高数第九章(2)偏微分
华南理工大学高数答案第9章
第九章 曲线积分与曲面积分作业13 对弧长的曲线积分1．计算d Lx s ⎰，其中L 为直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界．解：L 可以分解为[]1:,1,0,1L y x y x '==∈及[]22:,2,0,1L y x y x x '==∈1211d d d LL L x s x s x s x x x x =+=+⎰⎰⎰⎰⎰()()113222001121d 1414883212x x x x =++=+⋅+=+2．4433d L x y s ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰，其中L 为星形线33cos ,sin x a t y a t = =在第一象限内的弧π02t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭．解：L 为33cos ,sin ,0,,2x a t y a t t π⎡⎤= =∈⎢⎥⎣⎦223cos sin ,3sin cos ,3sin cos dx dya t t a t t ds a t tdt dt dt=-== 原式()4722442233031cossin 3sin cos 1sin 2sin 222a t t a t tdt a t tdt ππ⎛⎫=+⋅=- ⎪⎝⎭⎰⎰()7772223333003311cos 2cos 2cos 2cos 2883a t d t a t t a ππ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰ 3．计算d xyz s Γ⎰，其中Γ折线ABC ，这里A ，B ，C 依次为点)3,4,1(),3,2,1(),0,0,0(．解：[]:,,2,3,0,1,123x y zAB x t y t z t t ds =====∈= []:1,3,,2,4,BC x z y t t ds dt ===∈=[]:,,4,3,0,1,143x y zCA x t y t z t t ds =====∈=142d d d 231318ABBCxyz s xyz s xyz s t t t t dt Γ=+=⋅⋅+⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰4．()22d xy z s Γ+⎰，其中Γ为螺线cos ,sin ,x t t y t t z t = ==上相应于t 从0变到1的一段弧．解：Γ为[]cos ,sin ,,0,1,x t t y t t z t t ds = ==∈=()()112222201d (222x y z s t t t t Γ+=⋅=+-+⎰⎰⎰ ()()1532222122222253t t ⎡⎤=+-⋅+==⎢⎥⎣⎦5．计算22d Lx y s +⎰，其中L ：0,22>=+a ax y x ．解：将L 参数化，22cos ,sin cos ,cos ,cos ,x r t y r t r ar t r a t x a t ==⇒===cos sin ,,,sin 2,cos 2,22y a t t t dx a tdt dy a tdt ds adt ππ⎡⎤=∈-=-==⎢⎥⎣⎦222222222d 2cos 2sin 2Lx y s a tdt a ta ππππ-+====⎰⎰⎰6．计算22ed x y Ls +⎰，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分[]12:0,0,,;:sin,cos ,0,,;4L y x a ds dx L x a t y a t t ds adt π⎡⎤=∈===∈=⎢⎥⎣⎦2123:,,;L y xx ds L L LL ⎡=∈==++⎢⎣⎦从而22400ed 4aax yxax aLa s e dx e adt e e ππ+=+⋅+=++⎰⎰⎰112244a a a a aa a e e e e e ππ=-++-=+-作业14 对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1) ()()d d L x y x x y y ++-⎰，其中L 为按逆时针方向绕椭圆22221x y a b+=一周；解：L 为cos ,sin ,:02x a t y b t t π==→原式()()20sin cos sin cos cos sin a t a t b t b t a t b t dt π=-++-⎡⎤⎣⎦⎰ 22222200sin 2cos 2sin 2cos 20224a b ab t a b ab t t dt t ππ⎛⎫⎛⎫++=-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰(2)()d d 1d x x y y x y z Γ+++-⎰，其中Γ是从点()1,1,1到点()2,3,4的一段直线；解：Γ是111,1,12,13,:01213141x y z x t y t z t t ---===+=+=+→--- 原式()()()1121231121t t t t dt =+++++++-⎡⎤⎣⎦⎰()()1126146713t dt t t=+=+=⎰(3)d d d y x x y z Γ-+⎰，其中Γ是圆柱螺线2cos ,2sin , 3 x t y t z t ===从0t =到2πt =的一段弧；解：Γ是2cos ,2sin , 3 ,:02x t y t z t t π===→原式()()202sin 2sin 2cos 2cos 3t t t t dt π=--+⎡⎤⎣⎦⎰ ()()2200432dt t πππ=-+=-=-⎰(4) 计算曲线积分(12e )d (cos e )d y y Lxy x y x y +--⎰,其中L 为由点A (-1, 1)沿抛物线2y x =到点O (0, 0), 再沿x 轴到点B (2, 0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分2:,:10AO y x x =-→；:0,:02OB y x =→原式222221(12e )d (cos e )2dx (e )d x x xx x x x x x -=+--+⎰⎰2223221(12e 2cos 2e )d d x x x x x x x x -=+-++⎰⎰()222004211113sin e d de 21sin1sin11xx x x xx x xee ----=-+++=-++=+-⎰⎰2． 设力F 的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依y 轴的负方向，求质量为m 的质点沿抛物线21x y -=从点()1,0移动到点()0,1时，力F 所作的功．解：{}{}{}2220,10,,,,:1,:01F x x ds dx dy L x y y =-=-==-→()()11352240028123515L L y y W Fds x dy y y dy y ⎛⎫==-=--+=--+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰3．把对坐标的曲线积分()(),d ,d LP x y x Q x y y +⎰化成对弧长的曲线积分，其中L为：(1) 在xOy 平面内沿直线从点()0,0到点()1,1； (2) 沿抛物线2y x =从点()0,0到点()1,1．解：（1）:,:01,0;L y x x dx ds =→>==()()()(),,,d ,d ,,d L L P x x Q x x P x y x Q x y y P x x Q x x x +⎡⎤+=+=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（2）2:,:01,0;L y x x dx ds =→>=()()()()22,2,,d ,d ,2,d L L P x x xQ x x P x y x Q x y y P x x xQ x x x +⎡⎤⎡⎤+=+=⎣⎦⎰⎰⎰作业15 格林公式及其应用1．填空题(1) 设L 是三顶点(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向边界,(24)d (536)d Lx y x y x y -+++-=⎰12 ．(2) 设曲线L 是以)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--D C B A 为顶点的正方形边界，d d L x yx y ++⎰不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可导的点_．（3）相应于曲线积分(,,)d (,,)d (,,)d LP x y z x Q x y z y R x y z z++⎰的第一型的曲线积分是⎰． 其中L 为从点(1, 1 ,1)到点(1, 2, 3)的直线段． 2．计算33(e sin )d (ecos )d x xLI y y x y x y =-++⎰,其中L 是沿半圆周x =从点),0(a A -到点),0(a B 的弧．解：L 加上:0,:BA x x a a =→-构成区域边界的负向()3322(e sin )d (e cos )d 3cos axxLDaI y y x y x y x y d ydy σ-=-++=-+-⎰⎰⎰⎰34230233cos 2sin 4a aaa d r dr ydy a πππθ-=-+=-+⎰⎰⎰v3．计算e 31d e 33d xy xy Ly x y x x x y y ⎡⎤⎡⎤+-+++-+⎣⎦⎣⎦⎰,其中L 为椭圆 22221x y a b+=正向一周． 解：原式()()e 33e 31xy xyD x x y y x y dxdy x y ⎡⎤∂∂=+-+-+-+⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰ 44Ddxdy ab π==⎰⎰4．计算曲线积分[]()sin d ()cos πd ,LI f x y x f x y x y '=+-⎰其中)(x f '为连续函数，L 是沿圆周222(1)(π)1πx y -+-=+按逆时针方向由点(2,2π)A 到点)0,0(O 的一段弧．解：令1:,:02L y x x π=→ 则，原式()[]111π()sin d ()cos πd L L L L DI dxdy f x y x f x y x y +'=-=--+-⎰⎰⎰⎰⎰()222π1()sin ()cos ππd 2f x x f x x x x ππππ'⎡⎤=-⋅+-+-⎣⎦⎰ ()()222422223π1()sin ππ1222222x f x x ππππππππ⎡⎤=-⋅+--=-⋅++=-⎢⎥⎣⎦5．计算22d d L x y y xx y -+⎰,其中L 为（1）圆周()()22111x y -+-=（按反时针方向）；解：()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭++，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式0= （2）闭曲线1x y +=（按反时针方向）．解：()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭++，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周220.01x y +=（1L 也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得， 原式()1122d d d d 1001120.01L L Dx y y xx y y xdxdy x y π--===+=+⎰⎰⎰⎰ 6．证明下列曲线积分在xOy 平面内与路径无关,并计算积分值： （1）()()(),0,0e cos d sin d a b x y x y y -⎰；解：由于()()e sin e sin e cos x xx y y y x y∂∂-=-=∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内与路径无关，沿折线()()()0,00,,b a b →→积分即可， 原式()()0sin e cos d cos 11cos cos 1bax a ay dy b x b e b e b =-+=-+-=-⎰⎰ （2）()()()()2,14231,023d 4d xy yx x xy y -++-⎰；解：由于()()233442423x xy x y xy y x y∂∂-=-=-+∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内与路径无关，沿直线10,1,:122110x y y x x --==-→--积分也可， 原式=()()()24321211341d x x x x x x x ⎡⎤---++--⎣⎦⎰()()243213235141d x x x x x ⎡⎤=-+----⎣⎦⎰()()2543213115x x x x x ⎡⎤=-+----=⎣⎦ （3）()()()()π,20,0ecos d e sin d yy x m x x my y -+-⎰．解：由于()()e sin e cos e cos y y y x my x x m x y∂∂-==-∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内与路径无关，沿折线()()()0,0,0,2ππ→→积分即可，原式()()20cos e sin d y ex m dx my y ππ=-+-⎰⎰()2200sin 2my x mx π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2m m π=--7．设()f x 在(),-∞+∞上具有连续导数，计算()()2221d 1d L y f xy x x y f xy y y y +⎡⎤+-⎣⎦⎰， 其中L 为从点23,3⎛⎫ ⎪⎝⎭到点()1,2的直线段．解：由于()()()()2222111y f xy x y f xy f xy xyf xy x y y y y ⎡⎤+⎧⎫∂∂'⎡⎤-=+-=⎨⎬⎢⎥⎣⎦∂∂⎩⎭⎣⎦在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线12:2,,:31L xy y x x==→积分即可，原式()()()()2122232421122d d 22x f f x x x x x x x⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦+⎰13xdx =⎰1232x ⎛⎫= ⎪⎝⎭1942-==- 8．验证下列()(),d ,d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）()()e e d e 1e d x y x yx y x x y ⎡⎤⎡⎤+-+-+⎣⎦⎣⎦；解：由于()()e 1e e e x y x yx y x e e x y x y∂∂⎡⎤⎡⎤-+=-=+-⎣⎦⎣⎦∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内是某一函数的全微分，设这个函数为(),u x y ， 则()(),e 1e ,e e x y x y u u u u du dx dy x x y x y y x∂∂∂∂=+=-+=+-∂∂∂∂ 从而()()()e 1e e 1e x y x yu x dy y x g x ⎡⎤=-+=-++⎣⎦⎰()()()e e e e =e x y x y x ux y y g x g x x x∂''=+-=-+⇒∂ ()=e x x x x x g x xd xe e dx xe e c =-=-+⎰⎰，()()1e 1e x y u x y x c =+--++（2）()()223238d 812e d yx y xy x x x y y y ++++；解：由于()()32222812e 31638y x x y y x xy x y xy x y∂∂++=+=+∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内是某一函数的全微分，设这个函数为(),u x y ， 则原式3223224d 412e d yydx y x x dy x dy y y =++++()3322224d 412de yydx x dy y x x dy d y =++++⎰()()()32241212e d yyd yx d x y d ye y =++-⎰()32241212e y y d yxx y ye =++-可取32241212e yyu yx x y ye =++-（3）()()222cos cos d 2sin sin d x y y x x y x x y y ++-解：可取折线()()()0,0,0,x x y →→作曲线积分()()22202d 2sin sin d sin cos yx u x x y x x y y y x x y =+-=+⎰⎰9．设有一变力在坐标轴上的投影为2,28X x y Y xy =+=-,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：{}2,28F x y xy =+-，质点在此场内任意曲线L 移动时，场力所作的功为()()228Lw x y dx xy dy =++-⎰由于()2282xy y x y x y∂∂⎡⎤-==+⎣⎦∂∂在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16 对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分： (1)()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中∑为锥面z =被柱面222x y ax +=所截得的有限部分； 解：∑为x y z z z ===dS ==，:02cos ,22D r a ππθθ≤≤-≤≤原式2cos 2302d d cos a Dzx S x y d r dr πθπθθ∑-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()42242422cos cos 12sin sin sin 4a d d πππθθθθθθ--+=⎰⎰ （2）()222d xy z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z ax ++=．解：∑为两块y y x a x x =±==dS ==，:0,02D r a θπ≤≤≤≤原式12222d 2d Da a ax S ax S ∑∑+=+=⎰⎰⎰⎰22Da a +2334aDaad πθ=⎰223340=888a d a r aa a πππ--=-=2．计算d y S ∑⎰⎰，∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x截出的有限部分．解：∑为两块4,1,1x y z x y z z =--=-=-，dS =，:01,02D r θπ≤≤≤≤原式D=13220sin 03ar d r dr ππθθθ==⋅=⎰ （或由()(),,,,x y z x y z ∈∑⇒-∈∑，而积分微元反号推出）3．求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积． 解：∑为两块x y z z z ===dS ==，:0,02D r a θπ≤≤≤≤原式12d 2DS dS ∑∑=+=⎰⎰⎰⎰cos 22=2a ad πθπθ-⎰⎰()()cos 222202=2sin 41242a ad a a a d a a ππθππθθθπ-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰4．设圆锥面z =()a h 为圆锥面的底面半径，为高,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为()00,0,zDDzdS ∑==⎰⎰200ad r dr πθ==⎰⎰DDdS dxdy ∑==⎰⎰ad rdr πθπ==⎰⎰023h z ==，故重点坐标为20,0,3h ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．求抛物面壳()2212z x y =+()01z ≤≤的质量，此壳的密度按规律z ρ=而变更． 解：(2212Dm dS x y ρ∑==+=⎰⎰⎰⎰2012d r π=⎰()()22532200222(1112253515t t t πππ⎛⎫⎡⎤=+-=+-+=- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰作业17 对坐标的曲面积分1．d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：:01,03,cos 0,0yz y z x D y z x x α=≤≤≤≤>==原式=d d d d d d 0d d yzzxD D z x y x y z y z x y z z x ∑∑∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13100032d 262yz D y z dy π====⎰2．计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰，其中∑为旋转抛物面221()2z x y =+下侧介于平面0z =及2z =之间的部分． 解：22221(),,,:4;2x y xy z x y z x z y D x y =+==+≤:02,yz x D z y =≤≤≤原式=1122()d d ()d d d d zx y z z x y z z x y ∑∑∑+++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰((22221d d d d ()d d 2yz yz zxD D D z y z z y z x y z x =-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222300112d ()d d 222yzzx D D y z x y z x dz d r dr πθ=++=+⎰⎰⎰⎰⎰224232000222824z dz r dr z πππππ=+=+⋅=⎰⎰3．计算d d d d d d xy y z yz z x xz x y ∑++⎰⎰其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。
偏微分方程重点知识点总结
偏微分方程重点知识点总结一、偏微分方程的基本概念1. 偏导数偏微分方程是指含有多个自变量的函数的偏导数的方程。
在一元函数中，我们只需要考虑函数关于一个自变量的变化率，而在多元函数中，我们需要考虑函数关于每一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念。
假设有一个函数f(x, y)，它对x的偏导数记作∂f/∂x，对y的偏导数记作∂f/∂y。
分别表示函数f关于x和y的变化率。
2. 偏微分方程的定义偏微分方程是一类包含多个自变量的偏导数的方程。
它通常表示物理、化学或工程问题中的一些基本规律。
偏微分方程通常可以用数学语言描述为F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2,…) = 0其中u是未知函数，x和y是自变量，F是已知函数。
二、偏微分方程的分类1. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程齐次偏微分方程是指方程中不含有常数项或只含有未知函数及其偏导数项的方程，非齐次偏微分方程是指方程中含有常数项或者其他函数的项的方程。
2. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程线性偏微分方程是指偏微分方程中未知函数及其各阶偏导数只含一次且不含未知函数的乘积的方程，非线性偏微分方程是指未知函数及其各阶偏导数含有未知函数的乘积的方程。
3. 定解问题定解问题是指在偏微分方程中，给出一些附加条件，使得可以从整个解的集合中找到符合这些条件的特定解。
定解问题通常包括边界条件和初始条件。
三、偏微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是对于一些特定形式的偏微分方程，可以通过假设解具有特定的形式来进行求解。
例如，对于一些可以分离变量的方程，我们可以假设解为u(x, y) = X(x)Y(y)，然后将方程进行变形，从而可以将偏微分方程化简为两个常微分方程，然后对这两个常微分方程分别求解。
2. 特征线法对于二阶线性偏微分方程，可以通过引入特征线的方法进行求解。
特征线方法可以将二阶偏微分方程化为两个一阶偏微分方程，然后对这两个一阶偏微分方程进行分别求解。
高数 第九章-初等积分法(1-2节)
v = dx dt
（5）
加速度为
根据牛顿第二定律 F = ma ,可以列出方程
a
=
d2x dt 2
.
（6）
m d 2 x = −k dx + mg ,
dt 2
dt
其中 k 为一正比例常数,右端第一项的负号表示阻力与速度 dx 的方向相反. dt
我们现在只考虑 k = 0 的情形,也就是说物体是在下落过程中没有阻力.（7）式变成
程过点 (x0 , y0 ) 的那条积分曲线.
二阶微分方程的初值问题,记为
y′′ = f (x, y, y′) = y(x0 ) y= 0 , y′(x0 )
.
y0′
其几何意义是：求微分方程的通过点 (x0 , y0 ) 且在该点处的切线斜率为 y0′ 的那条积分曲线.
微分方程的阶数，其通解中所含独立任意常数的个数，以及初始条件的个数，这三个数一定相同.
dx
dx
分离变量,得
1 du = 1 dx , f (u) − u x
介质的温度成正比.例如，设物体在任一时刻 t 的温度为 T (t) ，其起始温度为 T (0) = T0 ，放在温度
为 T1 的空气中冷却，则其冷却速度为 −
dT dt
，于是由正比关系易得
− dT dt
=
k (T
− T1) ,
其中 k 为比例常数.若测得起始温度为
（1）
T (0) = 150C ，
（2）
将初始条件代入 y 与 y′′ 得方程组
2 2
C1
+
2 2
C2
= 1
，
2 2
C1
−
2 2
C2
高等数学中的偏微分方程
高等数学中的偏微分方程在高等数学领域中，偏微分方程是一个重要的研究对象。
它是通过对函数的偏导数进行求解得到的方程，常常被用来描述自然界中的一些现象和非线性动态系统。
本文将介绍偏微分方程的基本概念、分类、解的方法以及在实际应用中的一些例子。
一、基本概念偏微分方程是包含多个未知函数的方程，其中函数的偏导数是方程的基本构成部分。
偏微分方程通常用来描述物理、生物、经济等领域中的问题，在不同的领域中有着不同的应用。
二、分类根据方程中出现的未知函数的个数和偏导数的阶数，偏微分方程可以分为几个主要类型：椭圆型偏微分方程、双曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程。
具体的分类方法可以根据方程的形式和性质进行。
1. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数均不为零，通常用来描述稳态问题和静电场分布等现象。
2. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数满足双曲性条件，通常用来描述波动、传播等动态问题。
3. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数满足抛物性条件，通常用来描述热传导和扩散等问题。
三、解的方法求解偏微分方程通常是一个复杂的问题，不同类型的方程需要采用不同的方法进行求解。
下面介绍几种常用的解的方法。
1. 分离变量法分离变量法适用于一些特殊的偏微分方程，可以将多元函数的偏导数分离为几个单变量函数的常微分方程，通过求解这些常微分方程得到原方程的解。
2. 特征线法特征线法适用于一些双曲型偏微分方程，可以通过选取合适的坐标系和变换将方程化为常微分方程，进而求解得到解的形式。
3. 变换方法变换方法是一种常用的解偏微分方程的技巧，可以通过适当的变量代换将原方程转化为更简单的形式，然后进一步求解。
四、实际应用偏微分方程在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 热传导方程热传导方程是抛物型偏微分方程的一种，在描述热传导过程中起着重要的作用。
偏微分讲义
初始条件：若PDE含时间变量 ，一般需给出 u 在超 平面 t t0 的条件 u |t t0 u x, t0 ，称为初始条件．
定解问题：泛定方程+定解条件 边值问题；初值问题（Cauchy问题或无边界问题）； 混合问题（初边值问题）．
§4 数值求解微分方程
如果能找到一个（或一族）具有所要求阶连续导数 的解析函数，将它代入微分方程（组）中，恰好使得 方程（组）的所有条件都得到满足，我们就将它称为 这个方程（组）的解析解（也称古典解）．寻找解析 解的过程称为求解微分方程． 适定：存在性；唯一性；稳定性． 人们往往只关心某个定义范围内，对应某些特定的 自变量的解的取值或是近似值．这样一组数值称为这 个微分方程在该范围内的数值解，寻找数值解的过程 称为数值求解微分方程．
到显式Euler公式:
un1 un hf (tn , un ) (n 0,1,2,)
b
a
f ( ) f ( x)dx (b a) f (a) (b a) 2 (a, b) 2
有限差分方法是一种微分方法，自上世纪五 十年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰， 方法简单，直观．虽然其与变分法相结合所形成 的有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特 点在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一 种数值方法．
§2 偏微分方程分类 齐次、非齐次；定常、非定常； 线性、非线性；方程、方程组．
以二阶拟线性偏微分方程为例，简单回顾 一下偏微分方程的分类．
n 2u u 1 aij x x bi x cu f i, j i 1 i j i n
u 其中 aij , bi , c, f 可以与 xi , u , 有关． xi
椭圆型： 0 抛物型： 0 双曲型： 0
高等数学第9章偏导数全微分
x0
x
则称此极限为函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 或
y y0
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
例如，极限(1)可以表示为
fx (x0 ,
y0 )
lim
x0
f (x0
x, y0 ) x
解
f ( x,1) x 2 ,
df ( x,1) f x ( x,1) dx 2x;
f x (2,1) 4
(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
例5
xy
设
f
( x,
y)
x2
y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
解 当( x, y) (0,0)时,
A ( x x )( y y ) xy
y x x y x y
ΔA称为面积函数A=xy的全增量， 由两局部组成：
y x xy Δx，Δy的线性局部
x y 当(Δx,Δy) →(0,0)时，是一个比
( x )2 ( y )2 高阶无穷小。
一、全微分
定义 设函数z f ( x, y )在点(x，y)的某个邻域内 有定义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内， 如果函 数 z f ( x, y )在点（x，y）的全增量
3 )( x 2 2
y2
5
z2 )2
2x
1 r3
3x2 r5
.
由于函数关于自变量的对称性，所以
高等数学中好听的名词解释
高等数学中好听的名词解释数学是一门抽象而深奥的学科，其中有许多令人着迷的名词。
在高等数学中，这些名词不仅具有美妙的音韵，更蕴含着深刻的数学思想。
本文将介绍一些高等数学中的好听的名词，并尝试解释它们所代表的数学意义。
1. 极限 (Limit)极限是高等数学中最为核心和重要的概念之一。
如果把数列或函数看作一个动态的过程，那么极限就是描述这个过程趋向于的某个固定值。
极限的概念不仅在微积分中起着重要作用，也在其他数学分支中发挥着巨大影响。
它既是一种极具凝练和精确性的概念，又是多元数学思想的基础。
2. 微分 (Differential)微分是微积分中的基本思想之一，用于描述函数在某一点上的变化率。
微分的概念源于对自然界和现实生活中的变化过程的观察和研究。
通过微分，我们可以获得函数的斜率、速度以及其他与变化相关的信息。
微分不仅涉及到导数的计算，还包含了对变化与极小量的研究。
3. 级数 (Series)级数是数学中一种迷人的数列形式。
级数由一系列的项组成，每一项都与前一项有某种特定关系。
级数的和是其中所有项的代数和。
级数在实际问题中的应用非常广泛，包括金融计算、物理领域和工程学等。
通过对级数的研究，我们可以揭示一些复杂现象中的规律和性质。
4. 偏微分方程 (Partial Differential Equation)偏微分方程是描述多元函数之间关系的方程，其中涉及到函数的多个变量及其各阶偏导数。
偏微分方程在数学和物理科学中有着广泛的应用，能够描述许多自然界中的现象，如波动、传热和量子力学等。
解析偏微分方程是一个具有挑战性的问题，对它们的理解和求解有助于认识到许多自然界的基本规律。
5. 不等式 (Inequality)不等式是数学中刻画数值大小关系的重要工具。
与等式不同，不等式描述了数值之间的相对大小情况。
通过不等式，我们可以推导出数学中的许多重要不等关系，如三角不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
不等式在实际问题中的应用广泛，可以帮助我们解决最优化问题，比如优化生产成本和资源分配等。
简单偏微分的计算
简单偏微分的计算
偏微分是微积分中的一个概念，用于描述函数在某一点处对一个或多个变量的变化率。
偏微分的计算公式为：
对于一个函数f(x, y)，其关于x的偏微分为∂f∂x，关于y的偏微分为∂f∂y。
对于多元函数f(x, y)，其全微分为df = ∂f∂xdx + ∂f∂ydy。
偏微分的基本公式为f=G/(G+G动)，其中G和G动分别为给定的两个函数。
对于包含未知函数的偏导数（或偏微分）的方程，全微分符合叠加原理，即全微分等于各偏微分之和。
偏微分也可以作为偏增量的近似，例如f(x+△x, y, z)-f(x, y, z)≈∂f∂x△x。
在计算偏微分时，需要注意以下几点：
确定函数的定义域和自变量的取值范围，确保在计算过程中不会出现未定义的情况。
掌握偏微分的基本公式和计算方法，熟悉常见的函数形式和它们的偏导数。
对于复杂的函数形式或多个自变量的情况，需要仔细分析并逐步计算每个偏导数。
注意计算过程中的符号和公式使用，确保结果的准确性和规范性。
通过以上步骤，可以逐步计算出给定函数的偏微分，并进一步求解相关问题。
偏微分du
偏微分偏微分是数学中的一个概念，它涉及到函数的局部变化率。
在多变量函数中，偏微分可以用来描述函数在某一点处沿某一方向的变化率。
首先，我们需要理解什么是偏微分。
简单来说，偏微分就是多元函数在某点处对某一自变量的导数。
假设我们有一个多元函数f(x, y, z)，我们想要找到它在某一点处的偏微分，也就是它对x、y、z中某一个变量的导数。
这个导数描述了函数在这一点处沿某一方向的变化率。
在数学上，偏微分的定义如下：假设f是一个多元函数，它在点(x0, y0, z0)处可微，那么f在点(x0, y0, z0)处对某一自变量的偏微分就是它在这一点处对该自变量求导的结果。
偏微分的应用非常广泛，它可以用于解决各种实际问题。
例如，在物理学中，偏微分可以用于描述物理量的变化规律；在经济学中，偏微分可以用于建立数学模型，预测市场变化趋势；在工程学中，偏微分可以用于优化设计，提高产品性能。
偏微分有很多重要的性质和定理。
例如，高斯公式和格林公式是偏微分中的两个重要公式，它们描述了多元函数在区域上的积分与其偏微分之间的关系。
这些公式在解决一些复杂的数学问题时非常有用。
除了上述的偏微分概念、应用和定理外，还有一些与偏微分相关的概念和技巧，例如方向导数、梯度、Hessian矩阵等。
这些概念和技巧可以进一步扩展和深化我们对偏微分的理解。
总的来说，偏微分是一个非常重要的数学工具，它可以用于解决各种实际问题。
通过对偏微分的深入学习和研究，我们可以更好地理解函数的局部变化规律，提高我们的数学素养和解决实际问题的能力。
同时，偏微分也是连接数学与其他学科的重要桥梁，它可以帮助我们更好地理解和应用其他学科的知识。
因此，我们应该重视偏微分的学习和应用，不断提高自己的数学素养和能力。
偏微分的通俗理解
偏微分的通俗理解偏微分，顾名思义，是指在求导的过程中，只对某一个变量进行求导，而将其他变量视为常数。
它是微积分中的一个重要概念，被广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
在这篇文章中，我们将以通俗易懂的方式解释偏微分的含义和应用。
偏微分可以理解为对多元函数中的某个变量进行求导。
在解释偏微分之前，我们先来回顾一下导数的概念。
导数描述的是函数在某一点上的变化率，可以用来求函数的极值、判断函数的增减性等。
而偏微分则是将这个概念推广到多元函数中，以便我们更好地理解和分析多元函数的性质。
在多元函数中，每个变量都可以看作是函数的一个自变量。
而偏微分就是将这些自变量中的一个固定起来，将其余的自变量视为常数，然后对这个固定的自变量求导。
这样，我们就可以得到一个新的函数，这个函数描述的是原函数在某一点上对这个自变量的变化率。
举个例子来说明偏微分的概念。
假设有一个函数f(x, y)，我们想要求它对变量x的偏导数。
首先，我们将y固定起来，将其视为常数。
然后，对x求导，得到一个新的函数，表示f关于x的偏导数。
这个偏导数可以理解为在给定y值的情况下，函数f关于x的变化率。
偏微分在实际应用中有着广泛的用途。
在物理学中，很多物理量都是由多个变量决定的，例如速度、加速度等。
通过偏微分，我们可以得到这些物理量对某个变量的变化率，从而更好地理解和描述物理现象。
在工程学中，偏微分也起到了重要的作用。
例如，当我们设计一个机械系统时，需要对各个部件的运动进行分析。
通过偏微分，我们可以得到系统中各个部件的速度、加速度等信息，从而更好地优化设计。
在经济学中，偏微分也被广泛应用于边际分析。
边际分析是一种以偏微分为基础的经济学分析方法，用于研究经济变量之间的关系。
通过偏微分，我们可以得到某个经济变量对另一个经济变量的变化率，从而更好地理解经济现象和制定经济政策。
偏微分是微积分中的一个重要概念，用于描述多元函数中某个变量的变化率。
它在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
偏微分ppt
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常见的定解条件，可分为初始条件与边界条件。
1.3.1 初始条件
1.3.1 初始条件
1.3.1 初始条件
1.3.1 初始条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
1.3.2边界条件
5. 微小横振动，是指振动的幅度及弦在任意处切线的倾角都很 小。
1.2 三类经典方程的导出
1.2 热传导方程的导出
例 1.2.2 热传导方程
所谓热传导，就是物体内温度较高的点处的热量 向温度较低点处的流动。 热传导问题归结为求物体内部温度的分布规律。
1.2 热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源。 在Ω中任取一封闭曲面S。 以函数u(x,y,z,t)表示物体在t时刻M=M(x,y,z)处的温度。
偏微分方程
同济高数（第七版）--第九章
一：多元函数概念1.空间：R n 称为n 维空间。
2.邻域：),(000y x P 是二维空间（平面xoy ）上一个点，δ为某一正数，则与点P 0的距离小于δ的点R P y x P 2),,(∈全体，称为P 0的δ邻域。
记作),(0δP U ，即),(0δP U }|||{0δ<=P P P ，几何意义为，以点P 0为圆心，δ为半径的圆内所有点，当该领域不包括圆心P 0时，就称为为P 0的去心δ邻域，记为),(0δP U。
3.点与点集关系：（1）内点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，则),(y x P 为点集E 的一个内点。
证：有),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，假设),(y x P 不是点集E 的内点，此时假设),(y x P 是点集E 的外点，则对于),(y x P 的任意邻域)(P U 都不可能满足E P U ⊂)(，因为该邻域中至少有一点【例如：邻域中心),(y x P 】就不属于该点集，故),(y x P 不是点集E 的外点，若),(y x P 是点集E 的边界点，则P 的δ邻域),(δP U （无论δ多么小），都会使得该邻域有不属于点集E 的部分（除非0=δ），综合上述：),(y x P 既不是点集E 的外点，也不是边界点，所以),(y x P 是点集E 的内点，而此时能找到),(y x P 的某个邻域)(P U 满足题意。
（2）外点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得∅=⋂E P U )(，则),(y x P 为点集E 的一个外点。
证明从上，用反证法能得出结论。
（3）边界点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，),(y x P 的任意邻域)(P U ，使得⎩⎨⎧⊄∅≠⋂E P U E P U )()(，则),(y x P 为点集E 的一个边界点。
偏微分的计算公式文
偏微分的计算公式文偏微分的计算公式。
偏微分是微积分中的一个重要概念，它用来描述多元函数在某一点上的变化率。
在实际应用中，偏微分可以帮助我们理解和分析复杂的多变量函数，从而更好地理解和预测现实世界中的现象。
本文将介绍偏微分的计算公式，以及如何利用这些公式来求解偏微分。
偏微分的定义。
在介绍偏微分的计算公式之前，我们先来了解一下偏微分的定义。
偏微分是指在多元函数中，对其中的一个自变量进行微分，而将其他自变量视为常数的过程。
假设有一个二元函数f(x, y)，我们可以对其中的一个变量进行偏微分，如对x进行偏微分得到f_x，对y进行偏微分得到f_y。
这样，我们就可以得到在某一点上函数在x方向和y方向的变化率。
偏微分的计算公式。
偏微分的计算公式可以通过对多元函数进行求导来得到。
假设有一个n元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以对其中的一个变量进行偏微分。
以对x1进行偏微分为例，其计算公式如下：f_x1 = ∂f/∂x1。
其中，∂表示偏微分的符号，它表示在求导过程中将其他自变量视为常数。
通过这个公式，我们可以得到函数在x1方向上的变化率。
类似地，对其他自变量进行偏微分的计算公式如下：f_x2 = ∂f/∂x2。
...f_xn = ∂f/∂xn。
这些计算公式可以帮助我们求解多元函数在不同方向上的变化率，从而更好地理解函数的性质和行为。
偏微分的应用。
偏微分在实际应用中有着广泛的应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。
下面我们将介绍一些偏微分的应用案例，以帮助读者更好地理解偏微分的重要性和实用性。
1. 物理学中的应用。
在物理学中，偏微分常常用来描述物体的运动和变形。
例如，对于一个弹簧振子的运动，我们可以通过偏微分来描述其位置和速度随时间的变化。
这样，我们就可以更好地理解和预测弹簧振子的运动规律。
2. 工程学中的应用。
在工程学中，偏微分常常用来描述材料的变形和传热过程。
例如，对于一个热传导问题，我们可以通过偏微分来描述材料中温度随空间的变化。
偏微分概念
偏微分概念
嘿，朋友们！今天咱来聊聊偏微分这个神奇的玩意儿。
你说偏微分像不像一个神奇的魔法棒呀！它能把一个复杂的问题一点点地拆解开来，就好像我们拆礼物一样，一层一层地去发现里面的惊喜。
咱就拿个简单的例子来说吧，比如研究一个物体的温度变化。
这可不是随随便便就能搞清楚的事儿呢！这时候偏微分就派上大用场啦。
它能帮我们把温度这个整体的概念，按照不同的方向，比如长度呀、宽度呀，给拆分开来，单独去研究每个方向上的变化情况。
这多厉害呀！这不就跟咱过日子一样嘛，要把各种事情都安排得妥妥当当，不能眉毛胡子一把抓呀。
再想想，要是没有偏微分，那我们面对那些复杂得让人头疼的问题可咋办呀？就好比在黑暗中摸索，找不到方向。
但有了偏微分，就好像点亮了一盏明灯，让我们能看清前面的路。
你说偏微分是不是特别神奇？它能让我们从混乱中找到秩序，从复杂中理出头绪。
而且哦，它在好多领域都大显身手呢！比如物理学、工程学，那可都是离不开它的呀。
就像盖房子，偏微分就是那个帮我们设计蓝图的高手。
它能算出每一处结构的受力情况，让房子稳稳当当的。
这要是没有它，那房子还不得摇摇晃晃呀！
还有在研究流体的时候，偏微分也是功不可没呀！它能告诉我们流体怎么流动，哪里快哪里慢。
这多重要呀，不然那些管道呀、河流呀，不都得乱套啦！
偏微分就是这么一个厉害又有趣的东西。
它不是那种高高在上、遥不可及的理论，而是实实在在能帮我们解决问题的好帮手。
我们可得好好认识它、利用它，让它为我们的生活和工作带来更多的便利和惊喜。
所以呀，别小瞧了偏微分哦，它可是有着大能量的呢！。
偏微分的原理及应用
偏微分的原理及应用1. 什么是偏微分偏微分是微积分中的一个重要概念，它是对多元函数在某一变量上进行求导的过程。
与全微分不同，偏微分只对其中一个变量进行求导，而其他变量视为常数。
2. 偏微分的定义和表示方法偏微分可以根据变量的数量和变量的维度进行分类。
在二元函数中，对于变量x和y，它的偏微分可以表示为：∂f/∂x = lim(Δx->0) [f(x+Δx.y) - f(x,y)] / Δx同样地，对于变量y，偏微分可以表示为：∂f/∂y = lim(Δy->0) [f(x,y+Δy) - f(x,y)] / Δy在多元函数中，偏微分的定义和表示方法也类似，只是变量的数量更多。
3. 偏微分的应用3.1. 物理学中的应用偏微分在物理学中有广泛的应用。
例如，在热传导方程中，偏微分可以用来描述热量在空间中的变化情况。
在波动方程中，偏微分可以用来描述波动的传播和幅度变化。
在电磁学中，偏微分可以用来描述电场和磁场的分布情况。
3.2. 经济学中的应用偏微分在经济学中也有重要的应用。
例如，在生产函数中，偏微分可以用来描述生产要素对产出的影响程度，从而帮助经济学家做出相应的决策。
在边际效用理论中，偏微分可以用来描述边际效用的变化情况，从而帮助人们理解消费者的行为。
3.3. 图像处理中的应用偏微分在图像处理领域也有广泛的应用。
例如，在图像平滑处理中，偏微分可以用来减少图像中的噪声，提高图像的质量。
在边缘检测中，偏微分可以用来寻找图像中的边缘，从而帮助人们理解图像的结构。
4. 偏微分的数值计算方法由于偏微分方程的解析解往往难以获得，因此人们通常采用数值计算方法来求解偏微分方程。
常见的数值计算方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
4.1. 有限差分法有限差分法是一种基于差分近似的数值计算方法。
它将偏微分方程中的导数用差分近似来表示，然后通过求解代数方程组来获得数值解。
有限差分法的精度和稳定性较高，是求解偏微分方程的常用方法。
高数第九章
x 0 0 6 2 f (0 x , 0) f (0, 0) lim x 0 0, f x (0, 0) lim x 0 x 0 x x 03 y 0 6 2 f (0, 0 y ) f (0, 0) 0 y lim f y (0, 0) y 0 lim 0. y0 y y (4) lim f ( x , y )不存在, f ( x , y )在o(0,0)处不可微.
lim f ( x , y ) lim f ( x , y ), lim f ( x , y )不存在.
x0 y0 x0 y x3
x 0 y0
16
x3 y ,( x , y ) (0, 0) 6 2 例2 : 设 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0) (3)求 f x (0, 0), f y (0, 0); (4)问f ( x , y )在点o(0, 0)处是否可微？
y y0
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y 0 ) 利用定义 f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
5
●求抽象的复合函数的偏导数-----链式法则 z z f (u, v ), u (t ), v (t ) 同路相乘， dz 异路相加. f1 ( t ) f 2 ( t ). u v dt 单路全导, t t 叉路偏导. z f ( x, y, v ), v ( x, y ) z z f f v z f f v x y v f 2 f 3 v f 3 v y , . f1 ,, x y y v y x x v x
4
二、多元函数微分法
偏微分知识点总结
偏微分知识点总结一、偏微分的基本概念1. 多元函数在介绍偏微分之前，首先需要了解什么是多元函数。
多元函数是指自变量不仅仅是一个变量，而是多个变量的函数。
通常表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是多个自变量，f 是因变量。
多元函数在实际问题中有着广泛的应用，例如物理学中的位移函数、经济学中的生产函数、工程学中的效率函数等。
2. 偏导数当多元函数有两个或两个以上的自变量时，我们可以使用偏导数来描述多元函数在某一点沿着特定方向的变化率。
偏导数的定义如下：f(x, y) = x^2 + y^2∂f/∂x = 2x∂f/∂y = 2y其中∂f/∂x表示函数f在点(x, y)处关于x的偏导数，∂f/∂y表示函数f在点(x, y)处关于y 的偏导数。
偏导数的计算方法和普通导数类似，只是在计算时要将其他自变量视为常数。
3. 偏微分偏微分是多元函数的微分的一种特殊形式，它用来描述多元函数在某一点沿着特定方向的变化率。
偏微分的计算方法和偏导数类似，只是在计算时要指定沿着哪个方向进行微分。
偏微分的表示如下：∂f/∂x = lim(h→0) [f(x + h, y) - f(x, y)] / h∂f/∂y = lim(h→0) [f(x, y + h) - f(x, y)] / h其中∂f/∂x表示函数f在点(x, y)处沿x方向的偏微分，∂f/∂y表示函数f在点(x, y)处沿y 方向的偏微分。
二、偏微分的性质1. 对称性偏微分具有对称性，即∂f/∂x = ∂f/∂y和∂f/∂y = ∂f/∂x。
这意味着如果一个函数在某一点有偏微分，那么它在该点的另一个方向上也有偏微分，并且两者相等。
2. 连续性偏微分与函数的连续性有着密切的关系。
如果一个函数在某一点处偏微分存在且连续，那么该函数在该点处是可微的。
反之，如果一个函数在某一点处是可微的，那么它在该点处的偏微分一定存在并且连续。
偏微分四个基本公式
偏微分四个基本公式偏微分是一种重要的微积分分支，也被称为多元函数微分学。
其中涉及到许多公式，下面将针对偏微分的四个基本公式进行介绍，让大家更加深入地理解偏微分的概念和运用。
第一个公式是偏导数定义公式。
偏导数是指多元函数在一个指定点处，对某个独立变量的导数。
它的定义公式为：∂f/∂x = limΔx→0(f(x + Δx, y) - f(x, y)) / Δx其中，f(x,y)是多元函数，x是其中一个自变量，y是另一个自变量，∂f/∂x表示对x求偏导数，lim表示极限。
这个公式说明了偏导数的数学概念和求解方法。
第二个公式是高阶偏导数公式。
高阶偏导数是指多元函数对某个自变量求导数之后再对另一个自变量求导的结果，通常用∂²f / ∂x∂y 表示。
其公式如下：∂²f / ∂x² = limΔx→0(∂f/∂x(x + Δx, y) - ∂f/∂x(x, y)) / Δx∂²f / ∂y² = limΔy→0(∂f/∂y(x, y + Δy) - ∂f/∂y(x, y)) / Δy∂²f / ∂x∂y = limΔx→0Δy→0(f(x + Δx, y + Δy) - f(x + Δx, y) - f(x, y + Δy) + f(x, y)) / ΔxΔy这个公式告诉我们如何求解高阶偏导数。
其中，第一个公式是对自变量x求两次偏导数的结果；第二个公式是对自变量y求两次偏导数的结果；第三个公式是对自变量x、y交叉求导的结果。
第三个公式是偏微分方程的定义公式。
偏微分方程是指多元函数中，自变量的变化不仅取决于一个自变量，而是同时取决于多个自变量的方程。
它的定义公式为：F(x1, x2, ……, xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ……, ∂u/∂xn) = 0其中，F表示函数，u表示未知函数，x1, x2, ……, xn表示自变量，∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ……, ∂u/∂xn表示u对x1, x2, ……, xn的偏导数。
高数第九章
故函数在（0，0）处偏导数存在；
∂ 2u 8、设 u(x , y ) 在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 ≠0 ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u + 及 = 0 ，证明： u(x , y ) 的最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上达到。 ∂x 2 ∂y 2 证明：由题设知，u(x , y ) 在平面有界闭区域 D 连续，故 u(x , y ) 在 D 上取得最大值点和最小 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ,C = 2 ， 对 D 内 的任 何 点 (x , y ) 都 有 + 值 点 ，设 A = 2 , B = =0， ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂ 2u (A + C )2 又 AC ≤ 知 AC ≤ 0 ， 故 B 2 − AC > 0 ， 所以 u(x , y ) 的 ≠ 0 即 A + C = 0, B ≠ 0 ， 4 ∂x ∂y 最值点不能在 D 的内部，所以 u ( x, y ) 的最大最小值点必定都在 D 的边界上；
∂z ∂z 1 2 + = + =1 ∂x ∂y 3 3
6、计算极限 lim x →0
y →0
3 − 9 + xy xy
解： lim x →0
y →0
3 − 9 + xy (3 − 9 + xy )(3 + 9 + xy ) 9 − (9 + xy ) 1 = lim = lim =− x →0 x →0 xy 6 xy(3 + 9 + xy ) xy(3 + 9 + xy )
⋅
y y2 + z 2
(1,0,1)
= 0；
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二 者 不 等
结束
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第九章
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x
2 z 2z z z ( ) f y x ( x, y ); ( ) 2 f y y ( x, y ) x y y x y y y
f1( x0 , y0 ) .
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为
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定义1. 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为
f ; zx x ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
证:
x z 1 z y x ln x y
2z
例3. 求 的偏导数 . (P65 例4) 2x x r 解: 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
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(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !
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类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为
( y
z ) n 1 x y
n
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例5. 证明函数
满足拉普拉斯
2u 2u 2u 方程 u 2 2 2 0 x y z
证：
2
2 3 x r 1 3 x 1 u 4 3 5 r r x2 r 3 r x 2u 1 3 y2 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 3 5 , 3 5 2 z r r y r r 2 2 2 u u u 3 3( x2 y2 z 2 ) 2 2 0 2 3 5 x y z r r
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r2
3 z x2y . 的二阶偏导数及 例6. 求函数 z e 2 y x z z 解: 2 e x2y e x2y y x 2 2 z z x2y x2y 2 e e 2 x y x
z x2y 2e y x 3 2 z z x2y ( ) 2 e y x 2 x y x 2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
x
x
f y ( x, y , z ) ?
f z ( x, y , z ) ?
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义:
f x
x x0 y y0
d f ( x, y 0 ) x x0 dx
z
M0
z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
显然
0 0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
上节例 目录 上页 下页 返回 结束
例1 . 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 2x 3y , 3x 2 y 解法1: x y z z y (1, 2) x (1, 2)
p V T RT 1 V T p pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
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2
2 z x2y 4e 2 y
例如, f ( x, y )
x2 y2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y2 0
x4 4x2 y 2 y 4 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 4 2 2 4 x 4x y y 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
斜率.
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注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0
解法2: z
2 x 6x 4 y 2
z x (1, 2)
z
x 1 1 3 y
y
2
z y (1, 2)
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y 求证 ） ， 例2. 设 z x ( x 0, 且 x 1 x z 1 z 2z y x ln x y
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x ) f ( x ) d x f ( x y 0 0 lim f ( x0 ) x 0 x d x x x0
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z f ( x, y ) , , z y , f y ( x, y ) , f 2 y y
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
证明 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 先代后求 先求后代 利用定义 逐次求导法
作业
P69 1； 3； 6； 8；
第三节 目录
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备用题 设
确定 u 是 x , y 的函数 ,
方程
连续, 且
解:
求
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P130 题 6 z 1 , (1) 2 x x y
2
z 2y y x y2
2
z 1 z 2( x y ) z 2y , , 2 2 2 2 2 2 x ( x y ) x y ( x y ) y ( x y 2 )2
2
2
z y 1 z x y ln x yx , (2) y x 2 2 z z y 1 y .1 y .2 x y x ln x y ( y 1 ) x , x y x2 2z y 2 x ln x 2 y
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