6.4 力法的典型方程
力 法的基本原理和典型方程
l3
3
1
ql 4
8
0
Χ1
3 8
ql
多余未知力X1求出后,其余所有反力和内力都可用静 力平衡条件确定，内力图如图5.10所示。
图5.10
结构任一截面的弯矩也可用叠加原理表示为
Μ Μ1Χ1 ΜF
M 1——单位力 1 1 作用下在基本结构 中任一截面上所产生的弯矩
Μ
——
F
荷
载
作
用
下
基
本
结
构
中
同
一
（c） 图5.8
（d）
一次超静定结构的力法基本方程：11Χ1 1F 0
1 1称为系数，1F称为自由项，它们的物理意义分别如
图5.9（a）、（b）所示
（a） q
（b） 图5.9
可绘出基本结构在单位力 1 1作用下的弯矩图 Μ 1 [图 5.9(c)]和荷载单独作用下的弯矩图 Μ F [图5.9(d)]应用图
位移的地点
产生位移的原因
对于梁和刚架在不计剪力和轴力的影响时，可按下
式计算或用图乘法计算：
2
δii
M i ds l EI
δij
M i M j ds l EI
iF
M iMF ds l EI
Μ i 、Μ j 、M F分别代表X i 1和 X j 1 荷载单独作用
于基本结构中的弯矩。
结构力学
图5.12
力法的典型方程：
δ11Χ1 δ12 Χ2 … δ1i Χi … δ1n Χn 1F 0 δ21Χ1 δ22 Χ 2 … δ2i Χi … δ2n Χn 2F 0
…
δn1Χ1 δn2 Χ2 … δni Χi … δnn Χn nF 0
力法典型方程
力法典型方程什么是力法典型方程？我们在物理学中经常会遇到关于力的问题，而力法典型方程就是解决这些问题时常常用到的数学方程。
通过运用力法典型方程，我们能够更加准确地描述和分析物体受力的情况，进而解决各类与力相关的问题。
下面我们就来一起了解一下力法典型方程是怎样发挥作用的吧。
在物理学中，力是改变物体运动状态的原因。
根据牛顿第二定律，一个物体受到的力的大小与物体的质量和运动加速度成正比，符号表示为F=ma。
这就是最典型的力法方程之一。
在这个方程中，F代表力的大小，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
在日常生活中，我们经常会遇到需要计算力的问题。
例如，当我们用力推动一个物体时，我们需要计算所施加的力的大小。
这时，我们可以通过使用力法典型方程来解决这个问题。
我们首先要确定物体的质量，然后通过测量物体的加速度，就能够求出施加的力的大小。
这个方法能够帮助我们准确地计算出所需要的力的大小，从而更好地完成推动物体的任务。
除了F=ma以外，力法典型方程还包括其他一些常见的方程。
例如，当我们需要计算物体所受重力时，我们可以使用F=mg，其中g表示重力加速度。
这个方程告诉我们，物体受到的重力的大小等于物体的质量乘以重力加速度。
通过这个方程，我们可以计算出物体所受的重力，从而更好地理解物体的运动状态和受力情况。
力法典型方程的运用不仅仅局限于平面运动问题，还能够应用于其他与力有关的物理学领域。
例如，在静力学中，我们可以通过应用平衡条件和公式F=0，找到物体处于平衡状态时所受到的力的关系。
这个方程告诉我们，当一个物体处于平衡状态时，物体所受的合力为零。
通过运用这个方程，我们能够判断物体是否处于平衡状态，并进一步分析物体所受的各个力的大小和方向。
力法典型方程在物理学中具有很大的指导意义。
它不仅帮助我们更好地理解和描述物体受力的情况，更能够指导我们解决各类与力相关的问题。
通过熟练掌握和运用力法典型方程，我们能够提高解题的准确性和效率，更好地解决复杂的物理问题。
力法典型方程柔度系数
力法典型方程柔度系数力法典型方程是材料力学研究中常用的一种表示方法，它能够描述材料受力时的本质特征。
在力法典型方程中，柔度系数是一个重要的物理量，用于表示材料在受力时的弹性特性。
什么是柔度系数？柔度系数是材料力学中一个很重要的物理量，这个物理量可以用于描述物体在受力时的弹性特性。
简单来说，所谓柔度系数就是物体受外力作用下形变产生的应力与应变的比值。
柔度系数通常以弹性模量为基础，而它的倒数就是物体的刚度系数。
在实际应用中，弹性模量是一种非常重要的材料力学参数，用于描述弹性材料在受力时的本质特征，而柔度系数正是弹性模量的倒数。
因此，柔度系数可以用于描述材料某种特定的力学行为，包括弹性变形的程度、刚度等等。
比如，弹簧就是一种典型的弹性材料，它的涵盖了所有的形变应力和变形的比值，意味着弹簧受到的力越大，形变就越大。
因此，柔度系数可以用来衡量弹簧的弹性能力。
柔度系数在力法典型方程中的应用力法典型方程是材料力学研究中常用的一种表示方法，用于描述材料在受力时的本质特征。
在力法典型方程中，柔度系数是一个很重要的物理量，用于描述材料在受力时的弹性特性。
力法典型方程通常表示为f(x) = kx，其中x是材料的位移，k是柔度系数。
当物体受力时，它会发生形变，并且会产生反作用力来抵消外力。
而柔度系数就是描述物体在受力时的弹性特性的一个重要参数。
比如，当有一个物体受到一个力F作用时，它发生的形变量可以用弹性模量E来表示，而它的弹性形变量可以用材料的柔度系数k来表示。
柔度系数的大小通常与材料质地和处理过程有着密切的关系。
对于弹性材料来说，柔度系数越大，材料的弹性变形量就越大，材料受到的应力也越小。
因此，柔度系数越大的材料，越容易发生弹性变形。
结论柔度系数是材料力学研究中的一个重要物理量，它用于描述材料在受力时的弹性特性。
在力学研究中，柔度系数通常与弹性模量密切相关，它可以用来衡量物体受到外力时的形变程度和弹性能力。
在力法典型方程中，柔度系数被用来描述物体在受力时的弹性特性，它是该方程模型的一个关键参数。
力法—力法典型方程(建筑力学)
第四节 力法典型方程
用力法计算超静定结构的关键在于根据位移条件建立力 法方程，以求解多余未知力。
图a所示三次超静定刚架为，现去掉支座B的三个多余约 束，并以相应的多余未知力X、X和X3代替，则基本体系如 图b所示。
力法
由于原结构在固定支座B处不可能有任何位移，因此，在 承受原荷载和全部多余未知力的基本体系上，也必须保证这 样的位移条件，即在点B沿X1、X2和X3方向上的相应位移Δ1、 Δ2和Δ3都应为零。
图c、d、e、f为各单位力和荷载FP分别作用于基本结构上 时，点B沿各多余未知力方向上的位移。
力法
根据叠加原理，可将基本体系应满足的位移条件表示为
1 11X1 12 X 2 13 X 3 1 0 2 21X1 22 X 2 23 X 3 2 0
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
31X1
32 X 2
33 X 3
3
0
这就是求解多余未知力X1、X2和X3所要建立的力法基本 方程。其物理意义是基本结构在全部多余未知力和已知荷 载共同作用下，在去掉多余约束处的位移应与原结构中相 应的位移相等。
力法
对于n次超静定结构，力法的基本方程为
位于从左上方至右下方的一条对角线上的系数δii（i＝1、 2、…n） 称为主系数，其他的系数δij（i、j＝1、2、…n） 称为副系数，最后一项∆nP称为自由项。
力法方程中的系数和自由项都可按第十六章所述求位移 的方法求得。
力法
解力法方程得到多余未知力后，超静定结构的弯矩可根据 平衡条件求出，或按下述叠加原理求出弯矩
M M1X1 M 2X2 M nXn M
求出弯矩后，也可以直接应用平衡条件求其剪力和轴力
所有的系数和自由项都是基本结构在去掉多余约束处沿 某一多余未知力方向上的位移。
位移法的典型方程与力法的典型方程一样
位移法的典型方程与力法的典型方程一样位移法和力法是结构分析中常用的两种方法。
位移法是通过求解结构的位移来得到结构的反力，而力法是通过已知的外力和支座反力来求解结构的内力和位移。
尽管这两种方法的思想和计算过程不同，但它们的本质是相同的，都是基于平衡原理和变形原理，因此它们的典型方程也具有相似性。
一、位移法的典型方程位移法是一种基于变形原理的方法，它假设结构的变形是已知的，通过求解结构的位移来得到结构的反力。
位移法的典型方程是：$$boldsymbol{K}boldsymbol{u}=boldsymbol{F}$$其中，$boldsymbol{K}$是结构的刚度矩阵，$boldsymbol{u}$是结构的位移向量，$boldsymbol{F}$是结构的外力向量。
在这个方程中，$boldsymbol{u}$是未知量，$boldsymbol{K}$和$boldsymbol{F}$是已知量。
因此，通过求解这个方程，可以得到结构的位移和反力。
二、力法的典型方程力法是一种基于平衡原理的方法，它假设结构的外力和支座反力是已知的，通过求解结构的内力和位移来满足平衡条件。
力法的典型方程是：$$boldsymbol{K}boldsymbol{x}=boldsymbol{P}$$其中，$boldsymbol{K}$是结构的刚度矩阵，$boldsymbol{x}$是结构的位移向量，$boldsymbol{P}$是结构的等效节点力向量。
在这个方程中，$boldsymbol{x}$是未知量，$boldsymbol{K}$和$boldsymbol{P}$是已知量。
因此，通过求解这个方程，可以得到结构的内力和位移。
三、位移法和力法的相似性位移法和力法的本质是相同的，它们都是基于平衡原理和变形原理的。
因此，它们的典型方程也具有相似性。
首先，它们的典型方程都是线性方程组。
在位移法和力法中，结构的刚度矩阵和等效节点力向量都是已知的，未知量是结构的位移和反力（力法中是内力和位移）。
力法的典型方程
d12 = d 21
1 1 l3 = ( l l l) = 2EI 2 4EI
d 22
D1 P
1 1 2 l3 = ( l l l) 2 = 2EI 2 3 3EI
1 1 2 1 1 1 1 2 3 5ql4 2 =( ql l l + ql l l)( ql l l) = 2EI 2 2 EI 3 2 4 8EI
力法的典型方程
D2
X1
基本结构
d11 d21 X1=1 X 1
q
d12
X2=1
d22
X 2
dij ( = j 主系数>0 i ) dij ( j 付系数 i ) dij = d ji 位移互等
D P 1 D2 P
DiP
柔度系数
荷载系数
P 2 P 1
力法典型方程
对三次超静定问题
P 2
P 1
=
A
原结构
5 - X =1 2 1
2
-
5 2
M1 FN1 图
2 1 2 N 1
d11 =
M F 2 1 2 1 5 2 2 ds + l = ( 2 4 2 + ) [() 2 5 2+ 1 2 ] ò EI EA EI 2 3 EA 2
10 . 67 5 5 + 2 10. 108 13.18 104 11.99 104 67 = + = + = EI EA 10000 E 10E E
6.3 力法的典型方程 力法的
q 2EI EI l l EI l
力法的基本结构
q X2 2EI X1 l
变形协调条件:
ì D = 0 1 í D 2 = 0
力法
所以：力法典型方程的实质是位移协调方程！
由典型方程解得X1
、X2后，利用叠加原理，有
M M 1 X1 M 2 X 2 M P
n次超静定结构的力法方程
11 X 1 12 X 2 1n X n 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 n X n 2 P 0
1 1 2 1 1 2 6 6 6 6 6 6 EI1 2 3 EI 2 2 3
3) 求自由项和系数
4) 代入典型方程求解
X 1 1.927kN , X 2 6.746kN
504 EI 2
22
1 1 2 l3 11 ll l EI 2 3 3 EI
代入力法典型方程
3 X 1 ql 8
ql 2 8
q A
5 ql 8
结构任一截面的弯矩M可表示为
B
3 ql 8
M M 1 X1 M P
以截面A为例：
3ql ql 2 MA l 2 8
解：1) 确定超静定次数，选 取基本体系
2) 根据原结构已知变形条件 建立力法典型方程
3) 求自由项和系数
1 1 2 2l 11 l 1 1 2 EI 2 3 3 EI 1 1 1 l 12 21 l 1 1 EI 2 3 6 EI
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
4) 代入典型方程求解
ql 2 ql 2 X1 , X2 15 60
22
2l 11 3 EI
1 2 ql 1 ql l 1 EI 3 8 2 24EI
力法的基本原理和典型方程
力法\力法的基本原理和典型方程
力法的基本原理和典型方程
1.1 力法的基本原理
力法是计算超静定结构内力的基本方法之一。它是以多余未知 力作为基本未知量，以静定结构计算为基础，由位移条件建立力法 方程求解出多余未知力，从而把超静定结构计算问题转化为静定结 构计算问题。由于它的基本未知量是多余未知力，故称为力法。
ij ji
iF 称为自由项，其值也可为正、为负或为零。
目录
建筑力学
绘制最后的弯矩图
目录
力法\力法的基本原理和典型方程
1.2 力法典型方程
前面用一次超静定结构说明了力法计算的基本原理。从中看到， 正确选取力法基本结构及建立力法方程是解决问题的关键。对于多 次超静定结构，计算原理与一次超静定结构完全相同。下面以两次 超静定结构来说明如何建立力法方程。
两次超静定结 构的力法方程
…… + ……+ n1Χ1 n2Χ2
ni Χi
nn Χn nF 0
上述方程组在组成上有一定的规律，不论超静定结构的类型、
பைடு நூலகம்
次数、及所选的基本体系如何，所得的方程都具有上式的形式，故 称为力法典型方程。
式中，主对角线上的系数 ii称为主系数，其值恒为正值；主对 角线两侧的系数ij 称为副系数，其值可为正、为负或为零，根据位 移互等定理，在关于主对角线对称位置上的副系数有互等关系，即
11Χ1 12 Χ 2 1F 0 21Χ1 22 Χ2 2F 0
目录
力法\力法的基本原理和典型方程
对于高次超静定结构，其力法方程也可类似推出。其力法方程 为
11Χ1 12Χ2 ……+ 1i Xi ……+ 1n Χn 1F 0 21Χ1 22Χ2 ……+ 2i Χi ……+ 2n Χn 2F 0 ………………………………………………
力法典型方程
力法典型方程力法典型方程是物理学中经常用到的方程，它描述了物体受力和相应运动的关系，是力学基本原理的具体应用。
下面介绍几个力法典型方程的例子：1. 牛顿第二定律：F = ma这是力学中最基本的方程之一。
它表明，物体的加速度与物体所受的合外力成正比，质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越大。
这个方程揭示了物体运动的原因是受到力的作用。
2. 万有引力定律：F = G * (m?m?) / r2这是描述物体间引力作用的方程，其中F表示物体之间的引力，m?和m?分别是两个物体的质量，r是它们之间的距离，G是一个常数，称为万有引力常数。
这个方程告诉我们，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
3. 功率方程：P = F * v这个方程描述了力的功率和物体的速度之间的关系。
功率表示单位时间内所做的功，F是作用在物体上的力，v是物体的速度。
这个方程告诉我们，功率与力和速度成正比，当力和速度增大时，功率也相应增大。
4. 胡克定律：F = k * x这个方程用于描述弹簧的伸缩过程中的力和位移之间的关系。
其中F 表示弹簧受到的恢复力，k是弹簧的弹性系数，x是弹簧的位移。
这个方程告诉我们，弹簧的恢复力与它的位移成正比。
5. 速度-时间关系方程：v = u + at这个方程描述了物体的速度和时间之间的关系，其中v是物体的最终速度，u是初始速度，a是物体的加速度，t是经过的时间。
这个方程告诉我们，物体的速度随时间的增加而改变，其改变率与加速度成正比。
这些力法典型方程是物理学中最常用的方程之一，它们可以帮助我们理解物体受力和相应运动的规律。
通过应用这些方程，我们可以计算物体的加速度、速度、力、功率等物理量，并预测物体的运动轨迹和相互作用。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选用适当的力法典型方程来求解。
通过运用这些方程，我们能够更好地理解和解释物体的运动规律，为科学研究和工程实践提供重要的理论基础。
结构力学作业
一、判断1.(5分)图（a）对称结构可简化为图（b）结构来计算。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案正确解析2.(5分)图示对称刚架，在反对称荷载作用下，半边结构图（c）所示。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案错误解析3.(5分)图示简支斜梁，在荷载P作用下，若改变B支座链杆方向，则梁的内力将是M、N不变，Q改变。
（）••纠错得分：5知识点：3.2 多跨静定梁的内力分析展开解析答案错误解析4.(5分)计算图示桁架中指定杆件内力，各杆EA=常数，N2=−P/2。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案正确解析5.(5分)图（a）所示桁架结构可选用图（b）所示的体系作为力法基本体系。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案正确解析6.(5分)图示对称结构，EI=常数;较简便的力法基本结构如图所示。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案正确解析7.(5分)图示结构中杆AC由于加热伸长了Δ，则杆AB的变形是0。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学,3.3 静定平面刚架的内力分析展开解析答案正确解析8.(5分)图示结构EI=常数，求K点的竖向位移时，由图乘法得:ΔK=（1/EI）×y1ω1。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案错误解析9.(5分)图示体系的几何组成为几何不变，无多余联系。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案正确解析10.(5分)图示为一刚架的力法基本体系，E=常数。
其δ12为EI/8。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案错误解析11.(5分)图示刚架，EI=常数，B点的竖向位移（↓）为Pl3/（6EI）。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学,3.3 静定平面刚架的内力分析展开解析答案错误解析12.(5分)下图能用力矩分配法计算。
（）••纠错得分：5知识点：结构力学展开解析答案错误解析13.(5分)图示结构EI=常数，在给定荷载作用下，固定端的反力矩为，逆时针旋转。
力法典型方程中的主系数
力法典型方程中的主系数
（最新版）
目录
1.力法典型方程的概述
2.力法典型方程中的主系数
3.主系数的正负性和零值
4.主系数的物理意义
5.结论
正文
力法典型方程是一种求解结构力学中复杂问题的有效方法，它是基于静力平衡条件建立起来的。
在力法典型方程中，主系数是一个重要的概念，它在解决问题的过程中起着关键作用。
本文将从主系数的定义、正负性和零值、物理意义等方面进行详细阐述。
首先，力法典型方程是由平衡条件得到的，它是一种反映结构静力平衡条件的方程。
在这个方程中，主系数是一个重要的系数，它决定了方程的解的性质。
主系数的正负性和零值是力法典型方程求解中的重要概念。
其次，主系数的正负性决定了力法典型方程的解的性质。
如果主系数为正，则方程有唯一解；如果主系数为负，则方程无解；如果主系数为零，则方程有无穷多解。
因此，在力法典型方程求解过程中，需要首先判断主系数的正负性，以确定方程的解的性质。
此外，主系数的物理意义也非常重要。
主系数表示基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用下，每一个附加联系处附加反力矩或附加反力都应为零。
也就是说，主系数反映了结构在荷载作用下的位移情况，它决定了结构的稳定性和刚度。
综上所述，力法典型方程中的主系数是一个非常重要的概念，它决定
了方程的解的性质和结构的稳定性。
力法的基本方程讲义
11
2 2EI
(1 2
66
2 3
6)
1 3EI
(6 6 6)
144 EI
图 5.19
22
2 2EI
(6 6 6)
1 3EI
(1 2
66
2 3
6)
132 EI
33
2 2EI
(1 61)
1 3EI
(1 61)
8 EI
12
21
1 2EI
(1 2
6 6 6)
1 3EI
(1 2
6 6 6)
MA
Pa
3EL kl
ab 2
b2
l2
1
3EI kl 3
；M C
Pa3b
1
3b 3a
l3
1
3EI kl 3
【例 5-3】用力法计算如图 5.18(a)所示刚架。 解：刚架是二次超静定结构，基本结构如图 5.18(b)所示。力法方程为
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
2EI 3
EI
将系数和自由项代入力法方程，化简后得
解此方程组得：
24X1 15X 2 5X3 31.5 0
15
X
1
22 X 2
4X3
126
0
5 X 1
4X2
4 3
X3
21
0
X1=9 kN；X2=6.3 kN；X3=30.6 kN·m 按迭加公式计算得最后弯矩图如图 5.20。
从以上例子可以看出，在荷载作用下，多余力和内力的大小都只与各杆弯曲刚度的相对
90 EI
13
31
2 2EI
(1 2
力法典型方程
•X3=1
•5）把上述过程总结如下的简洁步骤： •*确定超静定次数 •*选取基本体系 •*作MP图， 图,求出 •*写力法方程
•*依叠加法作出弯矩图。
•二、力法的典型方程
•称为力法的典型方程
•物理意义：基本体系中去掉约束处的位移应该等于
原结构相应的位移
•P1
•P1
•P2 •A
•P2
•A •B
•B •X3
• 计算图示刚架，作M图
•
d11x1+ D1P =0
d11 =5a/6EI
D1P =qa3/24EI
x1 = - D1P /d11 = -qa2/20
MBC=- qa2/20 (上侧受拉）
•MP •M
•A •A
•X1 •B
•A
•B
•P1 •X2
•P2
•B •X3
•A
•B
•求位移 •令X1，X2， X3分别等于1
•δ32
•A
•δ31 •X1=
•B 1 •δ21 •A
•B
•δ22
•δ11
•X2= 1 •δ12
•P1
•A
•δ33 •B •X3=1 •δ23
•P2 •A
•Δ3P •B•Δ2P
•δ13
•M1 •6 •6
•MP •414
•X2•=1 •X2 •M2
•6 •6
•MP •414
•4）解力法方程
•δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0 •δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝0
•X1=36， •X2=－ 13.5
•q=23kN/m
•↑↑↑↑↑↑↑
•X1 •X•1=1 •M1 •6 •6
•X2•=1 •X2 •M2
力法典型方程
力法典型方程
2006年11月30日星期四02:41 P.M.
1、力法典型方程：力法典型方程是根据原结构的位移条件建立起来的。
典型方程的数目等于结构的超静定次数。
n次超静定结构的基本体系有n个多余未知力，相应的有n个位移协调条件。
利用叠加原理将这些位移条件表述成如下的力法典型方程：
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2、几点注意：
①力法方程的物理含义是：基本体系在外部因素和多余未知力共同作用下产生的多余未知力方向上的位移，应等于原结构相应的位移。
实质上是位移协调条件。
②主系数δii表示基本体系仅由X i=1作用所产生的Xi方向的位移。
；
付系数δij表示基本体系仅由X j=1作用所产生的X i方向的位移。
主
系数恒大于零，负系数可为正、负或零。
力法方程的系数只与结构本身和基本未知力的选择有关，是基本体系的固有特性，与结构上的外因无关。
③自由项，分别表
示基本体系仅由荷载作用，支座移动，温度变化所产生的X i方向的位移，可为正、负或零。
④对于具有弹性支承和内部弹性约束的超静定结构，若取弹性约束力作为基本未
知力X
，右端项为，若选取的基本体系中保留弹性约束，在的计算公式中
应增加一项弹性力的虚功项：两种情况下的反力同向，乘积为正。
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3、计算步骤
由上述，力法计算步骤可归纳如下：
1）确定超静定次数，选取力法基本体系；
2）按照位移条件，列出力法典型方程；
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，求系数和自由项；
4）解方程，求多余未知力；
5）按 M=∑M i〃X i+M P叠加最后弯矩图。
力法和位移法—力法典型方程(建筑力学)
l3 2 EI
1 P
1 EI
ql 2 (
2
l
l )
2
ql 4 4 EI
2 P
1 EI
ql 2 (
2
ll
1 3
ql 2 2
l
3l )
4
5ql 4 8EI
试用力法计算图示超静定刚架的内力，并绘出弯矩图
4.代入力法方程求解多余未知力
11 X1 12 X 2 1P 0
l3
l3
ql 4
3EI X1 2EI X 2 4EI
将以上关系式代入
，有
12 12 X2 , 22 22 X2
熟知力法的基本原理
上式就是二次超静定结构力法方程。解以上方程即可求出多余未知力X1 和X2。当X1和X2单位约束反力求解后，其余的计算就可以转化为静定结 构计算。具体绘制弯矩图时，可利用图乘法和叠加原理进行求解，即： 结构各个端部弯矩多余未知力X1和X2 F
(c)
A
M2图
(d)
Fl
F
2
C
B
A
MF图 (e)
➢ 由图乘法得
熟知力法的基本原理
C
B X1=1 C l
B
l X2=1
A l
M1 图
(c)
A
M2图
(d)
熟知力法的基本原理
将各系数和自由项代入典型方程，解得
X1=
X2=
由
绘出结构弯矩图如图f。
3Fl 40
C
FB
17Fl 80
A 3Fl 80
弯矩图 (f)
熟知力法的基本原理
由此得到位移平衡方程为
基本结构在荷载q和多余未知力 X1、X2 共同作 用下的位移应等于这些力分别单独作用下的位 移的叠加，所以有:
工程力学：力法的典型方程
——
M
i、M
图互乘
j
iP
M
i
MP EI
ds
——
M
i、M
图互乘
P
力法又称为柔度法，力法方程称为柔度方程。
力法的典型方程
➢ 力法的典型方程—— 二次超静定
q 2EI EI
q 2EI EI
X2
1 0
X1
2 0
11X1 12 X 2 1P 0 21X1 22 X 2 2P 0
➢ 力法的典型方程——三次超静定
q
C
D
FP
q
C
D
FP
A
B
原结构
A
X3
B
X1
X2
基本体系
协调条件为：ΔBH =0, ΔBV =0, θB =0
➢ 力法的典型方程——三次超静定
q
C
D
FP
q
C
D
FP
A
X3Βιβλιοθήκη 基本体系B X1X2
A
Δ3P B
Δ1P
Δ2P
C
D
C
D
C
D
δ31
A δ21
B
A
X1=1
δ11
δ32 B δ22 A X2=1 δ12
δ33 δ23
X3=1 B
δ13
➢ 力法的典型方程
q
C
D
FP 基本体系
11 X1 12 X2 13 X3 1P BH 0 21 X1 22 X2 23 X3 2P BV 0 31 X1 32 X2 33 X3 3P B 0
➢ 力法的典型方程
上述力法的基本方程在组成上具有一定的规律性，其 副系数具有互等性，因此通常又称它为力法的典型方程。
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M 2图
6.4 力法的典型方程
按叠加公式 M =`M1 X1 +`M2 X2 +MP 作弯矩图。
计算控制截面弯矩：
MCB
1 14
ql2（上拉）
M AC
1 28
ql2（右拉）
1 ql 2 14
q
B
C
5 ql 2 56 A 1 ql 2 28
M图 ( kN m )
第六章 用力法计算超静定结构
6.4 力法的典型方程
建筑工程系
6.4 力法的典型方程
一、2次超静定结构的计算：
C
用力法计算图（a）结构并作M图： 多余约束处的位移条件：
1 0
A
(1)
2 0
Δ1 是基本体系在X1作用点（B点）沿X1方 C 向的位移，即B点的竖向位移；
Δ2 是基本体系在X2作用点（B点）沿X2方
向的位移，即B点的水平位移。
A
q
B
l
l
(a)
q
B X2
X1
(b)
6.4 力法的典型方程
一、2次超静定结构的计算：
分别计算基本结构在每种力单独作用下的位移：
（一）荷载单独作用时，基本结构
C
q
B
的相应位移为：Δ1P、Δ2P。
1P
A
(c) 2P
（二）单位力`X1=1单独作用时，基 本结构的相应位移为：d11、d21。
δn1X1δn2X2 δnnXnnP 0
这就是n次超静定结构在荷载作用下力法方程的一般 形式，常称为典型方程。
6.4 力法的典型方程
δ11X1δ12X2 δ1nXn1P 0 δ21X1δ22X2 δ2nXn2P 0
δn1X1δn2X2 δnnXnnP 0
推广到一般：
Δ1、Δ2、Δn 为原结构在去掉多余约束处的已知位移。
6.4 力法的典型方程
二、n次超静定结构的力法的典型方程：
从原结构中去掉n个多余约束代以相应的多余未 知力X1、X2、…、Xn后所得到的体系沿多余未知力 方向的位移应与原结构中相应的位移相等。
根据叠加原理，n个位移（变形）条件通常写为：
δ11X1δ12X2 δ1nXn1P 0 δ21X1δ22X2 δ2nXn2P 0
B X 2 1 δ12
未知力X2单独作用时，相应位
移为：d12 X2 、d22 X2 。
A
( e ) δ22
由叠加原理，得： 1 δ11 X 1 δ12 X 2 1 P
2 δ21 X 1 δ22 X 2 2 P
6.4 力法的典型方程
一、2次超静定结构的计算：
由叠加原理，得： 1 δ11 X 1 δ12 X 2 1 P
C
δ21 B δ11
基本未知量X1单独作用时，相
应位移为：d11 X1 、d21 X1 。
A
X1 1(Leabharlann )6.4 力法的典型方程
一、2次超静定结构的计算：
q
B
C
C
1P
δ21
B δ11 X1单独作用时， 相应位移为：
A
(c) 2P
X 1 1 d11 X1 、d21 X1 。
A
(d )
（三）单位力`X2=1单独作用时，基 C 本结构的相应位移为：d12、d22。
思考：计算图示结构，作出M图。
P
P
2EI
EI
EI
l
(2)
δ21 X 1 δ22 X 2 2 P 0
1 2
ql2
C
(c)
作出`M1、`M2和MP图：
A
δ11
4l 3 3EI
l3
δ12
2EI
d21
C
(d) l
δ
22
l3 3 EI
1P
5ql 4 8 EI
2P
ql 4 4EI
A
系数和自由项代入方程（2）求解 基本未知量：
C (e)
得：
lA
q
B
MP图 B
（二）dii：主系数，都为正；
dij：副系数，可正、可负、也可为零。
dij = dji （i≠j）
ΔiP ：自由项。
位移互等定理
小结
n次超静定结构的力法的典型方程：
δ11X1δ12X2 δ1nXn1P 0 δ21X1δ22X2 δ2nXn2P 0
δn1X1δn2X2 δnnXnnP 0
6.4 力法的典型方程
δ11X1δ12X2 δ1nXn1P 1 δ21X1δ22X2 δ2nXn2P 2
δn1X1δn2X2 δnnXnnP n
6.4 力法的典型方程
δ11X1δ12X2 δ1nXn1P 0
特点：
δ21X1δ22X2 δ2nXn2P 0
δn1X1δn2X2 δnnXnnP 0
（一）有多少个多余约束就有多少个位移条件，就能 建立多少个方程。
2 δ21 X 1 δ22 X 2 2 P
由位移条件式（1） 1 0 (1)
2 0
得： δ11 X 1 δ12 X 2 1 P 0
(2)
δ21 X 1 δ22 X 2 2 P 0
这就是两次超静定结构的力法基本方程。
6.4 力法的典型方程
一、2次超静定结构的计算：
δ11 X 1 δ12 X 2 1 P 0