近世代数 置换群 讲义学习课件
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近世代数课件--置换群
3
14
2 3
3 6
4 1
5 5
62 1
4 2
3
6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之
积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
21
21
2 3
32
2 3
3 1
21 (1 2 3)
31
有两个一维与一个二维不可约表示.
2020/3/4
数学与计算科学学院
13
S4 有不变子群
H {pe, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2, K 3, K 4, K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}
亦即 所以
5
li2 24
i1
12 12 22 l24 l52 24
故：
l24 l52 18
2020/3/4
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15
l4 l5 3
所以 S4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
2020/3/4
数学与计算科学学院
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4 1
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62 1
42
3
6 (2
3
6)
1
4 32
3 6
6 2
1 4
4 1
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结 果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)
大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
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二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
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定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
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例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
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来表示。
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近世代数课件--2.6 置换群
• 作业 • P55:2,5
6.2 置换的表示方法:2-行法
现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种 符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个 置换
:
ai a k i 1, 2, ...n !
i
这样一个置换所发生的作用完全可以 ( ( 由 (1, k 1 ) ，2, k 2 ) ， …， n , k n ) 这 n 对整数来决定． 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
123 123 ?? 132 213
123 123 ? 213 132
(从右向左)
●
如何求逆?
123 132
1
=??
●
所以 S 3 不是交换群．
无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第 一个有限非交换群的例子．S 3 可以说是一个最小的 有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非 交换群至少要有六个元．
但 1 只使得 r k r 个元变动，照归纳法的假定，可 以写成不相连的循环置换的乘积：
1 1 2 m
在这些
里 i1 , i2 , ..., ik 不会出现.不然的话,
l i p iq , p k
那么 i p 同 iq 不会再在其余的 中出现, 也必使 a i 但我们知道, 1使得 a i 不动,这是一个矛盾.这样, 是 不相连的循环置换的乘积: i1i 2 i k 1 2 m
1
k+1
i
j1
(1)
jk
(1)
只 能 取 自 j1
jk
这样， 2 1 将 j1
jk
变成
近世代数课件(全)--2-1 群的定义
3.群的乘法适合消去律：
ab ac b c
ba ca b c
ab ac a ab a ac
1
1
eb ec b c
2012-9-19
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中 1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
3.群的乘法适合消去律：
G
G
中有解.
证明： " " 半群
1
作成群 a , b G , ax b , ya b 有解
G
x a b G ; a , b G , ax b , ya b 都在 G 中有解. 取定 b G , yb b 有解，设为e： eb b a G , bx a 有解，设为c： bc a e a ebc ( eb ) c b c a 即有左单位元e 1 a G , ya e 有解，即存在左逆元 a 综上G是群.
对于数的普通乘法
做成交换群，称为正有理数乘群. 例3
G {全体整数}，对于运算
1 2
ab a
1
2
b
2 1 2 2
4
2 1 2 2
2
结合律不成立,不做成群.
2012-9-19
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算； （2）将群的代数运算叫做乘法，简记
ab ac b c
ba ca b c
4.单位元唯一；逆元唯一；
设
1
e, e '
都是单位元 ee ' e e '
由消去律 a
近世代数 置换群PPT
p q
p
把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是我们表示置换的第 二种表示方法。
s 例5：4 的全体元用循环置换的方法写出来是
（1）； （12），（34），（13），（24），（14），（23）； （123），（132），（134），（143），（124）， （142），（234），（243）； （1234），（1243），（1324），（1342），（1423）， （1432）； (12）（34），（13）（24），（14） (23)。
1
a , a , a j
2
k 1
n
k 1
这n个 , , a j 的
n
n
i
1
2
1
2
2
(1 )
ji
ji
jl
1
2
1
2
2
jl
ji
i
i
i
i
定义: 定义： n 的一个把 a i 变到 a ， 变 s ai i a 到a ，…， 变到 a i ，而使得其余 的元，假如还有的话，不变的置换， 叫做一个k-循环置换，这样的一个 置换我们用符号
123 123 123 132 213 = 231
=
换群 . 无限的非交换群我们已经 看过,这是我们的第一个有限非 交换群.
123 312
所以z2不是交
例子3: 可以说是一 个最小的有限非交换 群,因为以后我们会知 道,一个有限非交换群 至少要有六个元.
二:置换群的表示方法 1,
A {a 1 , a 2 , a n }
i ki
1:
我们来看它的一个置换 : a a , i 1, 2 , , n 这样我们看到一个置换所发生的作用 可以由这n对整数来决定,我们的第一 2 1 n 12 n 种表示方法为 或
p
把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是我们表示置换的第 二种表示方法。
s 例5：4 的全体元用循环置换的方法写出来是
（1）； （12），（34），（13），（24），（14），（23）； （123），（132），（134），（143），（124）， （142），（234），（243）； （1234），（1243），（1324），（1342），（1423）， （1432）； (12）（34），（13）（24），（14） (23)。
1
a , a , a j
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k 1
n
k 1
这n个 , , a j 的
n
n
i
1
2
1
2
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(1 )
ji
ji
jl
1
2
1
2
2
jl
ji
i
i
i
i
定义: 定义： n 的一个把 a i 变到 a ， 变 s ai i a 到a ，…， 变到 a i ，而使得其余 的元，假如还有的话，不变的置换， 叫做一个k-循环置换，这样的一个 置换我们用符号
123 123 123 132 213 = 231
=
换群 . 无限的非交换群我们已经 看过,这是我们的第一个有限非 交换群.
123 312
所以z2不是交
例子3: 可以说是一 个最小的有限非交换 群,因为以后我们会知 道,一个有限非交换群 至少要有六个元.
二:置换群的表示方法 1,
A {a 1 , a 2 , a n }
i ki
1:
我们来看它的一个置换 : a a , i 1, 2 , , n 这样我们看到一个置换所发生的作用 可以由这n对整数来决定,我们的第一 2 1 n 12 n 种表示方法为 或
近世代数课件 第5节 变换群
14/16
近世代数
补充
不是满变换的单变换不能构成群。
f是单变换当且仅当f左可逆. (左可逆变换可 能很多，逆元不唯一，所以不能做成群) f是单变换，则f有左可逆变换g. (gf=I，g是满 变换，所以仅由单变换不能做成群) 不是单变换的满变换不能构成群。
“混搭”行不？
变换群：由一一变换作成 非变换群：只能由既不是单变换也不是满变换的变
换作成 15/16
近世代数
总结
主要内容： 变换群的定义 群的同构定义 群的Cayley定理
基本要求: 掌握变换群的定义及构造 能够证明群的Cayley定理
16/16
定义2’ 一个非空集合S的若干个一一变换关于变换的 合成“∘”作成的一个群称为S的一个变换群定义3 设(G1,∘)和( G2,)是两个群。如果存在一个双射 f: G1 G2 ，且x, y G1 有
f(x∘y) = f(x) f(y),
则称群G1 与G2 同构，记为G1 G2 . 而称f 是G1到G2的一个同构(映射). 定理1(群的Cayley定理) 任意一个群都同构于某个变
则称f 是G的一个自同构(映射).
例如: 群G上的恒等映射IG是G的一个自同构. 设(G,∘)是一个交换群。 x G，f(x) =x-1，
则f 是G的一个自同构(映射).
定理2 设(G,∘)是一个群。G 的所有自同构之集A(G) 对映射的合成运算构成一个群，称为G的自同构群。
6/16
近世代数
群的自同构
的. 例 令M={1，2，3，4}，G={f，g}，其中
f(1)=1
g(1)=1
f(2)=1
g(2)=1
f(3)=3
g(3)=4
f(4)=4
置换群
3 4 1 6 2
2 1 3 6 4
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2 1 6 5 3
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23
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(F4) 如果 是一个 r 轮换, 则 ord r
js )是两
个不相交的轮换， a是X 中的任意一个数. (1) 如果 a ik , jl (k 1,2, 所以 (a) (a).
14
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r; l 1,2, , s), 则
(a) (a) a, (a) (a) a
4
前页
1 k1
2 k2
3 k3
n (1.6.1) kn
其中第一行表示集合X 的 n 个元素, 第二行的元索 ki 表示第一行的元素 i 在映射 以我们也可把 表示成
的作用下所对应的
象. 由于集合X 的元素的次序与映射是无关的, 所
2 k2
1 k1
5
1 2 3 4 5 按(1.6.2)式, 我们还可以把 则 3 5 2 4 1
这个置换写成
2 1 4 3 5 5 3 1 4 2 3 5 4 2 1 1 2 3 4 5
8
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由置换的定义容易知道,在n阶置换中, 恒等置换
1 2 i1 i2 k 1 k ik 1 ik k 1 ik 1 n 1 n in1 n
由(1)所证, 可表为不相交轮换的乘积. 设
1 2
r , 这里, 1 , 2 , , r为互不相交的轮换.
近世代数_置换群_讲义学习 PPT课件
到 i1 而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化 的置换，叫做k —循环置换（或称k —循环）,记为
( ) i1,i2 ,i3 ik
例 3 在 S5中.
12 2 3 31 44 55 1 2 3 叫作 3—循环置换.
12 2 3 3 4 4 5 51 1 2 3 4 5
发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形 式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如. “8 元置换 1 4 2 3 5”
②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例 如.
1 4 2 3 5 2 3 5 1 4 5 1 4 2 3
如果 与 不含相同的文字，那么称 与 是不相连的.
定理 2 每一个n 元置换都可以写成若干个不相连的循 环置换的乘积.（循环置换分解定理） 【证明】.设 是 Sn 中任一个n 元置换，下面对 中改变 文字的个数用数学归纳法。
如果 使1,2,3, ,n中每个文字都不发生改变， 则 是恒等置换.即 1，定理 2 成立.
0 11 22 33 , 1 11 32 2 3 , 2 12 21 33 3 12 2 3 31 , 4 1 3 21 3 2 , 5 13 2 2 31 所以 S3 3! 6 .其中 0 是恒等变换.即 0 是 S3 的单位元.
例1. 计算下列置换的乘积:
(1) , (2) 2 , (3) 2 . 解: 13 21 2 312 2 3 31 11 22 33
2 12 2 3 31 12 2 3 31 13 21 2 3
jk jk(1)
jk1
j (2) k 1
jn jn(2)
证明 因为 1 是 a j1 , a j2 , , a jn 这个元的一一变换，而在 1 之下，
( ) i1,i2 ,i3 ik
例 3 在 S5中.
12 2 3 31 44 55 1 2 3 叫作 3—循环置换.
12 2 3 3 4 4 5 51 1 2 3 4 5
发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形 式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如. “8 元置换 1 4 2 3 5”
②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例 如.
1 4 2 3 5 2 3 5 1 4 5 1 4 2 3
如果 与 不含相同的文字，那么称 与 是不相连的.
定理 2 每一个n 元置换都可以写成若干个不相连的循 环置换的乘积.（循环置换分解定理） 【证明】.设 是 Sn 中任一个n 元置换，下面对 中改变 文字的个数用数学归纳法。
如果 使1,2,3, ,n中每个文字都不发生改变， 则 是恒等置换.即 1，定理 2 成立.
0 11 22 33 , 1 11 32 2 3 , 2 12 21 33 3 12 2 3 31 , 4 1 3 21 3 2 , 5 13 2 2 31 所以 S3 3! 6 .其中 0 是恒等变换.即 0 是 S3 的单位元.
例1. 计算下列置换的乘积:
(1) , (2) 2 , (3) 2 . 解: 13 21 2 312 2 3 31 11 22 33
2 12 2 3 31 12 2 3 31 13 21 2 3
jk jk(1)
jk1
j (2) k 1
jn jn(2)
证明 因为 1 是 a j1 , a j2 , , a jn 这个元的一一变换，而在 1 之下，
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为三元置换 .
8
二.置换的乘积 .
设 A ? ?1 , 2 , 3?的任二个置换为
? ? ????12
2 3
31???? ,? ? ????13
2 1
23????,那么由于 ? 和? 都是
一一变换,于是 ? ? 也是 A 的一一变换 .且有
? ? :1 ? 1, 2 ? 2 ,3 ? 3 .
记为:
5
一． 置换群的基本概念
定义 1 任一集合 A 到自身的映射都叫做 A 的一个
变换，如果 A 是有限集且变换是一一变换（双射）， 那么这个变换为 A的一个置换。有限集合 A 的若干 个置换若作成群，就叫做置换群。含有 n 个元素的 有限群 A 的全体置换作成的群，叫做 n 次对称群。 通常记为 Sn .
注意:置换乘积中 ,是从左到右求变换值 ,这是与过去
的习惯方法不同的（也要看各书要求）。
例 2 设 A ? ?1 , 2 , 3?,那么 A 的全部一一变换构成的三次
对称群为 S3 ? ?? 0 ,? 1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ,? 5 ?.其中
? 0 ? ????11
2 2
33????, ? 1 ? ????11
31????.用 ? = ????12
2 3
31????来描述 A 的
一个置换的方便之处是显而易见的 .当然,上述的置换可记为
?2 ???3
1 2
3? 1???
，
?3 ???1
1 2
23????…,
但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统
一在一种表示置换的方法内进行研究工作了 .习惯上称它
， ， . a1? ? a2 a2? ? a3 a3? ? a1
7
由于映射中只关心元素之间的对称关系 .而不在乎元素的
具体内容.故可设 A ? ?1 , 2 , 3?.故此. ? :1 ? 2 , 2 ? 3 , 3 ? 1.稍做
1 23
修改: ? ： ? ? ?
231
?
? = ????12
2 3
1
第9讲
第二章 群 论
§6 置 换 群 (2课时)
(pormutation group)
2
本讲的教学目的和要求 :
置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群 就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故 每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一 讲主要要求： 1o 弄清置换与双射的等同关系。 2o 掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 3o掌握置换的分解和将轮换表成对换之积的基本方法。 4o理解对称群与交错群的结构以及有限群的 cayley 定 理。
定理 1 n 次对称群 Sn 的阶是 n!.
证明任意?
?
?1 ??i1
2 i2
n?
in
? ?
?
Sn ,i1有n种取法,当i1
取定后,i2 只有n-1 种取法,如此继续下去, in 只有1
种取法.因此共有n(n-1)…2?1=n!个不同的置换,所
以 Sn =n!.
12
由于置换群也是变换群,故必蕴含
一种记法.设有
8
元置换?
?
?1 ???4
2 3
3 5
4 2
5 1
6 6
7 7
8? 8???
,?
的变换过程为1? 4 ? 2 ? 3 ? 5 ? 1,即其他元素都不改
变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换
可写成循环置换的形式:? ? ?1 4 2 3 5?
14
注意:①循环置换是置换的另一种表达形式 ,它以
1?? ? 1, 2?? ? 2 , 3?? ? 3 .
换句话说:?? ? ????12
2 3
31????????13
2 1
23???? ? ????11
2 2
33????
9
例1. 计算下列置换的乘积 :
(1) ? ? , (2) ? 2 , (3) ?? 2 .
解:
?? ? ????13
2 1
23????????12
2 3
31???? ? ????11
2 2
3 3
????
? 2 ? ????12
2 3
31????????12
23????
??
2
?
???
??
?
?1 ???1
2 2
3??1 3??????3
2 1
3? ?1 2??? ? ???3
2 1
3? 2 ???
?
?
10
6
说明：由定义1 知道，置换群就是一种特殊
的变换群（即有限集合上的变换群）而n 次对 称群Sn 也就是有限集合A 的完全变换群。
现以A ? ?a1 ,a2 , a3?为例，设? ：A ? A是 A的一 一变换。即 ? : , , a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a1,利用本 教材中特定的表示方法有：
着变换群的一切特征.譬如,不可
交换性和结合律: ，
????11
2 3
23????????12
2 1
33???? ? ????12
2 3
31????
? ????13
2 1
23???? ? ????12
2 1
33????????11
2 3
3 2
????
13
三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换) 前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍
2 3
23???? , ? 2 ? ????12
2 1
33????
?1
? 3 ? ???2
2 3
3? 1???
,
?1
? 4 ? ??? 3
2 1
3? 2???
,
?1
? 5 ? ???3
2 2
3? 1???
所以 S3 ? 3!? 6 .其中 ? 0 是恒等变换 .即 ? 0 是 S3 的单位元 .
11
3
本讲的重点与难点： 对于置换以及置换群
需要特别注意的是： 对称群和交错群的结构和置
换的分解定理。
注意：由有限群的 cayley 定理可知：如把所有置
换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚
了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群
容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。
并且也不能一下子把所有群都找出来。因为问题太复
杂了。
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人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有 限群；无限群；交换群；非交换群等等。对每个群类进行研究， 并设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群），大多数还在 等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性 的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源 ， 是抽象代数创始人 E.Galais(1811-1832) 在证明次数大 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。