几种常见的数列的通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法

一． 观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716

4,1093,542,211

（3） ,52,21,32

,1（4） ,5

4

,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n

a

（2）;1

22

++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法

例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，

∴2

213)2(q

q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －

1 例3. 等差数列

{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）

(A)

122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n

解析：设等差数列的公差位d ，由已知⎩⎨⎧==+⋅⋅+12348)()(3

333a d a a d a ，

解得⎩⎨

⎧±==2

4

3d a ，又{}n a 是递减数列， ∴ 2-=d ，81=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。

例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

解析：由题意，321

++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q

∴

q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

13

21，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ，∴ )1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n 点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 三、 叠加法

例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 解 易知,

121-=--n a a n n ∵,

312=-a a ,

523=-a a ,

734=-a a ……,

121-=--n a a n n

各式相加得)12(7531-++++=-n a a n ∴)

(52

N n n a n ∈+=

点评：一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，只要)()2()1(n f f f +++ 能进行求和，则宜采用此方法求解。

例6. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

解析：由n a a n n +=+1

得n a a n n =-+1，所以11-=--n a a n n ，221-=---n a a n n ，…，112=-a a ，

将以上各式相加得：1)2()1(1+⋅⋅⋅+-+-=-n n a a n ，又31=a 所以 n a =

32

)

1(+-n n

四、叠乘法

例7：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=

+n n a a n n ，1

a a

n =

12a a ·23a a ·3

4

a a …

1-n n a a =n n n 1

14

33221=-⋅⋅ 所以n a n 1= 例8. 已知数列

{}n a 中，3

11=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

解析：首先由n n a n n S )12(-=易求的递推公式：1

23

2,)32()12(11+-=

∴

-=+--n n a a a n a n n n n n 5

1

12521221=--=∴

--a a n n a a n n 将上面n —1个等式相乘得：.

)

12(12(1

)

12)(12(357)32)(12)(12(13)72)(52)(32(1-+=

∴-+=

⋅--+⋅---=n n a n n n n n n n n a a n n

点评：一般地，对于型如1+n a =f

(n)·n a 类的通项公式，当

)()2()1(n f f f ⋅⋅ 的值可以求得时，宜采用此方法。

五、S n 法利用1--=n n n

S S a (n ≥2)

例9：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。（1）13-+=n n S n

。 （2）12

-=n s n

解： （1）11111

-+==S a n a =1--n n S S =[]

1)1()1()1(33--+---+n n n n =3232+-n n 此时，112S a ==。∴n a =3232+-n n 为所求数列的通项公式。

（2）011

==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。 ∴

⎩⎨

⎧≥-==)

2(12)1(0

n n n a n 点评：要先分n=1和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 六、待定系数法：

例10：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n

解：设1

)1(-+-+=n n bq d n a c 132

211121237242-+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=++=++=++=+∴n n n c a b d q bq d a bq d a bq d a b a 例11. 已知数列{}n c 中，b b c +=

11，b

b

c b c n n ++⋅=-11， 其中b 是与n 无关的常数，且1±≠b 。求出用n 和b 表示的a n 的关系式。

解析：递推公式一定可表示为)(1λλ-=--n n c b c 的形式。由待定系数法知：b

b

b ++=1λλ

)1(1,1,12

122b

b

c b b b c b b b n n --=--∴-=∴≠-λ 故数列⎭⎬⎫⎩

⎨⎧--21b b c n 是首项为112221-=--b b b b c ，公比为b 的等比数列，故1

1112

1211

222

--=∴-=-=--++-b b b c b b b b b b b c n n n n n