圆的综合解答题

专题一：圆的综合解答题

【知识储备】

1、同圆或等圆中，半径处处相等；

2、射影定理；

3、有一条公共边的两个三角形相似，公共边的平方等于它在两个三角形中的对应边的乘积。

AB

CD

BC•

=

2AC

CD

BC•

=

2（公共边的平方等于共线边之积）。

4、垂径定理基本模型：

2

2

2

2

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

=

d

h

r

（r：半径、h：圆心距、d：弦长）

5、∥+角平分线→等腰三角形（知二推一）

6、相等的角的三角函数值相等。

【例题讲解】

基本题型：条件发散

例1、（2016.内江）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC、BC 及AB的延长线相交于点D、E、F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD、FH。

（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；

（3）在（2）的条件下，求HB HG •的值。

练习： （2016.资阳）如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连接BD 。 （1）求证：∠A ＝∠BDC ；

（2）若CM 平分∠ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM ＝1时，求MN 的长。

例2、（2016.绵阳）如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，点D 是⋂

BC 的中点，DE ⊥AC

于点E ，DF ⊥AB 于点F 。

（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若OF ＝4，求AC 的长度。

练习： 1、（2016.南充）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，OC ＝1，以点O 为圆心、OC 为半径作半圆。 （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）如果tan ∠CAO=

3

1

，求cosB 的值。

2、（2016.甘孜）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 、AC 分别交于D 、E 两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H 。

（1）判断DH 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）求证：H 为CE 的中点； （3）若BC ＝10，cosC ＝

5

5

，求AE 的长。

例3、（2016.成都）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以CB 为半径作⊙C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接BD 、BE 。 （1）求证：△ABD ∽△AEB ； （2）当

3

4

=BC AB 时，求tanE ； （3）在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线，与BE 交于点F 。若AF ＝2，求⊙C 的半径。

练习： （2016.凉山）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，A 是⋂

BDC 的中点，AE ⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且⋂

⋂

=AD BF 。 （1）求证：△ADC ∽△EBA ；

（2）如果AB ＝8，CD ＝5，求tan ∠CAD 的值。

【当堂检测】 1、（2016.泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线交于点E ，且∠A ＝∠EBC 。 （1）求证：BE 是⊙O 的切线；

（2）已知CG ∥EB ，且CG 与BD 、BA 分别相交于点F 、G ，若48=•BA BG ，FG=2，DF=2BF ，求AH 的值。

2、（2016.乐山）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F 。 （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若EB ＝

23，且5

3

sin =∠CFD ，求⊙O 的半径与线段AE 的长。

3、（2014.宜宾）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F.

(1)求证：直线EF是⊙O的切线；

(2) CF=5，cos∠A = 2

5，求BE的长.