算法设计与分析课后习题

第一章1. 算法分析题算法分析题1－1 求下列函数的渐进表达式(1). 3n^2 + 10n < 3n^2 + 10n^2 = 13n^2 = O(n^2)(2). n^2 / 10 + 2^n当n>5是，n^2 < 2 ^n所以，当n >= 1时，n^2/10 < 2 ^n故: n^2/10 + 2^n < 2 ^n + 2^n = 2*2^n = O(2^n)(3). 21 + 1/n < 21 + 1 = 22 = O(1)(4). log(n^3)=3log(n)=O(log(n))(5). 10log(3^n) = (10log3)n = O(n)算法分析题1-6(1)因为：f(n)=log(n^2) = 2log(n); g(n) = log(n) + 5所以：f(n)=Θ(log(n)+5) =Θ(g(n))(2)因为：log(n) < √n; f(n) = 2log(n); g(n)= √n所以：f(n) = O(g(n))(3)因为：log(n) < n; f(n) = n; g(n) = log(n^2) = 2log(n)所以；f(n) = Ω(g(n))(4)因为：f(n) = nlogn +n; g(n) = logn所以：f(n) =Ω(g(n))(5)因为: f(n) = 10; g(n) = log(10)所以:f(n) =Θ(g(n))(6)因为: f(n)=log^2(n); g(n) = log(n)所以: f(n) ==Ω(g(n))(7)因为: f(n) = 2^n < 100*2^n; g(n)=100n^2; 2^n > n ^2所以: f(n) = Ω(g(n))(8)因为：f(n) = 2^n; g(n) = 3 ^n; 2 ^n < 3 ^n所以: f(n) = O(g(n))习题1－9 证明：如果一个算法在平均情况下的计算时间复杂性为Θ(f(n)),该算法在最坏情况下所需的计算时间为Ω(f(n)).分析与解答：因此，Tmax(N) = Ω(Tavg(N)) = Ω(Θ(f(n)))=Ω(f(n)).第二章算法分析题2-3 设a[0:n-1]是已经排好序的数组。

请改写二分搜索算法，似的当搜索元素x 在数组中时，返回小于x的最大元素位置i和大于x的最小元素位置j。

当搜索元素在数组中时，i和j相同，均为x的位置。

分许与解答：改写二分搜索算法如下：typedef int TYPE_t;/** Function name: BinarySearch* Parameters:* iIndex 代表i的位置，即最大元素位置;* jIndex代表j的位置，即最小元素位置;* aArr[]: 代表数组a[],且有序* xVar:代表元素x;* aLen: 代表数组元素个数;* Return value:* 0: 执行成功，最大元素位置和最小元素位置不等* 1: 执行成功，最大元素位置和最小元素位置相等*/static intBinarySearch(TYPE_t aArr[], int nLen, TYPE_t xVar, int *iIndex, int *jIndex) {int left = 0;int right = nLen - 1;int middle = (left + right) / 2;while (left <= right){if (xVar == aArr[middle]){*iIndex = *jIndex = middle;return 1;}if (xVar > aArr[middle]){left = middle + 1;}else{right = middle - 1;}middle = (left + right) / 2;}*iIndex = right;*jIndex = left;return 0;}算法分析题2 – 6 对任何非零偶数n，总可以找到奇数m和正整数k，使得n = m * 2^k.为了求出2个n阶矩阵的乘积，可以把一个n阶矩阵划分成m×m个子矩阵，每个子矩阵2^k ×2^k个元素。

当需要求2^k×2^k的子矩阵的积时，使用Strassen算法。

设计一个传统方法与Strasssen算法相结合的矩阵相乘算法，对于任何偶数n，都可以求出2个n阶矩阵的乘积。

并分析算法的计算时间复杂度。

分析与解答：将n阶矩阵分块为m×m的矩阵。

用传统方法求2个m阶矩阵的乘积需要计算O(m^3)次2个2^k×2^k矩阵的乘积。

用Strassen矩阵乘法计算2个2^k×2^k的矩阵的乘积需要的计算时间为O(7^k), 因此算法的计算时间为O(7^k*m^3).算法分析题2 - 9 设T[0, n-1]是n个元素的数组。

对任一元素x，设S(x) = {i | T[i] = x }. 当|S(x) | > n/2时，称x为T的主元素。

设计一个线性时间算法，确定T[0:n-1]是否有一个主元素。

分析与解答：如果T有一个主元素x，则x是T的中位数。

反之，如果T的中位数不是T的主元素，则T没有主元素。

下面算法设计为在一个线性时间中找中位数：typedef int T;#define YES_MIDDLE_ELEMENT 1#define NO_MIDDLE_ELEMENT 0/** Function name:* IsExistMiddleElement* Parameters:* aArr[]: 表示数组T[0:n-1]* n: 表示数组长度* x: 表示要判断的数x，是否主元素* *keyIndex: 表示主元素在数组中的下标** Return:* YES_MIDDLE_ELEMENT: 表示找到* NO_MIDDLE_ELEMENT: 表示没有找到*/static intIsExistMiddleElement(T aArr[], int n, T x, int *keyIndex){int middleKey = n / 2;int i = 0;for (i = 0; i < n; i++){if ((aArr[i] == x) && ((i + 1) > middleKey)){*keyIndex = i;return YES_MIDDLE_ELEMENT;}}*keyIndex = -1;return NO_MIDDLE_ELEMENT;}算法分析题2-14 对所给元素存储于数组中和存储于链表中2中情形，写出自然合并排序算法。

分析与解答：自然合并排序是合并排序算法的一种改进。

自然合并排序，对于初始给定的数组，通常存在多个长度大于1的已自然排好序的子数组段。

例如，若数组a中元素为{4,8,7,1,5,6,2},则自然排好序的子数组段有{4,8}, {3, 7}, {1,5,6}, {2}.用一次对数组a的线性扫描就足以找出所有这些排好序的子数组段。

然后将相邻的排好序的子数组段两两合并，构成更大的排好序的子数组段{3,4,7,8}, {1, 2,5,6}.继续合并相邻排好序的子数组段，直至整个数组已经排好序。

算法设计及代码实现：(1). 数组实现法：#define DEBUG 1typedef int type_t;static voidDatasetMerge(type_t *arr, int left, int between, int right){int i, k;int begin1, end1, begin2, end2;type_t *tmpArr;begin1 = left; /*第一个排好序的初始位置*/end1 = between; /*第一个排好序的结束位置*/begin2 = between + 1; /*第二个排好序的初始位置*/end2 = right; /*第二个排好序的结束位置*/tmpArr = malloc(sizeof(type_t) * (right - left + 1));if (!tmpArr){return;}k = 0;/** 比较两个指针指向的元素，选择相对小的元素放入合并空间* 并移动指针到下一个位置*/while ((begin1 <= end1) && (begin2 <= end2)){if (arr[begin1] < arr[begin2]){tmpArr[k] = arr[begin1];begin1++;}else{tmpArr[k] = arr[begin2];begin2++;}k++;}/*×如果第一个序列有剩余，直接拷贝到合并数组的序列中*/while (begin1 <= end1){tmpArr[k++] = arr[begin1++];}/**如果第二个序列有剩余，直接拷贝到合并数组的序列中*/while(begin2 <= end2){tmpArr[k++] = arr[begin2++];}/**拷贝临时数组序列到原数组中*/for (i = 0; i <= (right - left); i++){arr[left + i] = tmpArr[i];}free(tmpArr);}void DatasetNatureMerge(type_t arr[], int n){int *tmpArr;int i, k = 0;int s = 1;int group; /*记录分割组的数目*/int count = 0;int left, between, right;int arrLen = n;/**tmpArr 用来存储数组元素下标分割点*/tmpArr = (int*)malloc(n * sizeof(int));if (!tmpArr){return;}memset(tmpArr, -1, (n * sizeof(int)));/** 存储首分割点*/tmpArr[k++] = 0;for (i = 0; i < arrLen - 1; i++){if (arr[i] > arr[i+1]){tmpArr[k] = i;k++;}}/** 存储尾分割点*/tmpArr[k] = n - 1;/** k 和group 分别记录分割数组长度*/group = k;#if DEBUGprintf("\n数组分割点为:\n");printf("\t");for (i = 0; i <= group; i++){if (i == 10){printf("\n\t");}printf("%d ", tmpArr[i]);}printf("\n");#endifs = 1;for (group; group != 1; group = ((group % 2 == 0) ? (group / 2) : (group / 2 + 1))){ /**合并次数，例如：5组合并需要两次，4组合并也需要两次*/count = group / 2;/**进行第一次合并*/left = 0;between = s;right = 2 * s;if (right > k){right = k;}DatasetMerge(arr, tmpArr[left], tmpArr[between], tmpArr[right]);/** 进行生下来的合并*/for (i = 1; i < count; i++){left = right;between = left + s;right = between + s;if (right > k){right = k;}DatasetMerge(arr, tmpArr[left + 1], tmpArr[between], tmpArr[right]);}s += s;}free(tmpArr);}(2). 链表实现法：#if LINKtypedef struct node *link_t;struct node {int item;link_t next;};link_t LinkMerge(link_t a, link_t b){link_t c, head;c = head = malloc(sizeof(struct node));while ((a != NULL) && (b != NULL)){if (a->item < b->item){c->next = a;c = a;a = a->next;}else{c->next = b;c = b;b = b->next;}}c->next = (a == NULL) ? b : a;return head->next;}link_t LinkNuturalMergesort(link_t t){link_t a, b;link_t u, v;QUEUE<link_t> Q;if (t == NULL || t->next == NULL) return t;for (u = t; t != NULL; t = u){while (u && u->next && u->item <= u->next->item){ u = u->next;}v = u;u = u->next;v->next = NULL;Q.ENQUEUE(t);}Q.DEQUEUE(t);while (!Q.EMPTY()){Q.ENQUEUE(t);Q.DEQUEUE(a);Q.DEQUEUE(b);t = LinkMerge(a, b);}return t;}#endif。