第13讲 函数模型及其应用(原卷版)

第13讲函数模型及其应用思维导图

知识梳理

1．几种常见的函数模型

题型归纳题型1 用函数图象刻画变化过程

【例1-1】（2020•徐汇区二模）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长20%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()y f x 的图象大致为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【例1-2】（2019秋•琼山区校级期末）两个学校1W 、2W 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量1()W t 、2()W t 与时间t （天)的关系如图所示，则一定有( )

A ．1W 比2W 节能效果好

B ．1W 的用电量在[0，0]t 上的平均变化率比2W 的用电量在[0，0]t 上的平均变化率大

C ．两学校节能效果一样好

D ．1W 与2W 自节能以来用电量总是一样大

【跟踪训练1-1】（2019秋•武昌区期末）在2h 内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是( )

A．B．

C．D．

【跟踪训练1-2】（2020•来宾模拟）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是()

A．B．

C．D．

【名师指导】

判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

题型2 应用所给函数模型解决实际问题

【例2-1】（2020•山东）基本再生数

R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个

感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用

指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )(20.69)ln ≈ A ．1.2天

B ．1.8天

C ．2.5天

D ．3.5天

【例2-2】（2020•新课标Ⅲ）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)

()1t K I t e --=

+，其中K

为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( )(193)ln ≈ A ．60

B ．63

C ．66

D ．69

【跟踪训练2-1】（2020春•海淀区校级期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+，1976年7月28日我国唐山发生的里氏7.8级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为( ) A ．0.310

B ．0.3

C ． 1.3lg

D ．0.310-

【跟踪训练2-2】（2020•梅州二模）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C)︒满足函数关系(kx b y e e +=为自然对数的底数，k ，b 为常数），若该食品在0C ︒的保鲜时间是384小时，在22C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在33C ︒的保鲜时间是 ． 【名师指导】

求解所给函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．

题型3 构建函数模型解决实际问题

【例3-1】（2020春•内江期末）某公司生产某种产品，其年产量为x 万件时利润为()R x 万元，当035x <时，年利润为21()202502R x x x =-++，当35x >时，年利润为1800()5202R x x x

=--+．

（1）若公司生产量在035x 且年利润不低于400万时，求生产量x 的范围； （2）求公司年利润()R x 的最大值．

【例3-2】一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1

4，已知到今年为止，森林剩

余面积为原来的

22

. (1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

【例3-3】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固

性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．

【例3-4】（2019秋•济南期末）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区．先行区将以“结构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城．2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人x （ 百个），需另投人成本C （x ）（万元），且C(x)={10x 2+200x ，0＜x ＜40601x +10000

x −4500，x ≥40，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．

（1）求年利润L （x ）（万元）关于年产量x （ 百个）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本） （2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由．