惠州市2018届高三第二次调研考试(理数)

惠州市2018届高三第二次调研考试数学（理科）全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. （1）若21zi i=-+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 （2）已知集合{}A x x a =<，{}2320B x x x =-+<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）(A)1a < (B) 1a ≤ (C)2a > (D)2a ≥（3）设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ） ①若α⊥l ，则l 与α相交； ②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l ； ③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n ； ④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||n .(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 （4）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）(A)41>m (B)10<<m (C)0>m (D)1>m （5）设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ）(A)7 (B)6 (C)5 (D)4 （6）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）(A)18 (B) 17 (C) 16 (D) 15 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数坤000 0 震001 1 坎010 2 兑 011 3（7）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912162a a =+，24a =，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） (A)1112 (B)1011 (C)910 (D)89（8）旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（ ） (A)24 (B)18 (C)16 (D)10 （9）已知A ，B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在双曲线E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120，则双曲线E 的离心率为（ ）5 (B)2 3 2 （10）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 最大值为( )(A)32 (B)7 (C)64 (D)647 （11）函数()sin(2)f x A x θ=+,02A πθ⎛⎫≤> ⎪⎝⎭部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）(A))(x f 在)12,125(ππ-上是减函数 (B))(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 (C))(x f 在)65,3(ππ上是减函数 (D))(x f 在)65,3(ππ上是增函数（12）函数)(x f 是定义在R 上的奇函数, 当0>x 时, ()()|1|2102()12(2)2x x f x x f x -⎧-<≤⎪=⎨>-⎪⎩，则函数1)()(-=x xf x g 在),6[+∞-上的所有零点之和为（ ）(A)8 (B) 32 (C)18(D)0二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

（13）已知1tan 2α=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ____________． （14）某班共有56人，学号依次为1,2,3,…,56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则还有一位同学的学号应为_____．（15）已知数列{}n a 满足)(22,111*+∈=-=N n a a a n n n ，则数列{}n a 的通项公式为=n a ．（16）在四边形ABCD 中，AB DC =，已知8,5AB AD ==，AB 与AD 的夹角为θ，且11cos =20θ，3CP PD =，则AP BP ⋅=___________．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

（17）（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos cos 0C a C c A b ++=. （1）求角C 的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积.（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=，PA PB ⊥，2PC =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.（19）（本小题满分12分）某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，背诵结果只有“正确”和“错误”两种。

其中某班级背诵正确的概率为23p =，背诵错误的概率为13q =，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为n S ”. （1）求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率； （2）记5S ξ=，求ξ的分布列及数学期望.（20）（本小题满分12分）已知点C 为圆22(1)8x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足0MQ AP ⋅=，2AP AM =.（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,F H ,O 是坐标原点，且3445OF OH ≤⋅≤时，求k 的取值范围. PAD CB（21）（本小题满分12分）已知函数()()223xf x e x a =--+，a R ∈．（1）若函数()y f x =的图象在0x =处的切线与x 轴平行，求a 的值； （2）若0x ≥，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

（22）（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点A ，1F 、2F 是此曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线2AF 的极坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线交此圆锥曲线于M 、N 两点，求11||||MF NF -的值．（23）（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数()|1||1|f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1．【解析】由题意知()()123z i i i =+-=+，其对应点的坐标为()3,1，在第一象限． 2．【解析】集合{}{}232012B x x x x x =-+<=<<，由A B B =可得B A ⊆，2a ∴≥.3．【解析】②错，①③④正确.4．【解析】“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”⇔0∆<即140m -<，14m ∴>， 同时要满足“必要不充分”，在选项中只有“0>m ”符合.5．【解析】由随机变量ξ服从正态分布()4,3N 可得对称轴为4x =，又()5P a ξ<-=()1P a ξ>+，5x a ∴=-与1x a =+关于4x =对称，()()518a a ∴-++=， 即6a =.6．【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为01234512020202120217⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=7．【解析】由912162a a =+及等差数列通项公式得1512a d +=，又24a =，12a ∴=，2d =，2n S n n ∴=+，()111111n S n n n n ∴==-++，121011111111=12231011S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……11011111=-= 8．【解析】第1种：甲在最后一个体验，则有33A 种方法；第2种：甲不在最后体验，则有1222C A ⋅ 种方法，所以小明共有31232210A C A +⋅=.9．【解析】设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，不妨设点M 在第一象限，所以2AB BM a ==，120MBA ∠=，作MH x ⊥轴于点H ，则60MBH ∠=，故BH a =，3MH a =，所以()2,3M a a ，将点M 代入双曲线方程22221x y a b-=，得a b =，所以2e =. 10．【解析】依题意，题中的几何体是三棱锥P -ABC (如图所示)，其中底面ABC 是直角三角形，AB BC ⊥，PA ⊥面ABC ，27BC =，22210PA y +=，()22227PA x +=，因此()()2222221281027128642x x xy x x x x +-⎡⎤=--=-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当22128x x =-，即8x =时取等号，因此xy 的最大值是64.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADCCBBBDDCBA11．【解析】由题意22T ππ==，2A =，2b a π∴-=，又)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，()123sin 22x x ϕ∴++=⎡⎤⎣⎦，即()12223x x πϕ++=，且12sin 212x x ϕ⎡+⎤⎛⎫∴+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即12222x x πϕ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，222,232k x k k Z πππππ∴-+≤+≤+∈，()y f x =单调递增.解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.所以选项B 符合.12．【解析】令()()10g x xf x =-=，所以求()y g x =的零点之和()y f x ⇔=和1y x=的交点横坐标之和，分别作出0>x 时，()y f x =和1y x=图象，如图由于()y f x =和1y x=都关于原点对称，因此[]6,6x ∈-的零点之和为0，而当8x =时，()18f x =，即两函数刚好有1个交点，而当()8,x ∈+∞时1y x=的图象都在()y f x =的上方，因此零点之和为8.二．填空题：本题共4小题，每小题5分。