线性方程组习题课

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线性代数第3章_线性方程组习题解答

习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量），令1=z ，得到方程组的一个基础解系T)1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T)0,0,1,0,2(1-=ξ，T)0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量），令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？解原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量），令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量），令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ．解方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解．（2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ，对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解，与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩，即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量），令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量），令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解由已知，1(2,3,1,0)Tξ=-和2(2,4,0,1)T ξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a，的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α, ,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ）若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解；（B ）若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解；（C ）若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ）若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（ⅰ）AX O =；（ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）．（A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解；（B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解；（C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解；（Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解；（Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解；（Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ．解（法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩，对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解（法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关．又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可．由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证（１）反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．（2）反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********，的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r nr n r A A A A 当当当. 证若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =．证因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。

《线性代数期末复习》吕代数ch4习题课新共30页文档

1 0
0 0 0
1 1 0 0
0
0 1 1 0
0
0 0 1 1
0
0 0 0 1
0
a1
a2
a3
a4
5
i 1
ai
原方程组有解的充要条件是：R(A,b) R(A)
即a1 a2 a3 a4 a5 0
4 解的结构
CH4 线性方程组
设η*是Ax=b的一个解, xc是Ax=0的通解,则
Ax=b的通解x可表成: xxc
CH4 线性方程组
例设1,2,3 是Ax=0的基础解系, 则 12,23,31
也是基础解系.
证明: (1) 容易证明: 12,23,31是解.
(2) 定义法证明线性无关. (3) 含有三个向量. 证毕.
例设A是n阶方阵, |A|=0，A中有一个代数余子式Aij≠0，则Ax=0的基础解系所含向量的个数为______.
2 解的判别: (1) 齐次线性方程组一定有解,即零解;
1,2,…,n是A的列向量
(2) 齐次线性方程组有非零解 (3) 齐次线性方程组只有零解
1,2,,n线性相关 1,2,L,n线性无关
R(A)n
R(A)n
当mn时
| A|0
当mn时
| A|0
CH4 线性方程组
例齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是( c ). (a)系数矩阵A的行向量组线性相关; (b)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关; (c)系数矩阵A中必有一个列向量是其余列向量的线性组合; (d)系数矩阵A的任意一个列向量都是其余列向量的线性组合.
解: 因为|A|=0, R(A)<n. 又因为Aij≠0, R(A) ≥n-1. 所以, R(A)=n-1, 从而Ax=0的基础解系所含向量的

解决线性方程组的练习题

解决线性方程组的练习题1. 解题思路：线性方程组是由多个线性方程组成的一组方程，我们通过求解方程组中的未知数，即找到使得所有方程都成立的解，来解决线性方程组。

在解决线性方程组的过程中，我们可以借助高斯消元法、矩阵法等方法来简化计算步骤，提高解题效率。

2. 练习题一：解下列线性方程组：2x + 3y = 84x - y = 5解答：首先，我们可以通过观察发现，第二个方程可以很容易通过乘以一个适当的常数使系数与第一个方程相加减而消去y，然后我们可以继续解得x的值。

将第二个方程乘以2，得到：8x - 2y = 10将这个方程与第一个方程相加，得到：2x + 3y + 8x - 2y = 8 + 1010x + y = 18现在，我们得到一个只包含x和y的新方程，通过解这个方程即可求得x和y的值。

将上述方程重新整理，得到：y = 18 - 10x将y的值代入第一个方程中，得到：2x + 3(18 - 10x) = 82x + 54 - 30x = 8-28x = -46x = 46/28x ≈ 1.643将x的值代入y的表达式中，得到：y = 18 - 10(1.643)y ≈ 0.569因此，这个线性方程组的解为：x ≈ 1.643y ≈ 0.5693. 练习题二：解下列线性方程组：3x - y + 2z = 52x + y - z = -3x + 4y + z = 4解答：对于这个线性方程组，我们可以借助矩阵法来进行求解。

首先，我们可以将这个方程组表示为增广矩阵的形式：[ 3 -1 2 | 5 ][ 2 1 -1 | -3 ][ 1 4 1 | 4 ]然后，通过对矩阵进行初等行变换，将其变换为行阶梯形矩阵。

通过对第二行乘以2，并与第一行相减，得到新的矩阵：[ 3 -1 2 | 5 ][ 0 3 -3 | -11 ][ 1 4 1 | 4 ]然后，通过对第三行减去第一行，并对第二行除以3，得到新的矩阵：[ 3 -1 2 | 5 ][ 0 1 -1 | -3.667 ][ 0 5 -1 | -1 ]最后，通过对第三行减去5倍的第二行，得到新的矩阵：[ 3 -1 2 | 5 ][ 0 1 -1 | -3.667 ][ 0 0 4 | 13.667 ]现在，我们得到了一个上三角矩阵，我们可以通过回代法来求解未知数。

线性方程组习题课总课件

如r( A) r( A B) n,则方程组有唯一解；如r( A) n，则方程组有无穷多解。
第16页，共33页。
（四）线性方程组的解的结构
1、齐次线性方程组解的结构
它的解有如下性质：
1）如果v1 , v2是线性方程组的两个解
则v1
v
也是它的解
2
;
2)如果v1是线性方程组的解
则kv1也是它的解, k R;
成立,
则称向量组
1，，
线性相关；
s
如果(a)当且仅当在k1 ks 0
时成立, 则称向量组 1，， s线性无关.
定义4：设有两个向量组 :
1，, s ( A);
，
1
,
t
(B)
如果组( A)中每个向量都可由组 (B)线性表示，
则称向量组( A)可由向量组(B)线性表示
第3页，共33页。
定义5：如果向量组（A）可由向量组（B）线性表
程
Step4.写出非齐次线性方程组的同解方程组
组
求
Step5.求出非齐次线性方程组的特解
解
过
Step6.写出齐次线性方程组的同解方程组
程
Step7.求出齐次线性方程组的通解
Step8.写出非齐次线性方程组的通解
怎样求？
第22页，共33页。
第三章主要的问题类型：
1、围绕向量组的线性相关性（判别相关性或证明相关性）
程
Step6.求出基础解系
怎样求？
Step7.写出通解
第20页，共33页。
2、非齐次线性方程组解的结构
（1）如果 u1 是 Ax b的一个解，v1 是其导出组
性质
的一个解，则 u1 v1 是 Ax b的一个解; （2）如果 u1，u2 是 Ax b的两个解，

线性代数课后习题与答案

《线性代数》课程习题第1章行列式习题 1.11．计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2．计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3．用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习题 1.21．计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习题 1.31．解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习题五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004，（2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------，（5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ，求3A -2B +C 。

线性代数习题课

c1,n c2,n
1
cr, 1
r
1
,
2
cr, 0
r
2
,
,
nr
cr 0
,
n
.
0 1
0
0
0
1
（２）求非齐次线性方程组的特解
若非齐次线性方 Ax程 b的组秩R(A) R(B)r,而方程组中未知数数为的 n,那个么对增广矩B阵进行初等行,使变其换成为行最简矩阵.
aT a1, a2, , an
向量的相等设 a T (a 1 ,a 2 , ,a n )b ,T (b 1 ,b 2 , ,b n )
则 a T b T a i b i(i 1 ,2 , ,n ) 零向量
分量全为0的向量称为零向量． a T O a i 0 ( i 1 ,2 , ,n ) aTO ai中至少有 0,(i一 1,2,个 ,n)不负向量
定义解空 S的间基称为 (1)的方基程础组 . 解
１１非齐次线性方程组
向量方程
非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
(3)
am1 x1 am2 x2 amn xn bm ,
１向量的定义
定义 n个有次序的a数 1,a2,,an所组成的数组称n为维向量 .这n个数称为该向量,的分第i个数ai 称为第 i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量．
分量全为复数的向量称为复向量．
n维向量写成列的形 ,称式为列向量 ,即
a1
a
a2
an
n维向量写成行,的称形为式行向 ,即量

线性代数(江西高校出版社)第一章习题课

i行展开，得
D1 ai1 Ai1
ai1 Ai1
ai , j 1 Ai , j 1 aij 1 Aij ai , j 1 Ai , j 1
ai , j 1 Ai , j 1 aij Aij ai , j 1 Ai , j 1
ain Ain
7
24 A 24 24 4 12 7 180 .
2
【方法归纳】本题属于抽象型行列式的计算问题，
求
解的关键是灵活运用行列式的基本性质.
13
1
x
x2
x n1
1
例7 设 P x 1
a1
a2
a12
a22
a1n1
a2n1 ，其中 a1 , a2 ,
30
2
1
2
2
2
3
n 1
1
n 1
2
n 1
3
1 an1 an21
, an1 是
ann11
互不相同的数.
(1)由行列式定义，说明 P x 是一个 n 1次多项式；
(2)由行列式性质,求 P x 0 的根.
14
解 (1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，
所以若
按行列式的第一行展开，
含有 x n1 的对应项的系数恰为
a1 j 1
a2 j 1
a1n
a2 n
an1
anj 1
ann
，
将D1按第j列拆分成两个行列式，再把第二个行列式按第j列
展开，得
19
D1
a11
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2 n

第二章-线性方程组习题解答

第二章线性方程组习题解答习题2.1解下列线性方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+.053,12,1321321321x x x x x x x x x解：对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300002101111342002101111015311211111 由最后一行可得原方程组无解.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+=-+.153,22,132,3321321321321x x x x x x x x x x x x解：对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0000210030102001000021003010501100001050051103111102205230511031111513212113123111原方程组有唯一解.2,3,2321===x x x（3）⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++.165105,8362,42432143214321x x x x x x x x x x x x解：对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10100310203102140400013204112116511058316241121⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→10100232101000001 方程组有无穷多解，其通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+==,,1,223,04321c x x c x x 其中c 为任意数.（4）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--.032,03,0432143214321x x x x x x x x x x x x解对方程组系数矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------000021001011210042001111321131111111 方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=,,2,,242312211c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.习题2.21.用初等行变换将下列矩阵化成阶梯形矩阵，并求它们的秩.（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21110042220010251413027245310251102517245341302⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→0000021110010251秩为2.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000100117500104111750030000016000104111750101305004522000104111373104018174188701041)2(秩为3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000006310052010410013618600189300631005210410016128650281332063100520104100177326543214321631005201041001)3(秩为3.2.求下列各方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩.（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+=-+.8852,9934,7532,1278321321321321x x x x x x x x x x x x解对增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000011001191012781770077001191012781132042101191012781132051301791301278188529934753212781系数矩阵与增广矩阵秩均为3.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=-+-=++=+++.14,432,152,1224214314314321x x x x x x x x x x x x x解对增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3400056200313201221122200562003132012211222002512031320122111411413021510212211系数矩阵与增广矩阵的秩均为4.习题2.31.解下列各非齐次线性方程组.（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+-.3,053,32321321321x x x x x x x x x解对方程组增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---340031103111311098403111311205133111311105133112 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→4/31004/150100001 原方程组有唯一解43,415,0321-=-==x x x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-.52,12,12432143214321x x x x x x x x x x x x解由第一个方程和第三个方程可得原方程组无解（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=++-=++-.149132,21111784,72463,735424321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解对方程组增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----211521003525350035253500149132173542211117847246314913211491321211117847246373542 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000000017/510017/20210000000000757001491321因此原方程组有无穷多解，其通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==++=,,751,,7221242312211c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.2.解下列各齐次线性方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+-.33,053,022321321321x x x x x x x x x解对方程组系数矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---5001440311122513311311513122 系数矩阵秩为3，原方程组只有零解.即解为.0,0,0321===x x x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+.0111353,0333,04523432143214321x x x x x x x x x x x x解对方程组系数矩阵作初等行变换化为行简化阶梯形得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00003/73/8109/29/10100003/73/8103/23/10378307830452311135333134523原方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+-=,,,3738,92912413212211c x c x c c x c c x 其中21,c c 为任意数. （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=+-=+-.0,0,0,05416521642531x x x x x x x x x x x x x解对方程组系数矩阵作初等行变换化为行简化阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----001100201100101010010101001100100110101010010101011001110011101010010101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→10000000110000101001100120000201100101010010101 原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====-=,0,,,,,625141312211x c x c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.3.某工厂为两家企业加工3种零件，现3种零部件各有,1,2,3t t t 两家企业需要3种部件分别为t 4和t 2.用)3,2,1;2,1(==j i x ij 表示第i 家企业需要第j 种部件的数量，试列出ij x 所满足的方程组，并求解. 解根据题意可得ij x 所满足的方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=++=++12324231322122111232221131211x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000021110001100100201001011100011100100201001030010012111000000000011001002010010300100121110004000111其通解为.2,1,2,123222123132212232211x x x x x x x x x x --=-=-=++=4.当a 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3,)1(,2)3(321321321x a ax x a a x x a ax a x x x a （1）有唯一解.（2）有无穷多解.（3）无解?解法一：系数行列式为)1(33332333323130103)1(311213222222-=-+----=-+--+---=-+---+--=++-+a a aa aaa a a a a a a a a a a a a a a a a a （1）当,0≠a 且1≠a 时，方程组有唯一解.（2）当时1=a ，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++.346,1,12432131321x x x x x x x x 增广矩阵作初等行变换化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000032101101321011013210341611011214 方程组有无穷多解，其通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=,,23,1321c x c x c x 其中c 为任意数. （3）当0=a 时，原方程组为增广矩阵作初等行变换化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300001100213311001100213330301100213 因此方程组无解.解法二：对方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形.⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a aa a 331103133001233323311012333)1(3112132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-→a a a a a ar r a a a a a a a a a 33110361100123)2(331103330012322232⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--→)1)(39()1(003611001232222a a a a a a a (1)当,0≠a 且1≠a 时，系数矩阵与增广矩阵的秩都为3，方程组有唯一解. (2)当0=a 时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，方程组无解.(3)当1=a 时，系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，方程组有无穷多解.此时增广矩阵化为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000032101101000032103303000032100113其通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=,,23,1321c x c x c x 其中c 为任意数. 5.问当b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=++=++bx x x ax x x x x x x x x 321321321321453,7,132,632 （1）有唯一解.（2）有无穷多解.（3）无解？解：对方程组增广矩阵作初等行变换化为阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500002001351207015000020013516321185101331013510632145371111326321b a b a b a b a （1）当5,2=-≠b a 时方程组有唯一解，其解为0,13,20321==-=x x x . （2）当5,2=-=b a 时方程组有无穷多解，其通解为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=,,513,720321c x c x c x 其中c 为任意数. (3)当5≠b 时，方程组无解.总复习题2（A ）1.填空题（1）非齐次线性方程组（系数矩阵为n m ⨯矩阵A ，增广矩阵为B ）有唯一解的充分必要条件是n B r A r ==)()(.（2）线性方程组无解，系数矩阵为A ，且,3)(=A r 则增广矩阵的秩为=),(b A r 4 . （3）若n x x x ,,,21 取任意数都是齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,,0,0221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解，则系数矩阵A 的秩=)(A r 0 .（4）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=20224312a A 的秩为2，则=a 2 .方法一：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20011031211064031220224312a a a A .方法二：显然A 取1,2两行以及1,2两列的2阶子式不为0，要使A 的秩为2，则024812282224312||=-=+--=-=a a a A . 2.选择题（1）方程组⎩⎨⎧=+=+,0,02121x x x x λλ当=λ（ C ）时，方程组仅有零解.A.1-B. 1C. 2D.任意实数要使齐次线性方程组只有零解，则系数矩阵的秩为2，当1±=λ时秩为1.（2）当=k （ A ）时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+=-+)4)(3()2)(1(2242332321k k x k k x x x x x 无解.A. 2B. 3C. 4D. 5（3）A 为n m ⨯矩阵，,)(n m A r <=下列结论正确的是（ B ，D ) A.以A 为系数矩阵的齐次线性方程组仅有零解 B.以A 为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解 C.以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组仅有一解 D.以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有无穷多解系数矩阵的秩等于行数，增广矩阵的秩也等于行数，而且秩小于未知数的个数，因此有无穷多解.（4）对于非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,,,以下结论中，（B ）不正确.A.若方程组无解，则系数行列式D=0B.若方程组有解，则系数行列式0≠DC.若方程组有解，则方程组或者有唯一解或者有无穷多解D.系数行列式0≠D 是方程组有唯一解的充分必要条件（5）A 为n m ⨯矩阵，,)(r A r =下列结论中正确的是（ B )A.n r =时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解B.n m r ==时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解C.n r <时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有无穷多解D.n m =时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有解非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，当n r =时，若n m >，有可能增广矩阵为1+n .因此A,C 不正确，当n m =时，系数矩阵与增广矩阵秩未必相等.D 也不正确.（6）已知非齐次线性方程组的系数行列式为零，则（ D ）.A.方程组有无穷多解B.方程组无解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组可能无解，也可能有无穷多解（B ）1.用矩阵消元法解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-.552,12,12432143214321x x x x x x x x x x x x解：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000001100000121440002200011121551************ 方程组有无穷多解，其通解为⎩⎨⎧=-=124321x x x x ，其中32,x x 为自由未知量. （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=-++=-++=+++=-++.2255,123,1222,132,13243214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000291200156001351011321361350228401142013510113212125511123112221113211321 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00000010006/101006/100106/100010000001000156001351015701方程组有唯一解.0,614321====x x x x（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：对方程组系数矩阵作初等行变换化为阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----605751020191702019170987131272019170233298713127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→0000000017/2017/191017/1317/301 方程组有无穷多解，通解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=432431172017191713173x x x x x x ，43,x x 为自由未知数.（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+-+-=+-+=-+-.03724,0347,0532,02534321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：对方程组系数矩阵作初等行变换化为阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------152326071116002103471152326071116071317034713724347115322153⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→100072100021034711529007210002103471 方程组只有零解. 2.对方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++,3345,3622,323,15432154325432154321b x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x b a ,为何值时，方程组有解.在方程组有解时，求其解.解：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20000003622102511015622103622103622101111111334536221031123111111b a b a b a 当2,0==b a 时，方程组有解，其通解为54354325431,,,6223,52x x x x x x x x x x x ⎩⎨⎧---=+++-=为自由未知量. 3.d c b a ,,,满足什么条件时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+--=-+-=+++0,0,0,04321432143214321ax bx cx dx bx ax dx cx cx dx ax bx dx cx bx ax 只有零解？解：要使方程组只有零解，则系数矩阵秩为4，即系数行列式不为零.利用矩阵乘积的行列式等于行列式的积有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=------=a b cdb a d cc d a b d cb aa b cd b a d cc d a bd c b a a b cdb a dc cd a b dc b a D 2222222222222222220000000000d c b a dc b ad c b a d c b a ++++++++++++=42222)(d c b a +++=.而D 中4a 的系数为负，故22222)(d c b a D +++-=.在实数范围内，当d c b a ,,,至少一个不为零时，方程组只有零解.4.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02,0,0321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解：当且仅当系数矩阵秩小于3，即系数行列式为零时，方程组有非零解.)1(0011111211111--===λμμμλμμλD因此当,0=μ或1=λ时方程组有非零解.5.问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(,0)3(2,042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解：当且仅当系数行列式为零时，该方程组有非零解.)2)(3(001121232311111324212+--=--++---=----=λλλλλλλλλλλλD .因此当230-===λλλ或或时，方程组有非零解.（C ）1.设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,743,8234343212432114321b x x x x b x x x x b x x x x 证明此方程组对任意实数321,,b b b 都有解. 证明：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321323313233217840034210111144210342101111111171438234b b b b b b b b b b b b b b 系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，因此方程组对任意实数321,,b b b 都有解. 2.下图为一物流平衡图，其中1x 表示从站A 流向站B 的货物吨数，4x 表示从站B 流向站D 的货物吨数，20表示从站D 流向站C 的货物吨数等.如果要求在每一站流入吨数与流出吨数相等，问54321,,,,x x x x x 应如何选择？ABCDX 1X 2X 3X 4X 5 20解：根据题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=--=-+2020005342541321x x x x x x x x x x选取54,x x 为自由未知量得，.20,20,5342541x x x x x x x +=-=+=3.投入产出模型设甲，乙，丙3个部门组成一个经济系统.各部门生产满足系统内部和外部的需求，同时也消耗系统内部各部门的产品，如下表所示直接消耗系数表表中，甲部门那一行的0.4表示生产该部门的1元钱产品需消耗甲部门的产品0.4元，同样0.3表示生产甲部门1元钱的产品需消耗乙部门的产品0.3元，其余类似.（第二行乙消耗丙为0.2，否则丙生产出的将在系统内部全部消耗完）（1）求321,,y y y 与321,,x x x 的关系.（2）当321,,y y y 分别为40亿元，24亿元，16亿元时，求321,,x x x 及321,,z z z . 解：（1）根据题意可得⎪⎩⎪⎨⎧+--=-+-=--=.6.01.03.0,2.05.02.0,2.03.06.0321232123211x x x y x x x y x x x y （2）当321,,y y y 分别为40亿元，24亿元，16亿元时，可解得321,,x x x 分别为 232亿元，212亿元和178亿元.2.233.02.04.011111=---=x x x x z 亿元，类似可得2.211.022==x z 亿元6.352.033==x z 亿元.。

第4章线性方程组与向量习题课

b b1 0 2 1
5b x1 = a (b + 1) 2 x2 = b+1 2(b 1) x3 = b + 1
1 0
1 b 2 2b
1 c 1 x2 x1 = a x1 = a x2 = c . x3 = 0 x =0 3
由
b 2 1 a A → 0 b1 1 0 0 0 1 b 2 2b
b 2 1 a b 2 1 a A = 0 b1 1 0 → 0 b1 1 0 a b 1 b 3 2b 0 0 1 b 2 2b
( 1) a ≠ 0, b ≠ ±1, 方程组有唯一解；方程组有唯一解；
暨南大学珠海学院
( 2 ) a ≠ 0, b = 1, 方程组有无穷多解；方程组有无穷多解；
α 1 , α 2 , L , α m 线性相关
α1 x1 + α 2 x2 + L + α m xm = ο 有非零解．有非零解．
R ( A) < n , 其中 A = ( α 1 , α 2 , L , α n ) .
n个m维列向量 α1 , α 2 ,L , α n 线性相关个维列向量
暨南大学珠海学院
解：方法一,对方程组的系数矩阵作行初等变换，方法一对方程组的系数矩阵作行初等变换，对方程组的系数矩阵作行初等变换
1 1 q 1 1 q A = 1 2q 1 → 0 1 1 p p 1 1 0 0 q( p 1)
x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0.
线性表示且表法唯一. 线性表示且表法唯一. 线性相关，线性无关，例⒋设 α1 , α 2 , α 3 线性相关，α 2 , α 3 , α 4 线性无关，线性表出， α 问 α1 能否由 α 2 , α 3 线性表出， 4 能否由 α1 , α 2 , α 3 线性表出？线性表出？ Q 线性无关，线性无关，解： α 2 , α 3 , α 4 线性无关，∴α 2 , α 3 线性无关，又 Qα1 , α 2 , α 3 线性相关，线性相关，

第四章习题课线性代数

第四章习题课线性代数第四章向量组的线性相关性6．设21,a a 线性无关, b a b a ++21,线性相关,求向量b 用21,a a 线性表示的表示式.解由于b a b a ++21,线性相关, 所以存在不全为零的数21,k k ,使得2211212211)(0)()(a k a k b k k b a k b a k --=+?=+++.由于21,a a 线性无关,故021≠+k k ,否则由上式得, 00212211==?=+k k a k a k , 这与21,k k 不全为零矛盾.所以由221121)(a k a k b k k --=+得，.0,,,212122121211≠+∈+-+-=k k R k k a k k k a k k k b8．举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由m a a ,2线性表示.解设Te a )0,,0,0,1(11 ==, 032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关, 但1a 不能由m a a ,,2 线性表示.(2) 若有不全为0的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立, 则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关.解有不全为零的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 ,其中m e e ,,1 为单位坐标向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1均线性无关.(3) 若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.解由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )得0)()(111=++++m m m b a b a λλ (仅当01===m λλ ) m m ba b a b a +++?,,,2211 线性无关.取021====m a a a ,取m b b ,,1 为线性无关组(例如单位坐标向量m e e ,,1 ),满足以上条件,但不能说m a a a ,,,21 线性无关.(4) 若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ同时成立.解 T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2= ?-=?=+-=?=+21221121221134020λλλλλλλλb b a a 021==?λλ与题设矛盾.9．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.证明设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x0)()()()(443332221141=+++++++?a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,使得044332211=+++a k a k a k a k .取141k x x =+;221k x x =+;332k x x =+;443k x x =+; 由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,又044332211=+++b x b x b x b x 所以4321,,,b b b b 线性相关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=??x x x x 由01100011000111001=知, 此齐次方程存在非零解, 所以有不全为零的4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x ,则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.10．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组 r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.证明设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故==++=+++000221r r r k k k k k k=??????? ????????? ??0001001101121 r k k k因为0110011011≠= ,故方程组只有零解.则021====r k k k , 所以r b b b ,,,21 线性无关.12．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组表示.(2)---140113130********211.解---==14011313021512012211),,,,(54321a a a a a A 14132~r r r r --??????? ??------222001512015120122114323~r r r r ?+?---00000222001512012211，所以第1、2、3列321,,a a a 构成一个最大无关组．把A 化成行最简形矩阵),,,,(54321b b b b b B =.~A ??---00000222001512012211--=00000111001301001001~B 由于方程0=Ax 与0=Bx 同解,所以向量54321,,,,a a a a a 之间与向量54321,,,,b b b b b 之间有相同的线性关系.由于3214301000010300010131b b b b -+=-??????? ??+??????? ??=??????? ??-= 325010000100110b b b +-=+??????? ??-=??????-= 所以32143a a a a -+=,325a a a +-=.13．设向量组=131a a ,????? ??=322b a ,????? ??=1213a ,????=1324a的秩为2,求b a ,.解由于43,a a 的对应分量不成比例,所以43,a a 线性无关,其秩为2. 从而4321,,,a a a a 的秩为2?21,a a 可由43,a a 线性表示0),,det(431=a a a 且0),,det(432=a a a . 因为a a a a -=2),,det(431,b a a a -=5),,det(432,所以4321,,,a a a a 的秩为2?2=a ,5=b .14．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关.证明由于n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能由n a a a ,,,21 线性表示,不妨设:n nn n n n nn n n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ()()=nn n n n n n n k k kk k k k k k a a a e e e 2122212121112121两边取行列式，得()()==nn nn n n n n k k kk k k k k k a a a e e e E2122212121112121||,由=1||E ()021≠n a a a ,即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n ,故n a a a ,,,21 线性无关.15．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明必要性: 设b 为任一n 维向量, 则n 维向量组b a a a n ,,,,21 线性相关(其所含向量个数大于向量维数).因为n a a a ,,,21 线性无关,所以b 能n a a a ,,,21 线性表示.充分性: 因为任一n 维向量可由n a a a ,,,21 线性表示，所以单位坐标向量组n e e e ,,,21 能由n a a a ,,,21 线性表示.则na a a R n a a a R e e e R n n n n =?≤≤=),,,(),,,(),,,(212121 ,所以n a a a ,,,21 线性无关.16. 设向量组m a a a ,,,21 线性相关,且01≠a ,证明存在某个向量)2(m k a k ≤≤,使得k a可由121,,,-k a a a 线性表示.证明反证法,假设结论不成立.设02211=+++m m a k a k a k , )(* 因为m a 不能由121,,,-m a a a 线性表示,所以0=m k .)(*式变为0112211=+++--m m a k a k a k .因为1-m a 不能由221,,,-m a a a 线性表示,所以01=-m k .……同理可得, 0232====--k k k m m .所以)(*式变为011=a k . 由于01≠a ,所以01=k .综上可知, 021====m k k k ,所以m a a a ,,,21 线性无关,这与题设矛盾!从而假设不成立,原命题成立.17．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11 =，其中K 为r s ?矩阵，且A 组线性无关. 证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩r K R =)(.证明令),,(),,(11s r a a A b b B ==, 则有AK B =.必要性: 若B 组线性无关,则r B R =)(.由)()}(),(min{)()(K R K R A R AK R B R ≤≤=,故r K R ≥)(. 又K 为r s ?阶矩阵,则r K R ≤)(. 综上知,r K R =)(．充分性: 设r K R =)(.令02211=+++r r b x b x b x ,其中i x 为实数,r i ,,2,1 =.则有0),,,(121=r r x x b b b ,即00=?=AKx Bx .由于s a a a ,,,21 线性无关,所以s A R =)(,从而方程0=Ay 只有零解,故0=Kx .由于r K R =)(,则方程0=Kz 只有零解,所以0=x . 从而021====r x x x . 所以r b b b ,,,21 线性无关.20．求下列齐次线性方程组的基础解系: (3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx .解系数矩阵为)1,2,),1(,( -n n ,秩是1,未知数个数是n ,所以基础解系应含有1-n 个解向量. 原方程组即为1212)1(------=n n x x n nx x 取121,,,-n x x x 为自由未知量,令=??????? ??-100,,010,001121 n x x x 得n x n -=,1+-n , ,2-.所以基础解系为-+--=-21100010001),,,(121n n n ξξξ.21．设--=82593122A ,求一个24?矩阵B,使O AB =,且2)(=B R .解由于A 有2阶非零子式,故2)(=A R ,所以齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中应含有2个向量.设24?矩阵B 为),(21ξξ=B ,其中21,ξξ是4维列向量.O AB =,且2)(=B R01=ξA ,02=ξA ,且21,ξξ线性无关21,ξξ是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系.对A 实施初等行变换化为行最简形矩阵:--=82593122A ～?---8118510818101令=???? ??10,0143x x ,得-?????? ??=???81181,858121x x .所以-=???????? ??=1081181,01858121ξξ.故所求矩阵-=1001811858181B ．22．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11==ξξ.解显然原方程组的通解为+??????? ??=?01233210214321k k x x x x ,(R k k ∈21,) 即=+=+==1 4213212213223k x k k x k k x k x ,代入3,31241x k x k ==, 消去21,k k 得 ??=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.26．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：(2)-=+++-=-++=-+-.6242,1635,11325432143214321x x x x x x x x x x x x解对增广矩阵实施初等行变换化为行最简形矩阵.--------=00000221711012179016124211635113251~初等行变换B 由于2)()(==B R A R ,所以方程组有解.原方程组等价于??--=++-=2217112179432431x x x x x x . 取43,x x 为自由未知数,令???? ??=???? ??0043x x ,得原方程组的一个解.0021??-=η对应的齐次线性方程组等价于??-=+-=43243121712179x x x x x x . 令,20,0743???? ??????=???? ??x x 得其基础解系.2011,071921??-=??????? ??-=ξξ27．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量．且=54321η，=+432132ηη 求该方程组的通解．解由于系数矩阵的秩为3=r ，134=-=-r n ．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量.由于321,,ηηη均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得齐次解齐次解齐次解=??=-+-=+-6543)()()()()(23121321ηηηηηηη 为其基础解系向量，故此方程组的通解：+??????? ??=54326543k x ，)(R k ∈.30．设矩阵),,,(4321a a a a A =,其中432,,a a a 线性无关, 3212a a a -=,向量4321a a a a b +++=,求方程b Ax =的通解.解由于432,,a a a 线性无关,所以3)(≥A R .由3212a a a -=知321,,a a a 线性相关,故4321,,,a a a a 线性相关,从而3)(≤A R .综上可知, 3)(=A R .所以齐次方程0=Ax 的基础解系含有4-3=1个向量.022321321=+-?-=a a a a a a ,所以-=0121ξ是0=Ax 的一个非零解,从而构成其基础解系.又4321a a a a b +++=,故=1111η是b Ax =的一个解.所以方程b Ax =的通解是.,11110121R c c c x ∈+??????? ??-=+=ηξ31．设*η是非齐次线性方程组b Ax =的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: (1) r n -*ξξη,,,1 线性无关；(2) r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关. 证明(1) 设有关系式:0110=+++--*r n r n C C C ξξη (1)由于*η为特解，r n -ξξ,,1 为基础解系，故得C A C C C C A r n r n 00110)(==+++*--*ηξξη而由(1)式可得0)(110=+++--*r n r n C C C A ξξη ,故00=b C .而该方程组为非齐次线性方程组,得0≠b ,所以00=C . 代入(1)式得.011=++--r n r n C C ξξ由于r n -ξξ,,1 是基础解系从而线性无关,故.01===-r n C C 所以010====-r n C C C , 故r n -*ξξη,,,1 线性无关.(2) 设有关系式:0)()(110=+++++-*-**r n r n C C C ξηξηη (2)即0)(1110=++++++--*-r n r n r n C C C C C ξξη .由题(1)知, r n -*ξξη,,,1 线性无关,故2110=====+++--r n r n C C C C C C 0210=====?-r n C C C C ,所以r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关.32. 设s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解，s k k ,,1 为实数，满足121=+++s k k k .证明s s k k k x ηηη+++= 2211也是它的解.证明由于s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解. 故有 ),,1(s i b A i ==η 而s s s s A k A k A k k k k A ηηηηηη+++=+++ 22112211)(b k k b s =++=)(1所以s s k k k x ηηη+++= 2211也是方程b Ax =的解．33．设非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵的秩为r ，11,,+-r n ηη 是它的1+-r n 个线性无关的解(由题31知它确有1+-r n 个线性无关的解)．试证它的任一解可表示为112211+-+-+++=r n r n k k k x ηηη （其中111=+++-r n kk ）.证明设x 为b Ax =的任一解．由题设知：121,,,+-r n ηηη 线性无关且均为b Ax =的解．取11132121,,,ηηξηηξηηξ-=-=-=+--r n r n ，则它们均为0=Ax 的解．用反证法证明：r n -ξξξ,,,21 线性无关．假设它们线性相关，则存在不全为零的数r n l l l -,,,21 ,使得02211=+++--r n r n l l l ξξξ .即0)()()(11132121=-++-+-+--ηηηηηηr n r n l l l0)(13221121=+++++++-+---r n r n r n l l l l l l ηηηη由121,,,+-r n ηηη 线性无关知0)(2121=====+++---r n r n l l l l l l与r n l l l -,,,21 不全为零矛盾! 故假设不成立． r n -∴ξξξ,,,21 线性无关.由于b Ax =的系数矩阵的秩为r ,故齐次方程0=Ax 的基础解系应含有r n -个向量.r n -∴ξξξ,,,21 构成0=Ax 的基础解系．由于1,ηx 均为b Ax =的解，所以1η-x 为0=Ax 的解1η-?x 可由r n -ξξξ,,,21 线性表示．r n r n k k k x ---+++=-ξξξη123121)()()(111133122ηηηηηη-++-+-=+-+-r n r n k k k1133221321)1(+-+-+-++++----=r n r n r n k k k k k k x ηηηη令13211+-----=r n k k k k ,则11321=+++++-r n k k k k ,且112211+-+-+++=r n r n k k k x ηηη ．34．设}0,,),,,({211211=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x V 满足}1,,),,,({211212=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x V 满足问21,V V 是不是向量空间？为什么？证明非空向量集V 成为向量空间只需满足条件：若V V ∈∈βα,，则V ∈+βα; 若R V ∈∈λα,，则V ∈λα.1V 是向量空间.由1)0,,0,0(V T∈ 知1V 非空.设121),,,(V T n ∈=αααα ,121),,,(V Tn ∈=ββββ ,R ∈λ. 则021=+++n ααα ,021=+++n βββ .由于T n n ),,,(2211βαβαβαβα+++=+ 且)()()(2211n n βαβαβα++++++ 0)()(2121=+++++++=n n βββααα故1V ∈+βα.又T n ),,,(21λαλαλαλα =且00)(2121=?=+++=+++λαααλλαλαλαn n故1V ∈λα.2V 不是向量空间.若221),,,(V T n ∈=αααα ,221),,,(V Tn ∈=ββββ , 则121=+++n ααα ,121=+++n βββ . 由于T n n ),,,(2211βαβαβαβα+++=+ 且)()()(2211n n βαβαβα++++++211)()(2121=+=+++++++=n n βββααα 故2V ?+βα. 又T n ),,,(21λαλαλαλα =且λλαααλλαλαλα=?=+++=+++1)(2121n n故当1≠λ时，2V ?λα.35．试证:由T T T a a a )0,1,1(,)1,0,1(,)1,1,0(321===所生成的向量空间就是3R .证明设),,(321a a a A =.11101110,,321==a a a A 02≠=于是3)(=A R ,故321,,a a a 线性无关.由于321,,a a a 均为三维向量,且秩为3,所以321,,a a a 是三维向量空间3R 的一组基, 故由321,,a a a 所生成的向量空间就是3R .36．由T T a a )1,1,0,1(,)0,0,1,1(21==所生成的向量空间记作1L ,由T T b b )1,1,1,0(,)3,3,1,2(21--=-=所生成的向量空间记作2L ,试证21L L =.证明因为21,a a 的对应分量不成比例,所以21,a a 线性无关,故2),(21=a a R .因为21,b b 的对应分量不成比例,所以21,b b 线性无关,故2),(21=b b R .---=1310131011010211),,,(2121b b a a ～--0000000013100211 所以2),,,(2121=b b a a R ,从而),,,(),(),(21212121b b a a R b b R a a R ==. 所以21,a a 与21,b b 等价,因此21L L =.37．验证T T T a a a )2,1,3(,)3,1,2(,)0,1,1(321==-=为3R 的一个基,并把T T v v )13,8,9(,)7,0,5(21---==用这个基线性表示.解设),,(321a a a A =,),(21v v V =.对),(V A 实施初等行变换化为行最简形矩阵.----=1372308011195321),(V A ～---211003301032001由于A ～E ,所以3),,(321=a a a R ,故321,,a a a 线性无关，则321,,a a a 为3R 的一个基. 因为---==-213332),,(),,(),(321132121a a a V A a a a v v所以321132a a a v -+=, 3212233a a a v --=.38．已知3R 的两个基为=1111a ,-=1012a , ??=1013a 及 ????? ??=1211b , ????? ??=4322b , ????? ??=3433b , 求由基321,,a a a 到基321,,b b b 的过度矩阵P .解设),,(321a a a A =, ),,(321b b b B =.因为321,,a a a 与321,,b b b 是3R 的基,所以B A ,是3阶可逆矩阵.B A P P a a a b b b 1321321),,(),,(-=?=.对),(B A 实施初等行变换化为行最简形矩阵.-=341111432001321111),(B A ～---101100010010432001 所以---==-1010104321B A P .。

线性代数矩阵的初等变换与线性方程组习题课

二、矩阵的秩及其求法
1、定义： A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数.记作R(A)=r.
2.矩阵秩的性质设A: m n 型矩阵,则:
(1)0 R( A) min(m, n);
0, k 0
(2) R( AT ) R( A);
(3) R(kA) R( A),k 0
(4)行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数．
7.当A等于(
)时,
CH3 初等变换与方程组
a11 a12 a13 a11 3a31 a12 3a32 a13 3a33
Aa21
a22
a23

a21
a22
a23

a31 a32 a33 a31
a32
a33
1 0 0
1 0
A 0 1 0 (B) 0 1
A11 A21 A31 A41

A*

A12

A13 A14
A22 A23 A24
A32 A33 A34
0 A42

A43 A44

R( A* ) 0
例5 设A是n阶矩阵,且A2=E, 证明R(A+E)+R(A-E)=n
证明：由A2=E得： A2 E ( A E)( A E) 0
t
0

0 4 5 2
1 2 －1 1 0 －4 t 2 2 0 0 3 t 0
1 2 1 1 0 4 t 2 2 0 4 5 2
r(A)=2 3 t =0, 即 t =3
例3 设线性方程组
为A的伴随矩阵，且

线性方程组习题参考答案

第三章线性方程组习题参考答案P154,1. 用消元法解下来线性方程组.(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++-=--+--=+-++=-++1234321223145354321542154321543214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .解:542143313241425152135401135401132211003212121113054312141113074512712111101431213540101431200321200161261200r r r r r r r r r r r r r r r r r r ↔---⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪↔---- ⎪⎪- ⎪⎪↔→-------⎪ ⎪------ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭----→----43435314101354015014312160012128000212241681600000r r r r r r r -⎛⎫⎛⎫-⎪⎪--- ⎪⎪- ⎪⎪→--+⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11000013500121354010143121014312010012001000001000001000100021200011120001100000020000000000⎛⎫ ⎪⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭方程组的解是 12345121120112x k x k x x k x k ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩=-=--==--=, k 为任意数.(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+--=+-+2521669972543223312325432154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：422332322112032111313291131320334512323452701107839961622500332529711313211313201107830110783003325298003003325297r r r r r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-↔ ⎪⎪------ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭------⎛⎫ ⎪----⎪→→ ⎪---- ⎪-⎝⎭325298000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭最后一列为(0,0,0,0,0,-1），所以方程组无解.(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-3371334424324214324321x x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------+→-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------6210012020031110443215248400353503111044321731370110313111044321141232413r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→01060100300108000101000601003101082001 有唯一解: x 1= -8, x 2=3, x 3=6, x 4=0. (4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++=+-=+-+032701613-11402-332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：−−−→−+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−−−→−---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14122321342292724120191702332987122312-71613-1142-33-275-43r r r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2019170201917020191709871⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→0000000010010000000010987117201719171317317201719 得解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====--lx k x x x l k lk 4321172017191713173 (5) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-+=-+-=+-+43212523223124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：4324131211112111121111322323223232232511210224002240211340224300003r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪+------ ⎪ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪----→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭,最后一列为（0,0,0,0,3），所以方程组无解.(6) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-++=+++=-+-=-++225512221321231323214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：52324431232212311123111010032111048220112023111015310065122221101120000003 (15520)20000000000r r r r r r r r rr r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----↔ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪⎪ ⎪→---- ⎪ ⎪ ⎪-→--- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭511006671010665100166000000000⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 一般解为 1234156617661566x k x k x kx k⎧+⎪⎪⎪-⎪⎨⎪+⎪⎪⎪⎩====, k 为任意数.2. 把向量β表成向量α1，α2，α3，α4的线性组合. (1) 解：设β=x 1α1+ x 2α2+ x 3α3+ x 4α4，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒=+--=-+-=--+=+++41414145112143214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .432141414145ααααβ--+=(2) 解：设β=x 1α1+ x 2α2+ x 3α3+ x 4α4，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+++=++010110300024321421424321321x x x x x x x x x x x x x x x x , 即β=α1-α3. 3. 证明：如果向量组α1，α2，…, αr 线性无关，而向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关，则β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.证明：因为向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关,所以存在k 1, k 2, ,k r , l 不全为0，使11220r r k k k l αααβ+++=.若l =0, 则k 1,,k r 不全为0，于是存在不全为零的数k 1,,k r 使得011=+r r k k αα 与α1，α2，…, αr 线性无关矛盾. 所以l0，则r s lkl k l k αααβ)()()(2211-++-+-= . 即β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.证法2. 由于向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关,所以存在k 1, k 2, ,k r , l 不全为0，使11220r r k k k l αααβ+++=. 若l =0, 则得11220r r k k k ααα++=. 因为向量组α1，α2，…, αr 线性无关，所以021====r k k k . 与k 1, k 2, ,k r , l 不全为0矛盾. 所以l0，这样r s lkl k l k αααβ)()()(2211-++-+-= . 即β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.4. 设αi =(a i1,a i2,…,a in ), i=1,2,…,n, 证明如果|a ij |0, 则α1，α2，…, αn 线性无关.证明：设x 1α1+x 2α2++x n αn =0，则11121211212222112200n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为系数行列式()0T ij ij a a =≠，由Cramer 法则, 上面的方程组有唯一解, 即只有零解，得n x x x === 21=0,于是α1,α2,αn 线性无关.5. 设t 1,t 2,…,t r 是互不相同的数(rn)，证明αi =(1, t i , t i 2,…,t i n -1), i=1,2,…,r 线性无关.证法1：添加t r +1,,t n , 使t 1, t 2,,t r , t r +1,,t n 两两不同, 得向量组αi =(1, t t , t t 2,…,t t n -1) i =1,2,...,n .由于α1,α2,,αn 的分量作成一个Vandermonde 行列式且不等于0，由上一题，α1,α2,,αr ,,αn 线性无关，于是它的任一部分组线性无关.证法2：因为rn, 所以令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1121121111n r n n r t t t t t t A ,则A 的前r 行作成一个r 阶范德蒙行列式B, 从而非零. 于是B 的列向量线性无关, 增加分量后为A 的列向量, 所以A 的列向量也线性无关. 证法3. 设x 1α1+x 2α2++x r αr =0, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121r n r n n rr r x t x t x t x t x t x t x x x (1) 考虑(1)的前r 个方程作成的齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121r r r r r rr r x t x t x t x t x t x t x x x (2) 因为t 1, t 2,,t r 两两不同, 所以(2)的系数行列式为r 阶Vandermonde 行列式0111||11211211≠=---r r r r rt t t t t t A. 于是线性方程组(2)有唯一的零解. 又由于(1)的解都是(2)的解, 而(2)只有零解,所以(1)只有零解. 即r x x x === 21=0,于是α1,α2,αr 线性无关.6. 假设α1, α2，α3线性无关，证明β1=α2+α3，β2=α3+α1，β3=α1+α2线性无关. 证法1：设x 1β1+x 2β2+x 3β3=0，则(x 2+x 3)α1+(x 3+x 1)α2+(x 1+x 2)α3=0由于α1, α2, α3线性无关得：23013012x x x x x x +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，该齐次线性方程组只有零解. x 1= x 2=x 3=0，因而β1, β2, β3线性无关.证法2: 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++110011101),,(),,(321133221ααααααααα, 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110011101A 可逆, 所以两个向量组等价. 又已知向量组α1, α2, α3的秩为3，所以后一个向量组的秩也是3，从而后一个向量组也线性无关.注：无论向量组α1,α2,α3,α4线性无关或相关，α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性相关. 7. 设向量组A: α1,α2,,α s 的秩为r, 证明向量组A 的任意r 个线性无关的向量组都构成它的一个极大线性无关组. 证明: 设向量组A: α1,α2,,α s 任一线性无关向量组B: αj1, αj2,, α jr , 任取A 中的一个向量β，由于R (A )=r , 所以A 中任意r +1个向量线性相关，有αj1,,αjr , β线性相关，由条件知向量组 B 线性无关，由临界定理，β可以由向量组B 线性表示，故向量组B 是极大无关组. 证法2. 设A:αj1, αj2,, α jr 是α1,α2,,α s 中的任一个线性无关的向量组, β是A中的一个向量, 由于R (A )=r , 所以A 中任意r +1个向量线性相关，有αj1,,αjr , β线性相关，满足极大无关组定义的条件, 所以αj1, αj2,, α jr 是向量组A 的极大无关组.8. 设向量组(I): α1,α2,,α s 的秩为r, αj1, αj2,, αjr 是(I)中的r 个向量，使得(I)中每个向量都可以被它们线性表出，证明αj1, αj2,, α jr 是(I)的极大无关组. 证明：设向量组(I)α1,α2,,αs ，R(A)=r; (II): αj1, αj2,, α jr 是已给向量组，取(I)的极大无关组(III) αk1,αk2,…,αkr , 由条件, (III)可由(II)线性表出, 于是r=R(III)R(II)r. 于是R(II)=r, 即αj1, αj2,, α jr 线性无关, 所以是(I)的极大无关组.9. 证明一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成为一个极大无关组. 证明：设A 是一个n 维向量组，A 1是它的一个线性无关组， 1° 逐个检查A 中的向量i α2° a 、若i α可以由向量组A 1线性表示，则去掉i α，检查下一个αb 、若i α不可以由向量组A 1线性表示，则添加i α到A 1中将A 1扩充为A 2，回到检查第1个向量，重复1°、2°若干步后（∵有限步后，任意n+1个n 维向量也相关，必含停止），得到A 1,A 2 ,…A k , 而A k 不能再扩大，于是A k 是一个极大无关组，且A 1A k .10. 设α1=(1,-1,2,4), α2=(0,3,1,2), α3=(3,0,7,14), α4=(1,2,2,0), α5=(2,1,5,6). (1) 证明α1, α2线性无关.(2) 把α1, α2扩充成一个极大无关组.解(1)：∵α1与α2的分量不成比例，故α1与α2线性无关 (2)：解法1. 考虑α1, α2, α3, ∵3α1+α2 =α3 , 去掉α3.考虑α1, α2,α4,取它们的后三个分量124312280120-=≠，∴增加一个分量后仍然线性无关。

线性方程组练习题

第一章练习题一、选择题1、向量组r ααα,,,21 线性相关，且秩为s ，则（）A.s r = B ．s r ≤ C.r s ≤ D ．r s <2、设A 为m ×n 矩阵，齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）A ．A 的列向量组线性相关B ．A 的列向量组线性无关C ．A 的行向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关3、设3元非齐次线性方程组b Ax =的两个解为T T )3,1,1(,)2,0,1(-=β=α，且系数矩阵A 的秩2)(=A r ,则对于任意常数21,,k k k ,方程组的通解可表为（）A ．T 2T 1)3,1,1()2,0,1(-+k kB ．T T )3,1,1()2,0,1(-+kC ．T T )1,1,0()2,0,1(-+kD ．T T )5,1,2()2,0,1(-+k 4、设矩阵)2,1(=A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=654321C 则下列矩阵运算中有意义的是（）A ．ACB B ．ABC C ．BACD ．CBA 5、r ααα,,,21 线性无关⇔（）A.存在全为零的实数r k k k ,,,21 ，使得02211=α++α+αr r k k k .B.存在不全为零的实数r k k k ,,,21 ，使得02211≠α++α+αr r k k k .C.每个i α都不能用其他向量线性表示.D.有线性无关的部分组.6、设向量组321,,ααα线性无关，421,,ααα线性相关，则（）A. 1α必可由432,,ααα线性表示B.2α必不可由431,,ααα线性表示C. 4α必可由321,,ααα线性表示D.4α必不可由321,,ααα线性表示7、设4321,,,αααα是三维实向量，则（）A.4321,,,αααα一定线性无关B.1α一定可由432,,ααα线性表出C.4321,,,αααα一定线性相关D.321,,ααα一定线性无关8、设A 是4×6矩阵，2)(=A r ，则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中所含向量的个数是（）A.1B.2C.3D.49、下列命题中错误的是（）A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关10、已知向量T T )0,3,4,1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α，则=β+α（）A ．T )1,1,2,0(--B ．T )1,1,0,2(--C ．T )0,2,1,1(--D ．T )1,5,6,2(--- 二、填空题1、设,,a a b b a a b b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A B 则=AB __________. 2、设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则矩阵A 的秩._____)(=A r3、已知某个3元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵~A 经初等行变换化为： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→121)1(00120321~a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为____________.4、向量组T 3T 2T 1)5,1,1,2(,)1,3,1,1(,)2,1,0,1(+-=α=α=αa 线性相关，则.____=a5、向量组T 3T 2T 1)2,5,1,1(,)1,,1,2(,)0,3,1,1(--=α-=α-=αa 的秩为2，则.____=a 6、若T)0,3,1(=β不能由T 3T 2T 1)2,2,1(,),3,2(,)1,2,1(-+=α=α=αa a 线性表示，则.____=a7、任意3维向量都可用T3T 2T 1)2,1,(,)3,2,1(,)1,0,1(a =α-=α=α线性表示，则.____=a8、齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________.9、已知向量组T 3T 2T 1)5,0,0,6(,)1,1,0,2(,)4,3,2,1(=α-=α=α，则该向量组的秩为_______，一个极大线性无关组是_______.10、设矩阵111111111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()3r A =，则k =. 三、计算题 1、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++000543321521x x x x x x x x x 的解.2、设向量T 4T 3T 2T 1)4,0,3,0(,)1,6,0,3(,)2,4,2,2(,)1,2,1,1(-=α-=α--=α-=α，（1）求向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.3、求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.4、问a 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++63222243232132321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。

线性代数：第二—三章习题课

对A进行一次初等行变换, 相当于在A左边
乘以相应的m阶初等方阵；
对A进行一次初等列变换,相当于在A的右边
乘以相应的n阶初等方阵。
3/44
3)定理：任何可逆方阵都可以表示为有限个初等方阵的乘积. 推论：m n矩阵A ~ B的充要条件是：
存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆方阵Q，使PAQ B. 注：m n矩阵A经初等行变换化为B的充要条件是：存在可逆方阵P，使PA B。
a21 x1
am1 x1
a22 x2
am2 x2
a2n xn amn xn
b2 bm
— m n方程组
可写成矩阵形式 Ax b,
若b 0, 称Ax 0为齐次的；
若b 0, 称Ax b为非齐次的.
满足方程组Ax b的向量x, 称为它的解向量, 也称为解.
8/44
5.解的结构：x k11 k2 2 knr nr
11/44
基础解系. 基础解系为解向量中一个最大无关组.
(1) 基础解系中的向量都是原方程组的解，
(2)基础解系中所含解向量的个数等于 n r( A)； (3) 方程组的每个解可以由基础解系的线性运算表示。
定理如果 n 元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则它
b k11 k2 2 kn n
成立，则称b是向量组
1
,
2
,,
的线性组合，
n
或称b 可由向量组1 , 2 ,, n线性表示，
其中k1, k2 ,, kn 称为表示系数.
注：线性方程组可表示成向量Fra bibliotek式x11 x2 2 xn n b
14/44
如果方程组有解，就等价于存在一组数k1, k2 ,, kn使

[数学]线性代数1-2-习题课

n
ai
a2
x
an
i1
n
x ai
a2
a3
x
i1
h
31
提取第一列的公因子，得
1 a1 a2 an
1 x a2 an
n
Dn1 (x ai) 1
a2
x an.
i1
1 a2 a3 x
将1第列(的 a1)倍加2 到列第，1将列第的 (a２ )倍加3 到列第， ,将1第列(的 an)倍加到后一列，得
h
20
解设D5中第 1,2,3,4,5行的元素a分 1p1,a别 2p2, 为 a3p3,a4p4,a5p5,那么， D5中由第 1,2,3,4,5行可能的非零元素分别得到
p12,3;
p1,2,3,4,5; 2
p31,2,3,4,5;
p2,3; 4
p52,3.
因为p1, p2, p3, p4, p5在上述可能取的,代
一个5元排列也不能组成，
故D5 0.
h
21
评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．
注意
如果一n个阶行列式中等于素零比的元
n2n还多，则此行列于式零必 .(为等什么 ?)
h
22
例３
设
a11 a12 a1n
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
h
6
５、n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
Da 21a 2 2 a 2n p1p2pn1ta1p1a2p2anpn
an1 an2 ann

第6章线性方程组迭代习题课

代公式x ( k 1 ) x ( k ) a( Ax ( k ) b), 求解方程组Ax b，取什么实数a可使迭代收敛？证明a 0.4时收敛最快，其中 3 2 3 A 1 2 , b 1
6.设求解方程组 b的简单迭代法( k 1) Bx ( k ) g Ax x ( k 0,1,)收敛，求证，对 1, 迭代法 0 x ( k 1) [(1 ) E B ] x ( k ) g收敛
3.设x Bx f有唯一解x *，若矩阵B的谱半径 ( B ) 1, 但B有一特征值满足 1，求证，存在初始向量 ( 0 )， x 使得由迭代格式x ( k 1) Bx ( k ) f 的序列 x ( k ) 收敛于x * ( k 0 ,1,)产生

4.设有迭代格式x ( k 1) Bx ( k ) f 该迭代格式收敛。
线性方程组（迭代）习题课
邹昌文
2 1 1 x 1 1 1.给定方程组 1 1 1 x 2 1 1 1 2 x 1 3 求证，用J法发散，GS法收敛。
2.讨论用J法和GS法解方程组Ax b时的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛较快，其中 3 0 2 A 0 2 1 2 1 2
( k 0 ,1,),
其中B E A，若A，B的特征值全为正数，试证
3 2 3 , b ，用迭代公式 5.给定Ax b，其中 A 1 1 2 x ( k 1) x ( k ) a (b Ax ( k ) ), k 0,1, 来求解 b Ax 问取什么实数可使得迭代收敛最快 a

线性代数-第五章- 习题课

第四章向量组的线性相关性一重点内容1 非零正交向量组，正交矩阵∙ 非零向量βα,正交的充要条件是：0],[=βα ∙ 非零正交向量组是线性无关的∙ 齐次线性方程组Ax =O 的解集(解空间)是由与A 的行向量都正交的全部向量构成∙ [定义] 若E A A =T (或E AA =T 或T A A =-1)，则A 是正交矩阵。

∙ 正交矩阵的性质：若A , B 是正交矩阵，则①)(1T A A =-也是正交矩阵； ②AB 也是正交矩阵； ③1=A 或－1∙ n 阶矩阵A 是正交矩阵的充要条件： A 的n 个列向量(或行向量)是一个正交单位向量组(即R n 的一个规范正交基) 2 矩阵的特征值和特征向量∙ [定义] 若Ax =λx ，其中x ≠O ，则数λ称为方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 的对应于(或属于)特征值λ的特征向量。

∙ 设 n 阶矩阵A 的全部特征值为n λλλ,,,21 ，则①)(tr 21A =+++n λλλ[tr(A )是A 的n 个主对角元之和，称为A 的迹]②A n =λλλ 21∙ 设λ0是矩阵A 的一个特征值，ξ是对应于特征值λ0的特征向量，则，① k λ0是k A 的一个特征值；②mλ是mA 的一个特征值；③)(0λϕ是)(A ϕ的一个特征值；[其中， 0111)(c x c x c x c x k k k k ++++=-- ϕ是关于变量x 的k 次多项式，E A AA A 0111)(c c c c k k kk ++++=-- ϕ]④若A 可逆，10-λ是1-A 的一个特征值.且ξ仍是以上各矩阵分别属于k λ0,m 0λ,)(0λϕ,10-λ的特征向量.∙ A 和A T 有相同的特征值(即特征多项式相同)，但特征向量不一定相同。

∙ 矩阵A 对应于不同特征值的特征向量线性无关。

3 相似矩阵∙ [定义] 若B AP P =-1(其中P 是可逆矩阵)，则称A 和B 相似 ∙ 若A 和B 相似，则①m A 和m B 相似； ②)(A ϕ和)(B ϕ相似；∙ 相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。

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线性方程组求解习题课一、给定方程组123211*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。

解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为-1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为3504JI B λλλ-=+=，得特征值1230,,22i iλλλ===-得()12J B ρ=> ，由定理知Jacobi 迭代法发散。

对Seidel 迭代法，迭代矩阵为()1S B D L U -=-=120001100.50.511000100.50.5112000000.5---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦显然，其特征值为1230,0.5λλλ===-故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。

二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11220a a ≠，112221120a a a a -≠。

证明：解线性方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。

证明：12111111222212122000000J a a a a B a a a a -⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭()212211122det J a a I B a a λλ-=-，故()J B λ= ()J B ρ=。

121111112212212211122000000S a a a a B a a a a a a -⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭()12211122det S a a I B a a λλλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()12211,211220,S a a B a a λ=，得 ()12211122G a a B a a ρ=。

注意到()()1221112211J S a a B B a a ρρ=<⇔=< 由定理Jacobi 和Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。

三、对于12313211x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若用迭代公式()()()1()k k k xxAxb α+=+-，k=0，1，2，…取什么实数范围内的α可使迭代收敛？解：迭代公式可写成()()()1k kx I A x b αα+=+-迭代矩阵为B I A α=+。

易求出A 的特征值为1和4，故有B 的特征值为1α+和4α+。

所以(){}max 1,14B ραα=++要收敛，由定理有()111101412B αραα⎧+<⎪<⇔⇔-<<⎨+<⎪⎩。

所以1,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭是迭代收敛。

α取什么值可使收敛最快？四、设A 是n 阶非奇异阵，B 为n 阶奇异阵，试证：()1A B Cond A A-≤ 其中，∙是矩阵的算子范数。

证明：因为Cond(A)= 1A A -∙，所以本题不等式的证明可转化为证明11A A B -∙-≥1A -存在显然。

注意到()111I A B A A B A A B ----=-≤∙-为引入向量证明矩阵范数，考虑矩阵B 对应的齐次方程组Bx=0。

因为B 是奇异阵，存在非零向量y 满足By=0，用1A -左乘得10A By -=，有 ()1y I A B y -=-两边取范数有()11y I A B y I A B y --=-≤-∙因为0y ≠，得11,I A B --≥而11I A B A A B ---≤∙-所以有11A A B -∙-≥,证毕。

五、设,n n A B R ⨯∈，A 非奇异，对线性方程组1122A B x b B A x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦有块Jacobi 迭代法()()()()11121221k k k k Ax b Bx Ax b Bx ++=-=-试给出其矩阵迭代格式和块Seidel 迭代格式。

解：Jacobi 迭代公式可写成()()()()111112220000k k k k A x B x b A B b x x ++⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 故有块Jacobi 迭代矩阵格式为()()()()111111122200k k J k k x x b A C b A x x +--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111000000J B A A B C B A A B-----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦块Seidel ()()()()111211121k k k k Ax b Bx Ax b Bx +++=-=-六、用列主元与全主元方法解方程组12312315410030.112x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：1、列主元法进行计算过程：12315410054100123130.11230.112⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦主元为5，于是进行如下迭代：10.82010.8200 1.2110 2.5520520 1.2112.510.82010.82010.8200120.80120.80120.80 1.21100 1.449001 1.425⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦消去第一列的二三两行后，主元是-2.5，于是进行如下代换回代得到解：1231.2,2, 1.4x x x ===-2、使用全主元法过程：1233213211012311045054100321130.11210.1321045000.80.5100.5 2.52x x x b x x x b x x x b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦在矩阵中，主元为，于是进行迭代，得到如下矩阵：31231210540105400 2.50.520 2.50.5200.50.8100.7 1.4x x x b x x x b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦迭代完毕，得到新的主元为2.5，则进行如下迭代：回代得到解：123 1.221.4x x x ===-七、设ij n A a ⎡⎤=⎣⎦是对称正定矩阵，经过高斯消元法一步后，A 约化为11120T a a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中(1)21ij n A a -⎡⎤=⎣⎦，证明：（1）A 的所有对角元素0ii a >；（2）2A 是对称正定阵证明：（1）因A 对称正定，故0,1,2,,T ii i i a e Ae i n =>=其中T =(0,,0,1,0,,0)i e 为第i 个单位向量（2）由A 的对称性及消元公式得1(1)(1)1111111;(,2,,)j i ijij j ji i ji a a a a a a a a i j n a a =-=-==故2A 也对称又111120Ta a L A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中 21111111111n a a L a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦显然1L 非奇异，从而对任意的0x ≠，有()()()111110,0TT TT T T L x xL AL x L x A L x ≠=>由A 的正定性，有11TL AL 正定。

又1111200T a L AL A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而11a >0，故2A 正定。

八、给定线性方程组112233111231n n n n a c a c a c a c b bb b b ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1231n n x x x x x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=1231n n d d d d d -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中()011i a i n ≠≤≤-且系数矩阵是非奇异的。

试根据其系数矩阵稀疏性的特点给出一个求解算法。

并指出所给算法的乘除法和加减法的运算次数。

分析：根据方程组的特点先用消元法将其化为两对角方程组，然后再用回代法求解。

解：记()111n n b b d d ==第一次消元：记111.b l a =-将第一行乘1l 加到第n 行，并记()()21221111nn b b l c d d l d =+=+第二次消元：记222b l a =- 将第二行乘2l 加到第n 行，并记()()32332222nn b b l c d d l d =+=+类似做法直到第1n -次消元：记111n n n b l a---=-将第1n -行乘1n l -加到第n 行，并记()()11111nn n n n n n n n n b b l c d d l d -----=+=+经过以上1n -次消元得同解得两对角方程组为1122331n n n a c a c a c a a b -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1231n n x x x x x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()1231n n n d d d d d -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭用回代可以求解。

最后算法为：（1）()11nn b b d d == （2）对1,2,1i n =-依次计算ii ib l a =-，11i i i i b b lc ++=+，()()1i i n n i id d l d +=+（3）()n n n nd x b =（4）()11,2,,1i i i i id c x x i n n d +-==--（II）乘除法（5n-4）加减法3(n-1）。