线性方程组习题课
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线性方程组求解
习题课
一、给定方程组123211*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。
解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为
-1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因为3
5
04
J
I B λλλ-=+=，得特征值
1230,,22i i
λλλ===-
得(
)12J B ρ=> ，由定理知
Jacobi 迭代法发散。
对Seidel 迭代法，迭代矩阵为
()1
S B D L U -=-=1
20001100.50.511000100.50.5112000000.5---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
显然，其特征值为1230,0.5λλλ===-
故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。
二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，11220a a ≠，
112221120a a a a -≠。证明：解线性方程组的Jacobi
迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。 证明：
121
1111
122221
21
22
0000
00J a a a a B a a a a -⎛⎫-
⎪-⎛⎫⎛⎫
⎪==
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭
()2
1221
1122det J a a I B a a λλ-=-，故(
)J B λ= (
)J B ρ=
。
1211111
1221
2212211122000000S a a a a B a a a a a a -⎛⎫-
⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝
⎭
()12211122det S a a I B a a λλλ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，()12211,211220,S a a B a a λ=，得 ()12211122G a a B a a ρ=
。注意到
(
)()1221
1122
11J S a a B B a a ρρ=
<⇔=< 由定理Jacobi 和Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。
三、对于12313211x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，若用迭代公式
()
()
()
1()k k k x
x
Ax
b α+=+-，k=0，1，2，…
取什么实数范围内的α可使迭代收敛？ 解：迭代公式可写成
(
)
()()1k k
x I A x b αα+=+-
迭代矩阵为B I A α=+。易求出A 的特征值为1和4，故有B 的特征值为1α+和4α+。所以
(){}max 1,14B ραα=++
要收敛，由定理有
()11
110141
2B αραα⎧+<⎪<⇔⇔-<<⎨+<⎪⎩。
所以1,02α⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
是迭代收敛。 α
取什么值可使收敛最快？
四、设A 是n 阶非奇异阵，B 为n 阶奇异阵，试证：
(
)1
A B Cond A A
-≤ 其中，∙
是矩阵的算子范数。
证明：
因为
Cond(A)= 1
A A -∙，所以本题不等式的证
明可转化为证明
11A A B -∙-≥
1A -存在显然。
注意到
()
111I A B A A B A A B ----=-≤∙-
为引入向量证明矩阵范数，考虑矩阵B 对应的齐次方程组Bx=0。因为B 是奇异阵，存在非零向量y 满足
By=0，用1
A -左乘得
10A By -=，有 ()1y I A B y -=-
两边取范数有
()11
y I A B y I A B y --=-≤-∙
因为0y ≠，得
1
1,I A B --≥而
11I A B A A B ---≤∙-
所以有
11A A B -∙-≥,证毕。
五、 设,n n A B R ⨯∈，A 非奇异，对线性方程组
1122A B x b B A x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
有块Jacobi 迭代法
()()
()
()
1112
122
1
k k k k Ax b Bx Ax b Bx ++=-=-
试给出其矩阵迭代格式和块Seidel 迭代格式。
解：Jacobi 迭代公式可写成
()()()()111112220000k k k k A x B x b A B b x x ++⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 故有块Jacobi 迭代矩阵格式为
()()()()111111122200
k k J k k x x b A C b A x x +--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 111100000
0J B A A B C B A A B
-----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
块Seidel ()
(
)
()
()1112
1112
1
k k k k Ax b Bx Ax b Bx +++=-=-