最新高考数学专题十数列的极限与函数的导数教程文件
高三数学最新课件-极限、导数、数学归纳法(1) 精品
【案例2】已知函数
2 ( x 1) f ( x) x( x 2) (1 x 1) log ( x 1) (1 x 5) 2
(1)讨论f(x)在点x=-1,0,1处的连续性；
（2）求f(x)的连续区间。
x 1 ( x 1) 【变式】1)已知 f ( x) 3 2 x a ( x 1) f ( x ) 存在。 确定常数a，使 lim x 1
2
3
4)
lim
x 4
2 x 3 2x 1
3n n 1 1) 2 【变式】（1）已知 lim( 2 n an 2n 求常数a的值。
2
（2）已知⊙O1的直径为2，在⊙O1内 作内接正三角形A1B1C1，再作△A1B1C1 的内切圆O2，又作⊙O2的内接三角形 A2B2C2，这样无限进行下去，求所有这 些正三角形的面积的和.
在定义域[0，1]上是减函数，求a的取
【案例5】已知a>0,n为正整数. （Ⅰ）设 y=(x-a)n ，证明 y/=n(x-a)n-1 ； （Ⅱ）设fn(x)=xn―(x-a)n，对任意 n≧a，证明:fn+1/(n+1)>(n+1)fn/(n)
2
2)指出下列函数的不连续点：
2x 2 ① f ( x) 2 x 3x 2
② f ( x)
x x tan 2
2 x 1 ( x 1) ③ f ( x) 4 x ( x 1)
【案例3】求下列函数的导数：
1 x 1) ln 1) y ( x 1)( 1 x x 1
高三第二轮复习
§9.1 极限与导数（1）
高三备课组
【案例1】求极限:
2024高考数学课件 导数与函数的单调性、极值和最值讲解册
例1
设函数f(x)=aln
x+x
x
1 1
,其中a为常数.讨论函数f(x)的单调性.
解析
函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f
'(x)=
a x
+
(
x
2 1)2
=
ax2
(2a 2)x x(x 1)2
a
,
当a≥0时, f '(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
3
3
3
, 1
1 3
3a
∪
1
1 3a ,+∞
3
时, f '(x)>0,当x∈
1 1 3a, 1 1 3a 时, f '(x)<0,所
3
3
以f(x)在 ,1
1 3
3a
和
1
1 3
3a
,
上单调递增,在
1
1 3a 1
3,
1 3a 3
上单调
递减.
(2)设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(x0,y0),则切线的斜率为f '(x0)=3x02-2x0+a,故
a
a
即练即清
1.(2024届湖南长沙一中基础测试,8)若函数g(x)=ln x+ 1 x2-(b-1)x存在单调递减区间,则
2
实数b的取值范围是 ( B ) A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.(-∞,3) D.(-∞,3]
题型2 利用导数研究函数的极(最)值 1.解决函数极值问题的一般思路
高三数学《数列的极限》教案
数列的极限·教案目的要求使学生能从数列的变化趋势理解数列极限的概念；会判断一些简单数列的极限．内容分析1．极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一．因为微积分中其他重要的基本概念(如导数、微分、积分等)都要用极限概念来表述，并且它们的运算和性质也都要用极限的运算和性质来论证．2．为了让学生能尽早进入微积分的主体部分(本书后续内容)的学习，本章不重在理论研究．考虑到中学生理解极限的严格定义(ε－N定义和ε－δ定义)有一定难度，教科书只对极限的定义进行直观描述，教学中一定要注意把握分寸，恰当掌握教科书的深度和广度．3．数列的极限是最简单的一种极限，它可以看作是自变量以取正整数的形式趋向于无穷时的特殊函数极限．(1)数列的极限虽简单但却是重要的极限，后面讲函数极限即是由此引入的．正因为它可视为特殊的函数极限，就以它的四则运算法则纳入函数极限四则运算法则之中介绍．(2)建议新课导入从引言刘徽的“割圆术”说起，引入数列的极限．“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这正是极限概念和思想的要点．它具有承上启下的作用，能激发学生对后续内容的学习兴趣．(3)数列的极限的直观描述方式的定义，强调的是从变化趋势来理解数列极限的概念，通过观察三个具体数列，归纳出它们共同的特性：随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某一个常数a(即|a n－a|无限地接近于0)．由此给出数列极限的直观描述性定义．“随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某个常数a”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n趋近于a是在无限过程中进行的，即随n的增大，a n越来越接近于a；另一方面，a n不是一般地趋近于a，而是“无限”地趋近于a，即|a n－a|随n的增大而无限地趋近于0．(4)由于当n无限增大时，常数数列的项a n始终保持不变，因此有任何常数数列的极限都是这个常数本身．(5)例3是一道开放性的题目．学生需要通过运用计算器计算，并观察分析所得结果进行猜想．通过特殊到一般，在教师的引导下，猜想出只要求记住并会应用．4．本节的重点是数列极限的概念，难点是如何从变化趋势的角度来正确理解极限概念．在讲授时，注意结合数列例子，通过比较数值的变化以及数轴上点的变化，讲清“无限趋近”的意义，找出它们的共同特性，归纳出数列极限的直观描述性定义．5．结合引言内容，通过对刘徽“割圆术”的介绍，对学生进行爱国主义思想教育，激发学生的学习热情和民族自豪感．对极限概念及思想的深入理解不是一次就能完成的，而是需要一个较长的过程．通过极限内容的教学，树立运动变化的观点．教学过程1．新课导入，引出课题从引言第61页刘徽“割圆术”说起(可提前布置学生预习)，提出问无限趋近于圆周长2πR呢(让学生从图形上看这种变化趋势)？回答是肯定的，可以用极限的知识来证明．在数学中，极限的概念和思想是非常重要的．它是微积分中最重要、最基本的概念之一，它是研究变量在无限变化中的变化趋势．我们在高二数学第二册(下)中讲授球体积和表面积公式的推导时，用到了极限的思想方法．今天就来学习如何求数列的极限(导出课题)．2．特例分析，归纳特性考察教科书第76页三个数列①、②、③，当n无限增大时，项a n的变化趋势：(1)随着n的增大，从数值变化趋势上看，a n有三种变化方式：数列①是递减的，②是递增的，③是正负交替地无限趋近于a．(2)随着n的增大，从数轴上观察项a n表示的点的变化趋势，也有三种变化方式：①是从点a右侧，②是点左侧，③是从点a两侧交替地无限趋近于a．(3)随着n的增大，从差式|a n－a|的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n无限趋近于a．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于常数a(即|a n－a|无限地接近于0)”．引出数列极限的定义．3．形成概念，加深理解(1)数列极限的直观描述性定义(板书)．注意：①着重从变化趋势上理解数列极限的概念，它是一种定性的研究．②“无限趋近”的意义有两个方面．(2)讲解例1，学生完成教科书第76页的练习．(3)讲授极限的符号表示方法，明确符号的意义和读法．4．计算观察，得到结论C(C为常数)．(2)讲解例3．让学生先猜{0.99n}的极限，再用计算器分别算0.991000、0.995000、0.9910000、0.9920000，并分析数列变化趋势得出极限，从而得5．课堂学习，知识拓广学生板演教科书第77页练习1、2，教师讲评后针对练习2(4)可提先将学生分成两组分别讨论问题①、②，然后教师收集结果．6．归纳小结(1)理解数列极限的定义及项a n的三种变化方式．(2)理解数列极限的符号表示方法和它的意义．(3)掌握数列极限的一个性质和一个重要结论，并且会用．布置作业教科书第78页习题第1、2、3题．。
高中数学极限与导数【讲义】
高中数学极限与导数【讲义】极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|< ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0lim x x →[f(x)?g(x)]=ab,limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ??→?0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy，即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。
高考数学回归课本教案：极限与导数
高考数学回归课本教案：极限与导数教案章节一：极限概念及性质1. 教学目标(1) 理解极限的定义，掌握极限的基本性质。
(2) 学会求解函数在某一点的极限。
(3) 能够运用极限的性质解决实际问题。
2. 教学内容(1) 极限的定义及几何意义。
(2) 极限的基本性质：保号性、保序性、保不等式性。
(3) 求解函数在某一点的极限。
3. 教学步骤(1) 引入极限的概念，讲解极限的定义及几何意义。
(2) 通过例题，演示极限的保号性、保序性、保不等式性。
(3) 教授求解函数在某一点的极限的方法。
4. 课后作业(1) 理解极限的定义及几何意义。
(2) 熟练掌握极限的基本性质。
(3) 能够求解函数在某一点的极限。
教案章节二：导数概念及计算1. 教学目标(1) 理解导数的定义，掌握基本函数的导数公式。
(2) 学会求解函数在某一点的导数。
(3) 能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容(1) 导数的定义及几何意义。
(2) 基本函数的导数公式。
(3) 求解函数在某一点的导数。
3. 教学步骤(1) 引入导数的定义，讲解导数的定义及几何意义。
(2) 教授基本函数的导数公式。
(3) 通过例题，演示求解函数在某一点的导数的方法。
4. 课后作业(1) 理解导数的定义及几何意义。
(2) 熟练掌握基本函数的导数公式。
(3) 能够求解函数在某一点的导数。
教案章节三：导数的应用1. 教学目标(1) 学会运用导数求解函数的极值、单调区间、曲线凹凸性。
(2) 能够运用导数解决实际问题，如优化问题、运动物体的瞬时速度等。
2. 教学内容(1) 运用导数求解函数的极值。
(2) 运用导数判断函数的单调区间。
(3) 运用导数判断曲线的凹凸性。
3. 教学步骤(1) 讲解运用导数求解函数的极值的方法。
(2) 通过例题，演示运用导数判断函数的单调区间。
(3) 教授运用导数判断曲线的凹凸性的方法。
4. 课后作业(1) 理解运用导数求解函数的极值的方法。
(2) 熟练掌握运用导数判断函数的单调区间的方法。
高考数学专题复习数列极限与导数教案
一、教学目标1. 理解数列极限的概念及其性质。
2. 掌握数列极限的求解方法。
3. 理解导数的定义及其性质。
4. 掌握基本函数的导数公式。
5. 能够运用数列极限和导数解决实际问题。
二、教学内容1. 数列极限的概念与性质极限的定义极限的性质无穷小与无穷大2. 数列极限的求解方法单调有界定理夹逼定理单调无界定理3. 导数的定义与性质导数的定义导数的性质导数的运算4. 基本函数的导数公式常数函数的导数幂函数的导数指数函数的导数对数函数的导数5. 导数在实际问题中的应用求解函数的极值判断函数的单调性求解曲线的切线方程三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索数列极限和导数的关系。
2. 通过例题讲解，让学生掌握数列极限和导数的求解方法。
3. 利用多媒体课件，直观展示数列极限和导数的概念和性质。
4. 组织小组讨论，让学生互相交流学习心得，提高解题能力。
四、教学评估1. 课堂练习：每节课安排适量的练习题，及时巩固所学知识。
2. 课后作业：布置相关的数列极限和导数的题目，让学生独立完成。
3. 单元测试：定期进行数列极限和导数的测试，了解学生的掌握情况。
4. 学生互评：组织学生互相评价，促进学生之间的交流和学习。
五、教学资源1. 教材：《数学分析》2. 课件：数列极限和导数的PPT课件3. 练习题：数列极限和导数的习题集4. 教学视频：数列极限和导数的讲解视频5. 网络资源：数列极限和导数的在线教程和习题库六、教学步骤1. 数列极限的概念与性质引入数列极限的概念，解释极限的含义。
通过示例说明极限的性质，如保号性、单调性等。
讲解无穷小与无穷大的概念，区分它们与极限的区别。
2. 数列极限的求解方法介绍单调有界定理，解释其含义并给出证明。
讲解夹逼定理的原理，并通过例题演示其应用。
解释单调无界定理，并通过实例说明其应用。
3. 导数的定义与性质引入导数的定义，解释导数表示函数在某点的瞬时变化率。
讲解导数的性质，如导数的单调性、连续性等。
极限和导数拓展讲义
极限和导数本讲义编写的目的是对于高中物理中常用的微积分知识做一个相对体系的介绍，并指导同学在实际的物理情景中应用。
讲义在内容上注重讲清数学知识的概念与思维方式，相对于野蛮的“摔公式”教学方法，同学们能一定程度上领略微积分的奇妙与美感。
本节知识提纲1数列极限：数列极限的定义，数列极限的计算 2函数极限：函数极限的定义，物理中极限的使用3导数：导数扩展了物理量的定义。
掌握导数的几何意义，基本求导公式，求导运算法则最后我们一贯的反对学习数学只关心数学公式怎么使用的态度，这种情况在喜欢物理的同学中非常普遍，这种心态的学习在物理上一定也是走不远的。
本讲义实际讲解的是很不严密的，代替不了真正的数学课，建议有兴趣的同学课后阅读提升对于数学的理解。
第一部分 数列极限知识点睛先思考这个问题0.9999K 和1哪个大？纯洁而朴素的想法如下：0.91<，0.991<，0.9991<，所以无限循环小数0.9999K 小于1。
然而事实并非如此。
令0.9999x =K ，则有：109.9999x =K 0.9999x =K相减得到： 99x = 所以10.9999x ==K为了解释这样的事情，我们做如下分析，构造数列n a ：{0.99...9n na =显然数列里面的每一项都是小于1的。
但是0.9999K 并不在这个数列中。
因为数列里面每一项都是有限小数，0.9999K 是无限小数。
当项数n 不断增大的时候n a 不断靠近0.9999K ，却一直不等于0.9999K 。
我们这样定义数列的极限：如果存在一个实数p 使得：对于任意的实数0ε>，都存在一个整数n ，使得对于任意m n >，||m a p ε-<，那么就叫p 是数列n a 的极限，记作lim n n p a →∞=。
否则叫数列n a 没有极限。
可以这样形象地理解这个定义：当n 很大的时候，n a 与p 要多靠近就有多靠近；n 越知识模块本讲提示大，n a 与p 就越靠近。
高考数学回归课本教案：极限与导数
高考数学回归课本教案：极限与导数一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
2. 理解导数的定义，掌握基本导数公式和导数的计算方法。
3. 能够运用极限和导数解决实际问题。
二、教学内容1. 极限的概念和性质2. 极限的计算方法3. 导数的定义和性质4. 基本导数公式5. 导数的计算方法三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的计算方法，导数的定义和性质，基本导数公式，导数的计算方法。
2. 难点：极限的计算方法，基本导数公式的记忆和应用，导数的计算方法。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和发现。
2. 通过例题讲解，让学生理解和掌握极限和导数的计算方法。
3. 利用多媒体教学，形象直观地展示极限和导数的概念和计算过程。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考极限和导数的概念。
2. 讲解极限的概念和性质，通过例题让学生掌握极限的计算方法。
3. 讲解导数的定义和性质，通过例题让学生掌握基本导数公式和导数的计算方法。
4. 课堂练习：让学生独立完成相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生对极限与导数概念的理解程度，以及对极限和导数计算方法的掌握情况。
2. 课堂练习：检查学生完成练习题的正确率，巩固学生对极限与导数的应用能力。
3. 课后作业：通过批改学生的作业，了解学生对课堂所学知识的掌握情况，发现问题并及时给予反馈。
七、教学拓展1. 引入实际应用案例，让学生了解极限与导数在生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
2. 讲解极限与导数在数学分析中的重要作用，激发学生对数学分析的兴趣。
3. 引导学生思考极限与导数在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。
八、教学反思2. 根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
3. 关注学生的学习进度，针对性地进行辅导，确保学生掌握极限与导数的相关知识。
九、课后作业1. 复习极限与导数的概念、性质和计算方法。
高考数学极限与导数15页word文档
专题8：极限与导数（理）一、 考点回顾1.数学归纳法是证明关于自然数n (改为“与自然数n 有关” )的命题的一种方法，在高中数学中有着非常重要的用途，是高考命题的热点内容之一。
2.函数极限和数列极限仍然以选择题或填空题为主，主要考查基本计算，有时也在解答题的最后一问出现，中等或偏易的难度（文科不要求函数的极限）。
3.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。
考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。
4.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式问题等，是（改为“已成为”）高考热点问题。
选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。
5.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。
二、 经典例题剖析考点一：数学归纳法例1：设正数数列{}n a 的前n 项和n S 满足221⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a S 。
求321,,a a a ，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n n T ∞→lim 。
解析：（1）由题设可求5,3,1321===a a a ，猜想数列{}n a 的通项公式为：()*12N n n a n ∈-=，下面用数学归纳法证明：①当1=n 时，显然成立；②假设当k n =时，猜想成立，即12-=k a k ，那么当1+=k n 时， 由221121,21⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++k k k k a S a S 化简可得：0221221=---++k k k k a a a a ，即()()0211=--+++k k k k a a a a ，k k a a -=∴+1或21+=+k k a a ，又0>n a ， 21+=∴+k k a a ，即()1122121-+=+-=+k k a k ，所以，当1+=k n 时，猜想成立。
高考数学回归课本教案：极限与导数
高考数学回归课本教案：极限与导数一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
2. 理解导数的定义，掌握导数的计算公式和应用。
3. 提高学生解决实际问题的能力，提升数学思维品质。
二、教学内容1. 极限的概念与计算2. 导数的定义与计算3. 导数的应用4. 极限与导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念与计算，导数的定义与计算，导数的应用。
2. 难点：极限的推理与计算，导数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究极限与导数的概念和计算方法。
2. 利用实例分析，让学生感受极限与导数在实际问题中的应用。
3. 开展小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过回顾初中数学中的函数概念，引导学生思考函数在高中数学中的拓展。
2. 讲解极限的概念与计算：借助数轴和实际例子，讲解极限的定义，引导学生掌握极限的计算方法。
3. 讲解导数的定义与计算：以极限为基础，引入导数的概念，讲解导数的计算公式，并通过实例让学生熟悉导数的计算方法。
4. 应用练习：布置具有代表性的习题，让学生巩固极限与导数的计算方法。
5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，引导学生思考极限与导数在实际问题中的应用。
教案示例：【教学环节1：导入新课】教师通过提问方式引导学生回顾初中数学中的函数概念，引发学生对函数在高中数学中拓展的思考。
【教学环节2：讲解极限的概念与计算】教师借助数轴和实际例子，讲解极限的定义，引导学生掌握极限的计算方法。
【教学环节3：讲解导数的定义与计算】教师以极限为基础，引入导数的概念，讲解导数的计算公式，并通过实例让学生熟悉导数的计算方法。
【教学环节4：应用练习】教师布置具有代表性的习题，让学生巩固极限与导数的计算方法。
【教学环节5：总结与拓展】教师对本节课的内容进行总结，引导学生思考极限与导数在实际问题中的应用。
六、教学内容1. 极限的性质与极限的运算法则2. 导数的性质与导数的运算法则3. 高阶导数4. 隐函数求导与微分5. 导数在实际问题中的应用七、教学重点与难点1. 重点：极限的性质与极限的运算法则，导数的性质与导数的运算法则，高阶导数，隐函数求导与微分，导数在实际问题中的应用。
高考数学专题复习数列极限与导数教案
高考数学专题复习数列极限与导数教案一、教学目标1. 理解数列极限的概念，掌握数列极限的性质及求解方法。
2. 掌握导数的定义，了解导数的几何意义和物理意义。
3. 熟练运用导数求解函数的单调性、极值、最值等问题。
4. 能够运用数列极限和导数解决实际问题。
二、教学内容1. 数列极限的概念及性质2. 数列极限的求解方法3. 导数的定义及性质4. 导数的几何意义和物理意义5. 导数的求解方法及应用三、教学重点与难点1. 数列极限的概念及性质2. 数列极限的求解方法3. 导数的定义及性质4. 导数的几何意义和物理意义5. 导数的求解方法及应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列极限和导数的基本概念、性质和求解方法。
2. 利用示例，展示数列极限和导数的应用。
3. 引导学生进行自主学习，通过练习巩固所学知识。
4. 组织课堂讨论，提高学生的参与度和思维能力。
五、教学过程1. 导入：回顾数列极限和导数的基本概念，引导学生进入复习状态。
2. 讲解数列极限的概念及性质，举例说明数列极限的求解方法。
3. 讲解导数的定义及性质，展示导数的几何意义和物理意义。
4. 讲解导数的求解方法，举例说明导数在实际问题中的应用。
5. 课堂练习：布置相关习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂讨论：组织学生进行讨论，解答学生提出的问题。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调数列极限和导数的重要性。
8. 布置作业：布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生在课堂上的参与程度和理解程度，评估学生对数列极限和导数概念的理解。
2. 课堂练习：通过学生完成的练习题，评估学生对数列极限和导数求解方法的掌握。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固情况，以及学生运用数列极限和导数解决实际问题的能力。
七、教学策略1. 针对数列极限和导数的概念，采用生动的例子和实际问题，帮助学生形象理解。
2. 通过分步骤的讲解和练习，引导学生逐步掌握数列极限和导数的求解方法。
专题：数列的极限与函数的导数
【分析】 数列 是首项为 ，公比是 的等比数列,∴ = = ,解得 =２。
4，当且仅当 时， , 时 可有定义也可无定义。例如下列命题正确的是……………………………………………()
）。（Ⅰ)用 和 表示 ；（Ⅱ）当 时，
求 的值；（Ⅲ）在(Ⅱ）的条件下，求 的取值范围。
【例５】过点(2，0)，求与曲线 相切的直线方程。
【例６】(200４全国卷二,2２)已知函数 , 。
（Ⅰ）求函数 的最大值;
（Ⅱ)设 ，证明 。
【例７】（2０04广东卷,２1）设函数 = ,其中常数 为整数。
(Ⅰ)当 为何值时, ;
12、 ，则 ；
13、已知 是 的一个三次多项式，若 = =１，
则 ＝
１4、如图, 是一块半径为1的半圆形纸板，在 的左下端剪去一个半径为 的半圆后得图形 ，然后剪去更小的半圆(其直径为前一被剪掉半圆的半径)得图形 , ,……, ，……,记纸板 的面积为 ,则 =
（Ⅱ)定理：若函数 在［ ］上连续,且 与 异号,则至少存在一点 使 。试用上述定理证明：当整数 时,方程 ＝０，在［ ］内有两个实根。
【例８】溶液自深１8 ，顶直径12 的圆锥形漏斗中漏入一直径为10 的圆柱形容器中,开始时漏斗中盛满水,已知当溶液在漏斗中之深为12 时,其水平下落的速度为1 ∕ ，问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少?
（ )0 １ －1；
６、设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是…………………………………………………………………( ）
(Ａ) (B) (C) (D）
高中数学备课教案函数的极限与导数
高中数学备课教案函数的极限与导数高中数学备课教案：函数的极限与导数一、引言函数的极限与导数是高中数学中重要的概念和工具之一。
正确理解和掌握这些内容，对于学生的数学学习和未来的应用都有着重要的影响。
本教案旨在通过适当的教学方法和案例分析，帮助学生深入了解函数的极限与导数的概念、性质和应用。
二、函数的极限1. 极限的概念函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
引入极限的概念可以更准确地描述函数的性质和行为。
2. 极限的计算通过借助极限的定义和相关性质，可以计算各种类型函数的极限，包括多项式函数、分式函数、指数函数和三角函数等。
在计算极限时，可以运用基本的极限性质和极限运算法则，灵活使用代换法、夹逼准则等方法。
3. 极限存在与不存在有些函数在某些自变量取值下可能存在极限，而在其他自变量取值下则不存在极限。
教师应通过案例引导学生思考极限存在与不存在的条件，并帮助学生理解这一概念的实际意义。
三、导数的概念与性质1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用来衡量函数在该点的瞬时变化程度。
导数的定义基于极限的思想，通过极限的计算可以得到函数的导数。
2. 导数的几何意义导数可以理解为函数图像上某点处的切线斜率，其正负表示函数在该点的增减性。
教师可以通过几何图像和实际问题建立导数与函数变化的直观联系。
3. 导数的性质和运算法则导数具有一系列的性质和运算法则，包括常数导数、幂函数导数、和差法则、乘积法则和商法则等。
了解这些性质和法则有助于简化导数的计算过程。
四、函数的极限与导数的应用1. 极值与最值问题通过极值定理和导数的概念，可以分析函数的极值点和临界点，并通过判定导数的正负来确定函数的极大值和极小值。
2. 函数的单调性通过导数的正负可以判断函数在某一区间上的单调性，例如递增和递减区间。
这对于函数图像的绘制和函数性质的分析都具有重要意义。
3. 函数的凸凹性与拐点利用导数的二阶导数可以判断函数在某一区间上的凹凸性，并确定函数的拐点。
第4章+第1讲+导数与函数的极值、最值2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
(2)函数的极大值与极大值点 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数 值 04 _都__大_，f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧 05 ___f′_(x_)_＞__0____，右侧 06 __f_′_(x_)_＜__0____，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极 大值．
又因为x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，所以x1，x2是x2＋4x＋1＝0
的两个根，且x1>x2.解方程可得，x1＝－2＋ 3 ，x2＝－2－ 3 ，所以x2－x1
＝－2 3.
解析 答案
角度 已知函数的极值求参数的值或取值范围
ห้องสมุดไป่ตู้
例3 (1)(2021·河北九校联考)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有 极值0，则a－b＝________.
f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，故A错误；当x<1时，f′(x)>0，f(x)在区
间(－∞，1)上单调递增，故B错误；当x＝1时，f(x)＝
3x ex
取得极大值
3 e
，无
极小值，故C正确，D错误．故选C．
解析
(2)(2021·凉山州模拟)若x0是函数f(x)＝ex－
ln x
x
－
1 x
的极值点，则x0满足
解析
角度
已知函数解析式求极值或极值点
例2 (1)(2021·西安模拟)已知f(x)＝3exx ，则f(x)(
)
A．在(－∞，＋∞)上单调递增
B．在(－∞，1)上单调递减
C．有极大值3e，无极小值
D．有极小值3e，无极大值
答案
解析 ∵f(x)＝3exx ，∴f′(x)＝3·ex－e2x3x·ex＝31e－x x，当x>1，f′(x)<0，
高考数学回归课本教案：极限与导数
高考数学回归课本教案：极限与导数一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的计算方法，能够解决与极限相关的实际问题。
2. 掌握导数的定义，了解导数的几何意义，熟练运用导数求解函数的单调性、极值和最值。
3. 提高学生的数学思维能力，培养学生的逻辑推理和数学运算能力。
二、教学内容第一章：极限1.1 极限的概念1.2 极限的性质与计算1.3 无穷小与无穷大1.4 极限的实际应用第二章：导数2.1 导数的定义2.2 导数的计算规则2.3 导数的几何意义2.4 函数的单调性三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现和解决问题。
2. 通过典型例题讲解，让学生掌握极限和导数的计算方法。
3. 利用多媒体课件辅助教学，增强教学的直观性和生动性。
4. 组织小组讨论和课堂互动，激发学生的思维碰撞，提高学生的合作能力。
四、教学评价1. 课堂练习：每章节结束后进行课堂练习，检验学生对极限和导数知识的掌握程度。
2. 课后作业：布置相关习题，巩固学生对极限和导数知识的理解。
3. 单元测试：每个章节结束后进行单元测试，全面评估学生对该章节知识的掌握情况。
4. 期末考试：综合检验学生对整个极限与导数知识的掌握程度。
五、教学安排第一章：极限1课时：极限的概念1课时：极限的性质与计算1课时：无穷小与无穷大1课时：极限的实际应用第二章：导数2课时：导数的定义2课时：导数的计算规则2课时：导数的几何意义2课时：函数的单调性六、教学内容第三章：导数的应用3.1 函数的极值与最值3.2 函数的增减性3.3 曲线的凹凸性与拐点3.4 导数在经济中的应用第四章：高阶导数4.1 高阶导数的定义4.2 高阶导数的计算4.3 隐函数求导4.4 高阶导数在实际应用中的意义七、教学内容第五章：导数与图形5.1 切线方程的求法5.2 曲线的切线与法线5.3 曲线的渐近线5.4 函数图像的变换八、教学内容第六章：导数与物理6.1 瞬时速度与加速度6.2 动量与力6.3 能量与势能6.4 导数在物理学中的应用九、教学内容第七章：导数与微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 微分方程的解法7.3 微分方程在实际应用中的例子7.4 微分方程与导数的关系十、教学内容第八章：复习与提高8.1 极限、导数的概念与性质的综合应用8.2 函数的单调性、极值和最值的求解8.3 导数在实际问题中的应用8.4 提高解题技巧与策略九、教学方法1. 通过具体实例引入导数的应用，让学生感受导数在实际问题中的重要性。
人教版高中数学课件：高二数学课件-数列的极限
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性，即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动，不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性，即如果 一个数列收敛到极限a，那么对 于任何正整数n，都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限，我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中，如果一个数列的极限值存在，那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如，对于等差数列，其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限，可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质，即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值，那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要， 是数学分析中的一个基本原则。
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数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界， 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件，则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在正整 数N，使得当$n, m > N$ 时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$，则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
新课标下的高中数列极限以及导数
新课标下的高中数列极限以及导数下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如
y | x |在（ 0 ， 0 ）
处的导数存在吗？为什么？
【分析】
| x| lim x0 x
|0 lim
x0
x| |0|
| lim
x|
1， lim | 0
x
x0
x
x0
1∴ y | x |在（ 0 ， 0 ）处的导数不存在。
x| |0| x
7，导数的求法要熟练、准确，须明确（ 1）先化简，再求导， （ 2）复合函数灵活处理，
a5
8
a2n
1)
=
3
，
则 a1
【分析 】
数 列 { a2 n 1} 是 首 项 为 a1 ， 公 比 是 q 2
1
的 等比数列 ，
4∴lຫໍສະໝຸດ mn(a1
a3
a5
a2n
1)
=
1
a1 q2
= 8 ，解得 3
a1 =2。
4 ，当且仅当 lim f x lim f x a 时， lim f x a ， x x0 时 f x 可有定义也可
（ 1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限：
1) lim c c(c 是常数） ,2) lim 1 0 ,3) lim q n 0(| q | 1) .
n
nn
n
(2) 明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。
（ 3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。
lim
n
an
的值。
【例２】求下列函数的极限：
2x 1 3 （ 1） lim
x4 x 2 2
1
3
（ 3） lim ( x 11
x
1
) x2
cosx
（ 2） lim
x
x 2 cos
sin x
2
2
（ 4） lim x( x 2 1 x
x 2 1)
【例３】求下列函数的导函数：
（１） f ( x) ＝ e x (cos x sin x) ；
它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给
出一个含参的函数或应用建模， 通过求导、 分析函数的单调性与最值， 考查“数形结合” 、“分
类讨论” 等数学思想方法的综合运用能力。 从 20XX年各地的高考试卷看， 考生在备考时， 应
从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：
2n 项的和再求极限
（ D ）1
2n 1 2n
1
=
，∴原
n1 n1 n1
3 ，无穷等比数列的公比 q ，当 | q | 1 时，各项的和 s a1 及重要应用。 例如（ 20XX 1q
立身以立学为先，立学以读书为本
年上海，4）设等比数列 a n （ n N ）的公比 q
1
2
，且
lim ( a1
n
a3
积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：
1
2
3
2n 1 2n
（ 20XX年广东 ,4 ） lim (
…＋
) 的值为…（ ）
n n1 n1 n1
n1 n1
（ A ）-1
（ B ）0
【分析】这是求无穷项的和，应先求前
式 = lim ( n ) =-1 ，故选 ( A) 。
n
n1
（C） 1 2
q 和 n 表示 An ；（Ⅱ）当
（ 3）有时要回到定义中求导。
8，导数的几何意义是曲线切线的斜率， 物理意义是因变量对自变量的变化率。 导数的应 用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与
函数作图、 函数极值与最值求法、 有关方程与不等式问题、 有关近似计算问题、 实际应用题。
【经典题例】
【例１】求下列数列的极限：
对0、 、 0
、 0 型的函数或数列的极限， 一般要先变形或化简再运用法则求极限。
例如（ 20XX 年辽宁， 14） lim ( x
) cos x
=
x
x
【分析】这是 0 型，需因式分解将分母中的零因子消去，故 0
( x ) cos x
lim
x
x
= lim ( x x
) cos x = 2 。
2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数， 对于无穷项的和或积必须先求和或
x x0
x xo
x xo
无定义。例如下列命题正确的是 …………………………………………… (
)
( A )若 f x
x 1 ,则 lim f x 0 ， B 若 f x x1
x2 2x
,则 lim f x
x2
x2
2 ， (C ) 若
fx
1 ,则 lim f x
0 ， (D) 若 f (x)
x(x
0) ,则 lim f ( x)
0。
x
x
x 1(x 0) x 0
【分析】 ( A )中 x 1 无定义，（ C ）中 x
无定义，而 (D) lim f (x) 0 ， x0
lim f ( x) 1，故 B 是正确的。
x0
5，函数 f x 在 x x0 处连续是指 lim f x x x0
连续是有极限的充分条件。
f x0 ，注意：有极限是连续的必要条件，
（ 4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。
（ 5）熟记八个基本导数公式， 掌握求导的四则运算法则， 理解复合函数的求导法则， 会求
简单函数的导数。
（ 6）掌握导数的几何意义与物理意义， 理解可导函数的单调性、 极值与导数的关系， 强化
用导数解决实际问题的能力。
【疑难点拨】 ：1，极限的四则运算法则， 只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。
立身以立学为先，立学以读书为本
专题十：数列的极限与函数的导数
【考点审视】
极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导
数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，
“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题； “大题”在解答题中出现时，极限通常与其
（１） lim (l g n
n
l g 10n
3) ；（２）
lim
n
cosn cosn
1
a
2a
3a
（３） lim [1 (1 ) (1 ) (1 )
nn
n
n
n
sin n sin n
（0
(1 n 1 a)] ； n
）；
2
立身以立学为先，立学以读书为本
（４）已知 a 0 ，数列 { a n } 满足 a1 a, a n 1 a 1 ，若 { a n } 的极限存在且大于零，求 an
（２） f (x) ＝ cos2(ln 2x) ；
（３） f (x) ＝ lg x
x
；
2
1x
（４）已知 f ( x) ＝ 3x 3 x 2 | x | ，求 f (0) 。
【例４】设 an 1 q q 2
qn 1（ n
N ,q2
1 ）， An
（
C
1 n
a1
+
C
2 n
a
2
C
3 n
a
3
C
n n
a
n
）。（Ⅰ）用