圆的综合解答题
中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案
中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图△ABC内接于⊙O AB、CD是⊙O的直径E是DA长线上一点且∠CED=∠CAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；求线段CE的长．(2)若DE=3√5tanB=122．如图在△ABC中AB=AC以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC 垂足为E延长CA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；⊙O的半径为5 求线段CF的长．(2)若tanB=123．如图△ABC内接于⊙O直径DE⊙AB于点F交BC于点M DE的延长线与AC的延长线交于点N连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊙BM DE＝8 ⊙N＝15° 求BC的长．4．如图△ABC内接于⊙O AB是⊙O的直径D是⊙O上的一点CO平分∠BCD CE⊥AD垂足为E AB与CD相交于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；时求CE的长．(2)当⊙O的半径为5sinB=355．如图1 锐角△ABC内接于⊙O⊙BAC=60°若⊙O的半径为2√3．(1)求BC的长度；(2)如图2 过点A作AH⊙BC于点H若AB+AC=12 求AH的长度．6．如图AB是⊙O的直径M是OA的中点弦CD⊥AB于点M过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD则∠AOD=_______；(2)求证：DE 与⊙O 相切；(3)点F 在BC ⏜上 ∠CDF =45° DF 交AB 于点N ．若DE =6 求FN 的长．7．如图 AB 是⊙O 的直径 点C 为⊙O 上一点 OF ⊥BC 垂足为F 交⊙O 于点E AE 与BC 交于点H 点D 为OE 的延长线上一点 且∠ODB =∠AEC ．(1)求证：BD 是⊙O 的切线(2)求证：CE 2=EH ⋅EA(3)若⊙O 的半径为52 sinA =35 求BH 和DF 的长． 8．如图 在⊙ABC 中 ⊙C=90° 点O 在AC 上 以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D BD 的垂直平分线交BC 于点E 交BD 于点F 连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线（2）若AB=5 BC=4 OA=1 求线段DE 的长．9．如图 AB 是⊙O 的直径 弦CD 与AB 交于点E 过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P 连接OC CB ．(1)求证：AE ·EB =CE ·ED(2)若⊙O 的半径为 3 OE =2BE CE DE =95 求tan∠OBC 的值及DP 的长．10．如图菱形ABCD中AB=4以AB为直径作⊙O交AC于点E过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线(2)连接OF若∠BAD=60°求OF的长．(3)在（2）的条件下若点G是⊙O上的一个动点则线段CG的取值范围是什么？11．如图点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A B两点重合）点D是弧AC的中点DE⊥AB于点E连接AC交DE于点F连接OF过点D作半圆O的切线DP 交BA的延长线于点P．(1)求证：AC∥DP(2)求证：AC=2DE的值．(3)连接CE CP若AE⊙EO=1⊙2求CECP12．如图1 AB为⊙O直径CB与⊙O相切于点B D为⊙O上一点连接AD OC若AD//OC．（1）求证：CD为⊙O的切线（2）如图2 过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E连接BD交OC于点F若AB=3AE=12求BF的长．13．已知：如图在⊙O中∠PAD=∠AEP AF=CF AB是⊙O的直径CD⊥AB于点G．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若AG=4tan∠DAG=2求△ADE的面积．(3)在（2）的条件下求DQ的长．14．如图已知AB是⊙O的直径点E是⊙O上异于A B的点点F是弧EB的中点连接AE AF BF过点F作FC⊙AE交AE的延长线于点C交AB的延长线于点D⊙ADC的平分线DG交AF于点G交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)求sin⊙FHG的值(3)若GH＝4√2HB＝2 求⊙O的直径．15．如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直垂足为E且AB=CD．(1)求证：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F OG⊥AB于G问四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．(3)若CE=1，DE=3求⊙O的半径．16．【问题提出】如图1 △ABC为⊙O内接三角形已知BC=a圆的半径为R 探究a R sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2 若∠A为锐角连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D在△DBC中BD为⊙O的直径BC=a所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a R sin∠D的关系为________________．所以在⊙O内接三角形△ABC中a R sin∠A之间的关系为________________．类比锐角求法当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中∠B=60°,AC=4则△ABC外接圆的面积为________．17．已知AB为⊙O的直径PA PC是⊙O的的切线切点分别为A C过点C作CD//AB交⊙O于D．（1）如图当P D O共线时若半径为r求证CD=r（2）如图当P D O不共线时若DE=2CE=8求tan∠POA．18．如图1 已知矩形ABCD中AB=2√3AD=3 点E为射线BC上一点连接DE以DE为直径作⊙O（1）如图2 当BE=1时求证：AB是⊙O的切线（2）如图3 当点E为BC的中点时连接AE交⊙O于点F连接CF求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值若不存在请说明理由．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形直径AC与对角线BD相交于点E作CH⊥BD于H CH与过A点的直线相交于点F∠FAD=∠ABD.（1）求证：AF为⊙O的切线（2）若BD平分∠ABC求证：DA=DC（3）在（2）的条件下N为AF的中点连接EN若∠AED+∠AEN=135°⊙O 的半径为2√2求EN的长.20．如图1 直线l1⊥l2于点M以l1上的点O为圆心画圆交l1于点A B交l2于点C D OM＝4 CD＝6 点E为弧AD上的动点CE交AB于点F AG⊙CE 于点G连接DG AC AD．（1）求⊙O的半径长（2）若⊙CAD＝40° 求劣弧弧AD的长（3）如图2 连接DE是否存在常数k使CE−DE=k·EG成立？若存在请求出k的值若不存在请说明理由（4）若DG⊙AB则DG的长为（5）当点G在AD的右侧时请直接写出⊙ADG面积的最大值．参考答案1．（1）证明：⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙∠CAB+∠B=90°⊙∠CED=∠CAB∠B=∠D⊙∠CED+∠D=90°⊙∠DCE=∠ACB=90°⊙CD⊥CE⊙CD是⊙O的直径即OC是⊙O半径⊙CE是⊙O的切线（2）由（1）知CD⊥CE在Rt△ABC和Rt△DEC中⊙∠B=∠D tanB=12⊙tan∠B=tan∠D=CECD =12⊙CD=2CE在Rt△CDE中CD2+CE2=DE2DE=3√5⊙(2CE)2+CE2=(3√5)2解得CE=3（负值舍去）即线段CE的长为3．2．解：（1）⊙OB=OD⊙∠ABC=∠ODB⊙AB=AC⊙∠ABC=∠ACB⊙∠ODB=∠ACB⊙OD∥AC⊙DE⊥AC OD是半径⊙DE⊥OD⊙DE是⊙O的切线．（2）连接BF AD⊙⊙O的半径为5 AB为直径⊙AB=10∠ADB=90°∠BFC=90°⊙tanB=1设AD=x则BD=2x2在Rt△ABD中由勾股定理得：AD2+BD2=AB2即x2+(2x)2=102解得：x=2√5或x=−2√5（舍去）⊙BD=2x=4√5⊙AB=AC∠ADB=90°⊙BD=CD⊙BC=2BD=8√5由（1）知OD∥AC⊙∠ODB=∠C⊙OB=OD⊙∠B=∠ODB=∠C⊙tanC=tanB=1即CF=2BF2在Rt△BCF中BF2+CF2=BC2即BF2+(2BF)2=(8√5)2解得BF=8或BF=−8（舍去）⊙CF=2BF=16．3．（1）证明：⊙直径DE⊙AB于点F⊙AF＝BF⊙AM＝BM（2）连接AO BO如图由（1）可得AM＝BM⊙AM⊙BM⊙⊙MAF＝⊙MBF＝45°⊙⊙CMN＝⊙BMF＝45°⊙AO＝BO DE⊙AB∠AOB⊙⊙AOF＝⊙BOF＝12⊙⊙N＝15°⊙⊙ACM＝⊙CMN+⊙N＝60° 即⊙ACB＝60°∠AOB．⊙⊙ACB＝12⊙⊙AOF＝⊙ACB＝60°．⊙DE＝8⊙AO＝4．得AF＝2√3在Rt⊙AOF中由sin∠AOF=AFAO在Rt⊙AMF中AM＝√2AF＝2√6．得BM= AM＝2√6得CM＝2√2在Rt⊙ACM中由tan∠ACM=AMCM⊙BC＝CM+BM＝2√2+2√6．4．（1）证明：⊙弧AC=弧AC⊙∠ADC=∠B．⊙OB=OC⊙∠B=∠OCB．⊙CO平分∠BCD⊙∠OCB=∠OCD⊙∠ADC=∠OCD．⊙CE⊥AD⊙∠ADC+∠ECD=90°⊙∠OCD+∠ECD=90°即CE⊥OC．⊙OC为⊙O的半径⊙CE是⊙O的切线．（2）连接OD得OD=OC⊙∠ODC=∠OCD．⊙∠OCD=∠OCB=∠B⊙∠ODC=∠B⊙CO=CO⊙△OCD≌△OCB⊙CD=CB．⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙AC=AB⋅sinB=10×35=6⊙CB=√AB2−AC2=√102−62=8⊙CD=8⊙CE=CD⋅sin∠ADC=CD⋅sinB=8×35=245．5．解：（1）连接OB OC过点O作OD⊙BC于点D⊙BD =CD =12BC⊙⊙A =60°⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =⊙OCB =180°−∠BOC2=30°⊙OB =2√3⊙BD =OB •cos30°=2√3×√32=3⊙BC =2BD =6．（2）设点G 为此三角形ABC 内切圆的圆心（角平分线的交点） 过G 分别向ABAC BC 作垂线GM GN GQ⊙GM =GN =GQ CQ =CN BQ =BM AM =AN⊙AM +AN =AB +AC -BC =6⊙AM =AN =3．在Rt △AGM 中⊙⊙GAM =30°⊙GM =√3⊙S △ABC =12BC •AH =S △ABG +S △BCG +S △ACG=12AB •GM +12BC •GQ +12AC •GN=12GM（AB+AC+CB）=9√3∵BC=6, S△ABC=12BC•AH⊙AH=3√3．6．（1）解：如图1 连接OD AD⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙AB垂直平分CD⊙M是OA的中点⊙OM=12OA=12OD⊙cos∠DOM=OMOD =12⊙∠DOM=60°即∠AOD=60°故答案为：60°（2）解：⊙CD⊥AB AB是⊙O的直径⊙CM=MD⊙M是OA的中点⊙AM=MO又⊙∠AMC=∠DMO⊙△AMC≌△OMD⊙∠ACM=∠ODM⊙CA∥OD⊙DE⊥CA⊙∠E=90°⊙∠ODE=180°−∠E=90°⊙DE⊥OD⊙DE与⊙O相切（3）如图2 连接CF CN⊙OA⊥CD于M⊙M是CD中点⊙NC=ND⊙∠CDF=45°⊙∠NCD=∠NDC=45°⊙∠CND=90°⊙∠CNF=90°由（1）可知∠AOD=60°∠AOD=30°⊙∠ACD=12在Rt△CDE中∠E=90°∠ECD=30°DE=6=12⊙CD=DEsin30°在Rt△CND中∠CND=90°∠CDN=45°CD=12⊙CN=CD•sin45°=6√2⊙∠AOD=60°，OA=OD⊙△OAD是等边三角形⊙∠OAD=60°∠CAD=2∠OAD=120°⊙∠CFD=180°−∠CAD=60°在Rt△CNF中∠CNF=90°∠CFN=60°CN=6√2 =2√6．⊙FN=CNtan60°7．（1）证明：如图1所示⊙∠ODB=∠AEC∠AEC=∠ABC⊙∠ODB=∠ABC⊙OF⊥BC⊙∠BFD=90°⊙∠ODB+∠DBF=90°⊙∠ABC+∠DBF=90°即∠OBD=90°⊙BD⊥OB⊙AB是⊙O的直径⊙BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC如图2所示⊙OF⊥BC⊙弧BE=弧CE⊙∠CAE=∠ECB⊙∠CEA=∠HEC⊙△AEC ∽△CEH⊙CE EH =EACE⊙CE 2=EH ⋅EA（3）解：连接BE 如图3所示⊙AB 是⊙O 的直径⊙∠AEB =90°⊙⊙O 的半径为52 sin∠BAE =35 ⊙AB =5 BE =AB ⋅sin∠BAE =5×35=3 ⊙EA =√AB 2−BE 2=4⊙弧BE =弧CE⊙BE =CE =3⊙CE 2=EH ⋅EA⊙EH =94⊙在Rt △BEH 中 BH =√BE 2+EH 2=√32+(94)2=154 ⊙∠A =∠C⊙sinC =sinA⊙OF ⊥BC 垂足为F⊙在Rt △CFE 中 FE =CE ⋅sinC =3×35=95 ⊙CF =√CE 2−EF 2=√32−(95)2=125 ⊙BF =CF =125⊙OF =√BO 2−BF 2=√(52)2−(125)2=710 ⊙∠ODB =∠ABC⊙tan∠ODB =tan∠ABC⊙BFDF =OFBF⊙BF 2=OF ⋅DF⊙(125)2=710DF ⊙DF =28835．8．解：（1）连接OD 如图⊙EF 垂直平分BD⊙ED=EB⊙⊙EDB=⊙B⊙OA=OD⊙⊙A=⊙ODA⊙⊙A+⊙B=90°⊙⊙ODA+⊙EDB=90°⊙⊙ODE=90°⊙OD⊙DE⊙直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH⊙AD 于H 如图 则AH=DH 在Rt △OAB 中 sinA=BC AB =45在Rt △OAH 中 sinA=OH OA =45⊙OH=45⊙AH=√12−(45)2=35⊙AD=2AH=65 ⊙BD=5﹣65=195⊙BF=12BD=1910在Rt⊙ABC 中 cosB=45 在Rt⊙BEF 中 cosB=BF BE =45⊙BE=54×1910=198 ⊙线段DE 的长为198．9．(（1）证明：连接AD∵∠A =∠BCD ∠AED =∠CEB ∴ΔAED ∽ΔCEB∴ AECE =EDEB∴AE ·EB =CE ·ED（2）解：∵⊙O 的半径为 3 ∴OA =OB =OC =3∵OE =2BE∴OE =2 BE =1 AE =5 ∵ CEDE =95 ∴设CE =9x DE =5x∵AE ·EB =CE ·ED∴5×1=9x ·5x解得：x 1=13 x 2=−13（不 合题意舍去） ∴CE =9x =3 DE =5x =53 过点C 作CF ⊥AB 于F∵OC =CE =3∴OF =EF =12OE =1∴BF =2在RtΔOCF中∵∠CFO=90°∴CF2+OF2=OC2∴CF=2√2在RtΔCFB中∵∠CFB=90°∴tan∠OBC=CFBF =2√22=√2∵CF⊥AB于F∴∠CFB=90°∵BP是⊙O的切线AB是⊙O的直径∴∠EBP=90°∴∠CFB=∠EBP在ΔCFE和ΔPBE中{∠CFB=∠PBE EF=BE ∠FEC=∠BEP∴ΔCFE≅ΔPBE(ASA)∴EP=CE=3∴DP=EP−ED=3−53=43．10．:解：（1）证明：如图连接OE．⊙四边形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA∴∠CAD=∠OEA∴OE∥AD∵EF⊥AD∴OE⊥EF又⊙OE是⊙O的半径⊙EF是⊙O的切线．（2）解：如图连接BE．⊙AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°在Rt△ABE中AE=AB·cos30°=2√3在Rt△AEF中EF=AE·sin30°=√3AB=2在Rt△OEF中OE=12⊙OF=√OE2+EF2=√4+3=√7．（3）解：如图过点C作CM垂直AB交AB延长线于点M由（2）知∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60°∴AB=BC=4，BM=2，CM=2√3∴AM=6，OM=6−2=4．⊙OC=√OM2+CM2=√42+(2√3)2=2√7⊙CG近=2√7−2CE远=2√7+2⊙线段CG的取值范围是：2√7−2≤CG≤2√7+211．（1）证明：连接OD∵D为弧AC的中点∴OD⊥AC又∵DP为⊙O的切线∴OD⊥DP∴AC∥DP（2）证明：∵DE⊥AB∴∠DEO=90°由（1）可知OD⊥AC设垂足为点M∴∠OMA=90°∴∠DEO=∠OMA AC=2AM又∵∠DOE=∠AOM OD=OA∴△ODE≌△OAM(AAS)∴DE=AM∴AC=2AM=2DE（3）解：连接OD OC CE CP∵∠ODP=∠OED=90°∠DOE=∠DOP ∴△DOE∽△POD∴ODOP =OEOD∴OD2=OE⋅OP ∵OC=OD∴OC2=OE⋅OP∴OCOE =OPOC又∵∠COE=∠POC ∴△COE∽△POC∴CECP =OEOC∵AE:EO=1:2∴OEOA =23∴OEOC =23∴CECP =23．12．解：（1）连接OD⊙CB与⊙O相切于点B⊙OB⊥BC⊙AD//OC⊙∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC⊙OA=OD⊙∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC⊙△DOC≌△BOC(SAS)⊙∠ODC=∠OBC=90°⊙OD⊥DC又OD为⊙O半径⊙CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x⊙AE⊥EB⊙AE为⊙O的切线⊙CD CB为⊙O的切线⊙ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO⊙BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M则EM=12,CM=x−4⊙(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9⊙CB=9⊙OC=√62+92=3√13⊙AB是直径且AD⊙OC⊙⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又⊙⊙COB=⊙BOF⊙⊙OBF⊙⊙OCB⊙OB BF =OCBC⊙BF=OB⋅BCOC =6×93√13=1813√1313．（1）证明：如图所示连接AC ⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙弧AD=弧AC⊙∠AEP=∠ADC⊙∠PAD=∠AEP⊙∠PAD=∠ADC⊙AP∥CD⊙AP⊥AB⊙AB是⊙O的直径⊙AP是⊙O的切线（2）解：如图所示连接BD⊙AF=CF⊙∠FAC=∠FCA⊙弧CE=弧AD⊙弧AD=弧AC⊙弧AD=弧AC=弧CE⊙∠ADG=∠QDG⊙AB⊥CD⊙∠AGD=∠QGD=90°又⊙OG=OG⊙△AGD≌△OGD(ASA)⊙QG=AG=4∠DQG=∠DAG=2在Rt△ADG中tan∠DAG=DGAG⊙DG=2AG=8⊙QD=√DG2+QG2=4√5连接OD过点E作EH⊥AB于H设圆O的半径为r则OG=r−4在Rt△ODG中由勾股定理得OD2=OG2+DG2⊙r2=(r−4)2+82解得r=10⊙AB=20⊙BQ=12⊙∠AEQ=∠DBQ，∠EAQ=∠BDQ⊙△AQE∽△DQB⊙QE BQ =AQDQ即QE12=84√5⊙QE=12√55⊙∠EQH=∠DQG=∠DAG⊙在Rt△EQH中tan∠EQH=EHQH=2⊙EH=2QH⊙EH2+QH2=QE2⊙4QH2+QH2=1445⊙QH=125⊙EH=245⊙S△ADE=S△ADQ+S△AEQ=12AQ⋅DG+12AQ⋅EH=12×8×8+12×8×245=70.4．（3）解：由（2）得DQ=4√5．14．（1）证明：连接OF．⊙OA＝OF⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙EF̂=FB̂,⊙⊙CAF＝⊙F AB⊙⊙CAF＝⊙AFO⊙OF∥AC⊙AC⊙CD⊙OF⊙CD⊙OF是半径⊙CD是⊙O的切线．（2）⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90°⊙OF⊙CD⊙⊙OFD＝⊙AFB＝90°⊙⊙AFO＝⊙DFB⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙⊙DFB＝⊙OAF⊙GD平分⊙ADF⊙⊙ADG＝⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙OAF+⊙ADG⊙FHG＝⊙DFB+⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙FHG＝45°⊙sin⊙FHG=sin45°=√22（3）解：过点H作HM⊙DF于点M HN⊙AD于点N．⊙HD平分⊙ADF⊙HM＝HNS△DHF⊙S△DHB= FH⊙HB=DF ⊙DB⊙⊙FGH是等腰直角三角形GH＝4√2⊙FH＝FG＝4⊙DF DB =42=2设DB＝k DF＝2k⊙⊙FDB＝⊙ADF⊙DFB＝⊙DAF ⊙⊙DFB⊙⊙DAF⊙DF2＝DB•DA⊙AD＝4k⊙GD平分⊙ADF⊙FG AG =DFAD=12⊙AG＝8⊙⊙AFB＝90° AF＝12 FB＝6∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5⊙⊙O的直径为6√515．（1）证明：⊙AB=CD⊙弧AB=弧CD⊙弧AB−弧BC=弧CD−弧BC即弧AC=弧BD⊙AC=BD（2）解：四边形OFEG是正方形.理由如下：⊙AB⊥CD OF⊥CD OG⊥AB⊙∠AED=∠OGE=∠OFE=90°⊙四边形OFEG是矩形．如图连接OA OD．⊙OF⊥CD OG⊥AB⊙CF=DF AG=BG．⊙CD=AB⊙AG=DF．⊙OG=√OA2−AG2OF=√OD2−DF2OA=OD⊙OG=OF⊙四边形OFEG是正方形（3）解：⊙CE=1 DE=3⊙CD=4⊙CF=DF=2⊙EF=CF-CE=2-1=1．⊙四边形OFEG是正方形⊙OF=EF=1．在Rt△OED中OD=√OF2+DF2=√5⊙⊙O的半径为√5．16．:解：【解决问题】如图连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D 在△DBC中⊙BD为⊙O的直径BC=a⊙BD=2R,∠BCD=90°⊙sinD=BCBD =a2R⊙sinA=a2R故答案为：sinD=a2R sinA=a2R【结论应用】解：设△ABC外接圆的半径为R ⊙∠B=60°,AC=4⊙sinB=AC2R⊙√3 2=42R解得：R=43√3⊙△ABC外接圆的面积为π×(43√3)2=163π．故答案为：163π17．（1）证明：连接OC⊙PA PC是⊙O的切线切点分别为A C ⊙PA=PC∠PAO=∠PCO=90°在RtΔPAO和RtΔPCO中{PA=PCPO=PO⊙RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CDO=∠DOA⊙∠CDO=∠COD⊙CD=OC=r（2）解：设OP交CD于E连接OC过O作OH⊥CD于点H由（1）可知RtΔPAO≌RtΔPCO⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CEO=∠EOA⊙∠CEO=∠COE⊙CE=CO=8⊙CD=CE+ED=10⊙OH⊥CD⊙CH=DH=5⊙EH=DH−DE=3在RtΔCHO中⊙OH=√OC2−CH2=√82−52=√39在RtΔOHE中⊙tan∠POA=tan∠HEO=OHEH =√393⊙tan∠POA=√393．18．解：（1）如图过点O作OM⊥AB且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形⊙MN=AD=3⊙O为圆心即O为DE中点⊙N为DC中点即线段ON为△DEC中位线又⊙CE=BC−BE=3−1=2⊙ON=12CE=1⊙OM=MN -ON=3-1=2．在Rt △DEC 中 DE =√CD 2+CE 2=√(2√3)2+22=4． ⊙OD=DE=OM=2．即AB 为⊙O 的切线．（2）设⊙O 与AD 交于点G 连接CG EG DF FG ⊙DE 为直径⊙∠EGD =∠EFD =90°．⊙∠GEC =90°⊙CG 为直径．⊙∠CFG =∠CDG =90°⊙E 为BC 中点⊙G 为AD 中点在Rt △AFD 中 FG 为中线⊙AG=DG=FG在Rt △CFG 和Rt △CDG 中 {FG =DG CG =CG⊙△CFG ≅△CDG(HL)．⊙CF=CD ．（3）如图 取AD 中点H 连接CH FH FD ．由（2）可知FH =12AD =32 在Rt △CDH 中 CH =√CD 2+HD 2=√(2√3)2+(32)2=√572 ⊙CF ≥CH −FH =√572−32． ⊙当F 点在CH 上时CF 长有最小值 最小值为√572−32．19．解：（1）⊙AC 为⊙O 的直径⊙⊙ADC =90°⊙⊙DAC +⊙DCA =90°．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD =⊙DCA ．⊙⊙F AD =⊙ABD⊙⊙F AD =⊙DCA⊙⊙F AD +⊙DAC =90°⊙CA ⊙AF⊙AF 为⊙O 的切线．（2）连接OD ．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD=1⊙AOD．2⊙弧DC=弧DC⊙DOC．⊙⊙DBC=12⊙BD平分⊙ABC⊙⊙ABD=⊙DBC⊙⊙DOA=⊙DOC⊙DA=DC．（3）连接OD交CF于M作EP⊙AD于P．⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ADC=90°．⊙DA=DC⊙DO⊙AC⊙⊙F AC=⊙DOC=90° AD=DC=√(2√2)2+(2√2)2=4 ⊙⊙DAC=⊙DCA=45° AF⊙OM．⊙AO=OCAF．⊙OM=12⊙⊙ODE+⊙DEO=90° ⊙OCM+⊙DEO=90°⊙⊙ODE=⊙OCM．⊙⊙DOE=⊙COM OD=OC⊙⊙ODE⊙⊙OCM⊙OE=OM．设OM=m⊙OE =m AE =2√2−m AP =PE =2−√22m⊙DP =2+√22m ． ⊙⊙AED +⊙AEN =135° ⊙AED +⊙ADE =135°⊙⊙AEN =⊙ADE ．⊙⊙EAN =⊙DPE⊙⊙EAN ⊙⊙DPE⊙AE DP =AN PE ⊙2√2−m 2+√22m =m2−√22m⊙m =2√23⊙AN =2√23 AE =4√23由勾股定理得：NE =2√103．20．解：（1）连接OD⊙AB 是⊙O 的直径 l 1⊥l 2 CD ＝6⊙CM =DM =12CD =3在Rt △DOM 中 OM ＝4⊙OD=√OM2+CM2=5即⊙O的半径长为5（2）⊙AB是⊙O的直径l1⊥l2⊙弧BC=弧BD⊙∠BAD=∠BAC=12∠CAD=20°⊙∠BOD=2∠BAD=40°⊙∠AOD=180°−∠BOD=140°⊙劣弧弧AD的长为140×π×5180=35π9（3）存在常数k=2理由如下：如图在CG上截取CH=DE连接AH AE⊙AB垂直平分CD⊙AC=AD又⊙⊙ACH=⊙ADE⊙⊙ACH⊙⊙ADE（SAS）⊙AH=AE⊙ AG⊙HE⊙HG=EG⊙CE-DE=2EG⊙k=2（4）⊙DG⊙AB⊙⊙CFM⊙⊙CGD⊙FM DG =CFCG=CMCD=12⊙CF=FG DG=2FM⊙⊙CMF=⊙AGF⊙CFM=⊙AFG ⊙⊙CFM⊙⊙AFG⊙CF AF =FMFG⊙FM×AF=CF×FG=CF2设FM=x则AF=9-x⊙x(9−x)=32+x2解得：x=32或3⊙DG=3或6（5）如图取AC的中点P当PG⊙AD时⊙ADG的面积最大在Rt△AMC中⊙CMA=90° CM=3 AM=OA+OM=5+4=9⊙AD=AC=√CM2+AM2=√32+92=3√10在Rt△AGC中⊙CGA=90° 点P为AC的中点⊙PG=12AC=3√102过点C作CN⊙AD于点N在Rt⊙CDN和Rt⊙ADM中⊙⊙CND=⊙AMD=90° ⊙CDN=⊙ADM ⊙Rt⊙CDN~Rt⊙ADM⊙CN AM =CDAD⊙CN=AM⋅CDAD =9×63√10=9√105设PG交AD于点K ⊙PK⊙AD CN⊙AD ⊙PK⊙CN⊙⊙APK⊙⊙CAN⊙PK CN =APAC=12⊙PK=12CN=9√1010⊙GK=PG−PK=3√102−9√1010=3√105⊙⊙ADG面积的最大值为12AD⋅GK=12×3√10×3√105=9．。
圆的综合解答题练习(提高题)
圆一．解答题（共23小题）1．（2015•）如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．2．（2011•）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．3．（2011•）如图，在△ABC中，D为AB上一点，⊙O经过B、C、D三点，∠COD=90°，∠ACD=∠BCO+∠BDO．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）若∠BCO=15°，⊙O的半径为2，求BD的长．4．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．5．（2016•）如图，正形ABCD接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．6．（2013•模拟）已知：△ABC是⊙O的接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合），（1）如果点P是弧BC的中点，求证：PB+PC=PA；（2）如果点P在弧BC上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由．7．（2011•南漳县模拟）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：（1）求线段AB的长；（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．8．（2002•聊城）如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是上一动点，连接PB分别交AD、AC于点E，F．（1）当=时，求证：AE=BE；（2）当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论．9．（2015•上城区二模）如图，已知四边形ABCD接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．10．（2015秋•期中）如图，四边形ABCD接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．求证：DB=DC．11．（2016•上海）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．12．（2016•模拟）如图，在⊙O中，AC与BD是圆的直径，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；（2）求证：BE=CF．13．（2016•）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．14．（2016•黄冈校级自主招生）如图，四边形ABCD为正形，⊙O过正形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．（1）求证：DE=AF；（2）若⊙O的半径为，AB=，求的值．15．（2016•禅城区一模）如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，求证：（1）∠BAD=∠ACB；（2）AE=BE．16．（2016•颍泉区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E．（1）求证：E为BC的中点；（2）若BC=8，DE=3，求AB的长度．17．（2016•校级模拟）如图，以Rt△ABC的边AC为直径的⊙O交斜边AB于点D，点F 为BC上一点，AF交⊙O于点E，且DE∥AC．（1）求证：∠CAF=∠B．（2）若⊙O的半径为4，AE=2AD，求DE的长．18．（2016•校级模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E，若AE=10，∠ACB=60°，求BC的长．19．（2016•冷水江市三模）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：四边形ADPO是菱形；（2）求证：△CDP≌△POB．20．（2016•模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点（在直径AB的同一侧），且=，弦AC、BD相交于点P，如果∠APB=110°，求∠ABD的度数．21．（2016•房山区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30°，点D 为弧AB的中点，AC=4．求CD的长．22．（2015•）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．23．（2007•）如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．。
小学圆形测试题目及答案
小学圆形测试题目及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是多少厘米？A. 5厘米B. 15厘米C. 20厘米D. 25厘米答案：A2. 圆的周长公式是？A. C = πrB. C = 2πrC. C = πdD. C = 2πd答案：B3. 一个圆的面积是28.26平方厘米，它的半径是多少厘米？A. 3厘米B. 4厘米C. 5厘米D. 6厘米答案：B4. 圆的面积公式是？A. S = πr²B. S = 2πrC. S = πd²D. S = 2πd答案：A5. 一个圆的直径增加到原来的两倍，它的面积会增加到原来的多少倍？A. 2倍B. 4倍C. 8倍D. 16倍答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 如果一个圆的半径是7厘米，那么它的直径是______厘米。
答案：147. 圆的周长是62.8厘米，那么它的半径是______厘米。
答案：108. 一个圆的面积是50.24平方厘米，它的半径是______厘米。
答案：49. 圆的周长是31.4厘米，那么它的直径是______厘米。
答案：1010. 一个圆的半径是6厘米，那么它的面积是______平方厘米。
答案：113.04三、计算题（每题5分，共20分）11. 计算半径为8厘米的圆的周长。
答案：周长= 2πr = 2 × 3.14 × 8 = 50.24厘米12. 计算直径为14厘米的圆的面积。
答案：面积= πr² = 3.14 × (14/2)² = 153.86平方厘米13. 一个圆的周长是43.96厘米，求它的半径。
答案：半径 = 周长/ (2π) = 43.96 / (2 × 3.14) = 7厘米14. 一个圆的面积是78.5平方厘米，求它的直径。
答案：直径= 2 × √(面积/ π) = 2 × √(78.5 / 3.14) = 10厘米四、解答题（每题10分，共20分）15. 一个圆的直径是12厘米，求它的周长和面积。
人教中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】 分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点，∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点，∴∠EDB=∠EBD ．（2分）又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°．∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形．∴∠C AB=45°．过E 作EH ⊥AC 于H ，设BC=2k ，则EH=22k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=1010EH AE ．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．3．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
初中圆的综合试题及答案
初中圆的综合试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 圆的周长公式是（）A. C = 2πrB. C = πdC. C = 2πr + 2dD. C = πr2. 圆的面积公式是（）A. S = πr^2B. S = 2πrC. S = πd^2D. S = πr^2 + πd3. 圆的直径是半径的（）A. 2倍B. 4倍C. 1/2倍D. 1/4倍4. 圆的半径增加一倍，面积增加（）A. 2倍B. 4倍C. 8倍D. 16倍5. 一个圆的半径是5cm，那么它的直径是（）A. 10cmC. 2.5cmD. 15cm6. 圆的周长和直径的比值是（）A. 2πB. πC. 1D. 27. 圆的直径和半径的比值是（）A. 2B. πC. 1D. 48. 圆的面积和半径的比值是（）A. πrB. 2πrC. πr^2D. 4πr^29. 圆的周长和面积的比值是（）A. 2πrB. πr^2C. 1/πrD. 2/πr10. 如果一个圆的周长是31.4cm，那么它的半径是（）A. 5cmB. 10cmD. 20cm二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个圆的半径是7cm，那么它的周长是_______cm。
2. 圆的面积公式是S = ________。
3. 圆的直径是半径的______倍。
4. 圆的周长公式是C = ________。
5. 一个圆的直径是14cm，那么它的半径是_______cm。
6. 圆的面积和半径的平方成正比，比例系数是______。
7. 圆的周长和半径的比值是______。
8. 圆的直径和半径的比值是______。
9. 圆的周长和面积的比值是______。
10. 如果一个圆的面积是78.5平方厘米，那么它的半径是_______cm。
三、解答题（每题10分，共40分）1. 已知一个圆的半径是8cm，求它的周长和面积。
2. 一个圆的直径是12cm，求它的周长和面积。
3. 一个圆的周长是62.8cm，求它的半径和面积。
【期末专项】九年级上《第24章圆》解答题综合培优训练（含答案）
【期末专项复习】第24章：圆解答题综合培优训练1．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC为⊙O直径，延长AC至D，过D作⊙O 切线，切点为E，且∠D＝90°，连接BE．DE＝12，（1）若CD＝4，求⊙O的半径；（2）若AD+CD＝30，求AC的长．2．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）连结AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在上取点G，连结CG，DG，AC．求证：∠DGC＝2∠BAC．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC 于点D，且D点是弧BE的中点，（1）求证AB是圆的直径；（2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；（3）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．5．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC ＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．6．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．（1）求AF、AE的长；（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．7．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°．（1）如图1，若D为弧AB的中点，求∠ABC和∠ABD的度数；（2）如图2，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的度数．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2AC，半径为2的⊙C，分别交AC、BC于点D、E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．9．如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB．（1）求∠AOB的度数；（2）若线段CD的长为2cm，求的长度．10．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝4，点D 是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P．（1）求劣弧PC的长（结果保留π）；（2）过点P作PF⊥AC于点F，求阴影部分的面积（结果保留π）．11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．（1）求证：EM是⊙O的切线；（2）若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．12．如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F．（1）若∠A＝40°，求∠DEF的度数；（2）AB＝AC＝13，BC＝10，求⊙O的半径．13．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E 为的中点．（1）求证：DE＝EC；（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径14．如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．15．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是∠ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）若AB＝10，BC＝8，∠ABC＝60°，求BD的长度．17．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（1）如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；（2）如图2，当点F是C D的中点时，求△CDE的面积．参考答案1．（1）解：连接OE，作OH⊥AD于H，∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE．又∵∠D＝90°，∴四边形OHDE是矩形，设⊙O的半径为r，在Rt△OCH中，OC2＝CH2+OH2，∴r2＝（r﹣4）2+144，∴半径r＝20．（2）解：∵OH⊥AD，∴AH＝CH．又∵AD+CD＝30，即：（AH+HD）+（HD﹣CH）＝30．∴2HD＝30，HD＝15，即OE＝HD＝OC＝15，∴在Rt△OCH中，CH＝＝＝9．∴AC＝2CH＝18．【点评】考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质及垂径定理．解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得相关线段的长度．2．（1）证明：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，即BC⊥AD，∵CD＝AC，∴AB＝BD，∴∠A＝∠D，∴∠CEB＝∠A，∴∠CEB＝∠D，∴CE＝CD．（2）解：连接AE．∵∠A BE＝∠A+∠D＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°﹣50°＝40°．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．证明：连结AD，∵弦CD⊥直径AB，∴2∠BAC＝2∠BAD＝∠DAC（垂径定理），又∵∠DGC＝∠DAC（圆周角定理），∴∠BAC＝∠DGC，∴∠DGC＝2∠BAC．【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法与数形结合思想的应用．4．解：（1）连结AD，∵D是中点，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB是⊙O直径；（2）连结OE，∵∠C＝60°，AB＝AB，∴∠BAC＝60°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠OBE＝30°，∵AB＝8，∴OB＝4，∴S阴影＝S扇形AOE+S△BOE＝+×2×4＝π+4．（3）由（1）知AB是⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，∴∠EBC＝∠CAD，∴∠CAB＝2∠EBC．【点评】本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．5．证明：（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD+∠E＝90°，∵∠DBC＝∠DAB，∠DAB＝∠E，∴∠EBD+∠DBC＝90°，即OB⊥BC，又∵点B在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOD＝2∠A＝60°，OB＝OD，∴△BOD是边长为6的等边三角形，∴S△BOD＝×62＝9，∵S扇形DOB＝＝6π，∴S阴影＝S扇形DOB﹣S△BOD＝6π﹣9．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠EBD+∠DBC＝90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．6．解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，∴AC＝BD＝＝5，∵AF•BD＝AB•AD，∴AF＝＝，同理可得DE＝，在Rt△ADE中，AE＝＝；（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7．解：（1）如图1，连接OD，∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝90°．∴∠ABC＝∠ACB﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°．∵D为弧AB的中点，∠AOB＝180°，∴∠AOD＝90°，∴∠ABD＝45°；（2）如图2，连接OD，∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°．由DP∥AC，又∠BAC＝40°，∴∠P＝∠BAC＝40°．∵∠AOD是△ODP的一个外角，∴∠AOD＝∠P+∠ODP＝130°．∴∠ACD＝65°．∵OC＝OA，∠BAC＝40°，∴∠OCA＝∠BAC＝40°．∴∠OCD＝∠ACD﹣∠OCA＝65°﹣40°＝25°．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．8．（1）证明：过C作CF⊥AB于F，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2AC，∴BC＝2，由勾股定理得：AB＝＝5，∵△ACB的面积S＝×AB×CF＝×AC×BC，∴CF＝＝2，∴CF为⊙C的半径，∵CF⊥AB，∴AB为⊙C的切线；（2）解：图中阴影部分的面积＝S△ACB ﹣S扇形DCE＝××2﹣＝5﹣π．【点评】本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF的长是解此题的关键．9．解：（1）∵AM为圆O的切线，∴OA⊥AM，∵BD⊥AM，∴∠OAD＝∠BDM＝90°，∴OA∥BD，∴∠AOC＝∠OCB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，∴∠AOB＝120°；（2）如图：过点O作OE⊥BD，垂足为E∵∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，∴OB＝OC＝BC∵OE⊥BD，∴BE＝CE＝BC＝OA∵OE⊥BD，且OA⊥AD，BD⊥AD∴四边形ADEO是矩形∴OA＝DE∴CD+CE＝OA＝2CE，且CD＝2cm∴CE＝2cm∴OA＝4cm∴的长度＝＝π【点评】本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．10．解：（1）连接OB，∵OA＝OB，点D是AB的中点，∴PD⊥AB，∵∠A＝30°，∴∠POC＝∠AOD＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝8，∴OC＝4∴劣弧PC的长＝＝π；（2）∵PF⊥AC，∠OPF＝30°，∴OF＝OP＝2，PF＝2，∴S＝﹣×2×2＝π﹣2．阴影【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，扇形面积计算，弧长的计算，掌握扇形面积公式和弧长公式是解题的关键．11．解：（1）连接OC，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠A+∠AFO+90°＝180°，∵∠ACE+∠AFO＝180°，∴∠ACE＝90°+∠A，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACE＝90°+∠ACO＝∠ACO+∠OCE，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∴EM是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠BCE，∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠ACO＝∠BCE＝∠E，∴∠ABC＝∠BCO+∠E＝2∠A，∴∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝BC＝，∴阴影部分的面积＝﹣××＝﹣．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接OC是解题的关键．12．（1）连OD，OF，如图，则OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠DOF＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，又∵∠DEF＝∠DOF＝×140°＝70°；（2）过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝BC＝×10＝5，则AM＝12，则S＝60，△ABC设圆O的半径的半径是r，则（13+13+10）•r＝60，解得：r＝．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线长定理．13．解：（1）连结AE，BD，∵E为的中点，∴＝，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠AEB是直径所对的圆周角，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△AEC和△AEB中，∴△AEC≌△AEB（ASA），∴CE＝BE，∴DE＝CE＝BE＝BC；（2）在Rt△CBD中，BD2＝BC2﹣CD2＝32，设半径为r，则AB＝2r，由（1）得AC＝AB＝2r，AD＝AC﹣CD＝2r﹣2，在Rt△ABD中AD2+BD2＝AB2，∴（2r﹣2）2+32＝（2r）2，解得：r＝4.5，∴⊙O的半径为4.5．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；（2）解：作AE⊥CD于E，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝5，∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝AC＝3，在Rt△AED中，DE＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7．【点评】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．15．（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝5．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．16．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，又∵∠DCF+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCF，∵BD是∠ABC的角平分线，又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠DEA＝∠F＝90°，在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（AAS）（2）∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，BE＝BF，设AE＝CF＝x，则BE＝10﹣x，BF＝8+x，即10﹣x＝8+x，解得x＝1，在Rt△BFD，∠DBC＝30°，设DF＝y，则BD＝2y，∵BF2+DF2＝BD2，∴y2+92＝（2y）2，y＝3，BD＝6．【点评】考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质．解答此题的关键是证明△AED≌△CFD．17．解：（1）如图：连接OD∵DE与⊙O相切∴∠ODE＝90°∵AB∥DE∴∠AOD+∠ODE＝180°∴∠AOD＝90°∵∠AOD＝2∠C∠C＝45°∵∠CFB＝∠CAB+∠C∴∠CFB＝75°（2）如图：连接OC∵AB是直径，点F是CD的中点∴AB⊥CD，CF＝DF，∵∠COF＝2∠CAB＝60°，∴OF ＝OC ＝，CF ＝OF ＝，∴CD＝2CF ＝，AF＝OA+OF ＝，∵AF∥AD，F点为CD的中点，∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，∴DE＝2AF＝3，＝×3×＝∴S△CED【点评】本题考查切线的性质和判定、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，属于基础题，中考常考题型．21 / 21。
人教版九年级数学中考真题分类(解答题)专练： 圆的综合(一)有答案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯人教版九年级数学中考真题分类（解答题）专练：圆的综合（一）1．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．2．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．（1）求证：∠C＝∠AGD；（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．3．（2020•乐山）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．（1）求证：点D平分；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．4．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．5．（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．6．（2020•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠CAD＝∠CAB；（2）若＝，AC＝2，求CD的长．7．（2020•金华）如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．（1）求弦AB的长．（2）求的长．8．（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，＝，求CD的长．9．（2020•衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．10．（2020•嘉兴）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：证明：连结OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．参考答案1．（1）证明：连接OD，∵＝＝，∴∠BOD＝180°＝60°，∵＝，∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD＝AB＝3，∴AD＝＝3．2．（1）证明：如图1，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∴∠C＝∠ABD，∵∠AGD＝∠ABD，∴∠AGD＝∠C；（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，∴＝，∴AC＝9，∴AB＝＝3，∵CE＝2AE，∴AE＝3，CE＝6，∵FH⊥AB，∴FH∥BC，∴△AHE∽△ABC，∴，∴＝＝，∴AH＝，EH＝2，如图2，连接AF，BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠AFH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠FAH＝∠BFH，∴△AFH∽△FBH，∴＝，∴＝，∴FH＝，∴EF＝﹣2．3．证明：（1）如图1，连接AD、BC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ABD，又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，∴DF＝AF，∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，∴＝，∴即点D平分；（2）如图2所示，连接OD、AD，∵点E是线段OA的中点，∴，∴∠AOD＝60°，∴△OAD是等边三角形，∴AD＝AO＝AH，∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，∴DH是⊙O的切线．4．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA与Rt△DAB中，，∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．5．（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD＝AOB＝90°，∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵点D是半圆AB的中点，∴＝，∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴，∴＝，解得：BH＝．6．（1）证明：如图1，连接OC，，∵CD是切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠1＝∠4．∵OA＝OC，∴∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，即∠CAD＝∠CAB．（2）解：如图2，连接BC，∵＝，∴设AD＝2x，AB＝3x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠ACB＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴＝，解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），∴AD＝4，∴CD＝＝2．7．解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，∴AC＝OA•sin60°＝2×＝，∴AB＝2AC＝2；（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴的长是：＝．8．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tan A＝＝tan∠BCE＝＝，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝＝，∵AD＝8，∴CD＝4．9．（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴＝，∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴CE＝3.6，∵OC＝AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．10．解：证法错误；证明：连结OC，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AC＝BC．。
中考数学《圆的综合》专题训练(含有答案)
中考数学《圆的综合》专题训练(含有答案)1．如图，：AB 是O 的直径：BC 是O 弦，OD CB ⊥于点E ，交BC 于点D ．(1)请写出三个不同类型的正确结论(2)连结CD ，设BCD α∠= ABC β∠= 试找出α与β之间的一种关系式并给予证明．2．如图，，在ABC 中 AB AC = 以AB 为直径的O 交BC 于点D 交CA 的延长线于点E ．(1)求证点D 为线段BC 的中点．(2)若63BC = 3AE = 求O 的半径及阴影部分的面积．3．如图，AB 为O 的直径 点C 在O 上 延长BC 至点D 使DC CB =．延长DA 与O 的另一个交点为E 连结AC CE ，．(1)求证D E ∠=∠(2)若42AB BC AC =-=， 求CE 的长．4．请仅用无刻度的直尺完成下列作图 不写作法 保留作图痕迹(1)如图1， ABC 与ADE 是圆内接三角形 AB AD = AE AC = 画出圆的一条直径．(2)如图2 ， AB CD 是圆的两条弦 AB CD =且不相互平行 画出圆的一条直径． 5．如图，AB 是O 的直径 点D 在AB 的延长线上 点C 在O 上 ,30CA CD CDA =∠=︒．(1)求证CD 是O 的切线(2)若O 的半径为6 求点A 到CD 所在直线的距离．6．如图， 点C 在以AB 为直径的O 上 过C 作O 的切线交AB 的延长线于E AD CE ⊥于D 连接AC ．(1)求证ACD ABC ∠=∠(2)若3tan 4CAD ∠= 8AD = 求O 直径AB 的长．7．如图， 已知以Rt ABC 的直角边AC 为直径作O 交斜边AB 于点E 连接EO 并延长交BC 的延长线于点D 连接AD 点F 为BC 的中点 连接EF ．(1)求证EF 是O 的切线(2)若O 的半径为6 8CD = 求AB 的长．8．如图， AB 是半圆O 的直径 D 为半圆O 上的点(不与A B 重合) 连接AD 点C 为BD 的中点 过点C 作CF AD ⊥ 交AD 的延长线于点F 连接BF AC 交于点E ．(1)求证FC 是半圆O 的切线(2)若3AF = 23AC = 求半圆O 的半径及AE 的长．9．如图， AB 为O 的直径 C 为BA 延长线上一点 CD 是O 的切线 D 为切点 OF AD ⊥于点E 交CD 于点F ．(1)求证ADC AOF ∠=∠ (2)若53OC OB = 24BD = 求EF 的长． 10．如图，所示 AB 是O 的直径 点D 在AB 上 点C 在O 上 AD AC =CD 的延长线交O 于点E ．(1)在CD 的延长线上取一点F 使BF BC = 求证BF 是O 的切线 (2)若2AB = 2CE 求图中阴影部分的面积．11．如图， ABC 内接于O AB 为O 的直径 D 为BA 延长线上一点 连接CD 过O 作OF BC ∥交AC 于点E 交CD 于点F ACD AOF ∠=∠．(1)求证CD 为圆O 的切线 (2)若1sin 4D =10BC = 求EF 的长． 12．如图， 四边形ABCD 是O 的内接四边形 AD CD = 70BAC ∠=︒ 50∠=°ACB ．(1)求ABD ∠的度数 (2)求BAD ∠的度数．13．如图， 四边形ABCD 是O 的内接四边形 且对角线BD 为O 的直径 过点A 作AE CD ⊥ 与CD 的延长线交于点E 且DA 平分BDE ∠．(1)求证AE 是O 的切线(2)若O 的半径为5 6CD = 求DA 的长．14．如图， 在正方形ABCD 中有一点P 连接AP BP 旋转APB △到CEB 的位置．(1)若正方形的边长是8 4BP =．求阴影部分面积 (2)若4BP = 7AP = 135APB ∠=︒ 求PC 的长．15．如图， AB 是O 的直径 OD 垂直于弦AC 于点E 且交O 于点D F 是BA 延长线上一点 若CDB BFD ∠=∠．(1)求证 FD 是O 的一条切线(2)若15AB = 9BC = 求DF 的长． 16．如图，O 是ABC ∆的外接圆 AE 切O 于点A AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．(1)如图，① 若70C ∠=︒ 求E ∠的大小 (2)如图，① 若AE AB = 求E ∠的大小．17．已知 如图， 直线MN 交O 于A B 两点 AC 是直径 AD 平分CAM ∠交O 于D 过D 作DE MN ⊥于E ．(1)求证DE 是O 的切线(2)若8cm DE = 4cm AE = 求O 的半径．18．已知四边形ABCD 内接于O C 是DBA 的中点 FC AC ⊥于C 与O 及AD 的延长线分别交于点,E F 且DE BC =．(1)求证~CBA FDC(2)如果9,4AC AB == 求tan ACB ∠的值．参考答案与解析1．(1)见解析(2)关系式为2=90αβ+︒ 证明见解析【分析】（1）AB 是O 的直径 BC 是弦 OD BC ⊥于E 本题满足垂径定理． （2）连接,CD DB 根据四边形ACDB 为圆内接四边形 可以得到290αβ+=︒． 【解析】（1）解不同类型的正确结论有 ①BE CE = ①BD CD = ①90BED ∠=︒ ①BOD A ∠=∠ ①AC OD ∥ ①AC BC ⊥ ①222OE BE OB += ①ABC S BC OE =⋅△ ①BOD 是等腰三角形 ①BOE BAC △∽△等等． （2）如图， 连接,CD DBα与β之间的关系式为290αβ+=︒证明AB 为圆O 的直径90A ABC ∴∠+∠=︒①又四边形ACDB 为圆内接四边形180A CDB ∠∠∴+=︒①∴①-①得90CDB ABC ∠∠-=︒①18021802CDB BCD α∠=︒-∠=︒- 即180290αβ︒--=︒ ①2=90αβ+︒．【点评】本题考查了圆的一些基本性质 且有一定的开放性 垂径定理 圆内接四边形的性质掌握圆的相关知识． 2．(1)见解析 (2)半径为3 39π324S =阴【分析】（1）连结AD 可得90ADB ∠=︒ 已知AB AC = 根据等腰三角形三线合一的性质即可得证点D 为线段BC 的中点（2）根据已知条件可证ABC DEC ∽△△ 得到ED ECAB BC= 22BD AB EC =⋅ 且EDC △是等腰三角形 进而得到ED DC BD == 设AB x = 则(()22333x x =+ 解方程即可求得O 的半径连接OE 可证AOE △是等边三角形 再根据AOEAOE S S S =-阴扇形即可求出阴影部分的面积【解析】（1）连结AD①AB 为O 的直径 ①90ADB ∠=︒ ①AB AC = ①BD CD =即点D 为线段BC 的中点． （2）①B E ∠=∠ C C ∠=∠ ①ABC DEC ∽△△ ①ED ECAB BC= ①AB AC = ①B C ∠=∠ ①C E ∠=∠ ①ED DC BD == ①22BD AB EC =⋅ 设AB x = 则 (()22333x x =+解得19x =-（舍去） 26x = ①O 的半径为3 连接OE ①60AOE =︒∠ ①AOE △是等边三角形 ①AE 33①AOEAOE S S S=-阴扇形260313333602π⨯⨯=-⨯ 39π324=【点评】本题主要考查等腰三角形的性质 相似三角形的判定和性质 不规则图形面积的计算 熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3．(1)见解析 (2)CE 的长为17【分析】（1）由AB 为O 的直径得90ACB ∠=︒ 通过证明()ACD ACB ≌SAS 得到D B ∠=∠ 又由B E ∠=∠ 从而得到D E ∠=∠（2）设BC x = 则2AC x =- 在Rt ABC 中 由勾股定理可得222AC BC AB += 即()22224x x -+= 解一元二次方程得到BC 的长 由（1）知D E ∠=∠ 从而得到CD CE = 又由DC CB = 得到17CE CB ==【解析】（1）证明AB 为O 的直径90ACB ∴∠=︒180ACD ACB ∠+∠=︒90ACD ∴∠=︒在ACD 和ACB △中AC AC ACD ACB DC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD ACB ∴≌SASD B ∴∠=∠ BE ∠=∠D E ∴∠=∠（2）解设BC x =2BC AC -=∴2AC x =-在Rt ABC 中 由勾股定理可得222AC BC AB += 即()22224x x -+=解得117x = 217x = 17BC ∴=由（1）得D E ∠=∠ CD CE ∴= DC CB =17CE CB ∴==∴ CE 的长为17【点评】本题主要考查了圆周角定理 三角形全等的判定与性质 等腰三角形的性质 勾股定理解直角三角形 熟练掌握圆周角定理 三角形全等的判定与性质 等腰三角形的性质是解题的关键． 4．(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）设BC DE 交于点G 连接AG 交圆于点F 即可作答（2）连接BC AD 交于点F 延长BA DC 两线交于点E 作直线EF 交圆于点M N 即可作答．【解析】（1）如图， 设BC DE 交于点G 连接AG 并延长 交圆于点F线段AF 即为所求证明如图， BC AE 交于点Q DE AC 交于点P 连接DB 交AF 于点H①AB AD = AE AC = ①C E ∠=∠ ADE ABC =∠∠ ①DAE BAC ∠=∠①DAE BAC ≌ ①BC DE = ①DAE BAC ∠=∠ ①BAE DAC ∠=∠①AB AD = ADE ABC =∠∠ ①DAP BAQ ≌ ①AQ AP = ①AE AC = ①QE PC =①QGE PGC ∠=∠ C E ∠=∠ ①QGE PGC ≌ ①QG PG =①AG AG = AQ AP = ①QAG PAG ≌ ①QAG PAG ∠=∠ ①BAE DAC ∠=∠ ①BAG DAG ∠=∠ ①AH AH = AB AD = ①BAH DAH ≌①BH DH = 90AHB AHD ∠=∠=° ①AF 垂直平分弦DB ①AF 是圆的直径（2）如图， 连接BC AD 交于点F 延长BA DC 两线交于点E 作直线EF 交圆于点M N线段MN 即为所求． 证明方法同（1）．【点评】本题主要考查了垂径定理 圆周角定理以及全等三角形的判定与性质等知识 掌握圆周角定理以及垂径定理是解答本题的关键． 5．(1)见解析 (2)9【分析】（1）已知点C 在O 上 先连接OC 由已知CA CD = 30CDA ∠=︒ 得30CAO ∠=︒ 30ACO ∠=︒ 所以得到60COD ∠=︒ 根据三角形内角和定理得90DCO ∠=︒ 即能判断直线CD 与O 的位置关系．（2）要求点A 到CD 所在直线的距离 先作AE CD ⊥ 垂足为E 由30CDA ∠=︒ 得12AE AD = 在Rt OCD △中 半径6OD = 所以212OD OC == 18AD OA OD =+= 从而求出AE ．【解析】（1）①ACD 是等腰三角形 30D ∠=︒①30CAD CDA ∠=∠=︒．连接OC①AO CO =①AOC 是等腰三角形①30CAO ACO ∠=∠=︒①60COD ∠=︒在COD △中 又①30CDO ∠=︒①90DCO ∠=︒①CD 是O 的切线 即直线CD 与O 相切．（2）过点A 作AE CD ⊥ 垂足为E ．在Rt OCD △中 ①30CDO ∠=︒①212OD OC ==61218AD AO OD =+=+=在Rt ADE △中①30EDA ∠=︒①点A 到CD 边的距离为92AD AE ==． 【点评】此题考查的知识点是切线的判定与性质 解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角边的性质．6．(1)见解析 (2)252AB =．【分析】（1）连接OC 由DE 为O 的切线 得到OC DE ⊥ 再由AD CE ⊥ 得到AD OC ∥ 得到OCA CAD ∠=∠ 根据OA OC = 利用等边对等角得到OCA CAB ∠=∠ 等量代换得到CAD CAB ∠=∠ 由AB 为O 的直径 可知90ACB ∠=︒ 最后根据等角的余角相等可得结论 （2）在Rt CAD △中 利用锐角三角函数定义求出CD 的长 根据勾股定理求出AD 的长 由（1）易证ADC ACB 得到AD AC AC AB= 即可求出AB 的长． 【解析】（1）解连接OC由题意可知DE 与O 的相切于COC DE ∴⊥AD CE ⊥AD OC ∴∥OCA CAD ∴∠=∠OA OC =OCA CAB ∴∠=∠CAD CAB ∴∠=∠ AB 为O 的直径90ACB ∴∠=︒90CAD ACD CAB ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒ACD ABC ∴∠=∠（2）在Rt CAD △中3tan 4CDCAD AD ∠== 8AD =364CD AD ∴==22226810AC CD AD ∴+=+=由（1）可知CAD CAB ∠=∠90D ACB ∠=∠=︒ADC ACB ∴ADACAC AB ∴=81010AB∴= 252AB ∴=【点评】此题考查了切线的性质 以及解直角三角形 熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 7．(1)证明见解析 (2)125AB =【分析】（1）连接FO 可根据三角形中位线的性质可判断OF AB ∥ 然后根据直径所对的圆周角是直角 可得CE AE ⊥ 进而知OF CE ⊥ 然后根据垂径定理可得FEC FCE ∠=∠OEC OCE ∠=∠ 再通过Rt ABC 可知90OEC FEC ∠+∠=︒ 因此可证EF 为O 的切线（2）根据题意可先在Rt OCD △中求出OD 然后在Rt EFD 中求出FC 最终在Rt ABC 中求解AB 即可．【解析】（1）证连接FO 则由题意OF 为Rt ABC 的中位线①OF AB ∥①AC 是O 的直径①CE AE ⊥①OF AB ∥①OF CE ⊥①由垂径定理知 OF 所在直线垂直平分CE①FC FE = OE OC =①FEC FCE ∠=∠ OEC OCE ∠=∠①90ACB ∠=︒即90OCE FCE ∠+∠=︒①90OEC FEC ∠+∠=︒即90FEO ∠=︒①EF 是O 的切线（2）解①O 的半径为6 8CD = 90ACB ∠=︒①OCD 为直角三角形 6OC OE == 8CD = ①2210OD OC CD += 10616ED OD OE =+=+=由（1）知 EFD △为直角三角形 且FC FE =①设FC FE x == 则8FD FC CD x =+=+①由勾股定理 222EF ED FD +=即()222168x x +=+ 解得12x =即12FC FE ==①点F 为BC 的中点①224BC FC ==①212AC OC ==①在Rt ABC 中 22125AB BC AC +①125AB =【点评】本题考查切线的证明 圆的基本性质 以及勾股定理解三角形等 掌握切线的证明方法 熟练运用圆中的基本性质是解题关键．8．(1)见解析(2)半径为2 123AE =【分析】（1）根据点C 为弧BD 的中点 得出FAC CAB ∠∠= 然后得出FAC ACO ∠∠= 根据平行线的性质得出CF OC ⊥ 进而即可求解（2）连接BC 设OC 与BF 相交于点P 证明AFC ACB ∽ 得出4AB = 证明BOP BAF ∽得出1322OP AF == 进而证明ECP EAF ∽ 根据相似三角形的性质列出比例式 进而即可求解． 【解析】（1）证明连接OC 如图，点C 为弧BD 的中点∴CD CB =FAC CAB ∠∠∴=又OA OC =CAB ACO ∠∠∴=FAC ACO ∠∠∴=∴OC AF ∥又CF AD ⊥CF OC ∴⊥FC ∴是半圆O 的切线．（2）解连接BC 如图，AB 是半圆O 的直径90ACB ∠∴=︒90AFC ACB ∠∠∴==︒又FAC CAB ∠∠=AFC ACB ∴∽ ∴AFACAC AB = 23234AB ∴=∴半圆O 的半径为2．设OC 与BF 相交于点POC AF ∥BOP BAF ∴∽ ∴12OPOB AF AB == ∴1322OP AF == ∴12PC OC OP =-=OC AF ∥ECP EAF ∴∽ ∴EC PCAE AF = 即123AC AEAE -= 2316AE-=∴123AE = 【点评】本题考查了切线的性质与判定 相似三角形的性质与判定 掌握切线的判定以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接DO 根据CD 是O 的切线 OF AD ⊥ 证明ADC DOF ∠∠= 利用等腰三角形三线合一性质 证明ADC AOF ∠∠=．（2） 利用平行线分线段成比例定理 计算OE 证明CFO CDB △∽△ 计算OF两线段作差即可求解．【解析】（1）如图， 连接DO CD 是O 的切线OD DF ∴⊥90ADC ADO ∠∠∴+=︒OF AD ⊥ OA OD =90DOF ADO ∠∠∴+=︒ DOF AOF ∠∠=ADC DOF ∠∠∴=ADC AOF ∠∠∴=．（2）如图， 连接DO CD 是O 的切线OD DF ∴⊥90CDO ∠∴=︒53OC OB =设5(0)CO k k => 则3DO OB AO k ===4CD k ∴=538CB CO OB k k k ∴=+=+= AB 是O 的直径 24BD =AD DB ∴⊥OF AD ⊥∴OF BD ∥ ∴AO AE OB ED = CFO CDB △∽△ ∴OF CO BD CB= AE ED ∴=5524538OF k k k ==+ ∴1122OE BD == 15OF = 3EF OF OE ∴=-=．【点评】本题考查了切线的性质 等腰三角形的三线合一性质 平行线分线段成比例定理 相似三角形的性质与判定 熟练掌握切线的性质 相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．(1)证明过程见解析 (2)142π-【分析】（1）AB 是O 的直径 AC AD = BF BC = 可求出90FBD ∠=︒ AB BF ⊥ 由此即可求证（2）如图，所示（见解析）连接,CO EO 可得1OC OE == 可证222CO O CE += 90COE ∠=︒ 根据扇形面积的计算方法即可求解．【解析】（1）证明①AB 是O 的直径①90ACB ∠=︒①90ACD BCD ∠+∠=︒①AC AD =①ACD ADC ∠=∠①ADC BDF ∠=∠①ACD BDF ∠=∠①BC BF =①BCD F ∠=∠①90BDF F ∠+∠=︒①180()90FBD FDB F ∠=︒-∠+∠=︒①AB BF ⊥ 且OB 是O 的半径①BF 是O 的切线．（2）解如图，所示 连接,CO EO①2AB =①1OC OE == ①2CE ①222CO EO += 2222CE == ①222CO O CE +=①90COE ∠=︒ ①29011111360242ππS ⨯=-⨯⨯=-阴影 ①图中阴影部分的面积为142π-． 【点评】本题主要考查圆的基础知识 掌握圆的切线的证明方法 扇形面积的计算方法是解题的关键．11．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接CO 根据OF BC ∥可得B AOF ∠=∠ 根据直径所对的圆周角为直角可得90B CAB ∠+∠=︒ 再根据AO CO =得出CAB ACO ∠=∠ 最后证明90ACD ACO ∠+∠=︒即可 （2）根据中位线定理得出152OE BC == 证明DBC DOF ∽ 根据相似三角形对应边成比例 即可求解．【解析】（1）证明连接CO①OF BC ∥①B AOF ∠=∠①AB 为O 的直径①90ACB ∠=︒ 则90B CAB ∠+∠=︒①90AOF CAB ∠+∠=︒①AO CO =①CAB ACO ∠=∠①ACD AOF ∠=∠①90ACD ACO ∠+∠=︒ 即OC CD ⊥①CD 为圆O 的切线（2）①AB 为O 的直径①点O 为AB 中点①OF BC ∥①OE 为ABC 中位线 ①152OE BC == ①1sin 4D = OC CD ⊥ ①4OD OC = 则5BD OD OB OC =+=①OF BC ∥①DBC DOF ∽ ①OF OF BC BD = 即4510OC OF OC = 解得8OF =①853EF OF OE =-=-=．【点评】本题主要考查了切线的判定和性质 圆周角定理 相似三角形的判定和性质以及解直角三角形 解题的关键是掌握切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．12．(1)30︒(2)100︒【分析】（1）根据三角形内角和定理可得60ABC ∠=︒ 再由AD CD = 可得ABD CBD ∠=∠ 即可求解（2）根据圆周角定理可得30ABD ACD ∠∠==︒ 从而得到80BCD ∠=︒ 再由圆内接四边形的性质 即可求解．【解析】（1）解①70,50BAC ACB ∠=︒∠=︒①18060ABC BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒①AD CD = ①1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒ （2）解由圆周角定理得30ABD ACD ∠∠==︒①80BCD ACB ACD ∠=∠+∠=︒①四边形ABCD 是O 的内接四边形①180100BAD BCD ∠=︒-∠=︒．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质 圆周角定理等知识 熟练掌握圆内接四边形的性质 圆周角定理是解题的关键．13．(1)见解析(2)AD 的长是25【分析】（1）连接OA 根据已知条件证明OA AE ⊥即可解决问题（2）作OF CD ⊥ 则四边形OAEF 是矩形 且132DF CD ==由此可求得DE 的长 在Rt OFD △中 勾股定理求出OF 即AE 的长 在Rt AED △中利用勾股定理求DA ． 【解析】（1）证明如图， 连接OA①AE CD ⊥①90DAE ADE ∠+∠=︒．①DA 平分BDE ∠①ADE ADO ∠=∠又①OA OD =①OAD ADO ∠=∠①90DAE OAD ∠+∠=︒①OA AE ⊥①AE 是O 的切线（2）解过点O 作OF CD ⊥于F ．①90OAE AEF OFE ∠︒=∠=∠=①四边形OAEF 是矩形①5EF OA AE OF ===，．①OF CD ⊥ ①132DF FC CD ===①532DE EF DF =-=-=在Rt OFD △中 2222534OF OD DF --=①4AE OF ==在Rt AED △中 22224225AD AE DE ++=①AD 的长是25【点评】本题考查了切线的判定与性质 垂径定理 圆周角定理 勾股定理 解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．14．(1)12π(2)9【分析】(1) 根据题意 CEB APB ABC PBE S S S S S =+--阴影扇形扇形 根据公式计算即可．(2) 连接PE 根据题意 45,135,90PEB CEP PEC ∠=︒∠=︒∠=︒ 根据勾股定理计算即可．【解析】（1）如图， ①正方形ABCD 旋转APB △到CEB 的位置①APB CEB ≌ 90ABC PBE ∠=∠=︒ =CEB APB S S ①CEB APB ABC PBE S S S S S =+--阴影扇形扇形①ABC PBE S S S =-阴影扇形扇形①48BP AB ==， ①9064901612360360S πππ︒⨯⨯︒⨯⨯=-=︒︒阴影． （2）连接PE根据题意 45,135PEB APB CEP ∠=︒∠=∠=︒ AP CE =①90PEC ∠=︒①4BP = 7AP =①2227,4432CE PE ==+=①222273281PC CE PE =+=+=解得9PC =．【点评】本题考查了正方形的性质 旋转的性质 阴影面积的计算 扇形面积公式 勾股定理 熟练掌握旋转的性质 阴影面积的计算 扇形面积公式 勾股定理是解题的关键．15．(1)证明见解析(2)10DF =【分析】（1）因为CDB CAB ∠=∠ CDB BFD ∠=∠ 所以CAB BFD ∠=∠ 即可得出FD ①AC 可得得出OD FD ⊥ 进而得出结论（2）利用勾股定理先求解AC 再利用垂径定理得出AE 的长 可得OE 的长 证明AEO FDO ∽ 再利用相似三角形的判定与性质得出DF 的长．【解析】（1）①CDB CAB ∠=∠ CDB BFD ∠=∠①CAB BFD ∠=∠①FD AC ∥①OD 垂直于弦AC 于点E①OD FD ⊥①FD 是O 的一条切线（2）①AB 为O 的直径①90ACB ∠=︒①15AB = 9BC = ①2215912AC -= 7.5AO OB OD ===①DO AC ⊥①6AE CE == ①227.56 4.5OE -①AC FD ∥①AEO FDO ∽ ①AE EO FD DO = ①4.567.5FD= 解得10DF =．经检验符合题意.【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质 垂径定理 圆周角定理 切线的判定 以及平行线的判定 掌握相似三角形的判定与性质 垂径定理 圆周角定理以及平行线的判定是解题的关键．16．(1)50︒(2)30︒【分析】（1）连接OA 先由切线的性质得OAE ∠的度数 求出2142AOB C ∠=∠=︒ 进而得AOE ∠ 则可求出答案（2）连接OA 根据等腰三角形的性质及切线的性质列方程求解即可．【解析】（1）连接OA ．如图，①AE 切O 于点AOA AE ∴⊥90OAE ∴∠=︒70C ∠=︒2270140AOB C ∴∠=∠=⨯︒=︒又180AOB AOE ∠+∠=︒40AOE ∴∠=︒90AOE E ∠+∠=︒904050E ∴∠=︒-︒=︒．（2）连接OA 如图，①设E x ∠=．AB AE =ABE E x ∴∠=∠=OA OB =OAB ABO x ∴∠=∠=2AOE ABO BAO x ∴∠=∠+∠=． AE 是O 的切线OA AE ∴⊥ 即90OAE ∠=︒在OAE ∆中 90AOE E ∠+∠=︒即290x x +=︒解得30x =︒30E ∴∠=︒．【点评】本题主要考查了切线的性质 等腰三角形的性质 圆周角的性质 三角形内角和的性质 用方程思想解决几何问题 关键是熟悉掌握这些性质．17．(1)见解析(2)10cm【分析】(1)连接OD 根据平行线的判定与性质可得90ODE DEM ∠=∠=︒ 又点D 在O 上 即可证得DE 是O 的切线(2)首先根据勾股定理可得AD 的长 再由ACD ADE ∽ 根据相似三角形的性质列出比例式 代入数据即可求得圆的半径．【解析】（1）证明如图，连接ODOA OD =OAD ODA ∠=∠∴ AD 平分CAM ∠OAD DAE ∴∠=∠ODA DAE ∴∠=∠DO MN ∴∥DE MN ⊥90ODE DEM ∴∠=∠=︒ 即OD DE ⊥ 又点D 在O 上 OD 为O 的半径DE ∴是O 的切线（2）解90AED ∠=︒ 8cm DE = 4cm AE =22228445AD DE AE ∴++如图，连接CDAC 是直径90ADC AED ∴∠=∠=︒CAD DAE ∠=∠ACD ADE ∴△∽△AD AC AE AD ∴= 4545=解得20AC =O ∴的半径为10cm ．【点评】本题考查圆了切线的判定；等边对等角 平行线的判定与性质 圆周角定理 勾股定理 相似三角形的判定和性质等知识 在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．18．(1)见解析 (2)49【分析】（1）欲证~CBA FDC ，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明DE BC =就可以 （2）由~CBA FDC 可得814CF = ACB F ∠=∠ 进而即可得到答案． 【解析】（1）证明①四边形ABCD 内接于O①CBA CDF ∠=∠．①DE BC =①BCA DCE ∠=∠．①~CBA FDC（2）解①C 是DBA 的中点①9CD AC ==①~CBA FDC 4AB = ①AB AC CD CF = 即499CF= ①814CF = ①~CBA FDC ①94tan tan 8194AC ACB F CF ∠=∠===．【点评】本题考查的是圆的综合题；涉及弧、弦的关系；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数；掌握相似三角形的判定和性质是解答此题的关键．。
圆的综合题附答案解析
一．选择题〔共24小题〕1．〔2015•杭州模拟〕现有两个圆，⊙O1的半径等于篮球的半径，⊙O2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是〔〕A．⊙O1B．⊙O2D．无法确定C．两圆增加的面积是相同的2．〔2015•诸城市二模〕如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，连接AC，则∠DAC等于〔〕A．15°B．30°C．45°D．60°3．〔2014秋•白云区期末〕以下结论错误的选项是〔〕A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．半圆不是弧D．同圆中，等弧所对的圆心角相等4．〔2014秋•青海校级月考〕⊙O中，直径AB=a，弦CD=b，则a与b大小为〔〕A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b5．〔2013秋•太康县校级期中〕以下说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长；④同一条弦所对的两条弧是等弧．其中正确的个数有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个6．〔2013秋•裕华区校级月考〕如图，将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO的度数为〔〕A．150°B．120°C．100°D．60°7．〔2013秋•泰山区校级月考〕如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，假设DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于〔〕A．42°B．28°C．21°D．20°8．〔2013秋•昭通校级月考〕如图，在以原点为圆心，2为半径的⊙O上有一点C，∠COA=45°，则C的坐标为〔〕A．〔，〕B．〔，﹣〕C．〔﹣，〕D．〔﹣，﹣〕9．〔2012秋•张店区校级期中〕某公园计划砌一个形状如图〔1〕的喷水池，后来有人建议改为图〔2〕的形状，且外圆的直径不变，假设两种方案砌各圆形水池的周边需用的材料费分别为W1和W2，则〔〕A．W1＜W2B．W1＞W2C．W1=W2D．无法确定10．〔2007•天水〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，假设半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是〔〕A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1=S2D．不确定11．〔2006•新疆〕某公园计划砌一个形状如图〔1〕所示的喷水池，后来有人建议改为图〔2〕的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿〔〕A．图〔1〕需要的材料多B．图〔2〕需要的材料多C．图〔1〕、图〔2〕需要的材料一样多D．无法确定12．〔2004•武汉〕如果⊙O的周长为10πcm，那么它的半径为〔〕A．5cm B．cm C．10cm D．5πcm13．M、N是⊙O上两点，已知OM=4cm，那么一定有〔〕A．M N＞8cm B．M N=8cm C．M N＜8cm D．M N≤8cm14．如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是〔〕A．4πr B．2πr C．πr D．2r15．〔2014•凤冈县二模〕如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，假设AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是〔〕A．15 B．15+5C．20 D．15+516．〔2014春•萧山区校级月考〕如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，假设点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为〔〕A．20°B．30°C．45°D．60°17．〔2013•温州〕在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如下图．假设AB=4，AC=2，S1﹣S2=，则S3﹣S4的值是〔〕A．B．C．D．18．〔2012秋•昆山市期末〕如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上．设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75°，那么点P在大量角器上对应的刻度为〔〕A．75°B．60°C．45°D．30°19．〔2012秋•邗江区期中〕如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为〔〕A．28°B．34°C．56°D．62°20．〔2010•北仑区二模〕如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，假设∠C=20°，则∠EOB的度数是〔〕A．40°B．50°C．60°D．80°21．〔2005•内江〕在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是〔〕A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定22．〔2003•广东〕如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形〔阴影部分〕的面积为〔〕A．πa2﹣a2B．2πa2﹣a2C．πa2﹣a2D．a2﹣πa223．如图中奥迪车商标的长为34 cm，宽为10 cm，则d的值为〔〕A．14 B．16 C．18 D．2024．如图，两个半径都是4cm的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为〔〕A．D点B．E点C．F点D．G点二．填空题〔共5小题〕25．〔2015春•盐城校级期中〕如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA．假设∠AOC=120°，则∠D的度数是．26．〔2013•淮北模拟〕如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=度．27．〔2013•龙马潭区校级模拟〕如图，点A、B在⊙O上，且AB=BO．∠ABO的平分线与AO相交于点C，假设AC=3，则⊙O的周长为．〔结果保留π〕28．〔2012秋•高坪区校级期中〕如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，假设△COD为直角三角形，则∠E的度数为°．29．〔2010秋•灌云县月考〕如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是．三．解答题〔共1小题〕30．〔2011秋•江宁区校级期中〕如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数．参考答案与试题解析一．选择题〔共24小题〕1．〔2015•杭州模拟〕现有两个圆，⊙O1的半径等于篮球的半径，⊙O2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是〔〕A．⊙O1B．⊙O2D．无法确定C．两圆增加的面积是相同的考点：圆的认识．分析：先由L=2πR计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然后进行比较大小即可．解答：解：设⊙O1的半径等于R，变大后的半径等于R′；⊙O2的半径等于r，变大后的半径等于r′，其中R＞r．由题意得，2πR+1=2πR′，2πr+1=2πr′，解得R′=R+，r′=r+；所以R′﹣R=，r′﹣r=，所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长．∴⊙O1的面积=πR2，变大后的面积=，面积增加了﹣πR2=R+，⊙O2的面积=πr2，变大后的面积=，面积增加了=r+，∵R＞r，∴R+＞r+，∴⊙O1的面积增加的多．故选A．点评：此题考查圆的周长的计算公式及面积计算公式．分别求出两圆半径的伸长量进行比较是解题的关键．2．〔2015•诸城市二模〕如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，连接AC，则∠DAC等于〔〕A．15°B．30°C．45°D．60°考点：圆的认识；平行线的性质．分析：首先利用同一圆的半径相等和平行线的性质得到∠DAC=∠CAB，然后利用已知角求解即可．解答：解：∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∴∠DAC=∠CAB，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠DAB=30°，故选B．点评：此题考查了圆的认识及平行线的性质，属于基础题，比较简单．3．〔2014秋•白云区期末〕以下结论错误的选项是〔〕A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．半圆不是弧D．同圆中，等弧所对的圆心角相等考点：圆的认识．分析：根据圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，进行分析．解答：解：A、圆是轴对称图形，说法正确；B、圆是中心对称图形，说法正确；C、半圆不是弧，说法错误；D、同圆中，等弧所对的圆心角相等，说法正确；故选：C．点评：此题主要考查了圆的认识，关键是掌握圆的相关概念．4．〔2014秋•青海校级月考〕⊙O中，直径AB=a，弦CD=b，则a与b大小为〔〕A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b考点：圆的认识．分析：根据直径是弦，且是最长的弦，即可求解．解答：解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．故选B．点评：注意理解直径和弦之间的关系．5．〔2013秋•太康县校级期中〕以下说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长；④同一条弦所对的两条弧是等弧．其中正确的个数有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个考点：圆的认识．分析：利用圆的有关性质、定义及定理进行判断后即可得到正确的选项．解答：解：①直径不是弦，错误；②同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故错误；③在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，正确；④同一条弦所对的两条弧是等弧，错误，故选A．点评：此题考查了圆的认识，了解圆的有关定义、性质及定理是解题的关键．6．〔2013秋•裕华区校级月考〕如图，将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO的度数为〔〕A．150°B．120°C．100°D．60°考点：圆的认识．专题：计算题．分析：利用半径相等得到∠OCB=∠B=60°，然后根据邻补角的定义求解．解答：解：∵OC=OB，∴∠OCB=∠B=60°，∴∠ACO=180°﹣60°=120°．故选B．点评：此题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念〔弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等〕．7．〔2013秋•泰山区校级月考〕如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，假设DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于〔〕A．42°B．28°C．21°D．20°考点：圆的认识；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：利用半径相等得到DO=DE，则∠E=∠DOE，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E，所以∠1=2∠E，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E，然后利用∠E=∠AOC进行计算即可．解答：解：连结OD，如图，∵OB=DE，OB=OD，∴DO=DE，∴∠E=∠DOE，∵∠1=∠DOE+∠E，∴∠1=2∠E，而OC=OD，∴∠C=∠1，∴∠C=2∠E，∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，∴∠E=∠AOC=×84°=28°．故选B．点评：此题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念〔弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等〕．也考查了等腰三角形的性质．8．〔2013秋•昭通校级月考〕如图，在以原点为圆心，2为半径的⊙O上有一点C，∠COA=45°，则C的坐标为〔〕A．〔，〕B．〔，﹣〕C．〔﹣，〕D．〔﹣，﹣〕考点：圆的认识；坐标与图形性质．分析：作CB⊥OA于点B，根据半径为2，∠COA=45°确定点C的坐标即可；解答：解：作CB⊥OA于点B，∵∠COA=45°，∴三角形BCO为等腰直角三角形，∵OA=2，∴OB=BC=，又∵点C位于第二象限，∴点C的坐标为：〔﹣，〕，故选C．点评：此题考查了圆的认识，正确的构造直角三角形是解决此类题目的关键，注意点C所在的位置．9．〔2012秋•张店区校级期中〕某公园计划砌一个形状如图〔1〕的喷水池，后来有人建议改为图〔2〕的形状，且外圆的直径不变，假设两种方案砌各圆形水池的周边需用的材料费分别为W1和W2，则〔〕A．W1＜W2B．W1＞W2C．W1=W2D．无法确定考点：圆的认识．分析：在图〔1〕中两圆半径都为r，求出两圆的周长得到此方案所用的材料长，在图〔2〕中求出四个圆的周长之和，表示出此方案中所需的材料长，然后比较大小即可得到两种方案所需的材料一样多．解答：解：在图〔1〕中，W1=2×2πr=4πr，在图〔2〕中，W2=2πr+2π•+2π•+2π•=2π〔r+++〕=4πr，所以W1=W2，即两种方案各圆形水池的周边需要的材料一样多．故选C．点评：此题考查了整式的混合运算，以及圆的周长公式，熟练掌握圆的周长公式是解此题的关键．10．〔2007•天水〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，假设半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是〔〕A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1=S2D．不确定考点：圆的认识．专题：压轴题．分析：根据已知及圆的轴对称性质进行分析．解答：解：根据条件上面的半圆关于OP对称，因而S1，S2直径AC上面的两部分的面积相等，△CDB 与△AEB的底CD与AE相等，高相同，因而面积相同，因而S1=S2．故选C．点评：此题主要考查了圆有轴对称性质．11．〔2006•新疆〕某公园计划砌一个形状如图〔1〕所示的喷水池，后来有人建议改为图〔2〕的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿〔〕A．图〔1〕需要的材料多B．图〔2〕需要的材料多C．图〔1〕、图〔2〕需要的材料一样多D．无法确定考点：圆的认识．分析：根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长L的关系即可．解答：解：设大圆的直径是D．根据圆周长公式，得图〔1〕中，需要2πD；图〔2〕中，中间的三个小圆的直径之和是D，所以需要2πD．故选：C．点评：注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取π，所有的直径之和是大圆的直径．12．〔2004•武汉〕如果⊙O的周长为10πcm，那么它的半径为〔〕A．5cm B．cm C．10cm D．5πcm考点：圆的认识．分析：根据周长公式即可求得半径的长．解答：解：设圆的半径是r，则周长是2πr=10π，解得r=5cm．故选A．点评：此题主要考查了圆的周长计算的公式．13．M、N是⊙O上两点，已知OM=4cm，那么一定有〔〕A．M N＞8cm B．M N=8cm C．M N＜8cm D．M N≤8cm考点：圆的认识；三角形三边关系．专题：计算题．分析：根据直径为圆中最长的弦求解．解答：解：∵M、N是⊙O上两点，OM=4cm，∴圆的半径为4cm，圆的直径为8cm，∴MN≤8．故选D．点评：此题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念〔弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等〕．14．如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是〔〕A．4πr B．2πr C．πr D．2r考点：圆的认识．分析：一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离就是圆的周长．解答：解：圆心经过的距离就是圆的周长，所以是2πr．故选B．点评：考查了圆的认识，此题的关键是明白圆心经过的距离就是圆的周长，然后利用周长公式求．15．〔2014•凤冈县二模〕如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，假设AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是〔〕A．15 B．15+5C．20 D．15+5考点：圆的认识；等边三角形的性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：连结ADBP，PA，由于弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，可得到△ABD为等腰直角三角形，则AD=BD，由于△ABC为等边三角形，所以AC=BC=AB=5，BD=BP=5，当点P与点D重合时，AP最大，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=15+5．解答：解：连结AD，BP，PA，∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，∴∠ABD=90°，∴AD=AB，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB=5，∴BD=BP=5，当点P与点D重合时，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=5+5+5+5=15+5．故选B．点评：此题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念〔弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等〕．也考查了等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．16．〔2014春•萧山区校级月考〕如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，假设点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为〔〕A．20°B．30°C．45°D．60°考点：圆的认识；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：连结OD，如图，根据题意得∠DOC=25°，∠AOD=90°，由于OD=OA，则∠ADO=45°，然后利用三角形外角性质得∠ADO=∠B+∠DOB，所以∠B=45°﹣25°=20°．解答：解：连结OD，如图，则∠DOC=70°﹣45°=25°，∠AOD=160°﹣70°=90°，∵OD=OA，∴∠ADO=45°，∵∠ADO=∠B+∠DOB，∴∠B=45°﹣25°=20°．故选A．点评：此题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念〔弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等〕．17．〔2013•温州〕在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如下图．假设AB=4，AC=2，S1﹣S2=，则S3﹣S4的值是〔〕A．B．C．D．考点：圆的认识．专题：压轴题．分析：首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论．解答：解：∵AB=4，AC=2，∴S1+S3=2π，S2+S4=，∵S1﹣S2=，∴〔S1+S3〕﹣〔S2+S4〕=〔S1﹣S2〕+〔S3﹣S4〕=π∴S3﹣S4=π，故选：D．点评：此题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S1+S3和S2+S4的值．18．〔2012秋•昆山市期末〕如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上．设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75°，那么点P在大量角器上对应的刻度为〔〕A．75°B．60°C．45°D．30°考点：圆的认识．分析：依题意，设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PAB 的度数．然后根据圆的知识可求出大量角器上对应不度数．解答：解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠ABP=75°，因而∠PAB=90°﹣75°=15°，在大量角器中弧PB所对的圆心角是30°，因而P在大量角器上对应的度数为30°．故选：D．点评：此题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决此题的关键．19．〔2012秋•邗江区期中〕如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为〔〕A．28°B．34°C．56°D．62°考点：圆的认识．分析：首先根据直角三角形的两个锐角互余，得到∠A=90°﹣∠B=62°．再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到∠ACD的度数，进一步得到其所对的弧的度数．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=28°∴∠A=90°﹣∠B=62度．∵CA=CD∴∠CDA=∠CAD=62°∴∠ACD=56°故选C．点评：此题考查了圆的认识，知道弧的度数等于它所对的圆心角的度数．综合运用了三角形的内角和定理及其推论，根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算．20．〔2010•北仑区二模〕如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，假设∠C=20°，则∠EOB的度数是〔〕A．40°B．50°C．60°D．80°考点：圆的认识；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：利用等边对等角即可证得∠C=∠DOC=20°，然后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解．解答：解：∵CD=OD=OE，∴∠C=∠DOC=20°，∴∠EDO=∠E=40°，∴∠EOB=∠C+∠E=20°+40°=60°．故选C．点评：此题主要考查了三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，正确理解圆的半径都相等是解题的关键．21．〔2005•内江〕在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是〔〕A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定考点：圆的认识．分析：可以设地球的半径是r，则增加后，圆的半径是r+1．即可表示出两圆的周长，从而得到m，n的大小关系．解答：解：因为增加的周长等于半径增加1米后的周长减去原来的周长，根据圆周长公式，提取2π后，前后半径的差都是1米，所以m=n．故选C．点评：注意这里的m和n指的都是增加的周长．22．〔2003•广东〕如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形〔阴影部分〕的面积为〔〕A．πa2﹣a2B．2πa2﹣a2C．πa2﹣a2D．a2﹣πa2考点：圆的认识；正方形的性质．专题：压轴题．分析：图中含有形状不同的两类图形，分别设为x和y，由图形特征知2个x和1个y组成一个半圆，而四个x和4个y组成一个正方形．解答：解：x和y如下图，则解得4x=πa2﹣a2，即阴影部分的面积为πa2﹣a2．故选C．点评：在近年来的中考试题中，经常出现一类“以正方形的边长或边长的一半为半径，在正方形内画圆弧，求所围成图形的阴影部分面积的问题”．解这类问题时，往往可以根据题意及对称性，把整个图形分成几类形状、大小相同的图形；用一个未知数表示同一类的每个小图形的面积，然后考查这些图形的面积关系，列出一次方程组并求得结果．这种数形结合、将面积转化为方程组的解题方法，由于方法新颖、思路清晰，因而深受师生欢送．23．如图中奥迪车商标的长为34 cm，宽为10 cm，则d的值为〔〕A．14 B．16 C．18 D．20考点：圆的认识．专题：压轴题．分析：根据已知可知圆的直径是10cm，从而可求得重叠部分的宽，则不难求得d的值．解答：解：∵宽为10cm，∴圆的直径是10cm，∴圆的重叠部分的宽是〔40﹣34〕÷3=2cm，∴d=20﹣2=18cm．故选C．点评：正确求出两圆的重叠部分的宽，是解决此题的关键．24．如图，两个半径都是4cm的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为〔〕A．D点B．E点C．F点D．G点考点：圆的认识．分析：蚂蚁爬行这8段的距离正好是圆周长的2倍，故根据圆周长的计算公式，先计算圆的周长C，然后用2006π除以2C，根据余数判定停止在哪一个点．解答：解：C=π×8=8π，2C=16π，2006π=16π×125+6π，所以停止在D点．故选A．点评：解决此题的关键是弄清题意，爬行的过程是一个重复的过程，求出重复的圈数，再用余数来确定最终的停留点．二．填空题〔共5小题〕25．〔2015春•盐城校级期中〕如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA．假设∠AOC=120°，则∠D的度数是20．考点：圆的认识；等腰三角形的性质．分析：利用BD=AO=OB，结合等腰三角形的性质及内角和定理求解．解答：解：连接OB，∵BD=OA，OB=OA，∴BD=AO=OB，∴△OBD，△OAB都是等腰三角形，设∠D的度数是x，则∠BAO=∠ABO=x+x=2x，则在△AOB中，利用三角形的内角得是180度，可得：120﹣x+2x+2x=180，解得x=20．故答案为：20．点评：此题主要是利用等腰三角形和三角形的内角得定理理清角与角的关系，然后列方程求解即可．26．〔2013•淮北模拟〕如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=65度．考点：圆的认识；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D=∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．解答：解：∵OD=OC，∴∠D=∠A，而∠AOD=50°，∴∠A=〔180°﹣50°〕=65°，又∵AD∥OC，∴∠BOC=∠A=65°．故答案为：65．点评：此题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．27．〔2013•龙马潭区校级模拟〕如图，点A、B在⊙O上，且AB=BO．∠ABO的平分线与AO相交于点C，假设AC=3，则⊙O的周长为12π．〔结果保留π〕考点：圆的认识；等边三角形的判定与性质．分析：先由三边相等的三角形是等边三角形得出△OAB是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质得出OA=2AC=6，然后根据圆的周长公式计算即可．解答：解：∵OA=OB，AB=BO，∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，∵BC平分∠ABO，∴OA=2AC=6，∴⊙O的周长为2π•OA=2π×6=12π．故答案为12π．点评：此题主要考查了等边三角形的判定与性质，圆的基本性质及周长，难度适中．28．〔2012秋•高坪区校级期中〕如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，假设△COD为直角三角形，则∠E的度数为22.5°．考点：圆的认识．专题：计算题．分析：由于AB是⊙O的直径，则AB=2DO，而AB=2DE，可得DO=DE，根据等腰三角形的性质得到∠DOE=∠E，又由于△COD为直角三角形，而OC=OD，所以△COD为等腰直角三角形，于是可得∠CDO=45°，利用三角形外角性质有∠CDO=∠DOE+∠E，则∠E=∠CDO=22.5°．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∵AB=2DO，而AB=2DE，∴DO=DE，∴∠DOE=∠E，∵△COD为直角三角形，而OC=OD，∴△COD为等腰直角三角形，∴∠CDO=45°，∵∠CDO=∠DOE+∠E，∴∠E=∠CDO=22.5°．故答案为22.5°．点评：此题考查了圆的认识：圆上任意两点的连线段叫圆的弦；过圆心的弦叫圆的直径；直径的长等于半径的2倍．也考查了等腰直角三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．29．〔2010秋•灌云县月考〕如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是10．考点：圆的认识；勾股定理．分析：先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求出AB的长．解答：解：连接OC，∵CD=4，OD=3，在Rt△ODC中，∴OC===5，∴AB=2OC=10，故答案为：10．点评：此题考查了圆的认识，解题的关键是根据勾股定理求出圆的半径，此题较简单．三．解答题〔共1小题〕30．〔2011秋•江宁区校级期中〕如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数．考点：圆的认识；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：设∠B=x，根据等腰三角形的性质，由BD=OD得∠DOB=∠B=x，再根据三角形外角性质得∠ADO=2x，则∠A=∠ADO=2x，然后根据三角形外角性质得2x+x=114°，解得x=38°，最后利用三角形内角和定理计算∠AOD的度数．解答：解：设∠B=x，∵BD=OD，∴∠DOB=∠B=x，∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=2x，∵∠AOC=∠A+∠B，∴2x+x=114°，解得x=38°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠ADO=180°﹣4x=180°﹣4×38°=28°．点评：此题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念〔弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等〕．也考查了等腰三角形的性质．。
2021年中考数学高频考点：《圆的综合》解答题专题练习(一)含答案
2021年中考数学复习高频考点精准练：《圆的综合》解答题专题练习（一）1．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点E，F，连接EF，OE．（1）求证：∠OEF＝∠ABC；（2）如图2，连接BE，若点D是线段BE上的一个动点，且tan∠CFE＝2，求CD+BD 的最小值．2．在⊙O中，AB为直径，点P在BA的延长线上，PC为⊙O的切线，过点A作AH⊥PC于点H，交⊙O于点D，连接BC、BD、AC．（1）如图1，求证：∠CAH＝∠CAB；（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，求证：BD＝2CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在BC上，连接DF、EF，若BG＝2AE，∠CFE＝45°，OG＝1，求线段EF的长．3．如图，在⊙O中，弦BC⊥半径OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，点P为BC延长线上一点，PF＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若AD＝2，BC＝8，DF＝1，求PE的长．4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，BC＝6，求阴影部分的面积．5．在等边三角形ABC中，经过点B有一个圆与AC，AB，BC分别交于点D，E，F，连接BD，DE，DF．（1）如图（1），若BD是圆的直径，AE＝CF时，求证：DE＝DF；（2）如图（2），若＝，AD＝4时，求AB的长．6．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC 的延长线于点E，AC平分∠BAE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝6，求⊙O的直径．7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弦BC的中点，射线OD与圆周及切线BE 分别交于点M和点E，连接CE．（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）若直径AB＝4，填空：①连接CM，CO，当∠ABC＝°时，四边形ACMO是菱形；②当ME＝时，四边形OCEB是正方形．8．如图，AB是⊙O的弦，连接OA，过点O作OC⊥OA，OC交AB于点P，延长OP到C，连接BC，且CP＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAO＝25°，OA＝18，点Q是上的一点，求的长（结果用π表示）．9．（1）如图1，求证：∠AOD＝2∠ACD；（2）如图2，AC⊥BD，M是AB中点，求证：①EM⊥CD；②CD＝2OM．10．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝6，求DC的长．11．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．12．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于D，⊙O的弦BC∥l，连接AD、AC，过D 作DE⊥AB于E点．（1）求证：BC＝2DE；（2）过D作DG∥AB交AC于点G，GF⊥AB于点F．且BC＝BF，求tan∠DAB的值．13．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过A作⊙O的切线，过C作DA的平行线，两直线交于F，FC的延长线交AB的延长线于点G．（1）填空：∠D＝°；（2）求证：FG与⊙O相切；（3）连接EF，求tan∠EFC的值．14．如图．⊙O过长方形ABCD的顶点D和BC上一点E．且与BA相切于点F，⊙O分别交AD，CD于G，H两点，BF＝BE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接FE，ED．若AG＝1，BF＝5，CH＝2．求tan∠FED的值．15．在锐角△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC、AC于点D、E，AF⊥DE于点F．（1）求证：∠EDC＝2∠CAF；（2）若直线AF是⊙O的切线，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若＝，求的值．参考答案1．（1）证明：如图1中，连接AF，OF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BC，∵AB＝AC，∴∠EAF＝∠FAB，∵∠EOF＝2∠EAF，∠FOB＝2∠FAB，∴∠EOF＝∠FOB，∵OE＝OF＝OB，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OFB＝∠ABC，∴∠OEF＝∠ABC．（2）解：如图2中，连接AF，过点C作CM⊥AB于M，过点D作DH⊥AB于H．∵四边形ABFE是圆内接四边形，∵∠CFE+∠EFB＝180°，∴∠CFE＝∠CAB，在Rt△AEB中，tan∠CAB＝，tan∠CFE＝2，∴＝2，设AE＝k，则BE＝2k，∵AE2+BE2＝AB2，∴k2+（2k）2＝52，解得k＝或﹣（舍弃），∴AE＝，BE＝2，∵AB＝AC＝5，AF⊥BC，BE⊥AC，又∵S＝•AB•CM＝•AC•BE，△ABC∴CM＝BE＝2，∵∠DHB＝∠AEB＝90°，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∵CD+DH≥CM＝2，∴CD+BD＝（CD+DH）≥×＝10，∴CD+BD的最小值为10．2．（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∵AH⊥PC，∴OC∥AH，∴∠CAH＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAH＝∠CAB；（2）证明：连接OC，延长CO交BD于点M，∵∠CAH＝∠CAB，CH⊥AH，CE⊥AB，∴CE＝CH，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DHC＝∠HCM＝∠ADB＝90°，∴四边形HDMC为矩形，∴HC＝DM，∠CMD＝90°，CM⊥BD，∴BD＝2DM＝2CH＝2CE；（3）解：连接CD，过点E作ES⊥BC于点S，ET⊥DF于点T，在Rt△CAH和Rt△CAE中，AC＝AC，CH＝CE，∴Rt△CAH≌Rt△CAE（HL），∴AH＝AE，∵＝，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠CAH＝∠CEB＝90°，CH＝CE，∴△CHD≌△CEB（AAS），∴DH＝BE，∵BG＝2AE，设AE＝a，则AH＝AE＝a，∵OG＝1，∴OA＝OB＝2a+1，∴EO＝OA﹣AE＝a+1，EG＝EO+OG＝a+2，AG＝OA+OG＝2a+2，∴DH＝BE＝EG+BG＝3a+2，∴AD＝DH﹣AH＝2a+2，∴AD＝AG，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠HAE＝∠ADG+∠AGD，∠HAE＝∠HAC+∠EAC，由（1）知∠HAC＝∠EAC，∴∠HAC＝∠EAC＝∠ADG＝∠AGD，∴AC∥DF，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DFC＝∠DFB＝∠ACB＝90°，∵∠CFE＝45°，∴∠EFC＝∠EFD＝45°，∵ES⊥BC，ET⊥DF，∴ES＝ET，∠ESC＝∠ETG＝90°，∵∠CEG+∠CFG＝180°，∴∠ECF+∠FGE＝180°，∵∠EGT+∠EGF＝180°，∴∠EGT＝∠ECF．∴△ECS≌△EGT（AAS），∴CE＝EG＝a+2，在Rt△ADB中，AB＝2OA＝4a+2，BD＝2CE＝2a+4，AD＝2a+2，∵AD2+BD2＝AB2，∴（2a+2）2+（2a+4）2＝（4a+2）2，解得a＝2（a＝﹣1舍去），∴CE＝a+2＝4，BE＝3a+2＝8，∴tan∠EBC＝＝，∵BE＝8，设ES＝m，BS＝2m，∴m2+（2m）2＝82，解得m＝（负值舍去），∴ES＝，∵∠CFE＝45°，∴EF＝ES＝．3．（1）证明：如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∵OA⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠A+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠PFE，∴∠A+∠PFE＝90°，∵PF＝PE，∴∠PFE＝∠PEF，∴∠A+∠PEF＝∠OEA+∠PEF＝90°，∴∠OEP＝90°，∴OE⊥PE，OE是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线；（2）解：连接OC，OP，设OC＝x，则OD＝OA﹣AD＝x﹣2，∵OA⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝4，在Rt△ODC中，根据勾股定理，得OC2＝OD2+CD2，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得x＝5，∴OC＝5，OD＝3，∵PE＝PF，∴PD＝PF+DF＝PE+1，在Rt△OPD和Rt△OPE中，根据勾股定理，得OP2＝OD2+PD2＝OE2+PE2，∴9+（PE+1）2＝25+PE2，解得PE＝．4．（1）证明：连接OD交BC于H，连接OB、OC，如图，∵点E是△ABC的内心∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∴∠BOD＝∠COD，∴＝，∴OD⊥BC，BH＝CH，∵DG∥BC，∴OD⊥DG，∴DG是⊙O的切线；（2）解：∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，∴DB＝DE＝6，∵BH＝BC＝3，在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，∴∠BDH＝45°，∵OB＝OD，∴△OBD为等腰直角三角形，∴∠BOD＝90°，∵BD＝6，∴OB＝OD＝3，∵∠DOC＝∠BOD＝90°，∴阴影部分的面积＝S扇形DOC ﹣S△DOC＝﹣3×3＝π﹣9．5．（1）证明：如图1中，∵BD是直径，∴∠BED＝∠BFD＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∵AE＝CF，∴BE＝BF，∵BD＝BD，∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），∴DE＝DF．（2）解：如图2中，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N．∵∠AED+∠BED＝180°，∠BED+∠BFD＝180°，∴∠AED＝∠DFB，∵∠DME＝∠DNF＝90°，∴△DME∽△DNF，∴＝＝，在Rt△ADM中，∠AMD＝90°，∠A＝60°，AD＝4，∴DM＝AD•sin60°＝2，∴DN＝5，在Rt△DCN中，∠DNC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝＝10，∴AB＝AC＝AD+DC＝4+10＝14．6．（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠EAB，∴∠OAC＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，∵AE⊥DC，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°，由（1）知OC⊥CD，∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠BDC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，而∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠BCD，∴∠OCB＝2∠BCD，而∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝3∠BCD＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，设OC＝x，则OD＝2x，由勾股定理得4x2﹣x2＝62，解得，所以．7．（1）证明：连接OC，∵BE为⊙O的切线，∴∠ABE＝90°，∵点O为BC的中点，∴依据垂径定理得OE垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OEC和△OEB中，∵EC＝EB，EO＝EO，CO＝BO，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠ECO＝∠EBO＝90°，∵OC为半径，∴直线CE是⊙O的切线；（2）解：①30°；②，理由如下：①∵四边形ACMO为菱形，∴AC＝AO，∵OC＝OA，∴△CAO为等边三角形，∴∠CAO＝60°，∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°；②∵四边形OCEB为正方形，AB＝4，∴OC＝CE＝2，∴，∵CM＝2，∴ME＝2﹣2，故答案为①30°；②．8．（1）证明：连接OB，∵OA，OB是⊙O的半径，∴∠OBA＝∠OAB，∵CP＝CB，∴∠CBP＝∠CPB．∵∠CPB与∠APO是对顶角，∴∠APO＝∠CPB，∴∠CBP＝∠APO，∵OC⊥OA，交AB于点P，∴∠APO+∠PAO＝90°，∴∠CBP+∠OBA＝90°．∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵∠BAO＝25°，∴∠AOB＝130°．∴所对的圆心角为230°，∵OA＝18，∴．9．（1）证明：如图1中，连接CO，延长CO到T．∵∠TOD＝∠D+∠DCO，∠AOT＝∠A+∠AOC，∴∠AOD＝∠TOD+∠TOA＝∠D+∠DCO+∠ACO+∠A，∵OD＝OC＝OA，∴∠D＝∠OCD，∠A＝∠ACO，∴∠AOD＝2∠ACD．（2）①证明：如图2﹣1中，延长ME交CD于H．∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∵AM＝BM，∴ME＝AM＝BM，∴∠A＝∠D＝∠AEM，∵∠AEM+∠MEB＝90°，∠MEB＝∠DEH，∴∠D+∠DEH＝90°，∴∠DHE＝90°，∴ME⊥CD．②证明：如图2﹣2中，延长BO交⊙O于P，连接PD，PA，AD．∵AM＝MB，OP＝OB，∴AP＝2OM，∵PB是直径，∴∠PDB＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝∠PDB＝90°，∴PD∥AC，∴∠ADP＝∠DAC，∴＝，∴CD＝AP，∴CD＝2OM．10．（1）证明：连接OC，∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线；（2）证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF；（3）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝3，在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝3∴，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝4，MN＝OC＝5，在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝4，DM＝DN+MN＝9，∴．11．（1）证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB＝2，∴AC＝BC＝AB＝2，∠ACB＝60°．在Rt△PAC中，∠PAC＝90°，∠APC＝60°，AC＝2，∴AP＝＝．在Rt△DAC中，∠DAC＝90°，AC＝2，∠ACD＝60°，∴AD＝AC•tan∠ACD＝2．∴PD＝AD﹣AP＝．12．（1）证明：连接OD，交BC于M，∵l是⊙O的切线，∴OD⊥l，∵BC∥l，∴BC⊥OD，∵O为AB的中点，∴M为BC中点，∴BC＝2BM，在△OBM和△ODE中，，∴△OBM≌△ODE（ASA），∴DE＝BM，∴BC＝2DE；（2）解：连接BG，在Rt△BGC和Rt△BGF中，，∴Rt△BGC≌Rt△BGF（HL），∴BG平分∠CBF，CG＝GF，设CG＝GF＝DE＝a，则BC＝BF＝2a，∵∠GAF＝∠CAB，∠AFG＝∠ACB，∴△AFG∽△ACB，∴，∴，∴2AF＝a+AG，又∵AG2＝AF2+GF2，解得AF＝a，AG＝a，由（1）知，AD平分∠BAC，∴AG＝GD＝a，∴AE＝a＝3a，∴tan∠DAB＝＝．13．解（1）∵AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，∴DE＝DC，∵DC＝AD，∴DE＝AD，∴∠DAE＝30°，∴∠D＝60°；故答案为：60°；（2）如答图：连接OD、OC，∵OA＝OD，∠DAE＝30°，∴∠ADO＝30°，∵∠ADC＝60°，AD∥FG，∴∠CDO＝30°，∠DCG＝60°，∵OD＝OC，∴∠DCO＝30°，∴∠GCO＝∠DCG+∠DCO＝90°，∴OC⊥FG，∴FG与⊙O相切；（3）如答图2：连接EF、OF、OC，过E作EH⊥FG于H，设⊙O半径为R，∵AD∥FG，∠DAE＝30°，FG与⊙O相切，∴∠G＝30°，∠OCG＝90°，∴OG＝2R，CG＝R，∵CD⊥AB，∴∠GEC＝90°，GE＝CG＝R，∵EH⊥FG于H，∴EH＝GE＝R，∵∠DCG＝60°，EH⊥FG于H，∴CH＝＝R，∵CD⊥AB，AF是⊙O的切线，∴∠GEC＝∠GAF＝90°，∴CD∥AF，∴∠AFC＝∠DCG＝60°，∵FG、FA是是⊙O的切线，∴FA＝FC，∠OCF＝∠OAF，又OF＝OF，∴△AOF≌△COF（HL），∴∠OFC＝∠OFA＝30°，∴CF＝R，∴HF＝CF+CH＝R，在Rt△EHF中，tan∠EFC＝＝＝．14．（1）证明：连接OF，OE，EF，如图1所示：∵⊙O与BA相切于点F，∴AB⊥OF，∴∠OFB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵BF＝BE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠BEF＝45°，∴∠OFE＝90°45°＝45°，又∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠OEB＝45°+45°＝90°，∴BC⊥OE，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OG、FG，连接EO并延长交AD于P，如图2所示：则EP⊥AD，AP＝BE＝BF＝5，∴GP＝AP﹣AG＝4，∵∠OFB＝∠B＝∠OEB＝90°，∴四边形OFBE是矩形，∴OE＝BF＝5，在Rt△GPO中，由勾股定理得：PO＝＝＝3，∴AF＝OP＝3，∵∠FGA＝∠FED，∴，tan∠FED＝tan∠FGA＝＝3．15．证明：（1）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE，∴BD＝DE＝DC，∴∠DEC＝∠C＝∠AEF，∵∠AEF+∠CAF＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CAF＝∠CAD，∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠BAC+∠BDE＝180°，又∵∠BDE+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠BAC＝2∠CAD＝2∠CAF；（2）△ABC是等边三角形，理由如下：∵直线AF是⊙O的切线，∴∠BAF＝90°，∵∠BAD＝∠CAD＝∠CAF，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CAF＝30°，∴∠BAC＝60°，又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形；（3）∵＝，∴设AD＝25x，DF＝24x，∴AF＝＝＝7x，∵∠BAD＝∠CAF，∠AFE＝∠ADB＝90°，∴△ADB∽△AFE，∴，∴，∴BD＝x，∴BC＝x，∵AB＝＝＝x，∴．。
九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习及答案解析
九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习及答案解析一、圆的综合1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan A=12，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．【解析】试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DE BE BDAE DE AD==．∵Rt△ABD中，tan A=BDAD=12，∴DE BEAE DE==12，∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x．∵OF=1，∴OE=1+2x．在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（32x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣29（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．2．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8.【解析】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
九年级数学专题复习之《圆》的综合训练卷
九年级数学专题复习之《圆》的综合训练卷一．选择题（共10小题）1．如图，矩形ABCD中．AB＝3，BC＝6，以点B为圆心、BA为半径画弧，交BC于点E，以点D为圆心、DA为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为（）A．B．6π﹣C．D．2．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（）A．B．1C．D．3．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D．2﹣14．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD 于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大6．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．87．如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（）A．4B．C．D．58．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．69．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（）A．πB．π+C．D．2π10．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC 的最大值是（）A．2B．C．D．二．填空题（共10小题）11．已知如图，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，所在圆的圆心是点O，∠BOC＝60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为．12．已知圆锥的侧面积是40π，底面圆直径为2，则圆锥的母线长是．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM 的最小值为．14．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为．15．如图，AB是半圆O的直径，点C在半径OA上，过点C做CD⊥AB交半圆O于点D．以CD，CA为边分别向左、下作正方形CDEF，CAGH．过点B作GH的垂线与GH的延长线交于点I，M为HI的中点．记正方形CDEF，CAGH，四边形BCHI的面积分别为S1，S2，S3．（1）若AC：BC＝2：3，则的值为；（2）若D，O，M在同条直线上，则的值为．16．如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D 在直线y＝﹣2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是．17．如图1，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，设PB+ PD的值为a，如图2，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，设AP+DP的值为b，如图3，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，设点O到△MNG三个顶点的距离和的值为c，则a2+b2+c2的最小值为．18．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH ＝60°，则线段EH长．19．如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为．20．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是对角线AC上的一点，经过C，D，E三点的⊙O与AD，BC分别交于点F，G，连接ED，EF，EG，延长GE交AD于点H．若当△HEF是等腰三角形时，CE的长为．三．解答题（共10小题）21．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．（1）求证：EB＝EI；（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．22．如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD与⊙O相切于点D，C在⊙O上，PC＝PD．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）连接AC，若AC＝PC，PB＝1，求⊙O的半径．23．如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：EF⊥AC．（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．24．如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD＝CE （1）求证：OA＝OB；（2）已知AB＝4 ，OA＝4，求阴影部分的面积．25．已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．26．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．27．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若BE＝8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．29．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求BE的长．30．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．。
初中圆的综合试题及答案
初中圆的综合试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 圆的半径为r，直径为d，则d与r的关系是（）。
A. d = 2rB. d = rC. d = r/2D. d = 4r答案：A2. 圆的周长C与半径r的关系是（）。
A. C = 2πrB. C = πrC. C = 4πrD. C = 2r答案：A3. 圆的面积S与半径r的关系是（）。
A. S = πr^2B. S = 2πrC. S = πrD. S = r^2答案：A4. 圆心角为90°的扇形面积是整个圆面积的（）。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. 1答案：A5. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是（）。
A. 10cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm答案：A6. 圆的切线与半径的关系是（）。
A. 垂直B. 平行C. 相交D. 重合答案：A7. 圆的内接正方形的对角线长度等于圆的（）。
A. 半径B. 直径C. 周长D. 面积答案：B8. 圆的外切正方形的边长等于圆的（）。
A. 半径B. 直径C. 周长D. 面积答案：A9. 两个半径相等的圆是（）。
A. 同心圆B. 等圆C. 相切圆D. 相交圆答案：B10. 圆的直径是半径的（）倍。
A. 1B. 2C. 4D. 8答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 圆的周长公式为C=2πr，其中r代表圆的________。
答案：半径12. 圆的面积公式为S=πr^2，其中r代表圆的________。
答案：半径13. 一个圆的半径为3cm，那么它的周长是________cm。
答案：18.8414. 一个圆的半径为4cm，那么它的面积是________cm^2。
答案：50.2415. 圆的切线垂直于经过切点的________。
答案：半径16. 圆的内接正六边形的边长等于圆的________。
答案：半径17. 圆的外切正六边形的边长等于圆的________。
答案：半径18. 两个圆的半径之和等于它们圆心距的圆是________圆。
六年级上册数学 《圆》解答题专项训练
【六年级上册数学】《圆》专项训练——解答题1．妈妈编织了一个直径为6分米的圆形垫子，为了美观，在垫子的一周加一圈宽10厘米的彩边，彩边的面积是多少？6÷2＝3（分米）10厘米＝1分米3＋1＝4（分米）3.14×4²－3.14×3²＝3.14×16－3.14×9＝3.14×（16－9）＝3.14×7＝21.98（平方分米）答：彩边的面积是21.98平方分米。
2．有一个周长是56.52米的圆形池塘，现在要在池塘外用花砖铺一圈1米宽的小路，所铺花砖的面积是多少？56.52÷3.14÷2＝9（米）9＋1＝10（米）3.14×（10²﹣9²）＝3.14×（100﹣81）＝3.14×19＝59.66（平方米）答：铺花砖的面积是59.66平方米。
3．一块长方形空地，长8米，宽6米，要在这块长方形空地里面修一个最大的圆形花坛。
这个花坛的占地面积是多少平方米？3.14×（6÷2）²＝3.14×9＝28.26（平方米）答：这个花坛的占地面积是28.26平方米。
4．某小学校园建“开心农场”，用31.4米的篱笆靠墙围出了两个完全相同的半圆形菜园，这两个半圆形菜园的占地面积是多少平方米？31.4÷3.14÷2＝5（米）3.14×5²＝3.14×25＝78.5（平方米）答：这两个半圆形菜园的占地面积是78.5平方米。
5．共享单车有低碳环保、经济节能等优势，为人们的出行提供了诸多方便。
一辆共享单车的轮胎直径是0.7米，如果每分钟转100圈，这辆共享单车的速度是多少千米/时？（得数保留整数）0.7×3.14×100×60＝219.8×60＝13188（米/时）13188米/时＝13.188千米/时≈13千米/时答：这辆共享单车的速度是13千米/时6．有一个圆形花坛，半径是10米，王叔叔每天早晨绕着花坛的边缘跑15圈，他每天早晨跑多少米？3.14×（10×2）×15＝3.14×20×15＝62.8×15＝942（米）答：他每天早晨跑942米。
圆的解答题(题目及答案)
《圆》解答题荟萃1、已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F ．（1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）当BD=6，sinC=53时，求⊙O 的半径．（1）证明：连接OE ，∵AB=BC 且D 是AC 中点，∴BD ⊥AC ，∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE=∠DBE ， ∵OB=OE ∴∠OBE=∠OEB ，∴∠OEB=∠DBE ，∴OE ∥BD ，∵BD ⊥AC ，∴OE ⊥AC ，∵OE 为⊙O 半径，∴AC 与⊙O 相切．（2）解：∵BD=6，sinC=53，BD ⊥AC ，∴BC=10，∴AB=BC=10， 设⊙O 的半径为r ，则AO=10﹣r ，∵AB=BC ，∴∠C=∠A ，∴sinA=sinC=53， ∵AC 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥AC ，∴sinA=r r OA OE -=10=53，∴r =415，答：⊙O 的半径是415．2、如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上的一点，AD 与过点C 的切线互相垂直，垂足为点D ．（1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）若CD=1，AC=10，求⊙O 的半径长．（1）证明：连接OC ．∵OA=OC ，∴∠ACO=∠CAO ．∵CD 切⊙O 于C ，∴OC ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，∴AD ∥CO ，∴∠DAC=∠ACO ，∴∠DAC=∠CAO ，即AC 平分∠BAD ；（2）解法一：如图2①，过点O 作OE ⊥AC 于E ．在Rt △ADC 中，AD=31-)10(2222==-DC AC ，∵OE ⊥AC ，∴AE=21，AC=210． ∵∠CAO=∠DAC ，∠AEO=∠ADC=90°，∴△AEO ∽△ADC ，∴，即，∴AO=35，即⊙O 的半径为35． 解法二：如图2②，连接BC ．在Rt △ADC 中，AD===3． ∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠DAC ，∠ACB=∠ADC=90°，∴△ABC ∽△ACD ，∴，即，∴AB=，∴=，即⊙O 的半径为35．3、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AD=2，求AC的长．【解】（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，∴∠AOC+2∠OCA=180°，∴∠AOC+∠OCA=90°，∵∠ACD=∠AOC，∴∠ACD+∠OCA=90°，即∠DCO=90°，又∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，可得∠AEC=90°，由（1）得∠DCO=90°，∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴四边形DCEA是矩形，又AD=2，∴CE=AD=2∵AB是直径，且AB=10，∴OA=OC=5，∴OE=OC﹣CE=5﹣2=3，∴在Rt△AEO中，OA=5，OE=3，根据勾股定理得：AE==4，∴在Rt△ACE中，CE=2，AE=4，根据勾股定理得：AC==2．4、如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB=AC ，AD 的延长线与BC 的延长线交于点E 。
圆经典综合解答题之一(圆的基本性质)
(不与点A,D重合)
A
AD2=AE· AF
AC2=AE· AF
●
O G
F D E
C (3)
B
例3:如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交⊙O与 点E,过A点作AD⊥BC于点D.(1)求证∠EAB=∠CAD (2)若AB+AC=12,AD=3,设AE=y,AB=x 直径y最大 ①求y与x的函数关系式 ②当AB的长等于多少时,⊙O的面积最大，最大面积 是多少？ A △ABE∽△ADC 12-x AE( y ) AB( x) x y 3
例1 如图，已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是
⊿ABC的高，AE是⊙O的直径.
求证：AD ·AB＝AE ·AC 分析：三点定型找相似： △ADE
B
●
A
O D C
AD ·AB＝AE ·AC
△ABD △ABC
E
AD ·AB＝AE ·AC
需证明： △ABD∽△AEC
△AEC
例2:如图(1),AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦, 且AB⊥CD于点G . (1)若F是弧CB上的一点,连接AF交弦CD所在直线于点E. 求证:AD2=AE· AF; A
△BCD∽△BAC 3
●
C 4 O B Q
A
D
BB的两侧有定点C和 动点P.已知BC=4,CA=3,点P在弧AB上运动,过 点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q. (2)当点P运动到什么位置时,CQ得到最大值, 并求此时CQ的长.
需证明： △ADE∽△ADF
●
O
C
E
F
G B
(1)
D
例2:如图，AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,且 AB⊥CD于点G。 (2)当点F在弧AC上运动时(不与点A,C重合),以上结论 成立吗? AD2=AE· AF A F E C
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专题一：圆的综合解答题
【知识储备】
1、同圆或等圆中，半径处处相等；
2、射影定理；
3、有一条公共边的两个三角形相似，公共边的平方等于它在两个三角形中的对应边的乘积。
AB
CD
BC•
=
2AC
CD
BC•
=
2（公共边的平方等于共线边之积）。
4、垂径定理基本模型：
2
2
2
2
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
=
d
h
r
（r：半径、h：圆心距、d：弦长）
5、∥+角平分线→等腰三角形（知二推一）
6、相等的角的三角函数值相等。
【例题讲解】
基本题型：条件发散
例1、（2016.内江）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC、BC 及AB的延长线相交于点D、E、F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD、FH。
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；
（3）在（2）的条件下，求HB HG •的值。
练习： （2016.资阳）如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连接BD 。
（1）求证：∠A ＝∠BDC ；
（2）若CM 平分∠ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM ＝1时，求MN 的长。
例2、（2016.绵阳）如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，点D 是⋂
BC 的中点，DE ⊥AC
于点E ，DF ⊥AB 于点F 。
（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若OF ＝4，求AC 的长度。
练习： 1、（2016.南充）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，OC ＝1，以点O 为圆心、OC 为半径作半圆。
（1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）如果tan ∠CAO=
3
1
，求cosB 的值。
2、（2016.甘孜）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 、AC 分别交于D 、E 两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H 。
（1）判断DH 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H 为CE 的中点； （3）若BC ＝10，cosC ＝
5
5
，求AE 的长。
例3、（2016.成都）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以CB 为半径作⊙C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接BD 、BE 。
（1）求证：△ABD ∽△AEB ； （2）当
3
4
=BC AB 时，求tanE ； （3）在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线，与BE 交于点F 。
若AF ＝2，求⊙C 的半径。
练习： （2016.凉山）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，A 是⋂
BDC 的中点，AE ⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且⋂
⋂
=AD BF 。
（1）求证：△ADC ∽△EBA ；
（2）如果AB ＝8，CD ＝5，求tan ∠CAD 的值。
【当堂检测】 1、（2016.泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线交于点E ，且∠A ＝∠EBC 。
（1）求证：BE 是⊙O 的切线；
（2）已知CG ∥EB ，且CG 与BD 、BA 分别相交于点F 、G ，若48=•BA BG ，FG=2，DF=2BF ，求AH 的值。
2、（2016.乐山）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F 。
（1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若EB ＝
23，且5
3
sin =∠CFD ，求⊙O 的半径与线段AE 的长。
3、（2014.宜宾）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F.
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
(2) CF=5，cos∠A = 2
5，求BE的长.。