第四章随机变量的数字特征习题

第四章 随机变量的数字特征

一、填空题：

1. 设随机变量ζ~B(n,p) ,且5.0=ζE ，45.0=ζD ，则n= , p= 。

2. 设随机变量ξ表示10次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为0.4，则)(2

ξE = 。 3. 已知随机变量ξ的概率密度为1

22

1

)(-+-=

x x

e x π

ϕ（+∞<<∞-x ），则

=)(ξE ，=)(ξD 。

4. 设随机变量ξ),(~b a U ，且2)(=ξE ，3

1)(=

ξD ，则=a ，=b 。

5. 设随机变量ζ,有10=ζE ，25=ζD ，已知 0)(=+b a E ζ ，1)(=+b a D ζ 则 a= , b= , 或 a= , b= 。

6. 已知离散型随机变量ζ服从参数为2的普哇松分布，则随机变量23-=ζη的数学期望=ηE 。

7. 设随机变量1ξ]6,0[~U ，2ξ)2,0(~2

N ，且1ξ与2ξ相互独立，则

=-)2(21ξξD 。

8. 设随机变量n ζζζ,,,21 独立，并且服从同一分布。数学期望为a , 方差为2

σ，

令 i n

i n ζζ∑==1

1 ，则 =ζE ，=ζD 。

9. 已知随机变量ζ与η的方差分别为49=ζD ， 64=ηD ， 相关系数

8.0=ζηρ，则=+)(ηζD ，=-)(ηζD 。

10. 若随机变量ζ的方差为004.0)(=ξD ，利用切比雪夫不等式知

{}≥<-2.0ξξE P 。

二、选择题：

1. 设随机变量ζ的函数为b a +=ζη，（a , b 为常数），且ζE ，ζD 均存在，则必有（ C ）。

A. ζηaE E =

B. ζηaD D =

C. b aE E +=ζη

D. b aD D +=ζη

2. 设随机变量ζ的方差ζD 存在，则=+)(b a D ζ（ B ）（a , b 为常数）。

A. b aD +ζ

B. ζD a 2

C. b D a +ζ2

D. ζD a

3. 如果随机变量ζ~),(2σμN ，且3=ζE ，1=ζD ，则=≤<-)11(ζP （ D ）.

A. 1)1(2-Φ

B.)4()2(Φ-Φ

C.)2()4(-Φ--Φ

D.)2()4(Φ-Φ

4. 若随机变量ζ服从指数分布，且2

5.0=ζD ，则ζ的数学期望=ζE （ A ）.

A.

21 B. 2 C. 4

1

D. 4 5. 设随机变量ζ的分布函数为⎪⎩

⎪⎨⎧>≤≤<=1

,110,

,

0)(3

x x x x x F ，则=)(ξE （ B ）. A.

dx x ⎰

+∞

4

B.

dx x ⎰1

2

3 C. ⎰⎰+∞

+1

1

4

xdx dx x

D.

dx x ⎰

+∞

23

6. 设随机变量ζ的期望ζE 为一非负值，且2)12

(

2

=-ζE ，2

1

)12

(

=

-ζ

D ，则

=ζE （ C ）

。 A. 0 B. 1 C. 2 D.

8

7． 随机变量ζ与η相互独立，且4)(=ξD ，2)(=ηD ，则

=+-)523(ηξD （ D ）

。 A. 8 B. 16 C. 28 D. 44

8. 如果ζ与η满足)()(ηζηζ-=+D D ，则必有（ B ）。

A. ζ与η独立

B. ζ与η不相关

C. 0=ηD

D. 0=⋅ηζD D 9. 设随机变量ζ与η的相关系数为1=ξηρ，则（ D ）。

A. ζ与η相互独立

B. ζ与η必不相关

C.{

}12

=++=c b a P ξξη D. {}

1=+=b a P ξη

三、计算题：

1. 设随机变量ζ的分布律为

求)(ζE ，)(2

ζE , )53(2

+ζ

E ，

)12(-ζD

2．三枚硬币，用ξ表示出现正面的个数，试求3

ξη=的数学期望)(ηE 。 3.

(此种题一般为均匀分布)某公共汽车站每隔10分钟有一辆车经

过，某一乘客到达车站的时间是任意的，该乘客的候车时间（单位：分钟）是一个随机变量ζ，求ζ的数学期望与标准差。

4. 设随机变量的密度函数为⎩⎨⎧<=其它

,01

,)(2x Ax x ϕ，

求:（1）常数A ; (2) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤

21ξP ; (3) )(ξE ,)(ξD 5. 设随机变量)(~λπξ,且已知1)]2)(1[(=--ξξE ，求λ。

6. 设ζ为一个随机变量。已知1=ζE ，1)2

(=ζ

D ，求 2

)1(-ζE 。

7. 设随机变量ζ服从指数分布，且方差3=ζD ，写出ζ的概率密度，并计算

)31(≤<ζP 。

8. 已知随机变量ζ服从参数为1的指数分布，求随机变量ζ

ζη2-+=e

的数学期

望。

9. 设圆的半径ζ服从[0，1]内的均匀分布，求其面积η的数学期望。

10. 设随机变量ζ与η的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧

<

<=其它,

010,2)(2θθϕx x x ，

若θ

ηζ1

)2(=

+c E ，求常数c 。

11. 设三台仪器出现故障的概率分别为1P ，2P ，3P ，求出现故障的仪器数的数学期望和方差。

12. 掷10颗骰子，假定每颗骰子出现1至6点都是等可能的，求10颗骰子的点数和

的数学期望与方差。 13. 设4=ζD ，1=ηD ，6.0=ζηρ 求 )23(ηζ-D 。

14. 设二维随机变量（ηξ,）的联合概率分布为 η ξ 0 1

0 3625 365 1 36

5

36

1 求：（1）)(ξE ，)(ηE ；（2）)(ξηE ；（3）),cov(ηξ；（4）ξηρ。