8位移法1恢复
矩阵位移法的计算步骤及示例
单元①②和③：
35
⎡ 500 0 0 − 500 0 0 ⎤
⎢ ⎢
0
12 24
0
− 12
24
⎥ ⎥
(1)
k
=
(2)
k
=
(3)
k
=
10
3
⎢ ⎢⎢−
0 500
24 0
64 0
0 − 24 32 ⎥
500 0
0
⎥ ⎥
⎢ 0 −12 − 24 0 12 − 24⎥
⎢ ⎢⎣ 0
24 32
0
− 24
⎥ 64 ⎥⎦
8-8 矩阵位移法的计算步骤及示例 1
矩阵位移法的计算步骤：（以后处理为例）
（1）对结点和单元进行编号，建立结构（整
体）坐标系和单元（局部）坐标系，并对结
点位移进行编号。
（2）计算各杆的单元刚度矩 k (e)、k (e) 。
（3）形成结构原始刚度矩阵K。
（4）计算固端力
F
(e) F
、等效结点荷载FE及综合
⎢⎣0.0 0.0 6.0 12.0⎥⎦
由于连续梁的单元刚度矩阵为非奇异矩阵， 由此组集而成的结构刚度矩阵K 也是非奇异 的，故无需再进行支座约束条件处理。
（4）计算固端力列阵及等效结点 15 荷载列阵。
②单元的固端力列阵
F (2) F
=
⎧ 300 ⎫ ⎩⎨− 300⎭⎬kN
⋅
m
等效结点荷载列阵：
k(3)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(3) 2EI
⎢⎣ l ( 3 )
4
2EI l(3) 4EI l(3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3 4
（3）集成结构刚度矩阵K
清华大学结构力学第8章位移法107
2．基本方程的建立
基本未知量分为刚结点角位移和独立结点线位移两类，
与此对应，基本方程也分为两类。 如图，基本未知量为刚结点B的转角和柱顶的水平位移。
32
分析各杆两端的位移，可写出各杆的杆端弯矩如下：
33
Fx 0
基本未知量中，每一个转角有一个
相应的节点力矩平衡方程，每一个
独立结点线位移有一个相应的截面
M BA iA
15
三、固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称 为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时 针方向为负。
1. 两端固定梁 q
ql2 12 A
ql2 24
l
ql2 12
B
FPl 8
Fp FPl 8
A
B
FPl 8
l/2 l/2
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
M
由上节表可求各杆固端弯矩：
M
F AB
M
F BA
20kN 6m 8
15kN m
M
F BC
2kN/m (6m) 2 8
9kN m
故各杆杆端弯矩如下（各 杆的线刚度相等）：
M AB 2i B 15kN m M BA 4i B 15kN m M BC 3i B 9kN m
F AB
M
F BA
Fpl 8
16
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
ql2 8
A
q
ql2 16
l
3FPl 16
Fp
BA
B
5FPl 32
位移法的典型方程与力法的典型方程一样
位移法的典型方程与力法的典型方程一样位移法和力法是结构分析中常用的两种方法。
位移法是通过求解结构的位移来得到结构的反力，而力法是通过已知的外力和支座反力来求解结构的内力和位移。
尽管这两种方法的思想和计算过程不同，但它们的本质是相同的，都是基于平衡原理和变形原理，因此它们的典型方程也具有相似性。
一、位移法的典型方程位移法是一种基于变形原理的方法，它假设结构的变形是已知的，通过求解结构的位移来得到结构的反力。
位移法的典型方程是：$$boldsymbol{K}boldsymbol{u}=boldsymbol{F}$$其中，$boldsymbol{K}$是结构的刚度矩阵，$boldsymbol{u}$是结构的位移向量，$boldsymbol{F}$是结构的外力向量。
在这个方程中，$boldsymbol{u}$是未知量，$boldsymbol{K}$和$boldsymbol{F}$是已知量。
因此，通过求解这个方程，可以得到结构的位移和反力。
二、力法的典型方程力法是一种基于平衡原理的方法，它假设结构的外力和支座反力是已知的，通过求解结构的内力和位移来满足平衡条件。
力法的典型方程是：$$boldsymbol{K}boldsymbol{x}=boldsymbol{P}$$其中，$boldsymbol{K}$是结构的刚度矩阵，$boldsymbol{x}$是结构的位移向量，$boldsymbol{P}$是结构的等效节点力向量。
在这个方程中，$boldsymbol{x}$是未知量，$boldsymbol{K}$和$boldsymbol{P}$是已知量。
因此，通过求解这个方程，可以得到结构的内力和位移。
三、位移法和力法的相似性位移法和力法的本质是相同的，它们都是基于平衡原理和变形原理的。
因此，它们的典型方程也具有相似性。
首先，它们的典型方程都是线性方程组。
在位移法和力法中，结构的刚度矩阵和等效节点力向量都是已知的，未知量是结构的位移和反力（力法中是内力和位移）。
8-3、8-4位移法的基本未知量和基本结构__典型方程及计算步骤
§6.2.1 位移法的基本未知量
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点线位移数目=2
图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
确定角位移6个
确定线位移2个
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2）
结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
§6.2.1 位移法的基本未知量
1
2
1
1
2
3
§6.2.1 位移法的基本未知量
例1.
B
C
例2.
B
C
A 只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
A
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
2kN/m 16kN
A
i
6m
B
3m
i
3m 16kN
Z1
C
2kN/m
A
B
C
解 （1）选取基本体系。
（2）建立位移法典型方程。
r11Z1 R1 0
（3）求系数和自由项。
4i
Z1=1
r11
A
2i
B
3i 18 6
M 1图
C
4i
3i
6
R1P
A
B
MP图（kN.m）
C
6
18
r11 4i 3i 7i
典型方程
福建专升本建筑学力法位移法支座位移解析
一、静定结构在支座移动时的位移计算静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只会发生刚体位移。
因此，静定结构由于支座移动引起的位移计算属于刚体体系问题。
应用虚功方程求解时，虚拟状态的选取同前，因实际状态的变形为零，因此内力虚功为零。
这时结构的位移表达式可以根据式（8-9）改写为（8-28）如果令表示支座移动所引起的位移，为虚拟状态中的支座反力，表示支座位移，则式（8-28）改写为（8-29）式（8-29）就是计算结构由于支座移动所引起的位移表达式。
例8-11 图8-30a 所示为三铰刚架。
支座B 有水平位移a 和竖向位移b ，试求铰C 两边截面的相对转角。
图8-30解：为求C 铰两边截面的相对转角，需在其两边截面施加一对方向相反的单位力偶。
此时因单位力偶的作用产生的支座反力为、、、，如图8-30b 所示。
利用式（8-29），得∑⋅-=c R k K ∆ic ∆R c ∑⋅-=c R ic∆Ax F Ay F Bx F By F ())(h a 0a h 1b F a F c R By Bx C ic 弧度-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=⋅-⋅-=⋅-==∆∑ϕ负号表示C处的相对转动的方向与所设的单位力偶的转向相反。
例1 已知简支梁AB跨度为l，右支座B竖直下沉Δ，如图(a)所示。
求梁中点C的竖向位移ΔCV。
解：(1) 在梁中点C处加单位力P=1，如图(b)所示。
(2)计算单位荷载作用下的支座反力:由于A支座无位移，故只需计算B支座反力RB即可。
由对称得B支座反力RB=1/2 (↑)(3) 计算ΔCVΔCV=-∑RC=-(-1/2×Δ)=Δ/2 (↓)例2 图示三铰刚架跨度l=12m，高为h=8m。
已知右支座B发生了竖直沉陷C1=6cm，同时水平移动了C2=4cm (向右)，如图(a)所示。
求由此引起的左支座A处的杆端转角φA。
解: (1) 在A处虚设单位力偶m=1，如图(b)所示。
(2) 计算单位荷载作用下的支座反力由于A支座无位移，故只需计算B支座反力即可。
位移法典型方程、计算举例
2.78
M M P M 1 C M 2 CH
2.09
0.70
例题2
计算举例
B C
求作弯矩图，EI=常数，各杆长L=6m A
19 kN
D
E
变形图 19 kN
解：1. 位移法变量：θB，ΔAH
2.附加约束作MP图，
并求R1P，R2P R1P=0 ，R2P= –19 kN
R2P
2
你能验算 吗？
例题1
计算举例
16 8
MP
4）位移法方程
r11 C r12 CH R1 P 0 r21 C r22 CH R 2 P 0
3i 4i
C
40 23 i
CH
64 23 i
M1
3i/L
M2
6i/L
5）作M图
2.附加约束（刚臂和支杆）作MP图，并求R1P、R2P
qL2/8
R1P= qL2/16
R2P= – qL
qL2/8
qL2/16
C
R1P
M P图
R2P
例题3
计算举例
2i 3i 4i 4i r21 6i/L r22
3 .作 M 1、 M 2图，求 r11， r21， r12， r22
6i/L
3i r11
n n
图 ，i 1, 2 , , n 。 由
叠 加 原 理 ， 当 n 个 变 量 都 产 生 各 自 实 际 的 位 移（ 角 度 或 侧 移 ） 时 ，在 第 i 个 变 量 处 产 生 的 力 为 ：
r
j 1
ij
Z
j
， 为 消 去 该 处 的 约 束 力 ， 令 ：R iP
位移法1
EI
EA
Δ2
l
EI l FP
F2
Δ1
F1
12i/l
k21
3i/l
Δ1 1
FP
2EI
12i/l 3i/l
k11
M1
l
k22
8i
F1 k11 Δ1 k12 Δ2 F1P 0 Δ2 1 F2 k 21 Δ1 k 22 Δ2 F2 P 0
2
F2P k12 FP
Δ1
ql
q
Δ2
F2P
kij = kji 反力互等
FiP 荷载系数
刚度系数, 体系常数
ql
F1P
ql
l/2 l/2
9 23
q
ql
65 184 139 184
q Δ2
F2 F1
Δ2 1
Δ1
F1=0 F2=0
ql
EI=常数
ql
F1 k11 Δ1 k12 Δ2 F1P 0 F2 k 21 Δ1 k 22 Δ2 F2 P 0
F1P
MP
Δ1 1 k11
F1P 3ql 2 / 2
Δ1 3ql / 16i
2
k11
3i
ql 2 / 2
F1P
ql 2 / 2
M M 1 Δ1 M P
3 / 16 12 / 16 M
i
4i
9 / 16 6 / 16
ql 2
练习: 作M图，EI=常数. F1=0
FP l l l l/2 l FP/2 l l/2
1
位移法基本未知量
EI
位移法求解过程: 1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
位移法1
2013-7-15 16
2m
2EI 2
EI 1
2m
B
EI i=1
C
EI 1
E
无侧移刚架的计算
如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称 为无侧移刚架。 1、基本未知量B P=20kN q=2kN/m 2、固端弯矩
A
EI
3m 3m
B
B EI
6m
C
MAB
P
EI
B
MBC B
q
EI
Pl 20 6 mBA 15kN m 8 8 mAB 15kN m ql2 mBC 9kN m 8
3、列杆端转角位移方程
MBA
设i
4、位移法基本方程（平衡条件）
2013-7-15
EI 6
M AB 2i B 15
2013-7-15
BA
QDC
绘制弯矩图的方法：
（1）直接由外荷载及剪力计算；
（2）由角变位移方程计算。
23
A
5 24Q AB
l1
8
B
M（ql2）
A
1 24
EI
1 8B
绘制弯矩图 复习角变位移方程中的杆端剪力： 6i 5 2 M AB 6i A i AB 12i ql QAB 6m B QAB 2 24 l l l l
即刚度方程； 即位移法基本方程。
MBC
M BA 4i B 15
M BC 3i B 9
4、位移法基本方程（平衡条件）
5、各杆端弯矩及弯矩图
6 M AB 2i 15 16.72kN m 7i
结构力学-10-矩阵位移法1-83
i e u je
F yie M
e i
v je
je
F yje M
e j
F xje
T
华北理工大学建筑工程学院建筑力学教学部
（25/190）10:42
结构力学‐2
华北理工大学建筑工程学院建筑力学教学部
（a）
华北理工大学建筑工程学院建筑力学教学部
（27/190）10:42
§10-2 单元刚度矩阵
杆端横向位移△ij正负 号规定:使杆的j 端绕 i 端 作顺时针转时为正值。 Δij (vje vie ) 由两端固定等截面 直杆的转角位移方程有
结构力学‐2
6 EI e 4 EI e 6 EI e 2 EI e M 4i i 2i 6i i 2 v j j 2 vi l l l l l e e (v j vi ) 6 EI e 2 EI e 6 EI e 4 EI e e e e M j 2i i 4i j 6i i 2 v j j 2 vi l l l l l e 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI F yi 3 vie 2 i e 3 v je 2 je l l l l e 12 EI e 6 EI e 12 EI e 6 EI e F yj 3 vi 2 i 3 v j 2 j （b） l l l l
华北理工大学建筑工程学院建筑力学教学部 （23/190）10:42
§10-1 概述
重点：矩阵位移法基本思想 •化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件，杆件称作单元。 单元的连接点称作结点。 对单元和结点编码. 基本未知量:结点位移
第7章 位移法
A
M
F AB
MF BA
0
⑤
B
l
A
A i=EI/l M AB 4iA
MBA 2iA
⑥
BD
l i=EI/l A
M
AB
M BA
6i l
D
⑦
B
D
l
i=EI/l A
M AB M BA 0
14
四、说明：
⑴杆件的线刚度 i 应为杆件的抗弯刚度EI 除以杆件长度l，即： i=EI/l 。
⑵转角位移方程中杆端位移若为负应以负值代入以获得杆端弯矩.
⑶固端弯矩表在应用时，应随实际杆件所受荷载，其固端弯矩
作相应变化。
q
q
M
F AB
ql 2 8
A
BA
l
l
B
B
B
M
F BA
ql 2 8
q
q
A
M
F AB
ql 2 8
A
M
F AB
ql 2 8
固端弯矩表 P230表7-1
15
⑷补充固端弯矩表
l
l
3ql2/32
C
中点
方法二 基本体系解法(附加约束法)
6
Ex:位移法作图示连续梁的M图。
A
方法二 附加约束法
⑴构造基本结构确定基本未知量B=D1
⑵建立位移法方程
A
F1 k11D1 F1P 0
⑶作 M1, M图P
⑷求系数和自由项
A
k11 6i,F1P
⑸解方程
D1
位移法要点1位移法的基本未知量是结点位移2位移法
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m 25kN.m
32kN
A
D
4m
4m
4）解方程，求结点位移。
5）将结点位移代回杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩。 6）校核 （平衡条件）
2m
2EI 2
EI 1
2m
B
EI i=1
C
EI 1
E
§7-6
对称结构的计算
对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：
与对称轴重合的杆弯矩=0，剪力=0。
*§7-7
支座移动和温度改变时的计算
1、支座移动时的计算
基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样，只是固端 力一项不同。
1.5i
A
i B
l
i
M图
C
l
l
M BA 3iq B = 1.5i l M BC 3iq B 3i = 1.5i l l
2i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ=1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ=1
B
3i
i
l
0
A
－i
0
直接平衡法的计算步骤：
1）确定位移法的基本未知量。
（铰结点、 铰支座的转角， 定向支座的侧移 不作为基本未知量）。 2）由转角位移方程列杆端弯 矩表达式。 3）由平衡条件列位移法方程。
l
升温T°C
l L
l
C
l
l
Δ=αTL M=－3iΔ/h
l
l
l
l
八参数变换matlab -回复
八参数变换matlab -回复"八参数变换matlab"是一个涉及地图与影像处理的技术，它基于地理定位原理，用于将不同坐标系统下的地理数据进行转换。
本文将为您介绍八参数变换的原理和方法，并使用Matlab进行实际操作。
首先，我们来了解八参数变换的概念和背景。
当地理数据在不同坐标系统下的表示方式存在差异时，需要进行坐标转换。
常见的转换方法包括七参数方法和八参数方法。
七参数法适用于平面坐标的转换，而八参数法则用于三维坐标的变换，其中三维坐标包括经纬度和高程。
八参数变换模型假设了两个坐标系统之间存在一个典型的线性变换关系，通过对这个关系进行拟合来实现坐标的转换。
该变换模型的主要参数包括三维平移参数（dx、dy和dz）、三维旋转参数（ω、φ和κ），以及比例尺参数（m和s）。
其中，三维平移参数用于描述两个坐标系统之间的平移差异，三维旋转参数用于描述两个坐标系统之间的旋转差异，比例尺参数用于描述两个坐标系统之间的尺度差异。
接下来，我们将使用Matlab来进行八参数变换的实际操作。
首先，我们需要准备两个坐标系统下的地理数据。
假设我们有一个参考坐标系（A 系统）和一个目标坐标系（B系统），我们的目标是将A系统下的坐标转换到B系统下。
步骤1：导入数据和库首先，我们需要导入相关的库和地理数据。
使用Matlab的相关函数，例如'importdata'和'load'函数，导入需要进行转换的数据。
确保数据的格式正确，并将其存储在合适的变量中。
步骤2：设置八参数初始值在进行八参数变换之前，我们需要为八个参数（dx、dy、dz、ω、φ、κ、m和s）设置初始值。
这些初始值的选择可以采用人工设定或者通过其他方法估算得出。
步骤3：定义八参数变换函数接下来，我们需要定义一个八参数变换函数。
在Matlab中，可以使用函数来表示八参数变换模型。
函数的输入和输出参数分别为目标坐标系下的三维点和参考坐标系下的三维点。
第八章矩阵位移法-1
8-1 概述
局部坐标系示例
12
②
8-1 概述
13
5．结点位移整体码
• 按结点编码由小到大的顺序对结点的位移编码 • 不同问题，结点位移个数不同。
等截面连续梁每结点1个转角； 平面桁架每结点2个线位移； 平面刚架每结点3个位移；
8-1 概述
14
结构的离散化示例
8-1 概述
15
结构的离散化示例
后处理
Δi ui vi T
n个结点的位移向量为
Δ Δ1 Δ2 Δn T
或
Δ u1 v1 u2 v2
un vn T
8-1 概述
19
平面刚架FP2 的单元
FP1
平面刚架的结点位移向量：
Δ 1 2 3 4 u1 v1 1 u2
5 6 7 8 9
局部坐标系中:
(e)
(e)
1
(e)
δ
δi
(e)
2
ui
v
i
F1 (e) F xi (e)
(e)
F
F i
(e)
F 2
F
yi
δ j 3 u j
F j F 3 F xj
32
四.坐标系选择
常用的三种坐标系
8-1 概述
坐标系示例
33
②
2
3
②
2
3
8-1 概述
34
y
① x
2②
x
y
v2 2 u3 v3 3
第八章矩阵位移法-1-PPT精品
F yi
F
(e)
Fi
(e)
F
j
F3 F4
Mi F xj
F5
F6
F yj
M j
8-1 概述
32
四.坐标系选择
(e)
F
Fi
(e)
F2
F
yi
δ j 3 u j
F j F3 Fxj
4 v j
F4 Fyj
8-1 概述
29
刚架单元
局部坐标系：
(e)
δ
δ i (e) δ j
δ1 (e) δ 2 δ 3 δ 4
u i (e) vi
i
(e)
F
u j
(e)
F i F j
• 计算机计算：速度快，不怕重复。不具 有灵活性。所以处理格式最好统一，单 元类型要少。
8-1 概述
4
3.矩阵位移法是有限元法的雏形
结构矩阵分析也称为杆件结构的有限元法。
4.有限元法分析的基本思路：
离散：把整体拆开，分解成若干个单元； 集合：将单元按一定的条件集合成整体
把结构计算转化为单元的分析和集合问题。
8-1 概述
5
一.结构的离散化
单元：用杆的轴线代表。 结点：各杆轴线之间的交点。
按照自然数的顺序，对所有结点和 单元进行编号。
8-1 概述
6
例1
8-1 概述
7
例2
8-1 概述
8
例3
8-1 概述
9
结构的离散化要点
1．结点整体码：对结点以数字顺序编号， 相关结点编号的最大差值应尽可能小。
2．单元编号： 对单元按一定顺序以数字 编号，习惯上用①、②等来标记。
结构力学-位移法-PPT(1)
五、解题示例 q
A
øB B øB
l
l
原结构
Z1
q
A
øB B øB
Z1= 14EI/l
CA
B
C
2EI/l 3EI/l
ql2/8M1图 ql2/8
A C
B
C
基本体系 4EI 3EI 7EI r11 l l l
Mp图
r11 Z1 R1 p
R1 P
ql 2 8
0
Z1
R1 p r11
ql2 8
7 EI
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
M AB
3
EI l
A
3
EI l2
Δ
M
f AB
M BA 0
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QAfB
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QBfA
令：i
EI l
称为“线刚度”、 AB
l
称为“旋转角”，则：
M AB
3i A
R1 r11Z1 r12 Z 2 R1P R2 r21Z1 r22 Z 2 R2P
要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和 原结构受力相同，故本例中R1和R2应该为零
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
上式既为二个未知量的位移法典型方程
计算系数和自由项
B øB
(c)
A
Z1= øB
øB
一端固定另一端铰支座杆件_2022年学习资料
由于考虑了结，点和杆件的联结以及支座约束情-况，所以满足了结构的几何条件，即变形连续-条件和支座约束条件
z-C-D-B-位移法基本结构-位移法中采用增加附加约束，以限制原结构的结，点-位移而得到的新结构，称为位 法的基本结构-●在刚结点处附加刚臂，只限制刚结点的角位移，不限制-结点线位移，用符号“T”表示刚臂-对应于 立的结点线位移用附加链杆，只限制结点线位移。-3-封2-杀-A-。B
·将结构中所有刚结点和固-定支座，代之以铰结点和铰-支座，分析新体系的几何构-造性质，若为几何可变体系-则 过增加支座链杆使其变-为无多余联系的几何不变体-系，所需增加的链杆数，即-为位移法计算时的线位移数。-通常 况下，一个刚结点有一个-独立结点角位移（转角）。-●较支端的角位移不作为基本未知量。
位移法一端固定另一端铰支座杆件
5.1位移法基本概念-在计算超静定结构时，可设法求出结构中-的某些位移，通过位移与内力之间确定的-对应关系 求出相应的内力，从而对超静-定结构进行计算，这种计算超静定结构的-方法叫位移法
TT76-用位移法分析结构时，先将结构隔离成-单个杆件，进行杆件受力分析，然后考-虑变形协调条件和平衡条件 将杆件在-结点处拼装成整体结构。
位移法典型方程的物理意义：-基本结构在外荷载和结，点位移共同作用下，在每一个附加约束中产生的反-力等于零。 反映了基本结构受力与原结构是相同的，实质上代表了原结-构的静力平衡方程。-对于具有个独立结点位移的结构则可 立n个方程如下-rzn2z2+......+rinZn Rip =0-2Z+z2R2p=0-Fnz+n2Z +.+mZRp=0-KA+R=0-[K]-21-T22
附加-刚臂-链杆-●附加刚臂限制结点角位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加弯矩-●附加链杆限制结点线位移，荷 作用下附加链杆上产生附加集中力
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注：1、MAB,MBA绕杆端顺时
针转向为正。
Q0
AB
2、
Q0 AB
是简支梁的剪力。
P
MBA
+
P
QBA MBA
Q’‘ BA
Q0 BA
方法二：用力法求解单跨超静定梁
Δ
11X112X21CA 21X122X22CB
θA
X1
θB
X2
11E 1I2l 3 23E l I22 12E 12 Il1 36E l I21
解：
11X112X21C 0 21X122X22C 0
12210
11
l3 12 EI
22
l EI
1C
2C 0
X1
12
EI l3
X2 0
M M 1X 1M 2X 2
6EI l2
M
6EI l2
EI
l
X1
X2
l/2
X1 1
M1
1
M2
X2 1
§7-2 等截面杆件的刚度方程
一、由杆端位移求杆端弯矩
8位移法1恢复
第7章
位移法
N EA l l
§7-1 位移法的基本概念
i
1 2 34 5
B B
P
A i
Ai ,li B
ui
B N i
B
ui sini
i B
B
选择 基本 未知 量
物N理i 条E件lAi i ui
ui sini
变形条件
Ni EliAi sini
Ni
EAi li
sin i
EAi li
2i B
4i C
ql 2 12
§7-3 无侧移刚架的计算
如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这
种刚架称 为无侧移刚架。
P=20kN
q=2kN/m
1、基本未知量B
2、固端弯矩
A
EI B B EI
3m 3m
6m
MAB
EI
P B
MBC
q
C m BAFP 8l208 615kNm
mABF15kNm
ql 2
8
Q
f AB
5 8
q
l
Q
f BA
3 8
q
l
q
EI
Q AB
l
mBA
Q BA mBA f
ql 2
8
Q
f AB
3 8
q
l
Q
f BA
5 8
q
l
»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角
位移方程）：
MAB
4iA
2iB
6i l
mAB
f
MBA
2iA
4iB
6i l
mBAf
6 i
Q A B l
6 i Al
B 1 l2 2 i Q A B f
荷载引起的杆端内力称为载常数.（固端力）
P
q
A
B
C
D
如果已知各杆线刚度ｉ，及Ａ、Ｂ、Ｃ等点转角位移，
画出ＡＢ、ＢＣ杆的弯矩图。
M
AB
4i A
2i B
Pl 8
M BA
2i A
4i B
Pl 8
M BC
4i B
2i C
ql 2 12
M CB
衡前方规程定统！一使1 用。同内理力可得图仍按以B61iMAB31iMBA
MAB
A
MAB
A
EI
l
B
B
MBA MBA
A31iMAB61iMBA
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求杆端力， 变换上面的式子可得：
sin 2 i
P
几何条件
Ni sini P
平衡条件
EliAi sin2i P
P
EAi li
sin2 i
1 2 34 5
A
P
ui
Ni
EAi li
ui
M A0, F Y0
位移法基本要点: （1）基本未知量是结点位移； （2）基本方程的是静力平衡条件； （3）建立基本方程分两步——单杆分析（拆分）求得各杆件刚 度性质； 整体分析（组合）建立位移方向的平衡方程， 解方程求出基本未知量。 （4）由杆件的刚度方程求出杆件内力。
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
6i l
因MBA = 0，代入(1)式可得
MAB3iA 3li
Q A BQ 因B A B 6 li0 A ,Q A 6 liB B Q B 1 l2 i A 2 0 (2 )
MBA
代入（2）式可得
l
1 2
A
M A B iA M B A iA
例. 求图示梁由于支座移动引起的内力.
解： 11X112X21C 0
21X122X22C 0
12210
11
l3 12 EI
22
l EI
1C
l
2
X1
6
EI
l2
2C
X2
EI
l
M M 1X 1M 2X 2
2 EI l
M
4 EI l
EI
l
X1
X2
l/2
X1 1
M1
1
M2
X2 1
iC RiC
例. 求图示梁由于支座移动引起的内力.
QAB
6i l
6i l
12i l 2
(7-7)
几种不同远端支座的刚度方程
（1）远端为固定支座
MAB
A
EI l
（2）远端为固定铰支座
MAB
A
EI l
（3）远端为定向支座
MAB
A
EI
l
MBA
MAB4iA MBA2iA
2iB 4iB
6i 6i
l (1) l
因B = 0，代入(1)式可得
杆端力和杆端位移的正负规定
MAB
EI
①杆端转角θA、θB ，弦转角
β＝Δ/l 都以顺时针为正。
A
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正
l
B
MBA
对结点或支座以逆时针为正。
MAB
A
A MAB
1
方法一：由杆端弯矩
M A和 BM B引 A 起 A和 的 B
利用单位荷载法可求得
仅M对AB杆< 0B端弯M矩MBA符BAE设 线号I刚规ElI度定，Ai 便EE1l于II1213平MM MBAAAA>BB031l16iM M 32BAABM BBA61ilM 13BA
mBCF
ql2
8
9kNm
MBA
B EI
3、列杆端转角位移方程
设i
EI 6
B6 1iMAB 3 1iM BA l
MAB4iA MBA2iA
2iB 4iB
6i 6i
l (1) l
Q A BQ B A 6 li A 6 li B 1 l2 i 2 (2 )
已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为隔离体建立矩平衡方程：
QABMAB lMBAQA 0 B
MAB
QAB MAB
Q’‘ AB
1C
l
2C
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
令 i EI l
X1=1
1
M1
1/l
1
M2
X2=1 1/l
X1
4i
A
2i B
6i l
X2
2i A
4i B
6i l
Δ
可以将上式写成矩阵形式
M AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i
l 6i
l
A B
由单位杆端位移引起的杆端力称为 形常数。- 刚度系数
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
－i
QAB= QBA
6i l 12 i
l2
3i l
3i l2
0
二、由荷载求固
l
表7-1
Q BA
mAB f