基本不等式求最值
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
基本不等式求最值技巧总结
高三复习讲义： 基本不等式求最值总结一、直接法1.求函数2log log (2)x y x x =+的值域2.1,1,,a b x y R >>∈，若3,x y a b a b ==+=11x y +的最大值3.设01,01a x y <<<≤<，且log log 1a a x y ⋅=，求xy 的最大值4.已知0a b >>，求216()a b a b +-的最小值二、凑系数5.当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值6.设0,0x y >>，且3212x y +=，求xy 的最大值三、凑项7.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值8.设,x y z n N >>∈*，且11n x y y z x z +≥---恒成立，求n 的最大值9.设01,,x a b R +<<∈，求1a b x x+-的最小值四、凑、配、拆 10.已知52x ≥，求24524x x y x -+=-的最小值 11.当0x >时，求22121x x y x x ++=++的最小值12.若对于任意的0x >，231x a x x ≤++恒成立，求a 的取值范围13.已知1x >-，求2158x y x x +=++的最大值 五、基本不等式失效14.求函数2y =15.求4sin (0)sin y x x xπ=+<<的值域 六、1的整体代换16.已知正数,x y 满足4x y +=，求使不等式14m x y+≥，恒成立的实数m 的取值范围 17.已知,x y R +∈，且20x y xy +-=，若222x y m m +>+恒成立的m 的取值范围18.函数22(0,1)x y a a a +=->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，求12m n+的最小值 19.已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求149x y z ++的最小值七、凑和为定值20.已知正数,a b 满足2223a b +=，求21. 已知,x y R +∈，且2212y x +=，求22.已知30x -<<，求八、构造不等式23.设,x y R +∈，且()1xy x y -+=，求x y +的最小值24. ,x y R +∈，且228x y xy ++=，求2x y +最小值25.已知1,1x y >->-，且(1)(1)4x y ++=，求x y +的最小值九、平方26. 求y =27.设,,a b c R +∈，且1a b c ++=28.设,x y R +∈a 的最小值。
基本不等式求最值(解析)
高一秋季第2讲： 基本不等式求最值题型概览一． 基本不等式1.1 应用最值定理求最值; 1.2 幂指式内隐和积互化; 1.3 最值定理对“定值”的要求.二． 十种变形技巧2.1 整体处理求最值;2.2 凑系数(乘、除变量系数); 2.3 凑项(加、减常数项); 2.4 连续使用基本不等式求最值;2.5 分离 (分子)常数法求最值问题; 2.6 1y aa b=+ 型函数的最值; 2.7 变用公式;2.8 常数代换（逆用条件).三.不能使用基本不等式的情况3.1 应用函数单调性求最值;一． 基本不等式1.1应用最值定理求最值【典例】设函数1()21(0)f x x x x=+-<,则()f x （） A. 有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数【答案】A【解析】由0x <,得20x ->,10x ->，所以()2f x x =+111(2)1221x x x ⎡⎤⎛⎫-=--+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,当且仅当2x =时等号成立,所以()f x 有最大值,故选A . 【评注】:在使用基本不等式求最值时,要坚持“一正二定三等”这三项原则,藴着不等式的最值定理"积定和最小,和定积最大”.计算最值时我们常说的利用基本不等式求最值，即使用最值定理. 变式题组【变式1】下列不等式一定成立的是() A.21lg lg (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭B.12x x+C.212||()x x x +∈RD.211()1x x >∈+R 1.【答案】 C【解析】选项 A 中,当 12x =时,214x x +=; 选项 B 中,0x >时 ,12x x + ，0x <时, 12x x +-; 选项C中, 222||1(||1)0()x x x x -+=-∈R ; 选项 D 中,211x ∈+(0,1]()x ∈. 故选 C .【变式2】两个正数的和为定值时,则可求其积的最大值,即“和定积最大" 已知,x y +∈R ,且满足134x y+=,则xy 的最大值为_________________. 2.【答案】3 【解析】,x y +∈R,123434x y x y∴+=⨯=即3xy , 当且仅当 34x y = 即 32x =，2y =时取等号,∴xy 的最大值为 3.【变式3】若两个正数的积为定值时,则可求其和的最小值,即“积定和最小" 已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =___________.3.【答案】 36 【解析】∵()424a a f x x x x x =+⋅=当且仅当 4x =ax, 即 24a x = 时取等号,由 3x =, 得 36a =.【变式4】已知12x y a a +=+,12xy b b =,则()21212a ab b +的取值范围是______.4. 【答案】(,0][4,)-∞+∞【解析】由题可知 12x y a a +=+,12xy b b =所以 ()22221212()22a a x y x y xy x yb b xy xy y x++++===++, 当 ,x y 同号时,24x yy x++, 当 ,x y 异号时,2220x y y x ++-+=,故所求的取值范围是 (,0][4,)-∞+∞.【变式5】已知三个数a ，b ，c 成等比数列,若1a b c ++=,则b 的取值范围为_______. 5.【答案】1[1,0)0,3⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】设等比数列的公比为q ，则有111b q q =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由 12q q +或 12q q+-, 可得 b 的取值范围为1[1,0)0,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【变式6】已知,a b 均为正实数,且1a b +=,求1y a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.1b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.6.【答案】254【解析】22111b a a b y ab ab ab a bab ab ab ab +=+++=++=++2()222a b ab ab ab ab +-=+-令 t ab =, 则 10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，2()f t t t =+在 10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， ∴ 当 14t =时,min min 25()24y f t =-=.1.2 幂指式内隐和积互化【典例】若221x y +=,则x y +的取值范围是()A.[0,2]B.[2,0]-C.[2,)-+∞D.(,2]-∞-【答案】D【解析】由22222x y x y +⋅=y12(2x y ⇒+-当且仅当1x y ==-时取等号).故选D . 【评注】:利用最值定理求最值,首先要在条件中找到定值.同底幂的和为定值,隐藏着其积即指数和存在最大值. 变式题组【变式1】若实数,a b 满足2a b +=,则633a +的最小值是_____________. 1.【答案】 6【解析】332336a b a b +⋅=, 当且仅当 1a b == 时取等号,故 33a b + 的最小值是 6.【变式2】若241x y +=,则2x y +的取值范围是______________. 2.【答案】 6【解析】由222x y +==，得22x y +- (当且仅当 222x y = 时取等号) .【变式3】若实数,,a b c 满足222a b a b ++=,222a b c ++=2a b c ++,求c 的是大值. 3.【答案】22log 3-【解析】 由 222222a b a b a b +=-⋅=得 12a ba b+++, 即2a b +, 所以 (*22222222a b c a b a b c a b a b c ++++++=--=-=-1) 22(21)424r c -=⋅-, 所以 324c ⋅, 解得 22log 3c - （当且.仅当 1a b == 时取等号). 故所求 c 的最大值为 22log 3-.1.3最值定理对“定值”的要求【典例】已知1x >,则21y x x =+-的最小值为_______________.【答案】1【解析】221122111y x x x x =+=-+++--,当且仅当211x x -=-即1x =时等号成立,∴21y x x =+-的最小值为1+. 变式题组【变式1】函数212(0)y x x x=+>的最小值是______________.1. 【答案】2【解析】222311112232222y x x x x x x =+=++⋅==, 当且仅当 2122x x=, 即 x = 时等号成立,所以函数的最小值是 2.【变式2】已知0x >,0y >,且191x y+=,则x y +的最小值是____________. 【答案】16 【解析】由191x y +=, 得 19()10x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+ ⎪⎝⎭910216y x y x y x ++=, 当且仅当 9y x x y =, 即当 4x =,12y = 时取等号,故 x y + 的最小值为 16.【变式3】已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2a b +的最小值是（ ）A. B. C.3D.2解析： 借助换元，“1”的代换 令1a m +=，1b n +=， 则1m >，1n >，且111m n+=，则()()212123a b m n m n +=-+-=+-，又()112221233n m m n m n m n m n ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+=+⎪⎝⎭所以22333a b m n +=+-≥+-=当且仅当2n m m n =，即1m =，12n =+时，取到最小值B.【变式4】已知,a b 为正实数，且2a b +=，则22221a b a b ++-+的最小值为 . 解析1：22222112121221211111a b b a a b a b a b a b a b +-++-=++-=++-+-=+-++++ 2(1)2(1)121111(1)()1(21)1()3131313b b a a a b a b a b a b ++=+++-=+++-=+≥⋅+++当且仅当2(1)1b a a b +=+，即1)a b =+，即64a b =-=时等号成立.【变式5】若正数,a b 满足1a b +=，则11a ba b +++的最大值是_____ 解析：(分母换元+常数替换):令1,1x a y b =+=+，则3x y +=（1,1x y >>）1111211a b x y a b x y x y ⎛⎫--∴+=+=-+ ⎪++⎝⎭,而()11111142333y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1122113a b a b x y ⎛⎫∴+=-+≤ ⎪++⎝⎭,则11a b a b +++的最大值是23.二． 十种变形技巧2.1整体处理求最值【典例】若实数,a b 满足12a b+=则ab 的最小值等于（）A B.2C. D.4【答案】C【解析】12a b =+≥，当且仅当2b a =时取等号,整理得22ab .故选C . 【评注】:遇到求a b +，ab 的最值,一般可以对题设条件直接使用基本不等式,获得关于,a b ab +的不等式,进而化简变形,即可顺利获解.变式题组【变式1】利用基本不等式将条件式转化为关于目标式的不等式若正实数,x y 满足++=26x y xy ，则xy 的最小值是 ，则+x y 的最小值是 【答案】18【解析】26226xy x y xy =+++, 则 2--60, 解得2xy - （舍去）或32xy , 从而18xy (当且仅当 3x = ，6y =时取等号).【变式2】已知>>++=0,0,228x y x y xy 则+2x y 的最小值是 【答案】4【解析】2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅- ⎪⎝⎭, 得 2(2)x y ++4(2)320x y +-, 即 24x y +( 当且仅当 2x y = 时取等号).【变式3】已知实数,x y 满足3xy x y -=+，且1x >则(8)y x +的最小值是()A.33B.26C.25D.21 解析1： 转化为单变量问题3xy x y-=+31x y x +∴=- 336(8)(8)1132511x y x x x x x +∴+=⋅+=-++≥-- 解析2：因式分解3(1)(1)4xy x y x y -=+∴--=，令41,1x t y t -=-=4(1)(9)25t t∴++≥【变式4】由+=±222()2x y x y xy 的关系结合基本不等式转化若实数,x y 满足++=221x y xy ，则+x y 的最大值是【答案】【解析】 由 2()1x y xy +=+ 得 22()12x y x y +⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 则233x y +（ 当且仅当 x y == 时取等号).2.2 凑系数（乘、除变量系数）【典例】设<<302x ，则函数=-4(32)y x x 的最大值是【答案】92【解析】2232922(32)222x x y x x +-⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭, 当且仅当232x x =-, 即 34x = 时等号成立. 所以函数的最大值是92. 变式题组【变式1】已已知<<103x ，则-(13)x x 取得最大值时x 的值是【答案】16【解析】 211313(13)3(13)332x x x x x x +-⎛⎫-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭112, 当且仅当 313x x =- 即 16x = 时取等号. 故 (13)x x - 取得最大值时 x 的值是16.【变式2】配凑系数，活用不等式+222a b ab设+=220,0,12y x y x ，则的最大值为【答案】4【解析】2221222y x ++=⋅=2212224y x ++=, 当且仅当 x =，y = 取等 号, 故的最大值为【变式3】设>0x ，则3(1)x x -的最大值为 【解析】【变式4】设>,,0x y z ，则+++222xy yzx y z 的最大值为【答案】2【解析】因为2222x y y +⋅2222z y y +⋅所以222y y x y z ⋅+⋅≤++，所 以222xy yz x y z +=++.22222212xy z x y z++⋅=++，当且仅y ==时等号成立,故222xy yz x y z +++的最大值为2.2.3 凑项（加、减常数项）【典例】已知<54x ，求函数=-+-1()4245f x x x 的最大值.解：由->540x ，得⎡⎤=--++⎢⎥-⎣⎦1()(54)354f x x x -+=231，当且仅当=1x 时等号成立，故函数()f x 的最大值为5.评注：求解本题需要关注两点：一是对已知条件的适当变形，由<54x 得到->540x ;二是对目标函数解析式的适当变形，以便活用结论“若<0x，则⎡⎤⎛⎫+=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11()x x x x -=-2”.变式题组【变式1】若函数=+>-1()(2)2f x x x x 在=x n 处取得最小值，则=n 【解析】因为 11()(2)2422f x x x x x =+=-++--, 当且仅当1202x x -=>-, 即 3x = 时等号成立, 即函数在 3x = 处取得最小 值, 故 3n =.【变式2】函数⎛⎫-+=> ⎪-⎝⎭2211212x x y x x 的最小值是12【解析】221(21)11212121x x x x y x x x x -+-+===+=---111(21)2212x x -++-, 又因为 111(21)22212x x -+=- 当且仅当x 取等号 ), 所以函数的最小值是12.2.4连续使用基本不等式求最值 【典例】若>>0a b ，求+-216()a b a b 的最小值为【解析】++=+-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦2222216166416()()2a a a b a b a b a b （当且仅当=-b a b 且=8a a，即==2a b 时等号成立)，故+-216()a b a b 的最小值为16.评注：此处第一次运用基本不等式，实质也是化二元为一元的消元过程.连续多次使用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件是否一致，否则就会出错。
利用基本不等式求最值的常见方法
利用基本不等式求最值的常见方法利用基本不等式求最值是一种常见的数学方法，适用于解决许多最值问题。
基本不等式是指一个关于两个变量的不等式，例如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。
这些不等式通过将变量与其平方、乘积等进行比较，从而得到最值的上限或下限。
其中最常用的基本不等式是AM-GM不等式。
AM-GM不等式指出，对于非负实数$x_1,x_2,...,x_n$，有以下不等式成立：$$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$$将这个不等式应用于最值问题时，常用的方法如下：1.确定可变参数的范围：首先，确定问题中的可变参数范围，并将其表示为一个或多个变量（通常用$x$表示）。
这些变量可以是任意从一个集合中取值的实数或正整数。
2. 构造一个函数：将问题转化为一个函数问题，其中目标函数和约束条件由可变参数表示。
通常，要求最大化或最小化的数值表示为目标函数（通常用 $f(x)$ 表示），而由可变参数表示的约束条件表示为 $g(x) \leq k$ 或 $g(x) \geq k$ 的形式。
3. 在约束条件下，应用AM-GM不等式：根据问题的约束条件，应用AM-GM不等式。
根据AM-GM不等式，可以将目标函数表示为对应于AM-GM 不等式的形式。
例如，如果AM-GM不等式为 $\frac{a+b}{2} \geq\sqrt{ab}$，则可以通过对目标函数的一部分应用这个不等式，得到$\frac{f(x)}{g(x)} \geq \sqrt[h]{k}$ 的形式。
4.求导并解方程：将目标函数分别对可变参数求导，然后解方程。
这是为了找到使目标函数达到最大或最小值的可变参数的值。
对于一些复杂的问题，可能需要应用一些高等数学技巧，如极值判别法或拉格朗日乘数法等。
5.验证最优解：找到使得目标函数达到最大或最小值的可变参数的值后，将其代入目标函数和约束条件，以验证是否满足最值条件。
基本不等式的最值求法
基本不等式的最值求法（最新版）目录1.引言2.基本不等式的概念和公式3.基本不等式的最值求法4.实际应用举例5.结论正文一、引言在数学中，基本不等式是一个非常重要的概念，它在各个领域的数学问题中都有广泛的应用。
基本不等式可以帮助我们求解一些最值问题，使得问题变得简单易懂。
本文将介绍基本不等式的概念，公式以及最值求法。
二、基本不等式的概念和公式基本不等式，又称柯西不等式，是指对于任意实数 a1, a2, b1, b2，都有 (a1b1 + a2b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2)(b1^2 + b2^2) 成立。
三、基本不等式的最值求法求解基本不等式的最值，通常需要先找到等号成立的条件。
根据柯西不等式的公式，我们可以发现，当且仅当 a1/b1 = a2/b2时，等号成立。
这意味着，如果我们想要求解基本不等式的最值，我们只需要将所有数按照一定的比例放大或缩小，使得它们满足等号成立的条件，这样就可以求得最值。
四、实际应用举例举个例子，假设我们要求解以下不等式的最大值：x + 2y + 3z ≤ 10。
我们可以将不等式看作是基本不等式的形式，即 x = a1, 2y = a2, 3z = a3，然后找到使得等号成立的条件，即找到一个比例，使得 a1/a2 = a2/a3。
在这个例子中，我们可以取a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3，这样等号成立的条件就是 x = 1, y = 1, z = 1。
将这些值代入原不等式，我们可以得到最大值为 10。
五、结论基本不等式是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们求解一些最值问题。
通过理解基本不等式的公式和最值求法，我们可以更好地解决实际问题。
用基本不等式求最值时满足的条件
用基本不等式求最值时满足的条件
1 基本不等式
基本不等式是数学中一种重要的凸优化方法，它可以用来寻找满足特定条件的最优值。
它的原理是，当一组约束条件下的函数具有一个有限的唯一最小值时，可以用基本不等式求得这个最小值。
2 满足条件
要用基本不等式求最值，必须满足以下条件：首先，目标函数要是一个有界凸函数，即无论怎么变化，函数的值都不会大于给定的上限值。
其次，这个函数可用一些等式或不等式约束，以便将不合理的解从解集中排除。
最后，通过不断迭代，使函数达到最小值。
3 不等式约束
基本不等式的约束也分为两类：弱不等式约束和强不等式约束。
弱不等式约束要求函数值不能越界，但是可以接近越界；而强不等式约束要求函数值不可以接近越界。
此外，还有自变量约束，让计算机知道自变变量必须在一定的范围内，以便做出正确的计算决策。
4 迭代求最小值
根据基本不等式的原理，只要函数满足相关约束条件，就可以使用迭代法不断地求取最小值。
迭代的思路是，每次计算某点的函数值后，就会将这个点的解替换成较小的函数值，试图找到更小的解。
由
此可见，使用基本不等式求最值，必须要有正确的函数和约束条件，才能得到合理的最优值。
利用基本不等式求最值的常见方法
即(x+y) 8, max 当且仅当x y 4时，等号成立.
总结与提升：
类型一：配凑定值法；
特征：函数能化成“积”或“和”为定值的形式
类型二：常数代换法；
特征：已知ax by c,求 d + e（a,b, c, d, e为非零常数）形式 xy
类型三：函数单调性法；拆项法 y ax2 bx c
3x 4 y 1 (3x 4 y)( 3 1 )
5
xy
3x
当且仅当
y
12 y x
即x
x 3y 5xy
1,
y
1 2
时，等号成立.
类型三：函数单调性法 （拆项法求函数的最值）
x 例3.已知xx＞13, 求f (x) 2 2 的最小值.
x 1
2 3+2 解：f (x) (x1)2 2(x 1) 3 (x 1) 3 2
记t xy(t 0)
则（*)式可化为：t 2 2t 8 0,
可解得：t 4或t -2(舍），
即(xy) 16, min
当且仅当x y 4时，等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值;
（2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值; （2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
解：（1）因为x 0, y 0, 所以xy x y 8 2 xy （8 *）
用基本不等式求函数的最值
一、 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
二、，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.练习题：1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2、a 2＋b 22的大小关系是 。
3.若,求的最大值.4 设1->x ，则函数461y x x =+++的最小值是 。
5.已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 。
6. 给出下列命题：①a,b 都为正数时,不等式a+b ≥才成立。
②y=x+1x的最小值为2。
③y=sinx+2sin x(02x π<≤)的最小值为.④当x>0时，y=x 2+16x ≥,当x 2＝16x 时，即x=16,y 取最小值512。
其中错误的命题是 。
7.已知正数y x ,满足12=+y x ,求yx11+的最小值有如下解法：解：∵12=+y x 且0,0>>y x . ∴242212)2)(11(11=⋅≥++=+xy xyy x yxy x∴24)11(min =+yx.判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法． 8.已知141ab+=，且a>0，b>0,求a+b 最小值。
9.已知x ＞0，函数y ＝2－3x －4x 有 值是 .10．已知：226x y +=， 则2x y+的最大值是＿＿＿11.函数xx y4+=的值域是 。
12．某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算： （1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？13、若实数x ，y 满足224x y +=，求xy 的最大值14、若x>0,求9()4f x x x=+的最小值; 15、若0x <，求1y x x=+的最大值16、若x<0,求9()4f x x x=+的最大值 17、求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.18、若x ，y R +∈，x+y=5，求xy 的最值 19、若x ，y R +∈，2x+y=5，求xy 的最值20、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值 21、求1 (3)3y x x x =+>-的最小值.22、求(5) (05)y x x x =-<<的最大值. 23、求1(14)(0)4y x x x =-<<的最大值。
基本不等式求最值(1)
b ab
ab b
ab
b
当且仅当
a 1 b
b b
a
1
b
，即
a
2
且
b
1
时取等号，所以
a
1 b
a
1
b
的最小值为 4．
1．凑项
例 1（2）已知 x, y 为正实数，则 4x 3y 的最小值为_________.
x 3y x
【分析】为了凑积为定值，可将 3y 添上 1 后，得 3y x ，从而凑出
例 2（1）若 a，b 都是正数，则 1 b 1 4a 的最小值为________． ab 【分析】展开项后凑倒数和结构，即可用基本不等式．
【解析】∵a，b 都是正数，
∴
1
b a
1
4a b
＝5＋ba＋4ba≥5＋2
ba·4ba＝9，
当且仅当
b＝2a＞0
时，取
“＝”，则
1
b a
1
4a b
．
【分析】将 (a b) 和 (a c) 看成两个整体变量，相当于消元，而后转化为二 元变量问题．
【解析】因为 a(a+b+c)+bc= (a b)(a c) ＝4－2 3 ，
所以 2a+b+c＝ (a b) (a c)≥ 2 (a b)(a c) 2 4 2 3 2 3 2 ，
2x 3y
同除以 xy，得 2 6 y 4x 1 ≥ 4 ，
y
x
所以 0 y ≤ 1 ，即 y 的最大值为 1
3
3
4．分离
例6 变式 已知正实数a，b，c满足 1 1 1 ， 1 1 1 1 ，
ab
利用基本不等式求最值的常见方法
利用基本不等式求最值的常见方法基本不等式是数学中常用的一种推断和求解最值的方法之一、基本不等式包括均值不等式、柯西-施瓦茨不等式和几何平均与算术平均不等式等。
这些不等式的推导和使用方法可以帮助我们解决各种数学和实际问题。
下面将介绍一些利用基本不等式求最值的常见方法。
1.均值不等式法：均值不等式是最常用的基本不等式之一、它包括算术平均数与几何平均数的关系、算术平均数与谐波平均数的关系等。
通过运用均值不等式，我们可以将一个问题中的复杂表达式或不等式进行简化，从而方便进行求解或判断最值。
例如，当我们需要求解一组数据的算术平均数时，可以通过均值不等式推导出一个简化的不等式，从而确定平均数的范围。
2.柯西-施瓦茨不等式法：柯西-施瓦茨不等式是一种用于求解内积和范数的不等式。
通过柯西-施瓦茨不等式，我们可以推导出两个向量内积的最值以及两个向量范数的关系等。
在实际问题中，柯西-施瓦茨不等式可以用于求解线性规划问题、最小二乘法问题等。
例如，当我们需要求解两个向量的内积最大值时，可以通过柯西-施瓦茨不等式推导出一个简化的不等式来确定最大值。
3.几何平均与算术平均不等式法：几何平均与算术平均不等式是一种常用的不等式关系。
通过几何平均与算术平均不等式，我们可以推导出一组数的平方和与它们的几何平均的关系，或者一组数的立方和与它们的算术平均的关系等。
在实际问题中，几何平均与算术平均不等式可以用于求解数据的平均值、方差、标准差等。
例如，当我们需要求解一组数据的方差时，可以通过几何平均与算术平均不等式推导出一个简化的不等式，从而确定方差的范围。
4.归纳法：归纳法是一种常用的数学推导方法。
利用归纳法，我们可以通过已知条件和不等式的性质来推导出一组数的最值。
在实际问题中，归纳法可以用于求解复杂的不等式，例如任意n个数的幂和与它们的算术平均的关系等。
例如，当我们需要求解一组数据的幂和与它们的算术平均的关系时，可以通过归纳法证明一个定理，从而确定幂和与平均值的关系。
在运用基本不等式求最值时务必注意三点一正、二定、三相
在运用基本不等式求最值时务必注意三点：一正、二定、三相等。
具体地说，首先要求字母或代数式的取值为正，其次是欲求和的最小值必须凑出积的定值，欲求积的最大值必须凑出和的定值，再其次就是当式子取到最值时，不等式中的等号确能成立。
基于这三方面的原因，在运用基本不等式求最值之前，一般要对题设式子进行变形。
在变形中，常常需要用到一些技巧，这就是本文所要说明的问题。
一、不满足“一正”条件类问题的处理例1. 当时，求的最大值。
解：，故当且仅当，即时，所求的最大值为－2。
例2. 当的最小值。
分析：由于一正一负，故不可用极值定理，用函数单调性来处理。
解：设，则因，从而f(x)为增函数，故所求的最小值为0。
二、不满足“二定”条件类问题的处理1. 求和的最值，积不为定值例3. 已知的最大值。
分析：要积为定值，必须要去掉分母中的，故须拆整式中的。
解：故所求的最大值为3。
例4. 已知的最小值。
分析：转化成积为定值再用定理。
解：，故最小值为4。
例5. 已知。
分析：合理变形，挖掘定值关系解：，当且仅当时取到最小值。
2. 求积的最值，和不为定值例6. 已知，求的最大值。
分析：因和的定值关系为一次式，故设法化积的关系为几个一次式的积。
，故最大值为。
三、不满足“三相等”条件类问题的处理例7. 求的最小值。
分析：若用极值定理，因当且仅当即时取到最小值，而，取不到，故不可用极值定理。
解：令，设故函数f（x）为减函数。
故。
点拨：类最值问题，如不满足极值定理条件，常用函数单调性来处理。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法用基本不等式求最值六种方法一．配项求 $\frac{9}{x-2}$ 的最小值。
解析：$y=\frac{9}{x-2}+2-2\geq 8$。
当 $x-2=2$ 时，即$x=5$ 时等号成立。
二．配系数求 $y=x^4-3x$ 的最大值。
解析：$y=\frac{1}{2}(3x^4-3x)\leq \frac{1}{2}\cdot 2=1$。
当 $x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ 时，即 $y=1$ 时等号成立。
三．重复使用不等式求 $a^2+b^2$ 的最小值，已知 $a>b>0$。
解析：$a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2=2ab$。
再用$a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2$，得 $a^2+b^2\geq 2ab+(a-b)^2$。
当 $a-b=b$ 时，即 $a=2b$ 时等号成立，此时$a^2+b^2=5b^2$。
四．平方升次求 $y=x+4-x^2$ 的最大值，当 $x>0$ 时。
解析：$y^2=x^2+2x(4-x^2)+(4-x^2)^2=8-2x^4+6x^2\leq8+(x^2+(4-x^2)^2)=16$。
当 $x=2$ 时，即 $y=4$ 时等号成立。
五．待定系数法求 $y=2\sin x(\sin x+\cos x)$ 的最大值。
解析：$y=2\sin^2 x+2\sin x\cos x=2\sin x(\sin x+\cos x)\leq 2\sqrt{(\sin^2 x+\cos^2 x)(\sin^2 x+2\cos^2 x)}=2\sqrt{\sin^2x+2\cos^2 x}$。
当 $\sin^2 x=2\cos^2 x$ 时，即 $\tan^2 x=2$，即 $x=\frac{\pi}{8}$ 时取得最大值 $\sqrt{6}$。
六．常值代换已知 $x>0,y>0$，且 $x+2y=3$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是指形如a≤b不等式。
在数学中，有许多方法可以使用基本不等式来求解最值的问题。
以下是六种常见的方法：方法一：直接使用基本不等式最常见的方法就是直接使用基本不等式求解最值。
这种方法适用于求解一个函数或表达式的最小值或最大值。
首先，找到要求解的函数或表达式，并用a表示自变量，用b表示函数的值或表达式。
然后，使用基本不等式将a和b进行比较，确定a和b之间的关系，从而得出最小值或最大值。
方法二：将问题转化为最值问题有时候，我们可以将原始问题转化为一个最值问题，然后再使用基本不等式求解。
例如，如果要求解一个多项式函数在一些区间上的最小值或最大值，我们可以求解多项式函数的导函数，并使用基本不等式得出导函数的最小值或最大值，从而得到原始问题的最小值或最大值。
方法三：分解求值当需要求解一个复杂的问题时，可以尝试将问题分解为若干个简单的问题，并求解这些简单问题的最值。
然后，使用基本不等式求出这些最值的函数值，再将它们组合起来求解原始问题的最值。
方法四：结合其他数学工具在一些特殊情况下，可以将基本不等式与其他数学工具结合使用，来求解最值问题。
例如，可以将基本不等式与数列极限定理、曲线图像分析等方法结合使用，来求解最值问题。
方法五：利用结论和定理有时候，基本不等式的求解可以直接应用一些已知的结论和定理。
例如，利用切线和切点的性质可以简化问题的求解过程，从而得到最值。
方法六：假设法和反证法假设法和反证法在不少情况下也是求解最值问题的有效方法。
假设法是假设一些变量的取值，然后通过推导和比较得出最值的范围。
反证法是通过假设不存在一些取值，并推导出矛盾，从而得出最值的范围。
以上是使用基本不等式求解最值问题的六种常见方法。
根据具体问题的特点和要求，可以选择合适的方法进行求解。
掌握这些方法将有助于我们更好地理解和应用基本不等式，解决实际问题。
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式求最值的方法有多种，以下列举了其中六种方法：
1.配凑法：通过观察式子中的各项，尝试将其配成基本不等式的形式，从而求出最值。
2.均值不等式：对于一组正数a1, a2, ..., an，其算术平均值大于等于几何平均值，即
(a1+a2+...+an)/n >= sqrt(a1a2...*an)。
利用此不等式，可以将式子变形，从而求出最值。
3.等号成立条件：在使用基本不等式时，需要注意等号成立的条件。
例如，在使用均值不
等式时，只有在a1=a2=...=an时，等号才会成立。
4.换元法：在求解一些复杂的不等式时，可以通过换元法将问题简化。
例如，设a=a1/b1,
b=a2/b2, ...，将原式化简后再使用基本不等式求解。
5.对勾函数性质：对勾函数是一种特殊的函数形式，其性质可以用来求解一些复杂的不等
式。
例如，当x>0时，x+1/x >= 2 (当且仅当x=1时取等号)。
6.三角不等式：对于一些涉及到三角函数的式子，可以使用三角不等式来求解。
例如，
|sin(a)-sin(b)| <= |a-b|。
利用基本不等式求最值的技巧
利用基本不等式求最值的技巧在运用基本不等式ab b a 222≥+与2b a ab +≤或其变式解题时,要注意如下技巧 1：配系数【例1】已知230<<x ，求)23(x x y -=的最大值. 【分析】按照“和定积最大”的思路，由于)23(x x -+不是定值，所以应把x 配出系数2成为x 2，使得3)23(2=-+x x 为定值. 【解】由于230<<x ，所以023>-x ,从而 89)2232(21)]23(2[21)23(2=-+⨯≤-=-=x x x x x x y ，当且仅当)23(2x x -=即43=x 时，89max =y . 说明:这里运用了2)2(b a ab +≤. 2:添加项【例2】已知23>x ，求322-+=x x y 的最小值. 【分析】按照“积定和最小”的思路，由于322-⨯x x 不是定值，所以应把x 变凑成23)32(21+-x ,使得1322)32(21=-⨯-x x 为定值. 【解】由于23>x ,所以032>-x ,于是 2723322)32(21223322)32(21322=+-⨯-≥+-+-=-+=x x x x x x y , 当且仅当322)32(21-=-x x 即25=x 时，27min =y . 3:分拆项【例3】已知2>x ，求2632-+-=x x x y 的最小值. 【分析】按照“积定和最小”的思路，必须把2632-+-=x x x y 分拆成两项,再配凑适当的系数,使得其积为定值.【解】由于2>x ,所以,3124)2(2124)2(2)2(3)22(26322=+-⨯-≥+-+-=---+-=-+-=x x x x x x x x x x y 当且仅当242-=-x x 即4=x 时，3min =y . 4:巧用”1”代换【例4】已知正数y x ,满足12=+y x ,求yx 21+的最小值. 【解】注意到844244)21()2(21=+⨯≥++=+⨯+=+xy y x x y y x y x y x y x ,当且仅当x y y x =4即21,41==y x 时，8)21(min =+y x . 一般地有,2)())((bd ac yd x c by ax +≥++,其中d c b a y x ,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解.【例5】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求zy x 941++的最小值. 【解】注意到y z z y x z z x x y y x z y x z y x z y x 499414)941()(941++++++=++⨯++=++ 36492924214=⨯+⨯+⨯+≥yz z y x z z x x y y x ,当且仅当x y y x =4,x z z x =9,y z z y 49=即21,31,61===z y x 时，36)941(min =++z y x . 5:换元【例6】已知c b a >>,求cb c a b a c a w --+--=的最小值. 【解】设c b y b a x -=-=,,则c a y x -=+,y x ,都是正数,所以42≥++=+++=x y y x y y x x y x w ,当且仅当x y y x =即b c a 2=+时，c b c a b a c a w --+--=取到最小值是4.说明:换元的目的是为了简单化与熟悉化,如果利用整体思想也可以不换元.【例7】已知1->x ,求8512+++=x x x y 的最大值. 【解】设t x =+1,则0>t ,7134213418)1(5)1(2=+≤++=+-+-=t t t t t y ,当且仅当tt 4=即1,2==x t 时，71max =y . 说明:这里如果不换元,则运算不是很方便.6:利用对称性【例8】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求121212+++++z y x 的最大值.【分析】由于条件式1=++z y x 与结论式121212+++++z y x 都是关于正数z y x ,,轮换对称的,故最大值必然是当31===z y x 时取到,这时35121212=+=+=+z y x ,从而得到下面证明思路与方向 【解】利用基本不等式b a ab +≤2得351235)12(2++≤⨯+x x , 351235)12(2++≤⨯+y y ,351235)12(2++≤⨯+z z ,以上三式同向相加得1053)(235)121212(2=++++≤+++++z y x z y x ,所以化简得15121212≤+++++z y x ,所以当且仅当31===z y x 时121212+++++z y x 取到最大值15.一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.7:直接运用化为其它【例9】已知正数b a ,满足3++=b a ab ,求ab 的取值范围.【分析】由于条件式3++=b a ab 含有b a ab +,,它们都在2b a ab +≤式中出现,故可直接运用基本不等式转化为待求式的关系式后再求.【解】利用基本不等式b a ab +≤2得323+≥++=ab b a ab ,令ab t =,则得0322≥--t t ,所以0)1)(3(≥+-t t ,由于0>t ,所以3≥t 即9≥ab ,故ab 的取值范围是),9[+∞.。
不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。