矩阵位移法-第一讲
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第1章 杆系结构的矩阵位移法
在计算图式中，杆单元和梁单元均简化为一条直线，统称为一维单元。
矩阵位移法结构分析的基本要点
矩阵位移法是以传统结构力学的位移法为理论基础，按有限元法的基本思路分
析结构。
（1）单元分析
将结构离散为若干个杆件单元，研究杆件单元的力学特性，确定在单元坐
标系中单元杆端力与杆端位移之间的关系，获得单元坐标系中的单元刚度
第一章 杆系结构的矩阵位移法
§1 概述
§2 总体坐标系和单元坐标系
§3 平面梁单元的单元刚度矩阵
§4 总体坐标系中的单元刚度矩阵
§5 总体刚度矩阵的集成
§6 荷载列阵的形成
§7 方程求解
§8 杆件单元内力计算
§9 支点反力计算及支承点沉陷产生的内力计算
§10 矩阵位移法计算步骤与算例
§1 概述
结构矩阵分析方法：杆系结构的有限元法。
在单元分析中，杆端位移和杆端力都是在单元坐标系定义的。组成结构的各个
单元的单元坐标系不一定完全相同。
通过坐标转换，将各单元坐标系下的单元刚度矩阵和荷载列阵转换到总体坐标
系下的单元刚度矩阵和荷载列阵。
4.1 坐标转换
令总体坐标系中单元杆端力和杆端位移列阵为 和 ，表示为：
将端单元坐标系中的位移分量用总体坐标系中的位移分量表示，其投影关系
于1（其他杆端位移分量均为零）时，所引起的其所在行对应的杆端力分量的数
值。
（3）单元刚度矩阵具有的性质
（4）考虑剪切变形的梁单元刚度矩阵
以上推导的梁单元刚度矩阵适用于细长梁，忽略了剪切变形影响。对于剪切
变形起重要作用的深梁，剪切变形引起梁的附加挠度。
矩形截面k=1.2，
圆形截面k=10/9。
矩阵位移法-第一讲.
过度的简化实际情况
工程师和数学家都在为能够解 决现实中连续化的问题而努力
工程师处理结构问题的一个标准方法是： 计算每一个单元的力和位移的关系
根据结构在“结点”或者“连接处”的局部 平衡方程建立总体平衡方程
测试函数
有限差 Richardson 1910 Liebman 1918
变分法
瑞雷法1870 李兹法1909 结构类比替代法
代入上面两个整体坐标和局部坐标 下杆端力和位移的转换公式：
TF e k eT e
两边同时左乘T-1
F e T 1k eT e F e k e e
由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我 们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。
e Fi e kii F e k e j ji e ie kij e ke jj j
有限元简介
人类思维的局限性难以 把握越来越复杂的事物！
离散化的思想
1. 把整个系统分割成独立的“成分”或者“单 元”。
2. 然后把这些独立的“成分”重新组装还原 为原系统，研究原系统的性质。
这种普通的方法常常被工程师、科学家、 甚至是经济学家使用。
两种思维方式
使用有限数量的定义明确的“成分”建立模 型——离散化 在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或 者平衡条件——连续化（无穷小也可看成有限 个单元） 随着计算机的发展，离散化的处理 问题可以比较容易的解答，即使单 元的数量非常多。 而连续化的问题仅仅适用于手算计算
e
写出力和位移的关系
这称
需要将单元在局部坐标 下的刚度距阵变换到整 体坐标下的刚度距阵
10－3 单元刚度距阵的坐标变换
杆端力的变换
09矩阵位移法(学习版)(1)
1
2
3 6
4
y
5
θ x
O
练习：
3 ④ 2 ① 1
8 ⑨ ⑤ 6 ⑦ ② 4 5 ⑧ 7 ⑩ ⑥
13
12 10 11 ③ 9
（2）结点位移编码 矩阵位移法基本未知量的确定： 矩阵位移法基本未知量的确定不是唯一的，它与 单元如何划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序 有关。 结点位移的统一编码 —— 整体码 用矩阵位移法进行结构分析时，基本未知量是结点 位移，这就需要将结构中全部结点位移分量进行统一编 码。
第九章
矩阵位移法
9.1 概述
1. 概述
结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的 一种方法。与传统的力法、位移法相对应，结构矩阵分 析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。 矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。 矩阵位移法是以结点位移为基本未知量，借助矩阵 进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等 计算的方法。
e
e
建立单元的杆端力和杆端 位移之间关系的过程称单元分 析，形成的方程称单元刚度方 程。
e
⎡δ 1 ⎤ ⎡ u i ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ δ 2 ⎥ ⎢ vi ⎥ ⎢ e ⎡ δ i ⎤ ⎢δ 3 ⎥ ⎢θ i ⎥ e δ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎣δ j ⎦ ⎢δ 4 ⎥ ⎢u j ⎥ ⎢δ 5 ⎥ ⎢ v j ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎦ ⎢ ⎣θ j ⎥ ⎣δ 6 ⎥
2. 单元分析
y y e i x
α
j x
局部坐标系（单元坐标系）：进行某一单元的单元分析时所 建立的坐标系。 局部坐标系相对于整体坐标系的方位角用α表示。α的方向 以 x 轴向 x 轴逆时针转动为正。即便在一个结构中，各单元的局 部坐标系也不完全相同。
《结构力学》第十章矩阵位移法
《结构力学》第十章矩阵位移法矩阵位移法是结构力学中的一种重要分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
本文将分为四个部分来介绍矩阵位移法的基本原理和应用。
第一部分将介绍矩阵位移法的基本原理。
矩阵位移法基于结构的受力平衡方程和变形条件，建立了适用于不同类型结构的一般形式的位移函数。
通过对这些位移函数进行适当组合，可以得到一个较为简化的位移矩阵方程。
这个方程可以通过矩阵运算求解，从而得到结构的位移和应力分布。
第二部分将介绍矩阵位移法的应用。
矩阵位移法可以用于求解各种类型的结构，包括梁、柱、框架等。
具体应用时，首先需要确定结构的边界条件和受力情况，然后根据结构的几何形状和材料性质，建立相应的位移函数。
之后，将位移函数按照一定的规则组合起来，建立一个位移矩阵方程。
通过解这个方程，可以得到结构的位移和应力分布。
第三部分将介绍矩阵位移法的优点。
相比于传统的力方法，矩阵位移法具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点。
这是因为矩阵位移法可以通过矩阵运算将结构的受力分析转化为代数运算，减少了繁琐的计算过程，并且可以应用于各种不规则结构。
第四部分将介绍矩阵位移法的局限性。
矩阵位移法虽然具有很多优点，但也有一些限制。
首先，矩阵位移法对结构的刚度矩阵的求取较为复杂，需要通过精确和谐振数法等途径进行求解。
其次，矩阵位移法不能用于解决非线性和动力问题。
总结起来，矩阵位移法是一种重要的结构力学分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
它具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点，但也有一些局限性。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，矩阵位移法的进一步研究和发展也是一个非常重要的方向。
矩阵位移法-1
1
1/2
2
M
五.(零位移)边界条件处理
方法: 后处理法: 先处理法 后处理法
6kN.m
3kN.m
i1 = 1 i2 = 2
2 3
P3
1
置0置1法 乘大数法
1
(1) (2)
2
(3)
(1)置0置1法 (2)乘大数法 若 δi 元素 ⎡4 ⎢2 ⎢ ⎢ ⎣0
= 0 ,则将总刚主对角 kii 乘以大数N.
1
=1
×δ3
1 k22
1 k12
1 1 2 3 2 单元刚度矩阵中元素的物理意义 δ3 δ δ i = i i = i 1 1 2 2 ⎡k11 k12 k13 ⎤ ⎥ [k ] = ⎢ k k k 总刚的形成方法 ---“对号入座” ⎢ 21 22 23 ⎥ ⎢ 1 2 ⎣k31 k32 k33 ⎥ ⎦ 1 2 1 1 kij ---发生 δ j = 1, 其它结点位 ⎡ ⎤ 11 k k 1 11 12 移为零位移时在 i结点所需 [k ] = ⎢ 1 1 ⎥ k21 k22 ⎦ 2 2 ⎣ 加的结点力. 1 2 3 1 1 结构刚度矩阵性质:对称矩阵 0⎤1 ⎡k11 k12 1 1 2 2⎥ [k ] = ⎢ ⎢k21 k22+ k11 k12⎥ 2 2 2⎥ 简记为 {P} = [k ]{Δ} ---结构刚度方程 ⎢ k k 0 ⎣ 21 22⎦ 3 2 3 [k ] --结构刚度矩阵(总刚) 1 2 1 1 k = 0 k11 = k11 k 21 = k 21 2 2 31 2 1 ⎡ ⎤ k k 2 11 12 2 1 1 2 [k ] = ⎢ 2 2 ⎥ k32 = k 21 k12 = k12 k 22 = k 22 + k11 3 2 k k 21 22 ⎣ ⎦ 2 2 k13 = 0 k 23 = k12 k33 = k 22
1/2
2
M
五.(零位移)边界条件处理
方法: 后处理法: 先处理法 后处理法
6kN.m
3kN.m
i1 = 1 i2 = 2
2 3
P3
1
置0置1法 乘大数法
1
(1) (2)
2
(3)
(1)置0置1法 (2)乘大数法 若 δi 元素 ⎡4 ⎢2 ⎢ ⎢ ⎣0
= 0 ,则将总刚主对角 kii 乘以大数N.
1
=1
×δ3
1 k22
1 k12
1 1 2 3 2 单元刚度矩阵中元素的物理意义 δ3 δ δ i = i i = i 1 1 2 2 ⎡k11 k12 k13 ⎤ ⎥ [k ] = ⎢ k k k 总刚的形成方法 ---“对号入座” ⎢ 21 22 23 ⎥ ⎢ 1 2 ⎣k31 k32 k33 ⎥ ⎦ 1 2 1 1 kij ---发生 δ j = 1, 其它结点位 ⎡ ⎤ 11 k k 1 11 12 移为零位移时在 i结点所需 [k ] = ⎢ 1 1 ⎥ k21 k22 ⎦ 2 2 ⎣ 加的结点力. 1 2 3 1 1 结构刚度矩阵性质:对称矩阵 0⎤1 ⎡k11 k12 1 1 2 2⎥ [k ] = ⎢ ⎢k21 k22+ k11 k12⎥ 2 2 2⎥ 简记为 {P} = [k ]{Δ} ---结构刚度方程 ⎢ k k 0 ⎣ 21 22⎦ 3 2 3 [k ] --结构刚度矩阵(总刚) 1 2 1 1 k = 0 k11 = k11 k 21 = k 21 2 2 31 2 1 ⎡ ⎤ k k 2 11 12 2 1 1 2 [k ] = ⎢ 2 2 ⎥ k32 = k 21 k12 = k12 k 22 = k 22 + k11 3 2 k k 21 22 ⎣ ⎦ 2 2 k13 = 0 k 23 = k12 k33 = k 22
结构力学课件 第十章 矩阵位移法(1)
• 例17-3：写出图示结构的杆端力矩
• 解： 据转角方程可得：
•
M1 4i1 2i 2
• •
M 式中
2
2i1
4i 2
•
i EI
l
•
上式写成矩阵形式为
M M
1 2
e
4i 2i
42ii12
e
[ K]e { }e
返回 下一张 上一张 小结
• 17.1.5 形成总刚度矩阵
• 例7-4：写出图7-4所示结构的刚度矩阵 • 解：图示结构的刚度矩阵：
• 已知上例支承条件 =10，连同已获得的[K]，以及各结点荷载 值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得：
4i1 2i1
2i1 4i1 4i2
0 2i2
0
2
M M
1 2
0
2i2
4i2 3 0
• 据矩阵运算的基本法则，则得：
4i1 4i2
2i2
2i2 4i2
• 分量分别产生的力。
•
3） Kii , Kij , Kji , Kjj 分别为单元在结构整体坐标中刚度。
返回 下一张 上一张 小结
• 17.3.1 结构总刚度矩阵
• 形成总刚的步骤：
• 1）确定结点数，对结点及单元杆进行编号。
• 2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。
• 3）将各单元刚度矩阵的各子块，按“对号入座”送入结构总刚 度矩阵中。
K11 K12 K13
K
K21
K22
K23
K31 K32 K33
K111 K211
0
K112 K212 K222
K322
0
第八章-矩阵位移法(一)
矩阵位移法是结构力学中一种重要的分析方法，它利用计算机进行结构力学计算，适用于大型化、复杂化的结构分析问题。该方法节点位移数量，从而确定未知量。相较于力法，矩阵位移法在判定未知量和基本结构形式方面更为简便。此外，矩阵位移法与有限元法（FEM）密切相关，可视为有限单元法在杆系结构中的应用特例。有限元方法已广泛应用于流体力学、温度场、电传导等多个领域，而矩阵位移法在工程设计和分析中也得到了越来越广泛的重视。通过大力推广CAD技术，有限元分析计算在从自行车到航天飞机的设计制造过程中都发挥着不可或缺的作用。
矩阵位移法1
杆端力和杆端位移的符号
i E，I，A，l j
y
e
x
局部坐标系
■ x y：顺时针为正
i
j
M1
M2
ui
e
vj
u j Fx1
Fy1
e
Fy2
Fx2
杆端位移
杆端力
■弯矩、转角：绕杆端顺时针为正；
■其它：与坐标轴同向为正。
9-2 局部坐标系中自由单元的单元刚度矩阵
1.一般单元的刚度方程和刚度矩阵
e
u1 1
AB =C
则
此处A-1 称为矩阵 A 的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：
B=A-1 C
A A -1 = A -1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件：
（1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩 阵称为奇异矩阵）。
11、正交矩阵 若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而
Fx1 EA l
Fx2 - EA l
e
v1 1
1 1
e
…………
M1 6EI l 2 Fy1 12EI l 3
M2 6EI l 2 Fy2 -12EI l 3
M1 4EI l
Fyi1 6EI l 2
M2 2EI l
Fy2 - 6EI l2
Fx1
EA l
u1
-
EA l
u2
Fy1
12EI l3
v1
6EI l2
1
-
12EI l3
v2
6EI l2
2
M1
6EI l2
v1
4EI l
1
矩阵位移法1
②连续梁单元的单元刚度矩阵。
③桁架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。
§12.3 单元分析二
整体坐标系下的单元分析
•选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的 形式简单。但是，在一个复杂的结构中，各单元的局部坐 标系不尽相同，很不统一。为了进行整体分析，必须选一 个统一的坐标系（称为整体坐标系)。按这个统一的坐标 系来建立各 单元的刚度矩阵。
2、单元划分
在杆件结构矩阵分析中，一般是把杆件的转转折点、汇交点、边 界点、突变点或集中荷载作用点等列为结点，结点之间的杆件部分 作为单元。如图1（a）所示。为了减少基本未知量的数目，跨间集 中荷载作用点可不作为结点，但要计算跨间荷载的等效结点荷载； 跨间结点也可不作为结点（如图1（b）所示），但要推到相应的单 元刚度矩阵，编程序麻烦。
第十二章
矩 阵 位 移 法
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元 刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和 结构整体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
X1
e
k
X2 Y2 M2
Y1
M1 e
=
EA l 0 0 EA l 0 0
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 -
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
@
-
EA l 0 0
EA l 0 0 EA l 0 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l -
《矩阵位移法》课件
实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例 进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精 度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度 桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数 据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精 度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。 同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法 进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能 够精确地计算出结构的位移和内力， 尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷 ，包括静载、动载以及温度载荷等， 适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算 机程序实现，便于进行大规模的结构 分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题 ，考虑不同尺度之间的相互作用 和影响，为复杂系统提供更准确 的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用 于求解线性方程组和解决各种数值计 算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利 用矩阵运算来求解未知数，具有高效 、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多 个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优 化，提高算法的效率和稳定性。
矩阵位移法
k22坐k11标局k01成部1k029坐200标时kk20与32，3 整局k0体12部45 单k0k20514
0 k26 k26
To 47
k e ke
刚和有何整k关体3k3系单33 ？刚k0k间454535
k35 00
k3k6 36
0 k56
对称对称
kk5544
kk65k66 66
F e FEe k e e
单元杆端位移矩阵
e 1
2
3
4
T e
单元刚度矩阵(应熟记)
12 6l 12 6l
k
e
EI l3
6l
12
4l 2 6l
6l 12
2l
2
6l
6l 2l 2 6l 4l 2
是转角位移方程的矩阵表示
单元等效结点荷载矩阵
根据单跨梁的载常数，可得
向上满跨均布荷载 q 作用
(F FE )e k e e F e FEe k e e
连续梁单元需要 进行坐标转换吗？
连续梁的局部坐标与整 体坐标一致，所以不需 要转换。
第一种做法
桁架单元如何
进行坐标转换？ T
力的转换
T
F1
F2
F3
F4
T
cos
0
位移的转换
sin
0
0
cos
0 T F1
sin F2
1 2
3. 坐标转换问题
在搞清单元特性后，像位移法一样，需将单 元拼装回去。在结点处位移自动满足协调条件 的基础上，令全部结点平衡，即可建立求解位 移的方程，这是下一节将讨论的内容。
除连续梁外，一般结构单元不全同方位， 为保证协调和平衡，应将杆端位移和杆端力 都转换成统一的，对整体坐标的量，因此要 先解决坐标转换问题。下面先讨论自由式梁 单元的转换问题。
结构力学第8章 矩阵位移法
单元两端的杆端位移分别在单元坐标系和整体坐标系 下分解，其位移分量就构成上面的杆端位移向量。
与坐标轴的正方向一致者为正;
返回目录
作业1：已知单元的内力图，列出单元坐标下 及整体坐标下的杆端力向量。
3.04
1.24
y 0.43
4.38N)
x
作业2：已知单元的杆端力如图，写出单元坐 标及整体坐标表示的单元杆端力向量，并 作出单元的内力图。
2EI
l
x
2EI EI
l 6EIl x x
l2
EuIj 1
6EIl
x
l 2 uj 1
EA
l
x
EI
EuIj 1
l
平l面梁单元ul j 的1 x单元刚度矩阵
l
y
ui=1
6EI
l2
N ElA i y
6EI
l
12 2EI l3
12EI
Qi
0l 3
y
2EI
0 Ml iy
2EI 6EI
l
l2
vi =1 θi=1
等截面直杆的刚度方程
适用于两端都是刚结点的杆， 基本未知量为杆两端的转角和侧移；
刚度方程：
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
QAB
QBA
1 l
(
M
AB
M BA)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
1 2i l2
4i
❖ 写成矩阵的形式：
❖ 杆端弯矩、剪力、杆端 侧移均以绕杆端顺时针 为正。关键掌握每个系
矩阵位移法
单刚阵 [K e ] 中某一列的六个元素表示当某个秆端位移 分量等于1时所引起的六个杆端力分量。 生单位位移)时，单元的六个杆端力分量。
u ie 1 (即端点i沿 x 正方向发 第1列的六个元素就是当
§10-2 单元刚度矩阵
从单刚元素的物理意义出发得到单刚阵
单元杆端位移示意
6
2
3
4
5
§10-1 概述
矩阵位移法基本思想: •化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件，杆件称作单元。 单元的连接点称作结点。
5
6
6
2
3
3
5
4
1
1
4
2
对单元和结点编码. 基本未知量:结点位移
•单元分析
单元杆端力
单元杆端位移
------ 整体分析
e
•集零为整
结点外力
单元杆端力 结点外力 单元杆端位移
整体
分析
由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整
用矩阵形式表示位
移法基本方程
体刚度矩阵
§10-1 概述
四、基本概念
1. 结点和单元
单元——最基本的分析部件，最简单的单元是等截面 直杆。 梁单元——受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单 元（梁、刚架）。 轴力单元——只受轴力作用的单元（桁架）。 单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单 元也就全部确定了。 构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突 变点。 非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的 结点。
(1) 公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。 (2) 各种情况可统一处理，通用性强。 (3) 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。 矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。 矩阵位移法(或称刚度法）——采用结点位移作为基 本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种 杆系结构受力、变形等计算的方法。
第八章矩阵位移法-1
8-1 概述
局部坐标系示例
12
②
8-1 概述
13
5．结点位移整体码
• 按结点编码由小到大的顺序对结点的位移编码 • 不同问题，结点位移个数不同。
等截面连续梁每结点1个转角； 平面桁架每结点2个线位移； 平面刚架每结点3个位移；
8-1 概述
14
结构的离散化示例
8-1 概述
15
结构的离散化示例
后处理
Δi ui vi T
n个结点的位移向量为
Δ Δ1 Δ2 Δn T
或
Δ u1 v1 u2 v2
un vn T
8-1 概述
19
平面刚架FP2 的单元
FP1
平面刚架的结点位移向量：
Δ 1 2 3 4 u1 v1 1 u2
5 6 7 8 9
局部坐标系中:
(e)
(e)
1
(e)
δ
δi
(e)
2
ui
v
i
F1 (e) F xi (e)
(e)
F
F i
(e)
F 2
F
yi
δ j 3 u j
F j F 3 F xj
32
四.坐标系选择
常用的三种坐标系
8-1 概述
坐标系示例
33
②
2
3
②
2
3
8-1 概述
34
y
① x
2②
x
y
v2 2 u3 v3 3
矩阵位移法m1
δ
δ
F =k δ
e e
e e k iie k ije k ji k jj
—单元刚度阵的子块或子矩阵，为3×3的方阵
i j
—结点编号
单元各杆端力可写为
{
Fi = k δ i + k δ
e e ii e e ij
e j
e e F je = k ji δ i e + k jj δ je
注意！
式中：每一项都为子矩阵
0 12 EI − 3 l 6 EI − 2 l 0 12 EI l3 6 EI − 2 l
EA l 0 0
⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ 2 l ⎥ 2 EI ⎥ l ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 l ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ l ⎦ 0
（1） k e 是方阵
ke
是联系单元杆端力列阵与杆端位移列阵之间关系的矩阵。
正负号规定
⎧ X ie ⎫ y ⎪ ⎪ ⎪ Yi e ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪M ie ⎪ ⎧Fie ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Fe = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ δ e e ⎪ X j ⎪ ⎪Fj 1 ⎩ ⎪ ⎭ y⎪ e ⎪ ⎪ Yj ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪M e ⎪ ⎩ j⎭
x
e
⎧ u ie ⎫ 3 x e⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 vi ⎪ ⎪ ⎪ϕ ie ⎪ ⎧δ ⎪ ⎪ ⎪ =⎨ ⎬=⎨ e ⎪ u j ⎪ ⎪δ ⎩ ⎪ e⎪ ⎪vj ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ϕ e ⎪ ⎩ j⎭
矩阵位移法
一 、概述
解超静定结构的方法 传统方法：力法、位移法、力矩分配法 手算
Hale Waihona Puke 矩阵分析法：公式紧凑、形式统一
计算程序化
}
有限单元法：结构 离散
}
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6. 求解结构刚度方程，求出结点位移。
7. 计算各单元杆端力
➢ 计算每一个单元的力和位移的关系
➢ 根据结构在“结点”或者“连接处”的局部 平衡方程建立总体平衡方程
测试函数
有限差
变分法
瑞雷法1870 李兹法1909 结构类比替代法
加权残数
高斯1795 伽辽金1909
Biezenokoch 1923
Richardson 1910 Liebman 1918
Hrenikoff 1941 McHenry 1943 Newmark 1949
,
2
uv22
L
1
2
F1
Fx1 Fy1
,
F2
Fx Fy
2 2
L
M1
M 2
考虑结构各个结点处的平衡条件
2结点处的平衡条件： Fx 0 Fy 0 M 0
Fx 2 Fy 2
Fx①2 Fy①2
Fx②2 Fy②2
矩阵形式
Fx 2 Fy 2
Fx①2 Fy①2
➢ 在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或 者平衡条件——连续化（无穷小也可看成有限 个单元） 随着计算机的发展，离散化的处理 问题可以比较容易的解答，即使单 元的数量非常多。
而连续化的问题仅仅适用于手算计算
过度的简化实际情况
工程师和数学家都在为能够解 决现实中连续化的问题而努力
工程师处理结构问题的一个标准方法是：
根据结点处的变形协调
1
23
4
① 2
② 2
2
1① 1 3③ 3
代入F2
得到以位移表示的结点2的平衡方程
F2 k2①1 1 k2①2 k2②2 2 k2②3 3
同理可得1、3、4结点处的 平衡方程
结点力和结点 位移的关系
F K
总体刚度距阵
如何得到总体刚度矩阵？ 对号入座
10-5 支承条件的引入
F e k e e
代入上面两个整体坐标和局部坐标 下杆端力和位移的转换公式：
TF e k eT e
两边同时左乘T-1
F e T 1k eT e F e ke e
由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我 们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。
Fi L
e
Lkiei
Fje
k
e ji
M L
F Fe Sj
FEi
FExi FEyi
F Fe xi
F Fe yi
Fi Fe
M Ei
M
Fe i
M
Fe j
叠加上原来作用 在结点上的荷载。
Fi
FDi
FEi
综合结点荷载
F FD FE
最后的单元固端力是固端力与综合结点荷 载作用下产生的杆端力之和
整体坐标系下 F e F Fe kee
Fx②2 Fy②2
M2
M
① 2
M
② 2
M 2
M
① 2
M
② 2
F2 F2① F2②
F2 F2① F2②
求杆端力向量F
Fi e Fje
kiei
e i
k
e
ji
e i
kiej
e j
k
e
jj
e j
F2①
k2①1 1①
k2①2
① 2
F2②
k2②2
② 2
k2②3
② 3
kiej L
Lie
M
k
e jj
e j
Fi e
Fxei Fyei
M
e i
Fje
Fxej Fyej
M
e j
e i
uveyxeii
e j
uveyxejj
ie
e j
i
j
k e Lkiei
k
e ji
M L
kiej L
i
M
k
e jj
j
Fi e Fje
kiei ie
局部坐标系下 F e F Fe Tk ee F e F Fe k eT e
10－7 矩阵位移法的计算步骤及示例
1. 对结点和单元进行编号，选定 整体坐标系和局部坐标系。
2. 计算各杆的单元刚度矩阵Ke
3. 形成结构的原始刚度矩阵。
4. 计算固端力，等效结点荷载及 综合结点荷载
5. 引入支承条件，修改结构原始刚度 方程。（划去支座编号的行和列）
F Fe
Fi Fe L
M
Fe i
L
FjFe
F Fe Nj
F Fe Sj
M
Fe j
等效结点荷载
F Fe xi
F Fe Si
将固端力反号，对号入座 放到结点荷载列阵中去。
F Fe
T T F Fe
Fi Fe L
M
Fe i
L
FjFe
F Fe Nj
k
e
ji
e i
kiej
e j
k
e
jj
e j
10-4 结构的原始刚度矩阵
矩阵位移法是以结点位移为基本未知量的。
为了很好的统计未知量并建立各个结点之间 的联系关系，需要对单元和结点进行编号
自顶向下，逐步求精。
确定位移分量和力分量
4个结点
1
23
4
F1
F
F2 F3
F4
1
uv11
有限元简介
人类思维的局限性难以 把握越来越复杂的事物！
离散化的思想
1. 把整个系统分割成独立的“成分”或者“单 元”。
2. 然后把这些独立的“成分”重新组装还原 为原系统，研究原系统的性质。 这种普通的方法常常被工程师、科学家、 甚至是经济学家使用。
两种思维方式
➢ 使用有限数量的定义明确的“成分”建立模 型——离散化
F——已知结点荷载 △——未知结点位移
求出结点位移后，可由单元刚度方程计算各单元的内力。
F e k e e F e ke e
e e
Fe kee
F e TF e Tkee
或者
e Te
e e
F e k e k eT e
10－6 非结点荷载的处理
结点固端力
F Fe Ni
F Fe Si
2EI l
ie
6EI l2
v
e j
4EI l
e j
写出力和位移的关系
这称为单元的刚度方程
F e k e e
需要将单元在局部坐标 下的刚度距阵变换到整 体坐标下的刚度距阵
10－3 单元刚度距阵的坐标变换
杆端力的变换
写成矩阵形式
F e TF e
T 1 T T
杆端位移
e T e
局部坐标系下杆端力和杆端位移之间的关系是：
行所谓离散化。
分析单元内力与位移的关系，建立单元刚度矩 阵——单元分析。 2) 把各单元又集合成原来的结构，这就要各单 元满足原结构的集合条件。——整体分析。
10－2 单元刚度矩阵
Fe sjΒιβλιοθήκη 12EI l3vie
6EI l2
ie
12EI l3
v
e j
6EI l2
e j
Me sj
6EI l2
vie
定向连续单元 Argyris 1949 Turner 1956
精确的连续 测试函数
柯朗 1943
变分有限差 Varga 1962
现在的有限元方法
第十章 矩阵位移法
10.1 概述
力法和位移法都是传统的结构力学基本方法， 适合于手算计算。
电算的方法是“结构矩阵分析”，它更适合计 算机编程。
杆件结构的矩阵分析——杆有限元法 1) 把结构分解为有限个较小的单元，即进
7. 计算各单元杆端力
➢ 计算每一个单元的力和位移的关系
➢ 根据结构在“结点”或者“连接处”的局部 平衡方程建立总体平衡方程
测试函数
有限差
变分法
瑞雷法1870 李兹法1909 结构类比替代法
加权残数
高斯1795 伽辽金1909
Biezenokoch 1923
Richardson 1910 Liebman 1918
Hrenikoff 1941 McHenry 1943 Newmark 1949
,
2
uv22
L
1
2
F1
Fx1 Fy1
,
F2
Fx Fy
2 2
L
M1
M 2
考虑结构各个结点处的平衡条件
2结点处的平衡条件： Fx 0 Fy 0 M 0
Fx 2 Fy 2
Fx①2 Fy①2
Fx②2 Fy②2
矩阵形式
Fx 2 Fy 2
Fx①2 Fy①2
➢ 在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或 者平衡条件——连续化（无穷小也可看成有限 个单元） 随着计算机的发展，离散化的处理 问题可以比较容易的解答，即使单 元的数量非常多。
而连续化的问题仅仅适用于手算计算
过度的简化实际情况
工程师和数学家都在为能够解 决现实中连续化的问题而努力
工程师处理结构问题的一个标准方法是：
根据结点处的变形协调
1
23
4
① 2
② 2
2
1① 1 3③ 3
代入F2
得到以位移表示的结点2的平衡方程
F2 k2①1 1 k2①2 k2②2 2 k2②3 3
同理可得1、3、4结点处的 平衡方程
结点力和结点 位移的关系
F K
总体刚度距阵
如何得到总体刚度矩阵？ 对号入座
10-5 支承条件的引入
F e k e e
代入上面两个整体坐标和局部坐标 下杆端力和位移的转换公式：
TF e k eT e
两边同时左乘T-1
F e T 1k eT e F e ke e
由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我 们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。
Fi L
e
Lkiei
Fje
k
e ji
M L
F Fe Sj
FEi
FExi FEyi
F Fe xi
F Fe yi
Fi Fe
M Ei
M
Fe i
M
Fe j
叠加上原来作用 在结点上的荷载。
Fi
FDi
FEi
综合结点荷载
F FD FE
最后的单元固端力是固端力与综合结点荷 载作用下产生的杆端力之和
整体坐标系下 F e F Fe kee
Fx②2 Fy②2
M2
M
① 2
M
② 2
M 2
M
① 2
M
② 2
F2 F2① F2②
F2 F2① F2②
求杆端力向量F
Fi e Fje
kiei
e i
k
e
ji
e i
kiej
e j
k
e
jj
e j
F2①
k2①1 1①
k2①2
① 2
F2②
k2②2
② 2
k2②3
② 3
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Lie
M
k
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Fi e
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M
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Fxej Fyej
M
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k e Lkiei
k
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M L
kiej L
i
M
k
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j
Fi e Fje
kiei ie
局部坐标系下 F e F Fe Tk ee F e F Fe k eT e
10－7 矩阵位移法的计算步骤及示例
1. 对结点和单元进行编号，选定 整体坐标系和局部坐标系。
2. 计算各杆的单元刚度矩阵Ke
3. 形成结构的原始刚度矩阵。
4. 计算固端力，等效结点荷载及 综合结点荷载
5. 引入支承条件，修改结构原始刚度 方程。（划去支座编号的行和列）
F Fe
Fi Fe L
M
Fe i
L
FjFe
F Fe Nj
F Fe Sj
M
Fe j
等效结点荷载
F Fe xi
F Fe Si
将固端力反号，对号入座 放到结点荷载列阵中去。
F Fe
T T F Fe
Fi Fe L
M
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FjFe
F Fe Nj
k
e
ji
e i
kiej
e j
k
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e j
10-4 结构的原始刚度矩阵
矩阵位移法是以结点位移为基本未知量的。
为了很好的统计未知量并建立各个结点之间 的联系关系，需要对单元和结点进行编号
自顶向下，逐步求精。
确定位移分量和力分量
4个结点
1
23
4
F1
F
F2 F3
F4
1
uv11
有限元简介
人类思维的局限性难以 把握越来越复杂的事物！
离散化的思想
1. 把整个系统分割成独立的“成分”或者“单 元”。
2. 然后把这些独立的“成分”重新组装还原 为原系统，研究原系统的性质。 这种普通的方法常常被工程师、科学家、 甚至是经济学家使用。
两种思维方式
➢ 使用有限数量的定义明确的“成分”建立模 型——离散化
F——已知结点荷载 △——未知结点位移
求出结点位移后，可由单元刚度方程计算各单元的内力。
F e k e e F e ke e
e e
Fe kee
F e TF e Tkee
或者
e Te
e e
F e k e k eT e
10－6 非结点荷载的处理
结点固端力
F Fe Ni
F Fe Si
2EI l
ie
6EI l2
v
e j
4EI l
e j
写出力和位移的关系
这称为单元的刚度方程
F e k e e
需要将单元在局部坐标 下的刚度距阵变换到整 体坐标下的刚度距阵
10－3 单元刚度距阵的坐标变换
杆端力的变换
写成矩阵形式
F e TF e
T 1 T T
杆端位移
e T e
局部坐标系下杆端力和杆端位移之间的关系是：
行所谓离散化。
分析单元内力与位移的关系，建立单元刚度矩 阵——单元分析。 2) 把各单元又集合成原来的结构，这就要各单 元满足原结构的集合条件。——整体分析。
10－2 单元刚度矩阵
Fe sjΒιβλιοθήκη 12EI l3vie
6EI l2
ie
12EI l3
v
e j
6EI l2
e j
Me sj
6EI l2
vie
定向连续单元 Argyris 1949 Turner 1956
精确的连续 测试函数
柯朗 1943
变分有限差 Varga 1962
现在的有限元方法
第十章 矩阵位移法
10.1 概述
力法和位移法都是传统的结构力学基本方法， 适合于手算计算。
电算的方法是“结构矩阵分析”，它更适合计 算机编程。
杆件结构的矩阵分析——杆有限元法 1) 把结构分解为有限个较小的单元，即进