对数函数创新题两例

对数函数创新题两例

函数中的创新题，一般会给出新定义、新运算等，这就要求我们读懂题目，并把新概念、新定义、新运算与所学知识相结合，在较高层次上分析问题、解决问题．

例1 定义：函数()y f x =，x ∈D ，若存在常数C ，对于任意x 1∈D ，存在惟一的x 2∈D ，使得12()()2

f x f x C +=，则称函数()f x 在D 上的“均值”为C ，已知()f x =l

g x ，x ∈［10，100］，则函数()f x =lg x 在［10，100］上的均值为（ ）．

（A ）32 （B ）34 （C ）110 （D ）10

解析：由题意，当10≤x 1≤100时，x 2也要在［10，100］内，且

12lg lg 2x x C +=，即x 1x 2是常数. 令21

m x x =，又1100≤11x ≤110， ∴1010010010

m m ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥，≤，∴m=1000， ∴111000()lg10003222

f x f x C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===. 点评：本题是新定义题，其关键是在［10，100］上x 2被x 1惟一确定，且

1212()()lg()f x f x x x +=为常数，故可令21m x x =，然后依据x 2∈［10，100］，求出m ＝1000，再由12()()2

f x f x C +=求出Ｃ. 例2 给定(1)lo

g (2)n n a n +=+，n ∈Ｎ*，定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的k （k ∈Ｎ*）叫做“企盼数”，求区间（1，62）内的所有企盼数的和.

解：∵(1)log (2)n n a n +=+，

∴a 1·a 2·a 3·…·a k ＝log 23×log 34×log 45×…×

log （k+1）（k +2）=2lg3lg 4lg5lg(2)lg(2)log (2)lg 2lg3lg 4lg(1)lg 2

k k k k ++⨯⨯⨯⨯==++ . 设2log (2)k +为整数m ，即2log (2)(k m m +=∈Z).

∴22m k +=，即22m k =-，

又∵k ∈（1，62），即1＜2m －2＜62，∴3＜2m ＜64， ∴m =2，3，4，5，代入22m k =-得到k =2，6，14，30.

∴区间（1，62）内所有“企盼数”之和为2＋6＋14＋30＝52.