材料力学讲义-第五讲
第五讲：杆件的组成分析
３、切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当去 掉三个约束；
４、在连续杆（梁式杆）上加一个单铰，相当去掉 一个约束。
第二章 杆件的几何性质 例2-3-5 对图示各体系作几何组成分析。
第二章 杆件的几何性质—小结
一、本章要求 １、了解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、刚片、体系的自由度、 虚铰、约束及多余约束的概念； ２、重点理解并掌握平面几何不变体系的简单组成规则，并能灵活应用到对 体系的分析中； 二、简单规则应用要点 简单规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、约束方式、结论。 应用简单规则对体系进行几何组成分析的要点是：紧扣规则。即，将体系简 化或分步取为两个或三个刚片，由相应的规则进行分析；分析过程中，规则中的 四个要素均要明确表达，缺一不可。 三、对体系作几何组成分析的一般途径 １、恰当灵活地确定体系中的刚片和约束 体系中的单个杆件、折杆、曲杆或已确定的几何不变体系，一般视为刚片。 但当它们中若有用两个铰与体系的其它部分连接时，则可用一根过两铰心的链杆 代替，视其为一根链杆的作用。 ２、如果上部体系与大地的连接符合两个刚片的规则，则可去掉与大地的约 束，只分析上部体系。 ３、通过依次从外部拆除二元体或从内部（基础、基本三角形）加二元体的 方法，简化体系后再作分析。
3、多余约束
在体系上加上或撤除某一约束并不改变原体系的自由度数，则该 约束就是多余约束。
第二章 杆件的几何性质
三、平面体系的几何组成分析
几
何 规则一 （两刚片规则）：
不
两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，组
变 成无多余约束的几何不变体系。
体
或：两个刚片用一个单铰和杆轴不过该铰铰心的一根链杆
启航教育2024材料力学讲义
启航教育2024材料力学讲义第一章引言材料力学是工程学中非常重要的一门学科，它研究物质的力学性质以及与外力的相互作用。
在工程设计和材料制备的过程中，材料力学的知识扮演着重要的角色。
通过本教材的学习，希望能够使学生们全面理解材料力学的基本原理与应用，为未来的工程实践打下坚实的基础。
第二章基本概念与理论2.1 物质与力的关系在材料力学中，我们首先需要了解物质与力的关系。
物质可以看作是由原子或分子组成的，而力则是用来描述相互作用的。
物质受到外力的作用时，会发生形变与应力分布，我们需要通过研究力的传递与平衡条件来理解这种现象。
2.2 应力与应变应力是描述物体内部受力状态的物理量。
常见的应力包括正应力、剪应力等。
应变则是物体在力的作用下所产生的形变量，有正应变、剪应变等。
通过应力和应变的关系，我们可以进一步研究材料的机械性质。
2.3 弹性力学弹性力学是材料力学中重要的分支，它研究材料在受力后能够恢复到原始形状和尺寸的能力。
弹性力学理论的应用广泛，例如在工程结构设计、材料选取等方面都具有重要意义。
第三章材料的力学性质3.1 材料的力学行为材料的力学行为是指材料在受力下的变形和破坏规律。
不同的材料具有不同的力学性质，例如金属材料具有良好的可塑性，而陶瓷材料则具有较好的硬度和耐磨性。
3.2 硬度与强度硬度是材料抵抗局部塑性变形的能力，强度则是材料抵抗破坏的能力。
通过研究材料的硬度和强度，可以评估材料在不同应力下的性能和稳定性。
3.3 蠕变与疲劳蠕变和疲劳是材料力学中的两个重要现象。
蠕变是指材料在长时间低应力下逐渐发生变形的过程，疲劳则是材料在交变应力下反复变形引起的破坏。
第四章材料的力学测试与实验4.1 应力-应变测试应力-应变测试是研究材料力学性质的重要手段。
通过施加外力并测量应力与应变的关系，可以获得材料的力学参数，例如弹性模量、屈服强度等。
4.2 材料的破坏与断裂了解材料的破坏和断裂行为对于工程设计和材料选用非常重要。
材料力学课程讲义 (5)
Ay =
∫
a
0
M( x1 )M( x1 ) dx1 + EI
∫
M( x2 )M( x2 ) dx2 + EI 0
l
∫
l 0
l
0
T( x2 )T( x2 ) dx2 EIt
Ay =
∫
a
0
x1 Fx1 dx1 + EI
∫
x2 Fx2 dx2 + EI 0
l
∫
a Fa dx2 EIt
§4 变形体虚功原理
变形体虚功原理 变形体虚功原理的证明
变形体虚功原理 几个概念
可能内力与外力（静力许可场） 可能内力与外力（静力许可场） 1）与外力保持平衡并满足静力边界条件的 与外力保持平衡并满足静力边界条件的 内力，称为静力可能内力 静力可能内力或 内力，称为静力可能内力或可能内力 2）杆的可能内力用 N,T,FS与M表示 杆的可能内力用F 杆的可能内力用 表示 3）可能内力与外力 可能内力与外力 结构的静力许可场
l
∫ [F
l
N( x)dδ + T( x)dφ + M y ( x)dθy
+ Mz ( x)dθz ]
= ∫ [FN( x)dδ + T( x)dφ + M y ( x)dθy + Mz ( x)dθz ]
l
实际变形 由载荷状态下的实际内力 确定
关于位移与单位载荷 －广义位移，施加相应单位广义载荷 广义位移，施加相应单位广义载荷
We = ∫ q( x )w ( x )d x + M e e + Fp l
l
变形体虚功原理
材料力学讲义
中性轴 z 为横截面的对称轴时 b h
z
y y
z
s max
M M Mymax I z Wz Iz y max
称为抗弯曲截面模量
14
中性轴 z 不是横截面的对称轴时
yt，max yc，max
O y
z
s t,max
My t ,max Iz
s c,max
Q h2 相等。 ( y2 ) 2I z 4
Q
t 矩
3Q t max 1.5t 2 A t方向：与横截面上剪力方向相同；
t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。
2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 ①工字钢截面：
tmax
Q Af
; Af —腹板的面积。
4、需要校核剪应力的几种特殊情况：
梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相 应比值时，要校核剪应力。
各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。
28
q=3.6kN/m
A Q B
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面
120 y + qL2 8 Mmax
z
Wz I z / 2 6.48104 m3
s1 s 2
M1 y Iz
x
60 60 105 61.7MP a 5.832
M
M1
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 1 2 180 30
M1 60 s 1max 104 92.6MPa Wz 6.48
应力之比
+ M
5第五讲(薄壁圆筒扭转)
引进 A0 πr ，上式亦可写作
2 0
三峡大学 工程力学系
材料力学教案 薄壁圆筒横截面上的变形
Me
第三章 扭转 薄壁圆筒的扭转
Me
g
A D BC l
j
薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变 量称为切应变。该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动
了j角，这种角位移称为相对扭转角。
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
薄壁圆筒的扭转
Me2 Me3 Me1 Me4
T1 4780 Nm T2 9560 Nm T3 6370 Nm
作出扭矩图
B
C
A
D
6370
+
4780 9560
T
max
9560 N m
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
Me
薄壁圆筒的扭转
P 9549
常见的传动机构。如水轮机，发电机等。 这里的材料力学问题是：传动的这个圆轴承受什么样的荷
载，会不会破坏？它的变形是什么样的，有多大，会不会
影响正常的传动？ 三峡大学 工程力学系
扭转的实例
材料力学教案
薄壁圆筒的扭转
为解决上述问题，先选用一个相对简单的构件－薄壁圆筒
的扭转加以研究。
1 薄壁圆筒：壁厚 t r0 （r0：为平均半径） 10
材料力学教案
薄壁圆筒的扭转
上一讲学到：
（1）拉压杆应变能：了解应变能概念。 （2）拉压杆强度问题：许用应力、强度条 件、三种题型。
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
薄壁圆筒的扭转
第五讲
薄壁圆筒扭转内力、应力和变形
三峡大学 工程力学系
材料力学 第五章ppt课件
s
A
（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A
EIz
A
2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。
第五章 材料力学基本概念PPT课件
作用在弹性体上的外力相互平衡。
F2
Fn
假想截面
F1
F3
截开之后内力与外力平衡。
F2
分布内力
Fn
空间一般力系平衡方程
F1
My
Fy
Mx FX
F2
X 0
Y
0
Z
0
Mz Fz
M M
x y
0 0
M
z
0
所有力在X轴、Y轴、Z轴上的投影代数和等于零。 所有力对X轴、Y轴、Z轴之力矩代数和等于零。
物体受外力作用而变形，内部各部分之间因相对位置改变而 引起的相互作用，称为附加内力，简称内力。它随外力的变 化而变化。
求内力的方法：截面法
1）分二留一
假想地沿求内力的截面将构件分为两部分，取其中一部分为研究对象。
P2
P4
P1
m
I
II
m
P3
P5
P2 m
P1 I
P3
m
2）内力代替
在保留部分的截面上加上内力，以代替丢弃部分对保留部分的作用，连续分 布内力系可向截面形心简化。
限值称为Ｃ点的全应力。
lim PC
A0
FN A
dFN dA反映内力系在Fra bibliotek点的强弱程度。
3、一点的正应力、切应力 pC τ
σ
c
正应力：垂直于截面的分量。
切应力：切于截面的分量。
故：应力是指一点的应力，而某一点的应力有两个分量分 别是σ和τ。 σ与截面垂直，τ与截面相切。
4、应力单位
国际单位制：N m2 1Pa 工程单位制：kgf m2
外力
二、内力
在没有外力作用的情况下，其内部各质点之间均处于平衡状态， 如物体内部原子与原子之间或者分子与分子之间既有吸引力又 有排斥力，两种力是一种平衡力；这种平衡力能够使各质点之 间保持一定的相对位置，从而使物体维持一定的几何形状，由 此可见，一个完全不受外力作用的物体也是具有内力的。
材料力学第五章课件
of
the
components
3
will
5.2 低碳钢拉伸应力—应变曲线
常用拉伸试样(圆截面): Specimen
F
标距长度： l =10d 或5d
施加拉伸载荷F，记录 F—Dl曲线;
d l
或(=F/A)—(=Dl /l )曲线。
低碳钢拉伸应力—应变曲线:
弹性 屈服 强化 颈缩
Low四car个bo阶n st段eel ：stress
延性指标： 延伸率 和/或 面缩率。
Indicator of elongation
10
5.3 不同材料拉伸压缩时的机械性能
1) 不同材料的拉伸—曲线
(MPa) 16Mn
500
(MPa)
500
Cast iron
灰铸铁
(MPa) Alloy of aluminum
500
铝合金
A3钢 200 (Q235)
1
5
“材料的力学性能 实验室”
电子拉力试验机
The mechanical properties 6
of materials Laboratory
由-曲线定义若干重要的
材料性能和指标 ：
b
Proportional limit
比例极限 p： =E
ys
y
ep
e p
s
k
-关系是线性、弹性的。
E
1
弹性模量 (Elastic Modulus)
弹性应变和塑性应变
b
ys
屈服后卸载，卸载线斜率为E。
Ab Bs
残余的塑性应变为p；恢复的弹 性应变为e，则有：
E
1
o p e
孙训方《材料力学》课件讲义
线应变 是单位长度 上的变形量，无量 纲，其物理意义是 构件上一点沿某一 方向变形量的大小
2．角应变
角应变 —— 即一点单元体两棱角直角的改变 量,无量纲
§1-4 材料力学的主要研究对象
材料力学的主要研究对象从几何方面抽象为杆件。
杆件：长度远大于横向尺寸的构件。杆件主要几 何因素是横截面和轴线，其中横截面是与轴线垂 直的截面；轴线是横截面形心的连线。
纳米力学、流体力学、理性力学 2.有助于后续专业课程学习
建筑结构、 机械设计、结构设计原理 3.有助于学习其它工程：
土木、机械、航空、航天、交通、运输、材料、 生物工程、仪表等 4.今后工程工作中直接受益
§1.2 变形固体的基本假设
在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称 为变形固体，而构件一般均由固体材料制成，故构 件一般都是变形固体。
第一章 绪论及基本概念
主要内容
§1-1 材料力学的任务 §1-2 变形固体的基本假设 §1-3 基本概念 §1-4 材料力学的主要研究对象 §1-5 杆件变形的基本形式
【学 时】2 【基本要求】
掌握材料力学的性质、任务和研究对象. 掌握构件的强度、刚度和稳定性问题的概念.
懂得其重要性，激起学习它的兴趣. 理解材料力学的基本假设、基本概念及研究方法.
p ΔP ΔA
应力是一个矢量
应力不但与点有关，而且也与面的方位有关 C点的应力——当面积趋于零时，平均应力的大
小 和方向都将趋于一定极限，得到
lim p
P dP
A0 A dA
应力的国际单位为N/m2 1N/m2 = 1Pa（帕斯卡）
1MN/m2 = 1MPa = 106 N/m2 = 106Pa
1GPa = 1GN/m2 = 109Pa
材料力学讲义
第五章 弯曲§5-1 引 言在工程实际中，存在大量的受弯构件.例如图5-1a 所示火车轮轴即为受弯构件的实例. 一般说来，当杆件承受垂直于其轴线的外力，或在其轴线平面内作用有外力偶时（图5-2a ），杆的轴线将由直线变为曲线.以轴线变弯为主要特征的变形形式，称为弯曲.凡是以弯曲为主要变形的杆件，称为梁.在分析计算时，通常用轴线代表梁，例如图5-1a 所示火车轮轴与图5-2a 所示梁的计算简图，即分别如图5-1b 与图5-2b 所示.图5-1作用在梁上的外力包括载荷与支座对梁的反作用力或支反力.最常见的支座及相应的支反力如下. ⑴ 可动铰支座 如图5-3a 所示，可动铰支座仅限制梁在支承处垂直于支承平面的线位移，与此相应，仅存在垂直于支承平面的支反力.图5-3a 中同时绘出了用链杆表示的可动铰支座的简图.图5-2⑵ 固定铰支座 如图5-3b 所示，固定铰支座限制梁在支承处沿任何方向的线位移，因此，相应支反力可用两个分力表示，例如沿梁轴方向的支反力与垂直于梁轴方向的支反力.⑶ 固定端 如图5-3c 所示，固定端限制梁端截面的线位移与角位移，因此，相应支反力可用三个分量表示：沿梁轴方向的支反力，垂直于梁轴方向的支反力，以及位于梁轴平面内的支反力偶矩。
图5-3图5-4根据约束的特点，最常见的静定梁有以下三种.⑴简支梁一端为固定铰支、另一端为可动铰支的梁（图5-4a）⑵悬臂梁一端固定、另一端自由的梁（图5-4b）⑶外伸梁具有一个或两个外伸部分的简支梁（图5-4c），例如图5-1所示梁.本章研究梁的内力、应力、强度计算与梁的设计等问题，而且，主要研究所有外力均作用在同一平面内的梁，实际上，这也是最常见的情况.弯曲、扭转与轴向拉压，是杆件变形的三种基本形式，许多杆件的变形或属于基本变形形式，或属于几种基本变形形式的组合形式，即所谓组合变形.本章除研究弯曲问题外，同时还研究弯曲与轴向拉压的组合变形问题。
材料力学 第五章课件
M ym ax Iz
1)当 中性轴为对称轴时( 1)当 中性轴为对称轴时(The cross sections symmetrical about the neutral axis) :
σmax = M WZ
C
ymax
Z
W
=
I y
Z
max
ymax
y
WZ称为抗弯截面系数
( Stresses in Beams)
y
M
?
O
z x
σ =E
ρ
?
应力分布规律
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力， 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成正比 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ 中性层的曲率半径ρ
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
σ Eε E = = ρ
yc max
M
yt max 和 ycmax
直
接代入公式 z
yt max
y
My σ= Iz
求得相应的最大正应力
( Stresses in Beams)
( Stresses in Beams)
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 的分布规律 变形的分布规律 观察变形 提出假设
假设 假设
ε=
y
ρ
( Stresses in Beams)
3、物理关系(Physical relationship)
Hooke’s Law 所以
σ = Eε
Neutral surface Symmetrical axis of Cross Section Fig 5-3 5Neutral axis
第五讲(一) 剪力墙结构的内力
第五讲（一）剪力墙结构的内力、位移计算本章内容：一、剪力墙结构的计算图1、剪力墙结构的计算图—水平荷载下剪力墙的计算截面2、剪力墙的分类（1)整体墙和小开口整体墙(2)双肢剪力墙和多肢剪力墙（3)框支剪力墙(4）开有不规则大洞口的墙二、剪力墙构件的受力特点和分类依据1、影响剪力墙受力性能的两个主要指标（1）肢强系数（2)剪力墙整体性系数2、单榀剪力墙受力特点（水平力作用下墙肢中的整体弯矩和局部弯矩)3、剪力墙的分类(1)整截面剪力墙(2）整体小开口剪力墙（3)联肢剪力墙（4)壁式框架三、剪力墙的计算方法1、整体墙和小开口整体墙的计算2、双肢墙的计算1）连续连杆法的基本假设2）力法方程的建立3）基本方程的解4）双肢墙的内力计算5)双肢墙的位移与等效刚度6）关于墙肢剪切变形和轴向变形的影晌7)关于各类剪力墙划分判别式的讨论一、剪力墙结构的计算图1、剪力墙结构的计算图—水平荷载下剪力墙的计算截面下图为一高层建筑剪力墙结构的平面布置及剖面示意图。
从图中可以看出，剪力墙结构是由一系列的竖向纵、横墙和平面楼板组合在一起的—个空间盒子式结构体系。
按照对高层建筑结构计算的基本假定及计算图取法，它可以按纵、横两方向的平面抗侧力结构进行分析。
为了方便，下面采用简单的图形说明问题.下图所示为剪力墙结构，在横向水平荷载作用下,只考虑横墙起作用,而“略去”纵墙的作用。
在纵向水平荷载作用时，只考虑纵墙起作用，而“略去”横墙的作用。
需要指出的是,这里所谓“略去”另一方向剪力墙的影响，并非完全略去,而是将其影响体现在与它相交的另一方向剪力墙结构端部存在的翼缘，将翼缘部分作为剪力墙的一部分来计算。
根据《高层规程》的规定，计算剪力墙结构的内力和位移时，应考虑纵、横墙的共同工作，即纵墙的一部分可作为横墙的有效翼缘，横墙的一部分也可作为纵墙的有效冀缘.现浇剪力墙有效翼缘的宽度i b可按下表所列各项中最小值取用。
剪力墙通常是布置得规则、拉通、对直的。
材料力学课件 (5)
N A
p
D
2
4 Dt
pD 4t
1
0
2
pD 4t
3
圆杆受扭转和拉伸共同作用
m
P
P m
第9页
N A T Wt
4P
d d
2
16 m
3
§8-2
y
平面应力状态下的应力分析
y
y
yx
y
xy
y
x
x
x
x
x
第10页
一、解析法
y
y
3
2
1
第39页
在三向应力状态情况下：
2
m ax
1
m in
3
1
m ax
1
2
3
3
τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45° 角的平面上，以τ1，3表示
第40页
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
第41页
解：
1
30 20 2
3
30 20 2
2
40
2
5 2 .2 4 2 .2 M Pa
2
50M Pa
m ax
1
2
3
4 7 .2 M P a
材料力学第5章1-讲义
aF
Fa
A
C 纯弯曲 D
B
剪切弯曲或横力弯曲时，
弯 曲
梁的横截面上既有正应力又有
切应力。
讲 例如：
义
横力弯曲
F FS
Fa
M
横力弯曲
F
7
B 内力 dA 合成为剪力 FS 。
第 5
(3) 弯矩：
章
垂直于横截面的内力系的合
力偶矩，即横截面上的法向微元
FS M
弯 曲
内力 dA 的合力偶矩为弯矩 M 。
dA
(4) 梁弯曲时，横截面上的
讲 正应力和切应力分别称为弯曲正 义 应力和弯曲切应力。
dA dA 6
BRY 纯弯曲 (pure bending)
学
5.9 提高弯曲强度和刚度的主要措施
B 第
5.9.1 提高弯曲强度的主要措施
5
5.9.2 提高弯曲刚度的主要措施
章
5.10 弯曲问题的进一步讨论（不要求）
弯
5.10.1 梁的非弹性弯曲
曲
5.10.2 理想弹塑性梁的塑性分析
讲
作业5.1：0.53.1梁的5.极3 限5载.6荷 5.7 5.11 5.13
5.3.2 工字形截面的切应力
弯 曲
5.3.3 圆形截面和圆环形截面梁的切应力
5.4 弯曲强度条件及应用
讲 义
5.5 弯曲中心简介
1
BRY
5.6 弯曲变形的描述与挠曲线近似微分方程
5.6.1 弯曲变形的描述
5.6.2 挠曲线近似微分方程
材
5.7 计算弯曲位移的积分法
料 力
5力系（或其等效力系）仅为变
形前的轴线所在平面内的平面力系，且变形后的轴线也为该
材料力学I第五章ppt课件
11
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它 可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面 的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角， 从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件