矩阵位移法-第一讲
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行所谓离散化。
分析单元内力与位移的关系，建立单元刚度矩 阵——单元分析。 2) 把各单元又集合成原来的结构，这就要各单 元满足原结构的集合条件。——整体分析。
10－2 单元刚度矩阵
Fe sj
12EI l3
vie
6EI l2
ie
12EI l3
v
e j
6EI l2
e j
Me sj
6EI l2
vie
F e k e e
代入上面两个整体坐标和局部坐标 下杆端力和位移的转换公式：
TF e k eT e
两边同时左乘T-1
F e T 1k eT e F e ke e
由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我 们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。
Fi L
e
Lkiei
Fje
k
e ji
M L
➢ 在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或 者平衡条件——连续化（无穷小也可看成有限 个单元） 随着计算机的发展，离散化的处理 问题可以比较容易的解答，即使单 元的数量非常多。
而连续化的问题仅仅适用于手算计算
过度的简化实际情况
工程师和数学家都在为能够解 决现实中连续化的问题而努力
工程师处理结构问题的一个标准方法是：
Fx②2 Fy②2
M2
M
① 2
M
② 2
M 2
M
① 2
M
② 2
F2 F2① F2②
F2 F2① F2②
求杆端力向量F
Fi e Fje
kiei
e i
k
e
ji
e i
kiej
e j
k
e
jj
e j
F2①
k2①1 1①
k2①2
① 2
F2②
k2②2
② 2
k2②3
② 3
2EI l
ie
6EI l2
v
e j
4EI l
e j
写出力和位移的关系
这称为单元的刚度方程
F e k e e
需要将单元在局部坐标 下的刚度距阵变换到整 体坐标下的刚度距阵
10－3 单元刚度距阵的坐标变换
杆端力的变换
写成矩阵形式
F e TF e
T 1 T T
杆端位移
e T e
局部坐标系下杆端力和杆端位移之间的关系是：
F——已知结点荷载 △——未知结点位移
求出结点位移后，可由单元刚度方程计算各单元的内力。
F e k e e F e ke e
e e
FeΒιβλιοθήκη Baidu kee
F e TF e Tkee
或者
e Te
e e
F e k e k eT e
10－6 非结点荷载的处理
结点固端力
F Fe Ni
F Fe Si
kiej L
Lie
M
k
e jj
e j
Fi e
Fxei Fyei
M
e i
Fje
Fxej Fyej
M
e j
e i
uveyxeii
e j
uveyxejj
ie
e j
i
j
k e Lkiei
k
e ji
M L
kiej L
i
M
k
e jj
j
Fi e Fje
kiei ie
6. 求解结构刚度方程，求出结点位移。
7. 计算各单元杆端力
有限元简介
人类思维的局限性难以 把握越来越复杂的事物！
离散化的思想
1. 把整个系统分割成独立的“成分”或者“单 元”。
2. 然后把这些独立的“成分”重新组装还原 为原系统，研究原系统的性质。 这种普通的方法常常被工程师、科学家、 甚至是经济学家使用。
两种思维方式
➢ 使用有限数量的定义明确的“成分”建立模 型——离散化
➢ 计算每一个单元的力和位移的关系
➢ 根据结构在“结点”或者“连接处”的局部 平衡方程建立总体平衡方程
测试函数
有限差
变分法
瑞雷法1870 李兹法1909 结构类比替代法
加权残数
高斯1795 伽辽金1909
Biezenokoch 1923
Richardson 1910 Liebman 1918
Hrenikoff 1941 McHenry 1943 Newmark 1949
局部坐标系下 F e F Fe Tk ee F e F Fe k eT e
10－7 矩阵位移法的计算步骤及示例
1. 对结点和单元进行编号，选定 整体坐标系和局部坐标系。
2. 计算各杆的单元刚度矩阵Ke
3. 形成结构的原始刚度矩阵。
4. 计算固端力，等效结点荷载及 综合结点荷载
5. 引入支承条件，修改结构原始刚度 方程。（划去支座编号的行和列）
F Fe
Fi Fe L
M
Fe i
L
FjFe
F Fe Nj
F Fe Sj
M
Fe j
等效结点荷载
F Fe xi
F Fe Si
将固端力反号，对号入座 放到结点荷载列阵中去。
F Fe
T T F Fe
Fi Fe L
M
Fe i
L
FjFe
F Fe Nj
F Fe Sj
FEi
FExi FEyi
F Fe xi
F Fe yi
Fi Fe
M Ei
M
Fe i
M
Fe j
叠加上原来作用 在结点上的荷载。
Fi
FDi
FEi
综合结点荷载
F FD FE
最后的单元固端力是固端力与综合结点荷 载作用下产生的杆端力之和
整体坐标系下 F e F Fe kee
根据结点处的变形协调
1
23
4
① 2
② 2
2
1① 1 3③ 3
代入F2
得到以位移表示的结点2的平衡方程
F2 k2①1 1 k2①2 k2②2 2 k2②3 3
同理可得1、3、4结点处的 平衡方程
结点力和结点 位移的关系
F K
总体刚度距阵
如何得到总体刚度矩阵？ 对号入座
10-5 支承条件的引入
,
2
uv22
L
1
2
F1
Fx1 Fy1
,
F2
Fx Fy
2 2
L
M1
M 2
考虑结构各个结点处的平衡条件
2结点处的平衡条件： Fx 0 Fy 0 M 0
Fx 2 Fy 2
Fx①2 Fy①2
Fx②2 Fy②2
矩阵形式
Fx 2 Fy 2
Fx①2 Fy①2
定向连续单元 Argyris 1949 Turner 1956
精确的连续 测试函数
柯朗 1943
变分有限差 Varga 1962
现在的有限元方法
第十章 矩阵位移法
10.1 概述
力法和位移法都是传统的结构力学基本方法， 适合于手算计算。
电算的方法是“结构矩阵分析”，它更适合计 算机编程。
杆件结构的矩阵分析——杆有限元法 1) 把结构分解为有限个较小的单元，即进
k
e
ji
e i
kiej
e j
k
e
jj
e j
10-4 结构的原始刚度矩阵
矩阵位移法是以结点位移为基本未知量的。
为了很好的统计未知量并建立各个结点之间 的联系关系，需要对单元和结点进行编号
自顶向下，逐步求精。
确定位移分量和力分量
4个结点
1
23
4
F1
F
F2 F3
F4
1
uv11
分析单元内力与位移的关系，建立单元刚度矩 阵——单元分析。 2) 把各单元又集合成原来的结构，这就要各单 元满足原结构的集合条件。——整体分析。
10－2 单元刚度矩阵
Fe sj
12EI l3
vie
6EI l2
ie
12EI l3
v
e j
6EI l2
e j
Me sj
6EI l2
vie
F e k e e
代入上面两个整体坐标和局部坐标 下杆端力和位移的转换公式：
TF e k eT e
两边同时左乘T-1
F e T 1k eT e F e ke e
由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我 们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。
Fi L
e
Lkiei
Fje
k
e ji
M L
➢ 在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或 者平衡条件——连续化（无穷小也可看成有限 个单元） 随着计算机的发展，离散化的处理 问题可以比较容易的解答，即使单 元的数量非常多。
而连续化的问题仅仅适用于手算计算
过度的简化实际情况
工程师和数学家都在为能够解 决现实中连续化的问题而努力
工程师处理结构问题的一个标准方法是：
Fx②2 Fy②2
M2
M
① 2
M
② 2
M 2
M
① 2
M
② 2
F2 F2① F2②
F2 F2① F2②
求杆端力向量F
Fi e Fje
kiei
e i
k
e
ji
e i
kiej
e j
k
e
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e j
F2①
k2①1 1①
k2①2
① 2
F2②
k2②2
② 2
k2②3
② 3
2EI l
ie
6EI l2
v
e j
4EI l
e j
写出力和位移的关系
这称为单元的刚度方程
F e k e e
需要将单元在局部坐标 下的刚度距阵变换到整 体坐标下的刚度距阵
10－3 单元刚度距阵的坐标变换
杆端力的变换
写成矩阵形式
F e TF e
T 1 T T
杆端位移
e T e
局部坐标系下杆端力和杆端位移之间的关系是：
F——已知结点荷载 △——未知结点位移
求出结点位移后，可由单元刚度方程计算各单元的内力。
F e k e e F e ke e
e e
FeΒιβλιοθήκη Baidu kee
F e TF e Tkee
或者
e Te
e e
F e k e k eT e
10－6 非结点荷载的处理
结点固端力
F Fe Ni
F Fe Si
kiej L
Lie
M
k
e jj
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Fi e
Fxei Fyei
M
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Fxej Fyej
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k
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M L
kiej L
i
M
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j
Fi e Fje
kiei ie
6. 求解结构刚度方程，求出结点位移。
7. 计算各单元杆端力
有限元简介
人类思维的局限性难以 把握越来越复杂的事物！
离散化的思想
1. 把整个系统分割成独立的“成分”或者“单 元”。
2. 然后把这些独立的“成分”重新组装还原 为原系统，研究原系统的性质。 这种普通的方法常常被工程师、科学家、 甚至是经济学家使用。
两种思维方式
➢ 使用有限数量的定义明确的“成分”建立模 型——离散化
➢ 计算每一个单元的力和位移的关系
➢ 根据结构在“结点”或者“连接处”的局部 平衡方程建立总体平衡方程
测试函数
有限差
变分法
瑞雷法1870 李兹法1909 结构类比替代法
加权残数
高斯1795 伽辽金1909
Biezenokoch 1923
Richardson 1910 Liebman 1918
Hrenikoff 1941 McHenry 1943 Newmark 1949
局部坐标系下 F e F Fe Tk ee F e F Fe k eT e
10－7 矩阵位移法的计算步骤及示例
1. 对结点和单元进行编号，选定 整体坐标系和局部坐标系。
2. 计算各杆的单元刚度矩阵Ke
3. 形成结构的原始刚度矩阵。
4. 计算固端力，等效结点荷载及 综合结点荷载
5. 引入支承条件，修改结构原始刚度 方程。（划去支座编号的行和列）
F Fe
Fi Fe L
M
Fe i
L
FjFe
F Fe Nj
F Fe Sj
M
Fe j
等效结点荷载
F Fe xi
F Fe Si
将固端力反号，对号入座 放到结点荷载列阵中去。
F Fe
T T F Fe
Fi Fe L
M
Fe i
L
FjFe
F Fe Nj
F Fe Sj
FEi
FExi FEyi
F Fe xi
F Fe yi
Fi Fe
M Ei
M
Fe i
M
Fe j
叠加上原来作用 在结点上的荷载。
Fi
FDi
FEi
综合结点荷载
F FD FE
最后的单元固端力是固端力与综合结点荷 载作用下产生的杆端力之和
整体坐标系下 F e F Fe kee
根据结点处的变形协调
1
23
4
① 2
② 2
2
1① 1 3③ 3
代入F2
得到以位移表示的结点2的平衡方程
F2 k2①1 1 k2①2 k2②2 2 k2②3 3
同理可得1、3、4结点处的 平衡方程
结点力和结点 位移的关系
F K
总体刚度距阵
如何得到总体刚度矩阵？ 对号入座
10-5 支承条件的引入
,
2
uv22
L
1
2
F1
Fx1 Fy1
,
F2
Fx Fy
2 2
L
M1
M 2
考虑结构各个结点处的平衡条件
2结点处的平衡条件： Fx 0 Fy 0 M 0
Fx 2 Fy 2
Fx①2 Fy①2
Fx②2 Fy②2
矩阵形式
Fx 2 Fy 2
Fx①2 Fy①2
定向连续单元 Argyris 1949 Turner 1956
精确的连续 测试函数
柯朗 1943
变分有限差 Varga 1962
现在的有限元方法
第十章 矩阵位移法
10.1 概述
力法和位移法都是传统的结构力学基本方法， 适合于手算计算。
电算的方法是“结构矩阵分析”，它更适合计 算机编程。
杆件结构的矩阵分析——杆有限元法 1) 把结构分解为有限个较小的单元，即进
k
e
ji
e i
kiej
e j
k
e
jj
e j
10-4 结构的原始刚度矩阵
矩阵位移法是以结点位移为基本未知量的。
为了很好的统计未知量并建立各个结点之间 的联系关系，需要对单元和结点进行编号
自顶向下，逐步求精。
确定位移分量和力分量
4个结点
1
23
4
F1
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F2 F3
F4
1
uv11