《高等数学》极限运算法则
高等数学：第五节 极限运算法则
lim
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 b1 xn1
am bn
a0 ,当n m, b0 0,当n m,
,当n m.
11/23
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1
n(n 1)
lim 2 n
n2
lim
n
n2 n 2n2
1. 2
12/23
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
y sin x x 13/23
例7
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
2/23
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
设函数y f [( x)]是由函数y f (u)与函数u ( x)复合而成，
f
[
(
x)]在x0的某个去心邻域有定义，若
lim
x x0
(
x)
u0
,
lim
高数求极限运算法则
高数求极限运算法则极限（Limit）是高等数学中非常重要的数学概念，是对函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，是理解微积分及其它研究的基础。
极限的求取是高数教学的重要内容，它不仅提高了学生的数学思维能力，还有助于培养其创新能力。
因此，高数求极限的运算法则的掌握就显得尤为重要。
一、定义极限又称无穷小，是指分母函数值趋近于无穷小，且分子函数值恒不变时，分母函数不变时其商函数极限，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$其中$xto a$（x逼近a）表示x不断逼近a，当$xto a$时，$f(x)=L$。
二、极限的计算1、无穷小的消去法即在极限的运算中，若分母中出现无穷小，可让其消去，即$lim_{xto a}f(x)=f(a)$，$f(a)$为极限值。
2、无穷大的消去法即若极限运算中出现无穷大，首先判断一下分子和分母的大小，根据大小将分母合理改写，使无穷大可以化简消去，然后将合理改写后的分母和分子相除，得到极限的值。
3、积分型极限计算法则即若函数形式为$frac{f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+cdots+f(x_n)}{x_0+x_1+x_2+cdots+x_n}$，此时函数的极限可以用随机积分法求出。
4、指数函数极限计算法则即若函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，当$xto infty$时极限值为无穷大；当$xto -infty$时极限值为0。
5、三角函数极限计算法则即当函数形式为$sin x$或$cos x$等三角函数的极限时，可以运用三角恒等公式，将它们改写成有限值表达式，求出其极限值。
6、指数型函数极限计算法则即当函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，此时函数的极限可以用对数函数法求出，其计算方法是将该函数改写成对数函数形式，再用极限运算法则加以求解。
三、总结1、极限定义：极限是指函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$2、求极限的方法：包括无穷小的消去法、无穷大的消去法、积分型极限计算法则、指数函数极限计算法则、三角函数极限计算法则、指数型函数极限计算法则等，其中各种方法有其特色，使用了正确的方法可以满足不同的求解要求。
高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结高等数学极限求法总结极限的判断定义是:单调递增有上界则有极限,单调递减有下界则有极限。
下面是小编整理的高等数学极限求法总结，希望对你有帮助！函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。
方能利用极限四则运算法则进行求之。
不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。
例 1 求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。
一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即极限为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。
高等数学 极限运算法则
x→ 0
x→ 0 2
x→ −∞
x→−∞
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内容小结
1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 2. 求函数极限的方法 分式函数极限求法 1 x →x0 时, 用代入法 ) ( 要求分母不为 0 ) 注意使用条件
2) x →x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
x −1 f (0 ) = lim f (x) = lim( 3 ) =−1 x→ + 0 x→ + x +1 0 故 lim f (x) =−1 x→ 0 x2 −1 lim f (x) = xlim( 3 ) = 0 → +∞ x +1 x→ +∞ lim f (x) = lim(x −1) =−∞
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 ,
2
但因
x −5x + 4 12 −5⋅1+ 4 lim = =0 x→ 2x −3 1 2⋅1−3
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结论：
1.已知多项式 2.已知分式函数 若 若 则 去公因子再求 则 求
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( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
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思考： 思考：1. 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 2.
问 是否存在 ? 为什么 ? 存在 , 矛盾 矛盾. 问 是否一定不存在 ?
高数极限运算法则讲解
高数极限运算法则讲解极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。
也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。
实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。
极限也是高等数学的重点。
二、极限的运算法则（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。
（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。
（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。
（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。
（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。
（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。
三、极限的应用（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。
高等数学极限的公式总结
高等数学极限的公式总结在高等数学中，极限的公式是非常重要的概念，这些公式能够帮助我们理解函数的极限，并进行极限的运算。
以下是一些常见的高等数学极限的公式总结：1. 极限的四则运算性质：lim(a+b) = lim a + lim blim(a-b) = lim a - lim blim(ab) = lim a lim b (假设lim a 和 lim b都存在)lim(a/b) = lim a / lim b (假设lim b 不等于0)2. 极限的常数性质：lim a = a (当a是一个常数)3. 极限的单调性：lim(f(x0+delta x) - f(x0)) / delta x = f'(x0) (当delta x -> 0)4. 连续函数的性质：如果f(x)在x0处连续，那么lim f(x) = f(x0) 当 x -> x05. 无穷小量与无穷大量：当x -> 0时，x是无穷小量，1/x是无穷大量。
6. 洛必达法则：如果lim (f'(x)/g'(x))存在，那么lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)) (当x->a时)。
7. 泰勒公式：对于任何n阶可导函数f(x)，存在一个多项式Pn(x)，使得对于所有-∞ < x < ∞，有f(x) = Pn(x) + o(x^n)，其中o(x^n)是高阶无穷小。
8. 夹逼准则：如果存在一个区间或闭区间[a, b]，满足f(a) <= g(a), f(b) >= g(b)，并且lim f(x) = lim g(x)，则lim g(x)存在，并且lim g(x) = lim f(x)。
9. 无穷大与无穷小的关系：lim x -> ∞ f(x) = lim x -> ∞ f(x) （如果存在的话）lim x -> ∞ f(x) = 0 （如果lim x -> ∞ f(x)存在的话）10. 极限的唯一性：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ时，有f(x) - A < ε。
《应用高等数学》极限的四则运算法则
《应用高等数学》极限的四则运算法则应用高等数学中的极限的四则运算法则是指在计算数列或函数极限时，可以利用四则运算的运算规则进行运算，以便更方便地求出极限值。
四则运算法则主要包括极限和、极限差、极限积和极限商四种情况。
1.极限和法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的和函数[f(x)+g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的和，即：lim (x→a) [f(x) + g(x)] = lim (x→a) f(x) + lim (x→a) g(x) 2.极限差法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的差函数[f(x)-g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的差，即：lim (x→a) [f(x) - g(x)] = lim (x→a) f(x) - lim (x→a) g(x) 3.极限积法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的积函数[f(x)*g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的积，即：lim (x→a) [f(x) * g(x)] = (lim (x→a) f(x)) * (lim (x→a)g(x))4.极限商法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且g(x)≠0，则它们的商函数[f(x)/g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的商，即：lim (x→a) [f(x) / g(x)] = (lim (x→a) f(x)) / (lim (x→a) g(x))需要注意的是，上述四则运算法则只适用于函数在点x=a处极限存在的情况，且在使用这些法则时应保持合理性，并且注意避免除以零等错误操作。
这些四则运算法则在高等数学中被广泛应用于求解各种极限问题，通过利用这些法则，可以更简洁、方便地求出函数的极限值，从而帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
高等数学第一章 函数与极限第五节 极限的运算法则1-5
( 型 ) ( 通分 ) 2 1 3 x x 1 3 0 ( 型) lim( ) lim 3 3 x 1 1 x 0 x 1 1 x 1 x 2 2 x x2 x x2 lim 3 lim 3 x 1 x 1 ( x 1) x 1 ( x 2)( x 1) lim 2 （消去零因子法） x 1 ( x x 1)( x 1) x2 1. lim 2 x 1 x x 1
11/22
2x 6 例8 求 lim x 3 x63
解
2x 6 (2 x 6)( x 6 3) lim lim x 3 x 6 3 x 3 ( x 6 3)( x 6 3 )
2
8/22
3n 1 例5 求 lim n 2n 1
解
( 型)
(无穷小因子分出法)
先用n去除分子分母，分出无 穷小，再求极限。
1 3 3n 1 3 n 。 lim lim n n 2n 1 1 2 2 n
9/22
1 3 ) 例6 求 lim( 3 x 1 1 x 1 x
x 0 x 0 x 0 x 0
x 0 x
lim ( x - 1) lim ( x 2)
0 1 1 ( 1交换顺序后的算式有意 义 (包括出现)，就可交换顺序。
5/22
sin
例2
求 lim
n
n 。 1 1 n
解
π limsin 0 n n 原式 0。 1 0 1 lim 1 n n
第五节
极限的运算法则
1. 极限的四则运算法则
2. 复合函数极限运算法则
3. 小结、作业
高等数学极限的运算法则
运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”.
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1 1 x2 x 2 lim lim x 2 故 lim 2 x2 x2 4 x 2 x 4 x 2 x 2 x7 3 例5 求 lim . x2 x2
解
由于分子分母的极限均为零，不能直接运用极限
1 1 x7 3 6
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例6
解
次幂
3x 2 x 2 求 lim 2 . x 2 x x 3
由于分子分母均为无穷大，不能直接运用极限
运算法则，通常把分子分母同除以分母中自变量的最高
1 3 2 3x x 2 lim x lim 2 x 1 x 2 x x 3 2 x
x 4 x 2 0 因为lim 0 x 2 x 2 lim x 2 4 x 2 x2 再由无穷小与无穷大的关系，得到lim 2 x 2 x 4 x2 例4 求 lim 2 . x 2 x 4 解 由于分子分母的极限均为零，不能直接运用极限
2
lim x 2 4
令u 3 x，因x 8时，u 2，则
x 2 u2 lim lim 3 x 8 x 8 u 2 u 8
3
u2 lim u 2 (u 2)(u 2 2u 4)
1 1 lim 2 u 2 u 2u 4 12
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退 出
f x A lim f ( x) （3） lim B 0 g x B lim g ( x)
.
（2） lim f x g x A B lim f x lim g x
高等数学极限求法总结
导 ，等效替换，换元等。
3.掌握基础，多做精题，总结方法。 精选例题：（多数为书上的好题难题，最重要掌握方法哦~） 一．求下面极限
1.
lim
x
3x2 +x+1 x3 +4x2 -1
解法一：判断形式为 ，法则不可直接用，结合“思路”中的第 5 个方法，分子分母同除
最高次幂
x3 ，即： lim x
x 2n
=
lim
n
sin
x 2n
x
x=x
2n
解法二：等价无穷小的替换，当
n→∞时，sin
x 2n
~
x 2n
，所以 lim 2n n
sin
x 2n
= lim 2n n
x 2n
=x
6. lim 1- cos x x0+ （x 1-cos x）
解：眼尖的可以一眼看出此式中有 2 个熟悉的形式
a-
b （有理化）和1- cos x~ 1 x2 2
满 足 条 件 1. g x f x （h x）， 2. lim g x =A，lim （h x）=A ， 则
x x0
x x0
lim f x 存在，且 lim f x =A
x x0
x x0
7 求极限的基本数学思想：
1． 步骤：判断形式 联系知识公式 巧妙变换转化 极限法则求极限
2.思路：从无极限走向有极限，各种方法轮着用，但是不乱用，错用。
lim（1+a）b
elimab ，另外注意 (1 O)
1,
(11
O O
)
1, O
0】
3. lima b =elimbln a 【因为 eblna (eln a )b ab 】
高等数学极限运算法则
x ＋2 ＋ax b) 2, 求a、b. 例6 设 lim( x x 1
2
2
解
x 2 axx 1 bx 1 左边 lim x x 1 2 1 a x a b x 2 b lim x x 1
商的极限存在，必须
a0 b , 当n m , 0 m m 1 a0 x a1 x a m lim 0, 当 n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
无穷小分出法:以分子、分母中自变量的最高次 幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.
解 所以 lim f ( x ) 1. 此外，易求得
1 3 1 2 3 x 2 3 x 1 x x x 0, lim f ( x ) lim lim 3 x x x 1 x 1 1 3 x lim f ( x ) . lim ( x 1 ) x x
解
所以 lim f ( x ) 1. 此外，易求得
x 0
x 1 , x 0 2 例 10 已知 f ( x ) x 3 x 1 , , x 0 3 x 1 求 lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ). x 0 x x
lim
x 0
1 1 x2 1
1 2
x3 a 例12 求 lim 3 . x a xa
3
解:
x a ( x a) 原式 lim 3 3 2 2 3 x a x a ( x ax a )
3 2
lim
x a
3 3 2
( x a)
高等数学极限运算法则
二、、 复合函数的极限运算法则
定理7. 设 且 x 满足 时,
( x) a , 又
x x0
则有
lim f [ ( x) ]
说明: 若定理中 lim ( x) , 则类似可得
x x0
x x0
lim f [ ( x) ] lim f (u ) A
u
x
x
BD
证: 当 x ( 0 , ) 时， 2
BC AB AD
1 x A o C
即
sin x x tan x
(0 x ) 2
sin x cos x 1(0 x ) 2 x
令t x
用于含三角或 0 反三角的 型 0
例. 1、求
n
1
1 n 1
e
lim (1 1 ) n 1 lim [(1 1 ) n 1 1） e （ n ] n n
n
1) x lim (1 x x
e
当
时, 令 x (t 1) , 则
1 lim (1 t 1) (t 1) t
x 3 3 10 10
10 x lim(1 ) e10 x x3
x 7 7
7 7 (1 ) 1 e7 10 x x 3 e 或 lim lim 3 x x e 3 x x 3 1 (1 ) x 3 lim(1 tan x)cot x
x x0 ( x )
lim f ( x) A
证明
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1 n1 1) n
n n
1 ) x (1 1 ) n 1 (1 x n
高等数学极限的运算法则与性质
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x2
x3 1 3x
5
lim( x3 1)
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
0,当n m,
,当n m,
7
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例4
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
13
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3. 函数极限的局部保号性
如果lim f (x) A, 且A 0(或A 0),那么 x x0
存在常数 0, 使得当0 x x0 时，有
f (x) 0(或f (x) 0).
14
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问题讨论
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
极限运算法则【高等数学PPT课件】
3
( x 2)( x 1)
lim
x1
(
x
1)(
x2
x
1)
x2
lim
x 1
x2
x
1
1
定理7 （复合函数的极限运算法则）
设 lim uu0
f (u)
A,函数u ( x)当x
x0时的极限存在
0
且等于u0，即
lim
x x0
(
x)
u0
,
但在U
(
x0
)内(
x)
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
(3)
lim
f
(x)
A ,
其中B 0.
g(x) B
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
推论2 如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
例1
求
lim
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
高数函数极限运算法则
高数函数极限运算法则函数极限运算是高等数学中一门重要的分支，它有助于阐明定理、证明公式、验证函数形式以及求函数值。
本文从三个方面，分别介绍函数极限的定义、概念及其。
一、定义函数极限运算(Function Limit Computation)是指当函数f(x) 中的x变化时，极限的概念用来表示函数的某些特性，比如这个函数的值的朝向、变化率等，以及这个函数可能到达的最大值或最小值。
在定义上，极限可以用函数f(x)中变量x的极限定义来表示，即：lim〖f(x)〗=L (x→a)其中L是一个常数，a是x的一个值或一组值，表示x→a时，f(x)的值准备趋近于L。
二、概念函数极限运算的目的是确定当x接近某个值（或称为无穷小值）时，f(x)的值是否保持恒定或出现忽略小量变化的趋势。
需要注意的是，在瞬时的情况下，f(x)的值是可以改变的，但是当x接近某个值时，f(x)的值可能保持恒定或是出现小量变化的趋势。
在确定极限的时候，我们需要考虑的概念有：有界极限和无界极限；连续极限和离散极限；对称极限和不对称极限；有穷极限和无穷极限；正极限和负极限等。
此外，在特殊情况下，我们还会考虑复数极限、多元极限和多元函数极限等概念。
三、运算在定义及概念的基础上，我们可以开始探讨运算函数极限的方法，其中包括求取函数极限的量化方法、求取极限的特殊性方法、求取函数极限的图解方法等。
1、量化方法利用量化方法求取函数极限，要从函数f(x)中提取特定的变量x，然后利用极限定义，即lim〖f(x)〗=L (x→a)，将f(x)变为L，最后采用代数运算，得出L的值，从而求出极限值。
2、特殊性方法利用特殊性方法求取函数极限，通过分析函数的特殊性，搜索到适用的极限求取方法，再根据某种特殊性求取极限值。
3、图解方法图解方法是求取函数极限的一种最简单的计算方法，这种方法通过绘图的形式，可以根据函数图形的特点，用直观的方式来判断函数极限的值。
综上所述，函数极限运算是高等数学中一门重要的分支，它与函数及其定义、概念及运算有着密切的联系，有助于阐明定理、证明公式、验证函数形式以及求函数值。
《高等数学》极限运算法则
若
f (x)
为无穷小, 且
f (x) f (x) 0, 则
f
1 (x)
为无穷大.
(自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 引理 3. 无穷小与无穷大的关系 推论
作业
P49：2，5
时的无穷小量 .
证: lim f (x) A
x x0
0 , 0 , 当 0 x x0 时,有
f (x) A
f (x) A lim 0
x x0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在 0 (正数 X ) , 使对
例 . 证明 lim 1 x1 x 1
y
y 1
x 1
o1 x
说明:
若 lim
x x0
f (x) ,
则直线 x x0
为曲线 y f (x) 的铅直渐近线 .
渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系
推论. 在自变量的同一变化过程中,
若 f (x) 为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
x1
lim 1 0, x x
函数
1 x
当 x 时为无穷小;lim 源自 0, 函数 1 当 x 时为无穷小.
x 1 x
1 x
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定义1. 若 x x0 (或 x ) 时 , 函数 f (x) 0 , 则 则称函数 f (x) 为 x x0 (或 x ) 时的无穷小 .
高等数学极限知识点总结
高等数学极限知识点总结
以下是高等数学极限知识点总结：
1. 极限的定义：极限是描述函数在某一点的行为的数学工具。
它包括数列的极限和函数的极限。
2. 极限的性质：包括唯一性，有界性，和收敛性。
3. 极限的四则运算法则：如果lim f(x)，lim g(x)存在，那么对于加减乘除四种运算，极限都存在。
4. 极限的夹逼定理：如果一个数列被两个已知极限的数列夹在中间，那么这个数列的极限就是这两个数列的极限。
5. 函数极限的运算法则：如果lim f(x)存在，那么lim [f(x) + c] = lim f(x) + lim c，lim [f(x) c] = lim f(x) lim c，其中c是一个常数。
6. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是一个趋于0的变量，无穷大是一个趋于无穷的变量。
7. 洛必达法则：当分子和分母的极限都存在时，可以求出函数的极限。
8. 泰勒级数：将一个函数表示为其各阶导数的无限和的方法。
9. 单侧极限和双侧极限：函数在某一点的单侧极限是指函数在该点的左侧或右侧的极限；双侧极限是指函数在这一点左侧和右侧的极限。
10. 连续性和可微性：如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续；如果一个函数在某一点的导数存在，则称该函数在该点可微。
以上就是高等数学极限的基本知识点，希望对你有所帮助。
高等数学极限运算法则与性质
2.设 f(x)Q P((x x)),且 Q (x0)0, 则有
limP(x)
limf(x) xx0
xx0
limQ(x)
xx0
P(x0) Q ( x0 )
f(x0).
若Q(x0)0, 则商的法则不 . 能应用
5
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铃
例2 求lxim 1x2x22x13.
解 x1时,分子 ,分母的极限. 都 ( 0是 型 )零 0
2
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铃
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则 数 lim cf([x)]clim f(x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果 lim f(x)存,在 而 n是正整 ,则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
3
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铃
二、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
解 li(m x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x 2
x 2
x 2
x 2
(lix m )23lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2232530,
lxim 2 x2x33x15
lim(
x2
lim(x2
x3 1) 3x
5)
23 1 3
7 3
先用 x3去除分子,再 分求 母极 . 限
35
lx im 27xx33
3x2 4x2
5lim2xx3
1
x 4 1 7xx3
2 7
.
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第一章
极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
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一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0,
当
时,有
当
时,有
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
可见
f (x)
b
3 lim
lim (a )
x0 x
x0
x
故
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x2 5x 4 12 5 1 4
lim
0
x1 2x 3
2 1 3
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例6 . 求
解:
时, 分母
分子
分子分母同除以 x2 , 则
431 9 1
原式 lim
x
x2
x
5
2
1 x
1 x2
“ 抓大头”
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一般有如下结果：
lim a0 xm a1xm1 am x b0 xn b1xn1 bn
定理 5 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 有 f (x) A , g(x) B , 其中 , 为无穷小
设
A A
1
(B A )
B B B(B ) 无穷小 有界
因此 为无穷小,
提示: 令 (x) f (x) g(x) 利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
x x0
lim Q(x)
x x0
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
例4.
(x 3)(x 1)
x 1
lim
lim
x3 ( x 3)(x 3) x3 x 3
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
x 1 u2 1
u 1
x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
(x 1)( x 1)
lim
lim( x 1)
x 1
x 1
x1
2
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内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
x x0
lim f [ (x) ] lim f (u) A
x x0
u
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例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知
1 lim u
x3
6
( 见 P46 例3 )
∴ 原式 =
6
6
1
6
( 见 P33 例5 )
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例8 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1, x 1
f (x) A , g(x) B
(其中 , 为无穷小)
于是
f (x) g(x) ( A ) (B )
( A B) ( )
由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 .
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推论: 若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 )
因此
22
这说明当
时,
Байду номын сангаас
为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
1
lim
n
n
n2
1
n2 2
1
n2 n
1
( P56 , 题 4 (2) )
解答见课件第二节 例5
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取 min1 , 2, 则当 0 x x0 时
0 (x) a u a
故
f (u) A , 因此①式成立.
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定理7. 设
且 x 满足
时,
(x) a , 又
则有
lim f [ (x) ]
x x0
说明: 若定理中 lim (x) , 则类似可得
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设
u M
又设 lim 0, 即 0,
当
x x0
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x (x0 , ) 时 , 就有
u u M M
故
即是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
为非负常数 )
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
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三、 复合函数的极限运算法则
定理7. 设
且 x 满足
时,
(x) a, 又
则有
①
证:
0, 0, 当 0 u a
时, 有 f (u) A
对上述
2 0,当
0 x x0 2 时, 有 (x) a
推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x)
( C 为常数 )
推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n ( n 为正整数 )
例2. 设 n 次多项式
试证
lim Pn (x) Pn (x0 ).
x x0
证: lim Pn (x) x x0
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注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
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3
lim
t0
t3
1 a t
故 因此
lim 3 t 3 1 a 0
t0
1 a 0
a 1
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作业
P49 1 （5），（7），（9），（12），（14） 2 （1），（3） 3 （1）
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备用题 设
求
是多项式 , 且
解: 利用前一极限式可令
f (x) A
g(x) 1 B
1
2
由极限与无穷小关系定B 理, 得 g(x) B
x ( x0 )
(详见P44)
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定理6 . 若 lim xn A, lim yn B , 则有
n
n
(1) lim (xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
1
1 1 1
2
x2
解法 2 令 t 1 , 则 t 0
x
原式 = lim 1 1 1 1 lim 1 t 2 1
t0 t
t2
t
t 0
t2
lim
t0
1
1
1 t2 1 2
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4. 试确定常数 a 使
解: 令t1,则
x
0 lim
t0
3 1 1
t3
a
t
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例1. 求
解:
1 lim 0 x x
利用定理 2 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
sin x y
x
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二、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n (n
1)
lim
1 (1
1 )
1
n 2n2
n 2
n2
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3. 求
解法 1
原式 = lim
x
x lim
x2 1 x x
1
n
(3) 当yn 0 且 B 0时, lim xn A n yn B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .