线性规划与最优化模型经典讲义
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最优化理论-第3章线性规划PPT课件
下，求使目标函数z达到最大的x1 ,x2
的取值。
2021/7/23
6
3.1 线性规划模型
•一般形式
•目标函数：
Max(Min)z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥ )b1 a21x1+a22x2+…+a2n...xn≤( =, ≥ )b2 am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm
这时新的约束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
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3.1 线性规划模型
为了使约束由不等式成为等式
而引进的变量s称为“松弛变量”。
如果原问题中有若干个非等式约束， 则将其转化为标准形式时，必须对 各个约束引进不同的松弛变量。
2021/7/23
13
即 ， 为
相应的生产计划可以获得的总利润：
z=1500x1+2500x2 。综合上述讨论，在加工
时间以及利润与产品产量成线性关系的假设
下，把目标函数和约束条件放在一起，可以
建立如下的线性规划模型：
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4
3.1 线性规划模型
目标函数 约束条件
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65
1) (LP)存在有限最优解 cTd(j) ≤0, j .
2) 若(LP)存在有限最优解, 则最优解可以 在某个极点达到 .
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的取值。
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3.1 线性规划模型
•一般形式
•目标函数：
Max(Min)z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥ )b1 a21x1+a22x2+…+a2n...xn≤( =, ≥ )b2 am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm
这时新的约束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
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3.1 线性规划模型
为了使约束由不等式成为等式
而引进的变量s称为“松弛变量”。
如果原问题中有若干个非等式约束， 则将其转化为标准形式时，必须对 各个约束引进不同的松弛变量。
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即 ， 为
相应的生产计划可以获得的总利润：
z=1500x1+2500x2 。综合上述讨论，在加工
时间以及利润与产品产量成线性关系的假设
下，把目标函数和约束条件放在一起，可以
建立如下的线性规划模型：
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3.1 线性规划模型
目标函数 约束条件
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65
1) (LP)存在有限最优解 cTd(j) ≤0, j .
2) 若(LP)存在有限最优解, 则最优解可以 在某个极点达到 .
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线性规划的基本定理-最优化方法
j 1
j 1
现构造两个点X（1），X（2），使满足
X（1）=（x1+αλ1,…, xk+αλk ,0,…,0）T X（2）=（x1-αλ1,…, xk-αλk ,0,…,0）T
线性规划解的基本定理
定理2：设X是可行域D的极点，那么，X最多有m个 正分量。
证明：设X=(x1，···xk，0，···，0)T，若k>m，由
z=λx+(1-λ)y
这说明当0 ≤ λ ≤1 时，λx+(1λ)y 表示以x.y为端点的直线段上的所 有点，因而它代表以 x.y为端点的直线 段。
一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则 有如下定义：
如果 x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意两点，定 义z=λx+(1-λ)y(0≤λ≤1),z=(z1…zn)T 的点 所构成的集合为以x,y为端点的线段，对应λ=0， λ=1的点 x, y叫做这线段的端点，而对应 0<λ<1的点叫做这线段的内点。
表明X不是D的极点，与已知条件矛盾，故k≤m。
线性规划解的基本定理
定理1.4：对标准形式的线性规划，基可行解与可行 域的极点一一对应。
证明：首先证明极点必是基可行解。设X是极点， 由定理1.3,可设X=(x1,…xk,0,…,0)T xj>0,k≤m 若X不是基可行解，由定理1.2，向P1,P2,…,Pk应 线性相关。仿照定理1.3的证明过程，可推导出X 不是极点，与已知条件矛盾。故可知X是基可行解。
其次证明充分性。设X的正分量为x1，x2,…,xk，其对 应的列向量P1,P2,…,Pk线性无关。显然k≤m。
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所 以X是基本解。而已知X是可行解，故X又是基可行 解。
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
最优化方法-线性规划的基本定理
其次证明充分性。设X的正分量为x1，x2,…,xk，其对 应的列向量P1,P2,…,Pk线性无关。显然k≤m。
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所以X是基 本解。而已知X是可行解，故X又是基可行解。
若k<m，由于A的秩为m，比可从A中再挑出m-k个列向 量，与P1,P2,…,Pk ，一起构成一个线性无关极大组，即 为一个基，由此可知X是基可行解。
定义1.7：设集合S是n维欧式空间En中的闭凸 集，d是En中的非零向量。如果对于S的每 个点X，以及一切非负的数λ，都有
X+λd∈S，λ≥0
则称向量d是凸集S的一个方向。如果d1， d2是S的方向，且d1≠αd2， ∀ α>0，则d1， d2是两个不同的方向。
进一步，如果d是凸集S的一个方向，且 不能表示为S的另外两个不同的方向的正组 合，则称d是S的一个极方向。
约定A是行满秩的m行n列矩阵。
2、基、基向量、基变量、基本解、基本可 行解、可行基、最优解、最优基
基：矩阵A中一个m阶非奇异子矩阵 基向量：基的列向量 基变量：基向量对应的变量 基本解：非基变量全为零的解
基本可行解：非基变量为零，基变量都大 于等于零的解
可行基：基可行解对应的基 最优解：基本解中使目标函数最大的解 最优基：最优解对应的基
X=λX（1）+（1-λ）X（2）
上式的分量表达形式为 显然，当j>m时，有
x
j
xj
xj1 xj1x j2
1 0
xj2
,
j
1,
2,
,n
m
再由于X（1），X（2）均是可行点，故可推知 xjiPj b,i 1, 2
两式相减，得
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所以X是基 本解。而已知X是可行解，故X又是基可行解。
若k<m，由于A的秩为m，比可从A中再挑出m-k个列向 量，与P1,P2,…,Pk ，一起构成一个线性无关极大组，即 为一个基，由此可知X是基可行解。
定义1.7：设集合S是n维欧式空间En中的闭凸 集，d是En中的非零向量。如果对于S的每 个点X，以及一切非负的数λ，都有
X+λd∈S，λ≥0
则称向量d是凸集S的一个方向。如果d1， d2是S的方向，且d1≠αd2， ∀ α>0，则d1， d2是两个不同的方向。
进一步，如果d是凸集S的一个方向，且 不能表示为S的另外两个不同的方向的正组 合，则称d是S的一个极方向。
约定A是行满秩的m行n列矩阵。
2、基、基向量、基变量、基本解、基本可 行解、可行基、最优解、最优基
基：矩阵A中一个m阶非奇异子矩阵 基向量：基的列向量 基变量：基向量对应的变量 基本解：非基变量全为零的解
基本可行解：非基变量为零，基变量都大 于等于零的解
可行基：基可行解对应的基 最优解：基本解中使目标函数最大的解 最优基：最优解对应的基
X=λX（1）+（1-λ）X（2）
上式的分量表达形式为 显然，当j>m时，有
x
j
xj
xj1 xj1x j2
1 0
xj2
,
j
1,
2,
,n
m
再由于X（1），X（2）均是可行点，故可推知 xjiPj b,i 1, 2
两式相减，得
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
线性规划知识点
线性规划知识点一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如经济学、管理学、工程学等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用案例。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量是决策的对象，通常用x1、x2、...、xn表示。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
3. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
4. 非负约束：线性规划中的变量通常需要满足非负约束条件，即xi ≥ 0。
三、模型构建1. 目标函数的确定：根据问题的具体要求，确定最大化或最小化的目标函数。
2. 约束条件的确定：根据问题的限制条件，确定各个变量的线性约束条件。
3. 变量的非负约束：确定各个变量的非负约束条件。
四、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先画出目标函数的等高线图和约束条件的线性图形，然后找到使目标函数取得最大（最小）值的交点。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
该方法通过迭代计算，逐步找到使目标函数取得最大（最小）值的解。
3. 整数规划方法：当变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
该方法通过将线性规划问题转化为整数规划问题，并应用相应的算法进行求解。
五、应用案例假设某公司生产两种产品A和B，产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为15元。
公司的生产能力限制为每天生产不超过100个单位的产品A和150个单位的产品B。
另外，公司还有两个约束条件：产品A的生产量不能超过产品B的两倍，产品B的生产量不能超过产品A的三倍。
问如何安排生产计划以最大化利润。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
题的求解过程。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划与最优化问题的解法
稻壳学院
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求解方法：使用 单纯形法、椭球 法等算法求解线 性规划问题
线性规划的几何解释
添加 标题
线性规划问题可以看作是在多维空间中寻找一条直 线，使得该直线在满足一系列约束条件下，最大化 或最小化某个目标函数。
添加 标题
线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数 和约束条件。决策变量是问题中需要求解的未 知数，目标函数是希望最大化或最小化的函数， 约束条件是限制决策变量取值的条件。
解决方案：运输问题的解决方案通常包括 确定最优的运输路线和数量，以最小化运 输成本或最大化运输效益。
分配问题
简介：线性规划与最优化问题的实际应用之一是解决分配问题，通过合理分配资源，实 现最大化效益。
实例：如将有限的生产任务分配给不同的生产部门，以最小化生产成本或最大化总产量。
解决方法：利用线性规划模型描述问题，通过求解得到最优解，实现资源的最优分配。
添加 标题
在几何解释中，决策变量可以看作是坐标轴上 的点，目标函数可以看作是该点所在的高或低。 通过移动坐标轴上的点，可以找到使目标函数 取得最大值或最小值的点，即最优解。
添加 标题
线性规划的几何解释有助于直观地理解问题，并快 速找到最优解。在实际应用中，线性规划可以用于 资源分配、生产计划、运输问题等领域。
数。
线性规划问题 在现实生活中 应用广泛，如 生产计划、资 源分配和运输
问题等。
线性规划的基 本概念包括变 量、约束条件 和目标函数。
线性规划问题 通常在凸集上 进行，这使得 问题具有全局
最优解。
线性规划的数学模型
目标函数：要求 最大或最小化的 线性函数
约束条件：决策 变量的限制条件
第二章 线性规划--最优化方法课件
24
定理2.1.5证明(思路)
(i)x*为局部极小点,若存在x0使得f(x0)<f(x*), 则f (t x0 +(1-t) x*)≤t f (x0)+(1-t) f (x*) 令 t 取一个足够小的正数,可导出矛盾.
(ii)若存在x*,y*都是整体极小点(f (x*)=f (y*)), 则f (t x*+(1-t)y*)<t f (x*)+(1-t) f (y*)=f (x*) 矛盾.
20
凸函数的判断
21
一阶条件
定理2.1.2 (一阶条件) 设在凸集D Rn上f(x)可微,则f(x)在D上为凸函 数的充要条件是对任意的x,y ∈ D,都有 f(y)≥f(x)+ f(x)T(y-x) 定理2.1.3 (一阶条件) 设在凸集D Rn上f(x)可微,则f(x)在D上为严格凸 函数的充要条件是对任意的x,y ∈ D, x≠y,都有 f(y)>f(x)+ f(x)T(y-x)
解:令x4=7-(x1+x2+x3), x5=(x1-x2+x3)-2,再令 x3=x3’-x3’’,得到标准型 min y=2x1-x2-3x3’+3x3’’ s.t. x1+x2+x3’-x3’’+x4=7 x1-x2+x3’-x3’’-x5=2 -3x1-x2+2x3’-2x3’’=5 x1,x2,x3’,x3’’,x4,x5≥0
5
凸集的例
例2.1.2 超球||x||≤r为凸集 证明 设x,y为超球中任意两点, ≤a≤1,则有 ||ax+(1-a)y||≤a||x||+(1-a)||y|| ≤a r+(1-a) r = r, 即点ax+(1-a)y属于超球,所以超球为凸集.
定理2.1.5证明(思路)
(i)x*为局部极小点,若存在x0使得f(x0)<f(x*), 则f (t x0 +(1-t) x*)≤t f (x0)+(1-t) f (x*) 令 t 取一个足够小的正数,可导出矛盾.
(ii)若存在x*,y*都是整体极小点(f (x*)=f (y*)), 则f (t x*+(1-t)y*)<t f (x*)+(1-t) f (y*)=f (x*) 矛盾.
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凸函数的判断
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一阶条件
定理2.1.2 (一阶条件) 设在凸集D Rn上f(x)可微,则f(x)在D上为凸函 数的充要条件是对任意的x,y ∈ D,都有 f(y)≥f(x)+ f(x)T(y-x) 定理2.1.3 (一阶条件) 设在凸集D Rn上f(x)可微,则f(x)在D上为严格凸 函数的充要条件是对任意的x,y ∈ D, x≠y,都有 f(y)>f(x)+ f(x)T(y-x)
解:令x4=7-(x1+x2+x3), x5=(x1-x2+x3)-2,再令 x3=x3’-x3’’,得到标准型 min y=2x1-x2-3x3’+3x3’’ s.t. x1+x2+x3’-x3’’+x4=7 x1-x2+x3’-x3’’-x5=2 -3x1-x2+2x3’-2x3’’=5 x1,x2,x3’,x3’’,x4,x5≥0
5
凸集的例
例2.1.2 超球||x||≤r为凸集 证明 设x,y为超球中任意两点, ≤a≤1,则有 ||ax+(1-a)y||≤a||x||+(1-a)||y|| ≤a r+(1-a) r = r, 即点ax+(1-a)y属于超球,所以超球为凸集.
线性规划-讲义-3
4)、解的几种情况： 4)、解的几种情况： 唯一解 无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0者。 无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0 无界解 max, σ j > 0 但Pj ≤ 0 min, σ j < 0 但Pj ≤ 0 无可行解－最优表中人工变量在基中， 无可行解－最优表中人工变量在基中，且＝0。 建模有问题 5)、 5)、退化解问题
表2 -2
-1/3 -1/3
两阶段法步骤 n 原问题 max S=Σ Cj xj n j=1 Σ aij xj =bi ( i=1,2, …,m) xj ≥ 0 m 作辅助问题 min W=Σ yi n i=1 Σ aij xj + yi =bi ( i=1,2, …,m) Xj ， yi ≥ 0 阶段：解辅助问题， 第1阶段：解辅助问题，当进行到最优表时 ①、若W=0, 则得到原问题的一个基本可行 转入第2阶段 阶段。 解，转入第 阶段。 ②、若W>0, 则判定原问题无可行解 阶段： 第2阶段：用求出的初始基可行解求最优解。 阶段 用求出的初始基可行解求最优解。
人工变量： x6 , x7 人工变量：
cj
XB b*
0
x1
0
x2
0
x3
0
x4
0
x5
-1
x6
-1
x7
x4 11 3 x6 x7 1 - W’ 0
XB b*
1 -4 -2
0
x1
-2 1 0
0
x2
1 2 1
0
x3
1 0 0
0
x4
0 -1 0
0
x5
0 1 0
-1
x6
0 0 1
-1
x7
最优化及最优化方法讲稿
最优化及最优化方法讲稿ppt xx年xx月xx日CATALOGUE目录•最优化问题概述•线性规划问题及其求解方法•非线性规划问题及其求解方法•动态规划问题及其求解方法•最优化算法的收敛性分析•最优化算法的鲁棒性分析•最优化算法的应用举例 - 解决生产调度问题01最优化问题概述最优化问题是一个寻找某个或多个函数的特定输入，以使该函数的输出达到最小或最大的问题。
定义根据不同的分类标准，可以将最优化问题分为线性规划、非线性规划、多目标规划、约束规划等。
分类最优化问题的定义与分类描述所追求的最小或最大值的函数。
目标函数约束条件数学模型限制搜索范围的约束条件。
目标函数和约束条件的数学表达。
03最优化问题的数学模型0201最优化问题的求解方法牛顿法利用目标函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）进行搜索。
梯度下降法迭代搜索，逐步逼近最优解。
混合整数规划将整数变量引入优化模型中，求解整数规划问题。
模拟退火算法以概率接受劣质解，避免陷入局部最优解。
进化算法模拟生物进化过程的启发式搜索算法。
02线性规划问题及其求解方法线性规划问题定义：在一组线性约束条件下，求解一组线性函数的最大值或最小值的问题。
数学模型：将实际问题转化为线性规划模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。
线性规划问题的求解方法 - 单纯形法基本概念：介绍单纯形法的相关概念，如基、可行解、最优解等。
单纯形法步骤：阐述单纯形法的基本步骤和算法流程，包括初始基可行解的求解、最优解的迭代搜索和最终最优解的确定。
单纯形法改进：介绍一些改进的单纯形法，如简化单纯形法、对偶单纯形法等。
线性规划问题的定义与数学模型通过一个具体的生产计划问题，说明如何建立线性规划模型并进行求解。
生产计划问题通过一个配货问题，说明如何运用线性规划模型解决实际问题。
配货问题通过一个投资组合优化问题，说明如何运用线性规划进行风险和收益的平衡。
投资组合优化问题线性规划问题的应用举例03非线性规划问题及其求解方法非线性规划问题定义：非线性规划问题是一类求最优解的问题，其中目标函数和约束条件均为非线性函数。
最优化第01章线性规划基本
线性规划问题及其数学模型 线性规划的图解法 线性规划问题的标准型 标准型线性规划的解 线性规划的基本原理
1.1线性规划问题及其数学模型 1.1线性规划问题及其数学模型
1.问题的提出： 1.问题的提出： 问题的提出
在生产管理的经营活动中， 通常需要对“ 有限的资源” 在生产管理的经营活动中 ， 通常需要对 “ 有限的资源 ” 寻求“最佳”的利用或分配方式。 寻求“最佳”的利用或分配方式。 有限资源：劳动力、原材料、 有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 最佳：有一个标准或目标， 最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达 到最小。 到最小。 有限资源的合理配置有两类 两类问题 有限资源的合理配置有两类问题 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到 最大； 最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产， 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产， 安排经营活动，使所消耗的资源数最少。 安排经营活动，使所消耗的资源数最少。 消耗的资源数最少
每吨产品的消耗 甲 维生素（公斤） 维生素（公斤） 设备（ 设备（台） 单位利润(万元 单位利润 万元) 万元 30 5 5 乙 20 1 ２
每周资源总量 160 15
数学模型为
约束条件：反映了有限 约束条件： 资源对生产经营活动的 种种约束，或者生产经 种种约束， 营必须完成的任务
max z =5x1 +2x2 30x1 + 20x2 ≤ 160 5x + x ≤ 15 2 s.t . 1 x1 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
某铁器加工厂要制作100套钢架，每套要用长为2 100套钢架 例 ３ : 某铁器加工厂要制作 100 套钢架 ， 每套要用长为 2.9 米 ， 2.1 米 米的圆钢各一根。已知原料长为7 问应如何下料， 和 1.5 米的圆钢各一根 。 已知原料长为 7.4 米 ， 问应如何下料 ， 可使 材料最省？ 材料最省？ 分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢， 分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢，可以归纳 种不同的下料方案： 出8种不同的下料方案：
1.1线性规划问题及其数学模型 1.1线性规划问题及其数学模型
1.问题的提出： 1.问题的提出： 问题的提出
在生产管理的经营活动中， 通常需要对“ 有限的资源” 在生产管理的经营活动中 ， 通常需要对 “ 有限的资源 ” 寻求“最佳”的利用或分配方式。 寻求“最佳”的利用或分配方式。 有限资源：劳动力、原材料、 有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 最佳：有一个标准或目标， 最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达 到最小。 到最小。 有限资源的合理配置有两类 两类问题 有限资源的合理配置有两类问题 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到 最大； 最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产， 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产， 安排经营活动，使所消耗的资源数最少。 安排经营活动，使所消耗的资源数最少。 消耗的资源数最少
每吨产品的消耗 甲 维生素（公斤） 维生素（公斤） 设备（ 设备（台） 单位利润(万元 单位利润 万元) 万元 30 5 5 乙 20 1 ２
每周资源总量 160 15
数学模型为
约束条件：反映了有限 约束条件： 资源对生产经营活动的 种种约束，或者生产经 种种约束， 营必须完成的任务
max z =5x1 +2x2 30x1 + 20x2 ≤ 160 5x + x ≤ 15 2 s.t . 1 x1 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
某铁器加工厂要制作100套钢架，每套要用长为2 100套钢架 例 ３ : 某铁器加工厂要制作 100 套钢架 ， 每套要用长为 2.9 米 ， 2.1 米 米的圆钢各一根。已知原料长为7 问应如何下料， 和 1.5 米的圆钢各一根 。 已知原料长为 7.4 米 ， 问应如何下料 ， 可使 材料最省？ 材料最省？ 分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢， 分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢，可以归纳 种不同的下料方案： 出8种不同的下料方案：
第二章线性规划知识课件
方案 x1 x2 x3 x4 x5
2.9米 1 2 0 1 0
2.1米 0 0 2 2 1
1.5米 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
余料 0 0.1 0.2 0.3 0.8
OBJ: MinZ 0x1 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5
x1 2x2 x4 100 s.t. 3x12x3x2 2x24x3 x53x5101000
4) 移动等值线到可行域边界得到最优点
11
1.用图解法求解极大化问题
例1 OBJ : max Z 2 x1 3 x 2
x1 2x2 8
s
.
t
.
4
x
1
16 4 x 2 12
x1 , x 2 0
x x12x2 2
2x13x24
做目标函数2x1+3x2的等值线，与 3 阴影部分的边界相交于Q(4,2)点， 这表明最优解是:x1= 4,x2 =2
0
4x1=16 x1+2x2=8
Q(4,2) 4x2=12
4 Z=2x1+3x2
8 x1
12
例2
max Z 6 x 1 4 x 2
2 x 1 x 2 10
s
.t
.
x1 x2 8 x2 7
x 1 , x 2 0
最优解 : x1 2 x2 6 Z 36
x2
10 F
9
8E
7 ABG 3
A
533
1.5
B
221
0.7
每人每月最低需求量（单位） 60 40 35
例3 现要做100套钢架，每套需2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一
第2优化问题(一)线性规划课件
400
350 300 A 250
4X+8Y=K B
C
200
150
100
50
0
O
D
0 100 200 300 400
2X+4Y ≤1600
第四个约束是决策变量的非负约束。由于产量不 可能为负值，所以有：
X≥0 ，,Y ≥0
由上述分析可建立本问题的线性规划模型如下：
o.b. max 3X+8Y
s.t.
6X+2Y ≤1800
Y ≤350
2X+4Y ≤1600
X， , Y ≥0
所谓的线性规划就是：
(1)每一个问题都用一组决策变量（x1, x2, …xn ）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一 个方案。一般，这些变量取值是非负的。
X，，,Y ≥0
（非负约束）
400
350 300 A 250
3X+8Y=K B
C
200
150
100
50
0
O
D
0 100 200 300 400
y=350 2x+4y=1600 6x+2y=1800
2 .有无穷多解
这里，线性规划问题有无穷多解是指该规划 问题无穷多个既在可行域内，又使目标值达 到最优的解，即有无穷多个最优解。
（2）存在一定的约束条件，这些约束条件是一 组关于决策变量的线性等式或线性不等式。
（3）都有一个要求达到的目标，目标函数是关 于决策变量的线性函数。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学 模型。它的一般形式为：
目标函数 max(min) z=c1 x1+c2x2+…+cn xn
线性规划讲义
关键的解原理
解原理6：z增长率为正，意味着相邻CPF 解优于当前CPF解；z增长率为负，意味 着相邻CPF解并不优于当前CPF解。因此， 最优性检验及时检查是否有边界线会带 给z正的增长率，如果没有，则证明当前 的CPF解是最优的。
构建单纯形法
单纯形法通常是在计算机上实施的，而计算 机只能执行代数运算，因此需要把上述几何 原理转化成可应用代数计算的步骤。 第一步：把不等式约束转化为等价的等式约 束，这个过程考引入松弛变量（slack variables）来完成 模型的扩展模式（augmented form）：原线 性模型在引入松弛变量后形成的新的模式
a 11 x1 a 12 x 2 ... a 1 n x n ( , ) b a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( , ) b 约束条件： ... a x a x ... a x ( , ) b m2 2 mn n m1 1 x1 , x 2 ,..., x n 0
单纯形法的实质
单纯形法是一个代数计算过程，但它本 质上是基于几何原理 了解这些几何原理能为我们理解单纯形 法的运算步骤提供非常直观的解释，同 时也有助于我们将解释为什么单纯形法 为什么会如此有效
单纯形法的几何原理
约束边界（constraint boundary）：每个约束条件都 是一条直线，该直线就是满足对应约束的边界线 角点解（corner-point solutions）：约束边界的交点 角点可行解（CPF solutions）：在可行域上的角点 相邻（adjacent）：两个CPF解位于同一条约束边界上， 它们是相邻的，两个相邻的CPF解连成的一条线段被称 为可行域的边 （edge） 最优性检验（optimality test）：如果一个CPF解没有 比它更好（以z来衡量）的相邻CPF解，那么它就是最 优解
线性规划与最优化模型经典讲义
目标函数 minS =c1 x1 +c2 x2 + + cn xn 数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题 可以缩写为 约束条件
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 , a x + a x + + a x = b , 2n n 2 21 1 22 2 a x + a x + + a x = b , mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 xn ≥ 0,
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
0.45 10 0.45 28 1.05 59 0.40 25 0.50 22 0.50 75 6.00 25
要 求 蔬 菜 提供的营养
2
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
问题分析与模型建立
分别表示在下一周内应当供应的青豆、 设 xi (i =1~ 6) 分别表示在下一周内应当供应的青豆、 胡萝卜、菜花、白菜、甜菜及土豆的量(kg)， 胡萝卜、菜花、白菜、甜菜及土豆的量(kg)，则费用的目标 函数为: 函数为: f = 5x1 + 5x2 +8x3 + 2x4 + 6x5 + 3x6 约束条件： 约束条件： 铁的需求量至少6个单位数： 铁的需求量至少6个单位数：
表1
序 号 蔬 菜 铁 1 2 3 4 5 6 青 豆 胡萝 卜 菜 花 白 菜 甜 菜 土 豆 每份所含营养素单位数 维生素A 维生素 维生素C 磷 维生素 415 9065 2550 75 15 235 17500 8 3 53 27 5 8 245 烟酸 0.30 0.35 0.60 0.15 0.25 0.80 5.00 每千 克费 用 5 5 8 2 6 3
最优化模型2——线性规划
例4: Chebyslev近似
给出一组方程 ai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi (i =1,2, , m) z 其中，m>>n，希求一组近似解x1，x2,…, xn使误差尽
量小。即求出一组解，使之代入方程组中，造成不 满足约束的方程的最大误差量尽量小。这是长期以 来被认为必存在的这样一个解而又很难找到解的问 题，然而用线性规划求解却比较方便。下面就讨论 如何建立该问题的线性规划数学模型。
例1：某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控
制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时。 检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省， 该工厂应聘一级、二级检验员各几名？
约束条件为：
⎧8 × 25 × x1 + 8 ×15 × x2 ≥ 1 ×
x1 x2
≤ ≤
1800 1800
⎪⎩x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
3
线性规划模型：
min z = 40x1 + 36x2
⎧5x1 + 3x2 ≥ 45
s.t.
⎪⎪ ⎨ ⎪
x1 x2
≤ ≤
线性规划
1、概念和实例。 2、线性规划模型 3、线性规划的性质。 4、线性规划的主要算法。 5、用数学软件包求解线性规划问题 6、建模案例选讲：投资的收益与风险
线性规划：就是一个线性函数在线性等式或不等式 约束条件下的极值问题。
线性规划研究的问题主要有两类：
1、任务确定后，如何统筹安排，尽量做到用尽量 少的人力和物力资源来完成任务；
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minS = ∑ c j x j ,
j =1
n
n ∑ aij x j = bi ,(i = 1, 2, m) j =1 x ≥ 0,( j = 1, 2, n) j
标准形式的矩阵形式为 数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
目标函数
min S = CX 其中 C = (c1 , c2 , cn ), x1 x X = 2 xn 约束条件 a11 , a12 , a1n b1 a , a , a b AX = b, 2n 2 A = 21 22 ，b = X ≥ 0, am1 , am 2 , amn bm
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
线性规划与最优化模型
营养配餐
数学建模讲座
一
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
营养配餐问题
问题的提出
1
每种蔬菜含有的营养素成份是不同的， 每种蔬菜含有的营养素成份是不同的，从医学上知 道每人每周对每种营养成分的最低需求量。 道每人每周对每种营养成分的最低需求量。某医院营养 室在制定下一周菜单时，需要确定表1 室在制定下一周菜单时，需要确定表1中所列六种蔬菜 的供应量， 的供应量，以便使费用最小而又能满足营养素等其它方 面的要求。规定白菜的供应一周内不多于20kg 20kg， 面的要求。规定白菜的供应一周内不多于20kg，其它蔬 菜的供应在一周内不多于40kg，每周共需供应140kg蔬 菜的供应在一周内不多于40kg，每周共需供应140kg蔬 40kg 140kg 为了使费用最小又满足营养素等其它方面的要求， 菜，为了使费用最小又满足营养素等其它方面的要求， 问在下一周内应当供应每种蔬菜各多少kg kg？ 问在下一周内应当供应每种蔬菜各多少kg？
可以缩写为 n max(min)S = ∑ c j x j ,
j =1
n ∑ aij x j ≥ (=, ≤)bi ,(i = 1, 2, m) j =1 x j ≥ 0,( j = 1, 2, n)
2．线性规划标准形式 ．
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
从线性规划数学模型的一般形式可以看出， 从线性规划数学模型的一般形式可以看出， 目标函数可以是实现最大化， 目标函数可以是实现最大化，也可以实现最小 化，约束条件可以是不等式，也可以是等式， 约束条件可以是不等式，也可以是等式， 这种模型形式上的多样性势必给求解带来不便， 这种模型形式上的多样性势必给求解带来不便， 为了便于讨论线性规划的求解方法， 为了便于讨论线性规划的求解方法，我们给出 规划问题的标准形式. 规划问题的标准形式
将此变量写出两个非负变量之差的形式， 将此变量写出两个非负变量之差的形式，即 非负变量之差的形式
xi = xi ' xi "
等式右边的两个变量非负. 等式右边的两个变量非负
（4）对约束条件右端 i为负时，只需两边同时乘以-1 ）对约束条件右端b 为负时，只需两边同时乘以即可.（注意不等号符要变号） 即可 （注意不等号符要变号）
设问题是在满足营养素要求的条件下，所需的费用最小 设问题是在满足营养素要求的条件下，
f = 5x1 + 5x2 +8x3 + 2x4 + 6x5 + 3x6
易见，该问题是一个线性规划模型： 易见，该问题是一个线性 配 餐 问 题
f = 5x1 + 5x2 +8x3 + 2x4 + 6x5 + 3x6 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 =140
二、线性规划的解
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题 可行解：满足约束条件的解称为线性规划的可行解， 可行解：满足约束条件的解称为线性规划的可行解， 所有可行解的集合称为可行域. 所有可行解的集合称为可行域 最优解： 最优解：满足目标函数的可行解称为线性规划的 最优解.其实质就是要从许许多多的可行解中， 最优解 其实质就是要从许许多多的可行解中，找出一 其实质就是要从许许多多的可行解中 个使目标函数达到最优值的可行解. 个使目标函数达到最优值的可行解 线性规划模型解有三种情况： 线性规划模型解有三种情况： （1）有最优解 ） （2）有可行解，但没有最优解 ）有可行解， （3）无可行解 ）
总结： 总结： 所以约束条件中有多少个不等式，就要引 所以约束条件中有多少个不等式， 多少个不等式 多少个新的非负变量 新的非负变量， 入多少个新的非负变量，使不等式条件转化为 等式. 等式
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
（3）标准形式中的变量要求都是非负的，如果一般 ）标准形式中的变量要求都是非负的， 形式中某个变量没有符号限制，可以为正也可以为负， 形式中某个变量没有符号限制，可以为正也可以为负， 如果使其保持非负？ 如果使其保持非负？
max S = min( S ) = min S '
（2）约束不等式化为约束等式 ）
将约束不等式化为约束等式需要我们把不等式中 数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
就可以使上面的不等式变为等式 我们需要在不等式的左边减去一个非负变量 xn+1 ，
引入新的非负变量（ 引入新的非负变量（我们称之为松弛变量或剩余变 非负变量 量），来平衡不等式的两端使之成为等式 ），来平衡不等式的两端使之成为等式. 来平衡不等式的两端使之成为等式
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
0.45 10 0.45 28 1.05 59 0.40 25 0.50 22 0.50 75 6.00 25
要 求 蔬 菜 提供的营养
2
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
问题分析与模型建立
分别表示在下一周内应当供应的青豆、 设 xi (i =1~ 6) 分别表示在下一周内应当供应的青豆、 胡萝卜、菜花、白菜、甜菜及土豆的量(kg)， 胡萝卜、菜花、白菜、甜菜及土豆的量(kg)，则费用的目标 函数为: 函数为: f = 5x1 + 5x2 +8x3 + 2x4 + 6x5 + 3x6 约束条件： 约束条件： 铁的需求量至少6个单位数： 铁的需求量至少6个单位数：
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
我们知道，由于一般形式中有多个不等式， 我们知道，由于一般形式中有多个不等式，所 以求解过程很困难， 以求解过程很困难，但标准形式求解起来就比较容 那么， 易，那么，如何将线性规划的一般形式转化为标准 形式呢？ 形式呢？ 3．化一般形式为标准形式 ． （1）目标函数 ） 如果目标函数是最大化类型， 如果目标函数是最大化类型，将其转化为最 小化类型非常简单，只需令S’= 即 小化类型非常简单，只需令 -S,即
415x1 + 9065x2 + 2550x3 + 75x4 +15x5 + 235x6 ≥17500
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
维生素C的需求量至少245个单位数： 维生素C的需求量至少245个单位数： 245个单位数
8x1 + 3x2 + 53x3 + 27x4 + 5x5 + 8x6 ≥ 245
max(min)S =c1 x1 +c2 x2 + + cn xn
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn ≥ (=, ≤)b1 , a x + a x + + a x ≥ (=, ≤)b , 2n n 2 21 1 22 2 约束条件 ： a x + a x + + a x ≥ (=, ≤)b , mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 xn ≥ 0,
0.45x1 + 0.45x2 +1.05x3 + 0.40x4 + 0.50x5 + 0.50x6 ≥ 6
磷的需求量至少25个单位数： 磷的需求量至少25个单位数： 25个单位数
10x1 + 28x2 + 59x3 + 25x4 + 22x5 + 75x6 ≥ 25
维生素A的需求量至少17500个单位数： 维生素A的需求量至少17500个单位数： 17500个单位数
线性规划
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
一、线性规划概念
定义1：规划的数学模型中如果满足： 定义 ：规划的数学模型中如果满足： 决策变量的线性函数 （1）目标函数是决策变量的线性函数； ）目标函数是决策变量的线性函数； （2）约束条件都是决策变量的线性等式或不 ）约束条件都是决策变量的线性等式或不 等式，则称该规划为线性规划. 等式，则称该规划为线性规划 1．线性规划的一般形式 ． 目标函数 ：
s.t
0.45x1 + 0.45x2 +1.05x3 + 0.40x4 + 0.50x5 + 0.50x6 ≥ 6, 10x1 + 28x2 + 59x3 + 25x4 + 22x5 + 75x6 ≥ 25, 415x1 + 9065x2 + 2550x3 + 75x4 +15x5 + 235x6 ≥17500, 8x1 + 3x2 + 53x3 + 27x4 + 5x5 + 8x6 ≥ 245, 0.30x1 + 0.35x2 + 0.60x3 + 0.15x4 + 0.25x5 + 0.80x6 ≥ 5, 0 ≤ x1 ≤ 40, 0 ≤ x2 ≤ 40, 0 ≤ x3 ≤ 40,
0 ≤ x4 ≤ 20, 0 ≤ x5 ≤ 40, 0 ≤ x6 ≤ 40.