动态电路的时域分析
《电路分析》——动态电路时域分析
注意:
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
《电路分析》——动态电路时域分 析
LC
L iL(0)
+
C uC(0)
-
LC
(a) 稳态时 的L和C
(b) 换路前有储能 的L和C
(c) 换路前无 储能的L和C
第5章 动态电路的时域分析
重点
1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和
全响应求解； 3. 稳态分量、暂态分量求解； 4. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
《电路分析》——动态电路时域分 析
由电源和电阻器构成的电阻性网络，是用代 数方程来描述的，求解过程不涉及微分方程。
0
t
零输入响应
《电路分析》——动态电路时域分 析
5.3.2 一阶RC电路的零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所 产生的电压和电流。
已知 uC (0－)=U0 ; uS =0
t
uc (t) U0e RC t 0
ic (t)
U0 R
e
t RC
t0
《电路分析》——动态电路时域分
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
e(t)
t0
(3)高阶电路
电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。
an
d
n f (t) dt n
an1
d
n1 f (t) dt n1
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
秋电路理论第五讲第5章动态电路的时域分析
uC (t0 ) 0
“十一五”国家级规划教材—电路基础
电容电压的连续性：
u
u
(t0
)
1 C
t
i( )d
t0
当t0=0时，在t时刻有
u(t) u(0) 1
t
i( )d
C0
在t+△t时刻有
u(t t) u(0) 1
t t
i( )d
C0
u u(t t) u(t) 1
t t
i( )d
或用符号表示为 ψ Li
“十一五”国家级规划教材—电路基础
ψ Li
称为磁通向量，i称为电流向量，L为一方阵，称为 电感矩阵。位于矩阵主对角线上的元素Ljj为各个电感元
件的自感， Lij其他元素则为元件之间的互感。
1. 线性耦合电感元件端口电压电流关系
端口电压、电流取一致参考方向时，有
d1
电流i1和i2同时流进或流出这两个端钮时，它们产生 的磁通是互相增助。同名端一般用符号“·”或“*”
作为标记。 i1 M i2
i1 M
i2
u1 L1
L2 u2 u1 L1
L2 u2
M>0
M<0
“十一五”国家级规划教材—电路基础
全耦合(perfectly coupled):当两个相耦合电感元件 的磁通全部相互交链。
i1
u1 1
i2
2 u2
电感元件1的磁通1及电感元件2的磁通2分别由两
个电感元件中的电流i1和i2共同产生。 它们之间的关系可表示为
1 f1(i1, i2 )
2 f2 (i1, i2 )
一、线性耦合电感元件
“十一五”国家级规划教材—电路基础
电路分析基础第4章 动态电路的时域分析
第4章 动态电路的时域分析 解 (1) 先计算电容电压uC(0－)和电感电流iL(0－)。开关
开启前电路已处于直流稳定状态，这时电容相当于开路，电 感相当于短路，t=0－时的等效电路如图4.2-5(a)所示。由图(a) 可得
图4.2-5 例4.2-2用图(二)
第4章 动态电路的时域分析
第4章 动态电路的时域分析
(2) 根据换路定律，有
iL(0+)=iL(0－)=1 A (3) 画出换路后瞬间t=0+时的等效电路，计算其他支路 电压、电流的初始值。根据置换定理，用一个电流值等于
iL(0+)=1 A的理想电流源代替电感元件，画出t=0+时的等效电 路如图(b)所示。对图(b)中右边一个回路应用KVL，得
第4章 动态电路的时域分析 图4.2-1 动态电路过渡过程说明用图
第4章 动态电路的时域分析
4.2.2 换路定律 如果电容电流iC和电感电压uL在无穷小区间［t0－，t0+］
为有限值，则上面两式中等号右边第二项积分为零，于是有
uC (t0 iL (t0
) uC (t0 ) iL (t0 )
4.2.1 动态电路的过渡过程 当动态电路的结构或元件参数发生变化时，电路将从一
个稳定状态变化到另一个稳定状态，这种变化一般需要经历 一个过程，这个过程称为过渡过程。通常把电路中电源的接 入或断开，以及元件参数或电路结构的突然改变，统称为 “换路”。下面以图4.2-1(a)所示的动态电路为例来说明过 渡过程的概念。
第4章 动态电路的时域分析
4.1 电容元件和电感元件
4.1.1 电容元件 1. 电容元件的定义 电容元件是从实际电容器中抽象出来的理想化模型。实
动态电路的时域分析
R
L
t
（t0）
- u=
RI0e-
R
L
t
（t0）
iL(0-)=I0
iL +
I0
iL
Lu
R
-
0
t
（t0） iL(0)=I0
u
L
diL dt
+RiL=0
（t0）
-RI0
iL(0)=I0
10-1-1 一阶电路的零输入响应 2、RL电路 例4 图示电路中，iL(0-)=6A，求u。
iL + 1H u
-
8 0.5iL
L1
1
L2
R( L1 L2 ) t
[1 e L1L2 ]1(t)
1 L1
R( L1 L2 ) t
e L1L2 1(t)
例4 求图示电路中的uc(0+)、iL(0+)，设uc(0-)=0，iL(0-)=0。
1F
- + + uC -(t)
iL
1 5
- 1
6
H
(t+)
iL
iC (t=0)
1 5
+
uC(0-)=0
问题
RC
duC dt
+
uC
=1(t)
uC(0-)=0
（1）冲激响应与对应阶跃响应的关系
RC
dh dt
+ h =(t)
h(0-)=0
RC
ds dt
+ s =1(t)
s(0-)=0
10-1 一阶电路
10-1-2 一阶电路的零状态响应
3、冲激响应
（1）冲激响应与对应阶跃响应的关系
动态电路瞬态过程的时域分析与复频域分析
动态电路瞬态过程的时域分析与复频域分析动态电路瞬态过程的时域分析与复频域分析动态电路是现代电子技术中的重要内容之一，它涉及到大量的瞬态过程。
对于这些瞬态过程的分析，常使用时域分析和复频域分析两种方法。
本文将分别对这两种方法进行介绍和分析。
一、时域分析时域分析是指对电路的时间响应进行分析。
在分析中，假设电路中的各种参数以及输入信号都是时间函数，因此需要将它们表示为某种数学形式，然后通过对这些数学形式的运算进行分析。
其中，最基本的数学工具是微积分，因为微积分可以表示出电路中的各种参数以及输入信号的变化规律。
对于时域分析来说，最常用的工具是拉普拉斯变换和傅里叶变换。
其中，拉普拉斯变换是把时间域函数转变为复频域函数的一种数学方法，它可以方便地求出电路的瞬态响应和稳态响应。
而傅里叶变换是把一个周期信号转化为谱函数的一种数学方法，它可以对电路中的各种波形进行分析和处理。
在进行时域分析时，需要注意以下几点：1.需要对电路进行合理简化：电路越简单，分析就越容易。
2.需要根据电路的性质选择合适的求解方法：对于不同的电路，可以采用不同的求解方法，例如微积分、拉普拉斯变换或傅里叶变换等。
3.需要进行量化分析：对于电路中的各种参数和信号，需要进行量化分析，例如幅度、相位角、频率等。
二、复频域分析复频域分析是指对电路的复频特性进行分析。
在分析中，假设电路中的各种参数都是复数函数，因此需要对这些复数函数进行分析。
其中，最常用的工具是复数函数的运算和分析。
与时域分析相比，复频域分析更注重电路的频率响应特性，例如幅频特性、相频特性、群延迟特性等。
而复频域分析最重要的工具是频谱分析和极坐标分析。
在进行复频域分析时，需要注意以下几点：1.需要正确理解电路的频域特性：对于不同的电路，具有不同的频域特性，例如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
2.需要正确分析电路的复频域函数：对于电路中的各种复数函数，需要进行运算和分析，例如求导、求积、傅里叶变换等。
电路基础与实践 第4版 第3章 动态电路的时域分析
第3章动态电路的时域分析
1.线性电容
i
线性电容极板上储存的电荷量和其端电压成正比：
q C
+
C
u
u－
C为电容量，单位：法拉（F）；常用单位：μF、pF
2.电容元件的电压电流关系（关联参考方向）
i dq C du dt dt
（电容元件的VCR）
u 1
t
i dt u(0)
开关闭合后：I=0,Uc=10V,新的 稳定状态
是否S闭合，UC就立即由0V升至10V呢
闭合前：
WC
1 CU 2 2
0
闭合后：
WC
1 CU 2 1 1102 50(J )
2
2
？
电路基础与实践
第3章动态电路的时域分析
闭合前：
WC
1 CU 2 2
0(J )
闭合后：
WC
1 CU 2 2
1 1102 2
1
t
i dt
C0
C0
u(0) — t = 0 时电压u的值，若u(0) = 0
电路基础与实践
3.电容元件储存的能量
第3章动态电路的时域分析
（关联参考方向）
电容 C 在任一瞬间吸收的功率：
p u i u C du P > 0 吸收能量 dt P < 0 释放能量
电容 C 在 dt 时间内吸收的能量：
3)熟练掌握三要素法求解一
析。 4)能够按照要求搭建动态电路，
阶电路。
会对电路进行测量、对测量数据
4)了解阶跃函数和阶跃响应。 进行分析处理，并形成报告。
2024年8月31日11时50分
5)会对动态电路进行仿真。
电路分析(第六版)动态电路的时域分析
动态电路的时域分析
图7.14 题7.2 3图
动态电路的时域分析
图7.15 题7.2 4图
动态电路的时域分析
7.3 一阶电路的零状态响应
零状态响应是指当电路初始状态为零时,由外加激励产 生的响应。外加激励可为直流 电源(电压或电流),也可为交 流电源。
动态电路的时域分析
7.3.1 RC 电路的零状态响应 如图7.16所示RC 串联电路,开关S闭合前uC(0- )=0,t=0
动态电路的时域分析
图7.18 RL 电路的零状态响应
动态电路的时域分析 根据图7.18中S闭合后的电路,依 KVL,有
式(7－17)也是一常系数一阶线性非齐次微分方程,它的解同 样由其特解icp和相应的齐次 方程的通解ich组成,即
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析
图7.19 RL 电路零状态响应曲线
动态电路的时域分析 例 7.1 图7.2(a)所 示 电 路 中,已 知 US =18 V,R1 =1Ω,R2
=2Ω,R3 =3Ω, L=0.5H,C=4.7μF,t=0时,S闭合,设S闭合前电路已 处稳态。求i1(0+ )、i2(0+ )、 i3(0+ )、uL(0+ )、uC(0+ )。
图 7.2 例 7.1 图
L 相当于短路,此时电感电流 为iL(0- )=US/RS=Io。开关动作后
的初始时刻t=0+ 时,根据换路定律,有iL(0+ )=Io。
这时电感中的初始储能
将逐渐被电阻消耗直至殆
尽,电流为零,电感的消磁过程 便结束。下面通过数学分析,找
出电感电流和电压的变化规律。
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析 第一节 换路及其初始条件一、电路的两种工作状态（稳态、动态） 1、稳态电路： （1）定义当电路在直流电源的作用下，各条支路的响应也是直流；当电路在正弦交流电源的作用下，各条支路的响应也是正弦交流，这种类型的电路称为稳态电路。
（2）特征：稳态电路中不存在换路现象，描述稳态电路的方程是代数方程。
2、动态电路： （1）定义当电路中含有储能元件或称动态元件（如电容或电感），电路中的开关在打开或闭合的过程中参数发生变化时，可使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态。
电路从一种稳态到达另一种稳态的中间过程称为动态过程或过渡过程。
过渡过程中的电路称为动态电路。
（2）待征：动态电路中存在动态元件且有换路现象，描述动态电路的方程是微分方程。
一阶电路：能够用一阶微分方程描述的电路； 二阶电路：能够用二阶微分方程描述的电路； n 阶电路：能够用n 阶微分方程描述的电路。
（3）存在原因：1）含有动态元件电感或电容 ::di L u L dtdu C i Cdt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2）存在换路：电路结构或参数发生变化 二、换路 1、定义：电路中含有储能元件，且电路中开关的突然接通或断开、元件参数的变化、激励形式的改变等引起的电路变化统称为“换路”。
（1）换路是在0t =时刻进行的（2）换路前一瞬间定义为：0t -=；换路后一瞬间定义为：0t +=； （3）换路后达到新的稳态表示为：t =∞。
2、换路定律：在换路时电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。
即：(0)(0),(0)(0)c c L L u u i i +-+-==。
注意：00()()C C i t i t +-≠，00()()L L u t u t +-≠，00()()R R i t i t +-≠，00()()R R t u t +-≠ 三、独立初始条件 1、定义：一个动态电路的电容电压(0)C u +和电感电流(0)L i +称为独立初始条件，其余的称为非独立初始条件，非独立初始条件需通过已知的独立初始条件来求得。
《动态电路时域分析 》课件
实例演示：通 过MATL AB软 件进行复杂动 态电路的时域
分析
06
时域分析在工程中 的应用
电子技术领域应用
电路设计：时域分析可用于电路设计，帮助工程师更好地理解和优化电路性能。
故障诊断：通过时域分析，可以检测电路中的故障并进行定位，提高维修效率。
控制系统：时域分析可用于控制系统的设计和分析，提高系统的稳定性和性能。 信号处理：在信号处理领域，时域分析可用于信号的采集、分析和处理，提高信号的准确 性和可靠性。
适用对象
电子信息工程专业学生 电路设计工程师 电子技术爱好者 需要掌握动态电路时域分析知识的相关人员
课件结构
• 课件封面 * 标题：《动态电路时域分析》 * 副标题：深入浅出，掌握时域分析 * 图片：电路图或相关图片
• * 标题：《动态电路时域分析》 • * 副标题：深入浅出，掌握时域分析 • * 图片：电路图或相关图片
课件的主要内容：动态电路时域分析的基本原理、方法、技术和应 用
课件的特色：结合实际案例，深入浅出地讲解动态电路时域分析的理 论和实践
课件的目标：帮助学生掌握动态电路时域分析的基本技能和方法， 提高分析和解决问题的能力
课件目的
掌握动态电路时域分析的基本概念和原理 学会使用时域分析方法解决实际问题 了解动态电路时域分析在工程中的应用 提高分析和解决问题的能力，为后续课程打下基础
定义：时域分析是一种通过时间序列来描述电路特性的方法 原理：通过测量电路在不同时间点的响应，可以获得电路的时域特性 方法：采用示波器等测量仪器对电路进行实时监测 应用：用于分析电路的暂态过程、稳态过程以及过渡过程等
时域分析优缺点
优点：直观、 易于理解，能 够反映系统的
瞬态行为
动态电路时域分析-精品文档
12 R2 0.6H L
U 220 （2）确定i () i ( ) 18 . 3 A R 12 2 L 0 . 6 （3）确定时间常数 0 . 05 S R 12 2
第8章 动态电路的时域分析
[例] 图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路 后经过多少时间电流才达到15A？ R1 i
u ( 0 ) 2 V C u ( ) 4 V C 2 m s 500 t u 4 2 e V C
4
2 t (S) 0
第8章 动态电路的时域分析
[例] 图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路 后经过多少时间电流才达到15A？ R1 i
[解] 先应用三要素法求 8 + 电流i t =0 U （1）确定i (0+) – 220V U 220 i ( 0 ) 11 A R R 12 1 2 8
将电路中的独立源置零（电压源短路、电流 源开路),通过化简，最终可化为一个RC回路（或 者RL回路）的电路，是一阶电路，否则不是一阶 电路。
第8章 动态电路的时域分析
二、一阶பைடு நூலகம்路的解法通论（三要素法）
一阶电路的微分方程：例：P199 （a）（b）（c）（d 结论： 任何一个一阶线性电路，其数学模型是可以 整理成一个如下方程：
第8章 动态电路的时域分析
[例] 在下图中，已知U1=3V， U2=6V，R1=1k R2=2k，C= 3F ，t<0时电路已处于稳态。用三要 素法求t ≥ 0 时的 uC(t),并画出变化曲线。 1 S [解] 先确定uC(0+) 2 R1 uC()和时间常数 t = 0 + + + uC C t<0时电路已处于 U1– R2 U2 – – 稳态，意味着电容相 当于开路。 R U 2 1 u ( 0 ) u ( 0 ) 2 V C C R R 1 2 R U 2 2 u ( ) 4 V C R R 1 2
第四章 动态电路的时域分析法
2 t /s
1
2 t /s 发出功率
3
（3）求储能W (t)
二、电感元件
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感线圈， 当电流通过线圈时，将产生磁通，是一种抵抗电流变 化、储存磁能的部件。
0 2 1 2 t WC (t ) Cu (t ) 2 2 (t 2) 0
左图中：
dt
，
0
t0
t
则必然有：
i
①某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的变 化率，而与该时刻电压 u 的大小无关，这反映出电 容是动态元件； ②当 u 为常数(直流)时，i =0。电容相当于开路，电 容有隔断直流作用；
④某一时刻的电容电压值与-到该时刻的所有电流 值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称电 容元件为记忆元件。
iC
du dt
du
1 idt C
注意
①当电容的 u， i 为非关联方向时，上述微分和 积分表达式前要冠以负号 ;
t0 t i( )d ξ 1 tt i( )d ξ u (t ) 1 i( )d ξ 1 C 0 C C
u (t ) u (t ) 1 tt i ( )d ξ C
第四章 动态电路的时域分析法
本章内容
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 动态元件 电压和电流初始值的计算 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应
本章重点
1.电容元件和电感元件的定义、基本性质及 其伏安关系和能量的计算； 2.换路定则及初始值的确定； 3.一阶电路的零输入响应、零状态响应和全 响应的概念； 4.一阶电路的三要素法求解。
RLC_动态电路的时域分析
RLC_动态电路的时域分析动态电路的时域分析学习指导与题解一基本要求1．明确过渡过程的含义电路中发生过渡过程的原因及其实2．熟练掌握换路定律及电路中电压和电流初始值的计算3．能熟练地运用经典分析RC和RL电路接通或断开直流电源时过渡过程中的电压和电流明确RC和RL电路放电和充电时的物理过程与过渡过程中电压电流随时间的规律4．明确时间常数零输入与零状态暂态与稳态自由分量与强制分量的概念电路过渡过程中的暂态响应与稳态响应5．熟练掌握直流激励RC和RL一阶电路过渡过程分析的三要素法能分析含受控源一阶电路的过渡过程6．明确叠加定理在电路过渡过程分析中的应用完全响应中零输入响应与零状态响应的分解方式掌握阶跃函数和RCRL电路阶跃响应的计算7．明确RLC电路发生过渡过程的物理过程掌握RLC串联二阶电路固有频率的计算和固有响应与固有频率的关系以及振荡与非振荡的概念会建立RLC二阶电路描述过渡过程特性的微分方程明确初始条件与电路初始状态的关系和微分方程的解法会计算RLC串联二阶电路在断开直流电源时过渡过程中的电压和电流了解它在接通直流电源时电压和电流的计算方法二学习指导电路中过渡过程的分析是本课程的重要内容教学内容可分如下四部分1．过渡过程的概念2．换路定律3．典型电路中的过渡过程包括RC和RL一阶电路和RLC串联二阶电路过渡过程的分析4．叠加定理在电路过渡过程分析中的应用着重讨论电路过渡过程的概念换路定律RC和RL一阶电路过渡过程中暂态响应与稳态响应和时间常数的概念计算一阶电路过渡过程的三要素法完全响应是的零输入响应和零状态响应阶跃响应以及RLC串联二阶电路过渡过程的分析方法现就教学内容中的几个问题分述如下一关于过渡过程的概念与换路定律1．关于过渡过程的概念电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程称为过渡过程电路过渡过程中的电压和电流是随时间从初始值按一定的规律过渡到最终的稳态值产生过渡过程的原因是由于含有储能元件电容C电感L以及耦合电感元件的电路发生换路工作状态突然改变时引起的因此换路是产生过渡过程的外因而内因是电路是含有储能元件其实质是由于电路是储能元件能量的释放与储存不能突变的缘故电路是的过渡过程就是换路后电路的能量转换过程所以电路产生过渡过程的充分必要的条件是含有储能元件的电路发生换路如t 0时刻换路之后即t 0时储能元件的能量必须发生神化电路是才能产生能量转换的过程如果电路换路之后储能元件的能量不发生变化意味着换路后立即到达稳态电路就不发生五家渠市过程了2．换路定律若t 0时刻换路t 0_表示换路前最后的瞬间t 0表示换路后最初瞬间电压和电流的初始值就是t 0时的数值用u 0 和表示如果换路时刻电容电流和电感电压都是有限值则换路时刻电容电压和电感电流不能跃变即这就是换路定律关于换路定律应该明确的是1适用于换路定律的电量只有电容电压和电感电流其它电量是不适用换路定律的因为电容电压和电感受电流是电路的状态变量决定电路的储能状态即因此储能不能跃变必然是电容电压和电感受电流不能跃变而电路中的其它电量如电容电流电感电压电阻电压和电流等过都是非状态变量在换路时刻是可以跃变的2换路定律适用电路的条件是换路时刻电路中的电容电流和电感电压均为有限值否则换路定律不能应用这是由电容和电感元件的基本性质所决定的即伏安特性为因t 0时刻电容电流为有限值上式中的积分项为零同理因t 0时刻电感电压为有限值上式中的积分项为零否则如果换路时刻电容电流和电感电压不是的限值电容电压和电感电流可能跃变如图4-1a所示电路时刻开关K闭合则电容电压发生强制跃变必然换路时刻电容电流为非有限值又如图4-1b所示电路时刻进行换路输入电感元件L电感电流发生强制跃变必然换路时刻电感电压为为非有限值由此可见换路时刻电容电流和电感电压为非有限值则电容电压和电感电流可能发生跃变换路定律不能应用图 4-1 电容电压和电感电流的强制跃变3．初始值与电路我们所讨论的RC和RL以及RLC电路都是适用换路定律的这类电路换路后电路的初始值对于电容电压和电感电流而言求出和后便可按换路定律求出和电路时视为电压源视为电流源4．稳太值与稳态电路过渡过程结束后电路中的电压和电流的最终值就是新的稳定状态的数值即稳态值稳态值一般作出过渡过程结束后的稳态电路来求出如直流电源激励的稳态电路称为直流稳态电路这时电路中电容相当于开路这时按相量法计算出稳态值5．电路过渡过程分析的目的与立法电路中过渡过程分析的目的主要是研究过渡过程中电压和电流的变化规律它与动态电路换路后的结构和储能元件的性质数目及初始储能等有关由列出和求解描述电路动态过程的微分方程的解来确定电路过渡过程的分析方法有经典法和变换域分析法经典分析法是在时域以待支路的电压或电流为变量列出电路换路后的微分方程并直接求解满足初始条件微分方程的解答得出时间函数的电压电流本章就是采用这种方法来分析过渡过程问题的这换域分析法是应用拉普拉斯变换方法来求解电路过渡过程中的电压和电流这种方法将在第十三章介绍二关于RC和RL一阶电路过程的分析1．典型RC和RL一阶电路含有一个独立储能元件的电路动态特性是用一阶微分方程来描述称为一阶电路如图4-2ab所示RC和RL串联电路是典型的一阶电路其它的一阶电路可以应用戴维南定理等效化简为典型的一阶电路2．直流RC和RL一阶电路的微分方程如果RC和RL电路的激励源是直流电源称为直流一阶电路为了分析RC和RL 一阶电路过渡过程中电压和电流的变化规律需根据KVLKCL和元件VAR列出时电图 4-2 典型RC和RL一阶电路路的微分方程如图4-2 a 所示电路以为变量时电路的微分方程为这是常系数线性非齐次一阶微分方程齐次微分方程是电路换路后过渡过程中的电容电压随时间变化的规律就是满足初始条件微分方程的解又如图12-2 b 所示RL电路以为变量时电路的微分方程为这是常系数线性非齐次一阶微分方程齐次微分方程是电路换路后过渡过程中的电流随时间变化的规律就是满足初始条件微分方程的解电路的初始条件由初始状态来确定3．过渡过程是的暂态响应与稳态响应1如图12-2a所示RC电路初始状态且时的是以为变量常系数一阶非齐次方程的解包含齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解故微分方程的全解为根据初始条件确定积分常数K当时则上式为故最后解出过渡过程中的电容电压为上式等号右边第一项按指数规律衰减当时为零故称为暂态响应又称自由分量第二项是与激励电源形式相同而与时间无关的恒定值当时故称为稳态响应又称为强制分量由此可见过渡过程中的电容电压可以解为暂态响应与稳态响应之和在工程上RC电路电容放电过程中的电容电压为电容放电电压是从初始值按指数规律衰减为零就是指数规律衰减的因子RC电路当电容充电过程中的电容电压为电容充电电压是从零按指数规律上升到稳态值就是从零按指数规律增长的因子电路中的电流则根据电容零件的VAR得出即2如图12-2b所示RL电路若初始状态且时的是以为变量的非齐次微分方程满足初始条件的解即式中是暂态响应是稳态响应4．时间常数1在上述RC和RL电路过渡过程中和的暂态响应含有衰减因子和e是指数的分母RC和的量纲是时间单位是秒它们的数值决定于电路中的参数RC和RL均为常数故称为时间常数用表示对于图12-2所示典型一阶电路RC电路RL电路对于非典型一阶电路时间常数中的R戴维南等效电路的等效电阻2时间常数是一阶微分方程的特征方程的负倒数如图12-2a所示电路微分方程的特征方程是故特征根为因此时间常数特征根具有频率的量纲即秒由电路的参数RC确定反映电路的固有性质故称为固有频率3时间常数是决定电压过渡过程中电压和电流变化快慢的物理量其值是过渡过程中暂态响应衰减到初始值368所需的时间值越大衰减就越慢过渡过程就越长反之值越小衰减就越快则过渡过程就越短从理论上讲要经过无限长时间暂态响应才能衰减为零过渡过程才能结束但是在工程一般认为经过35的时间暂态响应已衰减趋于零过渡过程便结束了4还应指出对于同一电路时电路中不同支路的电压和电流暂态响应衰减的时间常数都是相同的换句话说一个电路换路后只有一个时间常数5．直流一阶电路分析计算的三要素法由于直流一附上电路换路后在过渡过程中的电压和电流是从初始值按指数规律衰减到稳态值或者是从初始值按指数规律上升到稳态值而指数规律的变化又决定于时间常数因此过渡过程中的电压和电流是随时间的变化规律由初始值稳态值的时间常数所确定只要计算出初始值稳态值和时间常数则过渡过程中的电压和电流便可直接由如下三要素公式得出即上式中是暂态响应是稳态响应上式所示三要素公式化适用于直流激励有损耗一阶电路时刻换路时电路的过渡过程分析有损耗一阶电路的戴维南等效电阻R是正值特征根S是一个负数暂态响应含负指数随时间作衰减变化三要素法是一阶电路过渡过程分析的实用计算法不必列出和求解电路的微分方程只要直接计算出待求响应变量的初始值稳态值和电路的时间常数即可具有简捷方便的优点因此在工程实际中具有重要意义6．关于正弦激励一阶电路过渡过程的分析计算步骤与直流激励一阶电路分析方法相同如图12-2a所示RC电路时刻换路接入电源是开关K闭合时刻电源电压的相位角经典法分析计算的步骤如下1时以电容电压为变量的微分方程为2解微分方程齐次方程的通解为非齐次微分方程的特解就是稳态响应按时稳态电路用相量法求出即正弦稳态时RC串联电路的电容电压为式中是稳态电容电压有效值是RC 串联电路的阻抗角解出稳态响应为3过渡过程中电容电压为4确定积分常数K若当时刻上式为5最后解出过渡过程中的电容电压为过渡过程中电容电压的暂态响应与开关K闭合的时刻有关由于正弦电源电压接入电路初相角的数值取决于开关闭合的时刻当不财的时刻开关闭合时积分常数K的数值不同如果当时刻开关闭合则积分常数暂态响应为零电路称路后立即到达稳态值没有过渡过程如果当或时刻开关K闭合则积分常数为最大值这时电容两端可能出现过电压对于正弦电源接入RL电路的分析按上述同样的步骤进行可以得出与RC电路类似的结果读者自行总结正弦电源激励动态电路过渡过程的分析是本章学习的一个难点三关于零输入响应零状态响应与完全响应从现货电路理念的观点电路中不仅独立电源是电路的激励而且储能元件的初始储能即初始状态也是一种激励因为从能量观点而言独立电源可以向电路提供电能也可以从电路吸收电能储能元件亦有相似的效果同样可以向电路释放电能也可以从电路中吸收能量储存于电场或磁场中然而应明确独立电源和储能元件是两种不同性质的元件它们的伏安特性是完全不同的因此既然动态电路的独立电源和储能形色仓皇的初始储能都是电路的激励那么旅游活动可以应用叠加定理来分析换路后电路中的电压和电流1．零输入响应输入就是电路外加电源激励零输入就是外加电源激励为零电路反由储能元件的初始状态作用下的响应称为零输入响应如图4-2 a所示RC电路则零输入响应为2．零状态响应电路在非零状态下由外加电源激励下产生的响应称为零状态响应如图4-2a 所示RC电路初始状态则零状态响应为3．完全响应电路在非零状态下由外加电源激励和初始储能共同作用下产生的响应称为完全响应如图4-2a所示RC电路且则按叠加定理完全响应是零输入响应与零状态响应之和即应该指出从概念上应明确如下几点1零输入响应和零状态响应都不能与产生它的原因成正比即零输入响应与储能元件的初始状态成正比而零状态响应则与外加电源电压成正比但是完全响应则既不与储能元件的初始状态成正比也不与外加电源激励成正比 2零输入响应不同于暂态响应零状态响应不同于稳态响应一般而言完全响应是的零输入响应包含在暂态响应当之中零状态响应是自由分量和强制分量之和而稳态响应则仅是强制分量与外激励电源的形式相同3完全响应分解为零输入响应与零状态响应之和总是存在的而分解为暂态响应与稳态响应之和则不总是存在的因为在某些情况下暂态响应可能为零 4完全响应的两种分解方式是从不同的角度描述电路中发生的过渡过程从过渡的观点暂态响应与稳态响应的分解方式是把换路后工作过程的层次描述的直观明确而从叠加的观点零输入响应与零状态响应的分解方式是鬼魂激励与响应的因果关系表现得十分清楚从电路理论的观点电路零输入响应和零状态响应分析具有更普遍的意义5在工程上如电容的放电过程中的电容电压运行电机停机时激励磁绕组灭磁过程中的绕组电流都是零输入响应分析又如零状态电容的充电过程和投入电机运行的磁绕组接入电源的升磁过程都是零状态响应分析因此零输入响应分析和零状态响应分析在实际工程中具有直接的实用意义图 4-3 阶跃电源电压RC电路系统四关于阶跃函数与阶跃响应1．单位阶跃函数的定义单位阶跃函数的定义为单位延时阶跃函数的定义为2．单位阶跃函数的作用1用来表示时刻开关K闭合直流电源接入动态电路如图9-2a所示RC电路可用图12-3所示的由阶跃电压电源激励的RC电路表示代替了时刻K闭合将直流电源电压接入RC电路的作用2在时刻换路后过渡过程中的电压和电流表达式表示了的作用如图4-2aRC电路时的电容电压可以表示为或3用阶跃函数表示矩形脉冲信号如图4-4a的矩形脉冲电压可以用图4-4bc的阶跃函数和延时阶跃函数之和来表示即图 4-4 用阶跃函数表示矩形脉冲电压波形图3．单位阶跃响应的定义单位阶跃响应的定义为零状态电路在单位阶跃函数电源激励下的响应并用表示RC电路的单位阶跃响应为单位延阶跃时响应为对于如图4-3所示的RC电路的阶跃响应是如果电路的激励是延时阶跃函数时则RC电路的延时阶跃响应电容电压为 4．关于阶跃函数激励非零状态电路的响应应用叠加定理这时电路的完全响应是零状态响应即阶跃响应和零输入响应之和如图4-3所示电路且这时电路的阶跃响应为零输入响应为故电路的完全响应电容电压为五关于RLC二阶电路的分析方法由两个独立储能元件组成的电路其过渡过程的特征性用二阶微分方程描述故称为二阶电路RLC串联电路是典型的二阶电路通过对它的分析来明确二阶电路过渡过程的基本概念和分析方法着重讨论RLC串联电路的放电过程即电路的固有响应也就是零输入响应也介绍RLC串联电路的充电过程即零状态响应和完全响应1．电路的微分方程与初始条件如图4-5所示RLC串联二阶电路时以电容电压为变量描述动态过程特性的微分方程是图 4-5 RLC串联二阶电路过渡过程中电容电压随时间变化的规律就是微分方程的解方程的求解需有如下两个初始条件只要知道电路的两个初始状态和按上式便可得出初始条件和于是RLC串联电路的放电过程的就是满足上述初始条件齐次微分方程的解充电过程的就是满足初始条件非齐次微分方程的解2．电路的固有频率与固有响应电路的固有频率是二阶微分方程的特征方程的根即它是由电路本身RLC元件参数所确定量纲是秒反映电路本身的固有性质电路的固有响应就是零输入响应是上述二阶齐次微分方程的解根据RLC元件参数的不同数值固有频率和固有响应有如下四种形式1当时固有频率是两个不等的负实数即这时固有响应是过阻尼放电过程其数学表达式为2当时固有频率是一对负实部的共轭复数即这时固有频率响应是欠阻尼振荡放电过程其数学表达式为3当时固有频率是两个相等的负实数即这时固有响应是临界阻尼非振荡放电过程其数学表达式为4当时固有频率是一对共轭虚数即这时固有响应是无阻尼的电振荡过程其数学表达式为已知电路中的两个初始状态便可得出两个初始条件和上述式中的积分常数和便可确定放电过程中的响应电容电压便可解出应该指出二阶电路微分方程的初始条件和积分常数和的确定是二阶电路的分析计算中的难点由以上分析可知二阶电路分析的基本步骤是根据微分方程的特征方程计算出电路的固有频率根据固有频率写出固有响应的表达式根据电路的初始条件确定求解方程计算积分常数和的初始条件和并根据初始条件和固有响应表达式确定积分常数和便解出了放电过程中的响应变量电容电压还应指出二阶电路的固有频率是复频率即式中是正实数它决定响应的衰减特征称为衰减常数是决定电路响应衰减振荡的特性称为阻尼角频率是电路固有的振荡角频率称为谐振角频率上述计算固有频率的关系式是针对RLC串联电路得出的对于一般二阶电路而言微分方程为的特征方程为则电路的固有频率是3．RLC串联二阶电路充电过程的分析方法当外加直流激励电压源电压时RLC串联电路的充电过程若电路初始储能为零就是零状态响应分析若非零初始状态则是完全响应分析二者是常系数二阶非齐次微分方程的解只是初始条件不同而已它包括齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解齐次微分方程的形式与上述固有响应的表达式相同而非齐次微分方程的特解与激励形式相同由于微分方程中系数为1故特解为因此RLC串联电路充电过程电容电压根据RLC元件参数的不同有如下四种形式即1当时固有频率是则2当时固有频率是则3当时固有频率是则4当时固有频率则最后根据初始条件和确定积分常数和便解出响应变量4．关于振荡与非振荡的概念电路过渡过程的实质就是能量的转换过程这种能量转换的过程由电路的两个初始状态和电路结构及元件参数来确定在无电源RLC串联电路的放电过程中电容和电感在初始时刻可能存在数值不同的电场能量和磁场能量或者它们之一有储能另一无储能在过渡过程中电阻元件R总是消耗能量的电容元件和电感元件是要释放出原有储能提供给电阻元件转换为热能的在这过程中可能是电容与电感同是释放出能量提供电阻元件消耗形成非振荡的放电过程也可能出现电场能量与磁场能量的交换形成振荡放电过程这将决定于电路元件的参数如果RLC 串联电路的电阻元件R是数值较小即时电阻元件消耗功率较小按能量守恒原理在放电开始一段时间内某一储能元件如电容元件释放出的电场能量一部分为电阻R所消耗另一部分为电感元件所吸收储存在磁场中使磁场能量增加到某一最大值而电容中的电场能量逐渐减少至零值继之另一段时间内电感元件释放出磁场能量一部分为电阻R所消耗另一部分为电容进行反充电不断增加电场能量达到某一最大值而电感元件中的磁场能量减少至零值而后重复上述过程往复循环进行电容与电感元件之间的能量交换形成电磁振荡由于电阻元件不断的消耗功率使电容与电感之间能量交换的规模不断减少直至储能全部为电阻所消耗过渡过程便结束形成欠阻尼放电过程要维持等幅振荡就要不断补充电磁振荡过程中的能量消耗这就是电子振荡器的基本原理如果RLC串联电路电阻R的数值较大即时由于电阻元件消耗功率较大根据能量守恒原理这时电容和电感元件均不断同时释放储能提供给电阻R消耗直至全部储能为电阻元件所消耗过渡过程便结束形成非振荡性的阻尼放电过程这应指出如果二阶电路的两个独立储能元件的性质相同的元件时在放电过程中不存在电场能量与磁场能量的交换不可能出现电磁振荡过渡过程只能是非。
动态电路的时域分析
7.2.1 直流激励下的零状态响应
一、RC 电路的常量输入的零状态响应
+ +
S(t 0) R
+
Us
uc C
-
-
R
+
Us
uc C
-
-
t=0－：uC(0－)=0
RC
duC dt
uC
US
t0
uC (0 ) uC (0 ) 0
微分方程及响应：
RC duC dt
uC
US
(t 0)
uC (0 ) uC (0-) 0
0
-Us
uCH
t
暂态分量(自由)
稳态分量(强制)
暂态响应 (transient response) ：齐次方程的通解不受输入的制约，称 为自由分量（固有响应）(natural response)。该响应随时间的增长而 衰减到零，又称为暂态分量。
稳态响应 (forced response) ：特解受电路输入的制约而与电路的初始 状态无关，称为强制分量；电路达到稳态后，电容元件的稳态电压等于 ucp，所以ucp又称为强制分量。
1t
uC (t) Ke RC (t 0)
RCp 1 0
p 1 RC
uC (0 ) U0
uC (0 ) Ke0 U0
1t
uC (t) U 0e RC V (t 0)
波形：
1t
uC (t) U 0e RC V (t 0)
uC
U0
0.368U0
0.135U0
t
0 2
i uC
U0
• 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R
• 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析
动态电路分析的基本方法是建立电路的微分方程，利用电路中的基尔
霍夫定律和伏安定律，推导出描述电路元件电压和电流变化关系的微分方程。
然后，通过求解微分方程，得到电路的时间响应，即电压和电流随时
间的变化规律。
动态电路的分析过程中需要考虑电路元件的动态特性，包括电容元件
和电感元件的存储能量和存储效应。
对于电容元件，其电压和电流之间的
关系可以用电容的充放电方程来描述。
而对于电感元件，其电压和电流之
间的关系可以用电感的变化率来描述。
在时域分析中，最常用的方法是Laplace变换法。
通过将电路中的微
分方程转化为复频域中的代数方程，可以大大简化电路的分析过程。
利用Laplace变换后的电路方程，可以通过进行代数运算和逆变换，得到电路
的时间响应。
动态电路的时域分析还需要考虑电路的初始条件。
对于包含存储元件
的电路，初始条件是指电容电压和电感电流在初始时刻的取值。
有时候，
电路的初始条件会影响电路的稳定性和响应速度，因此在进行时域分析时，需要充分考虑初始条件的影响。
此外，动态电路的时域分析还可以通过脉冲响应法进行。
该方法利用
电路的单位阶跃响应和冲击响应的线性叠加原理，可以将任意输入信号分
解为一系列单位阶跃函数和冲击函数，并通过对各个分量的处理来得到电
路的时间响应。
总之，动态电路的时域分析是电路理论中的重要内容。
通过对电路中各个元件的电压和电流随时间的变化进行分析，可以揭示电路的动态行为和响应过程，为电路设计和故障诊断提供重要的理论依据。
电路基本分析 第八章 动态电路的时域分析
duC C：iC = C dt
1.时域分析法：据电路定律列微分方程，求解。 2.复频域分析法（运算法）：由LT将微分方程转换为 代数方程求解，再求 LT-1 ，求得时域解。
3.状态变量法：建立状态变量的一阶微分方程组，计
算机求解。
Chapter 8 8-2 求解一阶电路的三要素法
一.一阶电路： 由电路定律列出的电路方程是一阶微分方程的电路。 判别方法：将电路中的全部独立源置0后，能简化为 只含一个储能元件的电路为一阶电路。
] 零状态响应
4． f (t ) = f ()[1 - e ] f (0 )e
-
t
-
t
t
= f () [ f (0 ) - f ()]e
-
t 0
即全响应可分解为零输入响应与零状态响应。
Chapter 8
小结： 1.一般来说，在含有储能元件的电路中，当开关动作或 参数突变时，电路从旧稳态到新稳态要经历一个过渡过程， 称为动态过程。 2.求解一阶电路动态响应的解是三要素公式。该公式是 通过一阶电路所列的一阶微分方程求解得到的。 3.电路的动态过程响应可分为零输入响应、零状态响应 和完全响应。对于一个电路的完全响应可视为零输入响应和 零状态响应的叠加。
Chapter 8
从以上证明可知，当iC 与uL 为有界函数时换路定则才 成立。 例如：
S (t = 0)
US
R
S (t = 0)
R
iC uC
C
iL
US
uL
L
图中 iC 与uL 在换路时都为有限值。
Chapter 8
3.说明一种情况： 例一: t <0 ：S闭合以前 uC(0－) =0， 换路时，由KVL可知：
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动态电路的时域分析习题10-1 设图（a ）、（b ）电路达到稳态，在0=t 时开关S 动作，试求图中所标电压、电流的初值。
C u L i L(a) (b)题10-1图S 开，等效图如图所示：+_t)1(0)i 2(0)i S 闭：t 10V解：对(a)图当0t -=时，求(0)C u -~ 10(0)(0)1510510C C u u V +-==⋅=+0t +=时，求123(0),(0),(0)i i i +++1+2+15-5(0)=(0)==0.5A 5+5i i 3(0)0i A +=（b ）S 开 S 闭…_(0)L i _(0)(0)2L i A_(0)u(0)L u (0)L对(b)图当0t -=时，求(0)L i -(0)(0)2L L i i A +-==当0t +=时，求(0),(0)L L u u -+42(0)4L u +⨯+=|(0)4L u +=-(0)2240u +=⨯-=10-2 电路如图所示，已知Ω==421R R ，Ω=23R ，H L 1=，V U S 121=，V U S 62=。
电路原来处于稳定状态，0=t 时，开关S 闭合，试求)0(+L i 和)0(+L u 。
{题10-2 图题10-2图解：S 开t(0)L i 6 VS 闭 0t(0)L u 12 V 6 V1A当0t -=时，求(0)L i -223(0)(0)1S L L U i i A R R +-===+R S U -+2S L当0t +=时，求(0)L u +111813421253246(0)10(0)3L L i i i i i i i u u ++⎧⎫=⎪⎪=+⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎨⎬+=⎩⎭⎪⎪=⎪⎪⎩⎭+=+=：10-3 设图示电路达到稳态，在0t =时开关S 动作，试求(0)c u +、(0)L i +、(0)i +、dtdu C /)0(+和(0)L di dt +。
t+__(0)L (a)_(0)c i (0)L u (b)解：当0t -=时，求(0),(0)c L u i --，等效电路如图（a ）15(0)(0).(60//20)530(60//20)C C u u V +-===+_1560(0)(0).0.2530(60//20)6020L L i i A +===++当0t +=时，求(0),(0)L c u i ++,等效电路如图（b ） '(0)5200.250L u V +=-⨯=15101(0)0.253010c i A +-=-=(0)(0)1/6C C du i V s dt C ++== (0)(0)0A/s L L di u dt L++==10-4 设图示电路达到稳态，在0t =时开关S 动作，试求(0)c u +、(0)L i +、(0)R u +、(0)c du dt +和(0)L di dt +。
Ω20LL1H2H题10-3图 题10-4图】解：S 开_+(0)(0)c u (0)L i S 闭：1Ω+_(0)c i +(0)(0)L u当0t -=时，求(0),(0)c L u i --(0)(0)0L L i i A +-==(0)(0)1c c u u V +-==当0t +=时，求 (0),(0)L c u i ++ !(0)0,(0)0,(0)0R L C u V u V i V +++===(0)(0)0/C C du i V s dt C ++== (0)(0)0A/s L L di u dt L++==10-5 图示电路，开关S 在t =0换路前电路已达稳态，试求(0)L i +、(0)c u +、++0 0dtdu dtdiC L和。
S题 10-5 图解：S 开(0)c u (0)0L i A 0tV 4)0()0(V 4)0( ;0)0(=⇒===++-+L C C L u u u i￥;s A 4000)0(; s V 102)0( ;A 2.0)0(0 0 5//==⇒⨯-==-=⇒+++++Lu dtdi Ci dtdui L LC C C10-6 试画出V )]4()([)(--=t t t uεε的波形解：L i 和u ，并画出它们的波形。
解：电路戴维宁等效电路如图所示：：52()5()2oc u t t =⨯=δδ 59222o R =+=Ω 19L s R τ==()191010()(1)()1()99tt l i t e t e t τ--=-=-δδ()9910855[2()]5[]()810()999t t L u i t e t e t --=--=---=+δδδ10-8电路如图所示，求冲激响应c u 。
<解：电路戴维宁等效电路如图所示()26()93oc t u t =⋅=δδ36236eq R ⨯==+Ω利用阶跃响应求冲击响应2()3oc u t =δ20.43eq R C s ==)其阶跃响应为()()52221()1()33t R C eq t uc S e t e t V --=-=-δδ则冲击响应为()5522()552()()()()323t tuc c dS t u t e t e t V d t --==-⨯-=δδ10-9电路如图所示，求冲激响应L i 。
!Ω5Li st /题10-7图Cu L题10-8图 题10-9图解：利用阶跃响应求冲激相应()5,15OC eq U t R =ε=Ω 215eq L S R τ==,所以阶跃响应为: ()()113L t i S t e t A -τ⎛⎫=-ε ⎪⎝⎭,则冲激响应为：()()()15211532tLL di t i t e t A dt --⎛⎫==-ε ⎪⎝⎭ 10-10图示电路0=t 时开关打开，已知打开后u (.).V 0503=，试求U S 。
~题10-10图解：利用阶跃响应求冲激相应，画出戴维宁等效电路图，如图所示Ω,10,100OC S eq eq U U R k R C ==Ωτ== 所以阶跃响应为：()()1001tS u C S U e t -⎛⎫=-ε ⎪⎝⎭，所以()()1001100t C S U t U e t --⎛⎫=-ε ⎪⎝⎭又()0.50.3U =，所以30.15S U V =-10-11图示电路t =0时开关断开。
已知u C ()V 28=，求电容C 。
u C、题10-11图解：此电路为零状态响应，开关断开OCU1可知1tRCC S U U e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以10,10k S eq U V R Ω==所以()410101t C t U t e -⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,又因为(2)8V C u =所以，当2t S =时，124F C =μ10-12电路如图所示，已知V U S 24=，Ω=31R ，Ω=62R ，Ω=43R ，Ω=24R ，F C 61=。
0=t 时，开关S 断开，求)(t u C ，)(t i C 。
_U S R 4题10-12图解：Ω=⨯=+++⨯=31266)(432432R R R R R R RV R R R U u S C 1233324)0(1=+⨯=+⨯=-、由换路定理，V u u C C 12)0()0(==-+。
再由终值电路可知，0)(=∞C u ； … 时间常数S RC 5.0613=⨯==τ。
… 利用三要素法：0 12)]()0([)()(2≥=∞-+∞=--+t V e e u u u t u t tC C C C ，τ…由电容的VAR 知：0412261)(22≥-=⨯⨯-==--t A e e dt du Ct i t t C C ， 10-13图示电路原处于稳态。
若t =0时将开关S 由位置“1”打向位置“2” ，且在t =5秒时再将开关S 由位置“2”打向位置“1”。
试用三要素法求t ＞0的u C (t )，并绘出其波形。
_题10-13图解：V ;100)0()0(-==-+C C u u.s 5 V,e 200100)( s;2 V;100)(V;100)5()5(; s 50 V,e 200100)(s;1 V;100)()5(5.02211≥+-==-=∞==≤≤-===∞---+-t t u u u u t t u u t C C C C t C C ττ其波形图如下图所示。
@10-14图示电路原处于稳态。
若t =0时将开关S 由位置“a ”打向位置“b ” ，试用三要素法求t ＞0的u (t )，并绘出其波形。
u题10-14图：V ;122224)( V ;8)0()0(=⨯+⨯=∞-==-+u u u.0 V,e 2012)(; s 1 ,10≥-==Ω=-t t u R t τt , s#-其波形图如下图所示。
#10-15含受控源电路如图所示。
当0=t 时开关S 闭合。
求)(t u C ，0≥t 。
u c题10-15图#({10-16电路如图所示，当t =1s 时开关闭合，闭合前电路已达稳态。
Vu Vu C 601224122)0(1243)0(=++⨯==⨯=--V u u C C 60)0()0(==-+V u C 24)(=∞Ω=6o R 03624 )2460(24)(12261212≥+=-+==⨯==--t V e et u s C R t t C o τ24V)(∞C＋'U －←R o试求)(t i ，s 1≥t 。
︒︒50V1Ω3H4Ω20V2Hi t =1题10-16图i ()A 110= i ()A ∞=5τ=12s i t A t ()[e ]()=+--5521t ≥110-17图示电路在换路前已达稳态。
当t =0时开关接通，求t >0的i t ()。
;︒︒+_42mA3k Ω6k Ωit =0100μFu C题10-17图u C ()V 0126+= 2i ()mA 063+= 4 i ()m A ∞=42 6 τ=06.s 8 得i t t()(e )mA =+-42215310-18图10-18所示含受控源电路无初始储能。
求)(t u C 、)(1t u ，0>t 。
1A1 Ω1 Ω1 Ω++__u 12u 1u C1F题10-18图^变换电路 u 1005().V +=u C ().V ∞=06 u 102().V ∞=Ω==4.052110u u R τ=04.su t C t ().(e )V .=--06125，t ≥0 u t t 1250203()(..e ).=+-V ，t >010-19试分别就以下情形判断图示二阶电路在电压源电压值突然变化后所发生过渡过程的阻尼状态。
(1) L =；(2) L =2H 。