自考04184线性代数经管类讲义

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自考《线性代数》(经管类)教学大纲

自考《线性代数》（经管类）教学大纲课程代码：04184 总学时：33学时一、课程的性质、目的、任务：《线性代数》是以变量的线性关系为主要研究对象的数学学科。

该课程介绍行列式，矩阵，线性方程组，二次型等有关的概念，理论及方法。

本课程不仅是许多后续相关学科的理论基础，同时也是科学技术和经济管理领域的重要数学工具。

内容的抽象性，逻辑的严密性是《线性代数》的基本特点，在教学过程中应特别注意对学生抽象思维，逻辑思维以及归纳推理能力的培养。

通过本课程的教学，要求学生对基本概念，基本理论和重要方法有正确的理解，并能比较熟练地掌握和应用。

通过本课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生处理问题的初步能力。

另外通过本课程的学习，为学生学习后续课程和进一步深造以及今后工作奠定必要的数学基础。

二、课程教学的基本要求：教学要求由低到高分三个层次，有关定义、定理、性质、特征概念的内容为“知道、了解、理解”；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”。

三、教学内容第一章行列式学时：4学时（讲课3学时）本章讲授要点：行列式的概念和基本性质、行列式的计算、行列式按行（列）展开定理、克莱默法则。

重点：行列式的计算、克莱默法则难点：行列式的计算、克莱默法则。

教学内容：§1.1 二阶、三阶行列式§1.2 n阶行列式§1.3 行列式的性质§1.4 行列式按行（列）展开§1.5克莱默法则教学基本要求：1．理解行列式的定义，掌握行列式的性质，并会用行列式的性质证明和计算有关问题。

2．熟练掌握通过三角化计算行列式的方法。

3．理解子式，余子式，代数余子式的定义，熟练掌握按某行（或某列）展开行列式，会应用展开定理计算和处理行列式。

4．了解“克莱默”法则的条件和结论，掌握判别齐次方程组有非零解的条件。

第二章矩阵学时：6学时（讲课4学时）本章讲授要点：矩阵的概念，几种特殊矩阵，矩阵的运算，矩阵可逆的充分必要条件，求逆矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩。

04184线性代数(经管类)基础知识

第一章行列式（一）行列式的定义1．行列式的定义D n=∑(-1)t a1c1a2c2…a n cn(t是列标c的逆序数)=∑(-1)t a r11a r22…a rn n(t是行标r的逆序数) 2．余子式及代数余子式设有n阶行列式D n,对任何一个元素a ij,划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个n-1阶行列式,称它为元素a ij的余子式,记作M ij,再记A ij=(-1)i+j M ij,称A ij为元素a ij的代数余子式.3．特殊行列式①②③（二）行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即|A|=|A T|性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素等于用数k乘此行列式D.推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质3互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号.推论2如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零.推论3 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零.性质4如果行列式某行(列)所有元素均为两个数的和,则行列式可以按该行(列)拆为两个行列式的和.性质5 把行列式某一行(列)所有元素都乘以同一个数然后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式不变. 定理1（行列式展开定理）n阶行列式D=|a ij|n等于它任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即D=a i1A i1+a i2A i2+…+a in A in(i=1,2,…n)（D按第i行的展开式）或D=a1j A1j+a2j A2j+…+a nj A nj(j=1,2,…n)（D按第j列的展开式）定理2行列式D=|a ij|n的任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即a i1A k1+a i2A k2+…+a in A kn=0(i≠k)或a1j A1s+a2j A2s+…+a nj A ns=0(j≠s)（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：第二章矩阵（一）矩阵的定义矩阵定义：m*n个数a ij(i=1,2,…m，j=1,2,…n)排列成一个m行n列的有序数表，称为m*n矩阵，记为(a ij)m*n （二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵A=(a ij)m*n, B=(b ij)k*s，若m=k, n=s，则说A与B是同型矩阵,若A与B同型,且对应元素相等，即a ij=b ij，则称矩阵A与B相等，记为A=B2．矩阵的加、减法设A=(a ij)m*n, B=(b ij)m*n，是两个同型矩阵，则A+B=(a ij+b ij)m*n , A-B=(a ij-b ij)m*n注意：矩阵的相加(减)体现为对应元素的相加(减),只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加(减).①A+B=B+A ②(A+B)+C=A+(B+C) ③A-B=A+(-B)3．数乘运算设A=(a ij)m*n，k为任一个数，则规定kA=(ka ij)m*n, 数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k①(kj)A=k(j A) ②(k+j)A=k A+j A ③k(A+B)=k A+k B4．乘法运算设A=(a ij)m*k，B=(b ij)k*n，则规定AB=(c ij)m*n，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a ik b kj (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，且AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.矩阵乘法与普通数乘法不同：不满足交换律,即①AB≠BA②当AB=0,不能推出A=0或B=0,不满足消去律.①(AB)C=A(BC) ②A(B+C)=AB+AC ③(B+C)A=BA+CA ④k(AB)=(k A)B=A(k B)⑤AE=EA=A5．方阵的乘幂与多项式方阵A为n阶方阵，则A m=AAA…A(m个).①A k A j=A k+j ②(A k)j=A kj ③特别地A0=E④若f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0，则规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+a1A+a0E，称f(A)为A的方阵多项式。

自考线性代数(04184)经管类复习提纲内含经典例题分类讲解

线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

自考04184线性代数经管类讲解矩阵

阵矩第二章2.1矩阵的概念n2.1.1m×由定义个数ai=12…mj=12…n）排成，，，，，，；（ij mn 数表一个列的行用大小括号表示mn列矩阵。

称为一个行nm×这矩阵的含义是：个数排成一个矩形阵列。

aij列元素称为矩阵的第其中行第ij i=12…mj=12…ni，而，，，，）；，，（jij列的变称为行标，称为列标。

第行与第ij 。

，）叉位置记为（ABC等表示，通常用大写字母，mn，和列数矩阵。

有时为了标明矩阵的行数也可记为A=aaA 或））或（（nm ×nm×ijnm×ijm=nA=a n阶为时，称）（当nijn×2n nn阶方阵是由矩阵，或者称为。

阶方阵个数排成一个正方形表，它不是一个数（行n阶行列式是两个完），它与列式是一个数全不同的概念。

只有一阶方阵才是一个数。

nA中从左上角到右下角的这条阶方阵一个An阶方阵的主对。

的主对角线对角线称为aa…a，称为此方，角线上的元素，，nn1122阵的对角元。

在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。

用OO（大写字）表示。

或者nm×a…m=1α=a，（时，称，，特别，当12a n1×n 矩阵。

它是）为维行向量n m n=1维列向量为时，。

称当1 m×它是矩阵。

向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。

abc3维行向量，）是，，（例如，3维列向量。

是几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵或简写形如A）念为（那不是“尖”，，的矩阵，称为对角矩阵是一个三阶对角矩阵，例如，。

也可简写为2.数量矩阵n阶数量矩阵对角矩阵的主对角线上的元当有如下形式：素都相同时，称它为数量矩阵。

或N没标就不阶矩阵，（标了角标的就是知是多少的）na=1阶单位矩阵当时，称特n EI，单位记为它为或阶nn别，矩阵。

即或E或在不会引起混淆时，也可以用I 表示单位矩阵。

【讲义】04184线性代数

三、与相关课程的联系与区别
学习本课程，要求考生具备高中数学的基础知识.本课程是经济管理类（本科）各专业的公共基础课程，学习本课程又为经济管理类的各专业的后继课程（如经济学等）奠定必要的数学基础.
四、课程的重点和难点
本课程的重点和难点内容如下：（1）行列式的性质，计算行列式；（2）矩阵的各种运算；（3）判定向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩和矩阵的秩的概念及其关系；（4）线性方程组解的结构和求解方法；（5）实方阵的特征值和特征向量，方阵对角化的条件，方阵对角化的计算方法；（6）实二次型的概念和正定二次型的判别方法.
第五章特征值与特征向量 ------------------------------------------------------------------------------ 50 第一节特征值与特征向量 ------------------------------------------------------------------------ 51 第二节方阵的相似变换 --------------------------------------------------------------------------- 53 第三节向量内积与正交矩阵 --------------------------------------------------------------------- 57 第四节实对称矩阵的相似标准形 --------------------------------------------------------------- 58
第二章矩阵------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 第一节线性方程组与矩阵的定义 --------------------------------------------------------------- 10 第二节矩阵运算------------------------------------------------------------------------------------ 11 第四节分块矩阵------------------------------------------------------------------------------------ 18 第五节矩阵的初等变换与初等方阵------------------------------------------------------------- 21 第六节矩阵的秩------------------------------------------------------------------------------------ 25 第七节矩阵与线性方程组 ------------------------------------------------------------------------ 27

自考04184线性代数(经管类)讲义

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。

所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。

行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。

1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。

（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。

我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。

04184线性代数

那么，三阶行列式 D3 定义为
a11 a12 a13 D3 = a 21 a 22 a 23 = a11 A11 + a 21 A21 + a31 A31 a31 a32 a33
我们把它称为 D3 按第一列的展开式，经常简写成 D3 =
∑a
i =1
3
i1
Ai1 =∑ ( −1) i +1 ai1 M i1
= a11a22 L ann
对角行列式
L L L L ann
= a11a22 L ann
（二）行列式的性质
性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即 D = D
T
性质 2 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数. ，行列式的值改变符号. 性质 3 互换行列式的任意两行（列）推论 1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零. 推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质 4 行列式可以按行（列）拆开. 性质 5 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为 D.
2 1 4 1
例 1 计算行列式 D4 =
3 −1 2 1 5 2 3 2 7 0 2 5
解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 a12 = 1 ，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.
2 1 4 1 D4 = 3 −1 2பைடு நூலகம்1
2 1 4 1 2行 + 1×1行 5 0 6 2
第一章行列式
（一）行列式的定义

04184 线性代数(经管类)

13、已知
A
相似与
=
-1 0
0 2 ，则 A-E =-2
11 1 14、 3 5 6 =6。
9 25 36
15、设 A 为正交阵，则 A 1
16、 ( AB)T BT AT
17、设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=2，则|2A|= 16
18、设 A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则|A|= 0。
解：设 A 和 A 分别为方程组的系数矩阵和增广矩阵．对 A 施以初等行变换： 1 1 3 2 1 1 1 1 3 2 1 1
A 2 2 2 2 2 1 0 0 4 2 0 1 5 5 9 8 4 5 0 0 6 2 1 0
1 1 3 2 1 1 1 1 3 2 1 1 0 0 4 2 0 1 0 0 2 0 1 1 ． 0 0 2 0 1 1 0 0 0 2 2 3
2
7、设 A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为 AT 8、向量空间V {(x, y, 0)T R3, x, y R} 的维数等于 2。 9、向量空间V 的一组基就是向量组V 的一个极大线性无关组 10、二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 +6x22 +4x32 是正定二次型 11、设1 ， 2 ，…， n 为 n 阶矩阵 A 的行（列）向量组，则向量组1 ， 2 ，…， n 线性相关的充分必要条件是 A 0 12、若行列式 D 中有两行（列）元素对应相等，则 D 的值为 0
1 1 23
0 1 3
22、设 A 0 1
0 2
2
，B
0
6
1
1 23
1

04184线性代数(经管类)基础知识

04184-线性代数(经管类)

04184-线性代数(经管类)()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆有非零解是的特征值的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆只有零解的特征值全不为零的列（行）向量线性无关是正定矩阵与同阶单位阵等价是初等阵总有唯一解⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=；④tr()=E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算：① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()AE E A -−−−−→初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11121211n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++为A 的一个多项式.√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅，AB的列向量为12,,,sr r r ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭则：即用中简若则单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ①m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<；m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=.②()0r A A ο=⇔=.③ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一. ④ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑤ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 向量组等价 12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =⑥ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑦ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅.⑧ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且sn >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n . ⑨ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；⑩ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑪ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑫ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑬ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.线性方程组的矩阵式Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦121212,,,,,,()(),,,n n n Ax Ax n Ax Ax Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==<<≠⇒⇒⇔==⇔=⇔=<≠=⇒有无穷多解有非零解线性相关有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩当为方阵时克莱姆法则不可由线性表示无解线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则也是的解是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解.当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限.√ 矩阵的秩的性质： ① ()()()T T r A r A r A A ==② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min(),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1 ⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=标准正交基 n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.αβ与正交 (,)0αβ=. α是单位向量(,)1ααα==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+(,)(,)(,)c c c αβαβαβ==施密特 123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ=222βηβ=333βηβ=正交矩阵 T AA E =.√A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成n的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：①1T A A -=； ② T T AA A A E ==；③A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵；④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.A 的特征矩阵 E A λ-.A 的特征多项式 ()E A f λλ-=.A 的特征方程 0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素. √ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量.√12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 230n λλλ====.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f x 是多项式,则:①()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλ,A *的全部特征值为12,,,nA AAλ.√ 1122,.m m Ak kAa b aA bEAA A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m A k kAa b aA bEAx A x A A Aλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. A 与B 相似 1B P AP -= （P 为可逆阵）记为：A B√A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.√A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数.√ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.A 与B 正交相似 1B P AP -= （P 为正交矩阵）√ 相似矩阵的性质：①11A B -- 若,A B 均可逆② T T A B③kk A B （k 为整数）④E A E Bλλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量.⑤A B= 从而,A B 同时可逆或不可逆⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.A 可以相似对角化 A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ （称Λ是A 的相似标准型）√ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =.√ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦. √ 若A B , CD ,则：A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. √ 若A B ,则()()f A f B ,()()f A f B =.二次型12(,,,)T n f x x x X AX=A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =A 与B 合同 T BC AC =. 记作：A B （,,A B C 为对称阵为可逆阵）√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√ 两个矩阵合同的充分条件是：A B√ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√12(,,,)Tn f x x x X AX=经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时,则为规范形 .√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵11110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量；② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1CAC -=Λ；④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.正定二次型 12,,,n x x x 不全为零，12(,,,)0n f x x x >.正定矩阵正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：① 正惯性指数为n ；② A 的特征值全大于0；③ A 的所有顺序主子式全大于0；④A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =；⑤ 存在可逆矩阵P ，使T A P P = （从而0A >）； ⑥存在正交矩阵，使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（i λ大于0）.√ 成为正定矩阵的必要条件：0iia > ； 0A >.。

自考04184线性代数(经管类)-自考核心考点笔记-自考重点资料

第一章行列式1。

1 行列式的定义1.2 行列式行（列）展开1。

3 行列式的性质与计算1。

3 克拉默法则第二章矩阵2.1 线性方程组与矩阵的定义2.2 矩阵运算2。

3 分阵的逆矩阵2.4 分块矩阵2。

5 矩阵的初等变换与初等方阵2。

6 矩阵的秩2。

7 矩阵与线性方程组第三章向量空间3。

1 n维向量概念及其线性运算3。

2 线性相关与线性无关3。

3 向量组的秩3.4 向量空间第四章线性方程组4。

1 齐次线性方程组4.2 非齐次线性方程组第五章特征值与特征向量5。

1 特征值与特征向量5。

2 方阵的相似变换5.3 向量内积和正交矩阵5。

4 实对称矩阵的相似标准形第六章实二次型6。

1 实二次型及其标准形6。

2 正这二次型和正定矩阵… … （中间部分略）完整版15页请-—QQ：1273114568 索取第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例.从考试大纲来看。

虽然只占13％左右.但在其他章.的试题中都有必须用到行列式计算的内容.故这部分试题在试卷中所占比例远大于13％。

1。

1 行列式的定义1.1。

1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1。

求二元一次方程组的解。

解:应用消元法得当时.得同理得定义称为二阶行列式。

称为二阶行列式的值。

记为。

于是由此可知。

若。

则二元一次方程组的解可表示为：例2二阶行列式的结果是一个数。

我们称它为该二阶行列式的值。

二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。

使得当后将消去。

得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出.在(6），(7)的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组.定义1。

1。

1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为；类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。

例3 计算例4 （1）（2)例5 当x取何值时，？为将此结果推广到n元一次方程组。

需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。

1.1。

2 阶行列式的定义定义1。

自考04184线性代数(经管类)讲义-自考高数线性代数课堂笔记

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。

所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。

1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；符号叫二阶行列式，其大小规定为：例如号叫为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。

（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。

其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。

高等教育自学考试04184线性代数（经管类）-公式必记

高等教育自学考试04184线性代数（经管类）-公式必记1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -? -；③、上、下三角行列式（= ◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -? -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C ABC B O B ==、(1)m n C A O AA B B O B C==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解；④、利用秩，证明()r A n <；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：0A ≠（是非奇异矩阵）；()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解；?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价；A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵；A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ?? ?= ? ??，则：Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----?? ?= ? ? ??；②、111A O A O O B O B ---??=；（主对角分块）③、111O A O B B O A O ---??= ? ?；（副对角分块）④、11111A C A A CB O B OB -----??-??=；（拉普拉斯）⑤、11111A O A O C B B CAB -----??= ? ?-；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO= ；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ??Λ= ? ??λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-???? ? ?= ? ? ? ?????；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k-=≠ ? ? ? ???；⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --???? ? ?=≠ ? ? ? ?????；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※）⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※）⑦、()min((),())r AB r A rB ≤；（※）⑧、如果A 是m n ?矩阵，B 是n s ?矩阵，且0AB =，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ?? ?的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：11112---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ??==-??<-?；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ? =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0；③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ?矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a xb +++= ??+++= +++=?；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ?????? ??? ? ??? ?=?= ??? ? ??? ???????（向量方程，A 为m n ?矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x a a a x β?? ? ?= ? ???（全部按列分块，其中12n b b b β?? ? ?= ? ???）；④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ?矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββ构成m n ?矩阵12T T T m B βββ??= ? ? ???；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ?=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ?=是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示 AX B ?=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ?与l n B ?行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关?0α=；②、,αβ线性相关?,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关?,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3）向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ?=有解；()(,)r A r A B ?=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ? ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆?存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ?=（左乘，P 可逆）0Ax ?=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ?=（右乘，Q 可逆）；③、矩阵等价：~A B PAQ B ?=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ?与l n B ?：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C =，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ? =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ? =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ?可由向量组12:,,,n s s A a a a ?线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ?，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ?=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ?，存在n m Q ?，m AQ E = ()r A m ?=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m n A ?，存在n m P ?，n PA E = ()r A n ?=、P 的行向量线性无关；14. 12,,,s ααα线性相关存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）1212(,,,)0s s x xx ααα?? ? ?= ? ???有非零解，即0Ax =有非零解；12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ?的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-； 16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ?=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i ja a i j n i j=?==?≠?；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a 11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价 ?A 经过初等变换得到B ；=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()?=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ?=T C AC B ，其中可逆；T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数；③、A 与B 相似1-?=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =?A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ?的正惯性指数为n ；A ?与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ?的所有特征值均为正数； A ?的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ?>>；(必要条件)。