高中数学抽象函数的图像以及抽象函数常见类型及部分题目

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高三数学函数与方程压轴题训练——抽象函数

高三数学函数与方程压轴题训练——抽象函数抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数．由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了．[典例]已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[思路点拨](1)由于题目条件中的f (x )没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f (－x )＝2－f (x )，即f (x )(x ∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关．(2)易知函数y ＝x ＋1x关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f (x )(x ∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f (x )的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f (x )来求解．[方法演示]法一：利用函数的对称性由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )＝2，所以点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))连线的中点是(0,1)，故函数f (x )的图象关于点(0,1)成中心对称．(此处也可以这样考虑：由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0，即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0，令F (x )＝f (x )－1，则F (x )＋F (－x )＝0，即F (x )＝f (x )－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F (x )的图象可看成是f (x )的图象向下平移一个单位得到的，故f (x )的图象关于点(0,1)对称)．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x 的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于每一组对称点x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝∑i ＝1m x i ＋∑i ＝1my i ＝0＋2×m2＝m ，故选B.法二：构造特殊函数由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0，即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0.令F (x )＝f (x )－1，则F (x )为奇函数，即f (x )－1为奇函数，从而可令f (x )－1＝x ，即f (x )＝x ＋1，显然该函数满足此条件．此时y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的交点分别为(1,2)和(－1,0)，所以m ＝2，∑i ＝1m(x i ＋y i )＝1＋2＋(－1)＋0＝2，结合选项可知选B. 答案：B [解题师说]1．解决抽象函数问题的2个常用方法2．解决抽象函数问题常用的结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．特例：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )；函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b . 特例：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0；函数y ＝f (x )关于点(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)．(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y＝f(x)关于(a,0)对称．(4)对于函数f(x)定义域内任一自变量的值x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；②若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；③若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a；(a>0)④若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则T＝|a－b|；⑤若f(2a－x)＝f(x)且f(2b－x)＝f(x)(a≠b)，则T＝2|b－a|.[应用体验]1．已知函数f(x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f(f(x)－2x)＝3，则f(3)的值是()A．3B．7C．9 D．12解析：选C由题意，知对任意x∈R，都有f(f(x)－2x)＝3，不妨令f(x)－2x＝c，其中c是常数，则f(c)＝3，所以f(x)＝2x＋c.再令x＝c，则f(c)＝2c＋c＝3，即2c＋c－3＝0.易得2c与3－c至多只有1个交点，即c＝1.所以f(x)＝2x＋1，所以f(3)＝23＋1＝9.2．已知奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2.给出下列命题：①D＝[－1,1]；②对∀x∈D，|f(x)|≤2；③∃x0∈D，使得f(x0)＝0；④∃x1∈D，使得f(x1)＝1.其中所有正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选A由奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2，只说明函数有最值，与定义域无关，故①错误；对于②，可能f(3)＝－3，|f(3)|＝3>2，故②错误；对于③，当0不在D中，且x轴为渐近线时，则不满足③；当y＝1为渐近线时，不满足④，因此选A.3．已知定义域为R的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，若x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．可能等于0 D．可正可负解析：选B法一：由f(－x)＝－f(x＋4)，得f (－x ＋2)＝－f (x －2＋4)＝－f (x ＋2)，即f (x ＋2)＝－f (－x ＋2)，故函数f (x )的对称中心为M (2,0)．令x ＝－2，得f (2)＝－f (2)，解得f (2)＝0.又函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，画出函数的大致图象如图所示．由(x 1－2)(x 2－2)<0，可得x 1－2与x 2－2异号，即x 1，x 2分布在直线x ＝2的两侧，不妨设x 1<2<x 2.由x 1＋x 2<4，可得(x 1－2)＋(x 2－2)<0，即|x 1－2|>|x 2－2|，由函数的对称性，可知必有f (x 1)＋f (x 2)<0.法二：由f (－x )＝－f (x ＋4)可知，f (2＋x )＝－f (2－x )，则函数图象关于点(2,0)中心对称．因为x <2时，f (x )单调递增，所以x >2时，f (x )单调递增．因为x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，设x 1<2<x 2，则x 2<4－x 1，所以f (x 2)<f (4－x 1)．又因为f (4－x 1)＝－f (x 1)，所以f (x 2)<－f (x 1)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.一、选择题1．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))的值为( )A ．5B ．－5 C.15D ．－15解析：选D ∵函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的周期函数． ∵f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (f (1))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15.2．已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0. 又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)， 20．8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .3．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1m x i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m . 4．已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 由题意知当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.5．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立，若函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，则f (2 018)的值为( )A ．2 018B ．－2 018C ．0D ．4解析：选C 依题意得，函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称，因此函数y ＝f (x )是偶函数，且f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，即f (2)＝f (2)＋f (2)，所以f (2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以4为周期的函数，f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝0.6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )>f (－2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3)B ．(0，3)C ．(3，＋∞)D ．(1，3)解析：选B ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴f (2log 3a )>f (2)．∵2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a < 3.7．设函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象关于直线x ＝0及直线x ＝1对称，且x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫－32＝( ) A.12 B.14 C.34D.94解析：选B 法一：∵函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象关于直线x ＝0对称， ∴f (－x )＝f (x )．∵函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (1－x )＝f (1＋x )．∴f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 法二：∵函数y ＝f (x )关于直线x ＝0对称，则函数f (x )是偶函数，又关于x ＝1对称，则f (2－x )＝f (x )，故f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 8．定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (4－x )＝f (x )，(x －2)·f ′(x )＜0，若x 1＜x 2且x 1＋x 2＞4，则有( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不确定解析：选B 由f (4－x )＝f (x )，知函数f (x )关于直线x ＝2对称．又(x －2)f ′(x )＜0，故当x ＞2时，函数f (x )单调递减；当x ＜2时，函数f (x )单调递增，所以当x ＝2时，函数f (x )取得最大值．由x 1＜x 2且x 1＋x 2＞4知x 1离x ＝2更近，故f (x 1)＞f (x 2)．9．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (8)，b ＝f (11)，c ＝f (2 018)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选B 由①知函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2)＝f (6)．因为函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f (5)＜f (6)＜f (8)，即b ＜c ＜a .10．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在－52，12上的所有实数解之和为( )A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1解析：选A 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象如图所示．由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.12．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (－2 017)＝－f (2 017)，因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )的周期为6.又当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，所以f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2， f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3，故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝－2＋3＝1. 二、填空题13．已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且对任意x ∈R 都有f (x ＋3)＝－f (x )，若当x ∈⎝⎛⎭⎫12，32时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，则f (2 018)＝________. 解析：因为对任意x ∈R 都有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，函数f (x )是周期为6的函数，f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)．由f (x ＋3)＝－f (x )可得f (－1＋3)＝－f (－1)＝f (2)，因为函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )是偶函数，f (－1)＝f (1)＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝－f (1)＝－12. 答案：－1214．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意的实数x ，均有f (x ＋3)≤f (x )＋3，f (x ＋2)≥f (x )＋2且f (1)＝2，则f (2 017)的值为________．解析：∵f (x ＋3)≤f (x )＋3，f (x ＋2)≥f (x )＋2， ∴f (x ＋1)＋2≤f (x ＋3)≤f (x )＋3， ∴f (x ＋1)≤f (x )＋1.又f (x ＋1)＋1≥f (x ＋2)≥f (x )＋2， ∴f (x ＋1)≥f (x )＋1，∴f (x ＋1)＝f (x )＋1，利用叠加法，得f (2 017)＝2 018. 答案：2 01815．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当x ∈[－3，－1)时，f (x )＝－(x ＋2)2，当x ∈[－1,3)时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________.解析：由题意得f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以数列{f (n )}从第一项起，每连续6项的和为1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336×1＋f (1)＋f (2)＝339.答案：33916．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．解析：f (x ＋3)＝fx ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数f ⎝⎛⎭⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝⎛⎭⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ，又f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝－f －32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不可能是单调函数，④错误．故真命题的序号为①②③. 答案：①②③。

高中数学函数知识点归纳及常考题型

高中数学函数知识点归纳及常考题型1.映射定义：对于非空集合A和B，若集合A中的每个元素a都与集合B中唯一的元素b对应，则称从A到B的对应为映射。

当集合A中有m个元素，集合B中有n个元素时，从A到B可以建立n个映射。

2.函数定义：函数是定义在非空数集A和B上的映射f。

此时，数集A是函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}是函数的值域，且C是B的子集。

3.函数的三个要素是定义域、对应法则和值域。

判断两个函数是否相同，需要同时考虑它们的定义域和值域以及对应法则。

4.求函数的定义域通常需要考虑以下因素：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题需要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。

5.求解函数解析式的方法包括：①配凑法；②换元法；③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。

6.求函数值域的方法包括：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性的证明方法：对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x1和x2，当x1f(x2)），则称f(x)在该区间上是增函数（或减函数）。

8.求函数单调区间的方法包括：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)），则函数f(x)是偶函数（或奇函数）。

例如f(x)=x+2，f(x)=x-x等。

10.函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

因此，如果定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.常用的判断函数奇偶性的形式包括：奇函数——f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0（对数函数）；偶函数——f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，mf(-x)/f(x)=-1（指数函数）。

1.若函数f(x)为奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0.这个性质常用于待定系数的计算。

高一期中抽象函数知识点

高一期中抽象函数知识点高一期中考试即将来临，作为数学科目的一部分，抽象函数是需要重点掌握的知识点之一。

抽象函数作为高中数学的重要内容，其概念和特点需要认真理解与掌握。

本文将从抽象函数的定义、图象与性质、常见的抽象函数类型等多个方面进行论述，以帮助同学们更好地理解和掌握抽象函数的知识。

一、抽象函数的定义抽象函数是指其中一个函数的自变量包含了另一个函数。

通常，我们把包含有另一个函数的函数称作「外层函数」，而另一个函数称作「内层函数」。

举个例子，f(g(x))中的f(x)就是外层函数，g(x)就是内层函数。

二、抽象函数的图象与性质抽象函数的图象一般来说比较复杂，因为它是内外两个函数共同作用的结果。

要绘制抽象函数的图象，需要先绘制内层函数和外层函数的图象，然后观察两个图象的叠加效果。

在绘制图象时，需要注意变量的定义域和值域范围，以确保图象的正确性。

关于抽象函数的性质，可以通过以下几个方面进行分析：1. 定义域和值域的确定：抽象函数的定义域取决于内外两个函数的定义域，并且需要满足内层函数的值域在外层函数的定义域范围内。

对于值域而言，抽象函数的值域取决于内层函数。

2. 函数的奇偶性：抽象函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，而与内层函数的奇偶性无关。

具体来说，如果外层函数是奇函数，则抽象函数也是奇函数；如果外层函数是偶函数，则抽象函数也是偶函数。

3. 函数的增减性：抽象函数的增减性取决于内外两个函数的增减性。

一般来说，如果外层函数是递增函数，且内层函数的导数存在且大于0，那么抽象函数是递增函数；如果外层函数是递减函数，且内层函数的导数存在且小于0，那么抽象函数是递减函数。

三、常见的抽象函数类型1. 复合函数：复合函数是抽象函数的一种常见类型，它将两个函数进行组合，其中一个函数作为另一个函数的自变量。

例如，f(g(x))就是一种典型的复合函数。

2. 函数的逆运算：在函数的逆运算中，内层函数和外层函数的关系是倒置的。

几个抽象函数的典型题目

几个抽象函数的典型题目1、正比列函数型设y=f(x)为定义在R上的函数，如果满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则具有性质(1)f(0)=0；(2)y=f(x)是R上的奇函数；(3)若x≠0，f(x)≠0时，则y=f(x)是R上的单调函数例1：已知函数f(x)对任意的实数x，y，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，f(-1)=2求f(x)在区间[-2,1]上的值域分析：由题设可知，其模型函数为正比例函数型，因此求函数f(x)的值域关键在于求出其单调性。

解：令x=y=0，则f(0)=0；令y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0)∴f(x)=-f(-x)∴f(x)是奇函数设-2≤x1<x2≤1，则x1-x2>0，∵当x>0时f(x)>0即f(x2)+f(x1)=f(x2)-f(x1)>0∴f(x2)>f(x1)∴f(x)是[-2，1]的增函数f(-2)=f(-1)+f(-1)=-4f(1)=-f(-1)=2∴函数f(x)在区间[-2，1]的值域是[-4，2]点评：在求解此题时，已经证明了性质(1)，性质(2)，还告诉了性质(3)的证明方法，若在选择或填空题中遇到时，可直接应用。

3、指数函数型设f(x)是定义在R上的不恒为0函数，满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时，恒有f(x)>1(或恒有f(x)<1)，则具有性质：(1)f(x)>0且f(0)=1(2)(3)f(x)是单调函数例2：设f(x)是R上的函数，满足条件：存在x1≠x2使得f(x1)≠f(x2)；对任意的x和y有f(x+y)=f(x)f(y)成立，求(1)f(0)的值(2)对任意的x∈R，判断函数f(x)的值的符号。

分析：由条件可知函数f(x)是由指数函数y=ax抽象而来的，于是问题就可参照指数函数的性质来求解：解：(1)令y=0则f(x)=f(x)f(0)f(x)[1-f(0)]=0f(x)=0或f(0)=1若f(x)=0则对任意的x1≠x2有f(x1)=f(x2)=0与题意不符∴f(0)=1(2)令x=y≠0f(x+y)=f(2x)=f(x)f(x)=[f(x)]2≥0由(1)知f(x)≠0∴f(2x)>0即f(x)>0对任意的x∈R恒成立例3：设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并满足①函数f(x)的图象关于直线x=1对称②对任意的x1，x2∈[0，1]都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)③f(1)=a>0，且a≠1求：(1) 的值(2)求证，当a>1时，f(x)在[0，1]上是增函数(3)若数列{an}满足，n∈N*，求分析：由条件②和条件③知函数f(x)背景函数为指数函数，于是问题就好入手了。

抽象函数常见题型解法

高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。

其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。

解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数，∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。

解：设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00=∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

压轴题型03 抽象函数问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练

压轴题03抽象函数问题抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。

本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。

由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

○热○点○题○型1定义域问题解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。

○热○点○题○型2求值问题通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。

○热○点○题○型3值域问题○热○点○题○型4解析式问题通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

○热○点○题○型5单调性与奇偶性问题○热○点○题○型6周期性与对称性问题○热○点○题○型7几类抽象函数解法(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）2.赋值法（令0=x 或1，求出)0(f 或)1(f 、令x y =或x y -=等等）（2）几种抽象函数模型：1.正比例函数：)0()(≠=k kx x f ——————————)()()(y f x f y x f ±=±；2.幂函数：2)(x x f =——————————————)()()(y f x f xy f =，)()()(y f x f y x f =；注：反比例函数：1)(-=x x f 一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模型写成反比例函数模型。

3.指数函数：x a x f =)(———————————)()()(y f x f y x f =+，)()()(y f x f y x f =-4.对数函数：x x f a log )(=————————)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f yxf -=5.三角函数：x x f tan )(=————————————)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+6.余弦函数：x x f cos )(=———————)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++一、单选题1．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()102f xy f x f y +--=，若一组平行线()1,2,...,i x x i n ==分别与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，...，(),n n x y ,且()2121n i i x x f -+=⎡⎤⎣⎦，其中1,2,...,i n =，则1nii y n==∑A ．1B ．12C ．2nD ．2n 【答案】B【分析】令1x y ==得到()112f =；令1,n i i x x y x -+==得到()()11n i i f x f x -++=，代入计算得(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018【答案】D【分析】根据递推式可得(6)()6f x f x +-=，再由(2016)f =[(2016)(2010][(2010)(2004)]......[(6)(0)](0)f f f f f f f -+-++-+即可得答案.【详解】解：(2)()2,f x f x +-≤ (4)(2)2,f x f x ∴+-+≤(6)(4)2f x f x ∴+-+≤三是相加得：(6)()6f x f x +-≤，又(6)()6f x f x +-≥，则(6)()6f x f x +-=，当且仅当(2)()2f x f x +-=时等号成立，(2016)f =[(2016)(2010][(2010)(2004)]......[(6)(0)](0)f f f f f f f -+-++-+633622018=⨯+=，故选：D.3．已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x -是偶函数，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线=1x -对称B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称C ．()31f -=D ．()f x 的一个周期为8【答案】C【分析】根据()31f x +是奇函数，可得()()20f x f x +-+=，判断B;根据()21f x -是偶函数，推出()()2f x f x --=，判断A;继而可得()()4f x f x +=-，可判断D ；利用赋值法求得(1)0f =，根据对称性可判断C.【详解】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x -+=-+∴-+=-+，即()()2f x f x -+=-，即()()20f x f x +-+=，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；又()21f x -是偶函数，故()()()()2121,11f x f x f x f x --=-∴--=-，即()()2f x f x --=，故()f x 的图象关于直线=1x -对称，A 结论正确；由以上可知()()()22f x f x f x =--=--+，即()()22f x f x -=-+，所以()()4f x f x +=-，则()()4()8x x f f f x =-=++，故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；由于()()3131f x f x -+=-+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =-∴=，而()f x 的图象关于直线=1x -对称，故()30f -=，C 结论错误，故选：C【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.4．已知定义在R 上的函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，若()()4g x f x =-是奇函数，且()40g =,则不等式()0f x ≤的解集是A ．(](],84,0-∞-⋃-B ．[)[)8,40,--⋃+∞C ．[][)8,40,--⋃+∞D ．[]8,0-【答案】C【详解】∵()()4g x f x =-是奇函数，∴函数()()4g x f x =-图象的对称中心为（0,0），∴函数()f x 图象的对称中心为()4,0-.又函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，∴函数()f x 在()4,-+∞上为减函数，且()()400f g -==.∵()()400g f ==，∴()80f -=．画出函数()f x 图象的草图（如图）．结合图象可得()0f x ≤的解集是[][)8,40,--⋃+∞．选C ．点睛：本题考查抽象函数的性质及利用数形结合求不等式的解集．解题时要从函数()f x 的性质入手，同时也要把函数()()4g x f x =-的性质转化为函数()f x 的性质，进一步得到函数()f x 的单调性和对称性，进而画出其图象的草图，根据图象写出不等式的解集．其中在解题中不要忘了()f x 是定义在R 上的函数，故应该有()()400f g -==这一结论，即函数()f x 的图象中要有()4,0-这一个点．5．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,014211,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（）A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多选题(共0分)6．下列说法中错误的为（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1B ．若(121f x =+，则()[)2243,1,f x x x x ∞=++∈+C ．函数的421x x y =++值域为：1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．已知()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,2--7．若定义在R 上的函数()f x 满足：（ⅰ）存在R a +∈，使得()0f a =；（ⅱ）存在R b ∈，使得()0f b ≠；（ⅲ）任意12,R x x ∈恒有()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=．则下列关于函数()f x 的叙述中正确的是（）A ．任意x ∈R 恒有()()4f x a f x +=B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[]0,a 上是减函数D ．函数()f x 最大值是1，最小值是-18．已知的定义域为R ，且对任意，有1f x f y f x y ⋅=+-，且当1x >时，()1f x >，则（）A ．()11f =B ．()f x 的图象关于点()()1,1f 中心对称C ．()f x 在R 上不单调D ．当1x <时，()01f x <<故选：AD9．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A ．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．m Z ∀∈，()30mf =C ．函数()f x 的值域为[)0,∞+D ．n Z ∃∈，()512019nf +=10．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()1f x y f x f y +=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()312f x f x f +++=，()()24f x f x -=+，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是周期函数B ．1(2022)2f =C ．()f x 的图象关于1x =对称D ．200111002k k f k =⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑可得())1(3f x f x +=－，从而可得()f x 是周期为4的周期函数，是解决本题的关键.12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，其导函数分别为()f x '，()g x '．若()()32f x g x -+=，()()1f x g x ''=+，且()()20g x g x -+=，则（）A ．函数()2g x +为偶函数B ．函数()f x 的图像关于点()2,2对称C ．()202410i g n ==∑D ．()202414048i f n ==-∑【答案】ACD【分析】由()()1f x g x ''=+，可设()()()1,R f x a g x b a b +=++∈，，由()()32f x g x -+=，得()()321g x a g x b --+=++，赋值1x =，则有2a b -=，即()()31g x g x -=+，函数()g x 的图像关于直线2x =对称，又()()20g x g x -+=得()()4g x g x =+，()f x 也是周期为4的函数，通过赋值可判断选项【详解】因为()()1f x g x ''=+，所以()()()1,R f x a g x b a b +=++∈．又因为()()32f x g x -+=，所以()()23f x g x +=-．于是可得()()321g x a g x b --+=++，令1x =，则()()31211g a g b --+=++，所以2a b -=．所以()()31g x g x -=+，即函数()g x 的图像关于直线2x =对称，即()()4g x g x -=+．因为()()20g x g x -+=，所以函数()g x 的图像关于点()1,0对称，即()()20g x g x ++-=，所以()()24g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，于是()()4g x g x =+，所以函数()g x 是周期为4的周期函数．因为函数()g x 的图像关于直线2x =对称，所以()2g x +的图像关于y 轴对称，所以()2g x +为偶函数，所以A 选项正确．将()g x 的图像作关于y 轴对称的图像可得到()y g x =-的图像，再向右平移3个单位长度，可得到()()33y g x g x =--=-⎡⎤⎣⎦的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到()()32g x f x --=的图像，因此函数()f x 也是周期为4的函数．又()g x 的图像关于点()1,0对称，所以()f x 的图像关于点()2,2-对称，所以B 选项不正确．因为()()20g x g x -+=，令1x =，得()()110g g +=，即()10g =，所以()()130g g ==；令0x =，得()()200g g +=，所以()()240g g +=，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()202410i g n ==∑，所以C 选项正确．因为()()32f x g x =--，所以()()0322f g =-=-，()()2122f g =-=-，()()122f g =-，()()302f g =-，()()402f f ==-，则有()()()()()()()123422202f f f f g g +++=-+-+-()28+-=-，可得()202414048i f n ==-∑，所以D 选项正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：一般地，若函数的图像具有双重对称性，则一定可以得到函数具有周期性，且相邻的两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻的两个对称中心之间的距离也是半个周期；相邻的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为四分之一个周期．三、填空题13．下列命题中所有正确的序号是__________.①函数1()3x f x a -=+(1a >)在R 上是增函数；②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)；③已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则(2)8f =-；④11()122x f x =--为奇函数.⑤函数()f x =[]0,4（3）构造奇函数求对应的函数值；（4）定义法判断函数奇偶性；（5）直接法求具体函数的值域.14．给出下列四个命题：①函数与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根；其中正确命题的序号是_____________．（填上所有正确命题的序号）【答案】③⑤【详解】试题分析：①因为函数的定义域为R ，函数的定义域为{}|>0x x ，所以函数与函数不表示同一个函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点，此命题错误，若奇函数在x=0处没定义，则奇函数的图像就不过原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；，正确．④因为函数的定义域为，所以0<2<2,0<x<1x 即，所以函数的定义域为[0,1]；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根，正确．考点：函数的定义；奇函数的性质；图像的变换；抽象函数的定义域；函数零点存在性定理．点评：此题考查的知识点较多，较为综合，属于中档题．抽象函数的有关问题对同学们来说具有一定的难度，特别是求函数的定义域，很多同学解答起来总感棘手，鉴于此，我们在学习时要善于总结．①已知的定义域求的定义域，其解法是：若的定义域为，则在中，，从中解得x 的取值范围即为的定义域；②已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．15．已知函数()241f x x -+-的定义域为[]0,m ，则可求得函数()21f x -的定义域为[]0,2,求实数m 的取值范围__________.【答案】[]24，【详解】函数()21f x -的定义域为[]0,2，02,1213x x ∴≤≤∴-≤-≤，令241t x x =-+-,则13t -≤≤，由题意知，当[]0,x m ∈时，[]1,3t ∈-，作出函数241t x x =-+-的图象，如图所示，由图可得，当0x =或4x =时，1t =-，当2x =时，3,24t m =∴≤≤，时[]1,3t ∈-，∴实数m 的取值范围是24m ≤≤，故答案为24m ≤≤.16．给出下列说法：①集合{}1,2,3A =，则它的真子集有8个；②2(),((0,1))f x x x x=+∈的值域为(3,)+∞；③若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)()2f xg x x =-的定义域为[)0,2；④函数()f x 的定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，()1f x x =-⑤设53()=5f x ax bx cx +++（其中,,a b c 为常数，x R ∈），若(2012)3f -=-，则(2012)13f =；其中正确的是_______（只写序号）．【答案】②⑤【详解】试题分析：①集合{1,2,3}A =，则它的真子集有个；③由函数()f x 的定义域为[0,2]得：，解得；④设，则,所以，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x =-；⑤设g(x)=,则g(x)是奇函数且()f x =g(x)+5，因为(2012)3f -=-，所以，所以．考点：本题考查真子集的性质、抽象函数的定义域、函数的奇偶性．点评：此题主要考查集合子集个数的计算公式、函数的奇偶性和抽象函数定义域的求法，是一道基础题，若一个集合的元素个数为n ，则其子集的个数为2n ，真子集的个数为2n -1个．17．函数()f x 满足()11f x f x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭对任意[)0,x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有(){},0f y y f x x a A =≤≤=，则a 的取值范围为___________.18．对任意集合M ，定义()0,M f x x M⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-ð；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅ ；（4）()()1()[2S S T T f x f x f x ++= （其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）19．设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.R ，对任意的都有且当0x ≥时，则不等式()0xf x <的解集为__________．【答案】(2,0)(0,2)- 【详解】当0x ≥时，由()220f x x x =->，得2x >；由()220f x x x =-<，得02x <<.∵()()f x f x -=-，∴函数()f x 为奇函数．∴当0x <时，由()220f x x x =->，得20x -<<；由()220f x x x =-<，得2x <-.不等式()0xf x <等价于()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x <⎧⎨>⎩，解得02x <<或20x -<<．∴不等式()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃．答案：()()2,00,2-⋃21．已知函数21,0()21,0,x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_____．【答案】01a <<【分析】采用数形结合的方法，由2()()0f x af x -=确定有两个解()0f x =或()f x a =，在通过图象确定a 的范围．【详解】由2()()0f x af x -=得()0f x =或()f x a =，如图，作出函数()f x 的图象，由函数图象，可知()0f x =的解有两个，故要使条件成立，则方程()f x a =的解必有三个，此时0<a <1．所以a 的取值范围是(0,1)．故答案为：01a <<.22．已知函数()f x 满足1(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有个零点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】所以可得132a log ≥+（），∴实数a 的取值范围是[5+∞，）．故答案为[5+∞，）．考点：函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系【名师点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．四、双空题23．设函数()f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足()01f =，()10f =，对任意的x ，y ∈Z 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则()3f =______；()()()()22222122023122023f f f f 2++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+______．五、解答题24．已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．25．设函数(),f x x x M=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析【解析】(Ⅰ)求出f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，由此能过求出f(P)∪f(M)．(Ⅱ)由f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，得到当x＜0时，f(x)＜0，(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．由此能求出P，M．(Ⅲ)假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．证明0∈P∪M．推导出f(﹣x0)＝﹣x0，且f(﹣x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”是真命题．【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，所以f(P)∪f(M)＝[0，+∞)．(Ⅱ)因为f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，所以当x＜0时，f(x)＜0，所以(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，则0∉f(P)，且0∉f(M)，即0∉f(P)∪f(M)，这与f(P)∪f(M)＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f(P)，且﹣x0∉f(M)．因为f(P)∪f(M)＝R，所以﹣x0∈f(P)，且x0∈f(M)．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f(-x0)＝﹣x0，且f(-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．26．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =.若对任意的[],1,1m n ∈-，0m n +≠都有()()0f m f n m n+>+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在定义域上为增函数；（2）若()()214f a f a +>，求a 的取值范围；（3）若不等式()()122f x a t ≤-+对所有的[]1,1x ∈-和[]1,1a ∈-都恒成立，求实数t 的取值范围.于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成()()()()f g x f h x ≥后再利用单调性和定义域列不等式组.27．已知函数()f x ，若存在非零实数a ､b ，使得对定义域内任意的x ，均有()f x a +=()f x b +成立，则称该函数()f x 为阶梯周期函数.（1）判断函数()[]|sin |()f x x x x π=+∈R 是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3,5]4-=-，[2,1]2=)（2）已知函数()g x ，x ∈R 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称.①求证：函数()g x 为阶梯周期函数；②当[0,4]x ∈时，()[,]g x p q ∈(p ､q 为实数)，求函数()g x 的值域.【答案】（1）是，理由见解析；（2）①证明见解析；②[4,4]n p n q ++，n ∈Z .【解析】（1）根据阶梯周期函数的定义求解判断.（2）①根据函数()g x 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称，得到()()()()2064g x g x g x g x ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩求解.②根据①的结论，分[]()4,44,x n n n N ∈+∈和[]()4,44,x n n n N ∈--+∈两种情况讨论求解.【详解】（1）因为()()(1)[1]|sin 1|[]1|sin |1f x x x x x f x ππ+=+++=++=+,所以存在1,1a b ==,使得函数()f x 为阶梯周期函数（2）①因为函数()g x 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称，所以()()()()2064g x g x g x g x ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩，两式相减得：()()624g x g x +-+=，即()()44g x g x +=+所以函数()g x 为阶梯周期函数；②当[]()4,44,x n n n N ∈+∈时，[]40,4x n -∈，由()()44g x g x +=+，得()()()444242...g x g x g x =-+=-⨯+⨯=()[]()444,4g x n n n p n q n N =-+∈++∈，当[]()4,44,x n n n N ∈--+∈时，[]40,4x n +∈，由()()44g x g x +=+，得()()()444242...g x g x g x =+-=+⨯-⨯=()[]()444,4g x n n n p n q n N =+-∈-+-+∈，综上：函数()g x 的值域是[4,4]n p n q ++n ∈Z .【点睛】关键点点睛：本题关键是阶梯周期函数定义的理解以及()f x 若关于点(),a b 对称，则()()22f x f a x b -++=结合应用.28．已知函数()f x 对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，(1)f -的值；（2）当34x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；（3）设函数2()()3()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．29．已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称()f x 为“S -函数”.（1）判断函数()1f x x =，()23xf x =是否是“S -函数”；（2）若()3tan f x x =是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对(),a b ；（3）若定义域为R 的函数()f x 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对()0,1和()1,4，当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，求当[]2018,2018x ∈-时函数()f x 的值域.1(1)3f =-.（1）求证()f x 是奇函数；（2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值.【答案】（1）详见解析；（2）最小值-1，最大值1.【分析】（1）利用赋值法,令0x =,0y =代入函数式,可求得(0)f ,再令y x =-代入函数式,即可31．已知函数的定义域为，且同时满足①13f =；②2f x ≥恒成立，③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥．（1）试求函数()f x 的最大值和最小值；（2）试比较f （12n）与122n +（n ∈N ）的大小．（3）某人发现：当12nx =（n ∈N ）时，有()22f x x <+，由此他提出猜想：对一切x ∈（0，1]，都有()22f x x <+，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．32．已知，1,2,n 是定义在M 上的一系列函数，满足：()1f x x =，()()11i i x f x f i x ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭N .(1)求()()()234,,f x f x f x 的解析式；(2)若()g x 为定义在M 上的函数，且()11x g x g x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.①求()g x 的解析式；②若方程()()()()222121318420x m x x g x x x x x ---++++++=有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.都有()()f x s f x s +-=，则称()y f x =是S -关联的.(1)判断函数2y x =和函数[]y x =是否是{1}-关联的，无需说明理由.（[]x 表示不超过x 的最大整数）(2)若函数()y f x =是{2}-关联的，且在[0,2)上，()2x f x =，解不等式2()4f x <<.(3)已知正实数,a b 满足a b <，且函数()y f x =是[,]a b -关联的，求()f x 的解析式.【答案】(1)函数2y x =不是{1}-关联的，函数[]y x =是{1}-关联的；(2)(1,3)x ∈(3)()f x x C=+【分析】（1）根据()y f x =是S -关联的定义逐个判断可得结果；（2）根据函数()y f x =是{2}-关联的定义求出()f x 在[2,4)上的解析式，将()f x 代入2()4f x <<可解得结果；（3）根据()()f x t f x t +-=，得()()()f x t x t f x x +-+=-，令()()g x f x x =-，得()()g x t g x +=34．已知定义域为的函数y f x =满足：①对0,x ∈+∞，恒有22f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.(1)求18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求出当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈时的函数解析式；(3)求出方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和.【答案】(1)0；35．f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（Ⅰ）求a、b的值，并写出切线l的方程；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）x﹣y﹣2=0（Ⅱ）（﹣，0）【详解】试题分析：（I）利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x ﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．解：（I）f'（x）=3x2+4ax+b，g'（x）=2x﹣3．由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．由此得，解得，所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．（II）由（I）得f（x）=x3﹣4x2+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x3﹣3x2+2x．依题意，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，故x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1﹣1）成立，得m＜0．由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2．对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0．则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0．所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．。

重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

(经典整理)函数的图像变换与抽象函数问题

函数的图象〖考纲要求〗能利用函数的性质与图象的对称性描绘简单函数的图象〖复习要求〗掌握用描点法和图象变换法描绘函数的草图，能利用函数图象解决有关问题. 〖复习建议〗记住基本初等函数的图象特征，能利用函数图象研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及一些特殊函数值等，掌握函数图象的三种基本变换：平移变换、对称变换、伸缩变换，要能运用数形结合的思想方法解决有关问题（讨论函数的性质、确定方程解的个数、解不等式……）〖双基回顾〗1、将函数)(x f y =的图象平移a 个单位，求所得的函数解析式： ⑴向右平移 ⑵向左平移 ⑶向上平移 ⑷向下平移2、函数)(x f y =的图象关于下列元素对称的图象对应函数解析式： ⑴x 轴 ⑵y 轴 ⑶原点 ⑷()y f x = ⑸()y f x = .一、基础知识训练1、函数y =)(x f 的图象如下，那么下列对应错误的是………………………（）23、函数112-+=x x y 图象的对称中心为.4、函数)(x f =log 2|ax －1|的图象关于直线x =2对称，那么实数a = .|x x )(x二、典型例题分析：1、函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于……………………（）对称 (A )x 轴 (B )y 轴 (C )直线x =a (D )直线y =a .2、方程2x +x 3=0的实数解的个数为………………………………………（） (A )0 (B )1 (C )2 (D )33、作下列函数的图象，并且根据图象说出其单调区间⑴1+=x x y ⑵y =x (|x |-2) ⑶y =|x -1|+|2x +3|4、讨论方程kx x =-|1|的实数根的个数.5、方程sinx=lgx 的实根个数是 .6、（二次函数问题）关于x 的方程：3x 2－5x ＋a =0的一根在(－2，0)内，另一根在(1，3)内，求实数a 的取值范围.7、（二次函数问题）函数)(x f =x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值为)(t g ，求)(t g 的表达式及其最值.抽象函数综合问题〖考纲要求〗理解函数及其有关概念.〖复习要求〗掌握函数的有关概念，会求简单函数的解析式，掌握函数解析式的一些形式变换，理解抽象函数的关系式的意义.〖复习建议〗掌握一次、二次函数解析式，会用待定系数法求之，会用适当的方法研究抽象函数.〖双基回顾〗求函数解析式的方法有：直接法、待定系数法、解方程组法、换元法、归纳猜想法…….一、知识点训练：1、f (x ＋1)=2x ＋1,则f (x )= .2、如果函数f (x )满足：f (x ＋y )=f (x )·f (y )，f (x )恒不为0，那么f (0)= .3、f (x )=2x ＋3,g (x ＋2)=f (x ),则g (x )=………………………………………………………………（）(A )2x ＋1 (B )2x －1 (C )2x －3 (D )2x ＋7 4、函数y =)(x g 的图象关于直线x =－1对称，且x ∈（0，＋∞）时，)(x g =x1，那么x∈（－∞，－2）时)(x g = .5、如果函数f (x )的定义域为R +且满足：f (xy )=f (x ) ＋f (y )，f (8)=3，那么f (2)= .6、已知⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=6)2(65)(x x f x x x f ，那么f （3）=……………………………………（）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2二、典型例题分析：1、 ⑴如果221)1(x x x x f +=-，求函数f (x )的表达式.⑵如果21)11(xxx f -=+，求函数f (x )的表达式.2、二次函数y =f (x )满足：f (x )=f (2－x )并且x >1时f (x )为增函数，如果a =f (0)，b =)41(log2f ，c =)(log3πf ，试比较a 、b 、c 的大小3、对一切实数x 、y ，关系式：f (x －y )=f (x )－(2x －y ＋1)y ，且1)0(=f ，求函数f (x )的表达式.4、定义在（0，+∞）上的增函数f （x ）满足：)()()(y f x f y xf -=⑴求证：f （1）=0⑵求证：f （x n ）=nf （x ）⑶如果f （3）=1，解不等式：2)51()(≥--x f x f4、设函数f （x ）的定义域为R 且满足x 1≠x 2则f （x 1）≠f （x 2），又对任何实数x 、y 总有：f (x ＋y )=f (x ) f (y )，证明：⑴f （0）=1 ⑵f （x ）＞0恒成立.5、对一切非0实数x 、y 满足：f (xy )=f (x ) ＋f (y ) ⑴求证：f (1)=f (－1)=0 ⑵判断f (x )的奇偶性⑶如果f (x )在(0,＋∞)上递增，解不等式0)21()(≤-+x f x f6、对任意实数x ，若y =f （x ）是y =2－x 2和y =x 这两个函数中的较小者，求函数y =f （x ）的解析式.函数的图像1、将x y 2=的图象………………………………………………………… ( )(A ) 先向上平行移动一个单位 (B ) 先向右平行移动一个单位 (C ) 先向左平行移动一个单位 (D ) 先向下平行移动一个单位再作关于直线y =x 对称的图象,可得到函数)1(2log+=x y 的图象.2、y =f (x +1)－1的图象可由函数y =f (x )的图象经过下述哪一种变换得到…………… ( )(A ) 向左再向上各平行移动一个单位式各样 (B ) 向左再向下各平行移动一个单位 (C ) 向右再向上各平行移动一个单位 (D ) 向右再向下各平行移动一个单位 3、函数y =f (x )的图象与一条直线x=a 有交点个数是………………………………… ( ) (A )至少有一个 (B ) 至多有一个 (C ) 必有一个 (D ) 有一个或两个 4、在同一直角坐标系中, 图象是同一条曲线的是…………………………………… ( ) (A ))()(1x fy x f y -==与 (B ))()(1y fx y f x -==与(C ) )()(1y fx x f y -==与 (D ) )()(y f x x f y ==与5、方程)10(22≠<=+a x a x的解的个数………………………………………（） (A )0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 无法确定 6、方程122=+yx与mx +ny=1在同一坐标系内的图象为………………………………（7、函数y =f (x )与函数y =f (a －x )的定义域都为R ，这两个函数图象之间…………………（） (A )关于y 轴对称 (B )关于直线x =a 对称 (C )关于直线x =2a 对称 (D ) 关于直线x =2a 对称8、函数y = f (x )的图象关于直线x =1对称，当x ≤1时，f (x ) =x 2+1，则x ＞1时，f (x )= .9、y =)(x f 满足)2()2(x f x f +=-，且)(x f =0有且只有17个根，则这些实数根的和为 .10、定义在R 上的奇函数y =f (x )满足当x <0时，f (x )=x ＋1，解不等式：f (x －1)<0。

高考数学常考压轴题及答案：抽象函数

高考数学常考压轴题及答案：抽象函数1500字高考数学常考的压轴题之一是关于抽象函数的题目。

抽象函数是高中数学中一个较为复杂的概念，但是在高考中，几乎每年都会出现与抽象函数相关的题目。

掌握了抽象函数的相关知识，对于解答这类问题将起到事半功倍的效果。

抽象函数是指以未知函数为自变量的函数。

在高考中，一般会给出具体的函数表达式，然后要求对其进行分析和求解。

下面是一道常见的抽象函数问题：已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $f(x)=2g(x)+1$ ，且 $g(x)$ 为奇函数，则函数$f(x)$ 的一个表达式是（）A. $f(x)=x+1$B. $f(x)=2x$C. $f(x)=x-2$D. $f(x)=3x-1$解析：根据已知条件 $f(x)=2g(x)+1$ ，我们可以得到 $g(x)=\\frac{f(x)-1}{2}$ 。

由于 $g(x)$ 是奇函数，即 $g(-x)=-g(x)$ ，代入 $g(x)$ 的表达式可以得到 $\\frac{f(-x)-1}{2}=-\\frac{f(x)-1}{2}$ 。

将表达式化简可得 $f(-x)=-f(x)$ ，即函数 $f(x)$ 为奇函数。

根据题目所给选项，只有选项 A 和 C 是奇函数，可以进行进一步的判断。

将选项 A 带入到原式中，得到 $f(x)=x+1$ ，不满足已知条件，所以选项 A 不是正确的答案。

将选项C 带入到原式中，得到$f(x)=x-2$ ，满足已知条件，所以选项C 是正确的答案。

答案：C另外，还有一类与抽象函数相关的常考压轴题是根据已知条件求解未知函数表达式的题目。

下面是一道例题：已知函数 $f(x)$ 满足 $f(3x-2)=5-x$ ，求函数 $f(x)$ 的表达式。

解析：由已知条件得到 $f(3x-2)=5-x$ ，我们可以发现，当自变量取值为$x=\\frac{2}{3}$ 时，整个函数的表达式会发生变化。

因此，我们可以令 $3x-2=\\frac{2}{3}$ ，求解出 $x$ 的值为 $x=\\frac{8}{9}$ 。

抽象函数与不等式复习题

抽象函数与不等式复习题抽象函数与不等式复习题在数学中，抽象函数和不等式是我们经常遇到的两个重要概念。

抽象函数是一种将输入映射到输出的规则，而不等式则描述了数值之间的关系。

在这篇文章中，我们将通过一些复习题来巩固这两个概念的理解。

题目一：抽象函数考虑以下抽象函数定义：对于任意实数x，函数f(x)定义如下：f(x) = 2x + 3，当x>0时f(x) = x^2，当x≤0时1. 计算f(2)的值。

2. 计算f(-1)的值。

3. 计算f(0)的值。

解答：1. 当x>0时，根据函数定义，f(2) = 2(2) + 3 = 7。

2. 当x≤0时，根据函数定义，f(-1) = (-1)^2 = 1。

3. 当x≤0时，根据函数定义，f(0) = 0^2 = 0。

题目二：不等式考虑以下不等式：2x + 5 > 101. 求解这个不等式，得到x的取值范围。

2. 将不等式改写为等价形式。

解答：1. 首先，我们将不等式转化为等价形式：2x > 10 - 5，即2x > 5。

接下来，我们将两边都除以2，得到x >2.5。

因此，不等式的解集为{x | x > 2.5}，即x的取值范围为大于2.5的实数。

2. 将不等式改写为等价形式：2x - 5 > 0。

题目三：复合函数和不等式考虑函数g(x) = 3x + 2和h(x) = 2x - 1，以及以下不等式：g(h(x)) > 51. 将g(h(x))展开为复合函数形式。

2. 求解这个不等式，得到x的取值范围。

解答：1. 将g(h(x))展开为复合函数形式：g(h(x)) = g(2x - 1) = 3(2x - 1) + 2 = 6x - 1 +2 = 6x + 1。

2. 求解不等式6x + 1 > 5，得到x > 2/3。

因此，不等式的解集为{x | x > 2/3}，即x的取值范围为大于2/3的实数。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。

必修一数学抽象函数习题精选含答案

抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。

若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。

故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。

2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。

分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。

三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。

例谈高中数学中的抽象函数问题

高中中。？擞·７—■ｌ
教学参谋
解法探究
２０１８年３月
四、抽象函数与对称性
周期
例５（１）若函数ｙ）满足厂（３慨）３），则函数，，）的图像关于直线— — 对称．
（２）若函数Ｙ＿厂（）满足厂（＋３）：＿厂（５一），则函数ｙｉ厂（）的图像关于点— — 中心对称．
例７已知定义在Ｒ上的函数，，）满足条俐卅÷ ）
＝），且函数ｙ一÷）为奇函数，给出以下四个命题：
（１）函数ｙ＝ｆ（ｘ）为周期函数；
（２）函数），）的图像关于点 ÷，０）对称；
（３）函数，，）为Ｒ上的偶函数；（４）函数，，）为Ｒ上的单调函数．其中真命题的序号为— ——．
说明：一般地，（１）若函数ｙ＝ｆ（ｘ）对于定义域内的任一自变量都有，（叶）ｂ— ），则函数ｙ）的图像关于
六、通过函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性等性质综合解答抽象函数中的不等式及其他综合应用问题
）脚
）＜１．
５￣ｆ（ｘ。）＞０，：）。），因此函数ｙ）在Ｒ上为减函数．
说明：这类问题的难点是第（３）问，关键是构造：＝
）整体作为，，）中自变量，它的函数值属于，，）的定（ｚ－），从而巧妙地得到衾碧ｚ ·）＜ｌ（厂（）＞０），
当ｘ＞０时，由题意得）＜ｌ；Ｎｘ＝０时，由（１）０）＝１；当＜０时）∈（０，））１＞Ｌ
的定义域
综上所得， ∈Ｒ时，恒有厂（）＞０成立．

抽象函数-题型大全(例题-含问题详解)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比拟抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这局部知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法与意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性与变形能力。

例1： ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,如此1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x xx x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由条件，定出关系式中的未知系数。

例3． ()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，如此22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比拟系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

高三复习练习6抽象函数

高三复习练习6：抽象函数常见题型及解法一．抽象函数的定义域问题1.已知函数)(2x f 的定义域是[1，2]，求)(x f 的定义域．2.已知函数)(x f 的定义域是[－1，2]，求函数)]3([log 21x f -的定义域．二．抽象函数的求值问题3．已知定义域为R +的函数)(x f ，同时满足下列条件：①)2(f = 1，)6(f =51；②)(y x f ⋅=)(x f ＋)(y f ，求)3(f 、)9(f 的值．4.若奇函数()()f x x R ∈，满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f 等于（）A ．0B ．1C ．12-D ．12三．抽象函数的解析式问题5. 设对满足 x≠0，x≠1的所有实数 x ，函数f (x) 满足f (x) +f (xx 1-) = 1 + x ，求f (x) 的解析式．四．抽象函数的单调性问题6 设f (x) 定义于实数集上，当x ＞0时，f (x)＞1 ，且对于任意实数x 、y ，有f (x + y) =f (x) ·f (y)，求证：f (x) 在R 上为增函数．7 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m ，n ，总有()f m n +=()f m ·()f n ，且当x ＞0时，0＜()f x ＜1．判断()f x 的单调性；五．抽象函数的奇偶性问题8已知函数f (x) (x ∈R ，x≠0）对任意不等于零实数x 1、x 2 都有f (x 1·x 2) =f (x 1) +f (x 2)，试判断函数f (x) 的奇偶性9.设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时，()0f x <。

判断f(x)的奇偶性，并加以证明；练习：1.已知x,y +∈R 时,f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时f(x)>0,求证:f(x)在+R 上为增函数.。

抽象函数及应用13种常考题型总结(原卷版)

抽象函数及应用13种常考题型总结题型1抽象函数的定义域问题题型2抽象函数的值域问题题型3求抽象函数的值题型4求抽象函数的解析式题型5抽象函数的奇偶性问题题型6抽象函数的单调性问题题型7抽象函数周期性问题题型8抽象函数的对称性问题题型9解抽象不等式题型10抽象函数比较大小题型11抽象函数的最值问题题型12抽象函数的零点问题题型13双函数混合型1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2.抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用()f x 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。

在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。

抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.3.“赋值法”求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。

注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二层次赋值：若题中有条件0f x =t （），则再令字母取0x .（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.4.“赋值法”求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。

5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到()f x 与()f x -的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留()f x 与()f x -的关系。

高中高考数学专题：抽象函数经典题型大全(含答案和解析)

抽象函数一、求表达式方法 (2)1.换元法 (2)2.拼凑法 (2)3.待定系数法 (2)4.利用函数性质法 (3)5.方程组法 (3)5.赋值法 (3)二、抽象函数常见考点解法综述 (5)1.定义域问题 (5)2.求值问题 (5)3.值域问题 (5)4.奇偶性问题 (6)5单调性问题 (6)6.对称性问题 (7)7.求参数的取值范围 (7)8.解不定式 (7)9.周期问题 (7)三、抽象函数五类题型及解法 (9)1.线性函数型抽象函数 (9)2.指数函数型抽象函数 (10)3.对数函数型抽象函数 (11)4.幂函数型抽象函数 (12)5.三角函数型抽象函数 (13)四、巩固练习 (15)抽象函数问题综述-----含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式方法1.换元法例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1ux u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________.解：设t＋1＝t －1，x ＝(t －1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．2.拼凑法在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例1：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()((3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________. 解：＋1)＝x ＋2＝＋1)2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．3.待定系数法先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。