固体物理学能带理论小结

能带理论

一、本章难易及掌握要求

要求重点掌握：

1）理解能带理论的基本假设和出发点；

2）布洛赫定理的描述及证明；

3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论；

4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；

5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；

6）会计算能态密度。

本章难点：

1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的

应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体；

2）对三种模型的证明推导。

了解内容：

1）能带的成因及对称性；

2）万尼尔函数概念；

3）波函数的对称性。

二、基本内容

1、三种近似

在模型中它用到已经下假设：

1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度

就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。

2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。

3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理

1）定理的两种描述

当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：

形式一：()()n

ik R n r R e r ψψ⋅+=r u u r r v u u v ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间

的波函数相位差

形式二：()()ik r

r e u r ψ⋅=r r r r ，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可

用受)(r u k ϖ调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+r v u u v ，n R ρ取布拉

维格子的所有格矢成立。

2）证明过程：

a. 定义平移算符µT ，)()()()(332211321a T a T a T R T m m m m ϖϖϖϖ=

b ． 证明µT 与ˆH

的对易性。ααHT H T =

c.代入周期边界条件，求出µT 在µT 与ˆH

共同本征态下的本征值

λ。即⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=+=)()(

()()

()(332211a N r r a N r r a N r r ϖϖϖϖϖϖϖϖϖψψψψψψ3

2

1

321,,a k i a k i a k i e

e

e

ϖϖϖϖϖ

ϖ⋅⋅⋅===λλλ

d. 将λ代入µT 的本征方程中，注意µ

T 定义，可得布洛赫定理。

)()(3

21321r R r m m m m ϖϖϖψλλλψ=+)()(332211r e

a m a m a m k i ϖϖϖϖϖψ++⋅=)()(r u e r k r

k i ϖϖϖ

ϖ⋅=！

3） 波矢k 的取值及其物理意义

333222111b N l b N l b N l k ϖϖϖϖ++= (2)

2j

j j N l N ≤<-，k 是第一布里渊区的

波失，称简约波矢。其是平移算符本征值量子数，而

)()()(m m R r r R T ϖϖϖϖ+=ψψ)

(r e m

R k i ϖϖϖψ⋅=反映了元胞之间电子波函数位相的变

化。同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设为布洛赫函数。 3、 近自由电子近似

1）思想：假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰 2）条件要求：原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外层电子以满足电子可以自由运动。

3）模型建立过程：

首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值，推出了能量的准连续性；

其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。

A 、非简并情况下

1)由假设1>,2>可得系统的哈密顿量和薛定谔方程：

'0H H H +=，22

02H V m

=-∇+h ，

微扰项：

V V x V H ∆=-=)('，满足的方程式: ψψE H =.

2)利用微扰论方法有设：.

)2()1(0Λ+++=k k k k E E E E ，

其中：

V m k E k +=2220η，0|'|)1(>==<='0

'

02

)

2(|'|'k k k k E E k H k E （K K ≠'） 设：.)()()()1(0Λ++=x x x k k k ψψψ 其中：

ikx k e L

x 1)(0

=

ψ, 0

''

'

0)1(|'|'k k k k k E E k H k ψψ∑

-><= （K K ≠'） 4）结论：

能量本征值：∑+-++=n

n k a

n k k m V V m k E ])2([2'2222

2

220

πηη 波函数：x

a

n

i n

n

ikx

ikx

k e

a

n

k k m V e

L

e

L

x ππψ2222

])2([211)(∑+-+

=

η

5）波函数的意义：

第一项是波矢为k 的前进的平面波，第二项是平面波受到周期性势场作用产生的散射波 再令x

a

n

i n

n

k e

a

n

k k m V x u ππ2222])2([21)(∑

+-+=η，则有)(1)(x u e L

x k ikx k =

ψ