中考复习专题：隐圆(2020年整理).pptx
隐圆专题(培优班课件)
四、四点共圆
依据：对角互补（或一边所对的两个角相等）的四边形四个顶点共圆。
01
如图，在矩形ABCD中， AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。
2.应用：
02
因∠DCE=∠DFE=∠DPE=90°，知D、F、C、E、P共圆，如下图，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∽ΔDCF，CF：AP＝CD：AD，得CF＝1.5。
ABCCAB
（1）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是_________. 简析：E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为 。2.应用：
有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相识。“圆”出“缘”生关系现，“圆”成“缘”通真相明。
一、定点+定长
依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。
2.应用：（2）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。
简析：
2
2
1
由AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD得DE=BC=1，易求BD= 。
练习：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F作边AC上，且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值为_____.
M
01
02
练习：如图，已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°，求∠CAD的度数。
2024年中考数学重难点押题预测：隐圆问题(解析版)
隐圆问题3种模型通用的解题思路：隐圆一般有如下呈现方式：(1)定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；(2)定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。
当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。
(3)四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。
隐圆常与线段最值结合考查。
类型1：定点定长1(2023•新城区校级三模)圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．(1)已知：如图1，OA=OB=OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB=70°，则∠ACB= 35° ．如图，RtΔABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．(2)已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．(3)如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．【分析】(1)利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．(2)根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．(3)因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【解答】(1)以O为圆心，OA为半径作辅助圆，如图，，∵∠AOB =70°，∴∠ACB =35°，故答案为35°．(2)连接PB ，PE ，如图，Rt ΔABC 中，∠ABC =90°，∠BCA =30°，AB =2．∴AC =4，∠BAC =60°，BC =23．∵P 为Rt ΔABC 斜边AC 中点，∴BP =12AC =2，线段AC 平移到DF 之后，AB =AD =PE =2，BP =AE =2，∴四边形ABPE 为菱形，∵∠BAC =60°，∴∠BEA =30°，∵CF ⎳BD ，且∠ABC =90°，∴四边形BDFC 为直角梯形，∴S =12(BD +CF )×BC =12×6×23=63，(3)如图所示，以AB 为斜边在AB 的右侧作等腰直角三角形OAB ，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，当AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF 时，满足∠BQA =45°且此时四边形BADF 的面积最大，∴直线DF 与⊙O 相切于点Q ，连接OQ 交AD 于G ，过点O 作OH ⊥AD 于H ，则∠AHO =∠OHG =∠DQG =90°，∠OAH =45°，∠GDQ =30°，∵∠ABC =90°，∠BCA =30°，AB =2，∴BC =23，OA =OB =OQ =2，∴AH =OH =1，HG =33，OG =233，∴GQ =2-233，DG =2GQ =22-433，∴AD =AH +HG +GD =1+33+22-433=1+22-3，∴a =1+22-3，此时直角梯形ABFD 的最大面积为：S =12×(BF +AD )×AB =12×(23+1+22-3+1+22-3)×2=42+2．【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．2(2024•兰州模拟)综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在ΔABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 为平面内一点(点A ，B ，D 三点不共线)，AE 为ΔABD 的中线．【初步尝试】(1)如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM =AC ；②∠MDA +∠DAB =180°；【类比探究】(2)如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：AE =12CF ，请你帮他证明；【拓展延伸】(3)如图3，在(2)的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动(AD >AB )，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若AB =4，请直接写出BG 的最大值．【分析】(1)利用SAS 证明ΔABE ≅ΔMDE ，可得AB =DM ，再结合AB =AC ，即可证得DM =AC ；由全等三角形性质可得∠BAE =∠DME ，再运用平行线的判定和性质即可证得∠MDA +∠DAB =180°；(2)延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．利用SAS 证得ΔACF ≅ΔDMA ，可得CF =AM ，再由AE =12AM ，可证得AE =12CF ；(3)延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得ΔACF ≅ΔABM (SAS )，利用三角形中位线定理可得AE ⎳BM ，即AG ⎳BM ，利用直角三角形性质可得GP =12AC =12AB =2，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的⊙P 上运动，连接BP 并延长交⊙P 于G ′，可得BG ′的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】(1)证明：①∵AE 为ΔABD 的中线，∴BE =DE ，在ΔABE 和ΔMDE 中，BE =DE∠AEB =∠MED AE =ME，∴ΔABE ≅ΔMDE (SAS )，∴AB =DM ，∵AB =AC ，∴DM =AC ；②由①知ΔABE ≅ΔMDE ，∴∠BAE =∠DME ，∴AB ⎳DM ，∴∠MDA +∠DAB =180°；(2)证明：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∵∠BAC =90°，∠DAF +∠BAC +∠BAD +∠CAF =360°，∴∠BAD +∠CAF =180°，由(1)②得：∠MDA +∠DAB =180°，DM =AB =AC ，∴∠CAF =∠MDA ，在ΔACF 和ΔDMA 中，AF =AD∠CAF =∠MDA AC =DM，∴ΔACF ≅ΔDMA (SAS )，∴CF =AM ，∵AE =12AM ，∴AE =12CF ；(3)如图3，延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∴AF =AM ，∠MAF =180°-90°=90°，∵∠BAC =90°，∴∠MAF +∠CAM =∠BAC +∠CAM ，即∠CAF =∠BAM ，在ΔACF 和ΔABM 中，AC =AB∠CAF =∠BAM AF =AM，∴ΔACF ≅ΔABM (SAS )，∴∠AFC =∠AMB ，即∠AFN =∠KMN ，∵∠ANF =∠KNM ，∴∠FAN =∠MKN =90°，∴BM ⊥CF ，∵E 、A 分别是DB 、DM 的中点，∴AE 是ΔBDM 的中位线，∴AE ⎳BM ，即AG ⎳BM ，∴AG ⊥CF ，∴∠AGC =90°，∵点P 是AC 的中点，∴GP =12AC =12AB =2，∴点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，连接BP并延长交⊙P于G′，∴BG′的长为BG的最大值，在RtΔABP中，BP=AB2+AP2=42+22=25，∴BG′=BP+PG′=25+2，∴BG的最大值为25+2．【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．3(2022•番禺区二模)已知抛物线y=ax2+bx-32(a>0)与x轴交于点A，B两点，OA<OB，AB=4．其顶点C的横坐标为-1．(1)求该抛物线的解析式；(2)设点D在抛物线第一象限的图象上，DE⊥AC垂足为E，DF⎳y轴交直线AC于点F，当ΔDEF面积等于4时，求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点B运动到达点C，FM⊥FN交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为N，F，H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长．【分析】(1)利用对称性，求得A和B的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)证明ΔCGA和ΔDEF都为等腰直角三角形，利用等面积法求得DF=4，再求得直线AC的解析式为y =x-1，设点D的坐标，得到点F的坐标，然后求解即可；(3)先求得∠BDF=45°，推出点P的运动路径时H1N1的中点绕点F逆时针旋转90°得到N2H的中点之间的弧长，证明四边形DN2FE为正方形，即可求解．【解答】解：(1)∵点A，点B两点关于直线x=-1对称，AB=4，∴A(1,0)，B(-3,0)，代入y=ax2+bx-32得，a+b-32=09a-3b-32=0，解得：a=12b=1，∴抛物线的解析式为y=12x2+x-32．(2)如图1所示：∵DF⎳y轴⎳GC，∴∠GCA=∠DFE，∵抛物线的解析式为y=12x2+x-32=12(x+1)2-2，∴顶点C(-1,-2)，∵A(1,0)，∴AG=2，CG=2，∴ΔCGA为等腰直角三角形，∴∠GCA=∠DFE=45°，∵DE⊥AC，∴ΔDEF为等腰直角三角形，∴DE=EF，DF=2DE，∵SΔDEF=12DE⋅EF=4，∴DE=22，∴DF =2×22=4，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则k +b =0-k +b =-2 ，解得：k =1b =-1 ，∴直线AC 的解析式为y =x -1，设点D x ,12x 2+x -32 ，则F (x ,x -1)，∴DF =12x 2+x -32-(x -1)=12x 2-12=4，解得：x =3或x =-3(舍)，∴D (3,6)，F (3,2)．(3)如图2所示，∵ΔNFH 是直角三角形，∴ΔNFH 的外心是斜边NH 的中点，当点M 位于点B 时，△N 1FH 1，其外心是斜边H 1N 1的中点，当点M 位于点C 时，得△N 2FE ，其外心是斜边N 2H 2的中点，即N 2E 的中点，∵D (3,6)，B (-3,0)，∴tan ∠BDF =3+36=1，∴∠BDF =45°，由(2)得，∠FDE =45°，∴∠DBA =∠BAC =45°，∴BD ⎳AC ，∴FN ⊥BD ，∴DF 平分∠BDE ，∠BDE =90°，∴点D ，N ，F ，H 四点共圆，∴点P 在线段DF 的垂直平分线上，即点P 在N 2E 上运动，即点P 的运动轨迹是一条线段．∵∠DN 2F =∠N 2DH =∠DHF =90°，FN 2=FE ，∴四边形DN 2FE 为正方形，此时点P 在DF 上，且EP =2；当点M 与点C 重合时，此时点P 在DF 上，即为P 2，且FP 2=EP 2=2，由题意，BN 2=BD -DN 2=4，BF =210，N 2F =22，FN 2⎳DH 1，∴ΔBFN 2∽△BH 1D ，∴BN 2BD =BF BH 1，解得FH 1=10，∴FP 1=5，由勾股定理可得：P 1P 2=1，即点P 的运动轨迹长为1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．4(2021•红谷滩区校级模拟)(1)学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=80°，D是ΔABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= 40° ．(2)问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．(3)问题拓展：抛物线y=-14(x-1)2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ⎳BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，点D与点B，点Q不重合，求点P的坐标．【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．(2)由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，(3)①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D、C、Q、E共圆，得出∠CQB=∠OED=45°，求出CQ，再求点Q的坐标．②分两种情况，Ⅰ、当30°的角的顶点与点C重合时，Ⅱ、当60°的角的顶点与点C重合时，运用点D、C、Q、E共圆，求出CQ即点P的横坐标，再代入抛物线求出点P的纵坐标，即可求出点P的坐标．【解答】解：(1)∵AB=AC，AD=AC，∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC=12∠BAC=40°，(2)如图2，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BDC=25°，∴∠BAC=25°，(3)①如图3∵点B为抛物线y=-14(x-1)2+3的顶点，∴点B的坐标为(1,3)，∵45°角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，∴点D 、C 、Q 、E 共圆，∴∠CQB =∠CED =45°，∴CQ =BC =3，∴OQ =4，∴点Q 的坐标为(4,0)，②如图4，Ⅰ、当30°的角的顶点与点C 重合时，∵直角三角板30°角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，∴∠CQB =∠CED =60°，∴CQ =33BC =3，∴OQ =1+3，∴把1+3代入y =-14(x -1)2+3得y =94，∴点P 的坐标是1+3，94Ⅱ、如图5，当60°的角的顶点与点C 重合时，∵直角三角板60°角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，∴∠CQB =∠CED =30°，∴CQ =3BC =33，∴OQ =1+33，∴把1+33代入y =-14(x -1)2+3得y =-154，∴点P 的坐标是1+33，-154综上所述，点P 的坐标是1+3，94 或1+33，-154 ．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．类型2：定弦定角5(2022•雁塔区校级三模)问题提出(1)如图①，已知ΔABC 为边长为2的等边三角形，则ΔABC 的面积为 3 ；问题探究(2)如图②，在ΔABC 中，已知∠BAC =120°，BC =63，求ΔABC 的最大面积；问题解决(3)如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD ，其宽AB =20米，长BC =24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD 上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角∠AMB =45°，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD 区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】(1)作AD ⊥BC 于D ，由勾股定理求出AD 的长，即可求出面积；(2)作ΔABC 的外接圆⊙O ，可知点A 在BC上运动，当A O ⊥BC 时，ΔABC 的面积最大，求出A H 的长，从而得出答案；(3)以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且∠AOB =90°，过O 作HG ⊥AB 于H ，交CD 于G ，利用等腰直角三角形的性质求出OA ，OG 的长，则以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，从而⊙O 上存在点M ，满足∠AMB =45°，此时满足条件的有两个点M ，过M 1作M 1F ⊥AB 于F ，作EO ⊥M 1F 于E ，连接OF ，利用勾股定理求出OE 的长，从而解决问题．【解答】解：(1)作AD ⊥BC 于D ，∵ΔABC 是边长为2的等边三角形，∴BD =1，∴AD =AB 2-BD 2=3，∴ΔABC 的面积为12×2×3=3，故答案为：3；(2)作ΔABC 的外接圆⊙O ，∵∠BAC =120°，BC =63，∴点A 在BC 上运动，当A O ⊥BC 时，ΔABC 的面积最大，∴∠BOA =60°，BH =CH =33，∴OH =3，OB =6，∴A H =OA -OH =6-3=3，∴ΔABC的最大面积为1×63×3=93；2(3)存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB=20米，∴AH=OH=10米，OA=102米，∵BC=24米，∴OG=14米，∵102>14，∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，∴⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，∴EF=OH=10米，OM1=102米，∴EM1=14米，∴OE=OM12-M1E2=2米，∴CM1=BF=8米，同理CM2=BH+OE=10+2=12(米)，∴MC的长度为8米或12米．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．6(2023•灞桥区校级模拟)问题提出：(1)如图①，ΔABC为等腰三角形，∠C=120°，AC=BC=8，D 是AB上一点，且CD平分ΔABC的面积，则线段CD的长度为4．问题探究：(2)如图②，ΔABC 中，∠C =120°，AB =10，试分析和判断ΔABC 的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：(3)如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD ，满足BC =600米，CD =300米，∠C =60°，∠A =60°，主办方打算过BC 的中点M 点(入口)修建一条径直的通道ME (宽度忽略不计)其中点E (出口)为四边形ABCD 边上一点，通道ME 把四边形ABCD 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME ？若存在，请求出点A 距出口的距离AE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由题意可知，CD 是ΔABC 的中线，利用等腰三角形的性质推出CD ⊥AB ，利用三角函数求解即可解决问题；(2)当ΔABC 的AB 边上的高CD 最大时，三角形ABC 的面积最大，即CD 过圆心O ，连接AO ．求出CD 的最大值即可得出答案；(3)连接DM ，BD ．首先证明∠BDC =90°，求出BD ，推出ΔBDC 的面积是定值，要使得四边形ABCD 的面积最大，只要ΔABD 的面积最大即可，因为BD 为定值，∠A 为定角=60°，推出当ΔABD 是等边三角形时，求出四边形ABCD 的面积最大值，然后再求出∠MDE =90°，构建方程解决问题即可．【解答】解：(1)如图①，∵CD 平分ΔABC 的面积，∴AD =DB ，∵AC =BC =8，∴CD ⊥AB ，∠ACD =∠BCD =12∠ACB =60°，∴CD =AC cos ∠ACD =8cos60°=4，∴CD 的长度为4，故答案为：4；(2)存在．如图②，∵AB =10，∠ACB =120°都是定值，∴点C 在AB 上，并且当点C 在AB的中点时，ΔABC 的面积最大；连接OC 交AB 于点D ，则CD ⊥AB ，AD =BD =12AB =5，∠ACD =12∠ACB =60°，∴tan ∠ACD =AD CD ，CD =AD tan60°=533，∴S ΔABC =12AB ⋅CD =2533，答：ΔABC 的面积最大值是2533；(3)存在．如图③，连接DM ，BD ，∵M 是BC 的中点，∴CM =12BC =300，∴CM =CD ，又∵∠C =60°，∴ΔCMD 是等边三角形，∴∠MDC =∠CMD =60°，CM =DM =BM ，∴∠CBD =∠MDB =30°，∴∠BDC =90°，∴BD =CD ⋅tan60°=3003米，在ΔABD 中，BD =3003米，∠A =60°为定值，由(2)可知当AB =AD 时，即ΔABD 为等边三角形时ΔABD 的面积最大，此时也为四边形ABCD 的最大值(ΔBDC 的面积不变)，S max =S ΔBDC +S ΔBDA =12×300×3003+34(3003)2=1125003；∵ΔABD 是等边三角形，∴∠ADB =60°，∴∠ADM =∠ADB +∠BDM =90°，由S ΔEMD +S ΔCDM =12S max ，得：12DE ×300+34×3002=12×1125003，解得：DE =2253，∴AE =AD -DE =3003-2253=753(米)，答：点A 距出口的距离AE 的长为753米．【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．7(2023•柯城区校级一模)如图，点A 与点B 的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点．(1)使∠APB =30°的点P 有无数个；(2)若点P 在y 轴上，且∠APB =30°，求满足条件的点P 的坐标；(3)当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．【分析】(1)已知点A 、点B 是定点，要使∠APB =30°，只需点P 在过点A 、点B 的圆上，且弧AB 所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P 有无数个．(2)结合(1)中的分析可知：当点P 在y 轴的正半轴上时，点P 是(1)中的圆与y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P 的坐标；当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P 的坐标．(3)由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB 最大，只需构造过点A 、点B 且与y 轴相切的圆，切点就是使得∠APB 最大的点P ，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：(1)以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC ，以点C 为圆心，AC 为半径作⊙C ，交y 轴于点P 1、P 2．在优弧AP 1B 上任取一点P ，如图1，则∠APB =12∠ACB =12×60°=30°．∴使∠APB =30°的点P 有无数个．故答案为：无数．(2)①当点P 在y 轴的正半轴上时，过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，如图1．∵点A (1,0)，点B (5,0)，∴OA =1，OB =5．∴AB =4．∵点C 为圆心，CG ⊥AB ，∴AG =BG =12AB =2．∴OG =OA +AG =3．∵ΔABC 是等边三角形，∴AC =BC =AB =4．∴CG =AC 2-AG 2=42-22=23．∴点C 的坐标为(3，23)．过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，连接CP 2，如图1，∵点C 的坐标为(3，23)，∴CD =3，OD =23．∵P 1、P 2是⊙C 与y 轴的交点，∴∠AP 1B =∠AP 2B =30°．∵CP 2=CA =4，CD =3，∴DP 2=42-32=7．∵点C 为圆心，CD ⊥P 1P 2，∴P 1D =P 2D =7．∴P 2(0，23-7)．P 1(0，23+7)．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：P3(0,-23-7)．P 4(0,-23+7)．综上所述：满足条件的点P的坐标有：(0，23-7)、(0，23+7)、(0,-23-7)、(0,-23+7)．(3)当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH=2AE得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四边形OPEH是矩形．∴OP=EH，PE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH=EA2-AH2=32-22=5∴OP=5∴P(0,5)．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P(0,-5)．理由：①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合)，连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是ΔAMN的外角，∴∠ANB>∠AMB．∵∠APB=∠ANB，∴∠APB>∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB>∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此时点P的坐标为(0,5)和(0,-5)．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．类型3：四点共圆8(2022•中原区校级模拟)阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线(此线常称为西姆松线)．某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图(1)，已知ΔABC 内接于⊙O ，点P 在⊙O 上(不与点A ，B ，C 重合)，过点P 分别作AB ，BC ，AC 的垂线，垂足分别为点D ，E ，F ．求证：点D ，E ，F 在同一条直线上．如下是他们的证明过程(不完整):如图(1)，连接PB ，PC ，DE ，EF ，取PC 的中点Q ，连接QE ．QF ，则EQ =FQ =12PC =PQ =CQ ，(依据1)∵点E ，F ，P ，C 四点共圆，∴∠FCP +∠FEP =180°．(依据2)又∵∠ACP +∠ABP =180°，∴∠FEP =∠ABP ．同上可得点B ，D ，P ，E 四点共圆，⋯⋯任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②依据2指的是．(2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P 是BC 的中点时，BD =CF ，请你利用图(2)证明该结论的正确性．【分析】(1)利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；(2)利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E ，F ，P ，C 和点B ，D ，P ，E 四点分别共圆，再说明∠FEP +∠DEP =180°，可证明结论；(3)连接PA ，PB ，PC ，利用HL 证明Rt ΔPBD ≅Rt ΔPCF ，从而得出结论．【解答】(1)解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②依据2指的是圆内接四边形对角互补，故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；(2)解：如图(1)，连接PB ，PC ，DE ，EF ，取PC 的中点Q ，连接QE ．QF ，则EQ =FQ =12PC =PQ =CQ ，∴点E ，F ，P ，C 四点共圆，∴∠FCP +∠FEP =180°，又∵∠ACP +∠ABP =180°，∴∠FEP =∠ABP ，同上可得点B ，D ，P ，E 四点共圆，∴∠DBP =∠DEP ，∵∠ABP +∠DBP =180°，∴∠FEP +∠DEP =180°，∴点D ，E ，F 在同一直线上；(3)证明：如图，连接PA ，PB ，PC ，∵点P 是BC的中点，∴BP =PC ，∴BP =PC ，∠PAD =∠PAC ，又∵PD ⊥AD ，PF ⊥AC ，∴PD =PF ，∴Rt ΔPBD ≅Rt ΔPCF (HL )，∴BD =CF ．【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt ΔPBD ≅Rt ΔPCF 是解题的关键．9(2021•哈尔滨模拟)(1)【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ΔABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 是ΔABC 外一点，且AD =AC ，求∠BDC 的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助⊙A ，则点C 、D 必在⊙A 上，∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，从而可容易得到∠BDC =45°．(2)【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，∠BDC =25°，求∠BAC 的度数．(3)【问题拓展】如图3，如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．(2)由A 、B 、C 、D 共圆，得出∠BDC =∠BAC ，(3)根据正方形的性质可得AB =AD =CD ，∠BAD =∠CDA ，∠ADG =∠CDG ，然后利用“边角边”证明ΔABE 和ΔDCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS ”证明ΔADG 和ΔCDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB =90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH =12AB =1，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．【解答】解：(1)如图1，∵AB =AC ，AD =AC ，∴以点A 为圆心，AB 为半径作圆A ，点B 、C 、D 必在⊙A 上，∵∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，∴∠BDC =12∠BAC =45°，故答案为：45；(2)如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．∵∠BAD =∠BCD =90°，∴点A 、B 、C 、D 共圆，∴∠BDC =∠BAC ，∵∠BDC =25°，∴∠BAC =25°，(3)如图3，在正方形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠BAD =∠CDA ，∠ADG =∠CDG ，在ΔABE 和ΔDCF 中，AB =CD∠BAD =∠CDA AE =DF，∴ΔABE ≅ΔDCF (SAS )，∴∠1=∠2，在ΔADG 和ΔCDG 中，AD =CD∠ADG =∠CDG DG =DG，∴ΔADG ≅ΔCDG (SAS )，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH +∠3=∠BAD =90°，∴∠1+∠BAH =90°，∴∠AHB =180°-90°=90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则OH =AO =12AB =1，在Rt ΔAOD 中，OD =AO 2+AD 2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OH +DH >OD ，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值=OD-OH=5-1．(解法二：可以理解为点H 是在Rt ΔAHB ，AB 直径的半圆AB上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小)故答案为：5-1．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．10(2022•潢川县校级一模)如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC= 90°，且AB=AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．(1)小亮在研究这个图形时发现，∠BAC=∠BDC=90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为45°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；(2)小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；(3)在旋转过程中，若CD长为1，当ΔABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．【分析】(1)由∠BAC=90°，且AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=45°，由∠BAC=∠BDC=90°，推出A、B、C、D四点共圆，所以∠ADB=∠ACB=45°；由题意知ΔEAB≅ΔDAC，所以BE=CD，由AE=AD，∠EAD=90°，可知ΔADE是等腰直角三角形，推出CD+DB=EB+BD=DE=2AD；(2)如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．易证ΔEAB≅ΔDAC(SAS)，则BE=CD，由AE=AD，∠EAD=90°，所以ΔADE是等腰直角三角形，则DE=2AD，由BD-CD=BD-BE=DE，推出BD-CD=2AD；(3)当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，ΔABD的面积最大．【解答】解：(1)①如图，在图1中．∵∠BAC=90°，且AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵∠BAC=∠BDC=90°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB=45°；②由题意可知，∠EAD=∠BAC=90°，∴∠EAB=∠DAC，又AE=AD，AB=AC，∴ΔEAB≅ΔDAC(SAS)，∴BE=CD，∵AE=AD，∠EAD=90°，∴ΔADE是等腰直角三角形，∴DE=2AD，∵CD+DB=EB+BD=DE，∴CD+DB=2AD；故答案为45°，CD+DB=2AD；(2)线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD-CD=2AD．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．则∠DAE=∠CAB=90°，∴∠DAC=∠EAB，又AD=AE，AC=AB，∴ΔEAB≅ΔDAC(SAS)，∴BE=CD，∵AE=AD，∠EAD=90°，∴ΔADE是等腰直角三角形，∴DE=2AD，∵BD-CD=BD-BE=DE，∴BD-CD=2AD；(3)由(2)知，ΔCDA≅ΔBEA，∴∠CDA=∠AEB，∵∠DEA=45°，∴∠AEB=180°-45°=135°，∴∠CDA=∠AEB=135°，∴∠CDA+∠ABC=135°+45°=180°，∴A、B、C、D四点共圆，于是作A、B、C、D外接圆⊙O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此ΔABD的面积最大．作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，∵∠ADB=∠ACB=45°，∴∠GDB=22.5°，∠DBG=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°，∠HCB=∠DHC-∠HBC=45°-22.5°=22.5°，∴∠HCB=∠HBC，∴HB=CH=2，∴AD=BD=DH+BH=1+2．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。
中考数学专题复习 圆专题--隐圆 讲解解析
圆专题--隐圆知识点储备：构造出隐圆出来，可以运用与圆有关的几何性质去解题。
1、点圆距离。
点P 是圆O 外一点，连接PO 交圆与点A,点B ，则PA 是点P 到圆上的最短距离，PB 为点P 到圆上的最长距离。
证明：在△POB ’利用到三边关系：即PO+OB ’＞PB ’，OB ’=OB PO+OB=PB ＞PB ’.在△POA ’利用到三边关系:即 PA ’+OA ’＞ OA+PA,OA=OA ’,PA ’＞PA.点P 是圆O 内一点，连接PO 交圆与点A,点B ，则PA 是点P 到圆上 的最短距离，PB 为点P 到圆上的最长距离。
证明：同上;2、直径最长。
在圆中所有的弦中，直径最长。
AB 为直径，最长的弦。
3、点弦距离。
点P 是弧AB 上一动点，过圆心作弦AB 的垂线交于点E,交圆O 于点C,点D,若点P 在劣弧AB 上，当点P 与点C 重合，则点P 到AB 的最大距离为CE,若点P 在优弧AB 上，当点P 与点D 重合,则点P 到AB 的最大距离为DE,（此时点C 为劣弧AB 的中点，点D 为优弧AB 的中点） 证明：可以过点P 作AB 的平行线L ，L 与AB 的距离就是点P 到AB 的距离，当L 与圆O 只有一个交点时，即相切时，L 与AB 的距离最大，此时点P 与点C 重合，或点P 与点D 重合。
PA OBB'A'P AO BB'A'ABEF DA BOE CP P由上述结论可知：点P 在圆上运动，线段AB 长度固定， 当△PAB,为等腰三角形时，△PAB 的面积取最大（也要分在优 弧和劣弧两种情况。
）证明：因为 △PAB 底AB 不变，此时AB 边上的高最大，得面积也是最大的。
拓展：此时得到的△PAB 的周长也是最大的。
（也要分在优弧和劣弧两种情况。
）证明：1、当点P 在劣弧AB 上时，如图所示：AB 为定值，求△PAB 的周长最大，即求PA+PB 最大。
圆的专题复习隐圆
圆是到定点的距离等于定长的点 的集合。
一些表面与圆无关的问题，若 能发现一些点在同一个圆上，揭示 出隐含的“圆”，就能运用圆的丰 富性质为解题服务。
问题1.在四边形ABCD中，AB=AC=AD，
若∠BAC=25°,∠CAD=75°, 则
则∠DAO+∠DCO=
度
B
A
O
C
D
练习 . 已知O是四边形ABCD内一点， OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°， 则∠DAO+∠DCO= 150 度
B
B
A
O
A
O
C
C
D
D
问题2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6， E是AB的中点，F是线段BC上的动点，将 △EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接 B′D，则B′D的最小值是
借助圆，可以深刻理解旋转。
图形和线段的旋 转都可以分解成 点的旋转。 对应点到旋转中 心的距离相等， 对应点在以旋转 中心为圆心的同 一圆上。
借助圆，可以深刻理解旋转。
对应点与旋转中 心构成等腰三角 形； 这些等腰三角形 具有公共顶点；
借助圆，可以深刻理解旋转。
点、线段、三角 形等图形的旋转 可以看成同心圆 上的点、线段、 三角形等图形的 相对运动。
问题4.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分
别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，
得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0<α≤180°），记
直线BD1与CE1的交点为P．
（4）△PBC与△PD1E1面积和的最大值为
．
第2部分 专题5 强基专题5 隐圆问题 课件(共21张PPT)
d＝
k|82＋k| 1≤6，解得－3
7
7≤k≤3
7
7 .]
类型3 两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定隐 圆(距离平方圆)
【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－ 4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．
(1)在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P 的个数，若不存在，说明理由.
[跟进训练] 1．如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距 离为1，则实数a的取值范围是________．
－65，0 [由题意得圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4与圆x2＋y2＝1相 交，所以2－1< 2a2＋a＋32<1＋2,1<5a2＋6a＋9<9，
5a2＋6a＋8＞0， 5a2＋6a＜0，
第二部分 核心专题 师生共研
专题五 解析几何 强基专题5 隐圆问题
考查直线与圆、圆与圆的综合问题时题设条件中没有直接给 出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现 圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的相关知识来解决问题，这类 问题称为“隐圆”问题．
类型1 利用圆的定义或垂直关系确定隐圆
(2)若圆C上存在唯一的点Q，使得Q→A·Q→B＋2＝λ，求λ的值．
[解] (1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2. 假设圆C上存在点P，
设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2 ＋(y－2)2＝12，
≤y≤
27，所以点
M的纵坐标的取值范围是－
27，
27.]
【例1】 (1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，
2024专题4.1隐圆模型 课件(共23张PPT)-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
为__________.
6.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,AB∥CD,则BD=____.
15 定点定长型
P1
C
A
B
P2
B
C
D
A
E
强化训练
“隐圆”模型
提升能力
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接EF.
求证：∠AEF=∠C.
点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA运动.连
4 3
接AM和BN,交于点P,则PC长的最小值为____.
3
A
P
B
M
D
N
C
知识归纳
定边对定角---直径对直角
考点3-2
模型分析
C
图
形 A
B
条
AB为定线段(即直径),线段AB外一点C与A,B两
件
端形成的张角为直角(即∠ACB=90º),
四点共圆-对角互补
D
A
C
E
B
针对训练
四点共圆
考点3-3
2.如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD,AE=AC,AC＞AB
∠BAD=∠EAC=α,连接CD,BE交于点P,连接AP.
A
(1)求∠BPD的度数(用含α的代数式表示)；
(2)求证：∠APD=∠ABD.
(3)PA平分∠DPE.
(1)(2)利用四点共圆求解
2
(1)在旋转过程中,BD的最小值为_____；
⌒
(2)当α=30º,试判断BD与CD的位置关系,并给予证明；
(3)当C、D、B在同一直线上时,求BC的长。
初三专题——隐圆
一、几个点到某个定点距离相等可用圆（定点为圆心，相等距离为半径）例1如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______练习如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为________二、动点到定点距离保持不变的可用圆（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）例1木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）练习： 1如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为________中，，当最大时，的长是( )2如图，在ABCA ．1B ．C ．13D ．53如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90∘得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是____________.4如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________.三、过定点做折叠的可用圆（定点为圆心，对应点到定点的距离为半径）例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．练习：1如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF 所在直线折叠得到△EB’F，连接B’D，则B’D的最小值是____________2如图，在Rt△ABC中，∠B=60∘，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE 沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为：__________.四、90o的圆周角所对的弦为直径（动态问题中一般会出现多个直角，往往会有一个直角所对斜边是固定不变的，选取该斜边中点为圆心，斜边中线为半径）例1等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．练习：1如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若，线段CP的最小值是_____________2（2016·安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_______.3如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为（）A． B． C．2 D．4如图，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（7，3），点E 在边AB 上，且AE=1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP ，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H ，在点P 从点F （0，254 ）运动到原点O 的过程中，点H 的运动路径长为______．5如图，半圆的半径BC 为2，O 是圆心，A 是半圆上的一个动点，连接AB ，M 是AB 的中点，连接CM 并延长交半圆于点D ，连接BD ，则BD 的最大值为__________6（2016黄冈模拟）如图，在△ABC 中，∠C =90∘，点D 是BC 边上一动点，过点B 作BE ⊥AD 交AD 的延长线于E. 若AC =6，BC =8，则DEAD的最大值为（ ） A.12 B. 13 C. 34D. 22四、对角互补的四边形可用圆；角度存在一半关系的可用圆例1平面内有四个点A 、O 、B 、C ，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是__________练习1如图，AB 为直径，AB=4，C 、D 为圆上两个动点，N 为CD 中点，CM ⊥AB 于M ，当C 、D 在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD 的长（ ）A ．随C 、D 的运动位置而变化，且最大值为4B ．随C 、D 的运动位置而变化，且最小值为2 C ．随C 、D 的运动位置长度保持不变，等于2D ．随C 、D 的运动位置而变化，没有最值DOMCBADECBA五、一边固定及其所对角不变可用圆（定弦定角角）（圆心在弦的垂直平分线上且和弦的两端点形成的圆心角等于圆周角的两倍） 例1已知在ABC ∆中，=2AC ，=45o ABC ∠，则ABC ∆的最大面积为_____________例2如图，边长为3的等边ABC ∆，D E 、为AB BC 、上的点，且CE BD =，AD 与BE 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为__________:练习1如图,的半径为1,弦,点P 为优弧AB 上一动点,交直线PB 于点C,则的最大面积是___________2如图，半径为，圆心角为的扇形OAB 的上有一运动的点P 从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ，设的内心为I ，当点P 在上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为。
2020届中考数学一轮复习----圆的专题复习----隐圆教学课件 (共36张PPT)
D
C
M
A'
A
N
B
作业：
3．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活 动．将边长为2的正方形ABCD与边长为 2 2 的正 方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直 线上，AB与AG在同一条直线上． （1）小明发现 DG BE ，请你帮他说明理由．
3．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活 动．将边长为2的正方形ABCD与边长为 2 2的正 方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直 线上，AB与AG在同一条直线上． （ 2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋 转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出 此时BE的长．
问题2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6， E是AB的中点，F是线段BC上的动点，将 △EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接 B′D，则B′D的最小值是
问题2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6， E是AB的中点，F是线段BC上的动点，将 △EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接 B′D，则B′D的最小值是
专题复习
隐圆
我国战国时期科学家墨翟在 《墨经》中写道：“圆，一中同长 也”。
圆是到定点的距离等于定长的点 的集合。
一些表面与圆无关的问题，若 能发现一些点在同一个圆上，揭示 出隐含的“圆”，就能运用圆的丰 富性质为解题服务。
问题1.在四边形ABCD中，AB=AC=AD，
若∠BAC=25°,∠CAD=75°, 则
（3）如图3，若小明将正方形ABCD绕点A继续逆 时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H， 写出△GHE 与△BHD面积之和的最大值，并简要 说明理由．
则∠DAO+∠DCO=
人教版九年级数学上册第二十四章专题五模型拓展——隐圆模型教学课件
7.（2020·西藏）如图Z24－5－7，在矩形ABCD中， E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿 PE折叠，得到△PFE，连接CF．若AB＝10，BC＝12， 则CF的最小值为__8____．
类型二：四点共圆 （1）
条件：∠A＋∠BCD＝180°或∠DCE＝∠A， 结论：A，B，C，D四点共圆.
（2）
条件：∠BAC＝∠BDC， 结论：A，B，C，D四点共圆.
3.（创新题）如图Z24－5－3，在四边形ABCD中， ∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝68°，则∠CAD的 度数模型
类型一：直角所对的弦是圆的直径 （1）
条件：在⊙O中，AB为直径，点C在圆上， 结论：∠C＝90°.
（2）
条件：在△ABC中，∠C＝90°， 结论：点C在以AB为直径的⊙O上.
A
2.（2021·宜宾）如图Z24－5－2，⊙O的直径AB ＝4，P为⊙O上的动点，连接AP，Q为AP的中点， 若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是 _2_π____．
4. 如图Z24－5－4，四边形ABCD中，DC∥AB，BC ＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为______．
类型三：定弦定角 （1）
条件：若∠C＝∠D＝∠E， 结论：点A,B,C，D，E在同一个圆上.
D
类型四：动点到定点定长
条件：OA＝OB＝OC， 结论：点A，B，C在以点O为圆心，OA（或OB或OC） 为半径的⊙O上.
中考专题：隐圆
–1
–2
–3
P
隐圆
定边直角可作辅助圆
y
4
C
3
2
1
A
O
B
x
–5 –4 –3 –2 –1
A1 2 3 4 5
–1
–2
P
–3பைடு நூலகம்
隐圆
定边直角可作辅助圆
正方形ABCD中,AD=2,E,F在边DC,CB上,
且始终保持DE=CF,连接AE和DF交于点
P,则线段CP的最小值为
A
D
A
PE
D O
PE
B
FC
B
FC
隐圆
∠BDC=30°,则∠BAD= _______
隐圆
动点到定点距离相等可作辅助圆 在△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝30°,将△ABC绕顶 点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A′B′C 设AC中点为E,A′B′中点为P,AC＝a,连接EP,则EP长 度最大值为_______
隐圆
动点到定点距离相等可作辅助圆 在△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝30°,将△ABC绕顶 点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A′B′C 设AC中点为E,A′B′中点为P,AC＝a,连接EP,则EP长 度最大值为_______
隐圆
动点到定点距离相等可作辅助圆 在△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝30°,将△ABC绕顶 点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A′B′C 设AC中点为E,A′B′中点为P,AC＝a,连接EP,则EP长 度最大值为_______
隐圆
定边直角
1.圆中,直径所对圆周角为____ 2.固定线段AB所对动角C始终等于90°, 则A,B,C在以____为直径的圆上
2020年中考数学备考隐圆问题最牛讲义
爱“躲猫猫”的圆之“圆”形毕露几何求最值是初中数学难点之一，而“隐圆”问题便是常见的一类考题，此类问题综合性强（常常会牵扯到三角形、四边形、甚至坐标系等问题），隐蔽性强（不容易想到），加上部分题目的计算量很大，很容易造成同学们的丢分。
近年来在全国各地的中考或名校的模拟考试中经常会出现“隐圆”求最值的问题(2014、2015、2016、2017、2018连续五年陕西中考的压轴题的最后一问都牵扯到了隐圆）。
此类题目出现的位置一般是在填空的最后一题或是压轴题，基本都是难题。
广大学生在此问题上经常丢分，甚至已经到了谈“隐圆”变色的地步。
为此宁老师和靳老师针对此类问题进行归类整理，希望对同学们有所帮助。
何谓“隐圆”？所谓“隐圆”就是题目中明明有圆或者牵扯到圆但做题的人就是看不见的圆，需要通过对题目的分析，找到题目条件隐藏下的圆。
然后利用圆中的性质使得模糊问题清晰化、复杂问题简单化。
那么哪些条件就会隐藏圆呢？方案一：当题目中出现到定点的距离等于定长的点（或动点）即可考虑“隐圆”。
此即“定点定长存隐圆”。
例1：如图在四边形OABC中，AB=OA=OB=OC，则∠ACB的大小为______度。
分析：此题若直接从四边形问题入手可能会比较棘手，甚至无从下手；但若观察到题目中A、B、C三点到O点的长度相等，想到“定点定长存隐圆”。
那么A、B、C三点就在以O为圆心以OA为半径的圆上，此时问题就很容易解决了。
例2：如图，地面OB与墙OA垂直，在墙与地面斜放一根8米长的竹竿MN，当竹竿的N端点由O点开始向右平移直至竹竿的M端点与O点重合时结束，此时竹竿的中点P的运动长度是例1题图分析：要想求出P点运动的长度首先要知道P点是怎么走的也就是要知道P点的运动轨迹，观察到题目中P点到O点的距离始终不变（直角三角形斜边中线等于斜边一半），即可确定P点的运动轨迹为以O为圆心以OP长为半径的弧，那么所求问题也就随之解决。
方案二：在一个四边形中，若有一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变式 1：已知在四边形 ABCD 中，AD+DB+BC=16，则四边形 ABCD 面积的最大值为
.
变式 2：在△ABC 中，AB=3，AC= 当∠B 最大，BC 的长是
.
3.共端点三条线段为定长
引列 如图，已知 AB=AC=AD, ∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD 的度数为
.
引列图变式1图 4
1
变式 2：如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E,F 分别为 AD,DC 边上的点，且 EF=2，G 为 EF 的中 点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为
A
E
D
G
F
B
P
C
变式 3：在平面直角坐标系中，点 A 的为坐标为（3，0），B 为 Y 轴正半轴上的点，C 是第一象限内的点， 且 AC=2，设 tan∠BOC=m，则 m 的取值范围为
．
练习：如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，M 是边 CD 上一点，将△ADM 沿直线 AM 对折，得到△ANM． 1 当 AN 平分∠MAB 时，求 DM 的长； 2 连接 BN，当 DM=1 时，求△ABN 的面积； 3 当射线 BN 交线段 CD 于点F 时，求 DF 的最大值．
3
2.共端点两条线段为定长 在△ABC 中，AC=4,AB=5,则△ABC 面积的最大值为
中考复习专题：隐型圆
一、根据圆的定义作辅助圆 例 1 如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝p，BC＝q，求 BD 的长．
D
C
A
B
例 2、如图，正方形 ABCD 的边长为 2， 将长为 2 的线段 QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如
果点 Q 从点A 出发，沿图中所示方向按
⊥BD 于点 H，连接 AH，则 AH 的最小值为
.
A
D H
C
B
变式 2：如图，在正方形 ABCD 中，AB=2，动点 E 从点A 出发向点 D 运动，同时动点 F 从点D 出发向点 C 运 动，点 E，F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 AF,BE 相交于点 P，则线 段 DP 的 最 小 值 为 .
变式 4：如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，E 是 AB 边的中点，F 是线段 BC 上的动点，将△EBF 沿 EF 所在直线折叠得到△EB′F，连接 B′D，则 B′D 的小值是
式 5：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边 BC 上的动点， 将△CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是
变式 1：如图，在四边形 ABCD 中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则 BD=
.
C
A
B
变式2图 变式3图
变式 2：如图，在等腰△ABC 中，AC=BC，∠C=70°，点 P 在△ABC 的外部，且与点 C 均在 AB 的同
侧.如果 PC=BC，那么∠APC=
.
变式 3：如图，在△OAB 中，OA=OB，∠AOB=15°.在△OCD 中，OC=OD, ∠COD=45°，且点 C
滑动到点A 为止，同时点F 从点 B 出发，沿
图中所示方向按 线长为
滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段 QF 的中点 M 所经过的路
变式 1: 在矩形 ABCD 中，已知 AB=2cm，BC=3cm，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两 个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形 的面积为
5
方法：见直角 找斜边（定长） 想直径 定外心 现“圆”形。
引例 已知 A,B 两点在直线 L 的异侧，在 L 上求作点 P，使△PAB 为直角三角形，（尺规作图，保留 痕迹）
A
l B
变式 1：如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD，过点 C 作 CH
A
B
自主探索 1：在平面直角坐标系中，已知点 A（3，0），B（-1.0），C 是 y 轴上一动点.当∠BCA=45°时，
点 C 的坐标为
.y 543来自21 B -1 o
-1
A
12
3
4
5
6x
y 5 4
3
2
1 B -1 o
-1
A
12
34
5
6x
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
自主探索1图 自主探索2图
自主探索 2：在平面直角坐标系中，已知点 A（3,0），B（-1,0），C 是 y 轴上一动点.当∠BCA=60°时，
6
变式 3：直线 y=x+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 M，N,边长为 2 的正方形 OABC 一个顶点 O 在坐标系的原点，
直线 AN 与 MC 相交于 P.若正方形绕着点 O 旋转一周，则点 P 到点（0,2）长度的最小值是
.
方法三：见定角→找对边（定长）→想周角→转心角→现“圆”形.
问题提出 ：如图，已知线段 AB，试在平面内找到符合所有条件的点 C，∠ACB=30°（利用直尺和圆规作 图，保留作图痕迹，不写作法）
变式 6：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3,是 AB 边上的动点（不与点 B 重合），将△BCP
沿 CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接 B′A，则 B′A 长度的最小值是
．
2
变式 7：如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BCD=30°，BC=4，CD= ,M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边 上的一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C 长度的最小值是
点 C 的坐标为
.
7
y 5 4 3 2
1 B -1 o
-1
A
12
3
4
5
6x
-2 -3 -4 -5
自主探索3图 自主探索4图
y 5 4 3 2
在 OA 边上.连接 CB，将线段 OB 绕着点O 逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得 DE=OE,则∠BOC 的
度数为
.
知识架构 如图，点 A(2,0),B(6,0),CB⊥x 轴于点 AC，在 y 轴正半轴 求作点 P,使∠APB=∠ACB.(尺规作图，保 留作图痕迹)
y
C
OA B
x
归纳：当某条边与该边所对的角是定值时，该角的定点的轨迹是圆弧