B样条基础解析

Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（特征多边 形）的各顶点唯一地定义出来的。在这组顶点中： (1) 只有第一个顶点和最后一个顶点在曲线上； (2) 其余的顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形 状； (3) 第一条边和最后一条边则表示了曲线在两端点 处的切线方向。
一、 Bé zier曲线的定义和性质
Bé zier Curves
1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼 近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完 成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972年， 该系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示 结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样 得心应手。 通过Bezier可以画出复杂形状的曲线，只要给出表示曲线 大体走向的点，就可由这些点画出一个多边形，然后通过 Bezier公式逼近这个多边形画出所要的曲线。其中的给出 的描述曲线大体走向的点称为控制点，这些点连成的多边 形称为控制多边形。
i 0 i 0
P(1 t) ,
t 0,1
3. Bé zier曲线的性质
(3) 凸包性 由于
B
i 0
n
i,n
(t) 1,
t 0,1 并且
0 B i,n (t) 1 (0 t 1 ,
t 0,1,...n )
说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各 顶点的加权平均，权因子依次是Bi,n(t)。 在几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在 t 0,1 中各点是控制 点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中。
2. B样条定义
设有控制顶点P0,P1,…,Pn,则k阶(k-1次)B样条曲线的数学表达式为:
P(t)
P N
i 0 i
n
i,k
(t)
其中 Ni,k(t)是 k-1次 B样条曲线的基函数，也称Ｂ样条分段混合函 数，其中每一个称为B样条。
B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定 的k阶分段多项式，也即为k阶（k-1次)多项式样条。
凸包
(c)
3. Bé zier曲线的性质
(4) 几何不变性 指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线位置与 形状与其特征多边形顶点Pi (i=0,1,…n)的位置有关，它不依赖坐标系 的选择。
Pi Bi,n (t) Pi Bi,n (
i 0 i 0
n
n
u-a ) b-a
1. 定义
给定空间n+1个点的位置矢量Pi ( i=0,1,2,…,n )，则Bé zier曲线可定 义为： n P(t) Pi B i,n (t), t 0,1
i 0
其中，Pi(i=0,1, …,n)构成该Bé zier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次 Bernstein基函数： n! i i B i,n (t) Cn t (1 t)n i t i (1 t)n i , (i 0,1,..., n) (n i )!i ! 其中，00=1，0！=1。 控制顶点 特征多边形
B样条曲线定义和基本性质
王莹莹
2013年9月
前言
在我们工程中应用的拟合曲线，一般地说可以分为
两种类型：一种是最终生成的曲线通过所有的给定 型值点，比如抛物样条曲线和三次参数样条曲线等， 这样的曲线适用于插值放样；另一种曲线是，它的 最终结果并不一定通过给定的型值点，而只是比较 好地接近这些点，这类曲线（或曲面）比较适合于 外形设计。
3. Bé zier曲线的性质
(2) 对称性 由控制顶点 Pi* Pni , i 0,1,...n 构造出的新 Bezier 曲线，与原 Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：
P * (t)

i 0
n
n
Pi*Bi,n (t)
P
i 0
பைடு நூலகம்
n
n i Bi,n (t)
n
Pn i B n i,n (1 t) Pi B i,n (1 t)
2. B样条定义
de Boor-Cox(德布尔—考克斯)递推定义：
1 t i t t i 1 N i,1 (t) 0 t t i 或 t t i 1
，
k=1
约定：
0 0 0
t ti t i k t N i,k (t) N i,k 1 (t) N i 1,k 1 (t), t i k 1 t i t i k t i 1
在一个位置上增加多个控制点将增加这个点的权值,将 Bézier 曲线推向这个点.
4. Bé zier曲线及其控制多边形的几何形状
Bé zier 曲线的性质
如果只有一个控制点 P0，例如: n=0 那么，对于所有的t 有
P(t) = P0
如果只有两个控制点 P0 和 P1，例如: n=1 那么公式简化为在两个控制点之间的 一条直线段. 3个控制点形成一条抛物线,4个控制点是一 条三次曲线,等等.
（参变量u是t的置换）
3. Bé zier曲线的性质
(5) 变差缩减性 若Bezier曲线的特征多边形 P0 P1 …Pn是一个平面图形，则平面 内任意直线与P(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个 数。 此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是 说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。
3. Bé zier曲线的性质
(1) 端点性质 切矢量 因为：
P (t) n Pi [B i 1,n 1 (t) B i,n 1 (t)]
' i 0
n 1
所以：当t=0时，P(0)=n (P1 –P0 )； 当t=1时，P(1)=n (Pn –Pn-1 ) ; 说明，Bezier曲线起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一 条边及最后一条边的走向一致。
由二项式定理可知：
i i n i n B (t) C t (1 t) [(1 t) t] 1 i,n n i 0 i 0 n n
(4) 对称性： Bi,n (t) Bni,n (1 t) 因为
i n (n i) n i B n i,n (1 t) Cn [1 (1 t)] (1 t) n i i Cn t (1 t) n i B i,n (t)
(1) 正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2, , n 1)
(2) 端点性质
1, i=0 Bi,n(0)= 1, i=n Bi,n(1)=
0, i≠0
0, i≠n
2. Bernstein基函数的性质
(3) 权性
B
i 0
n
i,n
(t) 1, t 0,1
0 0 0
3. B样条的性质
(1) 局部支撑性
N i,k (t) 0, N i,k (t) 0,
(2) 权性
t [ti , t i k ] t [ti , t i k ]
N
i 0
n
i,k
(t) 1
t [t k 1 , t n 1 ]
(3) 微分公式
N i,k (t)
4. B样条曲线类型的划分
准均匀B样条曲线 与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度 k，这样的节点 矢量定义了准均匀的B样条基。 均匀 B样条曲线没有保留 Bezier 曲线端点的几何性质，即样条曲 线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的 B样条曲 线解决了这个问题。例如:T=(0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,7,7)
4. B样条曲线类型的划分
非均匀Bezier曲线 任意分布的节点矢量 T=[t0,t1,…,tn+k]，只要在数学上成立（节点 序列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。这 样 的 节 点 矢 量 定 义 了 非 均 匀 B 样 条 基 。 例 如:T=(0,0,2,2,3,5,8,11,16)
1 ti t ti 1 N i ,1 (t ) 0 Otherwise
t ti ti k t N i ,k (t ) N i ,k 1 (t ) N i 1,k 1 (t ) ti k 1 ti ti k ti 1
and t0 , t1 ,, tk 1 , tk ,, tn , tn1 ,, tn k 1 , tn k
Bézier Curves
图8-5
Bezier曲线的例子
2. Bernstein基函数的性质
i i t (1 t)ni 0 t 1 中，n为基本 在Bernstein基函数 Bi,n (t) Cn 曲线的次数。由排列组合和导数运算规律可以推导出 Bernstein 基函 数的如下性质：
k2
该递推公式表明：欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t)，需要用 ti ,ti+1 ,…ti+k 共k+1个节点，称区间[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间。 曲线方程中， n+1个控制顶点 Pi (i=0,1,…n) 要用到 n+1个k阶B样条 基 Ni,k(t) 。 支 撑 区 间 的 并 集 定 义 了 这 一 组 B 样 条 基 的 节 点 矢 量 T=[t0 ,t1 ,…tn+k ]。
二、 B样条曲线的定义和性质
1. B样条曲线的引入
Bezier曲线是通过逼近特征多边形而获得曲线的，存在的不足是： 1）缺乏局部修改性, 即改变某一控制点对整个曲线都有影响. 2）n较大时，特征多边形的边数较多,对曲线的控制减弱。
3）幂次过高难于修改。（而在外形设计中，局部修改是随时要 进行的）
1972 年， Riesenfeld 等提出了 B 样条曲线。用 B 样条基函数代替 Bernstein基函数； 1）逼近特征多边形的精度更高. 2）多边形的边数与基函数的次数无关。 3）具有局部修改性.
图3.1.24 准均匀三次B样条曲线
4. B样条曲线类型的划分
分段Bezier曲线 节点矢量中两端节点具有重复度 k，所有内节点重复度为k-1，这 样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独 立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它 曲线段的形状没有影响。例如:T=(0,0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,4)
因为在外形设计中(比如汽车、船舶)，初始给出的 数据点往往并不精确；并有的地方在外观上考虑是 主要的，因为不是功能的要求，所以为了美观而宁 可放弃个别数据点。因此不须最终生成的曲线都通 过这些数据点。另一方面，考虑到在进行外形设计 时应易于实时局部修改，反映直观，以便于设计者 交互操作。第一类曲线在这方面就不能适应。
k 1 t i k 1 t i
Ni,k 1(t) -
k 1 Ni 1,k 1(t) t i k t i 1
4. B样条曲线类型的划分
假定控制多边形的顶点为Pi(i=0,1…,n),阶数为k(次数为k-1)，则节 点矢量是T=[t0,t1,…,tn+k]。B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况， 可划分为4种类型： 均匀B样条曲线 节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度 Δi=ti+1-ti=常数>0(i=0,1,…n+k-1)。这样的节点矢量定义了均匀的B样条 基。例如:T=(0,1,2,3,4,5,6,7)
2. Bernstein基函数的性质
(5) 递推性
Bi,n t 1 t Bi,n1 t Bi 1,n1 t i 0,1,2...n
即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数 线性组合而成。 (6) 导函数：
B'i,n t n Bi 1, n 1t Bi,n 1t


i 0,1,..., n
(7) 最大值 Bi,n ( t ) 在 t=i/n 处达到最大值。
3. Bé zier曲线的性质
(1) 端点性质 曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得： 当t=0时，P(0)=P0 ； 当t=1时，P(1)=Pn ; 由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、 终点重合。