第13讲 函数模型及其应用(原卷版)
函数模型及应用教案
函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。
函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。
一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。
2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。
3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。
4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。
2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。
3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。
4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。
5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。
三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。
2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。
3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。
4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。
四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。
函数模型及其应用(课件)
基础知识梳理
(2)对数函数 ＝logax(a＞1)与 对数函数y＝ 对数函数 ＞ 与 幂函数y＝ 幂函数 ＝xn(n＞0) ＞ 对数函数y＝ 对数函数 ＝logax(a＞1)的增 ＞ 的增 长速度，不论a与 值的大小如何总 长速度，不论 与n值的大小如何总 会 慢于 y＝xn的增长速度，因而在 ＝ 的增长速度， 定义域内总存在一个实数x 定义域内总存在一个实数 0，使x ＜ ＞x0时有 logax＜xn .
(2)方案 的每分钟收费就是 B(n＋1)－fB(n)(n＞ 方案B的每分钟收费就是 方案 的每分钟收费就是f ＋ － ＞ 500，n∈N*)， ， ∈ ， 3 因为 fB(n＋1)－fB(n)＝ (n＋1) ＋ － ＝ ＋ 10
3 3 ＋18－ n－18＝ ＝0.3. － － ＝ 10 10
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元． 所以方案 从 分钟以后，每分钟收费 元 分钟以后
未考虑2－ 未考虑 －2x>0且1－ 且 － 2x>0.
题型三
指数函数、 指数函数、对数函数模型
例3 2009年10月1日，某城市现有人口总数 年 月 日 某城市现有人口总数100万， 万 如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题： 如果年自然增长率为 ，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数 万人 与年数 年)的函数关 写出该城市人口总数y(万人 与年数x(年 的函数关 写出该城市人口总数 万人)与年数 系式； 系式； (2)计算 年后该城市人口总数 精确到 万人 ． 计算10年后该城市人口总数 精确到0.1万人 计算 年后该城市人口总数(精确到 万人)． (1.01210＝1.127) 年后、 【思路点拨】 先写出 年后、2 思路点拨】 先写出1年后 年后、 年后的人口总数 写出y与 的 年后的人口总数→写出 年后、3年后的人口总数 写出 与x的 函数关系→计算求解 作答． 计算求解→作答 函数关系 计算求解 作答．
函数模型及其应用复习课件
an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。该公式可用于求解等比数列中任意一 项的值。
等比数列求和公式
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，q≠1。当q=1时，Sn=n*a1。这些公式可用于 计算等比数列前n项的和。
数列求和与通项公式求解方法
指数与对数互化
01
指数式与对数式的互化
指数式y=a^x可以转化为对数式x=log_a(y)，对数式y=log_a(x)可以转
化为指数式a^y=x。
02
指数方程与对数方程的解法
解指数方程时，可以通过两边取对数的方法将方程转化为对数方程；解
对数方程时，可以通过换底公式将方程转化为指数方程。
03
指数函数与对数函数的复合
三角函数图像与变换
三角函数的基本图像 （正弦函数、余弦函 数、正切函数等）
复合三角函数的图像 与性质
图像的平移、伸缩、 对称等变换
三角函数在实际问题中应用
01
02
03
04
利用三角函数模型解决周期性 问题（如振动、波动等）
利用三角函数模型解决最值问 题（如角度最大、距离最短等
）
利用三角函数模型解决与角度 有关的问题（如方向角、仰角
一次函数
形如$y = kx + b$（$k neq 0$）的函数。图像是一条直线。
指数函数
形如$y = a^x$（$a > 0, a neq 1$）的函数。图像是一条 指数曲线。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切 函数等。图像是周期性的波形 曲线。
函数运算与变换
四则运算
包括函数的加法、减法、乘法和 除法。通过这些运算可以构造更 复杂的函数模型。
函数模型及其应用 (共29张PPT)
第13讲 函数模型及其应用
第13讲 函数模型及其应用【考点解读】1. 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义；2. 能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.【知识扫描】1、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种函数模型： ①一次函数模型:f(x)=kx b +(k 、b 为常数,k ≠0);②反比例函数模型：f(x)=xk +b(k 、b 为常数,k ≠0); ③二次函数模型：f(x)=2ax bx c ++(a 、b 、c 为常数，a ≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;④指数型函数模型：f(x)=xka b +(k 、a 、b 为常数，k ≠0,a>0且a ≠1); ⑤对数型函数模型：f(x)=log a m x n +(m 、n 、a 为常数,m ≠0,a>0且a ≠1); ⑥幂函数型模型：f(x)=nax b +(a 、b 、n 为常数,a ≠0,n ≠0); ⑦“勾”函数模型：f(x)=x+kx(k 为常数,k>0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数模型,⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.2、求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：【考计点拨】牛刀小试1．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
函数模型及其应用 知识点总结及典例
函数模型及应用一．知识梳理1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.二、典例解析【例1】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【变式训练2】某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f(x)（单位：千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。
巩固练习 A 组1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元．一客户购买400吨，单价应该是( )A ．820元B ．840元C ．860元D ．880元2．2()f x x =,()2x g x =,2()log h x x =,当(4,)x ∈+∞时,三个函数增长速度比较,下列选项中正确的是（ ）A. ()f x >()g x >()h xB. ()g x >()f x >()h xC. ()g x >()h x >()f xD. ()f x >()h x >()g x 2．某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款（ ）.A. a (1+x )5元B. a (1+x )6元C. a (1+x 5)元D. a (1+x 6)元 某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（）.A. pB. 12pC. (1+p )12D. (1+p )12－13．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．12 4．电视台播出的一档节目中有这样一道抢答题:小蜥蜴体长15 cm,体重15 g,已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比,问:当小蜥蜴长到体长为20 cm 时,它的体重大约是( )A.20 gB.25 gC.35 gD.40 g5．进货单价为80元的商品400个，按90元一个可以全部卖出，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少20个，问售价多少元时获得的利润最大？( )A ．85B ．90C ．95D ．1005．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为_ _____台．6．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过节20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重(040)x x <≤克的函数，其表达式为()f x = .7．(2010年浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是______．8．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠； ③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款__ ______ 元．9．如图K3－8－1(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图K3－8－1(2)(3)所示．图K3－8－1给出以下说法：(1) 图(2)的建议是：提高成本，并提高票价；(2) 图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变； (3) 图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； (4) 图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有说法正确的序号是_______．10．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P 和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是P=42,Q x ax (a>0).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元,求 a 的最小值B 组1．为了得到函数y ＝3×3x 的图象，可以把函数y ＝3x的图象( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 2．函数y ＝ln(1－x )的大致图象为( )3．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )A BC D4．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－xC ．坐标原点对称D ．直线y ＝x5.一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）A ．气温最高时，用电量最多B ．气温最低时，用电量最少C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D ．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加6.函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）y=f(x)oyxy=g(x)o yxoyxo yxoyxo yxA B C D7．关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是_ _． 8．已知下列曲线：以下编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号_ _______． 9 作函数()11f x x =-的简图 10.使2log ()1x x -<+成立的x 德取值范围是 。
讲函数模型及其应用课件
土木工程、航空航天工程等，通过建立数学模型，可以模拟和分析各种
工程系统的性能和行为。
函数模型在人工智能领域的应用
机器学习 机器学习是人工智能领域的一个重要分支，函数模型在机 器学习中扮演着重要的角色，如线性回归、逻辑回归、支 持向量机等算法都是基于函数模型的。
深度学习 深度学习是机器学习的一种，它通过建立复杂的神经网络 模型来模拟人类的学习过程，神经网络的训练和优化过程 实际上就是求解一系列的函数模型。
函数模型可以用来描述自然规律 和现象，例如气候变化、生态平
衡、物种繁衍等。
科学研究
在自然科学领域中，函数模型广 泛应用于各种科学实验和研究中，
例如物理学、化学、生物学等。
预测和预防
通过建立函数模型，科学家可以 预测自然灾害和环境变化，并采
取相应的预防措施。
工程领域中的应用
机械设计
在机械设计中，函数模型可以用来描述力学、热 学等物理现象，例如压力、温度等。
函数模型的优化与改进
参数调整
根据实际需求和数据反馈，调整 模型中的参数以优化模型性能。
模型融合
将多个模型进行融合，综合多个模 型的优点，提高模型的预测精度。
模型泛化
通过增加数据集、改进模型结构等 方式，提高模型对未知数据的预测 能力。
04
函数模型的实际应用案例
经济领域中的应用
描述经济现象
投资决策分析
三角函数模型的应用
三角函数模型在物理学中有广 泛应用，如描述简谐振动、交 流电等周期性变化的现象。
在解决几何问题时，三角函数 也常被用于计算角度、长度等 量，如正弦定理、余弦定理等。
三角函数模型还可以用于信号 处理、图像处理等领域，如傅 里叶变换等。
函数函数模型及其应用课件
学生需要掌握如何调整和优化函数模型的参数，以提高模型的预测准确性和泛化能力。
学习函数模型的重要性
提高数据处理和分析能力
函数模型是数据处理和分析的重要工具，通过学习函数模 型，学生可以更好地理解和处理数据，提高数据处理和分 析能力。
解决实际问题
函数模型可以应用于各种实际问题，如预测股票价格、识 别垃圾邮件、推荐商品等。通过学习函数模型，学生可以 更好地解决实际问题，提高实际应用能力。
多项式拟合
多项式插值
利用多项式对数据进行插值，得到更 加平滑的曲线。
将数据拟合为多项式曲线，以便于分 析和可视化。
04
复杂函数模型及其应用
三角函数模型
总结词
利用正弦、余弦、正切等函数形式描述周期现象，解决实际 问题。
详细描述
三角函数模型是描述周期现象的重要工具，通过对正弦、余 弦、正切等函数形式的组合和变换，可以精确地描述许多自 然现象，如振动、波动等。在物理、工程、天文等领域中具 有广泛的应用。
对数函数模型
对数回归
通过最小二乘法等统计方 法，建立因变量与自变量 之间的对数关系模型。
对数变换
将非线性关系转换为线性 关系，以便于分析和建模 。
对数生长
描述变量随时间呈对数增 长的情况，如细菌繁殖等 。
多项式函数模型
多项式回归
通过最小二乘法等统计方法，建立因 变量与自变量之间的多项式关系模型 。
工程领域中的应用
建筑设计
函数模型可以用来进行建筑设计，通过建立建筑物的结构模型和荷 载模型，可以分析建筑物的稳定性和安全性。
机械设计
函数模型可以用来进行机械设计，通过建立机械系统的运动模型和 动力学模型，可以分析机械系统的性能和优化设计。
13 函数模型及其应用(解析版)
函数模型及其应用1．（2020春•南郑区校级期中）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为x千米时，运费与仓储费之和最小，最小为y万元．则x和y分别是（）A．2和10B．2和20C．2√2和20D．√2和10【分析】设运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2=k2x，由已知求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．【解答】解：工厂和仓库之间的距离为x千米，设运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2=k2 x．∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为y＝5x+20x≥2√5x⋅20x=20，当且仅当5x=20x，即x＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元．故选：B．2．（2020•衡阳模拟）2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：购票人数1～5051～100100以上门票叫个13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（）A．20B．30C．35D．40【分析】设两个旅游团队的人数分部为a，b，由990不能被13整除，得两个旅游团队人数之和a+b≥51，然后结合门票价格和人数之间的关系，分类建立方程组进行求解即可．【解答】解：设两个旅游团队的人数分部为a，b，∵990不能被13整除，∴两个旅游人数之和：a+b≥51，若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①由共需支付门票费为1290元可知，11a +13b ＝1290，② 联立①②解得：b ＝150，a ＝﹣60，不符合题意； 若a +b ＞100，则9 （a +b ）＝990，得a +b ＝110，③ 由共需支付门票费为1290元可知，1≤a ≤50，51≤b ≤100， 得11a +13b ＝1290，④联立③④解得：a ＝70人，b ＝40人．∴这两个旅游团队的人数之差为70﹣40＝30人． 故选：B ．3．（2020春•雨花区校级月考）某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R （x ）={400x −12x 2，0≤x ≤40080000，x ＞400，则总利润最大时，年产量是（ ） A ．100B ．150C ．200D ．300【分析】由题意得总成本函数为C （x ）＝20000+100x ，则总利润P （x ）＝R （x ）﹣C （x ）={300x −x 22−20000，0≤x ≤40060000−100x ，x ＞400，分段求函数P （x ）的最大值，再比较即可求解．【解答】解：由题意得，总成本函数为C （x ）＝20000+100x ，总利润P （x ）＝R （x ）﹣C （x ）={300x −x 22−20000，0≤x ≤40060000−100x ，x ＞400，当0≤x ≤400时，P （x ）=−12x 2+300x −20000，当x =−3002×(−12)=300时，P （x ）的值最大，最大值为25000，当x ＞400时，P （x ）＝﹣100x +60000，∴P （x ）＜P （400）＝20000， 综上所述，当x ＝300时，总利润最大， 故选：D ．4．（2019秋•自贡期末）某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如表所示的关系．x … 30 40 45 50 … y…603015…销售单价为x 元时，才能获得最大日销售利润p ，则x 、p 分别为（ ） A ．35，225B ．40，300C ．45，350D ．45，400【分析】由表格可知，x 与y 满足一次函数关系，设y ＝ax +b ，（a ≠0），把点（30，60），和点（40，30）代入可求出{a =−3b =150，所以y ＝﹣3x +150 （x ≥30），所以销售利润p ＝y （x ﹣30）＝﹣3x 2+240x ﹣4500，（x ≥30），再利用二次函数的性质即可求出销售利润p 的最大值．【解答】解：由表格可知，x 与y 满足一次函数关系，设y ＝ax +b ，（a ≠0）， 把点（30，60），和点（40，30）代入得：{30a +b =6040a +b =30，解得：{a =−3b =150，∴y ＝﹣3x +150 （x ≥30），∴销售利润p ＝y （x ﹣30）＝﹣3x 2+240x ﹣4500，（x ≥30）， ∴当x ＝40时，销售利润p 的值最大，最大值为：300， 故选：B ．5．（2019秋•黄山期末）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级 二级 三级 每月应纳税所得额x元（含税） x ≤30003000＜x ≤1200012000＜x ≤25000税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ） A ．1800B ．1000C ．790D ．560【分析】由题意可得：李某该月应纳税所得额（含税）＝18000﹣5000﹣2000﹣1000＝10000（元），所以依据新的个税政策的税率，他该月应交纳的个税金额为：3000×3%+（10000﹣3000）×10%＝790（元）， 【解答】解：由题意可得：李某该月应纳税所得额（含税）＝18000﹣5000﹣2000﹣1000＝10000（元）， 所以依据新的个税政策的税率，他该月应交纳的个税金额为：3000×3%+（10000﹣3000）×10%＝790（元），故选：C．6．（2019秋•菏泽期末）甲打算从A地出发至B地，现有两种方案：第一种：在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2（v1≠v2），平均速度为v；第二种：在前一半时间用速度v1，在后一半时间用速度v2（v1≠v2），平均速度为v′；则v，v′的大小关系为（）A．v＞v′B．v＜v′C．v=v′D．无法确定【分析】第一种，设出总路程为2s，由平均速度的公式可得v，第二种，设总时间为2t，求得平均速度v′，再由作差法，结合完全平方公式可判断大小关系．【解答】解：第一种：设总路程为2s，则v=2ssv1+s v2=2v1v2v1+v2，第二种：设时间为2t，则v′=v1t+v2t2t=v1+v22，v′−v=v1+v22−2v1v2v1+v2=(v1+v2)2−4v1v22(v1+v2)=(v1−v2)22(v1+v2)＞0，∴v′＞v，故选：B．7．（2019秋•阳泉期末）随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：kW•h/公里）剩余续航里程（单位：公里）2020年1月1日50000.1253802020年1月2日51000.126246（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程剩余续航里程=剩余电量平均耗电量）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是（）A．等于12.5B．12.5到12.6之间C．等于12.6D．大于12.6【分析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解．【解答】解：由题意可得：5100×0.126﹣5000×0.125＝642.6﹣625＝17.6，所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计为17.6， 故选：D ．8．（2019秋•聊城期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：每户每月用电量 电价 不超过230度的部分 0.5元/度 超过230度但不超过400度的部分0.6元/度 超过400度的部分0.8元/度若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为（ ） A ．475度B ．575度C ．595.25度D ．603.75度【分析】先判断出此居民本月用电量超过400度，设此户居民本月用电量为x 度，则：230×0.5+（400﹣230）×0.6+（x ﹣400）×0.8＝380，即可求出x 的值． 【解答】解：∵230×0.5+（400﹣230）×0.6＜380， ∴此居民本月用电量超过400度，设此户居民本月用电量为x 度，则：230×0.5+（400﹣230）×0.6+（x ﹣400）×0.8＝380， 解得：x ＝603.75， 故选：D ．9．（2020春•房山区期末）某小区有居民1000户，去年12月份总用水量为8000吨．今年开展节约用水活动，有800户安装了节水龙头，这些用户每户每月节约用水x 吨，使得今年1月份该小区居民用水总量低于6000吨．则x 满足的关系式为 ．【分析】由已知求出1户居民去年12月份的用水量，然后求出今年1月份该小区居民用水总量，再由题意可得（8﹣x ）×800+8×200＜6000，化简得答案． 【解答】解：1000户居民去年12月份总用水量为8000吨， 则1户居民去年12月份的用水量为80001000=8吨．1户居民安装了节水龙头后一个月的用水量为（8﹣x ）吨， 则今年1月份该小区居民用水总量为（8﹣x ）×800+8×200． ∴（8﹣x ）×800+8×200＜6000，解得x ＞52． ∴x 满足的关系式为x ＞52．故答案为：x ＞52．10．（2019秋•密云区期末）密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．如果顾客需要先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元．【分析】设他购买的商品的标价可以是x 元，得到当x ＞100时顾客使用三种不同优惠券的优惠额，由题意列不等式组求解．【解答】解：设他购买的商品的标价可以是x 元， 则当x ＞100时，优惠券1的优惠金额为y =x10， 优惠券2的优惠金额为y ＝20，优惠券3的优惠金额为y =950(x −100)． 要使顾客先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，则{x10＞20x 10＞950(x −100)，解得200＜x ＜225． 顾客购买的商品的标价在（200，225）内时，满足题意． 故建议他购买的商品的标价可以是201元． 故答案为：201．11．（2020•威海一模）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400m 2的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为28m 2，月租费为x 万元；每间肉食水产店面的建造面积为20m 2，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为 种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x 的最大值为 万元．【分析】①设建造蔬菜水果类店面a 间，则建造肉食水产店面（80﹣a ）间，构造不等式求出a 的范围即可；②根据月租费构造不等式，根据a 的范围求出x 的最大值．【解答】解：①设建造蔬菜水果类店面a 间，则建造肉食水产店面（80﹣a ）间， 由题意可知：2400×80%≤28a +20（80﹣a ）≤2400×85%， 解得：40≤a ≤55．又a ∈N +，故建造方案有16种． ②由题意可知：ax+0.8(80−a)80≥0.9x 恒成立，整理可得：x ≤0.8a−64a−72=0.8− 6.4a−72恒成立， 又40≤a ≤55， 故x ≤0.8−6.4−32=1． 即x 的最大值为1． 故答案为：16，1．12．（2020•咸阳二模）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y （mg /m 3）与时间t （h ）的函数关系为y ={kt ，0＜t ＜121kt，t ≥12，（如图所示）实验表明，当药物释放量y ＜0.75（mg /m 3）对人体无害． （1）k ＝ ；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过 分钟人方可进入房间．【分析】（1）把点（12，1）代入函数解析式，即可求出k 的值；（2）当t ≥12时，y =12t ，令y ＜0.75得，t ＞23，所以在消毒后至少经过 23小时，即40分钟人方可进入房间．【解答】解：（1）由图象可知，当t =12时，y ＝1，∴2k=1，∴k ＝2；（2）由（1）可知：y ={2t ，0＜t ＜1212t ，t ≥12， 当t ≥12时，y =12t ，令y ＜0.75得，t ＞23， ∴t ＞23，∴在消毒后至少经过 23小时，即40分钟人方可进入房间，故答案为：2，40．13．（2019秋•泰安期末）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本c （x ）（单位：万元），当年产量不足30百件时，c （x ）＝10x 2+100x ；当年产量不小于30百件时，c （x ）＝501x +10000x−4500；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式； （2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 【分析】（1）根据题意，分段求函数解析式即可；（2）利用二次函数的性质结合基本不等式，分段求函数的最大值，再比较即可． 【解答】解：（1）当0＜x ＜30时，y ＝500x ﹣10x 2﹣100x ﹣2500＝﹣10x 2+400x ﹣2500； 当x ≥30时，y =500x −501x −10000x +4500−2500=2000−(x +10000x)； ∴y ={−10x 2+400x −2500，0＜x ＜302000−(x +1x )，x ≥30； （2）当0＜x ＜30时，y ＝﹣10（x ﹣20）2+1500，∴当x ＝20时，y max ＝1500； 当x ≥30时，y =2000−(x +10000x )≤2000−2√x ⋅10000x=2000−200=1800， 当且仅当x =10000x，即x ＝100时，y max ＝1800＞1500， ∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元．。
讲函数模型及其应用课件
一次函数模型在社会科学中的应 用
在社会科学中，一次函数模型可以用来描 述人口增长、城市化率等社会现象。
二次函数模型的应用
二次函数模型在经济学中的应用
通过建立二次函数模型，可以描述和分析经济现象，例如需求与价格 的关系、供给与价格的关系等。
总结词
生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，如种群动态、基因表 达等。
详细描述
在生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，例如种群动态、基 因表达等。通过建立函数模型，生物学家可以对生物数据进行数学分析和预测，从而更
好地理解生物系统的运行规律和演化趋势。
计算机科学中的函数模型应用
三角函数模型在社会科学 中的应用
在社会科学中，三角函数模型 可以用来描述社会现象的周期 性变化，例如人口普查、就业 率变化等。
指数函数与对数函数模型的应用
指数函数与对数函数在经济学中的应用
在经济学中，指数函数和对数函数被广泛应用于描述增长和衰减过程 ，例如复利计算、人口增长预测等。
指数函数与对数函数在物理学中的应用
总结词
计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。
VS
详细描述
在计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。通 过建立函数模型，计算机科学家可以对计 算机系统和算法进行数学分析和优化，从 而提高计算机系统的效率和性能。
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三角函数模型在物理学中 的应用
在物理学中，三角函数模型可 以用来描述周期性运动，例如 简谐振动、交流电等。
三角函数模型在工程学中 的应用
【全国百强校】高考总复习精品课件13函数模型及其应用
【典例4】2008年9月25日,我国成功发射了“神舟” 七号载人飞船,这标志着中国科技又迈出了具有历 史意义的一步.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包 括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不 考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关 于x的函数关系式为: (其中k≠0).当燃料重量为
y k[ln m x ln( 2m)] 4ln2( e 1)m 吨(e为自
[反思感悟]本题是有关增长率的问题,在实际应用中,有关人 口增长､银行利率､细胞分裂等增长问题常化为指数函数的 模型.对于变化率的问题有以下公式:
(1)增长率问题:变化前的量(1+增长率)时间=变化后的量; (2)递减率问题:变化前的量(1-递减率)时间=变化后的量.
类型四
对数函数模型
解题准备:对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型叫做 对数函数模型.对数函数模型增长的特点是随着自变量的 增大(底数a>1),函数值增大的速度越来越慢.
C.v= t 2 1 2
答案:C
D.v=2t-2
3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后 初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函 数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用(
)
A.一次函数
B.二次函数
C.指数型函数
D.对数型函数
答案:D
4.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过 800元不超过4000元的按超过800元的14%纳税,超过4000 元的按全稿费的11%纳税.某人出了一本书,共纳税420元, 这个人的稿费为()
A.y 1 ex 100
C.y x100
B.y 100lnx D.y 100 2x
13-函数模型及其应用
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题型三：与平几相关的应用题 例：(2011·武汉模拟)某建筑工地在一块长 AM=30 米，宽 AN=20 米的矩形地块 AMPN 上施工，规划建设占地如图中矩形 ABCD 的学生公寓，要求顶点 C 在地块的对角线 MN 上，B，D 分别在边 AM，AN 上，假设 AB 长度为 x 米 (1)要使矩形学生公寓 ABCD 的面积不小于 144 平方米，AB 的长度应在什么范围内？ (2)长度 AB 和宽度 AD 分别为多少米时，矩形学生公寓 ABCD 的面积最大？最大是多 少平方米？
t, 0 t 1, 内的浓度 y2 与时间 t 满足关系式： y2 现对小白 2 3 ,1 t 3 1 t 3. t
鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干 扰。 （1）若 a=1，求 3 小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大 值？ （2）若使小白鼠在用药后 3 小时内血液中的药物浓度不低于 4，求正数 a 的取 教 学 过 程 值范围。
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变式：我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同， 甲家每张球台每小时 5 元；乙家按月计费，一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张 球台 90 元，超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.小张准备下个月从这两家中的 一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于 15 小时，也不超过 40 小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张 球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40).试求 f(x)和 g(x); (2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？
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变式： (2011·南京模拟) 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血 液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。若使用注射方式给药，则 在注射后的 3 小时内，药物在白鼠血液内的浓度 y1 与时间 t 满足关系式：
函数模型及其应用讲义
函数模型及其应用讲义一、知识梳理1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n <a x注意：1．解函数应用题的步骤2．“对勾”函数形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(3)不存在x0，使0x a<0n x<log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．()(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()题组二：教材改编2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．4．]用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．题组三：易错自纠5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．6．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．三、典型例题题型一：用函数图象刻画变化过程1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油思维升华：判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．题型二：已知函数模型的实际问题典例(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元D ．23 000元思维升华：求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．跟踪训练 (1)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． (2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．题型三：构建函数模型的实际问题 命题点1：构造一次函数、二次函数模型典例 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元． 命题点2：构造指数函数、对数函数模型典例 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？引申探究：本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？ 命题点3：构造y ＝x ＋ax(a >0)型函数典例 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.命题点4：构造分段函数模型典例某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？思维升华：构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．跟踪训练 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________．函数应用问题：典例 (12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．四、反馈练习1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y1.5174.041 87.51218.01A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝12log x2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元D ．320万元4．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A ．2017年 B ．2018年 C ．2019年D ．2020年5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3D ．26 m 36．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元D ．43.025万元7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．8．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－)82(xx (x >0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为____m.10．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2)20(v km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________ h(车身长度不计)．11．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg )10(12I给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6 W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7 W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？12．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问： (1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________.15．某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 60 100 180 种植成本Q11684116Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；(2)最低种植成本是________(元/100 kg)．16．某店销售进价为2元/件的产品A，该店产品A每日的销售量y(单位：千件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y＝10x－2＋4(x－6)2，其中2<x<6.(1)若产品A销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A所获得的利润；(2)试确定产品A的销售价格，使该店每日销售产品A所获得的利润最大．(保留1位小数)。
函数的模型及其应用课件-2025届高三数学一轮复习
A. B. C. D.
【易错点】忽视函数的性质致误，在实际应用问题中，要结合问题的实际意义和函数的性质来确定拟合函数.
解析 由题意知，拟定函数应满足：①是增函数，且增长速度先快后慢再快；②在左右增长速度较慢，且 的最小值为500. 对于A，在 上先减后增，不符合要求； 对于B， 是指数型函数，增长速度越来越快，不符合要求； 对于C，的图象是由 的图象平移和伸缩变换得到的，符合题目要求； 对于D， 是对数型函数，增长速度越来越慢，不符合要求.故选C.
C
A.4.0天 B.4.3天 C.4.7天 D.5.1天
解析 由已知得两式相除得，即 ，则，因为，所以 ，设天后采摘下来的金针菇会失去全部新鲜度，则 ，又，所以，即 ，所以，解得 （负值已舍去）.故选C.
分段函数模型
典例3 如图，在矩形中，，，是 的中点，点沿着边，与运动，记，若将 的面积表示为关于的函数 ，则( ) .
基础知识·诊断
一、几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
,为常数，
二次函数模型
,,为常数，
反比例函数模型
,为常数且
指数函数模型
,,为常数，,且
对数函数模型
,,为常数，,且
幂函数模型
,, 为常数，,
“对勾”函数模型
二、三种函数模型的性质
函数性质
在 上的增减性
单调①______
B
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
解析 因为，，，所以 ，所以 .设在该疾病传染的初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，则，所以，所以 ，所以 （天）.故选B.
考点聚焦·突破
考点一 利用函数图象刻画实际问题［自主练透］
函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同常用结论“对勾”函数的性质形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a)和(a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线增长更快．()(2)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.()(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >1)的增长速度．( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)对三种函数增长速度的理解不深致错； (2)建立函数模型出错；(3)分段函数模型的分并把握不准．1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 ( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析：选B ．由图象知，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g (x )>f (x )>h (x )．故选B ．2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表，则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D ．根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100利用函数图象刻画实际问题(师生共研)(2020·高考北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W ＝f (t )，用－f （b ）－f （a ）b －a的大小评价在[]a ，b 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t 1，t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2.t 3]这三段时间中，在[0，t 1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________． 【解析】 设y ＝－f （b ）－f （a ）b －a，由已知条件可得甲、乙两个企业在[t 1，t 2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为－f （t 2）－f （t 1）t 2－t 1，由题图易知y 甲>y 乙，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，所以①对；由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示，所以②对；在t3时刻，由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以③对；由计算式－f（b）－f（a）b－a可知，甲企业在[0，t1]这段时间内污水治理能力最弱，所以④错．【答案】①②③正确理解题目所给的信息，并把信息翻译成数学问题是解决本题的第一个关键；理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式，并把这个计算式与函数图象在某点处切线的斜率联系起来是正确解决本题的第二个关键．1．(2020·河南信阳质量检测)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2，3所示．根据图象判断下列说法正确的是()①图2的建议为减少运营成本；②图2的建议可能是提高票价；③图3的建议为减少运营成本；④图3的建议可能是提高票价．A．①④B．②④C．①③D．②③解析：选A．根据题意和题图2知，两条直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出变少了，说明此建议是降低成本而保持票价不变．由题图3知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，也就是票价提高了，说明此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得①④正确，②③错误．故选A．2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 kmB．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：选D．对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1 L汽油的行驶路程可大于5 km，所以A错误，对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1 h的路程为80 km，消耗8 L汽油，所以C错误，对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．已知函数模型解决实际问题(师生共研)(1)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lgx1×10－13.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A ．1倍B ．10倍C ．100倍D ．1 000倍(2)(2020·陇西咸阳二模)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h)的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12(如图所示)，实验表明，当药物释放量y <0.75(mg/m 3)时对人体无害．求：①k ＝________；②为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．【解析】 (1)设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x 1 W/m 2，x 2 W/m 2，根据题意得d (x 1)＝9lg x 11×10－13＝63，解得x 1＝10－6， d (x 2)＝9lg x 21×10－13＝54， 解得x 2＝10－7，所以x 1x 2＝10，所以老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B ．(2)①由题图可知，当t ＝12时，y ＝1，即1k ×12＝1⇒k ＝2.②由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧t ≥12，12t <0.75，解得t >23，故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过23×60＝40(分钟)人方可进入房间．【答案】 (1)B (2)2 40求解所给函数模型解决实际问题的关键点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．(2020·河南安阳模拟)5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋S N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1 000提升至2 000，则C 大约增加了( )A ．10 %B ．30 %C ．50 %D ．100 %解析：选A ．将信噪比SN 从 1 000提升至 2 000，C 大约增加了W log 2（1＋2 000）－W log 2（1＋1 000）W log 2（1＋1 000）＝log 22 001－log 21 001log 21 001≈10.967－9.9679.967≈10 %，故选A ．构建函数模型解决实际问题(多维探究) 角度一 构造一次函数、二次函数模型(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个．为了赚得最大利润，每个售价应定为______元．【解析】 (1)由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19.(2)设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]．所以当x ＝95时，y 最大． 【答案】 (1)19 (2)95角度二 构建指数函数、对数函数模型某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2023年 B ．2024年 C ．2025年D ．2026年【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2021年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2025年投入的研发资金开始超过200万元，故选C ．【答案】 C角度三构建函数y＝ax＋bx(a＞0，b＞0)模型某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【解】设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥417，当且仅当300x ＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．角度四构建分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x 2＋68x －115＞0， 有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ），－3x 2＋68x －115（6＜x ≤20，x ∈Z ）.(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．(2)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．1．(2020·四川绵阳模拟)2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：1 290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为( )A ．20B ．30C ．35D ．40解析：选B ．设两个旅游团队的人数分别为a ，b 且a ，b ∈N *，不妨令a ≥b ，因为1 290不能被13整除，所以a ＋b ≥51.若51≤a ＋b ≤100，则11(a ＋b )＝990，得a ＋b ＝90，①由分别购票共需支付门票费为1 290元可知，11a ＋13b ＝1 290，② 联立①②解得b ＝150，a ＝－60，不符合题意； 若a ＋b >100，则9(a ＋b )＝990，得a ＋b ＝110，③由分别购票共需支付门票费为1 290元可知，1≤b ≤50，51≤a ≤100， 得11a ＋13b ＝1 290，④联立③④解得a ＝70，b ＝40. 所以这两个旅游团队的人数之差为70－40＝30.故选B ．2．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤______次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解析：设至少过滤n 次才能达到市场要求， 则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8. 答案：83．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f (n )表示前n 年的纯利润，则从第________年开始盈利．[f (n )＝前n 年的总收入—前n 年的总费用支出—投资额]解析：由题意知f (n )＝26n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n ＋n （n －1）2×2－60＝－n 2＋19n －60. 令f (n )>0，即－n 2＋19n －60>0，解得4<n <15， 所以从第5年开始盈利． 答案：5高考新声音2 美育为魂，陶养身心“美”是景与情的交融，以美育人，让学生懂得爱、爱美，提高学生审美和人文素养，以美育为背景的考题，多以提高学生审美和人文素养为题材，常以图、文并用的方式表现，意在考查逻辑推理和数学运算等核心素养．(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12(5－12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm【解析】 26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B．【答案】 B本题涉及了“黄金比”和“断臂维纳斯”，并渗透了估值思想．以往高考试题中往往选择中国古代《九章算术》中的数学文化题，这一网红题选择大家熟悉的黄金分割为背景，通过设置真实情景，引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培养，使学生能够灵活运用所学知识分析问题和解决问题．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)可以是某个圆的“优美函数”；③函数y＝1＋sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y＝2x＋1可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的命题是________．(填序号)解析：①对于任意一个圆O，其对称轴有无数条，所以其“优美函数”有无数个，①正确；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)的定义域为R，值域为[0，＋∞)，其图象关于y轴对称，且在x轴及其上方，故不可以是某个圆的“优美函数”，②错误；③根据y＝sin x的图象可知函数y＝1＋sin x的图象可以将圆的周长和面积平分，又y＝1＋sin x的图象可以延伸，所以可以同时是无数个圆的“优美函数”，③正确；④函数y ＝2x ＋1的图象只要过圆心，就可以同时是无数个圆的“优美函数”，④正确；⑤错误，有些中心对称图形对应的函数不一定是圆的“优美函数”，比如“双曲线”，故答案为①③④.答案：①③④[A 级 基础练]1．(2020·江西南昌模拟)衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制订员工的奖励方案：在经济利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y (单位：万元)随经营利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该要求的是( )(参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041) A ．y ＝0.04x B ．y ＝1.015x －1 C ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 19－1D ．y ＝log 11(3x －10)解析：选D ．对于函数y ＝0.04x ，当x ＝100时，y ＝4>3，不符合题意；对于函数y ＝1.015x －1，当x ＝100时，y ≈3.432>3，不符合题意；对于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 19－1，不满足在x ∈(6，100]上单调递增，不符合题意；对于函数y ＝log 11(3x －10)，满足在x ∈(6，100]上是增函数，且y ≤log 11(3×100－10)＝log 11290<log 111 331＝3，画出y ＝15x 与y ＝log 11(3x －10)的图象如图所示，符合题意，故选D ．2．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q (x )(单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为q (x )＝⎩⎨⎧1 260x ＋1，0<x ≤20，90－35x ，20<x ≤180，则当该服装厂所获效益最大时，x ＝( )A ．20B ．60C ．80D ．40解析：选C ．设该服装厂所获效益为f (x )元， 则f (x )＝100xq (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0<x ≤20，100x （90－35x ），20<x ≤180.当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1， f (x )在区间(0，20]上单调递增， 所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000. 当20<x ≤180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ， 则f ′(x )＝9 000－4505·x ，令f ′(x )＝0，得x ＝80，当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当80≤x ≤180时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，所以当x ＝80时，f (x )有极大值，也是最大值，为240 000.故选C ． 3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D ．设进价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.故选D ．4．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24 423－1，第19个梅森素数为Q ＝24 253－1，则下列各数中与PQ 最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．1059解析：选B ．由题知P Q ＝24 423－124 253－1≈2170.令2170＝k ，则lg 2170＝lg k ，所以170lg2＝lg k ．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k ，即k ＝1051，所以与PQ 最接近的数为1051.故选B ．5．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋13，0≤x <2，90e －0.5x ＋14，x ≥2，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)( )车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类型 阈值(mg/100 mL) 饮酒后驾车 ≥20，<80 醉酒后驾车≥80A ．5 hB ．6 hC ．7 hD ．8 h解析：选B ．由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e －0.5x ＋14<20，解得x ＞5.42，取整数，故为6个小时．故选B ．6．(2020·辽宁辽南协作校一模)考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5 730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系可以表示为________．解析：依题意可设y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，当x ＝5 730时，y ＝12，即有12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 5 730a ，解得a＝15 730，故答案为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x5 730.答案：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x5 7307．(2020·安徽滁州定远4月模拟)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝ P 0e －kt ，如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．解析：由题意可知，(1－0.1)P 0 ＝P 0e －5k ，即0.9＝e －5k ，故－5k ＝ln 0.9，又(1－0.19)P 0＝P 0e －kt ，即0.81＝e －kt ，所以－kt ＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k ，所以t ＝10.答案：108．为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y ＝t ＋a 中(其中a 为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米．解析：由散点图的走势，知模型①不合适．曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，73，则后三个模型的解析式分别为②y ＝13＋log 2t ；③y ＝12t ＋13；④y ＝t ＋13，易知拟合最好的是②.将t ＝8代入②得8年后的树高为103米．答案：② 1039．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？ (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为10－6W/m 2时， 由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)． (2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0.所以I 10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，则常人能听到的最低声强为10－12W/m 2. (3)当声强为5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5×10－710－12＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5， 因为50＋10lg 5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．10．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，所以书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x ＞0，x ＞0，解得0＜x ＜150.依题意，设单套丛书的利润为P ，则P ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x －30，＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（150－x ）＋100150－x ＋120. 因为0＜x ＜150，所以150－x ＞0，则(150－x )＋100150－x≥2（150－x ）·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立， 此时，P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．[B 级 综合练]11.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y (℃)与时间t (min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y (℃)与时间t (min)近似满足的函数关系式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a10＋b (a ，b为常数)．通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )A ．35 minB ．30 minC ．25 minD ．20 min解析：选C ．由题意知，当0≤t ≤5时，函数图象是一条线段；当t ≥5时，函数的解析式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a10＋b .将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得⎩⎨⎧100＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫125－a10＋b ，60＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫1215－a10＋b ，解得a ＝5，b ＝20，故函数的解析式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －510＋20，t≥5.令y ＝40，解得t ＝25，所以最少需要的时间为25 min.故选C ．12．(2020·安徽淮北一中第五次月考)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每1 6人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要检测的次数为()A．3 B．4C．6 D．7解析：选B．先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了1次检测．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了3次检测．选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性则认定是另一个人；若为阳性则认定为此人，此时进行了4次检测．所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选B．13．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(12)mt(c，m为常数)．(1)mc的值为________；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少需排气________分钟．解析：(1)由题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧64＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫124m ，32＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫128m ，两式相除，解得⎩⎨⎧c ＝128，m ＝14， 则mc ＝128×14＝32.(2)由题意可列不等式128⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t ≤0.5， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1214t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128，即14t ≥8，解得t ≥32. 故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态． 答案：(1)32 (2)3214．某旅游景点预计2021年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似为p (x )＝12x (x ＋1)·(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x ，x ∈N *，且1≤x ≤6，160x，x ∈N * 且7≤x ≤12. (1)写出2021年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)试问2021年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？解：(1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12x (x －1)(41－2x )＝－3x 2＋40x ，经验证x ＝1时也满足此式．所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x (x ∈N *)个月的旅游消费总额为。
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第13讲函数模型及其应用思维导图
知识梳理
1．几种常见的函数模型
题型归纳题型1 用函数图象刻画变化过程
【例1-1】（2020•徐汇区二模）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长20%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()y f x 的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【例1-2】（2019秋•琼山区校级期末）两个学校1W 、2W 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量1()W t 、2()W t 与时间t （天)的关系如图所示，则一定有( )
A ．1W 比2W 节能效果好
B ．1W 的用电量在[0，0]t 上的平均变化率比2W 的用电量在[0，0]t 上的平均变化率大
C ．两学校节能效果一样好
D ．1W 与2W 自节能以来用电量总是一样大
【跟踪训练1-1】（2019秋•武昌区期末）在2h 内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是( )
A．B．
C．D．
【跟踪训练1-2】（2020•来宾模拟）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是()
A．B．
C．D．
【名师指导】
判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
题型2 应用所给函数模型解决实际问题
【例2-1】（2020•山东）基本再生数
R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个
感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用
指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )(20.69)ln ≈ A ．1.2天
B ．1.8天
C ．2.5天
D ．3.5天
【例2-2】（2020•新课标Ⅲ）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)
()1t K I t e --=
+，其中K
为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( )(193)ln ≈ A ．60
B ．63
C ．66
D ．69
【跟踪训练2-1】（2020春•海淀区校级期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+，1976年7月28日我国唐山发生的里氏7.8级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为( ) A ．0.310
B ．0.3
C ． 1.3lg
D ．0.310-
【跟踪训练2-2】（2020•梅州二模）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C)︒满足函数关系(kx b y e e +=为自然对数的底数，k ，b 为常数），若该食品在0C ︒的保鲜时间是384小时，在22C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在33C ︒的保鲜时间是 ． 【名师指导】
求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．
题型3 构建函数模型解决实际问题
【例3-1】（2020春•内江期末）某公司生产某种产品，其年产量为x 万件时利润为()R x 万元，当035x <时，年利润为21()202502R x x x =-++，当35x >时，年利润为1800()5202R x x x
=--+．
（1）若公司生产量在035x 且年利润不低于400万时，求生产量x 的范围； （2）求公司年利润()R x 的最大值．
【例3-2】一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1
4，已知到今年为止，森林剩
余面积为原来的
22
. (1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
【例3-3】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固
性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．
【例3-4】（2019秋•济南期末）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区．先行区将以“结构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城．2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人x （ 百个），需另投人成本C （x ）（万元），且C(x)={10x 2+200x ，0＜x ＜40601x +10000
x −4500，x ≥40，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．
（1）求年利润L （x ）（万元）关于年产量x （ 百个）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本） （2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由．
【跟踪训练3-1】（2020春•东营区校级月考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．若两颗星的星等与亮度满足1122
32E
m m lg E -=．其中星等为k m ，星的亮度为(1,2)k E k =．
（1）若1210000E E =，则21m m -= ；
（2）若太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.5-，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ．
【跟踪训练3-2】（2019秋•平谷区期末）某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如表： 单价/元 16 17 18 19 20 21 22 日销售量/
盒
480
440
400
360
320
280
240
根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价______元时，利润最大（ ） A ．16.5
B ．19.5
C ．21.5
D ．22
【跟踪训练3-3】（2019秋•临沂期末）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜10，60，10≤t ≤20，
其中t ∈N ． （1）求p （5），并说明p （5）的实际意义； （2）若该路公交车每分钟的净收益y =
6p(1)+24
t
−10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．
【名师指导】
建模解决实际问题的三个步骤。