非线性最小二乘法Levenberg-Marquardt method
matlab中的levenberg-marquard方法
在MATLAB中，你可以使用`lsqnonlin`函数来实现Levenberg-Marquardt方法。
Levenberg-Marquardt方法是一种非线性最小二乘问题的优化算法，用于求解具有高度非线性的目标函数的最优解。
该方法通过调整参数来平衡最速下降法和高斯-牛顿法之间的权衡，从而实现更快的收敛速度和更好的稳定性。
下面是使用Levenberg-Marquardt方法求解非线性最小二乘问题的基本步骤：1. 定义目标函数：首先需要定义一个非线性函数，表示你想要求解的最小二乘问题。
2. 定义初始参数估计值：根据问题的特点，给出一个初始的参数估计值。
3. 定义残差函数：将目标函数与实际观测数据之间的差异定义为残差函数。
4. 调用`lsqnonlin`函数：使用`lsqnonlin`函数来求解最小二乘问题。
该函数需要输入目标函数、初始参数估计值和残差函数，并返回最优的参数估计值。
以下是一个简单的示例代码，演示如何在MATLAB中使用Levenberg-Marquardt方法求解非线性最小二乘问题：```matlab定义目标函数fun = @(x) x(1)*exp(-x(2)*[1:10]) - [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20];定义初始参数估计值x0 = [1; 0.1];定义残差函数residuals = @(x) norm(fun(x));调用lsqnonlin函数求解最小二乘问题options = optimoptions('lsqnonlin', 'Algorithm', 'levenberg-marquardt');x = lsqnonlin(residuals, x0, [], [], options);disp('最优参数估计值:');disp(x);```在上述示例中，我们首先定义了一个目标函数`fun`，然后给出了初始参数估计值`x0`。
leveberg-marquadt算法
leveberg-marquadt算法
它是使用最广泛的非线性最小二乘算法，中文为列文伯格-马夸尔特法。
它是利用梯度求最大（小）值的算法，形象的说，属于“爬山”法的一种。
它同时具有梯度法和牛顿法的优点。
当λ很小时，步长等于牛顿法步长，当λ很大时，步长约等于梯度下降法的步长。
Levenberg-Marquardt算法是最优化算法中的一种。
最优化是寻找使得函数值最小的参数向量。
它的应用领域非常广泛，如：经济学、管理优化、网络分析、最优设计、机械或电子设计等等。
根据求导数的方法，可分为2大类。
第一类，若f具有解析函数形式，知道x后求导数速度快。
第二类，使用数值差分来求导数。
根据使用模型不同，分为非约束最优化、约束最优化、最小二乘最优化。
第六章LevenbergMarquardt方法
:
min t
f
(xk
td k
)。
Step5 :若||
AT k
f
(xk
) ||
,
则x*
xk1 , 算法结束;否则,
k : k 1,转Step2。
Gauss-Newton 法的优缺点: 优点:
(1) 对于零残量问题(即 f (x) 0),有局部二阶收敛速度. (2) 对于小残量问题(即 f (x)较小,或者接近于线性),有快的
fi ( xk x j
)
Ak
;
g(k) j
m
i 1
fi ( xk
) fi ( xk x j
)
gk 。
Step 3 : 令 d k
( AkT gk
Ak )1
AT k
AT k
f
f (xk
( )
x
k
)
如果rank( A) n 如果rank( A) n
Step4 : 令
x k 1
xk
tkd k , 其中tk
考虑如下的信赖域模型：
min s.t.
f (xk ) A(xk )(x xk ) 2
.
x xk 2 hk
其中hk 为信赖域半径.
这个方程的解可由解如下方程组得到:
A xk T A xk k I z A xk T f (xk )
(7)
从而:
xk1 xk
6.采用进退方法调整：一次成功迭代后将缩小，迭代 遇到困难时将放大。 7. 调整算法： 初始：给定步长放大因子 1和步长缩小因子0 1,
给定f ( x), 初始点 x，的初值，控制终止常数 。
Step1 : 求解( A( x)T A( x) I )z AT ( x) f ( x)得z 。
第四章-非线性最小二乘法
（公式4）
非线性最小二乘法公式化简
则F ( x ) 的梯度向量可写为
g ( x) 2 J ( x)
T
f ( x)
（公式5）
其海色（Hesse）矩阵可写为
G ( x ) 2 J ( x ) J ( x ) 2 f i ( x ) f i ( x )
T 2 i 1 m
（公式6）
否则求解线性方程组得到在许多实际问题中当局部解对应的目标函数值接近于0这时如果当迭代点接近较小gaussnewton法可望有较好的效果高斯牛顿法gaussnewton法levenbergmarquardt算法为了克服为奇异时gn算法所遇到的困难levenberg在1944年久提出用方程组公式12来计算修正量其中是一个在迭代过程中调整的参数但它的工作很少受到注意1963年marquardt重新提出后才受到广泛的应用所以被称为levenbergmarquardt算法
x
(k )
(k )
，并计算
F k 1 F k Jk f
T (k )
rk
2
(k )
T
(k )
T
J k J k
T
(k )
④若 rk
0 . 25 ，则置 v k 1 4 v k
；否则，如果 r
k
0 .75
，则置
；否则置 ⑤置 k k 1 ，转②
v k 1 v k / 2
k p
*
非线性最小二乘法的其他算法
• • • • • • 修正阻尼最小二乘法（MDLS方法） Powell混合算法 法方程求解 拟牛顿法 Gill-Murray方法 一般极小化方法和混合方法
2
第六章 Levenberg-Marquardt方法
T
f ( xk )
(7)
T
从而:
x
k 1
x A x
A x
k 1
k
T
A x
T
k
k I
1
A xk f (xk ) .
由于 A x A x I 正定(适当调整 ), 从而(7)产生的方向
如果
A x
k T
A x k f ( x k ) hk ,则 k 0 ;否则 k 0 .
S ( x ) f ( x ) A ( x x ) A d f ( x ) k
k k k
k k T k k [ A d f ( x ) ] [ A d f ( x ) ] , k k
k k 其中： d x x 。
2 k
2 k
k k T k k 记 ( x ) [ A d f ( x ) ] [ A d f ( x ) ] , 则可 min ( x ) k k
非线性最小二乘法
• 1.改进的Gauss-Newton法 • 2.Levenberg-Marquardt方法 • 3.信赖域(Biblioteka -M)方法一、非线性最小二乘法
1.一般形式：
min S ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )
T 2
T 其中： f ( x ) ( f ( x ), f ( x ),..., f ( x )) 1 2 m T x ( x , x ,..., x ) 1 2 n ;
Step 2 : 若 S ( x z ) S ( x ), 则令 ： 并返回 Step 1 。
levenberg-marquardt方法
levenberg-marquardt方法Levenberg-Marquardt方法是一种数值优化方法。
该方法主要是解决非线性最小二乘问题，是用于求解参数估计、函数拟合等问题的重要手段。
本文主要介绍Levenberg-Marquardt方法的原理、算法以及应用。
一、Levenberg-Marquardt方法的原理在介绍Levenberg-Marquardt方法之前，我们先介绍最小二乘问题。
最小二乘问题可以表示为：$$\min_{x\in R^n}||f(x)||_2^2$$其中，$f(x)$是一个从$R^n$到$R^m$，$m>n$的非线性函数。
我们要找到一个向量$x$，使得$f(x)$的平方范数最小。
我们可以使用梯度下降等方法进行求解，但是，这些方法存在收敛慢、易陷入局部最优等问题。
Levenberg-Marquardt方法就是为了解决这些问题而出现的。
Levenberg-Marquardt方法的主要思想是在牛顿法中加入一个衰减因子，这个衰减因子可以保证算法更快、更稳定地收敛到最优解。
具体而言，Levenberg-Marquardt方法将牛顿法中的Hessian矩阵加上一个一定的正定矩阵，这个正定矩阵的大小可以动态调整。
当这个矩阵的大小较小时，Levenberg-Marquardt方法就相当于梯度下降法；当这个矩阵的大小较大时，Levenberg-Marquardt方法就相当于牛顿法。
这个正定矩阵的大小可以通过迭代过程中的误差大小来动态调整。
二、Levenberg-Marquardt方法的算法Levenberg-Marquardt方法的算法可以表示为：输入：函数$f(x)$，初值$x_0$，最大迭代次数$maxIter$，误差容限$eps$，衰减因子$\lambda$，正定矩阵$J^TJ$。
输出：使得$f(x)$的平方范数最小的解$x$。
1.令$x=x_0$，$k=0$。
2.计算函数$f(x)$在$x$处的梯度$g_k=J_k^T(y_k-f_k)$，其中$y_k$是$f(x)$的近似值，$J_k$是$f(x)$在$x$处的雅可比矩阵，$f_k=f(x_k)$。
levenberg-marquardtalgorithm最小二乘算法
levenberg-marquardtalgorithm最小二乘算法Levenberg-Marquardt算法是一种用于求解非线性最小二乘问题的迭代算法。
它结合了Gauss-Newton方法和梯
度下降法的思想，通过迭代更新参数来最小化目标函数（即
残差平方和）。
算法的基本步骤如下：
1.初始化参数向量θ^0，选择一个足够小的正数μ>0和足够大的正数β>0。
2.对于k=0，1，2，...，直到收敛：
a.计算残差向量r=y−F(θ^k)，其中y是观测数据，F是模型函数。
b.计算雅可比矩阵J=∂F/∂θ，即F对参数θ的导数。
c.计算H=J^T*J+μ*I，其中I是单位矩阵。
d.计算δ=J^T*r。
e.计算θ^(k+1)=θ^k−H^(-1)*δ。
f.如果||δ||<β*||r||，则停止迭代，否则将μ增大一个数量级，并返回步骤2。
3.输出参数向量θ^(k+1)。
该算法在每一步迭代中都尝试最小化目标函数，直到达到收
敛条件。
其中，H是近似于目标函数的Hessian矩阵（即二
阶导数矩阵），而δ是残差向量。
通过求解线性方程组H*δ=J^T*r，可以得到参数向量的更新量。
在迭代过程中，μ是
一个阻尼因子，用于控制Hessian矩阵的近似精度。
如果迭代不收敛，则将μ增大一个数量级，以增加阻尼效果。
Levenberg-Marquardt算法在许多领域都有广泛的应用，例如曲线拟合、图像处理、机器视觉、控制系统等领域。
它是一种非常有效的非线性最小二乘求解方法，尤其适用于问题规模较大、非线性程度较高的情况。
求解非线性方程组的一种新的全局收敛的levenberg—marquardt算法
求解非线性方程组的一种新的全局收敛的levenberg—marquardt算法
Levenberg-Marquardt算法是一种全局收敛的求解非线性
方程组的算法，该算法是由Levenberg和Marquardt在1950年
从拟牛顿法的基础上发展而来的。
它能有效地求解非线性方程组，它兼顾了牛顿法的全局收敛性和梯度下降法的局部收敛性，是目前公认的非线性方程组求解中最有效的方法之
Levenberg-Marquardt算法是一种局部拟牛顿法，其基本
思想是在牛顿法的基础上引入一个收敛参数，以达到牛顿法的局部收敛性和全局收敛性的综合。
因此，Levenberg-Marquardt
算法在求解非线性方程组时具有较快的收敛速度和高的精度。
Levenberg-Marquardt算法的具体步骤如下：
1、建立拟牛顿法的迭代公式：DD=(DDD+λD)D−DDD；其中，DD表示迭代步长，J为雅可比矩阵，A为单位矩阵，F
为残差向量，λ为收敛参数。
2、根据迭代公式计算迭代步长DD。
3、根据迭代步长更新变量的值：D=D+DD；
4、根据新的变量值重新计算残差：D=D(D)；
5、检查收敛情况，如果迭代收敛，则结束；如果未收敛，则更新收敛参数λ，重复步骤1～
4，直到收敛结束。
Levenberg-Marquardt算法是一种全局收敛的求解非线性
方程组的算法，它能够有效地求解非线性方程组，是目前公认的求解非线性方程组的最有效方法之
一。
它在求解非线性方程组时，兼顾了牛顿法的全局收敛性和梯度下降法的局部收敛性，使得它在求解非线性方程组时具有较快的收敛速度和高的精度。
通俗易懂理解 lm(levenberg-marquardt)算法
通俗易懂理解lm(levenberg-marquardt)算法1. 引言1.1 概述Levenberg-Marquardt（简称LM）算法是一种优化算法，常用于参数估计和曲线拟合问题。
该算法结合了最小二乘法与高斯-牛顿方法的优势，能够快速且准确地找到使损失函数最小化的最优参数。
1.2 文章结构本文将首先介绍LM算法的基本原理，包括其产生历程、背景以及核心思想和优势。
之后将探讨该算法在不同领域中的应用案例，分别涉及优化问题求解、数据拟合和曲线拟合问题以及图像处理。
接下来，我们将详细讲解LM算法的实现步骤和关键技术点，包括初始参数设定、迭代控制策略、损失函数的定义与更新规则以及Jacobian矩阵计算及其优化方法。
最后，我们会对LM算法进行总结，并展望其未来发展趋势。
1.3 目的本文旨在以通俗易懂的方式解释LM算法，并通过实际应用领域的案例分析来展示它的价值与作用。
通过阅读本文,读者将能够全面理解LM算法的基本原理、实现步骤和关键技术点，并对其未来发展趋势有所了解。
无论是对于学术界还是工程领域，LM算法都具有重要的意义和应用价值，掌握该算法将为读者在相关领域中的研究和工作提供有力支持。
2. lm算法的基本原理:2.1 生产历程和背景Levenberg-Marquardt（LM）算法是用于非线性最小二乘问题求解的优化算法。
它起源于20世纪40年代，由K.A. Levenberg和D.W.H. Marquardt分别提出并发展而来。
LM算法在处理非线性优化问题上表现出色，因此被广泛应用于各个领域，如数据拟合、曲线拟合和图像处理等。
2.2 算法思想及优势LM算法的核心思想是将高效的最速下降法（steepest descent method）和牛顿法（Newton's method）结合起来，以克服两者在不同情况下的局限性。
它通过调整一个控制参数（称为阻尼因子）的大小来控制最速下降法和牛顿法之间的权衡。
最优化方法第二章_非线性最小二乘
k 0.75, 0.25 k 0.75, k 0.25,
T
从而，求解该问题的牛顿法为
xk 1 xk ( J ( xk )T J ( xk ) s ( xk )) 1 J ( xk )T r ( xk )
上式局部二阶收敛，但计算量大！
二、Gauss-Newton法 Gauss-Newton法 忽略难于计算的高阶项 s ( xk )
1 mk ( x) r ( xk )T r ( xk ) ( J ( x)T r ( xk ))T ( x xk ) 2 1 ( x xk )T ( J ( xk )T J ( xk ))( x xk ) 2
二、Gauss-Newton法 Gauss-Newton法的优缺点 对于零残量问题(即 r ( x* ) 0 )，具有局部二阶收敛速度。
对于小残量问题(即残差较小，或者接近于线性 )，具
有较快的局部收敛速度。 对于线性最小二乘问题，一步达到极小值点。 对于不是很严重的大残量问题，有较慢的收敛速度。
r ( x) r ( xk ) J ( xk )( x xk ) M k ( x)
从而求解线性最小二乘问题
1 min M k ( x) 2
由线性最小二乘理论知
2
xk 1 xk ( J ( xk ) J ( xk )) J ( xk ) r ( xk )
T T
1
xk d k
如果雅克比矩阵不满秩，下降方向取为最速下降方向。
采用带阻尼的G-N法，保证函数值下降(方法总体收敛)。
xk 1 xk k ( J ( xk ) J ( xk )) J ( xk ) r ( xk )
lsqcurvefit函数的默认算法 -回复
lsqcurvefit函数的默认算法-回复lsqcurvefit函数是MATLAB中用于拟合非线性最小二乘问题的函数。
它可以根据给定的数据点和拟合模型，找到最佳的模型参数。
lsqcurvefit 函数的默认算法是Levenberg-Marquardt算法。
在本文中，我将详细介绍Levenberg-Marquardt算法的原理和具体步骤，以及如何使用lsqcurvefit函数进行拟合。
首先，我们需要了解什么是最小二乘问题。
最小二乘问题是指找到一个函数的参数，使得该函数的预测值与实际观测值之间的差异最小。
在非线性最小二乘问题中，函数的参数和变量之间存在非线性关系，因此无法直接求解。
这就需要使用迭代方法来搜索最佳的参数。
Levenberg-Marquardt算法是一种经典的非线性最小二乘拟合算法。
该算法的核心思想是将最小二乘问题转化为一个无约束的优化问题，通过迭代的方式逐步优化参数。
下面我们将逐步介绍Levenberg-Marquardt算法的具体步骤。
1. 初始化参数：首先需要初始化函数的参数。
根据拟合模型的要求，选择一个初始参数向量。
2. 计算雅可比矩阵：雅可比矩阵是一个m \times n的矩阵，其中m 是数据点的数量，n是参数的数量。
雅可比矩阵的元素是对应的模型函数关于参数的偏导数。
通过计算雅可比矩阵，可以得到每个数据点对参数的影响程度。
3. 计算残差向量：残差向量是实际观测值与模型预测值之间的差异。
通过将函数的参数代入模型中，可以得到每个数据点的模型预测值。
然后，计算实际观测值与模型预测值之间的差异。
4. 计算雅可比矩阵的转置矩阵：为了后续计算，需要计算雅可比矩阵的转置矩阵。
5. 计算增量向量：根据以下公式计算增量向量：(J^T J + \lambda I) \Delta P = J^T r其中，J^T是雅可比矩阵的转置矩阵，\lambda是一个调节因子，I是单位矩阵，\Delta P是参数的增量向量，r是残差向量。
基于Levenberg-Marquadt的非线性最小二乘新型换流变压器漏感矩阵识别法
新型换流变压器及其滤波器数学模型
如图ｌ所示，新型换流变压器采用一种全新的
滤波技术，利用变压器绕组间的谐波安匝平衡来实 现谐波就近抑制和隔离屏蔽的滤波技术，其滤波原 理不同于传统的无源滤波技术和有源滤波技术，拥 有特殊的绕组接线结构【１９－２０］。
Ａ
Ｃ
ｌｃ４
图ｌ
Ｆｉｇ．１
新型换流变压器原理接线图
其漏感值不可能完全符合实际，因此有必要找到精
ｃａｎ ｎｏｔ
ｆｏｒｍｅｒ ｅｘａｃｔｌｙ．Ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｌｅａｋａｇｅ ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ
ｏｎｌｙ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ
ｒｅｄｕｎｄａｎｃｙ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｉｎｇ，ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｍａｔｒｉｘ ｑｕｉｃｋｌｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ，ｂｕｔ ａｌｓｏ ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｃｏｌｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｖｏｌｔａｇｅ ａｎｄ ｃｕｒｒｅｎｔ ｄａｔａ ｏｆ ｎｅｗ ｃｏｎｖｅｒｔｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｒ，ＳＯ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｍａｔｒｉｘ ｑｕｉｃｋｌｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ ａｎｄ ａｖｏｉｄ ｆａｌｌｉｎｇ ｉｎｔｏ ｌｏｃａｌ ｏｐｔｉｍａ
式中，三相新型换流变压器下标ｌ、２、３分别代表 一次绕组、延边和公共绕组，ｒ。、，．：、ｒ，为各绕组电 阻：帅为穿过铁心的公共磁链，惭、忱、妨为各绕 组漏磁链；惭，（ｉ＝１，２，３；ｊ＝ｌ，２，３；停可）为与两绕 组交链的漏磁链。根据图ｌ，“ｆ２、，３分别为惭、 忱、忱电感。ｍ１２、ｍ２ｌ、ｍ１３、ｍ３１、ｍ２３、ｍ３２为分 别对应惭２、忱１、惭３、％ｌ、忱３、％２的电感，由于 自漏磁通和互漏磁通主要是通过空气或者变压器油 闭合，因此对应的互漏阻抗均为常数，则有：
levenberg-marquardt法
Levenberg-Marquardt法是一种非线性最小二乘法的优化算法，用于拟合数学模型和参数估计。
它结合了最速下降法和高斯-牛顿法的特点，旨在寻找使模型的预测值与观测值之间残差平方和最小的参数。
以下是Levenberg-Marquardt法的基本原理和步骤：
定义目标函数：
将拟合问题转化为目标函数最小化的问题。
目标函数是通过数学模型计算的预测值与观测值之间的差异（残差）的平方和。
初始化参数：
为模型中的参数设置初始值。
迭代优化：
a. 计算雅可比矩阵：
根据当前参数值计算目标函数对各个参数的偏导数，形成雅可比矩阵。
b. 计算近似Hessian矩阵：
根据雅可比矩阵计算近似Hessian矩阵，用于近似目标函数的二次形式。
c. 更新参数：
根据近似Hessian矩阵和梯度信息，更新当前参数值。
根据问题的不同，可能使用Levenberg-Marquardt法的调整因子（lambda）来平衡最速下降和高斯-牛顿步骤。
d. 检查终止条件：
检查参数更新的大小，如果满足终止条件（如参数变化小于某个阈值），则停止迭代；否则，返回步骤a。
Levenberg-Marquardt法通过迭代优化的过程，逐步调整参数值，使目标函数达到最小值。
它在参数估计和曲线拟合等问题中被广泛应用，特别适用于非线性模型和数据带有噪声的情况。
levenberg-marquardt算法拟合椭球误差方程matlab
levenberg-marquardt算法拟合椭球误差方程matlab 1. 引言1.1 概述在计算机科学和数学领域，拟合问题是一种常见的数值优化任务，其目标是通过寻找一个函数或者数学模型来最好地逼近给定的数据集。
椭球误差方程作为一种重要的拟合问题，在多个领域中都有广泛的应用，比如地理测量、图像处理等。
椭球误差方程拟合问题旨在使用已知的数据点来确定一个椭球表面，从而使得与实际观测值之间的误差最小化。
1.2 文章结构本文将系统地讨论Levenberg-Marquardt算法在拟合椭球误差方程中的应用。
首先，我们将介绍Levenberg-Marquardt算法的原理和特点，并探讨其在优化问题中的优势和局限性。
然后，我们将详细说明椭球误差方程模型以及相关参数的获取和预处理方法。
接下来，我们将介绍如何使用Levenberg-Marquardt 算法进行椭球误差方程的拟合，并分析其效果与收敛性能。
最后，我们将设计实验并对结果进行分析和讨论，并提出一些改进方法与展望。
1.3 目的本文旨在探究和研究Levenberg-Marquardt算法在椭球误差方程拟合问题中的适用性和效果。
通过实验证明该算法在解决这一特定问题上的优势，并且为相关领域的研究提供一定的参考和借鉴。
同时，本文也希望找出使用Levenberg-Marquardt算法拟合椭球误差方程存在的问题与局限性，并对后续工作提出展望，以进一步改进和完善该方法在实际应用中的效果。
2. Levenberg-Marquardt算法:2.1 算法原理:Levenberg-Marquardt算法是一种非线性最小二乘拟合算法，常用于解决参数问题的拟合。
该算法的目标是通过调整参数值，使得误差函数的平方和最小化。
它结合了高斯-牛顿方法和梯度下降法的优点，通过引入一个阻尼因子来平衡两者之间的权衡。
算法的核心思想是在每次迭代过程中，根据当前参数值计算误差函数的梯度矩阵和雅可比矩阵，并通过求解一个增量方程获得新的参数估计值。
math.net levenberg–marquardt算法
levenberg–marquardt算法Levenberg-Marquardt 算法是一种非线性最小二乘优化算法，常用于求解非线性最小二乘问题。
它是在1963 年由Levenberg 和Marquardt 分别独立提出的。
算法基本思想是通过迭代的方式逐步逼近问题的最优解。
在每一次迭代中，算法首先根据当前估计值计算出目标函数的雅可比矩阵和海森矩阵，然后利用这两个矩阵来更新估计值。
如果更新后的估计值比当前估计值更接近最优解，则接受更新；否则，将更新后的估计值回退一定比例，以避免过大的更新导致算法发散。
以下是Levenberg-Marquardt 算法的基本步骤：1.初始化：选择一个初始的估计值x0，以及一个正的初始权重矩阵H0。
2.在每一次迭代中，根据当前的估计值x 和权重矩阵H，计算出目标函数的雅可比矩阵J 和海森矩阵H。
3.使用雅可比矩阵J 和海森矩阵H 来计算出目标函数的梯度g = J' * H * J * x + J' * H* lambda，其中lambda 是用于控制权重矩阵H 的一个向量。
4.计算出梯度g 的范数||g||，如果||g|| < tol（其中tol 是预先设定的一个很小的正数），则停止迭代；否则，继续下一步。
5.使用梯度g 和海森矩阵H 来计算出下一次迭代的估计值xnew。
6.如果更新后的估计值xnew 比当前估计值x 更接近最优解，则接受更新，即x =xnew；否则，将更新后的估计值回退一定比例，即x = x - alpha * (xnew - x)，其中alpha 是一个正的回退因子。
7.更新权重矩阵H，如果||gnew|| < ||g||，则将H 乘以一个小于1 的因子；否则，将H 乘以一个大于1 的因子。
8.返回步骤2，继续下一次迭代。
总的来说，Levenberg-Marquardt 算法是一种非常有效的非线性最小二乘优化算法，适用于求解各种非线性最小二乘问题。
matlab中levenberg-marquardt method -回复
matlab中levenberg-marquardt method -回复Levenberg-Marquardt算法是一种非线性最小二乘优化算法，主要用于拟合数据和参数估计。
本文将详细介绍Levenberg-Marquardt算法的原理、步骤和应用，并附上一些在MATLAB中使用该算法的示例代码。
一、Levenberg-Marquardt算法的原理Levenberg-Marquardt算法是由K.A. Levenberg和D.W. Marquardt 于20世纪60年代提出的。
它通过将高阶泰勒展开中的二次项引入到标准的Gauss-Newton算法中，从而在参数估计过程中更准确地逼近最优解。
该算法基于以下原理：1.1 高斯-牛顿法Levenberg-Marquardt算法是基于高斯-牛顿法的一种改进算法。
高斯-牛顿法是一种迭代的最小二乘优化算法，通过迭代更新参数直到满足一定的收敛条件。
它利用目标函数的雅可比矩阵（Jacobian matrix）和残差向量（residual vector）来进行优化。
1.2 问题建模在应用Levenberg-Marquardt算法之前，我们首先需要建立一个数学模型来描述实际问题。
这个模型通常是一个非线性方程或函数，可以用来表示我们需要拟合的数据或估计的参数。
1.3 误差函数和最小化目标Levenberg-Marquardt算法的目标是通过最小化误差函数来找到最优解。
误差函数通常是实际观测数据与数学模型之间的差异，我们希望通过调整参数来使误差最小化。
二、Levenberg-Marquardt算法的步骤接下来，我们将介绍Levenberg-Marquardt算法的具体步骤。
这些步骤将帮助我们理解该算法的实现过程。
2.1 初始化参数首先，我们需要初始化参数向量。
这些参数通常是我们需要拟合或估计的未知数，可以是常数、系数或其他变量。
2.2 构建残差向量和雅可比矩阵在每次迭代过程中，我们需要构建残差向量和雅可比矩阵。
lm算法matlab程序
lm算法matlab程序在lm算法matlab程序的编写过程中，我们需要先了解lm算法的基本原理和步骤，然后结合matlab语言特点进行具体实现。
下面将介绍lm算法的基本原理和在matlab中的程序编写步骤。
一、lm算法基本原理lm算法，全称Levenberg-Marquardt算法，是一种参数优化算法。
它主要用于非线性最小二乘问题的求解，通过调整参数的方式使得参数值能够最小化目标函数的误差。
该算法结合了高斯-牛顿法和最速下降法的优点，既能够收敛速度较快，又能够获得较精确的参数估计。
lm算法的基本思想是通过不断迭代调整参数值，使得目标函数的误差逐渐减小。
具体而言，它通过计算雅可比矩阵（Jacobian matrix）和李方差矩阵（Levenberg-Marquardt matrix）来更新参数值。
在每一次迭代中，首先计算目标函数的梯度，然后根据梯度和李方差矩阵的乘积来调整参数值。
如果调整后的参数值能够使目标函数的误差减小，则接受该调整并继续下一轮迭代；否则，减小李方差矩阵的乘积，再次尝试调整参数值。
总的来说，lm算法是一种迭代优化算法，通过不断更新参数值来求解非线性最小二乘问题。
接下来我们将具体介绍在matlab中如何编写lm算法的程序。
二、matlab程序编写步骤在matlab中，编写lm算法的程序主要包括以下几个步骤：1. 定义目标函数：首先要定义一个目标函数，它是一个关于参数的函数，用来计算目标函数的值。
可以根据具体的问题定义不同的目标函数，例如，可以定义一个二次函数作为目标函数。
2. 初始化参数：在开始迭代之前，需要给参数赋初值。
初值的选择通常是根据经验和问题的特点来确定的，可以根据实际情况进行调整。
3. 迭代计算：迭代计算是lm算法的核心部分。
在每一次迭代中，需要计算目标函数的梯度和李方差矩阵的乘积，并根据结果来更新参数值。
4. 判断终止条件：在进行迭代计算的过程中，需要不断判断是否满足终止条件。
莱文贝格-马夸特方法中的边界约束
标题：莱文贝格-马夸特方法中的边界约束1. 莱文贝格-马夸特方法简介莱文贝格-马夸特方法（Levenberg-Marquardt method）是一种用于非线性最小二乘问题的数值优化算法。
它是由Kenneth Levenberg 在1944年和Donald Marquardt在1966年分别提出的，用于解决优化问题中的非线性最小二乘拟合。
2. 边界约束在优化问题中的重要性在实际问题中，优化问题往往需要满足一定的边界约束。
例如在工程设计中，某些变量的取值范围可能受到实际条件的限制，这就需要在优化过程中考虑这些边界约束条件。
如果不满足边界约束，优化得到的结果可能并不符合实际需求，甚至无法实施。
3. 莱文贝格-马夸特方法中的边界约束处理在莱文贝格-马夸特方法中，边界约束的处理是一个重要的问题。
通常情况下，莱文贝格-马夸特方法并不能直接处理边界约束条件，因此需要借助其它方法来处理边界约束。
4. 常见的边界约束处理方法常见的处理边界约束的方法包括投影法、罚函数法和拉格朗日乘子法。
在这些方法中，投影法是一种比较常用的方法。
它的基本思想是通过将参数投影到可行域内来满足边界约束条件，从而得到满足约束条件的最优解。
罚函数法通过在目标函数中加入惩罚项来惩罚超出边界约束的参数值，从而间接地满足边界约束条件。
而拉格朗日乘子法则是通过引入拉格朗日乘子来将边界约束条件转化为目标函数中的约束条件，从而在满足约束条件的同时求解最优解。
5. 在莱文贝格-马夸特方法中应用边界约束处理方法在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的边界约束处理方法。
在使用莱文贝格-马夸特方法求解非线性最小二乘问题时，可以先将问题转化为带有边界约束条件的等价优化问题，然后再应用投影法、罚函数法或拉格朗日乘子法等方法来处理边界约束条件。
6. 结语莱文贝格-马夸特方法是一种非常有效的求解非线性最小二乘问题的数值优化算法，但在实际应用中需要考虑边界约束条件。
通过合理选择和应用边界约束处理方法，可以使莱文贝格-马夸特方法更好地满足实际问题的需求，得到更准确、可靠的优化结果。
非线性最小二乘法Levenberg-Marquardtmethod
非线性最小二乘法Levenberg-Marquardt method Levenberg-Marquardt Method(麦夸尔特法)Levenberg-Marquardt is a popular alternative to the Gauss-Newton method of finding the minimum of a function that is a sum of squares of nonlinear functions,Let the Jacobian of be denoted , then the Levenberg-Marquardt method searches in the direction given by the solution to the equationswhere are nonnegative scalars and is the identity matrix. The method has the nice property that, for some scalar related to , the vector is the solution of the constrained subproblem of minimizingsubject to (Gill et al. 1981, p. 136).The method is used by the command FindMinimum[f, x, x0] when given the Method ->Levenberg Marquardt option.SEE ALSO: Minimum, OptimizationREFERENCES:Bates, D. M. and Watts, D. G. Nonlinear Regression and Its Applications. New York: Wiley, 1988.Gill, P. R.; Murray, W.; and Wright, M. H. "The Levenberg-Marquardt Method." ?4.7.3 in Practical Optimization. London:Academic Press, pp. 136-137, 1981.Levenberg, K. "A Method for the Solution of Certain Problems inLeast Squares." Quart. Appl. Math. 2, 164-168, 1944.Marquardt, D. "An Algorithm for Least-Squares Estimation ofNonlinear Parameters." SIAM J. Appl. Math. 11, 431-441, 1963.Levenberg–Marquardt algorithm From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to: navigation, search[1]In mathematics and computing, the Levenberg–Marquardt algorithm (LMA)provides a numerical solution to the problem of minimizing a function, generally nonlinear, over a space of parameters of the function. These minimization problems arise especially in least squares curve fitting andnonlinear programming.The LMA interpolates between the Gauss–Newton algorithm (GNA) and themethod of gradient descent. The LMA is more robust than the GNA, whichmeans that in many cases it finds a solution even if it starts very far off the final minimum. For well-behaved functions and reasonable startingthe LMA tends to be a bit slower than the GNA. LMA can also parameters,be viewed as Gauss–Newton using a trust region approach.The LMA is a very popular curve-fitting algorithm used in many software applications for solving generic curve-fitting problems. However, the LMA finds only a local minimum, not a global minimum.Contents[hide], 1 Caveat Emptor, 2 The problem, 3 The solutiono 3.1 Choice of damping parameter, 4 Example, 5 Notes, 6 See also, 7 References, 8 External linkso 8.1 Descriptionso 8.2 Implementations[edit] Caveat EmptorOne important limitation that is very often over-looked is that it only optimises for residual errors in the dependant variable (y). It thereby implicitly assumes that any errors in the independent variable are zero or at least ratio of the two is so small as to be negligible. This is not a defect, it is intentional, but it must be taken into account when deciding whether to use this technique to do a fit. While this may be suitable in context of a controlled experiment there aremany situations where this assumption cannot be made. In such situations either non-least squares methods should be used or the least-squares fit should be done in proportion to the relative errors in the two variables, not simply the vertical "y" error. Failing to recognise this can lead to a fit which is significantly incorrect and fundamentally wrong. It will usually underestimate the slope. This may or may not be obvious to the eye.MicroSoft Excel's chart offers a trend fit that has this limitation that is undocumented. Users often fall into this trap assuming the fitis correctly calculated for all situations. OpenOffice spreadsheetcopied this feature and presents the same problem.[edit] The problemThe primary application of the Levenberg–Marquardt algorithm is in theleast squares curve fitting problem: given a set of m empiricaldatum pairs of independent and dependent variables, (x, y), optimize the parameters iiβ of the model curve f(x,β) so that the sum of the squares of the deviationsbecomes minimal.[edit] The solutionLike other numeric minimization algorithms, the Levenberg–Marquardtalgorithm is an iterative procedure. To start a minimization, the userhas to provide an initial guess for the parameter vector, β. In many Tcases, an uninformed standard guess like β=(1,1,...,1) will work fine;in other cases, the algorithm converges only if the initial guess is already somewhat close to the final solution.In each iteration step, the parameter vector, β, is replaced by a new estimate, β + δ. To determine δ, the function s are approximated by their linearizationswhereis the gradient (row-vector in this case) of f with respect toβ.At its minimum, the sum of squares, S(β), the gradient of S with respect to δ will be zero. The above first-order approximationof gives.Or in vector notation,.Taking the derivative with respect to δ and setting theresult to zero gives:thwhere is the Jacobian matrix whose i row equals J, ithand where and are vectors with i componentand y, respectively. This is a set of linear iequations which can be solved for δ.Levenberg's contribution is to replace this equationby a "damped version",where I is the identity matrix, giving as the increment, δ, to the estimated parameter vector, β.The (non-negati ve) damping factor, λ, isadjusted at each iteration. If reduction of S israpid, a smaller value can be used, bringing the algorithm closer to the Gauss–Newton algorithm,whereas if an iteration gives insufficient reduction in the residual, λ can be in creased,giving a step closer to the gradient descent direction. Note thatthe gradient of S withrespect to β equals .Therefore, for large values of λ, the step willbe taken approximately in the direction of the gradient. If eitherthe length of t he calculated step, δ, or the reduction of sum of squares from the latest parameter vector, β + δ, fall below predefined limits, iteration stops and the last parameter vector, β, is considered to be thesolution.Levenberg's algorithm has the disadvantage that if the value of damping factor, λ, is large, Tinverting JJ + λI is not used at all. Marquardt provided the insight that we can scale each component of the gradient according to the curvature so that there is larger movement along the directions where the gradient is smaller. This avoids slow convergence in the direction of small gradient. Therefore, Marquardt replaced the identity matrix, I, with the diagonal matrix Tconsisting of the diagonal elements of JJ,resulting in the Levenberg–Marquardt algorithm:.A similar damping factor appears in Tikhonovregularization, which is used to solve linear ill-posed problems, as well as in ridgeregression, an estimation technique instatistics.[edit] Choice of damping parameter Various more-or-less heuristic arguments have been put forward for the best choice for the damping parameter λ. Theoretical argumentsexist showing why some of these choices guaranteed local convergence of the algorithm; however these choices can make the global convergence of the algorithm suffer from the undesirable properties of steepest-descent,in particular very slow convergence close to the optimum.The absolute values of any choice depends on how well-scaled the initial problem is. Marquardt recommended starting wit h a value λ 0 and a factor ν>1. Initially setting λ=λ and 0computing the residual sum of squares S(β)after one step from the starting point with the damping factor ofλ=λ and secondly with 0λ/ν. If both of these are worse than the 0initial point then the damping is increased by successive multiplication by ν until a betterpoint is found with a new damping factor of kλν for some k. 0If use of the damping factor λ/ν results ina reduction in squared residual then this is taken as the new value of λ (and the newoptimum location is taken as that obtained with this damping factor) and the process continues; if using λ/ν resulted in a worse residual, but using λ resulted in a better residual then λ is left unchanged and the new optimum is taken as the v alue obtained with λ as damping factor.[edit] ExamplePoor FitBetter FitBest FitIn this example we try to fit the function y= acos(bX) + bsin(aX) using theLevenberg–Marquardt algorithm implemented in GNU Octave as theleasqr function. The 3 graphsFig 1,2,3 show progressively better fitting for the parameters a=100, b=102 used in theinitial curve. Only when the parameters in Fig 3 are chosen closest to the original, are thecurves fitting exactly. This equation is an example of verysensitive initial conditions for the Levenberg–Marquardt algorithm. One reason for this sensitivity is the existence of multiple minima — the function cos(βx) hasminima at parameter value and[edit] Notes1. ^ The algorithm was first published byKenneth Levenberg, while working at theFrankford Army Arsenal. It was rediscoveredby Donald Marquardt who worked as astatistician at DuPont and independently byGirard, Wynn and Morrison.[edit] See also, Trust region[edit] References, Kenneth Levenberg (1944). "A Method for theSolution of Certain Non-Linear Problems inLeast Squares". The Quarterly of Applied2: 164–168. Mathematics, A. Girard (1958). Rev. Opt 37: 225, 397. , C.G. Wynne (1959). "Lens Designing byElectronic Digital Computer: I". Proc.73 (5): 777. Phys. Soc. Londondoi:10.1088/0370-1328/73/5/310., Jorje J. Moré and Daniel C. Sorensen (1983)."Computing a Trust-Region Step". SIAM J.(4): 553–572. Sci. Stat. Comput., D.D. Morrison (1960). Jet Propulsion. Laboratory Seminar proceedings, Donald Marquardt (1963). "An Algorithm forLeast-Squares Estimation of NonlinearParameters". SIAM Journal on AppliedMathematics 11 (2): 431–441.doi:10.1137/0111030., Philip E. Gill and Walter Murray (1978)."Algorithms for the solution of thenonlinear least-squares problem". SIAM15 (5): Journal on Numerical Analysis977–992. doi:10.1137/0715063., Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006).. Numerical Optimization, 2nd EditionSpringer. ISBN 0-387-30303-0.[edit] External links[edit] Descriptions, Detailed description of the algorithm can beNumerical Recipes in C, Chapter found in15.5: Nonlinear models, C. T. Kelley, Iterative Methods for, SIAM Frontiers in Applied Optimization Mathematics, no 18, 1999, ISBN0-89871-433-8. Online copy, History of the algorithm in SIAM news, A tutorial by Ananth Ranganathan, Methods for Non-Linear Least Squares Problems by K. Madsen, H.B. Nielsen, O. Tingleff is a tutorial discussingnon-linear least-squares in general andthe Levenberg-Marquardt method inparticular, T. Strutz: Data Fitting and Uncertainty (A practical introduction to weighted least. Vieweg+Teubner, ISBN squares and beyond)978-3-8348-1022-9.[edit] Implementations, Levenberg-Marquardt is a built-in algorithm with Mathematica, Levenberg-Marquardt is a built-in algorithm with Matlab, The oldest implementation still in use is lmdif, from MINPACK, in Fortran, in thepublic domain. See also:o lmfit, a translation of lmdif into C/C++with an easy-to-use wrapper for curvefitting, public domain.o The GNU Scientific Library library hasa C interface to MINPACK.o C/C++ Minpack includes theLevenberg–Marquardt algorithm.o Several high-level languages andmathematical packages have wrappers forthe MINPACK routines, among them:, Python library scipy, modulescipy.optimize.leastsq,, IDL, add-on MPFIT., R (programming language) has theminpack.lm package., levmar is an implementation in C/C++ withsupport for constraints, distributed under the GNU General Public License.o levmar includes a MEX file interface forMATLABo Perl (PDL), python and Haskellinterfaces to levmar are available: seePDL::Fit::Levmar, PyLevmar andHackageDB levmar., sparseLM is a C implementation aimed at minimizing functions with large, arbitrarily sparse Jacobians. Includes a MATLAB MEX interface., ALGLIB has implementations of improved LMA in C# / C++ / Delphi / Visual Basic. Improved algorithm takes less time to converge and can use either Jacobian or exact Hessian., NMath has an implementation for the .NETFramework., gnuplot uses its own implementation ., Java programming language implementations:1) Javanumerics, 2) LMA-package (a small,user friendly and well documentedimplementation with examples and support),3) Apache Commons Math, OOoConv implements the L-M algorithm as an Calc spreadsheet. , SAS, there are multiple ways to access SAS'simplementation of the Levenberg-Marquardtalgorithm: it can be accessed via NLPLMCall in PROC IML and it can also be accessedthrough the LSQ statement in PROC NLP, andthe METHOD=MARQUARDT option in PROC NLIN.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Levenberg-Marquardt Method(麦夸尔特法)Levenberg-Marquardt is a popular alternative to the Gauss-Newton method of finding the minimum of afunction that is a sum of squares of nonlinear functions,Let the Jacobian of be denoted , then the Levenberg-Marquardt method searches in thedirection given by the solution to the equationswhere are nonnegative scalars and is the identity matrix. The method has the nice property that, forsome scalar related to , the vector is the solution of the constrained subproblem of minimizingsubject to (Gill et al. 1981, p. 136).The method is used by the command FindMinimum[f, x, x0] when given the Method -> Levenberg Marquardt option.SEE A LSO:Minimum, OptimizationREFERENCES:Bates, D. M. and Watts, D. G. N onlinear Regr ession and Its Applications. New York: Wiley, 1988.Gill, P. R.; Murray, W.; and Wright, M. H. "The Levenberg-Marquardt Method." §4.7.3 in Practical Optim ization. London: Academic Press, pp. 136-137, 1981.Levenberg, K. "A Method for the Solution of Certain Problems in Least Squares." Quart. Appl. Math.2, 164-168, 1944. Marquardt, D. "An Algor ithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters." SIAM J. Appl. Math.11, 431-441, 1963.Levenberg–Marquardt algorithmFrom Wikipedia, the free encyclopediaJump to: navigation, searchIn mathematics and computing, the Levenberg–Marquardt algorithm (LMA)[1] provides a numerical solution to the problem of minimizing a function, generally nonlinear, over a space of parameters of the function. These minimization problems arise especially in least squares curve fitting and nonlinear programming.The LMA interpolates between the Gauss–Newton algorithm (GNA) and the method of gradient descent. The LMA is more robust than the GNA, which means that in many cases it finds a solution even if it starts very far off the final minimum. For well-behaved functions and reasonable starting parameters, the LMA tends to be a bit slower than the GNA. LMA can also be viewed as Gauss–Newton using a trust region approach.The LMA is a very popular curve-fitting algorithm used in many software applications for solving generic curve-fitting problems. However, the LMA finds only a local minimum, not a global minimum.Contents[hide]∙ 1 Caveat Emptor∙ 2 The problem∙ 3 The solutiono 3.1 Choice of damping parameter∙ 4 Example∙ 5 Notes∙ 6 See also∙7 References∙8 External linkso8.1 Descriptionso8.2 Implementations[edit] Caveat EmptorOne important limitation that is very often over-looked is that it only optimises for residual errors in the dependant variable (y). It thereby implicitly assumes that any errors in the independent variable are zero or at least ratio of the two is so small as to be negligible. This is not a defect, it is intentional, but it must be taken into account when deciding whether to use this technique to do a fit. While this may be suitable in context of a controlled experiment there are many situations where this assumption cannot be made. In such situations either non-least squares methods should be used or the least-squares fit should be done in proportion to the relative errors in the two variables, not simply the vertical "y" error. Failing to recognise this can lead to a fit which is significantly incorrect and fundamentally wrong. It will usually underestimate the slope. This may or may not be obvious to the eye.MicroSoft Excel's chart offers a trend fit that has this limitation that is undocumented. Users often fall into this trap assuming the fit is correctly calculated for all situations. OpenOffice spreadsheet copied this feature and presents the same problem.[edit] The problemThe primary application of the Levenberg–Marquardt algorithm is in the least squares curve fitting problem: given a set of m empirical datum pairs of independent and dependent variables, (x i, y i), optimize the parameters β of the model curve f(x,β) so that the sum of the squares of the deviationsbecomes minimal.[edit] The solutionLike other numeric minimization algorithms, the Levenberg–Marquardt algorithm is an iterative procedure. To start a minimization, the user has to provide an initial guess for the parameter vector, β. In many cases, an uninformed standard guess like βT=(1,1,...,1) will work fine;in other cases, the algorithm converges only if the initial guess is already somewhat close to the final solution.In each iteration step, the parameter vector, β, is replaced by a new estimate, β + δ. To determine δ, the functions are approximated by their linearizationswhereis the gradient(row-vector in this case) of f with respect to β.At its minimum, the sum of squares, S(β), the gradient of S with respect to δwill be zero. The above first-order approximation of gives.Or in vector notation,.Taking the derivative with respect to δand setting theresult to zero gives:where is the Jacobian matrix whose i th row equals J i,and where and are vectors with i th componentand y i, respectively. This is a set of linear equations which can be solved for δ.Levenberg's contribution is to replace this equation by a "damped version",where I is the identity matrix, giving as the increment, δ, to the estimated parameter vector, β.The (non-negative) damping factor, λ, isadjusted at each iteration. If reduction of S is rapid, a smaller value can be used, bringing the algorithm closer to the Gauss–Newton algorithm, whereas if an iteration gives insufficientreduction in the residual, λ can be increased, giving a step closer to the gradient descentdirection. Note that the gradient of S withrespect to β equals .Therefore, for large values of λ, the step will be taken approximately in the direction of the gradient. If either the length of the calculated step, δ, or the reduction of sum of squares from the latest parameter vector, β + δ, fall below predefined limits, iteration stops and the last parameter vector, β, is considered to be the solution.Levenberg's algorithm has the disadvantage that if the value of damping factor, λ, is large, inverting J T J + λI is not used at all. Marquardt provided the insight that we can scale eachcomponent of the gradient according to thecurvature so that there is larger movement along the directions where the gradient is smaller. This avoids slow convergence in the direction of small gradient. Therefore, Marquardt replaced theidentity matrix, I, with the diagonal matrixconsisting of the diagonal elements of J T J,resulting in the Levenberg–Marquardt algorithm:.A similar damping factor appears in Tikhonov regularization, which is used to solve linear ill-posed problems, as well as in ridge regression, an estimation technique in statistics.[edit] Choice of damping parameterVarious more-or-less heuristic arguments have been put forward for the best choice for the damping parameter λ. Theoretical arguments exist showing why some of these choices guaranteed local convergence of the algorithm; however these choices can make the global convergence of the algorithm suffer from the undesirable properties of steepest-descent, in particular very slow convergence close to the optimum.The absolute values of any choice depends on how well-scaled the initial problem is. Marquardt recommended starting with a value λ0 and a factor ν>1. Initially setting λ=λ0and computing the residual sum of squares S(β) after one step from the starting point with the damping factor of λ=λ0 and secondly withλ0/ν. If both of these are worse than the initial point then the damping is increased by successive multiplication by νuntil a better point is found with a new damping factor of λ0νk for some k.If use of the damping factor λ/ν results in a reduction in squared residual then this is taken as the new value of λ (and the new optimum location is taken as that obtained with this damping factor) and the process continues; if using λ/ν resulted in a worse residual, but using λresulted in a better residual then λ is left unchanged and the new optimum is taken as the value obtained with λas damping factor.[edit] ExamplePoor FitBetter FitBest FitIn this example we try to fit the function y = a cos(bX) + b sin(aX) using theLevenberg–Marquardt algorithm implemented in GNU Octave as the leasqr function. The 3 graphs Fig 1,2,3 show progressively better fitting for the parameters a=100, b=102 used in the initial curve. Only when the parameters in Fig 3 are chosen closest to the original, are thecurves fitting exactly. This equation is an example of very sensitive initial conditions for the Levenberg–Marquardt algorithm. One reason for this sensitivity is the existenceof multiple minima —the function cos(βx)has minima at parameter value and[edit] Notes1.^ The algorithm was first published byKenneth Levenberg, while working at theFrankford Army Arsenal. It was rediscoveredby Donald Marquardt who worked as astatistician at DuPont and independently byGirard, Wynn and Morrison.[edit] See also∙Trust region[edit] References∙Kenneth Levenberg(1944). "A Method for the Solution of Certain Non-Linear Problems in Least Squares". The Quarterly of Applied Mathematics2: 164–168.∙ A. Girard (1958). Rev. Opt37: 225, 397. ∙ C.G. Wynne (1959). "Lens Designing by Electronic Digital Computer: I". Proc.Phys. Soc. London73 (5): 777.doi:10.1088/0370-1328/73/5/310.∙Jorje J. Moré and Daniel C. Sorensen (1983)."Computing a Trust-Region Step". SIAM J.Sci. Stat. Comput. (4): 553–572.∙ D.D. Morrison (1960). Jet Propulsion Laboratory Seminar proceedings.∙Donald Marquardt (1963). "An Algorithm for Least-Squares Estimation of NonlinearParameters". SIAM Journal on AppliedMathematics11 (2): 431–441.doi:10.1137/0111030.∙Philip E. Gill and Walter Murray (1978)."Algorithms for the solution of thenonlinear least-squares problem". SIAMJournal on Numerical Analysis15 (5):977–992. doi:10.1137/0715063.∙Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006).Numerical Optimization, 2nd Edition.Springer. ISBN0-387-30303-0.[edit] External links[edit] Descriptions∙Detailed description of the algorithm can be found in Numerical Recipes in C, Chapter15.5: Nonlinear models∙ C. T. Kelley, Iterative Methods for Optimization, SIAM Frontiers in AppliedMathematics, no 18, 1999, ISBN0-89871-433-8. Online copy∙History of the algorithm in SIAM news∙ A tutorial by Ananth Ranganathan∙Methods for Non-Linear Least Squares Problems by K. Madsen, H.B. Nielsen, O.Tingleff is a tutorial discussingnon-linear least-squares in general andthe Levenberg-Marquardt method inparticular∙T. Strutz: Data Fitting and Uncertainty (A practical introduction to weighted least squares and beyond). Vieweg+Teubner, ISBN 978-3-8348-1022-9.[edit] Implementations∙Levenberg-Marquardt is a built-in algorithm with Mathematica∙Levenberg-Marquardt is a built-in algorithm with Matlab∙The oldest implementation still in use is lmdif, from MINPACK, in Fortran, in thepublic domain. See also:o lmfit, a translation of lmdif into C/C++ with an easy-to-use wrapper for curvefitting, public domain.o The GNU Scientific Library library hasa C interface to MINPACK.o C/C++ Minpack includes theLevenberg–Marquardt algorithm.o Several high-level languages andmathematical packages have wrappers forthe MINPACK routines, among them:▪Python library scipy, modulescipy.optimize.leastsq,▪IDL, add-on MPFIT.▪R (programming language) has theminpack.lm package.∙levmar is an implementation in C/C++ with support for constraints, distributed under the GNU General Public License.o levmar includes a MEX file interface for MATLABo Perl (PDL), python and Haskellinterfaces to levmar are available: seePDL::Fit::Levmar, PyLevmar andHackageDB levmar.∙sparseLM is a C implementation aimed at minimizing functions with large,arbitrarily sparse Jacobians. Includes a MATLAB MEX interface.∙ALGLIB has implementations of improved LMA in C# / C++ / Delphi / Visual Basic.Improved algorithm takes less time toconverge and can use either Jacobian orexact Hessian.∙NMath has an implementation for the .NET Framework.∙gnuplot uses its own implementation .∙Java programming language implementations:1) Javanumerics, 2) LMA-package (a small,user friendly and well documentedimplementation with examples and support),3) Apache Commons Math∙OOoConv implements the L-M algorithm as an Calc spreadsheet.∙SAS, there are multiple ways to access SAS's implementation of the Levenberg-Marquardt algorithm: it can be accessed via NLPLMCall in PROC IML and it can also be accessed through the LSQ statement in PROC NLP, and the METHOD=MARQUARDT option in PROC NLIN.。