2006考研数学三真题及答案解析
2006数学三真题及答案解析
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上.(1)()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()2____.f '''=(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =(4)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B .(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则2____.ES =二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ](8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h→=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ](9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ] (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-. (C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ ](11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ ] (12)设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ](13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)T C P AP =. (D)TC PAP =. [ ] (14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ]三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. (16)(本题满分7分)计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.(17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. (19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .(20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.(22)(本题满分13分) 设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ;(Ⅱ)Cov(,)X Y ;(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. (Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计2006年考研数学(三)真题解析二、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上.(1)()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭,而数列{}(1)n -有界,1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1lim(1)ln 0n n n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()ef x f x '=,()21f =,则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知,()()ef x f x '=,两边对x 求导得()()()2e()ef x f x f x f x '''==,两边再对x 求导得 ()()23()2e()2ef x f x f x f x ''''==,又()21f =,故 ()323(2)2e2e f f '''==.(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一:因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx∂'=-⋅=∂,()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂,所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二:对()224z f x y=-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--,故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.(4)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B 2 .【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设,有()2B A E E -=于是有 4B A E -=,而11211A E -==-,所以2B =.(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知,X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型,也可如下计算,如下图:则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则22.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可.【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰, 22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e2e d 2e 2x x xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰,所以 ()22202DX EX EX =-=-=,又因2S 是DX 的无偏估计量,所以 22ES DX ==.二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ A ]【分析】 题设条件有明显的几何意义,用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知,函数()f x 单调增加,曲线()y f x =凹向,作函数()y f x =的图形如右图所示,显然当0x ∆>时,00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>,故应选(A).(8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h →=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ]【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ,利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性. 【详解】由()22lim1h f h h→=知,()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续,则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =,则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在,故本题选(C ).(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ D ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】 由1nn a∞=∑收敛知11n n a∞+=∑收敛,所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛,故应选(D). 或利用排除法:取1(1)nn a n=-,则可排除选项(A),(B); 取1(1)nn a n=-,则可排除选项(C).故(D)项正确. (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-. (C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ B ]【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解,所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-,故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-,故应选(B).【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解,Y 是对应齐次微分方程的通解.(11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ D ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ(0λ是对应00,x y 的参数λ的值)取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+,并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ,则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩, 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ,得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=,整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.(因为(,)0y x y ϕ'≠),若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.故选(D).(12)设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(C) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (D) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关.(C) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关. [ A ]【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα=,则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以,若向量组12,,,s ααα线性相关,则()r B s <,从而()()r AB r B s ≤<,向量组12,,,s A A A ααα也线性相关,故应选(A).(13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=. (C)TC P AP =. (D)TC PAP =. [ B ] 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得1101101101110,010********1001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则有1C PAP -=.故应选(B).(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(B) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数,则1211σσ>,即12σσ<.故选(A).三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解,此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限;第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果,含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ (通分) 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====(16)(本题满分7分)计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数,“先x后y ”积分较容易,所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x -=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰ (17)(本题满分10分) 证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<,则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=.又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,s i n 0x x x π<<>时),故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积,确定参数.【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =,则由题设可得y y ax x '-=,这是一阶线性微分方程,其中1(),()P x Q x ax x=-=,代入通解公式得 ()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰,又(1)0f =,所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =(>0a )所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰,故2a =.(19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-,则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时,所给幂级数收敛;当1x >时,所给幂级数发散;当1x =±时,所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----,均收敛,故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内,()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑,而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑, 所以 111201()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t ''''-===+⎰⎰,又1(0)0s '=,于是 1()arctan s x x '=.同理1110()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xxt t t t x x x t =-=-++⎰, 又 1(0)0s =,所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛,且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续,所以()s x 在1x =±成立,即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+,[]1,1x ∈-.(20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ;用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ,则312341234(10)12341234a a A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时,1234,,,αααα线性相关.当0a =时,显然1α是一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===;当10a =-时,1α 2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭,由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-,所以123,,ααα为极大线性无关组,且123441230αααααααα+++==---,即.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量;由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值,其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ;由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3,所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由特征值和特征向量的定义知,3λ=是矩阵A 的特征值,T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α,其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==,即11220,0A A αααα=⋅=⋅,而且12,αα线性无关,所以0λ=是矩阵A 的二重特征值,12,αα是其对应的特征向量,对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+,其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵,所以α与12,αα正交,所以只需将12,αα正交.取 11βα=,()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化,得121231211136212,,036111236ββαηηηαββ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪====== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令 []123,,Q ηηη=,则1T QQ -=,由A 是实对称矩阵必可相似对角化,得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以 T11111136********121210011136666011111111036222A Q Q ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=Λ=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭,则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(22)(本题满分13分) 设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ;(Ⅱ) Cov(,)X Y ;(Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布,然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 (I ) 设Y 的分布函数为()Y F y ,即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤,则1) 当0y <时,()0Y F y =;2) 当01y ≤<时, ()2()()Y F y P X y P y X y =<=-<<0113d d 244y y x x y -=+=⎰⎰. 3) 当14y ≤<时,()2()()1Y F y P X y P X y =<=-<<101111d d 2442y x x y -=+=+⎰⎰.4) 当4y ≥,()1Y F y =.所以3,0181()(),1480,Y Y y y f y F y y y ⎧<<⎪⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他.(II ) 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-,而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰,22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰, 3323107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰, 所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. (Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】(Ⅰ)因为()1213(;)d d 1d 2EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰, 令32X θ-=,可得θ的矩估计为 32X θ=-. (Ⅱ)记似然函数为()L θ,则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-个个.两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--,令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-,解得N n θ=为θ的最大似然估计.。
【数学三】2006年全国硕士研究生入学统一考试真题
2006年考研数学(三)真题一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()2____.f '''=(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =(4)设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B . (5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则2____.ES =二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ](8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h→=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ](10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ ](11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ ] (12)设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ](13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)T C P AP =. (D)TC PAP =. [ ] (14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ] 三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. (16)(本题满分7分)计算二重积分d Dx y ,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.(17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. (19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x . (20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ)Cov(,)X Y ;(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计。
2006数学三考研真题
2006数学三考研真题一、选择题1. 下列命题中,正确的是:A. 若函数f(x)在[a, b]上连续,则必在[a, b]上有界。
B. 函数f(x)在开区间(a, b)上有界,则f(x)在[a, b]上有界。
C. 函数f(x)在[0, 1]上单调有界,则f(x)在[0, 1]上一定有一极限。
D. 若函数f(x)在[a, b]上单调有界,则f(x)在[a, b]上一定有一极限。
2. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + c, 其中c为常数,则当x的取值为多少时,函数f(x)在区间[1, 3]上的最小值为-4?A. x = -1B. x = 1C. x = 4D. x = 53. 在圆锥体的三个属性:“有一个封闭的曲面、曲面上任何一点的切平面都交于一条公共直线、锥形顶点至底面的距离不变”,以下哪个属性是不正确的?A. 有一个封闭的曲面B. 曲面上任何一点的切平面都交于一条公共直线C. 锥形顶点至底面的距离不变D. 圆锥的底面是一个圆二、填空题1. 设函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,其中a ≠ 0,若f''(x) = 6,则a + b + c + d = ______。
2. 若函数f(x) = x^2 - 2x - 3的图像经过B(2, -1),则直线y = kx + 5与f(x)的图像恰好相切,其中k的值为______。
三、计算题1. 计算定积分I = ∫(0,1) (4x^2 - 2x + 1)dx.2. 已知三角形ABC,其中∠BAC = 45°,BM为直角三角形ABC上BC边的中线,且∠BCA = 30°。
若BM = 2,则三角形ABC的面积为______。
四、证明题设数列{an}的公差d ≠ 0,数列{bn}的公差为arctan(d) ≠ 0,且当n→∞时,lim(an·bn) = 1.求证:lim(an) = lim(bn) = 1/d.总结:本文为2006年数学三考研真题的解答,包括选择题、填空题、计算题和证明题。
2006数学三考研试题和答案
2006年数学三试题分析、详解和评注一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()322e .f '''=(3微分(1,2d z(4) (5){P (6)的简(7)0处的(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ](8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h→=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D) ()()010f f +'=且存在 [ ](9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ] (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ ] (11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ ] (12)设12,,,s αααL 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s αααL 线性相关,则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关,则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关,则12,,,s A A A αααL 线性相关.(D) 若12,,,s αααL 线性无关,则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ ](13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)T C P AP =. (D)TC PAP =. [ ] (14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有] 三 (15(((16.(17 (18((3(19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x . (20)(本题满分13分)设4维向量组()()()T T T1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. (21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及63A E ⎛⎫-,其中E 为3阶单位矩阵.(22令Y (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (23其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. (Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计1…… 【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭,而数列{}(1)n -有界,1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1lim(1)ln 0n n n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()1n- 【2…. 【 【 ,《数3….. 【 所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二:对()224z f x y=-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--,故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.【评注】本题为基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第9讲第1节【例12】,《数学复习指南》(经济类)P.162【例6.13】,《考研数学过关基本题型》(经济类)P.62【例6,例7】及练习.4…..【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设,有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=,而11211A E -==-,所以2B =.【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第1讲【例6】,《数学复习指南》(经济类)P.287【例2.12】.5……【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知,X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型,也可如下计算,如下图:则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. 完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第3讲【例5】,《数学复习指南》(经济类)P.431【例2.31】P.442【例2.50】6,……… 【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰, 22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e 2e d 2e 2xx xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰,所以 ()22202DX EX EX =-=-=,又因2S 是DX 的无偏估计量,所以 22ES DX ==.【评注】本题利用了样本方差是总体X 的方差DX 的无偏估计量,最好能熟记样本均值和方差的性质和运算.完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第5讲【例1】和【例2】,《数学复习指南》(经济类)P.487【例5.1】P.488【例5.2】,《考研数学过关基本题型》(经济类)P.247【例4】及练习.7…….【分析】 题设条件有明显的几何意义,用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知,函数()f x 单调增加,曲线()y f x =凹向,作函数()y f x =的图形如右图所示,显然当0x ∆>时,00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>,故应选(A).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时,图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日中值定理求解:0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>,所以()f x '单调增加,即0()()f f x ξ''>,又0x ∆>, 则 0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>,即0d y y <<∆.定义一般教科书均有,类似例题见《数学复习指南》(经济类)P.129【例5.1】,P.151【1(3)】.8……… 【分析】从()22lim1h f h h →=入手计算(0)f ,利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性.【详解】由()22lim1h f h h→=知,()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续,则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =,则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在,故本题选(C ).【9【【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解,Y 是对应齐次微分方程的通解. 相关性质和定理见《数学复习指南》(经济类)P.219.11……【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ(0λ是对应00,x y 的参数λ的值)取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+,并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ,则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩, 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去若x f '条1,A α文登13………【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则有1C PAP -=.故应选(B).【评注】(1)每一个初等变换都对应一个初等矩阵,并且对矩阵A 施行一个初等行(列)变换,相当于左(右)乘相应的初等矩阵.(2)牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.完全类似例题及性质见文登暑期辅导班《线性代数》第2讲【例12】,《数学复习指南》(经济类)P.290【例2.19】.X ,《数15 【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y y y y g x f x y xy x →+∞→∞- ⎪⎪==-+⎪ ⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ (通分) 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++==== 【评注】本题为基本题型,注意利用洛必达法则求未定式极限时,要充分利用等价无穷小代换,并及时整理极限式,以使求解简化.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第2节【例21】,《数学复习指南》经济类P.32【例1.45(1)】,P.29【例1.35】,【例1.36】,P.30【例1.40】,《考研数学过关基本题型》(经济类)P.8【例14】,P.9【例16】.16 【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数,“先x 后y ”积分较容易,所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x -=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰.【评注】计算二重积分时,首先画出积分区域的图形,然后结合积分域的形状和被积函数的形式,选择坐标系和积分次序.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节【例8】,《数学复习指南》(经济类)P.181【例7.2】,《考研数学过关基本题型》(经济类)P.65【例1】,P.66【例3】及练习.17…..【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<, 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,sin 0x x x π<<>时),故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【评注】证明数值不等式一般需构造辅助函数,辅助函数一般通过移项,使不等式一端为“0”,另一端即为所作辅助函数()f x ,然后求导验证()f x 的增减性,并求出区间端点的函数值(或极限值),作比较即得所证. 本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第2节【例4】,《数学复习指南》(经济类)P.242【例10.18】,《考研数学过关基本题型》(经济类)P.98【例11】,P.99【例13】及练习.18 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积,确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =,则由题设可得 y y ax x '-=,这是一阶线性微分方程,其中1(),()P x Q x ax x=-=,代入通解公式得()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰,又(1)0f =,所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =(>0a )所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰,故2a =.【评注】本题涉及了导数和定积分的几何意义,一阶线性微分方程的求解,属基本题型.完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P.136【例5.13】,P.149【例5.34】,《考研数学过关基本题型》(经济类)P.272【例15】及练习8.2.19…. 【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-,则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时,所给幂级数收敛;当1x >时,所给幂级数发散;当1x =±时,所给幂级数为1(1)(1),n n---,均收敛,)2在()22()2arctan ln 1s x x x x x=-+,[]1,1x ∈-.【评注】本题幂级数是缺项幂级数,则应采用函数项级数求收敛域的方法,属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第11讲第2节【例12】,【例15】,《数学复习指南》(经济类)P.204【例8.13】,P.209【例8.18】,《考研数学过关基础题型》(经济类)P.78【例6】,P.81【例9】及练习.20…….. 【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ;用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ,则312341234(10)12341234aa A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时,1234,,,αααα线性相关.当当 【 (经济类)0;由TQ ⎝⎭【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3,所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由特征值和特征向量的定义知,3λ=是矩阵A 的特征值,T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α,其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==,即11220,0A A αααα=⋅=⋅,而且12,αα线性无关,所以0λ=是矩阵A 的二重特征值,12,αα是其对应的特征向量,对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+,其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵,所以α与12,αα正交,所以只需将12,αα正交. 取 11βα=,T31110011101110A Q Q ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=Λ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭.666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭, 则666T 333A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎝..类)6】1) 2) 3) 4) 1()()40,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤<⎪⎩其他.(II ) 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-,而02101d d244x xEX x x-=+=⎰⎰,22022105d d246x xEX x x-=+=⎰⎰,33023107d d248x xEX x x-=+=⎰⎰,所以7152 Cov(,)8463X Y=-⋅=.(Ⅲ)1,4F⎛⎫-⎪211,4,4P X Y P X X⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤⎪ ⎪6】,令d ln()d1L N n Nθθθθ-=-=-,解得Nnθ=)为θ的最大似然估计.【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法,最大似然估计法.完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第5讲【例5】,《数学复习指南》(经济类)P.497【例6.1-例6.4】.。
2006年考研数学三真题及完整解析
2006年考研数学(三)真题一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f xf x '=,()21f =,则()2____.f '''=(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =(4)设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B .(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则2____.ES =二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ](8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h →=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ] (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ ](11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ ] (12)设12,,,s ααα 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ ](13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)TC P AP =. (D)TC PAP =. [ ](14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ> [ ]三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. (16)(本题满分7分) 计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.(17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. (19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .(20)(本题满分13分)设4维向量组()()()T T T 1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+ ()T44,4,4,4a α=+,问a为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ)Cov(,)X Y ;(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分13分) 设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计2006年考研数学(三)真题解析二、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭,而数列{}(1)n -有界,1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1lim(1)ln 0nn n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭.(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知,()()e f x f x '=,两边对x 求导得()()()2e()e f x f x f x f x '''==,两边再对x 求导得 ()()23()2e()2e f x f x f x f x ''''==,又()21f =,故 ()323(2)2e 2e f f '''==.(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一:因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx∂'=-⋅=∂,()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂,所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二:对()224z f x y =-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--,故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.(4)设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B 2 .【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设,有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=,而11211A E -==-,所以2B =.(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知,X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型,也可如下计算,如下图:则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴.(6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则2 2.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰, 22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e2e d 2e 2x x xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰,所以 ()22202DX EX EX =-=-=,又因2S 是DX 的无偏估计量,所以 22ES DX ==.二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .[ A ]【分析】 题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知,函数()f x 单调增加,曲线()y f x =凹向,作函数()y f x =的图形如右图所示,显然当0x ∆>时,00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>,故应选(A).(8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h →=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ,利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性.【详解】由()22lim1h f h h →=知,()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续,则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =,则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在,故本题选(C ). (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ D ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛,所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛,故应选(D). 或利用排除法: 取1(1)nn a n=-,则可排除选项(A),(B); 取1(1)nn a n=-,则可排除选项(C).故(D)项正确. (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ B ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解,所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-,故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-,故应选(B).【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解,Y 是对应齐次微分方程的通解.(11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ D ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ(0λ是对应00,x y 的参数λ的值)取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+,并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ,则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩, 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ,得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.(因为(,)0y x y ϕ'≠),若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.故选(D).(12)设12,,,s ααα 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα= ,则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以,若向量组12,,,s ααα 线性相关,则()r B s <,从而()()r AB r B s ≤<,向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关,故应选(A).(13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)TC P AP =. (D)TC PAP =. [ B ]【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得1101101101110,010********1001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则有1C PAP -=.故应选(B).(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ> [ A ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数,则1211σσ>,即12σσ<.故选(A).三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解,此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限;第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果,含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ (通分) 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====(16)(本题满分7分) 计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数,“先x 后y ”积分较容易,所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x -=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰(17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<, 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,s i n 0x x x π<<>时),故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积,确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =,则由题设可得 y y ax x '-=,这是一阶线性微分方程,其中1(),()P x Q x ax x=-=,代入通解公式得 ()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰, 又(1)0f =,所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =(>0a )所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰,故2a =.(19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x.【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-,则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时,所给幂级数收敛;当1x >时,所给幂级数发散;当1x =±时,所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----,均收敛, 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内,()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑,而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑, 所以 111201()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t ''''-===+⎰⎰,又1(0)0s '=,于是 1()arctan s x x '=.同理 11100()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xx t t tt x x x t =-=-++⎰, 又 1(0)0s =,所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛,且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续,所以()s x 在1x =±成立,即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+,[]1,1x ∈-.(20)(本题满分13分)设4维向量组()()()T T T 1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+ ()T44,4,4,4a α=+,问a为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ;用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ,则312341234(10)12341234a a A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时,1234,,,αααα线性相关.当0a =时,显然1α是一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===; 当10a =-时, 1α2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭, 由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-,所以123,,ααα为极大线性无关组,且123441230αααααααα+++==---,即.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量;由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值,其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ;由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3,所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由特征值和特征向量的定义知,3λ=是矩阵A 的特征值,T (1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α,其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==,即11220,0A A αααα=⋅=⋅,而且12,αα线性无关,所以0λ=是矩阵A 的二重特征值,12,αα是其对应的特征向量,对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+,其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵,所以α与12,αα正交,所以只需将12,αα正交. 取 11βα=,()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化,得121231211136212,,036111236ββαηηηαββ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪====== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令 []123,,Q ηηη=,则1T QQ -=,由A 是实对称矩阵必可相似对角化,得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以T 11111136********121210011136666011111111036222A Q Q ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=Λ=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭, 则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ) Cov(,)X Y ;(Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布,然后求导得相应的概率密度或利用公式计算. 【详解】 (I ) 设Y 的分布函数为()Y F y ,即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤,则 1) 当0y <时,()0Y F y =;2) 当01y ≤<时, ()2()()Y F y P X y P y X y =<=-<<0113d d 244y y x x y -=+=⎰⎰. 3) 当14y ≤<时,()2()()1Y F y P X y P X y =<=-<<101111d d 2442y x x y -=+=+⎰⎰. 4) 当4y ≥,()1Y F y =. 所以3,0181()(),1480,Y Y y y f y F y y y⎧<<⎪⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他. (II ) 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-,而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰,22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰, 3323107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰, 所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算. 【详解】(Ⅰ)因为()1213(;)d d 1d 2EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰, 令 32X θ-=,可得θ的矩估计为 32X θ=- .(Ⅱ)记似然函数为()L θ,则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=- 个个. 两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--,令d ln ()0d 1L N n Nθθθθ-=-=-,解得N n θ= 为θ的最大似然估计.。
2006年考研数学三真题及解析
( 8) 设函数 f x 在 x
f h2
0 处连续,且 lim
h0
h2
1 ,则
(A) f 0 0且 f 0 存在
(B) f 0 1且 f 0 存在
-7-
(C) f 0 0且 f 0 存在
(D) f 0 1且 f 0 存在
[ C]
2
fh
【分析 】从 lim
h0
2
h
1 入手计算 f (0) ,利用导数的左右导数定义判定
(Ⅲ) F
1 ,4 .
2
( 23)(本题满分 13 分) 设总体 X 的概率密度为
f x;
, 0 x 1, 1 ,1 x 2, 0, 其他,
其中 是未知参数 0
1 , X 1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本,记 N 为样本值 x1 , x2 ..., x n 中
小于 1 的个数 . (Ⅰ)求 的矩估计; (Ⅱ)求 的最大似然估计
(D) 若 1 , 2 , , s 线性无关,则 A 1 , A 2 , , A s 线性无关 .
[
]
( 13) 设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ,再将 B 的第 1 列的 1 倍加到第 2 列得 C ,记
110 P 0 1 0 ,则
001
(A) C
P
1
AP
.
(B) C PAP 1 .
(A) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ,则 f y ( x0 , y0 ) 0 .
(B) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ,则 f y ( x0 , y0 ) 0 . (C) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ,则 f y ( x0 , y0 ) 0 .
2006年考研数学三真题及答案
2006年考研数学三真题一、填空题(1~6小题,每小题4分,共24分。
) (1) lim n→∞(n+1n)(−1)n= 。
【答案】1。
【解析】 【方法一】记x n =(n+1n )(−1)n , 因为lim k→∞x 2k =limk→∞2k+12k=1, 且lim k→∞x 2k+1=lim k→∞(2k+22k+1)−1=1, 故lim n→∞x n =1。
【方法二】lim n→∞(n+1n)(−1)n =lim n→∞e(−1)n lnn+1n, 而lim n→∞lnn+1n=lim n→∞ln (1+1n)=0(无穷小量),(−1)n 为有界变量,则原式=e 0=1。
综上所述,本题正确答案是1。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算 (2) 设函数f(x)在x =2的某领域内可导,且f ′(x )=e f (x ),f (2)=1, 则f ′′(2)= 。
【答案】2e 3。
【解析】本题主要考查复合函数求导。
由f ′(x )=e f (x )知f ′′(x )=e f (x )f ′(x )=e f (x )∙e f (x )=e 2f (x )f ′′′(x )=e 2f (x )∙2f ′(x )=2e 3f (x )f ′′′(2)=2e 3f (2)=2e 3。
综上所述,本题正确答案是2e 3。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数(3)设函数f(u)可微,且f′(0)=12, 则z=f(4x2−y2)在点(1,2)处的全微分dz|(1,2)= 。
【答案】4dx−2dy。
【解析】因为ðzðx|(1,2)=f′(4x2−y2)∙8x|(1,2)=4,ðzðy|(1,2)=f′(4x2−y2)∙(−2y)|(1,2)=−2,所以dz|(1,2)=ðzðx |(1,2)dx+ðzðy|(1,2)dy=4dx−2dy。
2006年数学三真题答案解析
Δy
dy
O
x0
x0+Δx
x
结合图形分析,就可以明显得出结论: 0 dy y .
方法 2:用两次拉格朗日中值定理
y dy f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x (前两项用拉氏定理)
f ( )x f (x0 )x
(再用一次拉氏定理)
f ()( x0)x , 其中 x0 x0 x, x0
换元令 x h2 ,由题设可得
lim
h0
f (h2) h2
lim x0
f (x) 1 x
.
于是 lim f (x) lim f (x) x 10 0
x0
x x0
因为函数 f (x) 在点 x 0 处连续,故 f (0) lim f (x) 0 ,进而有 x0
1 lim x0
f (x) lim
2( 1 ) 1 1
2( 1 ) 1,即 1
2
1
1 2
,所以 1
2
,故选(A).
三、解答题
(15)【详解】题目考察二元函数的极限,求 g(x) 时,可以将 y 视为常数
1 y sin x
(I)
g(x)
lim
f (x, y)
y
lim [
y
y 1 xy
y ],
arctan x
由于 x 0 ,所以
dz dx
x x0
f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 )
x
y
dy dx
x x0
fx(x0, y0)
f y( x0 ,
y0
)
x
y
( (
x0 x0
, ,
考研数学复习资料 2006年数学三考研试题与答案
( ) ( 3 ) 设 函 数 f (u) 可 微 , 且 f ′ (0) = 1 , 则 z = f 4x2 − y2 在 点 (1,2) 处 的 全 微 分 2
dz (1,2) = 4dx − 2dy.
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.
【详解】方法一:因为 ∂z ∂x
= (1, 2 )
2006 年考研数学(三)真题
一、填空题:1-6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上.
(1)
lim
n→∞
⎛ ⎜⎝
n
+ n
1
(−1
⎞ ⎟⎠
)n
= ______ .
(2)设函数 f (x)在 x = 2 的某邻域内可导,且 f ′ ( x) = e f (x) , f ( 2) = 1 ,则 f ′′′ (2) = ____ .
值 x1 , x2 ..., xn 中小于 1 的个数.
(Ⅰ)求θ 的矩估计; (Ⅱ)求θ 的最大似然估计
2006 年考研数学(三)真题解析
二、填空题:1-6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上.
(1)
lim
n→∞
⎛ ⎜⎝
n +1⎞(−1)n n ⎟⎠
= 1.
【分析】将其对数恒等化 N = elnN 求解.
2
.
【分析】 将矩阵方程改写为 AX = B或XA = B或AXB = C 的形式,再用方阵相乘的行
列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设,有
B(A− E) = 2E
于是有
11
B A− E = 4 ,而 A − E =
= 2 ,所以 B = 2 .
2006年考研数学三真题及答案
2006年考研数学三真题一、填空题(1~6小题,每小题4分,共24分。
) (1) lim n→∞(n+1n)(−1)n= 。
【答案】1。
【解析】 【方法一】记x n =(n+1n )(−1)n , 因为lim k→∞x 2k =limk→∞2k+12k=1, 且lim k→∞x 2k+1=lim k→∞(2k+22k+1)−1=1, 故lim n→∞x n =1。
【方法二】lim n→∞(n+1n)(−1)n =lim n→∞e(−1)n lnn+1n, 而lim n→∞lnn+1n=lim n→∞ln (1+1n)=0(无穷小量),(−1)n 为有界变量,则原式=e 0=1。
综上所述,本题正确答案是1。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算 (2) 设函数f(x)在x =2的某领域内可导,且f ′(x )=e f (x ),f (2)=1, 则f ′′(2)= 。
【答案】2e 3。
【解析】本题主要考查复合函数求导。
由f ′(x )=e f (x )知f ′′(x )=e f (x )f ′(x )=e f (x )∙e f (x )=e 2f (x )f ′′′(x )=e 2f (x )∙2f ′(x )=2e 3f (x )f ′′′(2)=2e 3f (2)=2e 3。
综上所述,本题正确答案是2e 3。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数(3)设函数f(u)可微,且f′(0)=12, 则z=f(4x2−y2)在点(1,2)处的全微分dz|(1,2)=。
【答案】4dx−2dy。
【解析】因为ðzðx|(1,2)=f′(4x2−y2)∙8x|(1,2)=4,ðzðy|(1,2)=f′(4x2−y2)∙(−2y)|(1,2)=−2,所以dz|(1,2)=ðzðx |(1,2)dx+ðzðy|(1,2)dy=4dx−2dy。
2006考研数学三真题及答案解析
2006年考研数学(三)真题一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()2____.f '''=(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =(4)设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B . (5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则2____.ES =二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ](8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h→=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ](10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ ](11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ ] (12)设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ](13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)T C P AP =. (D)TC PAP =. [ ] (14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ] 三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. (16)(本题满分7分)计算二重积分d Dx y ,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.(17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. (19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x . (20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ)Cov(,)X Y ;(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计2006年考研数学(三)真题解析二、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭,而数列{}(1)n -有界,1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1lim(1)ln 0nn n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭.(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知,()()ef x f x '=,两边对x 求导得()()()2e()ef x f x f x f x '''==,两边再对x 求导得 ()()23()2e()2ef x f x f x f x ''''==,又()21f =,故 ()323(2)2e 2e f f '''==.(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一:因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx ∂'=-⋅=∂,()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂,所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二:对()224z f x y=-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--, 故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.(4)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B 2 .【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设,有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=,而11211A E -==-,所以2B =.(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知,X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型,也可如下计算,如下图:则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则22.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰, 22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e2e d 2e 2x x xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰,所以 ()22202DX EX EX =-=-=,又因2S 是DX 的无偏估计量,所以 22ES DX ==.二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .[ A ]【分析】 题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知,函数()f x 单调增加,曲线()y f x =凹向,作函数()y f x =的图形如右图所示,显然当0x ∆>时,00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>,故应选(A).(8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h →=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ,利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性. 【详解】由()22lim1h f h h→=知,()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续,则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =,则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在,故本题选(C ). (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ D ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1nn a∞=∑收敛知11n n a∞+=∑收敛,所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛,故应选(D). 或利用排除法: 取1(1)nn a n=-,则可排除选项(A),(B);取(1)nn a =-.故(D)项正确. (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ B ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解,所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-,故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-,故应选(B).【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解,Y 是对应齐次微分方程的通解.(11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ D ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ(0λ是对应00,x y 的参数λ的值)取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+,并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ,则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩, 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ,得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.(因为(,)0y x y ϕ'≠),若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.故选(D). (12)设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关.(C) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关. [ A ]【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα=,则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以,若向量组12,,,s ααα线性相关,则()r B s <,从而()()r AB r B s ≤<,向量组12,,,s A A A ααα也线性相关,故应选(A).(13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)TC P AP =. (D)TC PAP =. [ B ]【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则有1C PAP -=.故应选(B).(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数,则1211σσ>,即12σσ<.故选(A).三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解,此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限;第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果,含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ (通分) 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====(16)(本题满分7分) 计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数,“先x后y ”积分较容易,所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x -=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰ (17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<, 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,sin 0x x x π<<>时),故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积,确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =,则由题设可得 y y ax x '-=,这是一阶线性微分方程,其中1(),()P x Q x ax x=-=,代入通解公式得 ()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰,又(1)0f =,所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =(>0a )所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰,故2a =.(19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-,则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时,所给幂级数收敛;当1x >时,所给幂级数发散;当1x =±时,所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----,均收敛, 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内,()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑,而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑, 所以 111201()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t ''''-===+⎰⎰,又1(0)0s '=,于是 1()arctan s x x '=.同理1110()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xxt t t t x x x t =-=-++⎰, 又 1(0)0s =,所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛,且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续,所以()s x 在1x =±成立,即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+,[]1,1x ∈-. (20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ;用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ,则312341234(10)12341234aa A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时,1234,,,αααα线性相关.当0a =时,显然1α是一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===; 当10a =-时,1α 2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭,由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-,所以123,,ααα为极大线性无关组,且123441230αααααααα+++==---,即.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量;由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值,其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ;由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3,所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由特征值和特征向量的定义知,3λ=是矩阵A 的特征值,T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α,其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==,即11220,0A A αααα=⋅=⋅,而且12,αα线性无关,所以0λ=是矩阵A 的二重特征值,12,αα是其对应的特征向量,对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+,其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵,所以α与12,αα正交,所以只需将12,αα正交. 取 11βα=,()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化,得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭, 令 []123,,Q ηηη=,则1T QQ -=,由A 是实对称矩阵必可相似对角化,得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以T31110011101110A Q Q ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=Λ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭,则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ) Cov(,)X Y ;(Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布,然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 (I ) 设Y 的分布函数为()Y F y ,即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤,则1) 当0y <时,()0Y F y =;2) 当01y ≤<时,(2()()Y F y P X y P X =<=<<0d 4x x =+=⎰3) 当14y ≤<时,(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<1011d d 242x x -=+=⎰.4) 当4y ≥,()1Y F y =. 所以1()()40,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤<⎪⎩其他.(II ) 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-,而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰,22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰, 3323107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰, 所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】(Ⅰ)因为()1213(;)d d 1d 2EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰, 令32X θ-=,可得θ的矩估计为 32X θ=-. (Ⅱ)记似然函数为()L θ,则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-个个.两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--,令d ln()d1L N n Nθθθθ-=-=-,解得Nnθ=为θ的最大似然估计.。
2006年考研数学(三)真题2
(12)设12,,,s ααα 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα= ,则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以,若向量组12,,,s ααα 线性相关,则()r B s <,从而()()r AB r B s ≤<,向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关,故应选(A).(13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)TC P AP =. (D)TC PAP =. [ B ]【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得11011011011010,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则有1C PAP -=.故应选(B).(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有 (A)12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ> [ A ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数,则1211σσ>,即12σσ<.故选(A).三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解,此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限;第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果,含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ (通分) 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====(16)(本题满分7分)计算二重积分d Dx y ,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数,“先x 后y ”积分较容易,所以10d d yDx y y x =⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰ (17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<, 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,s i n 0x x x π<<>时),故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积,确定参数.【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =,则由题设可得 y y ax x '-=,这是一阶线性微分方程,其中1(),()P x Q x ax x=-=,代入通解公式得()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰, 又(1)0f =,所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =(>0a )所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰,故2a =.(19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-,则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时,所给幂级数收敛;当1x >时,所给幂级数发散;当1x =±时,所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----,均收敛, 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内,()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑,而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑, 所以 1112001()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t''''-===+⎰⎰,又1(0)0s '=, 于是 1()arctan s x x '=.同理 1110()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()2201arctan d arctan ln 112xxt t tt x x x t =-=-++⎰, 又 1(0)0s =,所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛,且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续,所以()s x 在1x =±成立,即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+,[]1,1x ∈-.(20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ;用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ,则312341234(10)12341234a a A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时,1234,,,αααα线性相关.当0a =时,显然1α是一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===; 当10a =-时,1α 2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭, 由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-,所以123,,ααα为极大线性无关组,且123441230αααααααα+++==---,即.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量;由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值,其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ;由TQ A Q =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3,所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由特征值和特征向量的定义知,3λ=是矩阵A 的特征值,T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α,其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==,即11220,0A A αααα=⋅=⋅,而且12,αα线性无关,所以0λ=是矩阵A 的二重特征值,12,αα是其对应的特征向量,对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+,其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵,所以α与12,αα正交,所以只需将12,αα正交.取 11βα=,()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化,得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭, 令 []123,,Q ηηη=,则1T Q Q -=,由A 是实对称矩阵必可相似对角化,得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以T 31110011101110A Q Q ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=Λ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭,则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ) Cov(,)X Y ;(Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布,然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 (I ) 设Y 的分布函数为()Y F y ,即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤,则 1) 当0y <时,()0Y F y =;2) 当01y ≤<时,(2()()Y F y P X y P X =<=<<0d 4x x =+=⎰3) 当14y ≤<时,(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<1011d d 242x x -=+=⎰. 4) 当4y ≥,()1Y F y =. 所以01()(),140,Y Yyf y F y y<<⎪'==≤<⎪⎩其他.(II)22232 Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX==--=-,而02101d d244x xEX x x-=+=⎰⎰,22022105d d246x xEX x x-=+=⎰⎰,33023107d d248x xEX x x-=+=⎰⎰,所以7152Cov(,)8463X Y=-⋅=.(Ⅲ)1,42F⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d24x--==⎰.(23)(本题满分13分)设总体X的概率密度为(),01,;1,12,0,xf x xθθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n,...,X X X为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值12,...,nx x x中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计;(Ⅱ)求θ的最大似然估计【分析】利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】(Ⅰ)因为()12013(;)d d1d2EX xf x x x x x xθθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰,令32Xθ-=,可得θ的矩估计为32Xθ=-.(Ⅱ)记似然函数为()Lθ,则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=- 个个. 两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--,令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-,解得N nθ= 为θ的最大似然 估计.。
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学真题数3--03真题初步答案
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三答案一、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 1解: 记(1)1()n n n u n -+= 2(1)22121lim lim()lim()122n n n n n n n u n n-→∞→∞→∞++===21(1)2122lim lim()lim()12121n n n n n n nu n n ---→∞→∞→∞===--所以lim 1n n u →∞=.(2) 32e解:由()()f x f x e '=,有 ()()2()()()()f x f x f x f x ee f x e '''''=== 2()2()2()3()()()(2())2()2f x f x f x f x f x e e f x e f x e ''''''====以2x =代入,得3(2)3(2)22f f e e '''==.(3) 42dx dy -解:方法1:由微分形式不变性,有222222(4)(4)(4)(82)dz f x y d x y f x y xdx ydy ''=--=--(1,2)(0)(84)4-2dzf dx dy dx dy '=-=方法2:求偏导数,22(4)8,zf x y x x∂'=-∂g 22(4)(2y)y z f x y ∂'=--∂. 以11,2,(0)2x y f '===,代入z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂便得如上填. (4) 1 -11 1⎛⎫⎪⎝⎭解:由2BA B E =+化得()2B A E E -=,显然 A E -可逆,且 112E()2()B A E A E --=-=-其中 2 1 1 0 1 1-1 20 1-1 1A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 11 -11() 1 12A E -⎛⎫-= ⎪⎝⎭1 -1 1 -11B2 1 1 1 12⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(5)19解: {}{}{}{}max(,)11,111p x y p x Y p x p Y ≤=≤≤=≤≤=1133⋅=19.(6)2解:因为2()()E S D X =,故只要计算()D X . X 概率密度()f x 是偶函数,所以()0E X =222220()()[()]()()2()D X E X E X E X x f x dx x f x dx +∞+∞-∞=-===⎰⎰202x x e dx ∞-==⎰.二、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)A解:方法1:因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加 ()0,f x ''> 则()f x 是凹的0x >V 又,故0dy y <<V . 方法2:用两次拉格朗日中值定理 000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--V V V 0()()f x f x x ξ''=-V V0()()f x x ηξ''=-V 其中000,x x x x ξηξ<<+<<V由于()0f x ''>,从而0y dy ->V 又由于0()0dy f x x '=>V ,故选[]A(8) C解:因为()f x 在0x =处连续,所以2202220(0)lim ()lim ()lim ()()lim 0x h x h f f x f x x h f h f h h h+→→→→=====又22200()(0)()limlim 1,0h x f x f f h x h x h+→→-==- 所以(0)f +'存在,故选[C ].(9)D解:题设1n n a ∞=∑收敛,所以11n n a ∞+=∑也收敛,所以11()n n n a a ∞+=+∑收敛,从而112n n n a a ∞+=+∑也收敛.[]D 选.(10) B解:线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解.因为12()()y x y x ≠,所以12(()())y x y x -是齐次微分方程的一个非零解,C 是任意常数,所以12(()())C y x y x -是对应的齐次微分方程的通解.再加上原非齐次方程的一个特解,便得原非齐次方程的通解,[B ].(11) D解:引入函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+,有000000000000000000(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0,(,)0[]x x xy y y y y x y x y y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y f x y D λλϕλϕϕϕϕλϕϕ'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-=''''≠≠Q F =F =F =代入(1)得今则故选(12) A【考点】本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.解:方法1:若12,,,s αααL 线性相关,则存在不全为0的数12s ,,,k k k L 使得11220s s k k k ααα+++=L用A 左乘等式两边,得11220s s k A k A k A ααα+++=L于是12,,,s A A A αααL 线性相关.方法2:如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. 12,,,s αααL 线性相关⇔ 12(,,,)s r s ααα<L .2.()()r AB r B <.矩阵1212(,,,)(,,,)s s A A A A αααααα=L L ,因此1212(,,,)(,,,)s s r A A A r s αααααα≤<L L由此马上可判断答案应该为[A ]. (13) B解:用初等矩阵在乘法中的作用得出将A 的第2行加到第1行得B ,即 110010001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=PA将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,即110010001C B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 记 BQ 因 PQ =110010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E =,故1Q P -=从而 11C BP PAP --== ,故选[B ]. (14)A【考点】正态分布的基本性质和正态分布的标准化技巧 解:11111(1)(),X P X P μμσσ--<=<随机变量11-X μσ~(0,1)N ,且其概率密度函数是偶函数.故111111*********[()(0)]2()1X X P P μμφφφσσσσσσ⎧⎫⎧⎫--⎪⎪<=<<=-=-⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭.同理221(1)2()1P Y μφσ-<=-因为()x φ是单调函数,当12{||1}{||1}P X P Y μμ-<>-<时,112()1φσ->212()1φσ-,即1211σσ>,即12σσ>,故选[A ].三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) 解:(1)1sin()lim (,)lim [1arctan y y xy y yg x f x y xy xπ→+∞→+∞-==-+,由于0x ≠,所以 lim sinlim ,y y xxy y x yyπππ→+∞→+∞==g11limlim ,11y y y xy x x y→+∞→+∞==++所以11()arctan xg x x xπ-=-. 200022200222011arctan 2lim ()lim()limarctan arctan 112arctan 1lim lim 21121lim .21x x x x x x x x x x g x x x x xx x x x x x x x x x x x ππππππ++++++→→→→→→--+=-=-+-++-+++==+()等洛()()()(16)解:10Ddy =⎰⎰3202)03y y x dy =--⎰12023y dy =⎰29=.(17) 证:令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0x π<<时,()f x 单调增加(严格)()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+ ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴ 单调减少(严格)又()cos 0f ππππ'=+=,故0()0()x f x f x π'<< >时则单调增加(严格)()()b a f b f a >>由则得证.(18) 解:(1)设所求的曲线方程为()y y x =,按题意,在其上任意一点(,)P x y 处的切线斜率y '与OP 的斜率yx的差等于(0,0)ax a x >≠,即有y y ax x '-=.并且有初始条件(1)0y =.解之,按一阶线性微分方程解的公式,有11ln ln [][][]()dxdx x x x x y e axe dx C e axe dx C x adx C x ax C --⎰⎰=+=+=+=+⎰⎰⎰以上1dx x ⎰不写成ln x 而可以写成ln x 的原因是,题中有初始条件(1)0y =,x 取在1处 而微分方程的解应是连续的,题设0x ≠,故其解只能取在包含1x =而不跨过0x =区间,故0x >,因此ln x 可以写成ln x .再由(1)0y =定出C a =-,于是所求的曲线方程为 (1),0y ax x a =->. (2) 直线y ax =与曲线(1)y ax x =-的交点(0,0)与(2,2)a . 直线y ax =与曲线(1)y ax x =-所围平面图形的面积222004()[(1)][2]3S a ax ax x dx ax ax dx a =--=-=⎰⎰按题意,4833a =,故2a =.(19) 222tan ln(1),11x axc x x x x -+-≤≤解:记-121(-1(2-1)n n n xu n n +=), 有2321-121(-1(1)(21)(-1(2-1)limlim n n n n n n n n xu n n x x u n n +++→∞→∞++==)) 故知当21x <即1x <时,原级数绝对收敛;当21x >,即1x >时,原级数通项不趋于0,级数发散,所以收敛半径1R =.在1x =±处-1(-1(2-1)n n u n n ±=),级数1n n u ∞=∑绝对收敛,故收敛域为[1,1]-.为求和函数,应先在收敛区间内进行,由 -121-1211(-1(-1(2-1)(2-1)n n n n n n x x x n n n n +∞∞===∑∑)) 令-121(-1()(2-1)n n n xf x n n ∞==∑)有 -12-12-121111(-1(-12(-1()()()(2-1)(2-1)2-1n n n n n n n n n x x xf x n n n n n -∞∞∞==='''===∑∑∑)))-121-121-1221112(-12(-1()()()2(-12-12-1n n n n n n n n n x x f x x n n --∞∞∞-===''''===∑∑∑)))2222(-11n nn x x∞===+∑). 再倒回去,有 202()(0)()02arctan 1xxf x f f t dt dt x t '''=+=+=+⎰⎰()(0)()02arctan xxf x f f t dt xdt '=+=+⎰⎰=22022[arctan ]2arctan -ln(1)01xx tdt x t x t -=++⎰. 于是 -121221(-12arctan -ln(1),11(2-1)n n n xx t x x x n n +∞==+-<<∑). 又因在1x =±处,级数收敛,右边和函数的表达式在1x =±处连续,因此,在1x =±处上式仍成立,即有()()1212211()2tan ln(1),1121n n n x s x x axc x x x x n n -+∞=-==-+-≤≤-∑.(20) 解:方法1:记1234[,,,]A αααα=,则1234123412341234(10)1234123412341234a a a a a a aa+++=+++++ 31234000(10)(10)000000a a a a a a=+=+于是当0a =或10a =-时,1234,,,αααα线性相关.当0a =时,1α为1234,,,αααα的一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===. 当10a =-时,对A 作初等行变换.92349234183410100012741001001236100010A ----=→---12349234000011001100[,,,]101010101111ββββ---→→=----由于234,,βββ为1234,,,ββββ的一个极大线性无关组,且1234ββββ=---,故234,,ααα 为1234,,,αααα的一个极大线性无关组,且1234αααα=---.方法2:记1234[,,,]A αααα=,对A 施以初等行变换,有12341234123400123400123400a a a a a A B a a a aaa+++-=→=+-+-当0a =时,A 的秩为1,因而1234,,,αααα线性相关,此时1α为1234,,,αααα的一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===.0a ≠时,再对B 施以初等行变换,有123412341000011001100[,,,].10101010100111a a B C γγγγ++--→→==----如果10a ≠-,C 的秩为4,故1234,,,αααα线性无关;如果10a =-时,C 的秩为3,故1234,,,αααα线性相关.由于234,,γγγ是1234,,,γγγγ的一个极大线性无关组,且1234γγγγ=---,于是234,,ααα是1234,,,αααα的一个极大线性无关组,1234αααα=---.(21) 解:(1) 由A 的每行元素之和为3,有(1,1,1)(3,3,3)T TA =故,0(1,1,1)Tα=是A 的特征向量,特征值为3.又12,αα都是0AX =的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于12,αα线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:0c α, c 0≠.属于0的特征向量: 1122c c αα+,12,c c 不都为0. (2)将0α单位化,得0()333T η=. 对12,αα作施密特正交化,得1(0, )22T η=-,2(Tη=. 作123(,,)Q ηηη=,则Q 是正交矩阵,并且-13 0 00 0 00 0 0T Q AQ Q AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭(3)由TQ AQ =Λ,其中1T Q Q -=0003TA Q Q⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0003330000333333⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦666333()()(())222T TA E Q Q E Q E Q-=Λ-=Λ-6613233()022332TQ E Q Q Q-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6666323333()()()222232T T TQ Q QEQ QQ E=⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (22)解:(Ⅰ)20,0(1),01()()()(2),141,4YyyF y P Y y P X yyy<⎧⎪≤<⎪=≤=≤=⎨≤<⎪⎪≤⎩式式⎰⎰=+=≤≤-=-yyydxdxyXyP434121)()1(式;⎰⎰+=+=≤≤-=-yydxdxyXyP141214121)()2(式。
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2006年考研数学(三)真题一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()2____.f '''=(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =(4)设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B . (5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则2____.ES =二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ](8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h→=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ](10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ ](11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ ] (12)设12,,,s αααL 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s αααL 线性相关,则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关,则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关,则12,,,s A A A αααL 线性相关.(D) 若12,,,s αααL 线性无关,则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ ](13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)T C P AP =. (D)TC PAP =. [ ] (14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ] 三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. (16)(本题满分7分)计算二重积分d Dx y ,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.(17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. (19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x . (20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ)Cov(,)X Y ;(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计2006年考研数学(三)真题解析二、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭,而数列{}(1)n -有界,1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1lim(1)ln 0nn n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭.(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知,()()ef x f x '=,两边对x 求导得()()()2e()ef x f x f x f x '''==,两边再对x 求导得 ()()23()2e()2ef x f x f x f x ''''==,又()21f =,故 ()323(2)2e 2e f f '''==.(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一:因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx ∂'=-⋅=∂,()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂,所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二:对()224z f x y=-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--, 故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.(4)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B 2 .【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设,有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=,而11211A E -==-,所以2B =.(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知,X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型,也可如下计算,如下图:则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则22.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰, 22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e2e d 2e 2x x xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰,所以 ()22202DX EX EX =-=-=,又因2S 是DX 的无偏估计量,所以 22ES DX ==.二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .[ A ]【分析】 题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知,函数()f x 单调增加,曲线()y f x =凹向,作函数()y f x =的图形如右图所示,显然当0x ∆>时,00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>,故应选(A).(8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h →=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ,利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性. 【详解】由()22lim1h f h h→=知,()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续,则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =,则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在,故本题选(C ). (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ D ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1nn a∞=∑收敛知11n n a∞+=∑收敛,所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛,故应选(D). 或利用排除法: 取1(1)nn a n=-,则可排除选项(A),(B);取(1)nn a =-.故(D)项正确. (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ B ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解,所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-,故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-,故应选(B).【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解,Y 是对应齐次微分方程的通解.(11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ D ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ(0λ是对应00,x y 的参数λ的值)取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+,并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ,则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩, 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ,得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.(因为(,)0y x y ϕ'≠),若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.故选(D).(12)设12,,,s αααL 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s αααL 线性相关,则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关,则12,,,s A A A αααL 线性无关.(C) 若12,,,s αααL 线性无关,则12,,,s A A A αααL 线性相关.(D) 若12,,,s αααL 线性无关,则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα=L ,则12(,,,)s A A A AB ααα=L .所以,若向量组12,,,s αααL 线性相关,则()r B s <,从而()()r AB r B s ≤<,向量组12,,,s A A A αααL 也线性相关,故应选(A).(13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)TC P AP =. (D)TC PAP =. [ B ]【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则有1C PAP -=.故应选(B).(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数,则1211σσ>,即12σσ<.故选(A).三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解,此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限;第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果,含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ (通分) 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====(16)(本题满分7分) 计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数,“先x后y ”积分较容易,所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x -=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰ (17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<, 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,sin 0x x x π<<>时),故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积,确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =,则由题设可得 y y ax x '-=,这是一阶线性微分方程,其中1(),()P x Q x ax x=-=,代入通解公式得 ()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰,又(1)0f =,所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =(>0a )所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰,故2a =.(19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-,则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时,所给幂级数收敛;当1x >时,所给幂级数发散;当1x =±时,所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----,均收敛, 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内,()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑,而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑, 所以 111201()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t ''''-===+⎰⎰,又1(0)0s '=,于是 1()arctan s x x '=.同理1110()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xxt t t t x x x t =-=-++⎰, 又 1(0)0s =,所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛,且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续,所以()s x 在1x =±成立,即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+,[]1,1x ∈-. (20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ;用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ,则312341234(10)12341234aa A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时,1234,,,αααα线性相关.当0a =时,显然1α是一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===; 当10a =-时,1α 2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭,由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-,所以123,,ααα为极大线性无关组,且123441230αααααααα+++==---,即.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量;由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值,其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ;由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3,所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由特征值和特征向量的定义知,3λ=是矩阵A 的特征值,T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α,其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==,即11220,0A A αααα=⋅=⋅,而且12,αα线性无关,所以0λ=是矩阵A 的二重特征值,12,αα是其对应的特征向量,对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+,其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵,所以α与12,αα正交,所以只需将12,αα正交. 取 11βα=,()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化,得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭, 令 []123,,Q ηηη=,则1T QQ -=,由A 是实对称矩阵必可相似对角化,得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以T31110011101110A Q Q ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=Λ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭,则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ) Cov(,)X Y ;(Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布,然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 (I ) 设Y 的分布函数为()Y F y ,即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤,则1) 当0y <时,()0Y F y =;2) 当01y ≤<时,(2()()Y F y P X y P X =<=<<0d 4x x =+=⎰3) 当14y ≤<时,(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<1011d d 242x x -=+=⎰.4) 当4y ≥,()1Y F y =. 所以1()()40,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤<⎪⎩其他.(II ) 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-,而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰,22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰, 3323107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰, 所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】(Ⅰ)因为()1213(;)d d 1d 2EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰, 令 32X θ-=,可得θ的矩估计为 32X θ=-).(Ⅱ)记似然函数为()L θ,则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-L L 1424314444244443个个. 两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--,令d ln()d1L N n Nθθθθ-=-=-,解得Nnθ=)为θ的最大似然估计.。