2.2-根据系统机理建立状态空间表达式

解 1. 机理分析. 在化学反应中,一般应保持热量和物料的平 衡关系。
因此,对整个反应器作热量和物料平衡,就有
2 (H )kC A (t ) d (t ) Q(t ) q(t ) [ f (t )] dt V VC P CP
dC A (t ) Q(t ) 2 [C Af C A (t )] kC A (t ) dt V
对本例,有
x1 (t ) y(t ) (t ) x2 (t ) y
刚体动力学系统(4/4)
3. 将状态变量代入运动方程
1 x2 x k f 1 x x x u 2 1 2 m m m
4. 建立输出方程 y=x 1
5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间表达式
x2
v kx1 F
在水平方向，应用牛顿第二定律：
d2 y d2 M 2 m 2 ( y l sin ) u dt dt
对摆杆（不考虑其质量）与小球，运用达郎贝尔原理，以 摆杆与小车铰接点为矩心，建立力矩平衡方程：
d2 l cos m 2 ( y l sin ) mg l sin dt
流体动力学系统(3/5)
1. 机理分析. 根据水槽中所盛的水量的平衡关系和流量与压力 (水面高度,液位差)的关系,有
dh1 R1Q1 h1 -h 2 A1 dt Qi - Q1 dh 2 A2 Q1 - Qo R2 QO h 2 dt 其中代表平衡工作点附近的变化量.
u Qi
典型化工(热工)过程 (1/5)
3. 典型化工(热工)过程的状态空间描述
图2-9为一化学反应器,它是一均匀、连续流动单元,其中发生 如下二级吸热反应
2A→B
该化工反应生产过程为:
温度为f(常量),含A物质浓度为CAf(常 量)的料液以Q(t)的流量进入反应 器; 为保证单元内的液体体积不变,假定 流出的流量亦为Q(t);
根据系统机理建立状态空间模型(5/5)
下面通过常见的 刚体力学系统、
流体力学系统、
典型化工(热工)过程 机电能量转换系统 讨论如何建立状态空间表达式.
刚体动力学系统(1/4)
1. 刚体动力学系统的状态空间描述
图2-7表示由弹簧、质量体、阻尼器组成的刚体动力学系统 的物理模型. 试建立以外力u(t)为系统输入,质量体位移y(t)为输出的 状态空间表达式.
状态变量图为
流体动力学系统(1/5)
2. 流体力学系统的状态空间描述
图2-8为串联的两个水槽,其截面积分别为A1和A2,当阀门的开 度不变,在平衡工作点附近阀门阻力系数分别可视为常量R1和 R2.
Qi h1 R1 Q1 图2-8 两个水槽串联系统 R2 h2 Q0
图中Qi,Q1和Qo为流量; h1和h2为水槽的水面高度. 试求输入为Qi,输出为h2时的状态空间表达式.
1 x2 x 2 x x y1 x1 y 2 x2 1 f x2 v kx1 F m 其矩阵形式的状态空间 x Ax Bu，y Cx Du 表达式 0 0 0 0 x F 1 k 1 f x u A B f v 式中 x 2 m m m m 1 0 0 0 y1 y y2 C 0 1 D0 0 k 1 f f y3 m m m m y3 1 f m
经济系统中的投入产出方程。
根据系统机理建立状态空间模型(4/5)
建立状态空间表达式的关键在于状态变量的选取，它是建立 状态空间表达式的前提 状态变量的主要选取办法 系统储能元件的输出 系统输出及其输出变量的各阶导数
上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某 种标准形式的变量）
原方程展开得：
cos ml 2 sin u ( M m) y ml (cos ) 2 ml 2 sin cos mg sin my cos ml
线性化：当 和 较小时 ，有 sin 化简后，得
其中V,ρ,CP分别为容器体积、比重和比热;k为反应速率常数; H为反应热。
典型化工(热工)过程 (4/5)
2. 选择状态变量. 显然,选择容器内的液体的温度θ(t)和浓度CA(t)为状态变 量是合理的。因此,令 x1(t)=θ(t) x2(t)=CA(t) 3. 将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程
根据系统机理建立状态空间模型(3/5)
建立动态系统数学模型的主要机理/依据有: 电网络系统中回路和节点的电压和电流平衡关系,电感和 电容等储能元件的电压和电流之间的动态关系. 机械动力学系统中的牛顿第二定律,弹性体和阻尼体的力 与位移、速度间的关系. 对旋转运动,则相应的为转矩、角位移和角速度. 化工热力学系统中的热量的传递与储存,化工反应工程系 统中参加反应的物料的传递和平衡关系.
流体动力学系统(2/5)
下面在讨论本例的解之前,先简单总结一下如下流量与压力(压 强)的关系. 压力 电路 电压 流量 电流 压力/流量 电阻
流体
气体
压力(液位差)
液体流量
阀门阻力系数
风阻力系数
气压差(压强) 气流量(风量)
解 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡. 下面仅考虑流量Qi的变化量Qi引起的水槽水位的变化.
系统的受力情况如下图所示.
fy' ky u
刚体动力学系统(3/4)
1. 应根据系统的内部机理列出各物理量(如本例的力、位置和速 度)所满足的关系式.
由牛顿第二定律有
d2 y dy m 2 u f ky dt dt
2. 选择状态变量.
对机械动力学系统,常常将位移、速度等选作状态变量.
u k
y
m
f
图2-7 弹簧-质量体-阻尼器系统
刚体动力学系统(2/4)
解 对许多实际系统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝 对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之 后的相对值。 对本例的刚体力学系统,一般先假设在外力u(t)作用于小 车之前,小车已处于平衡态。
下面仅考虑外力加入后,对小车运动的影响.
而由：
d (sin ) (cos ) dt
d2 2 cos (sin ) ( sin ) 2 dt
d (cos ) ( sin ) dt
d2 2 ( sin ) (cos ) ( cos ) d t2
1 0 0 0
0 mg M 0
( M m) g Ml
0 x1 1 x 1 0 2 M u ; 1 x3 0 1 0 x4 Ml
x1 x y 1 0 0 0 2 x3 x4
1 0 0 x x u -k/m - f/m 1/m y [ 1 0 ]x
例 设机械位移系统如图2-1所示。 力F及阻尼器汽缸速度v为两种 外作用，给定输出量为质量块 的位移x及其速度 x 、加速 x 。图中m、k、f分别为质 x 度 x 量、弹簧刚度、阻尼系数。试 求该双输入-三输出系统的动态 方程。
将上述方程的中间变量Q1和Qo消去,则有 h1 -h 2 dh1 A1 Qi dt R1 dh h1 -h 2 h 2 2 A2 dt R1 R2
流体动力学系统(4/5)
2. 选择状态变量. 由于只有两个独立的微分方程,故可选择两个状态变量.
对本例的流体动力学系统,可选水面高度的变化量h1和 h2为状态变量,即 x1(t)=h1(t), x2(t)=h2(t)
3. 将状态变量代入上述水面高度变化量的动态方程,则有如下状 态方程
1 1 1 x1 - A R x1 A R x2 A u 1 1 1 1 1 R1 R2 1 x 2 x1 x2 A2 R1 A2 R1 R2
根据系统机理建立状态空间模型(2/5)
在实际工程系统中,许多过程和元件都具有储存和传递能量 (或信息)的能力。例如, 机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能 量并能通过某种形式传递; 化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递; 化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息. 对这些系统,根据其物理和化学变化的机理,由相应描述这些变化 的物理和化学的定理、定律和规律等,可得系统各物理量之间 所满足的动静态关系式.因此,在选择适宜的状态变量后,可建 立系统的状态空间表达式.
2.7 Matlab问题 本章小结
根据系统机理建立状态空间模型(1/5)
2.2 根据系统机理建立状态空间表达式
建立被控对象的数学模型是进行系统分析和综合的第一步,是 控制理论和工程的基础.
上一节讨论了由电容和电感两类储能元件以及电阻所构 成的电网络系统的状态空间模型的建立，其依据为各电 气元件的物理机理及电网络分析方法. 这种根据系统的物理机理建立对象的数学模型的方法称 为机理建模. 机理建模主要根据系统的物料和能量(电压、电流、力和 热量等)在储存和传递中的动态平衡关系,以及各环节、元 件的各物理量之间的关系,如电感的电压和电流满足的动 态关系.
解 据牛顿力学，故有 图2－1 双输入-三输出机 械位移系统 f x v kx F mx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x x 显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微 作为状态 分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选 x 和 x ，y3 ，可由 变量。设 x1 x，x2 x ，三个输出量为 y1 x，y2 x x 微分方程导出下列动态方程：
Ch.2 控制系统的状态空 间表达式（模型）
目录(1/1)
目 录
概述
2.1 状态和状态空间表达式 2.2 根据系统机理建立状态空间表达式
2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间表达式
2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵
2.6 线性离散系统的状态空间描述
f
Q CAf
Q
CAf
图2-9 某化工(热工)过程
典型化工(热工)过程 (2/5)
为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进 行加热,蒸汽加热量为q(t)。
试以料液的流量Q(t)和蒸汽加热量q(t)为输入,容器内的液体的 温度(t)和浓度CA(t)为输出,建立状态空间模型。
典型化工(热工)过程 (3/5)
cos 1
2 0
u (M m) y ml mg ml my
u 为系统输入， y 为系统输出。
如果选择 系统输出 为：和 y
1 0 x x 2 0 x 3 0 4 0 x
流体动力学系统(5/5)
4. 建立输出方程 y= x2 5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间表达式
1 1 1 A R A1 R1 1 1 x A1 u x 1 R1 R2 0 A R A R R 2 1 2 1 2 y [ 0 1 ]x