高中数学抽象函数的图像以及抽象函数常见类型及部分题目

函数()f x 的定义域为D ，则其图像为：

()(){},|,x y y f x x D =∈

1，若把这个图像向左平移a 个单位，得到新图像为：

()(){},|,x y y f x a x D =+∈

简单说明：新图像上任取点(),x y ，向右平移a 个单位得到(),x a y +，这个点在()f x 图像上，所以()y f x a =+

向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出

2，若把()f x 图像按照直线x a =作一次对称，得到新函数为()2y f a x =-

简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照直线x a =作一次对称得到点()2,a x y -，这个点在()f x 图像上，所以()2y f a x =- 按照直线y a =作对称类似，请自己给出

需要指出的是，不能按照任意直线作对称得到新函数，因为新的图像不一定是函数图像（实际上那是方程的图像），另外，按照直线y x =作对称得到的是反函数，当然前提是该函数存在反函数。

3，若把()f x 图像按照点(),a b 作对称，得到新函数()22y b f a b =--

简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照点(),a b 作对称，得到点()2,2a x b y --，这个点在()f x 图像上，则()22b y f a x -=-，整理得()22y b f a x =--

4，若把()f x 图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的a 倍（0a ≠），纵坐标不变，那么得到新函数图像是x y f a ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

简单说明：新函数图像上取点(),x y ，变回去,x y a ⎛⎫

⎪⎝⎭，

这点在()f x 图像上，所以x y f a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

至于竖直方向的伸缩，请自己给出

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝华丽的分割线＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 下面是函数图像本身的对称性

5，如果一个函数向左平移a 个单位与原图像重合，即a 是一个周期，那么按照第1条，

()y f x a =+这个新函数与原函数()y f x =重合，也就是说：()()f x a f x +=

6，如果一个函数有一条对称轴x a =，那么按照第2条到的新函数()2y f a x =-与原函数是同一个，也就是说：()()2f a x f x -=，至于类似()()f a x f b x +=-这样的条件，改写一下是非常显然的

7，如果一个函数有一个对称中心(),a b ，那么按照第3条，()22y b f a x =--与原函数是同一个函数，也就是说：()()22f x f a x b +-=，类似6，这个条件也可以作适当改写 8，出于好奇，我们来看看当()x f f x a ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

时函数会如何，显然，它会成为常函数 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

另外一类常见的变换是关于绝对值的

9，把函数()f x 的图像在x 轴下方部分全部作对称到上方，上方部分不变，得到新函数：

()y f x =，这是显然的，去掉绝对值讨论一下就行

10，把函数()f x 的图像在y 轴右边部分全部作对称到左边，左边部分不变，得到新函数：

()y f x =，这也是显然的去掉绝对值讨论一下就行

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线再次路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 11，另外补充的是半周期，如果()()f x a f x +=-或者()()

1

f x a f x +=

，那么a 是半周期，证明是容易的，请自己给出。另外我们可以知道，反推是不成立的，半周期可以有其它写法。一般的写法是()()f x a g f x +=⎡⎤⎣⎦，且()g g x x =⎡⎤⎣⎦

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线继续路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 关于抽象函数，除了图像外，还有一类题，如果能记得一些具体模型，会有一些好处。当然，不要满足于这几类，只有找到本质才能解决新题。表格放在最后。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线坚持路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 例1：（第7届希望杯）

函数()f x 的值域1

(,4]4

，则()()g x f x =-的值域为

例2：（第5届希望杯）

定义为R 的函数()f x ，对任何,a b R ∈，都有[()]f af b ab =，= ．

例3：设()f x 是[0,1]上的不减函数，即对于1201x x ≤<≤有12()()f x f x ≤，且满足：（1）

(0)0f =；

（2）1

()()32

x f f x =；（3）(1)1()f x f x -=-，则1()2005f = ．

例4：（第4届希望杯）

设奇函数()y f x =的定义域为R ，(1)2f =，且对任意12,x x R ∈，都有

121()()f x x f x +=

+2()f x ，当0x >时，()f x 是增函数，则函数2()y f x =-在区间[3,2]--上的最大值是 ．

2．抽象函数的单调性 例5：（第14届希望杯）

奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，

2(6)(3)f f -+-=

例6：设()f x 是定义在R +

上的增函数，且()()()x

f x f f y y

=+，若(3)1f =，则

1

()()25

f x f x -≥-成立的x 的取值范围是 ．

3．抽象函数的奇偶性 例7：（第6届希望杯）

()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为2，则

(1)(2)(3)f f

f f

++++=

A 、1或0

B 、1或1-

C 、0

D 、1

例8：（第4届希望杯）

函数()f x 的定义域是R ，函数()()2()g x f x f x =+--，已知(5)3

g =-，则(5)g -= ．