2.2-根据系统机理建立状态空间表达式
控制系统的状态空间表达式
160
0
x2
x3
状态空间表达式求传递函数矩阵
单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax bu
y Cx du
在初始松弛时（即：初始条件为零） ，求Laplace变换，并且化简
状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数
Gxu (s)
sI
A 1b
adjsI detsI
A A
b
输出量对输入量(输入到输出)的传递函数（即：传递函数）
状态图如图：
状态空间表达式的建立
由系统高阶微分方程或传递函数演化推理
微分方程中不含有输入信号导数项
考察三阶系统，其微分方程为： y a2 y a1 y a0 y b0u
选取状态变量
则有 x1 x2
写成矩阵形式
x1 y
x2 x3
x1 0
x2
0
x3 a0
x2 y
x3 y
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0 u 0
1
x1
y b0
b1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
B
bn1 anr nr
d11 d1r
D
dm1 dmr mr
基本概念
如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系 统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。
如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变系统。
现代控制理论控制系统的状态空间模型
方程 x：小车的水平位移
x l sin : 摆心瞬时位置
m
x l
在水平方向，利用牛顿第二定律，得到
2024/6/22
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
2024/6/22
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2024/6/22
7
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
x1 x2
ub
x
x
a
18
1.1 状态空间模型
1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常多变量系统
状态变量图：
输入向量
r×1 维
u
+ B
Bu
输入矩阵 +
n ×r维
传递矩阵 m×r维
x Ax Bu
y
Cx
Du
D
状态向量
+
x
∫
nx×1
维
状态空间描述
系数 c i 为待定系数，其中i1,2,..n. ，采用留数定理计算：
当 i q 1 ,q 2 ,. n 时 ..c i , s l ， i iG m ( s )s (i)
当 j 1 ,2 ,.q 时 ..,C 1 ， j ( 1 q )s L 1 (i j 1 1 m )d d ! jj 1 1 s W ( s ) ( s 1 ) q
第二节 线性定常系统状态空 间表达式的建立
D
X(t)
u(t)
B
X ∫
C
Y(t)
A
系统的状态变量个数，仅等于系统包含的独立储能元件的个数， 因此，一个n 阶系统仅有n 个状态变量可以选择。
获得状态空间表达式有三个途径： ①根据物理化学机理用解析的方法进行建立；
② 根据传递函数或高阶微分方程演化求得； ③ 由传递函数的实极点建立；
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) . .a 1 y . a 0 y b 0 u
系统的传递函数为： 形式1：
W (s)snan 1sn 1b 0a 1sa0
若已知y (0 )y ,(0 ),y( .n 1 .)(.0 )及t＞0时的输入,则系统的行为就可 唯一被确定。因此可选取x1=y,x2=y(1)…xn=y(n-1)作为状态变量, 则微分方程可表示为
0
xn
0 0
1 1
q1 q2 0
x1 0
x2
0
xq x q 1
1
1
u
0 xq2 1
n x n 1
对角线阵
x1
y [ c 1q
c 1 ( q 1 ) c 12
c 11
c q1
c
n
]
2.2 根据系统机理建立状态空间表达式
1 0 0 0
0 mg M 0
( M m) g Ml
0 x1 1 1 0 x2 M u ; 1 x3 0 1 0 x4 Ml
x1 x y 1 0 0 0 2 x3 x4
根据系统机理建立状态空间模型(2/5)
在实际工程系统中,许多过程和元件都具有储存和传递能量 (或信息)的能力。例如, 机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能 量并能通过某种形式传递; 化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递; 化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息. 对这些系统,根据其物理和化学变化的机理,由相应描述这些变化 的物理和化学的定理、定律和规律等,可得系统各物理量之间 所满足的动静态关系式.因此,在选择适宜的状态变量后,可建 立系统的状态空间表达式.
将上述方程的中间变量Q1和Qo消去,则有 h1 -h 2 dh1 A1 dt Qi R1 dh h1 -h 2 h 2 2 A2 dt R1 R2
流体动力学系统(4/5)
2. 选择状态变量. 由于只有两个独立的微分方程,故可选择两个状态变量.
原方程展开得：
ml cos ml 2 sin u ( M m) y cos ml (cos ) 2 ml 2 sin cos mg sin my
线性化：当 和 较小时 ，有 sin 化简后，得
u
m
y
f
k
图2-7 弹簧-质量体-阻尼器系统
刚体动力学系统(2/4)
解 对许多实际系统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝 对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之 后的相对值。 对本例的刚体力学系统,一般先假设在外力u(t)作用于小 车之前,小车已处于平衡态。
现代控制理论课后题及答案
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。
也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。
这里采样机理分析法。
设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
1图P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。
令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dyx dt =。
线性系统理论 第2章 线性系统的状态空间描述
u(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
y(k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x, u, t ) y g ( x, u, t )
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g q ( x, u , t ) f n ( x, u , t )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征： 少一个不行，多一个没用 (3). 状态变量组最小性的数学特征：极大线性无关变量组 (4). 状态变量组的不唯一性 ：任意
1/18,14/50
结论1
给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bmu ( m) bm1u ( m1) b1u (1) b0u
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s1 b0 g ( s) U ( s) s n an1 s n1 a1 s a0
时变系统和时不变系统
f f ( x, u ) 若向量f,g不显含时间变量t,即 g g ( x, u )
2.2状态空间表达式的建立
bn1s n1 b1s b0 Y ( s) g ( s) n U ( s) s an1s n1 a1s a0 Y ( s) U ( s) s n an1s n1 a1s a0
n
输出为：
bn1s
n 1
b1s b0
(2) 并联分解法
①极点两两相异时
N s g s N s Ds s p1 s p2 s pn c1 c2 cn s pn s p1 s p2
状态方程为：
dx1 R1 x2 uC 1 R1 R2 ( ) x1 dt L R1 R2 R1 R2 L L
dx2 R1 1 x1 x2 dt C R1 R2 C R1 R2
输出方程为：
y uC x2
写成矩阵形式
1 R1 R2 x1 L R1 R2 R x2 C(R R ) 1 2
3完全描述一个动态系统所需状态变量的个数有系统的4一般来说状态变量不一定是具有实际物理意义或可的阶次决定状态变量必须是相互独立的
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
解：选择状态变量：x1 根据基尔霍夫定律：
iL , x2 uC ,
0 bn 1 bn 1 an 10 2 bn 2 an 11 an 20 n b0 an 1 n 1 an 2 n 2 a11 a00
Step1计算
step 2 定义状态变量:
现代控制理论知识点汇总
１．状态空间表达式n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯:r n B ⨯:n m C ⨯:rm D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３．模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４．状态空间表达式的建立1由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
2由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
实现是非唯一的。
方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
状态空间分析法
4
§1-1 状态变量及状态空间表达式
一、状态
状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和 将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的 数据来说明。
二、状态变量
状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部） 变量。
y(t) Cx(t) Du(t)
11
§1-1 状态变量及状态空间表达式
例：
R
方法二： 令x1(t)= uc(t)
u(t)
x1
(
t
)
x 2
(
t
)
x1(t)
yx2((tt ))
Lxx1C21((xt1t)(0L)tL1)iC(RLt)1xC12RL(ut )0c(t)Lxx1Cxx12 ((12uLLitt((((Ct))ttti))())utc)(tC)0L1RuRciC((uttux)()ct2(()t t)u)=cu(cut()tc)(t)uu((tt))
四、状态空间 以状态变量x1(t), x2(t) , x3(t) , … , xn(t)为坐标轴
所构成的 n 维空间，称为状态空间。 在特定时刻t，状态向量x (t) = [x1(t) , … , xn(t)]T
在状态空间中是一点 。随着时间的推移，状态向量 x (t) 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
x1
(
t
)
x2
(
t
)
0
1
L
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型
建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?
微分方程中包含输入量的导数项(2/11)
若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t) 则可得如下状态方程
... xn 1 xn x1 x2 xn a1 xn ... an x1 b0u ( n ) ... bn u
0 ... B 0 b
微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)
上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方 程(2-6)中的系数a1, a2,…, an之间,输入矩阵B与方程(2-6)中 系数b之间的对应关系。 通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相 变量。 上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最 后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1 个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。 该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态 空间分析方法中是一类重要的矩阵,这在后面的章节中 可以看到。
其中i(i=0,1,…,n)为待定系数。
微分方程中包含输入量的导数项(5/11)
因此,有
x1 y 0u x2 1u x2 1u 0 u x3 2 u y xn 1 y ( n 1) n 2 u n 3u 0 u ( n 1) xn n 1u xn y ( n ) n 1u n 2 u 0 u ( n ) a1 y ( n 1) an y b0u ( n ) b1u ( n 1) bn u n 1u n 2 u 0 u ( n )
化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式
为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实 现最有意义，从传递函数组成上可分存在与不存在零、极 点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况， 所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的 维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为 最小实现。
本节先研究SISO系统。
n阶SISO控制系统的时域模型为：
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a 1 y a 0 y b m u ( m ) b m 1 u ( m 1 ) b 1 u b 0 u
系统的传递函数为：
W (s)bm ssnm ab n m 1 s1n sm 1 1 a1b s1 s a0 b0
状态变量的选取原则
▪系统储能元件的输出 ▪系统输出及其各阶导数 ▪使系统状态方程成为某种标准形式的变量
（对角线标准型和约当标准型）
[例1-6 ] 电路如图所示。建立该电路以电压u1,u2为输入量， uA为输出量的状态空间表达式。 L1 uA L2
+ _u1
i1 R1
+_u2 i2 R2
[解]：
图
增加一项 b n u
一、传递函数中没有零点时的实现
微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：
y (n ) a n 1 y (n 1 ) a 1 y a 0 y b 0 u
系统的传递函数为： W (s)snan1sn1b 0a1sa0
1、标准I型
1.）选择状态变量 若给定初始条件 y (0 )y ,(0 ) ,,y (n 1 )(0 )及 t0 的输 u (t) 入 则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：
【精选】状态空间表达式建立
an1x2 an x1) 0
12
b1 a10 b2 a11
a20
n bn a1n1 an11 an0
第二章 控制系统的状态空间描述
得到状态空间描述：
0
x1
x2
0
xn
0
an
1 0
0 an1
0 1
0 an2
y 1 0
0 x1 x2
0 0
x1
x2
U s
an1s an
Xi s sXi1(s), i 2,..., n
第二章 控制系统的状态空间描述
能控标准形状态空间方程：
x1 0
x2
0
xn
an
1
0 an1
y bn bn1
0 x1 0
x2
u
1 0
a1
xn
1
x1
b1
x2
.
pn a1 pn1 an1 p an
引入中间变量z
1
z pn a1 pn1
u an1 p an
y (b0 pm b1 pm1 bm1 p bm )z
第二章 控制系统的状态空间描述
整理得：
zn a1zn1 a2zn2 an1z anz u y b0zm b1z(m1) ...... bm1z bmz
0
0
x1 0
x2
0
1 a1
xn
0
b0
0 b1
0 u(m)
u
(
m1)
0
bm
u
这是求解系统所不希望的情形。 目标：状态方程中不包含u(t)的高阶形式。
第二章 控制系统的状态空间描述
a) 待定系数法
第1章控制系统的状态空间表达式
u
X
y
●状态方程的一般形式为：
x Ax Bu
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
五. 输出方程
在指定系统输出y 的情况下，输出y 与状态变量x 及系统输入u 的
函数关系式，称为系统的输出方程 。
●系统的状态和输入决定了系统输出的变化 。
2.根据给定的数学模型，画出相应的加法器和比例器。
3.用箭头将这些元件连接起来。
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例1 一阶标量微分方程x： ax bu
u
b+
x x
+
a
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例2 三阶微分方程 ： x a2 x a1x a0 x bu
值以及t≥t0时间的输入，就完全能够确定系统在任何t≥t0时间的动态行 为；
●状态变量的最小性，体现在减少变量个数就不能够完全表征系统的动态
行为，而增加变量数则是完全表征系统动态行为所不需要的。
●状态变量在数学上是线性无关的。
●状态变量的选取不是唯一的。
●对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统独立储能元件的个数。
Kn
J2 x2
x1
Kb
x2
x1
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
由以上方框图可知：x1 x2
x2
J2 Kb
x4
x3 K n x4
状态方程：
x4
1 J1
x3
Kp J1
《现代控制理论》刘豹著(第版)课后习题答案
《现代控制理论》刘豹著（第3版）课后习题答案《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案第一章习题答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-3参考例子1-3（P19）.1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式‘（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态空间表达式的建立
+ (b0 − an−1hn−1 − an−2hn−2 −− a1h1 − a0h0 )u
选择 h0 , h1, hn−1 ，使得上式中u的各阶导
的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导
数项，可以选择如下的一组状态变量。
设
bn
0
，选取： x1 = y − h0u
xi = xi−1 − hi−1u， i = 2,3,, n
其中h0, h1, , hn−1是n个待定系数
x• • •
xi = xi−1 − hi−1u • • •
x1
+
1 L
u ( t)
x2 0
y=0
x1
1
x2
令 x=x 1x2T 为状态向量
则： x • =−
R−
L
1 L
x+
1
L u ( t)
1 c
0
0
y=0 1 x
补充：
• 由（A,B,C,D) 画状态变量图 • 由电路→基本方程→状态变量图→(A,B,C,D) • 状态变量选取不唯一 • D0的解释 • 充放电过程的解释 • 状态方程的稳态求解
（1）求其状态空间表达式 （2）画出其状态变量图
解：选 x1 = y
.
x2 = y
..
x3 = y
则： x1 = x2 x2 = x3
x3 = −6x1 − 8x2 − 5x3 + 3u
y = x1
状态空间表达式为
第二章控制系统的状态空间表达式
第二章控制系统的状态空间表达式一、主要内容1.状态空间描述的几个重要概念2.状态空间表达式的一般形式1)非线性系统的状态空间描述2)线性时变系统的状态空间描述3)线性定常系统的状态空间描述4)离散系统的状态空间描述3.系统状态空间表达式的特点4.状态空间表达式的建立1)由物理系统的机理直接建立状态空间表达式2)由系统高阶微分方程化为状态空间描述3)由系统传递函数化为状态空间描述4)由系统状态变量图列写状态空间描述5)由系统方块图列写状态空间描述5.状态向量的线性变换1)系统状态空间表达式的非唯一性2)系统特征值的不变性3)将状态方程化为型规范型（对角线型和约当型）二、教学基本要求1、正确理解状态变量和状态空间描述的概念、涵义和特点。
2、熟练掌握建立状态空间表达式的不同方法，能够依据不同的已知条件建立系统相应的状态空间表达式。
3、熟练掌握线性变换方面的知识。
理解坐标变换的概念，了解系统特征方程和特征值不变性及传递函数不变性的特点，熟练掌握将系统状态空间描述化为规范型的方法。
三、重点内容概要1. 状态空间描述的几个重要概念状态变量 是指能完整地、确定地描述系统的时域行为的最小一组变量。
给定了这个变量组在初始时刻0t t =的值和时刻0t t ≥系统的输入函数，那么系统在时刻0t t ≥的行为就可以完全确定。
这样一组变量就称为状态变量。
状态矢量 以状态变量为元组成的向量，称为状态矢量。
状态空间 以状态变量)(,),(),(21t x t x t x n 为坐标轴构成的n 维空间称为状态空间，记作n R 。
状态方程 状态变量和输入变量之间的关系用一组一阶微分方程来描述。
输出方程 系统的输出变量与状态变量、输入变量之间的数学表达式。
状态空间表达式 状态方程和输出方程综合起来，在状态空间中建立的对一个系统动态行为的完整描述（数学模型），称为系统的状态空间表达式。
2. 状态空间表达式的一般形式 (1) 非线性系统的状态空描述⎩⎨⎧==),,()),(),(()(t u g y t t u t f t X X X（2.1） 其中，n R X ∈为状态向量；p R u ∈为输入向量；q R y ∈为输出向量。
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根据系统机理建立状态空间模型(3/5)
建立动态系统数学模型的主要机理/依据有: 电网络系统中回路和节点的电压和电流平衡关系,电感和 电容等储能元件的电压和电流之间的动态关系. 机械动力学系统中的牛顿第二定律,弹性体和阻尼体的力 与位移、速度间的关系. 对旋转运动,则相应的为转矩、角位移和角速度. 化工热力学系统中的热量的传递与储存,化工反应工程系 统中参加反应的物料的传递和平衡关系.
Ch.2 控制系统的状态空 间表达式（模型）
目录(1/1)
目 录
概述
2.1 状态和状态空间表达式 2.2 根据系统机理建立状态空间表达式
2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间表达式
2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵
2.6 线性离散系统的状态空间描述
流体动力学系统(3/5)
1. 机理分析. 根据水槽中所盛的水量的平衡关系和流量与压力 (水面高度,液位差)的关系,有
dh1 R1Q1 h1 -h 2 A1 dt Qi - Q1 dh 2 A2 Q1 - Qo R2 QO h 2 dt 其中代表平衡工作点附近的变化量.
根据系统机理建立状态空间模型(5/5)
下面通过常见的 刚体力学系统、
流体力学系统、
典型化工(热工)过程 机电能量转换系统 讨论如何建立状态空间表达式.
刚体动力学系统(1/4)
1. 刚体动力学系统的状态空间描述
图2-7表示由弹簧、质量体、阻尼器组成的刚体动力学系统 的物理模型. 试建立以外力u(t)为系统输入,质量体位移y(t)为输出的 状态空间表达式.
x2
v kx1 F
在水平方向，应用牛顿第二定律：
d2 y d2 M 2 m 2 ( y l sin ) u dt dt
对摆杆（不考虑其质量）与小球，运用达郎贝尔原理，以 摆杆与小车铰接点为矩心，建立力矩平衡方程：
d2 l cos m 2 ( y l sin ) mg l sin dt
1 0 0 0
0 mg M 0
( M m) g Ml
0 x1 1 x 1 0 2 M u ; 1 x3 0 1 0 x4 Ml
x1 x y 1 0 0 0 2 x3 x4
其中V,ρ,CP分别为容器体积、比重和比热;k为反应速率常数; H为反应热。
典型化工(热工)过程 (4/5)
2. 选择状态变量. 显然,选择容器内的液体的温度θ(t)和浓度CA(t)为状态变 量是合理的。因此,令 x1(t)=θ(t) x2(t)=CA(t) 3. 将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程
状态变量图为
流体动力学系统(1/5)
2. 流体力学系统的状态空间描述
图2-8为串联的两个水槽,其截面积分别为A1和A2,当阀门的开 度不变,在平衡工作点附近阀门阻力系数分别可视为常量R1和 R2.
Qi h1 R1 Q1 图2-8 两个水槽串联系统 R2 h2 Q0
图中Qi,Q1和Qo为流量; h1和h2为水槽的水面高度. 试求输入为Qi,输出为h2时的状态空间表达式.
解 1. 机理分析. 在化学反应中,一般应保持热量和物料的平 衡关系。
因此,对整个反应器作热量和物料平衡,就有
2 (H )kC A (t ) d (t ) Q(t ) q(t ) [ f (t )] dt V VC P CP
dC A (t ) Q(t ) 2 [C Af C A (t )] kC A (t ) dt V
流体动力学系统(2/5)
下面在讨论本例的解之前,先简单总结一下如下流量与压力(压 强)的关系. 压力 电路 电压 流量 电流 压力/流量 电阻
流体
气体
压力(液位差)
液体流量
阀门阻力系数
风阻力系数
气压差(压强) 气流量(风量)
解 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡. 下面仅考虑流量Qi的变化量Qi引起的水槽水位的变化.
u Qi
典型化工(热工)过程 (1/5)
3. 典型化工(热工)过程的状态空间描述
图2-9为一化学反应器,它是一均匀、连续流动单元,其中发生 如下二级吸热反应
2A→B
该化工反应生产过程为:
温度为f(常量),含A物质浓度为CAf(常 量)的料液以Q(t)的流量进入反应 器; 为保证单元内的液体体积不变,假定 流出的流量亦为Q(t);
对本例,有
x1 (t ) y(t ) (t ) x2 (t ) y
刚体动力学系统(4/4)
3. 将状态变量代入运动方程
1 x2 x k f 1 x x x u 2 1 2 m m m
4. 建立输出方程 y=x 1
5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间表达式
流体动力学系统(5/5)
4. 建立输出方程 y= x2 5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间表达式
1 1 1 A R A1 R1 1 1 x A1 u x 1 R1 R2 0 A R A R R 2 1 2 1 2 y [ 0 1 ]x
1 0 0 x x u -k/m - f/m 1/m y [ 1 0 ]x
例 设机械位移系统如图2-1所示。 力F及阻尼器汽缸速度v为两种 外作用，给定输出量为质量块 的位移x及其速度 x 、加速 x 。图中m、k、f分别为质 x 度 x 量、弹簧刚度、阻尼系数。试 求该双输入-三输出系统的动态 方程。
将上述方程的中间变量Q1和Qo消去,则有 h1 -h 2 dh1 A1 Qi dt R1 dh h1 -h 2 h 2 2 A2 dt R1 R2
流体动力学系统(4/5)
2. 选择状态变量. 由于只有两个独立的微分方程,故可选择两个状态变量.
1 x2 x 2 x x y1 x1 y 2 x2 1 f x2 v kx1 F m 其矩阵形式的状态空间 x Ax Bu，y Cx Du 表达式 0 0 0 0 x F 1 k 1 f x u A B f v 式中 x 2 m m m m 1 0 0 0 y1 y y2 C 0 1 D0 0 k 1 f f y3 m m m m y3 1 f m
f
Q CAf
Q
CAf
图2-9 某化工(热工)过程
典型化工(热工)过程 (2/5)
为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进 行加热,蒸汽加热量为q(t)。
试以料液的流量Q(t)和蒸汽加热量q(t)为输入,容器内的液体的 温度(t)和浓度CA(t)为输出,建立状态空间模型。
典型化工(热工)过程 (3/5)
对本例的流体动力学系统,可选水面高度的变化量h1和 h2为状态变量,即 x1(t)=h1(t), x2(t)=h2(t)
3. 将状态变量代入上述水面高度变化量的动态方程,则有如下状 态方程
1 1 1 x1 - A R x1 A R x2 A u 1 1 1 1 1 R1 R2 1 x 2 x1 x2 A2 R1 A2 R1 R2
u k
y
m
f
图2-7 弹簧-质量体-阻尼器系统
刚体动力学系统(2/4)
解 对许多实际系统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝 对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之 后的相对值。 对本例的刚体力学系统,一般先假设在外力u(t)作用于小 车之前,小车已处于平衡态。
下面仅考虑外力加入后,对小车运动的影响.
原方程展开得：
cos ml 2 sin u ( M m) y ml (cos ) 2 ml 2 sin cos mg sin my cos ml
线性化：当 和 较小时 ，有 sin 化简后，得
解 据牛顿力学，故有 图2－1 双输入-三输出机 械位移系统 f x v kx F mx
x x 显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微 作为状态 分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选 x 和 x ，y3 ，可由 变量。设 x1 x，x2 x ，三个输出量为 y1 x，y2 x x 微分方程导出下列动态方程：
cos 1
2 0
u (M m) y ml mg ml my
u 为系统输入， y 为系统输出。
如果选择 系统输出 为：和 y
1 0 x x 2 0 x 3 0 4 0 x
而由：
d (sin ) (cos ) dt
d2 2 cos (sin ) ( sin ) 2 dt
d (cos ) ( sin ) dt
d2 2 ( sin ) (cos ) ( cos ) d t2
经济系统中的投入产出方程。
根据系统机理建立状态空间模型(4/5)
建立状态空间表达式的关键在于状态变量的选取，它是建立 状态空间表达式的前提 状态变量的主要选取办法 系统储能元件的输出 系统输出及其输出变量的各阶导数
上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某 种标准形式的变量）
根据系统机理建立状态空间模型(2/5)
在实际工程系统中,许多过程和元件都具有储存和传递能量 (或信息)的能力。例如, 机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能 量并能通过某种形式传递; 化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递; 化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息. 对这些系统,根据其物理和化学变化的机理,由相应描述这些变化 的物理和化学的定理、定律和规律等,可得系统各物理量之间 所满足的动静态关系式.因此,在选择适宜的状态变量后,可建 立系统的状态空间表达式.