惠州市2018届高三第二次调研考试(理数)

惠州市2018届高三第二次调研考试

数学（理科）

全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求. （1）若

21z

i i

=-+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 （2）已知集合{}

A x x a =<，{

}

2

320B x x x =-+<，若A

B B =，

则实数a 的取值范围是（ ）

(A)1a < (B) 1a ≤ (C)2a > (D)2a ≥

（3）设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ） ①若α⊥l ，则l 与α相交； ②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l ； ③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n ； ④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||n .

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 （4）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）

(A)4

1

>

m (B)10<m (D)1>m （5）设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，

则实数a 等于（ ）

(A)7 (B)6 (C)5 (D)4 （6）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：

依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“

”表示的十进制数是（ ）

(A)18 (B) 17 (C) 16 (D) 15 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数

坤

000 0 震

001 1 坎

010 2 兑 011 3

（7）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且9121

62a a =

+，24a =，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

的前10项和为（ ） (A)

1112 (B)1011 (C)910 (D)8

9

（8）旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（ ） (A)24 (B)18 (C)16 (D)10 （9）已知A ，B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在双曲线E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为

120，则双曲线E 的离心率为（ ）

5 (B)2 3 2 （10）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，

则xy 最大值为( )

(A)32 (B)7 (C)64 (D)647 （11）函数()sin(2)f x A x θ=+,02A π

θ⎛⎫

≤

> ⎪⎝

⎭

部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）

(A))(x f 在)12,125(ππ-

上是减函数 (B))(x f 在)12,125(π

π-上是增函数 (C))(x f 在)65,3(ππ上是减函数 (D))(x f 在)6

5,3(π

π上是增函数

（12）函数)(x f 是定义在R 上的奇函数, 当0>x 时, ()()|1|21

02()1

2(2)2

x x f x x f x -⎧-<≤⎪

=⎨>-⎪⎩，则函数1)()(-=x xf x g 在),6[+∞-上的所有零点之和为（ ）

(A)8 (B) 32 (C)1

8

(D)0

二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 （13）已知1tan 2α=

，且3,2παπ⎛⎫

∈ ⎪

⎝⎭

，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ____________． （14）某班共有56人，学号依次为1,2,3,…,56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已

知学号为2，30，44的同学在样本中，则还有一位同学的学号应为_____．

（15）已知数列{}n a 满足)(22,111*

+∈=-=N n a a a n n n ，则数列{}n a 的通项公式为

=n a ．

（16）在四边形ABCD 中，AB DC =，已知8,5AB AD ==，AB 与AD 的夹角为θ，且

11

cos =

20

θ，3CP PD =，则AP BP ⋅=___________．

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 （17）（本小题满分12分）

已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos cos 0C a C c A b ++=. （1）求角C 的大小；

（2）若2b =

，c =，求ABC ∆的面积.

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=，PA PB ⊥，

2PC =．

（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；

（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.

（19）（本小题满分12分）

某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，背诵结果只有“正确”和“错误”两种。其中某班级背诵正确的

概率为23p =

，背诵错误的概率为1

3

q =，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为n S ”. （1）求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率； （2）记5S ξ=，求ξ的分布列及数学期望.

（20）（本小题满分12分）

已知点C 为圆2

2

(1)8x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点

A (1,0)和AP 上的点M ，满足0MQ AP ⋅=，2AP AM =.

（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；

（2）若斜率为k 的直线l 与圆2

2

1x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点

,F H ,O 是坐标原点，且

34

45

OF OH ≤⋅≤时，求k 的取值范围. P

A

D C

B