 ������ ∙ ������������。场强是电势
1
0 ������(������ ⃗) = 4������ ∫
������
������ ������������
������ ∙ ������������,故
������
∫ 4������
������0
⃗(������′ ⃗⃗⃗⃗)×������ ⃗ ������ ������ 3
������������′, 对于细线上恒定电流激发的磁场,
∑ ������ ⃗ ∆������
,束缚电荷������������ = −������ ∙ ������。非均匀介质极化后一般在
整个介质内部都出现束缚电荷;在均匀介质内,束缚电荷只出现在自由电荷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 附近以及介质界面处。束缚电荷面密度������������ = −������ ⃗⃗ ∙ (������ 2 − ������1 )。
1 ������0 ⃗⃗ ������ ⃗⃗ ������������ ������������
, 磁化电流密度和极化电流密度之和称为诱导电流密度。
⃗⃗ ������������ ������������
⃗⃗ = ������ ⃗������������������������������ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ + ∇ × ������ ������������ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ������������ + ⃗⃗⃗⃗ ������������ + ⃗⃗⃗⃗ ������������ = ⃗⃗⃗⃗ ������������ + ∇ × ������
1
⃗⃗ = ������������ + ������������ ,得∇ ∙ (������0 ������ ⃗⃗ + ������ ⃗⃗ ) = ������������ 。取 ������ ⃗⃗ = ������0 ������ ⃗⃗ + ������ ⃗⃗ ,则∇ ∙ ������ ⃗⃗ = ������������ 。 13. 由������0 ∇ ∙ ������ ⃗⃗ = ������������ ������0 ������ ⃗⃗ ,������ ⃗⃗ = (1 + ������������ )������0 ������ ⃗⃗ = ������������ ������0 ������ ⃗⃗ = ������������ ⃗⃗ 。 ������ 14. 磁化:磁化强度������ =
∑ ������ ⃗⃗⃗⃗ Δ������
,体磁化电流密度������������ = ∇ × ������。非均匀磁化介质内
wenku.baidu.com
部,就有体磁化电流分布;对于均匀磁化介质,在宏观效果上,内部分子电 流会互相抵消, 但其表面若干层分子的厚度 h 内, 分子电流的宏观效应仍存 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在,可视之为面磁化电流。线磁化电流密度⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ������������ = ������ ⃗⃗ × (������ 2 − ������1 )。 15. 极化电流密度⃗⃗⃗⃗ ������������ = 由
������
⃗⃗
⃗和������ ⃗⃗ 的关系是������ ⃗ = ∇ × ������ ⃗⃗ − ������������。 子运动产生的电流。一般地,������ ������������ 17. Maxwell 方程组可以应用于任何连续介质内部。在场作用下,介质界面上一 般出现面束缚电荷和电流分布,束缚电荷使两侧电场发生突变,面磁化电流 使界面两侧磁场突变,微分形式的 Maxwell 方程组不再适用。 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 18. 电场中: ①法向: ������0 (������2������ − ������1������ ) = ������������ + ������������ , ������2������ − ������1������ = ������������ , 即������ ⃗⃗ ∙ (������ 2 − ������1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ������������ ;②切向:������2������ = ������1������ ,即������ ⃗⃗ × (������ 2 − ������1 ) = 0。 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 19. 磁场中: ①法向: ������2������ = ������1������ , 即������ ⃗⃗ ∙ (������ ②切向: ������2������ − ������1������ = ������0 (������������ + 2 − ������1 ) = 0; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ������������ ),������2������ − ������1������ = ������������ ,即������ ⃗⃗ × (������ ������������ 。 2 − ������1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 20. 能量守恒:积分形式为 − ∯ ������ ∙ ������������ = ∭ ������ ∙ ������������������ + ������������ ∭ ������������������ ,微分形式是 ∇ ∙ ������ +
⃗⃗ ������������
⃗⃗⃗ = ������������ ������ ⃗⃗ , 。 ������
⃗⃗ = (1 + ������������ )������0 ������ ⃗⃗ = ������������ ������0 ������ ⃗⃗ = ������������ ⃗⃗。 ������ ⃗ = ������������ ⃗⃗ = ������ ,������������ 是电阻率。这个式子只适用于导体内大量带电粒 16. 欧姆定律:������ ������
������������ ������������ ������
⃗⃗
= −������ ∙ ������ = −������ ∙ ������。
������������ ������������ ������������
21. 能流密度������ = ������ × ������;能量密度变化率 ������������ = ������ ∙ 有������ = 2 (������ ∙ ������ + ������ ∙ ������)。
∞
������
的负梯度, ������ = −∇������。 在没有电荷的空间中, 电势满足 Laplace 方程∇2 ������ = 0。
⃗⃗ ������������ ⃗⃗ ������
0
+ ������0
������������
⃗⃗ ������������ ������������
,
得
⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗ ∇ × (������ − ������ ������������ +
0
⃗⃗ = − ������ ⃗⃗⃗ , 则 ∇ × ������ ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 。 取 ������ ������������ + ������������ ������