李庆扬数值分析第五版第5章与第7章习题答案(供参考)

合集下载

数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)

数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)

第一章 绪论(12)1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x , 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字;0031.0*2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56*4=x 有5位有效数字;0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

(1)*4*2*1x x x ++; [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x 。

李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)汇编

李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)汇编

第7章复习与思考题求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点,选择一个初始近似值X 0,将它代入X =「(X ) 的右端,可求得X 1 h%X °),如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数,如果对任何X 。

• [a,b],由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列〈X k 1有极限则称迭代方程收敛,且X* =®(x*)为®(X )的不动点 故称X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。

5•什么是迭代法的收敛阶?如何衡量迭代法收敛的快慢?如何确定X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶P219设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*,如果当k > 时,迭代误差e k = x k - x *满足渐近关系式—t C,C =const 式 0 e/则称该迭代过程是 p 阶收敛的,特别点,当 p=1时称为线性收敛,P>1时称为超线性收敛, p=2时称为平方收敛。

以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。

6•什么是求解f(x)=0的牛顿法?它是否总是收敛的?若 f(X*) =0,X*是单根,f 是光 滑,证明牛顿法是局部二阶收敛的。

牛顿法:当| f (X k )卜J 时收敛。

7•什么是弦截法?试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。

在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。

就是弦截法。

收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量)8•什么是解方程的抛物线法?在求多项式全部零点中是否优于牛顿法? P229X-mX k 1 =X kf (X k ) f (X k )设已知方程f (x) = 0的三个近似根,X k,X k^,X k^2,以这三点为节点构造二次插值多项式p(x),并适当选取p2(x)的一个零点X k卅作为新近似根,这样确定的迭代过程称为抛物线法。

数值分析 李庆扬 王能超 易大义著华中科技大学出版社第5版 答案

数值分析 李庆扬 王能超 易大义著华中科技大学出版社第5版 答案

第一章 绪论1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。

解:近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-===而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。

解:设()n f x x =,则函数的条件数为'()||()p xf x C f x =又1'()n f x nx-= , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02nr x n ε∴≈3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解:*1 1.1021x =是五位有效数字;*20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解:*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.6101.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈ **24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C VRππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6.设028Y =,按递推公式1n n Y Y -=-(n=1,2,…)计算到100Y 。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章:数值分析导论1. 解答:数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。

它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。

数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题,其结果可能不是完全精确的,但是能够满足工程或科学应用的要求。

2. 解答:数值分析在实际应用中起着重要的作用。

它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。

数值分析是科学计算和工程计算的基础,对许多领域都有着广泛的应用,如物理学、经济学、生物学等。

3. 解答:数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。

与解析方法相比,数值方法一般更加灵活和高效,可以处理一些复杂的数学问题。

数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。

4. 解答:计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。

在数值计算中,由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素,都会导致计算误差的产生。

计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。

第二章:数值误差分析1. 解答:绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。

例如,对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0,其绝对误差为| x - x_0 |。

绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度,通常被用作评估数值计算方法的好坏。

2. 解答:相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。

对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0,其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。

相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度,常用于评估数值计算方法的收敛速度。

3. 解答:舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。

计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数,因此在进行数值计算过程中,舍入误差不可避免地会产生。

舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。

4. 解答:误差限度是指对于给定的数值计算问题,所能容忍的误差范围。

李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案

李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案
答:正确。
(3)一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
答:正确。
(4)如果A非奇异,则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。
答:正确。解释:若A|b与A的秩相同,则A有唯一解。若不同,则A无解。
(5)如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素,则矩阵必奇异。
(6)范数为零的矩阵一定是零矩阵。
答:正确。
17、大熊座的明显标志就是我们熟悉的由七颗亮星组成的北斗七星,
11.判断下列命题是否正确:
8、铁生锈的原因是什么?人们怎样防止铁生锈?(1)非线性方程(或方程组)的解通常不唯一(正确)
(2)牛顿法是不动点迭代的一个特例(正确)
11、月食:当地球转到月球和太阳的中间,太阳、地球、月球大致排成一条直线时,地球就会挡住太阳射向月球的光,这时在地球上的人就只能看到月球的一部分或全部看不到,于是就发生了月食。(3)不动点迭代法总是线性收敛的(错误)
4从以上可以看出,每次运算后,区间长度减少一半,是线形收敛。
3.什么是函数 的不动点?如何确定 使它的不动点等价于 的零点
P215.
将方程 改写成等价的形式 ,若要求 满足 ,则 ;反之亦然,称 为函数 的一个不动点。
4.什么是不动点迭代法? 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 的不动点
齐次性
三角不等式
设 为向量,则三种常用的向量范数为:(第3章p53,第5章p165)
7、何谓矩阵范数?何谓矩阵的算子范数?给出矩阵A =(ai j)的三种范数||A||1,||A||2,||A||∞,||A||1与||A||2哪个更容易计算?为什么?
向量范数定义见p162,需要满足四个条件。
正定条件
均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。

李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析

李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析

WORD格式.分享第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元?哪些方程组可以不选主元?k答:使用高斯消去法时,在消元过程中可能出现a的情况,这时消去法无法进行;即kkk时主元素0和舍入增长a,但相对很小时,用其做除数,会导致其它元素数量级的严重kk计误差的扩散,最后也使得计算不准确。

因此高斯消去法需要选主元,以保证计算的进行和算的准确性。

当主对角元素明显占优(远大于同行或同列的元素)时,可以不用选择主元。

计算时一般选择列主元消去法。

2、高斯消去法与LU分解有什么关系?用它们解线性方程组Ax=b有何不同?A要满足什么条件?答:高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解,其中一个为上三角矩阵U,一个为下三角矩阵L。

用LU分解解线性方程组可以简化计算,减少计算量,提高计算精度。

A需要满足的条件是,顺序主子式(1,2,⋯,n-1)不为零。

3、楚列斯基分解与LU分解相比,有什么优点?楚列斯基分解是LU分解的一种,当限定下三角矩阵L的对角元素为正时,楚列斯基分解具有唯一解。

4、哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定?具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。

,切对角元素恒为正数,因此,是一个稳定的平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长算法。

5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定?对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数?给出三种常用的向量范数。

向量范数定义见p53,符合3个运算法则。

正定性齐次性三角不等式x为向量,则三种常用的向量范数为:(第3章p53,第5章p165)设n||x|||x|1ii11n22||x||(x)2ii1||x||max|x i|1in7、何谓矩阵范数?何谓矩阵的算子范数?给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1,||A||2,精品.资料WORD格式.分享||A||∞,||A||1与||A||2哪个更容易计算?为什么?向量范数定义见p162,需要满足四个条件。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章 绪论(12)1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x , 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字;0031.0*2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56*4=x 有5位有效数字;0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

(1)*4*2*1x x x ++;[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x 。

数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案

数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案

第一章 绪论1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。

解:近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。

解:设()n f x x =,则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解:*1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解:*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?解:球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6.设028Y =,按递推公式1n n Y Y -= (n=1,2,…)计算到100Y 27.982≈(5位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?解:1n n Y Y -=10099Y Y ∴=-9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =-依次代入后,有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(OCR)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(OCR)

根是x,,2…,x-,且V。x,x…·,x)=V,Cx6,x…·)(x-x)…(x-x)。
V,(xo,x,…x-x)=11】 -x,)用a-x,)
[证明]由
可得求证。
=V,(Cx8,x,…,xX))11(x-x)
2、当x=1-1,2时,f(x)=0,-3.4,求f(x)的二次插值多项式。
L,(x)=y%((xx6--xx,)((xx-2x-x22))
y=f(x)=f0.5)=-0.693147,y2=f(x)=f(0.6)=-0.510826,则
L2(x)=y。 (x-x)(x-x2)
(x6-x)x-x)
(x-x)(x-x)
(x-x)(x-x2)
(x-xo)(x-x) (x2-xo)(x2-x)
=-0.916291×.(0(.x4-0-.05.)5()x(-00..64)-0.6-.
30—+2—9.x9583x31 ̄02'=0.8336×104
14、试用消元法解方程x组1+10"x=100
x+x2=2
,假定只有三位数计算,问结果是否
可靠?
[解]精确解为x1=0100-*1 10"-2 ,当使用三位数运 算时,得到
x =1,x2=1,结果可靠。
15、已知三角形面积s=s去= absinc,其中c为弧度,0<c< 且测量a,b,c
位有效数字;x=56.430有5位有效数字;x=7×10有2位有效数字。 4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中x,x;,x,x;均为第3题所给
的数。
(1)x+x2+x:
e(x+x写+x)=>
[解]
E(x)=E(x)+E(x)+E(x;)
3+tx10=1.05×103
(2)xxx;

数值分析第五版-李庆扬--课后习题答案

数值分析第五版-李庆扬--课后习题答案

数值分析第五版-李庆扬--课后习题答案第一章绪论1.设某0,某的相对误差为,求ln某的误差。

e某某某某某解:近似值某某的相对误差为=er某某某某1e某而ln 某的误差为eln某某ln某某ln某某某进而有(ln某某)2.设某的相对误差为2%,求某n的相对误差。

解:设f(某)某n,则函数的条件数为Cp|某n某n1|n,Cp|n某f'(某)|f(某)又f'(某)n某n1又r((某某)n)Cpr(某某)且er(某某)为2r((某某)n)0.02n3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个某某某单位,试指出它们是几位有效数字:某11.1021,某20.031,某3385.6,某某某456.430,某571.0.某解:某11.1021是五位有效数字;某某20.031是二位有效数字;某某3385.6是四位有效数字;某某456.430是五位有效数字;某某571.0.是二位有效数字。

某某某某某某某某4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1)某1,(2)某1.某2某4某2某3,(3)某2/某4某某某某其中某1均为第3题所给的数。

,某2,某3,某4解:121某(某2)10321某(某3)10121某(某4)10321某(某5)1012(某1某)104某某某(1)(某1某2某4)某某某(某1)(某2)(某4)1114331010102221.05103某某某(2)(某1某2某3)某某某某某某某某某某1某2(某3)某2某3(某1)某1某3(某2)1111.10210.0311010.031385.61041.1021385.61032220.215某某(3)(某2/某4)某某某某某2(某4)某4(某2)某某24110.03110356.4301032256.43056.4301055计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?4解:球体体积为VR33则何种函数的条件数为RV'R4R2Cp34VR33r(V某)Cpr(R某)3r(R某)又r(V某)121故度量半径R时允许的相对误差限为r(R某)10.3331783(n=1,2,…)6.设Y028,按递推公式YnYn1100计算到Y100。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章 绪论(12)1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x , 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%,求nx 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而nx 的误差为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字;0031.0*2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56*4=x 有5位有效数字;0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

(1)*4*2*1x x x ++;[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x 。

数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案

数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案

第一章 绪论1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。

解:近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。

解:设()n f x x =,则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解:*11.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解:*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?解:球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6.设028Y =,按递推公式1n n Y Y -= (n=1,2,…)计算到100Y 27.982≈(5位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?解:1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后,有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章 绪论(12)1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x , 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字;0031.0*2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56*4=x 有5位有效数字;0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

(1)*4*2*1x x x ++; [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x 。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章 绪论(12)1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x , 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字;0031.0*2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56*4=x 有5位有效数字;0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

(1)*4*2*1x x x ++; [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x 。

精品!数值分析 第五版课后习题完整答案(李庆扬等)

精品!数值分析 第五版课后习题完整答案(李庆扬等)

第一章 绪论(12)1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x , 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字;0031.0*2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56*4=x 有5位有效数字;0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

(1)*4*2*1x x x ++;[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x 。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章 绪论(12)1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x , 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字;0031.0*2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56*4=x 有5位有效数字;0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

(1)*4*2*1x x x ++; [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x 。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章 绪论(12)1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x , 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字;0031.0*2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56*4=x 有5位有效数字;0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

(1)*4*2*1x x x ++; [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x 。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第5章
复习与思考题
1、用高斯消去法为什么要选主元?哪些方程组可以不选主元?
答:使用高斯消去法时,在消元过程中可能出现 的情况,这时消去法无法进行;即时主元素 ,但相对很小时,用其做除数,会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散,最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元,以保证计算的进行和计算的准确性。
则称该迭代过程是p阶收敛的,特别点,当p=1时称为线性收敛,P>1时称为超线性收敛,p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6.什么是求解 的牛顿法?它是否总是收敛的?若 , 是单根, 是光滑,证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法:
当 时收敛。
7.什么是弦截法?试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
(7)奇异矩阵的范数一定是零。
答:错误, 可以不为0。
(8)如果矩阵对称,则||A||1= ||A||∞。
答:根据范数的定义,正确。
(9)如果线性方程组是良态的,则高斯消去法可以不选主元。
答:错误,不选主元时,可能除数为0。
(10)在求解非奇异性线性方程组时,即使系数矩阵病态,用列主元消去法产生的误差也很小。
当主对角元素明显占优(远大于同行或同列的元素)时,可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系?用它们解线性方程组Ax = b有何不同?A要满足什么条件?
答:高斯消去法实质上产生了一个将 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解,其中一个为上三角矩阵U,一个为下三角矩阵L。
均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
并求出系数矩阵A的行列式的值
使用列主元消去法,有
A的行列式为-66
方程组的解为
X1=1,x2=2,x3=3
8、用直接三角分解(Doolittle分解)求线性方程组的解
本题考查LU分解。
解:
9、用追赶法解三对角方程组 ,其中
, 。
解:追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有
3、设 为指标为 的初等下三角矩阵(除第 列对角元以下元素外, 和单位阵 相同),即
求证当 时, 也是一个指标为k的初等下三角矩阵,其中 为初等置换矩阵。
4、试推导矩阵 的Crout分解A=LU的计算公式,其中L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵。
本题不推导。参见书上例题。P147页。
5、设 ,其中 为三角矩阵。
即使矩阵不可逆,LU仍然可能存在。实际上,如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零,那么它就可以进行LU分解,但反之则不然。
解:
因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,-10,所以A不能直接分解为三角阵的乘积,但换行后可以。
因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,0,所以B不能分解为三角阵的乘积。
(1) 为对称正定矩阵;
(2)
,所以 为对称正定矩阵。
由于 为对称正定矩阵,所以

第7章
复习与思考题
1.什么是方程的有根区间?它与求根有何关系?
P213,若 且 ,根据连续函数性质可知 在 内至少有一个实根,这时称 为 的有根区间。
2.什么是二分法?用二分法求 的根, 要满足什么条件?
P213
一般地,对于函数 如果存在实数c,当x=c时,若 ,那么把x=c叫做函数 的零点。解方程即要求 的所有零点。
取 ,
这时它与精确解的距离 。
2. 为求方程 在 附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:
1) ,迭代公式 ;
2) ,迭代公式 ;
3) ,迭代公式 ;
试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。
[解]1)设 ,则 ,从而 ,所以迭代方法局部收敛。
2)设 ,则 ,从而
(5)矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
(1)、(2)
注:矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小,不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确:
(1)只要矩阵A非奇异,则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。
答:错误,主元位置可能为0,导致无法计算结果。
(2)对称正定的线性方程组总是良态的。
答:正确。
(3)一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
答:正确。
(4)如果A非奇异,则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。
答:正确。解释:若A|b与A的秩相同,则A有唯一解。若不同,则A无解。
(5)如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素,则矩阵必奇异。
(6)范数为零的矩阵一定是零矩阵。
答:正确。
假定 在区间(x,y)上连续,
先找到a、b属于区间(x,y),使 ,说明在区间(a,b)内一定有零点,然后求 ,现在假设
1果 ,该点就是零点,如果 ,则在区间 内有零点,从①开始继续使用中点函数值判断。
2如果 ,则在区间 内有零点,从①开始继续使用中点函数值判断。
3这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法,使区间的两个端点逐步迫近函数的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法。
从而 ,
又当 时,

当 时,

综上所述, 时最小,这时 ,即 。
18、设 ,计算A的条件数
由 可知, ,从而

由 ,

由 ,
可得 ,从而

, ,从而 。
19、证明:如果 是正交矩阵,则
若A是正交阵,则 ,从而 , ,故 , 。
20、设 ,且 为 上矩阵的算子范数,证明:
21、设 ,其中 为非奇异矩阵,证明:
因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1,5,1,所以C能够分解为三角阵的乘积,并且分解是唯一的。
12、设

计算A的行范数,列范数,2-范数及F-范数。
本题考查的是矩阵范数的定义及求法
行范数0.6+0.5=1.1
列范数0.5+0.3=0.8
2-范数的计算需要用到特征值,特征值的计算可以使用幂法进行计算,也可以直接求。
(1)计算 的递推公式
(2)解Ly=f
(3)解UX=y
10、用改进的平方根法解方程组

本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P157

11、下列矩阵能否分解为 (其中L为单位下三角阵,U为上三角阵)?若能分解,那么分解是否唯一。
, , 。
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵(或U矩阵)为单位三角矩阵,那么分解是唯一的。同理可知,矩阵的LDU可分解条件也相同,并且总是唯一的。
用LU分解解线性方程组可以简化计算,减少计算量,提高计算精度。
A需要满足的条件是,顺序主子式(1,2,…,n-1)不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比,有什么优点?
楚列斯基分解是LU分解的一种,当限定下三角矩阵L的对角元素为正时,楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定?
P215
求 的零点就等价于求 的不动点,选择一个初始近似值 ,将它代入 的右端,可求得
,如此反复迭代有

称为迭代函数,如果对任何 ,由 得到的序列
有极限
,则称迭代方程收敛,且 为 的不动点,故称 为不动点迭代法。
5.什么是迭代法的收敛阶?如何衡量迭代法收敛的快慢?如何确定 的收敛阶
P219
设迭代过程 收敛于 的根 ,如果当 时,迭代误差 满足渐近关系式
具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长,切对角元素恒为正数,因此,是一个稳定的算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定?
对角占优的三对角方程组
6、何谓向量范数?给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53,符合3个运算法则。
正定性
(1)就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式,并写出算法
(2)计算解三角方程组 的乘除法次数
(3)设 为非奇异矩阵,试推导求 的计算公式
本题考查求解公式的一般方法,可从第n个元素开始,逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。
解法,略。
6、证明:
(1)如果 是对称正定矩阵,则 也是对称正定矩阵
(2)如果 是对称正定矩阵,则 可以唯一地写成 ,其中 是具有正对角元的下三角矩阵
答:错误。对于病态方程组,选主元对误差的降低没有影响。
(11)||A||1= ||AT||∞。
答:根据范数的定义,正确。
(12)若A是nn的非奇异矩阵,则

答:正确。A是nn的非奇异矩阵,则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有:
习题
1、设A是对称阵且 ,经过高斯消去法一步后,A约化为 ,证明 是对称矩阵。
齐次性
三角不等式
设 为向量,则三种常用的向量范数为:(第3章p53,第5章p165)
7、何谓矩阵范数?何谓矩阵的算子范数?给出矩阵A =(ai j)的三种范数||A||1,||A||2,||A||∞,||A||1与||A||2哪个更容易计算?为什么?
向量范数定义见p162,需要满足四个条件。
正定条件
(1)非线性方程(或方程组)的解通常不唯一(正确)
(2)牛顿法是不动点迭代的一个特例(正确)
(3)不动点迭代法总是线性收敛的(错误)
(4)任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法(正确)
(5)求多项式 的零点问题一定是病态的问题(错误)
(7)二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解(错误)
(8)牛顿法有可能不收敛(正确)
相关文档
最新文档