数学教师手册_和角公式与差角公式

和角公式与差角公式教学眉批学生在第一次见到cos（α－β），可能会作以下猜测：cos（α－β）＝cos α－cos β但必须告诉学生这不是乘法对加减法的分配律，而cos（α－β）本身是一个值，以及cos（α－β）＝cos α cos β＋sin α sin β之最后结果。

如上图，当α，β满足0°≤β＜α＜360°且180°＜α－β＜360°时，在△AOB中，OA OB==，∠AOB＝360°－（α－β），1AB由距离公式得2＝（cos α－cos β）2＋（sin α－sin β）2＝2－2（cos α cos β＋sin α sin β） ............................................................ ①AB由余弦定理得2＝12＋12－2‧1‧1‧cos（360°－（α－β））＝2－2 cos（－（α－β））＝2－2 cos（α－β）..................................... ②于是由①、②两式可知2－2 cos（α－β）＝2－2（cos α cos β＋sin α sin β），故得cos（α－β）＝cos α cos β＋sin α sin β。

由课本P.60 及上述之证明，不论0°＜α－β＜180°或180°＜α－β＜360°，均可得cos（α－β）＝cos α cos β＋sin α sin β这个结果。

差角公式：(1)透过坐标化，由距离公式与余弦定理得证。

(2)公式发展：差角公式可导出和角公式；和角公式可导出二倍角、三倍角公式；二倍角公式可导出半角公式。

故差角公式为本节之首要重点，最佳学习方式能让学生利用解析几何方法证出差角公式再逐一推导其余公式。

学生一方面能熟练三角代数运算，另一方面可熟记公式。

教学眉批考虑一般化的情形：假设θ，φ为任意广义角且分别是α，β的同界角，θ＝α＋m‧360°，φ＝β＋n‧360°，m，n∈，所以（θ－φ）＝（α－β）＋（m－n）‧360°，即θ－φ与α－β为同界角，故cos （θ－φ）＝cos（α－β）。

又α，β不论是0°＜α－β＜180°或180°＜α－β＜360°，都有cos（α－β）＝cos α cos β＋sin α sin β，由同界角之三角函数值相等，我们可得cos（θ－φ）＝cos（α－β）＝cos α cos β＋sin α sin β＝cos θ cos φ＋sin θ sin φ，因此对于任意广义角θ，φ，我们都有cos（θ－φ）＝cos θ cos φ＋sin θ sin φ。

差角公式之合并：两个非特别角，透过差角公式竟可得到特殊角及特殊值。

差角公式之分解：(1) 可用45°－30°或是60°－45°来处理15°的问题。

(2) cos 15°常在一般三角函数的问题中出现，可透过差角公式熟记其值。

(1) 1。

(2)教学眉批对于任意广义角θ，φ，差角公式均成立cos（θ－φ）＝cos θ cos φ＋sin θ sin φ，故cos（α＋β）可改写成cos（α－（－β））再代入差角公式，其余同理。

教学眉批熟练这四个和角与差角公式，特别是其结构与加减号。

每个公式的合并与拆解都要熟练。

(1) 合并：将结构式找一适合公式代入sin 13° cos 17°＋cos 13° sin 17°＝sin 30°或是广义角化成参考角，再找一适合公式代入cos 145° cos 205°＋sin 325° sin 155°＝cos 35° cos 25°－sin 35° sin 25°＝cos 60°。

(2) 拆解：利用已知特殊角可求sin 75°＝sin（45°＋30°）＝sin 45° cos 30°＋cos 45° sin 30°或是由已知sin α，cos β值可求sin（α＋β）＝sin α cos β＋cos α sin β。

(1) 也可用60°－45°来处理15°的问题。

(2) 15°，75°常在一般三角函数的问题中出现，可透过差角公式及和角公式熟记其值。

(1)(2)教学眉批(1) 无论是求sin（α＋β）或是cos（α＋β）都需要知道sin α，cos α及sin β，cos β这四个值，今已知sin α，cos β，可以透过平方关系及α，β角度所在象限来决定另外两个。

(2) 藉由三角函数值求其所对应之角度要小心，不要误判。

因为α＋β介于第一、二象限，故以三角函数值来求α＋β所对应之角度，以cos（α＋β）为佳，因为cos 在第一象限为正，第二象限为负，由正负即可判断适当角度；若以sin（α＋β）来求所对应之角度就比较不佳，尚须其他信息来辅助。

sin（α－β）＝63 65，cos（α－β）＝16 65。

教学眉批正切之和角与差角公式系由正余弦之和角与差角公式及商数关系证得。

在第一册多项式函数中曾介绍一次函数之斜率（m）的定义，若令直线与x轴正向之夹角为θ，则tan θ＝m，此差角公式未来可运用于第3 章求两直线的交角。

补充演练求tan 20°＋tan 40°tan 20° tan 40°之值。

解tan（20°＋40°）＝tan20tan4031tan20tan40+=-⋅，故tan 20°＋tan 40°tan 20° tan 40°教学眉批透过正切差角及和角公式可求出tan 15°，tan 75°之值，在一般三角函数的问题中常出现。

在三角形问题中，若给定其中两角之三角函数值，常利用∠A＋∠B＋∠C＝180° ∠A＋∠B＝180°－∠C及和角公式求另一角之三角函数值。

(1) 2(2) tan C＝－1，∠C＝135°。

教学眉批(1) 倍角公式是由和角公式推导而得。

(2) cos 2θ 务必请学生记住有三个等式，而且是半角公式之重要推导来源。

(1) 倍角公式写法如下 sin 2θ＝2 sin θ cos θ，可将前面 2θ 视为所求函数，后面 θ 视为已知函数，当所求为已知的 2 倍称为倍角公式，此有助厘清关系，特别是后面半角公式的使用。

(2) 余弦与正切之倍角公式名称亦同理。

教学眉批利用 sin θ 求 sin 2θ 时，因为公式为 sin 2θ＝2 sin θ cos θ，故必须知道 cos θ，(1) 若 θ 有范围限制，则可确定 cos θ 之正负。

(2) 若 θ 无限制，则正负两种情形均要讨论。

(3) 亦可求出 tan θ 代入 sin 2θ＝22tan 1tan θθ+。

(1) 利用 sin θ 求 cos 2θ 时，则代公式 cos 2θ＝1－2 sin 2 θ。

(2) 利用 cos θ 求 cos 2θ 时，则代公式 cos 2θ＝2 cos 2 θ－1，故 θ 有无范围限制，不影响其结果。

(3) 亦可求出 tan θ 代入 cos 2θ＝221tan 1tan θθ-+。

由 tan θ 求出 tan 2θ，或是利用(1)之结果求 tan 2θ＝sin 2cos 2θθ。

sin 2θ， cos 2θ＝79，tan 2θ。

补充演练若sin θ－cos θ＝12，求sin 2θ的值。

解（sin θ－cos θ）2＝sin2θ－2 sin θ cos θ＋cos2θ＝1－sin 2θ＝14，故sin 2θ＝34。

教学眉批(1) 正弦与余弦之三倍角公式，系由和角公式与二倍角公式推得，此题主要训练学生三角代数运算能力。

(2) 正弦与余弦之三倍角公式有对称性。

－9 16。

半角公式是由二倍角公式推导而得。

补充演练设cos θ为方程式8x3－6x＋1＝0 之一根，试求cos 3θ。

解8 cos3θ－6 cos θ＋1＝0⇨ 4 cos3θ－3 cos θ＝－1 2⇨ cos 3θ＝－12。

教学眉批半角公式有两种写法：(1) 二倍角推得结果sin α＝ 此公式同学常会混淆，可将前面 α 视为所求函数，后面 2α 视为已知函数，当所求为已知一半称为半角公式。

(2) 令 α＝2θ 代入上式，得sin 2θ= (3) 余弦、正切同理。

半角公式：(1) 只要知道 cos θ，均可求出 sin2θ，cos 2θ，tan 2θ 之值。

(2) sin 2θ，cos 2θ，tan 2θ 之正负号，可由2θ 所在象限决定。

(3) 半角公式具降次之功能，可将高次化成低次。

（参考补充演练）补充演练设 cos 2θ＝x ，试将 sin 4 θ＋cos 4 θ 以 x 之多项式表示之。

解sin 4 θ＋cos 4 θ＝22221cos 21cos 2112222x x θθ-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝212x +。

教学眉批因 22.5°为所求，而 45° 为熟知之特殊角，故应代入半角公式。

求 tan 22.5°时，亦可用正切之二倍角公式tan 2θ＝22tan 1tan θθ-，可得tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5-。

设 tan 22.5°＝x 代回上式，得 1＝221x x -⇨ x ＝1（负不合）。

sin 15°cos 15°tan 15°＝2(1) 因 270°＜θ＜360°，故 2θ 在第二象限。

(2) 若只说 θ 在第四象限，即 270°＋360°×k ＜θ＜360°＋360°×k⇨ 135°＋180°×k ＜2θ＜180°＋180°×k ，则 2θ 有可能在第二、四象限。

sin θ＝cos θ＝， tan θ＝3。

补充演练设 cos 2θ＝13-，且 180°＜2θ＜270°，试求下列各值： (1) sin θ。

(2) cos θ。

(3) tan θ 。

解因 180°＜2θ＜270° ⇨ 90°＜θ＜135°，故 θ 在第二象限。