2017长春二模3月数学理科
吉林省长春市届高考数学三模试卷(理科)-word版含解析教案资料
2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}3．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．4．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作a i（i=1，2，…，24），若成绩小于 6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）A．求24名男生的达标率B．求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数5．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A．9 B．15 C．18 D．306．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．27．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A． B．C．D．8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．10．设n∈N*，则=（）A．B．C．D．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n ∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．对函数f（x）=，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是．14．函数f（x）=e x?sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为的椭圆C：的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O 为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：（为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线P（x0，y0）上点P 的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}【考点】集合的表示法．【分析】先化简A，B，再求出其交集即可．【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜0，或x＞1}，故A∩B={x|﹣1＜x＜0，或1＜x＜3}．故选D．【点评】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题．3．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．4．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作a i（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）A．求24名男生的达标率B．求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数D．求24名男生的不达标人数【考点】程序框图．【分析】由题意，从成绩中搜索出大于 6.8s的成绩，计算24名中不达标率．【解答】解：由题意可知，k记录的是时间超过 6.8s的人数，而i记录是的参与测试的人数，因此表示不达标率；故选B．【点评】本题考查程序框图的理解以及算法功能的描述．5．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A．9 B．15 C．18 D．30【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q，进而得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，∴2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q=2．又a4=16，可得a1×23=16，解得a1=2．则S4==30．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【解答】解：不等式组所表示的平面区域位于直线x+y﹣3=0的下方区域和直线x﹣y+1=0的上方区域，根据目标函数的几何意义，可知目标函数经过A时，z取得最大值．由可得A（1，2），所以目标函数z的最大值为4．故选B．【点评】本题主要考查线性规划问题．画出可行域判断目标函数的几何意义是解题的关键．7．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，四棱锥的表面积为．故选D．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的表面积的求法，考查计算能力，空间想象能力．8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．【点评】本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2 值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．设n∈N*，则=（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【分析】利用数列知识，即可求解．【解答】解：=．故选A．【点评】本题主要考查推理证明的相关知识，比较基础．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t≤2，又由=t，故≤≤2；故选：D．【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．12．对函数f（x）=，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C． D．【考点】函数的值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要即可，当m＜2时，只要即可，由此能求出结果．【解答】解：当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立；当m＞2时，，只要即可，解得2＜m＜5；当m＜2时，，只要即可，解得，综上．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是15斤．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，由等差数列的前n项和得答案．【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，则S5=，∴金杖重15斤．故答案为：15斤．【点评】本题考查等差数列的前n项和，是基础的计算题．14．函数f（x）=e x?sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x?sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），（2分）f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x（4分）．故答案为：y=x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点的距离为，因此最短弦长为．【解答】解：由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点（0，1））的距离为，当圆心到直线kx﹣3y+3=0的距离最大时（即等于圆心（1，3）到定点（0，1））的距离）所得弦长的最小，因此最短弦长为2=．故答案为：2．【点评】题考查直线和圆的位置关系，以及最短弦问题，属于中档题16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===．解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，，又，∴y B=﹣2y A∴3b2=a2，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（12分）（2017?长春三模）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（1）∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值2．（2）∵f（A）=4，∴，又∵BC=3，∴，∴9=（b+c）2﹣bc．，∴，∴，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2017?长春三模）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数20 40 80 50 10男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数45 75 90 60 30 （1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）根据已知可得频率，进而得出矩形的高=，即可得出图形．（II）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，利用超几何分布列的计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户更稳定．（4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，；P（X=2）==；．所以X的分布列为X 1 2 3P．（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、分层抽样，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017?长春三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA ⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017?长春三模）已知F1，F2分别是长轴长为的椭圆C：的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由已知2a=2，解得a=，记点P（x0，y0），k OM=，可得k OM?=?利用斜率计算公式及其点P（x0，y0）在椭圆上，即可得出．（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）由已知2a=2，解得a=，记点P（x0，y0），∵k OM=，∴k OM?=?=?=，又点P（x0，y0）在椭圆上，故+=1，∴k OM?=﹣=﹣，∴，∴b2=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．由韦达定理可得，可得，故AB中点，QN直线方程：，∴，已知条件得：，∴0＜2k2＜1，∴，∵，∴．（12分）【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017?长春三模）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=，f（x）的定义域是（0，+∞），x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值．（2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：，只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），，∴F（x）＞F（0）=0，故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），即f（e+x）＞f（e﹣x），（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e，∴，∴f'（x0）＜0．【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017?长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：（为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线P（x0，y0）上点P的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线l的距离公式能求出点M到直线l的最大距离．【解答】解：（1）由曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，得直角坐标方程，直线l：，消去参数，可得普通方程l：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，M到l的距离d==，从而最大值为．（10分）【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，参数方程的运用．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017?长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）?=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．。
【吉林省长春】2017届普通高中高三下学年期第二次模拟考试数学年(文)试题
1，∴ |
AB
| ( 3
2 2
,2
2) ．（12 分）
21．解：（1）
f
(x)
1 ln x2
x
，
f
(x)
的定义域是 (0,)
，
x (0,e) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增；
x (e,) 时， f '(x) 0 ， f (x) 单调递减．
当 x e 时， f (x) 取极大值为 1 ，无极小值． e
2
2
2
∴ a b 1， 2a b 2 ； 2
3x a b, x a
法二：∵ a
b 2
，∴
f
(x)
x
a
| 2x b | x a b, a
x
b， 2
3x
a
b,
x
b 2
显然 f (x) 在 (, b] 上单调递减， f (x) 在[b , ) 上单调递增，
PM (2,2,2) ， M (2,2,2 2)
设平面
PFM
的法向量
m
(
x1
,
y1
,
z1
)
，
m
m
PF PM
0 0
，即
x 2z 0 2x 2 y
2
z
0
，
mHale Waihona Puke (2,1,1)
设平面
BFM
的法向量 n
(
x2
,
y2
,
z2
)
，
n
2017届吉林省长春市普通高中高三质量监测(二)理科数学试题及答案
长春市普通高中2017届高三质量监测（二）数 学（理 科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知集合{}0x x P =≥，1Q 02x xx ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R Q P = ð（ ） A ．(),2-∞ B ．(],1-∞- C ．()1,0- D ．[]0,22、复数12i i--的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、已知随机变量ξ服从正态分布()21,σN ，若()20.15ξP >=，则()01ξP ≤≤=（ ）A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15 4、已知:p 函数()f x x a =+在(),1-∞-上是单调函数，:q 函数()()log 1a g x x =+（0a >且1a ≠）在()1,-+∞上是增函数，则p ⌝成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、若x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则35x y +的取值范围是（ ）A ．[]13,15-B ．[]13,17-C ．[]11,15-D ．[]11,17-6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163B ．203C ．152D ．1327、已知平面向量a ，b 满足a = ，2b = ，3a b ⋅=-，则2a b += （ ）A ．1 B ． C ．4D ．8、下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为1A 、2A 、⋅⋅⋅⋅⋅⋅、16A ，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）A ．6B ．10C ．91D ．929、已知函数()1cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．56π C ．12πD ．512π10、设m ，R n ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ） A ．(),22⎡-∞-++∞⎣ B ．(),⎡-∞-+∞⎣C ．22⎡-+⎣ D ．(][),22,-∞-+∞11、若()F ,0c 是双曲线22221x y a b-=（0a b >>）的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，∆OAB 的面积为2127a ，则该双曲线的离心率e =（ ）A ．53B ．43C ．54D ．8512、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，(){}2n n nS n a ++为等差数列，则n a =（ ） A ．12n n- B ．1121n n -++ C ．2121n n -- D ．112n n ++二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、62x ⎛ ⎝的展开式中常数项为 ．14、已知0a >且曲线y x a =与0y =所围成的封闭区域的面积为2a ，则a = ．15、正四面体CD AB 的外接球半径为2，过棱AB 作该球的截面，则截面面积的最小值为 ． 16、已知函数()f x 为偶函数且()()4f x f x =-，又()235,01222,12x x x x x f x x -⎧--+≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎩，函数()12xg x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()()()F x f x g x =-恰好有4个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，tan 2A =，tan 3B =． ()1求角C 的值；()2设AB =C A ． 18、（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．()1已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；()2该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CDP-AB中，PA⊥平面CDAB，D2PA=AB=A=，四边形CDAB满足DAB⊥A，C//DB A且C4B=，点M为CP中点，点E为C B边上的动点，且C λBE=E．()1求证：平面D A M⊥平面CPB；()2是否存在实数λ，使得二面角DP-E-B的余弦值为23？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．20、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，顶点()1,0B -，()C 1,0，G 、I 分别是C ∆AB 的重心和内心，且G//C I B． ()1求顶点A 的轨迹M 的方程；()2过点C 的直线交曲线M 于P 、Q 两点，H 是直线4x =上一点，设直线C H 、PH 、Q H 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，试比较12k 与23k k +的大小，并加以证明． 21、（本小题满分12分）设函数()()()1ln 1f x ax x bx =-+-，其中a 和b 是实数，曲线()y f x =恒与x 轴相切于坐标原点． ()1求常数b 的值；()2当01x ≤≤时，关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；()3求证：10000.41000.5100011001100001000e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，BE ，∠APE 的平分线与AE ，BE 分别交于点C ，D ，其中30∠AEB = ．()1求证：D DD CE PB P ⋅=B PAP ；()2求C ∠P E 的大小． 23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，曲线1C的参数方程为21x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ=．()1求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；()2试判断曲线1C 与2C 是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x a a =++-+，R x ∈． ()1当3a =时，求不等式()7f x >的解集；()2对任意R x ∈恒有()3f x ≥，求实数a 的取值范围．长春市普通高中2017届高三质量监测（二）数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.D2.A3.C4.C5.D6.D7.B8.B9.C 10.A 11.C 12.A简答与提示：1. 【命题意图】本题主要考查集合交集与补集的运算，属于基础题.【试题解析】D 由题意可知{|1Q x x =-≤或2}x >，则{|12}Q x x =-<≤R ð，所以{|02}P Q x x =≤≤R ð. 故选D.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】A131255ii i-=--，所以其共轭复数为3155i +. 故选A.3. 【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对统计学原理有全面的认识.【试题解析】C (01)(12)0.5(2)0.35P P P ξξξ==->=≤≤≤≤. 故选C. 4. 【命题意图】本题借助不等式来考查命题逻辑，属于基础题. 【试题解析】C 由p 成立，则1a ≤，由q 成立，则1a >，所以p ⌝成立时1a >是q 的充要条件.故选C.5. 【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力. 【试题解析】D 由题意可知，35x y +在(2,1)--处取得最小值，在35(,)22处取得最大值，即35[11,17]x y +∈-.故选D.6. 【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.【试题解析】D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为41138362--=. 故选D.7. 【命题意图】本题考查向量模的运算.【试题解析】B|2|+==a b . 故选B.8. 【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题. 【试题解析】B 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题.【试题解析】C 由题意()sin(2)6f x x π=+，将其图像向右平移ϕ(0)ϕ>个单位后解析式为()sin[2()]6f x x πϕ=-+，则26k πϕπ-=，即212k ππϕ=+()k ∈N ，所以ϕ的最小值为12π. 故选C.10. 【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，属于中档题.【试题解析】A由直线与圆相切可知||m n +=理得1mn m n =++，由2()2m n mn +≤可知211()4m n m n ++≤+，解得(,2[2)m n +∈-∞-++∞ . 故选A.11. 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于难题.【试题解析】C 由题可知，过I 、III 象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan b aθ=，222tan 2ab a bθ=-，因此△OAB 的面积可以表示为3222112tan 227a b a a a a b θ⋅⋅==-，解得34b a=，则54e =. 故选C.12. 【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题，属于难题. 【试题解析】A 设(2)n n n b nS n a =++，有14b =，28b =，则4n b n =， 即(2)4n n n b nS n a n =++= 当2n ≥时，1122(1)(1)01n n n n S S a a n n ---++-+=-所以12(1)11n n n n a a n n -++=-，即121n n a a n n -⋅=-，所以{}n a n 是以12为公比，1为首项的等比数列，所以11()2n n a n -=，12n n n a -=. 故选A.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.60 14.4915.83π 16.192,8⎛⎫⎪⎝⎭简答与提示： 13. 【命题意图】本题主要考查二项式定理的有关知识，属于基础题.【试题解析】由题意可知常数项为2246(2)(60C x =. 14. 【命题意图】本题考查定积分的几何意义及微积分基本定理，属于基础题.【试题解析】由题意32223aa x ==⎰，所以49a =.15. 【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定难度.【试题解析】由题意，面积最小的截面是以AB 为直径，可求得AB =，进而截面面积的最小值为283ππ=.16. 【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题.【试题解析】由题意可知()f x 是周期为4的偶函数，对称轴为直线2x =. 若()F x 恰有4个零点，有(1)(1)(3)(3)g f g f >⎧⎨<⎩，解得19(2,)8a ∈.17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) +,tan tan()A B C C A B π+=∴=-+(3分)tan 2,tan 3,tan 1,4A B C C π==∴=∴=(6分)(2)因为tan 3B =sin 3sin 3cos cos B B B B⇒=⇒=，而22sincos 1B B +=，且B 为锐角，可求得sin B =.(9分)所以在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin AB AC B C =⨯=.(12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 本题主要考查数据处理能力.【试题解析】(1)由图可知0.035a =，0.025b =. (4分)(2) 利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人. (6分)从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X ， 则X 的所有可能取值为：150，200，250，300.363101(150)6C P X C ===，21643101(200)2C C P X C ===， 12643103(250)10C C P X C ===， 343101(300)30C P X C ===，(10分) 且1131150200250300210621030EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 取PB 中点N ，连结MN 、AN ，M 是PC 中点，1//,22MN BC MN BC ∴==，又//BC AD ，//,MN AD MN AD ∴=，∴四边形ADMN 为平行四边形,AP AD AB AD ⊥⊥ ，AD ∴⊥平面PAB ，AD AN ∴⊥，AN MN ∴⊥AP AB = ，AN PB ∴⊥，AN ∴⊥平面PBC ，AN ⊂ 平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC . (6分)(2) 存在符合条件的λ.以A 为原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，设(2,,0)E t ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(2,0,0)B从而(0,2,2)PD =- ，(2,2,0)DE t =-，则平面PDE 的法向量为1(2,2,2)n t =-，又平面DEB 即为xAy 平面，其法向量2(0,0,1)n =，则1212122cos ,3||||n n n n n n ⋅<>===⋅， 解得3t =或1t =，进而3λ=或13λ=.(12分) 20. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解：(1) 已知11(||||||)||||22ABC A S AB AC BC r BC y ∆=++⋅=⋅，且||2BC =,||3A y r =，其中r 为内切圆半径，化简得：||||4AB AC +=，顶点A 的轨迹是以B C 、为焦点，长轴长为4的椭圆（去掉长轴端点），其中2,1,a c b ===进而其方程为22143x y +=(0)y ≠.(5分)(2) 1232k k k =+，以下进行证明：当直线PQ 斜率存在时，设直线:(1)PQ y k x =-且11(,)P x y ，22(,)Q x y ，(4,)H m联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. (8分)由题意：13m k =，1214y m k x -=-，2324y m k x -=-.11212312()(4)()(4)(4)(4)y m x y m x k k x x --+--+=--21212121212882(5)()2424224()1636363m k kx x m k x x mk m mk x x x x k ++-+++====-+++当直线PQ 斜率不存在时，33(1,),(1,)22P Q -，231332222333m m m k k k -++=+== 综上可得1232k k k =+. (12分) 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求. 【试题解析】解：(1) 对()f x 求导得：1()ln(1)1ax f x a x b x-'=-++-+，根据条件知(0)0f '=，所以101b b -=⇒=. (3分)(2) 由(1)得()(1)ln(1)f x ax x x =-+-，01x ≤≤1()ln(1)11axf x a x x-'=-++-+22(1)(1)21()1(1)(1)a a x ax ax a f x x x x -+--++''=-+=-+++. ① 当12a ≤-时，由于01x ≤≤，有221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≥+，于是()f x '在[0,1]上单调递增，从而()(0)0f x f ''≥=，因此()f x 在[0,1]上单调递增，即()(0)0f x f ≥=而且仅有(0)0f =；②当0a ≥时，由于01x ≤≤，有221()0(1)ax a f x x ++''=-<+，于是()f x '在[0,1]上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,1]上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =；③当102a -<<时，令21min{1,}a m a+=-，当0x m ≤≤时，221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≤+，于是()f x '在[0,]m 上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,]m 上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =.综上可知，所求实数a的取值范围是1(,]2-∞-.（8分）(3) 对要证明的不等式等价变形如下：2110000100010000.41000.55210001100111()()(1)(1)100001000100001000e e ++<<⇔+<<+ 所以可以考虑证明：对于任意的正整数n，不等式215211(1)(1)n n e n n+++<<+恒成立. 并且继续作如下等价变形 2152112111(1)(1)()ln(1)1()ln(1)52n n e n n n n n n +++<<+⇔++<<++211(1)ln(1)0()5111(1)ln(1)0()2p n n nq n n n ⎧++-<⎪⎪⇔⎨⎪++->⎪⎩对于()p 相当于（2）中21(,0)52a =-∈-，12m =情形，有()f x 在1[0,]2上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =.取1x n=，当2n ≥时，211(1)ln(1)05nn n++-<成立；当1n =时，277(1)ln 21ln 210.710555+-=-<⨯-<.从而对于任意正整数n 都有211(1)ln(1)05n n n++-<成立.对于()q 相当于（2）中12a =-情形，对于任意x ∈[0,1]，恒有()0f x ≥而且仅有(0)0f =. 取1x n=，得：对于任意正整数n 都有111(1)ln(1)02n n n++->成立. 因此对于任意正整数n ，不等式215211(1)(1)n n e n n+++<<+恒成立.这样依据不等式215211(1)(1)n n e n n+++<<+，再令10000n =利用左边，令1000n = 利用右边，即可得到10000.41000.5100011001()()100001000e <<成立.(12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可知，EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠， 则△PED ∽△PAC ，则PE PD PAPC=，又PE ED PBBD=，则ED PB PD BD PAPC⋅=. (5分)(2) 由EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，可得CDE ECD ∠=∠，在△ECD 中，30CED ∠= ，可知75PCE ∠= . (10分) 23. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 对于曲线1C 有1x y +=，对于曲线2C 有2214x y +=.(5分)(2) 显然曲线1C ：1x y +=为直线，则其参数方程可写为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（为参数）与曲线2C ：2214x y +=联立，可知0∆>，所以1C 与2C 存在两个交点，由12t t +=，1285t t =，得21||d t t =-==. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】解：(1)当3a =时，()174,2135,22341,2x x f x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩所以()7f x >的解集为{}02x x x <>或 （5分） (2)()2122121f x x a x a x a x a a a =-+-+≥-+-+=-+由()3f x ≥恒成立，有13a a -+≥，解得2a ≥所以a 的取值范围是[)2,+∞ （10分）。
吉林省长春市2017年高三第二次模拟考试数学(理科)答案
吉林省长春市2017年高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题（1）（A ） ；（2）（B ）；（3）（B ）；（4）（C ）；（5）（A ）；（6）（D ）；（7）（B ）；（8）(C) ； （9）（D ）；（10）（C ）；（11）（B ）；（12）（D ）． 二.填空题（13）6；（14）3π；（15）5；（16）147(,1)(,]333三.解答题（17） (I)证明：由已知得12142a a a +=+，解得28a =，……………………………2分 12124b a a =-=．又有2211142(42)44n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=+-+=-…………4分所以21122(2)n n n n a a a a +++-=-，即12n n b b +=因此数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列．………………………………………6分 (Ⅱ)解：由（1）得等比数列{}n b 中14b =，2q = 所以1112422n n n n n b a a -++=-=⨯=，11122n nn n a a ++-=，……………………………………10分 因此数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列，2n n a n =，2nn a n =⋅……………12分 (18)解：(Ⅰ)将10x = 带入到ˆ 1.91yx =+，得ˆ 1.910120y =⨯+=，所以预测下一年的销售量20m =；………………………………………………………………………2分 (Ⅱ)解得4,8.6x y ==，………………………………………………………………4分所以132536*********.6ˆ 1.914916100516b⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯，………………………6分8.6 1.941ay bx =-=-⨯= ，所以线性回归方程为ˆ 1.91y x =+.……………………8分 与第一个表格所求得的回归方程相同，原因如下：由最小二乘法原理，第二个表格的回归方程ˆˆˆybx a =+使得 22222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(13)(25)(36)(49)(1020)ba b a b a b a b a ⨯+-+⨯+-+⨯+-+⨯+-+⨯+-取最小值，而由第一个表格可得ˆ 1.91yx =+使得该式子前四项和最小，使得该式子第五项为零，所以ˆ 1.91yx =+即为所求. ………………………………………………………12分 (19)(本小题满分12分) （Ⅰ）AD AB = ，O 为BD 中点AO BD ∴⊥，又AO ABD ⊂ 平面 ABD BCD ⊥平面平面 ABD BCD BD = 平面平面AO BCD ∴⊥平面 ………………………………………………………………………6分（Ⅱ）如图，取CD 中点，记为M ，以O 为坐标原点，,,OD OM OA 为,,x y z 轴轴轴建立空间直角坐标系，222(0,0,0),(0,0,),(,0,0),(,2,0),222O A B C --222(,0,0),(,0,),244D E ……………………………………………………………7分设AF AC λ=，0BC BD BC AO AO BD BC ABD ⊥⊥=∴⊥ ，，，平面 1111121123232218F AEB C AEB ABD V V S BC λλλ--∆∴==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=23λ=，………………………………………………………………………………………8分 MO FED CBA xz y23AF AC ∴= ，2222(,,)336F ∴-因为平面ABE 与y 轴垂直，所以平面ABE 的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面FEB 的法向量为2()n x,y,z =222222222(,0,0)(,,)(,,)2336636FB =---=---222322(,0,)(,0,0)(,0,)44244BE =--=22220636322044x y z x z ⎧---=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得方程组的一组解为1123x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 21(1,,3)2n ∴=- …………………………………………………………………………10分设平面ABD 和平面BDF 所成角为θ则1412cos 4111194θ==⨯++，∴锐二面角的余弦值为4141………………12分 (20) （本小题满分12分）解：（Ⅰ）方法一：设点21122(2,),(,)(,)C m m A x y B x y ，，242x xy y '=∴= ，，∴点C 处的切线斜率为22m k m ==. 过点A 作直线AG x ⊥轴，交抛物线的准线1y =-于点G ，则AG AF =,又因为FAD FDA ∠=∠,所以DF AF =，所以AG DF =，……………………3分又//AG DF ,所以四边形AGFD 为平行四边形，//AB FG ∴，。
【吉林省长春】2017学年高考二模理科数学年试题答案
D．52
14．数列{an} 中，
a1
4 3
，
an2
1 an 1
，则
a7
=________。
15．已知向量 a (2,1),b ( 3 , 1), 且 (a kb) (a kb) ，则实数 k=________。 22
16．函数 f (x) x3 3x m 的定义域 A [0,2] ，值域为 B，当 A B 时，实数 m 的取值范围是________。
A． 2π 2 3
B． 2π 4 3
C． 5π 3
D． 2π 2
6．已知直线 l1 : 2x﹣y 1 0 和 l2 : x 2y 3 的倾斜角依次为, , 则下列结论中正确的是（ ）
-1-/4
A． 90 B． 180 C． 90 D． 90
A． π 6
B． π 4
C． π 3
D． π 2
11．记 a 1 ln 1 ，b 1 ln 1 ，c 2 ln 2 ，其中 e 为自然对数的底数，则 a,b,c 这三个数的大小关系
ee
2e 2e
ee
是（ ）
A． a b c B． a b c C． b c a D． b a c
三、解答题：(本大题共 6 个小题，共 70 分。解答写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知数列{an} 的前 n 项和 Sn n2 2n
-2-/4
(Ⅰ)求数列{an} 的通项公式；
(Ⅱ)求数列
1 an an 1
的前
n
项和
Tn
。
吉林省长春市2017届高三质量监测数学理科试题(四)含答案
（2）若 cn
2 , n为奇数
Sn
，设数列
bn , n为偶数
cn 的前 n 项和为 Tn ，求 T2n .
18. （本题满分 12 分） 某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为 个月， 24 个月， 36 个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴 元、400 元、400 元，从 2016 年享受此项政策的自主创业人员中抽取了 选取贷款期限的频数如下表：
C. F x 是奇函数，最小值为
2
D. F x 是偶函数，最小值为
2
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A. 6 4 2 2 6
B. 4 6 2 2 5
C. 4 2 5 2 6
D. 4 6 2 2 6
8.二项式
10
x 2 的展开式中， 2x
x 项的系数为
15
A.
2
15
B.
2
C. 15
B. 0.9544
A,B,C 三 点 ， 球 心
C. 0.9974
O 到 平 面 ABC
D. 0.3413 1
的距 离是 球半 径的 ， 且
3
A B 2 2 , A C B，C则球 O 的表面积是
A. 81
B. 9
81
C.
4
9
D.
4
2
2
11.已知
F1, F2 是双曲线
C
:
x a2
y b2
1a
0, b
0 的两个焦点， P 是双曲线 C 上的一点，
若 PF1 PF2 6a ，且 PF1F2 的最小内角的大小为 30 ，则双曲线 C 的渐近线方程为
2017年3月2017届高三第二次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(原卷版)
2017年第二次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）．1．已知集合2{|20}A x x x =∈--<R ，{|21,}B x x t t A =∈=+∈Z ，则AB =（ ）A ．{1,0,1}-B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{0}2．若复数z 满足()()(3i)12i 2i z -=++，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量,a b 满足()1,2=--b ，()4,7-=a b ，则()()2+⋅-=a b a b （ ）A ．11B ．11-C ．3-D ．74．过抛物线24y x =的焦点F 作与对称轴垂直的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，则以AB 为直径的圆 的标准方程为（ ）A ．()2214x y ++= B ．()2214x y -+= C ．()2214x y ++= D ．()2214x y +-=5．如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积 比为（ ）A 331-B 3313-C 33D 331 6．已知点D 为ABC △外一点，222BC AB AD CD ===，120ADC ∠=︒，则B =（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为2，则判断框中填入的条件可以是（）A．98?n<B．99?n<C．100?n<D．100?n≤8．如图，正方形的边长为8，大圆半径为3，两个小圆的直径均为1，现向正方形内随机掷一飞镖，则飞镖落在黑色区域内的概率为（）A．19π256B．17π256C．9π128D．9π649．已知函数()()sinf x xωϕ=+（0,||2Aϕπ><）的图象如图所示，则tanϕ=（）A．3B．1C．3D．3-开始否0,1S n==()lg1lgS S n n=++-1n n=+是输出S结束10．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，则该四棱锥的内切球的 表面积为（ ）A．8(3-π B．6(3-π C．4(3-π D．2(3-π11．已知,A F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点和右焦点，线段OF 的垂直平分线与双曲线在第一象限的交点为P ，过F 作与x 轴垂直的直线与双曲线在第一象限交于Q ，若PAF △的面积与QOA △的面积相等，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12．已知函数()f x =()(3)4g x k x =-+的图象上存在两对关于x 轴对称的点，则实数k 的 取值范围是（ ）A ．5[ln 2,2]4+B ．5[2ln 2,ln 2]4-+ C ．5[ln 2,2ln 2]4+- D ．72(,]243第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．()n bax x-（0ab ≠，且,a b 为常数）的展开式中，x 的系数为3210a b ，则n =___________．14．若函数3e 2()e 1x xt t f x x --=+-是奇函数，则常数t 等于___________． 15．不等式组10,10,x y x y y m+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩(1)m >所表示的平面区域的面积为S ，则不等式31S a m +≥-恒成立时，实数a的取值范围是___________．16．已知a 为正整数，tan 1lg ,tan lg a a αβ=+=，且4αβπ=+，则当函数()()sin [0,]f x a θθθ=∈π取得最大值时，θ=___________．三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，且()21122n n na n a n n +=+++，设nna b n=． （Ⅰ）求证：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()12(4)32(4)n nn b n a nc n +⎧≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）人最宝贵的是生命，然而有时候最不善待生命的恰恰是人类自己，在交通运输业 发展迅猛的今天，由于不懂得交通法规，以及人们的交通安全观念和自我保护意识还没有跟上时代的步伐， 那些在交通复杂多变的地方而引发的交通事故也是接连不断．为了警示市民，某市对近三年内某多发事故 路口在每天6:00~22:00时间段内发生的480次事故中随机抽取100次进行调研，数据按事发时间分成8 组：[)[)[)[)6,8,8,10,,18,20,20,22（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m 的值，并根据频率分布直方图估计这480次交通事故发生在时间段[)6,8与[)18,20的次数；（Ⅱ）在抽出的100次交通事故中按时间段采用分层抽样的方法抽取10次进行个案分析，再从这10次交通事故中选取3次交通事故作重点专题研究．记这3次交通事故中发生时间在[)6,8与[)18,20的次数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为3的正方形，且1tan 6DCD ∠= 113AA DD AB AE AG DF===．（Ⅰ）求证：平面EFG ∥平面1BD C ； （Ⅱ）求二面角1E BD D --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：221(04)4x y t t+=<<的左焦点为F ，设,M N 是椭圆E 的两个短 轴端点，A 是椭圆E 的长轴左端点．（Ⅰ）当1t =时，设点(,2)(0)P m m -≠，直线PN 交椭圆E 于Q ，且直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值；（Ⅱ）当3t =时，若经过F 的直线l 与椭圆E 交于D C ,两点，O 为坐标原点，求OAD △与OAC △的面积之差的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()2()1e ()xf x mx x m =--∈R ．（Ⅰ）当12m ≤时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当()0,x ∈+∞，且10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求证：()()322210f x mx x m x '++--<．请考生在第22,23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为1212x a y a αα⎧=--⎪⎨=+-⎪⎩（α为参数，2a <）．（Ⅰ）当2a =-时，若曲线C 上存在,A B 两点关于点(0,2)M 成中心对称，求直线AB 的参数方程； （Ⅱ）在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为sin()204ρθπ+=的直线l 与曲线C 相交于,C D 两点，若||4CD =，求实数a 的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式|1|||x m x ++≥()m ∈R 对任意实数x ∈R 恒成立． （Ⅰ）求实数m 的最小值t ；（Ⅱ）若,,a b c ∈R ＋，且满足abc t =，求证：+≤++．。
吉林省长春市2017届高三数学质量监测试题(四)理(扫描版)
吉林省长春市2017届高三数学质量监测试题（四）理（扫描版）长春市普通高中2017届高三质量监测（四） 数学（理科)参考答案与评分标准一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分）1。
A 2. B3. B4. A5。
D6. C7. D 8. B9。
D10. B 11。
A12。
A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.【试题解析】A 由21i =-可知，原式110i i =--+=. 故选A. 2. 【命题意图】本题考查集合交、补运算。
【试题解析】B 由{|24}A x x x =<->或，{|4}B x x =<， 故(){|4}AB x x =>R 。
故选B 。
3. 【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质.【试题解析】B 根据分段函数的()f x 的图像可知，该函数的值域为(1,)-+∞. 故选B.4. 【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念。
【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A. 5. 【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.【试题解析】D 运行算法可获得结果24，故选D.6. 【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质.【试题解析】C 由()cos 2sin 2)4f x x x x π=-=+，则())))2842F x x x x πππ=++=+=。
故选C 。
7. 【命题意图】本题考查三视图。
【试题解析】D 由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图，再求得该几何体的表面积为：1111224442222S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+故选D 。
8. 【命题意图】本题考查二项式相关问题.【试题解析】B 102()2x -的展开式中773102(()2C x -= 故选B 。
9. 【命题意图】本题主要考查正态分布的相关知识。
【试题解析】D0.6826(6 6.8)0.34132P x <==≤。
吉林省2017届高三数学第二次模拟考试试题 理
吉林省2017届高三数学第二次模拟考试试题 理第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若集合{}3log 22＜x x P ≤=，{}8,,6,4,2=Q ,则＝Q P ⋂ A.{}2 B.{}4,2 C 。
{}6,4 D 。
{}8,6,4 2.在复平面内，复数13+-i i（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第四象限 B 。
第三象限 C. 第二象限 D 。
第一象限 3.设3log ,23,2log 7755=⎪⎭⎫ ⎝⎛==c b a ，则,,a b c 的大小关系是 A ． b a c >> B ．a c b >> C ． b c a >> D ．a b c >>4。
已知p ：函数2()1f x x mx =++与x 轴有两个交点；q ：x R ∀∈, 244(2)10x m x +-+>恒成立．若q p ∨为真，则实数m 的取值范围为A ． (2,3)B ． (,1](2,)-∞+∞C ． (,2)[3,)-∞-+∞D ．),1()2,(+∞⋃--∞ 5．下列命题正确的是A ．命题：“若3x =,则2230x x --=” 的否命题是：“若3=x ，则2230x x --≠”. B. 命题: “x ∃∈R ，使得210x -<"的否定是： “x ∀∈R ，均有210x -<"。
C 。
命题：“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题. D. 命题：“若cos cos x y =,则x y =”的逆否命题是假命题.6. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=)1(,)1(,13)(2x x ax x x f x,若a f f 3))0((=,则实数a 等于A ．12B ．4C ．2D ．97．若函数x x a x x f +-=2323)(在区间)2,1(上单调递减，则实数a 的取值范围为 A 。
2017届吉林省长春市普通高中高三质量监测(三)理科数学试题及答案
长春市普通高中2017届高三质量监测（三）数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A B =A. [1,0]-B. [1,2]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞+∞ 2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=A. 1i +B. 1i -C. 1i --D. 1i -+ 3. 已知1,==ab ，且()⊥-a a b ，则向量a 与向量b 的夹角为A. 6π B. 4π C. 3π D. 23π4. 已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为A. 12B. 1 5. 已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是A. 25B. 35C. 12D. 3106. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是A. 6n =B. 6n <C. 6n ≤D. 8n ≤7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. 323B. 64D. 6438. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥，则2x y +的最大值是A. 2B. 8C. 14D. 16 9.已知直线1)y x =-与抛物线:C x y 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅，则=mA.B.2C. 21 D. 010. 对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M函数：(i) 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；(ii) 当12120,0,1x x x x +≥≥≤时，总有1212()()()f x f x f x x ++≥成立. 则下列四个函数中不．是M 函数的个数是 ① 2()f x x = ② 2()1f x x =+③ 2()ln(1)f x x =+ ④ ()21x f x =- A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数y 的图象交于点P ，若函数y =的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是A.12B.22C.12D. 3212. 若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax e e +---++≤恒成立，则实数a 的最大值是A. 14B. 1C. 2D. 12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.函数1sin 2y x x =+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________. 14.61()2x x-的展开式中常数项为__________. 15.已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(1)0f =，则不等式(2)f x -≥的解集是__________.16. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是 . 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-2()n ≥.⑴ 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；⑵ 证明：当2n ≥时，1231113 (232)nSS S S n ++++<. 18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD是菱形，∠DAB ＝60，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点,E F分别为AB 和PD 中点.⑴ 求证：直线AF //平面PEC ； ⑵ 求PC 与平面PAB 所成角的正弦值. 19.(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进⑴ 从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；⑵ 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X 和Y ，试求X 和Y 的分布列和数学期望. 20.(本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)，且离心率为2.⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 证明：过椭圆1C :22221(0)x y m n m n +=>>上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ymn+=； ⑶ 从圆2216x y +=上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为,A B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M、N 两点时，求MN 的最小值. 21.(本小题满分12分)定义在R 上的函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x e x f x -'=⋅+-，21()()(1)24x g x f x a x a =-+-+.⑴ 求函数()f x 的解析式； ⑵ 求函数()g x 的单调区间；⑶ 如果s 、t 、r 满足||||s r t r --≤，那么称s 比t 更靠近r . 当2a ≥且1x ≥时，试比较e x和1x e a -+哪个更靠近ln x ，并说明理由.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. (本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图所示，AB 为圆O 的直径，CB ，CD 为圆O的切线，B ，D 为切点.⑴ 求证：OC AD //；⑵ 若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.23. (本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）.⑴ 以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；⑵ 已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲⑴已知,a b都是正数，且a b≠，求证：3322a b a b ab+>+；⑵已知,,a b c都是正数，求证：222222a b b c c aabca b c++++≥.长春市普通高中2017届高三质量监测（三）数学(理科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. C2. A3. B4. C5. B6.C7. D 8. C 9. B 10. A 11. A 12. D. 简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题. 【试题解析】C ∵[0,2]B =，∴A B = [0,1]，故选C.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是复数的除法和平方运算，对考生的运算求解能力有一定要求. 【试题解析】A ∵1z i =+，∴i i i i i+=+-=+++121)1(122，故选A.3. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的的位置关系以及平面向量的数量积运算，特别突出对平面向量运算律的考查，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.【试题解析】B ∵()⊥-a a b ，∴2()0⋅-=-⋅=a a b a a b ，∴2⋅=a b a ，∵1,==a b 2cos ,||||||||⋅<>===a b a a b a b a b ，∴向量a 与向量b 的夹角为4π，故选B.4. 【命题意图】本小题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积的求法，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C ∵222a b c bc =+-，∴1cos 2A =，∴3A π=，又4bc =，∴ABC ∆的面积为1sin 2bc A =C.5. 【命题意图】本小题通过一次函数的单调性和系数的关系，考查古典概型的理解和应用，是一道综合创新题.【试题解析】B ∵2()(2)f x a x b =-+为增函数，∴22a ->0， 又{}2,0,1,3,4a ∈-，∴{}2,3,4a ∈-，又{}1,2b ∈，∴函数2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是35，故选B.6. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析. 【试题解析】C ∵1111124612++=，因此应选择6n =时满足，而8n =时不满足的条件∴6n ≤，故选C.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4， ∴其体积为643，故选D.8. 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C 根据线性规划的方法可求得最优解为点)6,2(，此时2x y +的值等于14，故选C.9. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质. 本题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求，而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求.【试题解析】B)2,21(),22,2(-B A ，∵),1(m M -，且0=⋅，∴01=+m m 22-22，解得2m =B.10. 【命题意图】本小题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图像的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A (i)在[0,1]上，四个函数都满足；(ii)12120,0,1x x x x ≥≥+≤；对于①，0222≥=+-+=+-+21212212121)()()]()([)(x x x x x x x f x f x x f ，满足； 对于②，22212121212()[()()][()1][(1)(1)]f x x f x f x x x x x +-+=++-+++02<-=121x x ，不满足.对于③，)]1ln()1[ln(]1)ln[()]()([)(212212121+++-++=+-+22x x x x x f x f x x f112ln)1)(1(1)(ln)]1)(1ln[(]1)ln[(212212122212122121221++++++=++++=++-++=2222222x x x x x x x x x x x x x x x x而12120,0,1x x x x ≥≥∴≥+≥∴41≤21xx ，∴212121x x x x x x 24122≤≤， ∴1222≥++++++11221221212221x x x x x x x x ，∴0222≥++++++112ln21221212221x x x x x x x x ，满足；对于④，)121()]()([)(21212121-+--=+-++x x xx x f x f x x f 21)-(20222≥--=+--=)12)(12(12212121x x x x x x ，满足；故选A.11. 【命题意图】本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求. 【试题解析】A 设),(00x xP，又∵在点P 处的切线过双曲线左焦点)0,1(-F ，0=解得01x =，∴(1,1)P ，因此152,22-==a c ，故双曲线的离心率是215+，故选A ；12. 【命题意图】本小题主要考查基本不等式的应用，以及利用导数求取函数最值的基本方法，本题作为选择的压轴题，属于较难题，对学生的运算求解能力和推理论证能力提出一定要求. 【试题解析】D 因为)1(22)(22222+≥++=++------+x y y x y x y x e e e e e e ，再由,4)1(22ax ex ≥+-可有x e a x 212-+≤，令x e x g x 21)(-+=，则22(1)1()x e x g x x---'=，可得(2)0g '=，且在),2(+∞上()0g x '>，在)2,0[上()0g x '<，故)(x g 的最小值为1)2(=g ，于是,12≤a 即21≤a ，故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. [0,]6π 14. 52- 15. (,1][3,)-∞+∞ 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本小题主要考查辅助角公式的应用以及三角函数单调区间的求取，属于基本试题.【试题解析】∵1sin sin()23y x x x π==+，∴函数的增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈，又[0,]2x π∈，∴增区间为[0,]6π. 14. 【命题意图】本小题是二项式定理的简单应用，求取二项展开式中某项的系数是考生的一项基本技能. 【试题解析】∵61()2x x -的通项为k kk k k k k x x x T C C 2--+-=-=66661)21()21(，令026=-k ，∴3=k ，故展开式中常数项为52-；15. 【命题意图】本小题主要考偶函数的性质以及函数图像的平移变换等，同时对考生的数形结合思想.【试题解析】由已知21x -≥或21x -≤-，∴解集是(,1][3,)-∞+∞ .16. 【命题意图】本小题通过对球的内接几何体的特征考查三角函数的计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题. 【试题解析】如图，右侧为该球过SA 和球心的截面，由于三角形ABC 为正三角形，所以D 为BC 中点，且BC BC BC ⊥⊥⊥MD SD AD ,,，故βα=∠=∠MDA SDA ,. 设P ABC 平面SM = ，则点P 为三角形ABC 的重心，且点P 在AD 上，a ==AB ，2R SM∴236AD a PA a PD a ===，，，因此 222tan tan tan()1tan tan 1SP MP PD SM PD SM PD PD SP MP PD SP MP PD PA PD PDαβαβαβ++⋅⋅+====--⋅--⋅2226.123RR a a ⋅==- 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查有关于数列的基础知识，其中包括数列基本量的求取，数列前n 项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题，虽存在着一定的难度，但是与高考考查目标相配合，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列.(6分)（2）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，121n S n ∴=- ∴当2n ≥时，11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=----- 从而123111111111313...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<- .(12分) 18. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、线面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：（1）证明：作FM ∥CD交PC于M .∵点F 为PD 中点，∴CD FM21=. 形，∴FM AB AE ==21，∴AEMF 为平行四边∴AF ∥EM ，∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面， ∴直线AF //平面PEC. (6分)（2）60DAB ∠= ，DE DC ∴⊥ 如图所示，建立坐标系，则 P (0，0，1)，C (0，1，0)， E(20，0)，A(2，12-，0)，1(,0)22B∴1(,1)22AP =- ，()0,1,0AB = .设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =.∵0n AB ⋅= ，0n AP ⋅=，∴1020y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取1x =，则2z =，∴平面PAB的一个法向量为2n =.∵(0,1,1)PC =-，∴设向量n PC θ 与所成角为，∴cos n PCn PCθ⋅===∴PC平面PAB(12分)19.【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法. 本题主要考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：（1）两个班数据的平均值都为7，（2）X可能取0，1，2211(0)525P X==⨯=，31211(1)52522P X==⨯+⨯=，313(2)5210P X==⨯=，所以X 分布列为：6分 数学期望11311012521010EX =⨯+⨯+⨯= 8分Y可能取0，1，2313(0)5525P Y ==⨯=，342114(1)555525P Y ==⨯+⨯=，248(2)5525P Y ==⨯=，所以Y10分 数学期望314860122525255EY =⨯+⨯+⨯=. 12分20. 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中最值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：（1）1b = ，c e a=， 2,1a b ∴==，∴椭圆C 方程为2214x y +=.2分（2）法一：椭圆1C :22221x y m n +=，当0y >时，y =故2nx y m'=-∴当00y >时，2000222001x nn n k x x y mm m y n =-=-=-⋅. 4分切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=，00221x x y ym n+=. 6分 同理可证，00y <时，切线方程也为00221x x y ym n +=. 当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y ym n+=. 综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=. 7分法二：. 当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：22221x y m ny kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，①由题可得：42222222244()()0m k t m n m k t n ∆=-+-=， 4分 化简可得：2222t m k n =+，① 式只有一个根，记作0x ，220222m kt m kx n m k t=-=-+，0x 为切点的横坐标，切点的纵坐标200n y kx t t=+=，所以2020x m k y n =-，所以202n x k m y =-，所以切线方程为：2000020()()n x y y k x x x x m y -=-=--，化简得：00221x x y ymn+=. 6分当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y ymn+=， 综上：22221x y m n+=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y y m n +=. 7分（3）设点P (,)p p x y 为圆2216x y +=上一点，,PA PB 是椭圆2214x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的椭圆的切线为1114x x y y +=，过点B 的椭圆的切线为2214x x y y +=.两切线都过P 点，12121,144p p p p x x x x y y y y ∴+=+=.∴切点弦AB 所在直线方程为14p p xx yy +=.9分1(0)p M y ∴，，4(,0)pN x ，2222222161161=16p pp p p p x y MN x y x y ⎛⎫+∴=++⋅⎪ ⎪⎝⎭22221125=171617161616p p p p x y y x ⎛⎛⎫ ++⋅≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝. 当且仅当222216p p ppx y y x =，即226416,55P P x y ==时取等，54MN ∴≥，MN ∴的最小值为54. 12分21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：（1）22'()'(1)22(0)x f x f e x f -=+-，所以'(1)'(1)22(0)f f f =+-，即(0)1f =. 又2(1)(0)2f f e -'=⋅， 所以2'(1)2f e =，所以22()2x f x e x x =+-. 4分 （2）22()2x f x e x x =-+ ，222111()()(1)(1)(1)2444x x x g x f x a x a e x x x a x a e a x ∴=-+-+=+--+-+=-- ()x g x e a '∴=-. 5分①当0a ≤时，()0g x '>，函数()f x 在R 上单调递增； 6分②当0a >时，由()0x g x e a '=-=得ln x a =，∴(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<， ()g x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.综上，当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时， 函数()g x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞. 8分（3）解：设1()ln ,()ln x e p x x q x e a x x-=-=+-，21'()0e p x x x=--<，∴()p x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，又()0p e =， ∴当1x e ≤≤时，()0p x ≥，当x e >时，()0p x <. 11'()x q x e x -=-，121''()0x q x e x-=+>， ∴'()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，又'(1)0q =，∴[1,)x ∈+∞时，'()0q x ≥，∴()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数， ∴()(1)20q x q a ≥=+>.①当1x e ≤≤时，1|()||()|()()x e p x q x p x q x e a x--=-=--，设1()x e m x e a x -=--，则12'()0x em x e x-=--<， ∴()m x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴()(1)1m x m e a ≤=--，2a ≥，∴()0m x <，∴|()||()|p x q x <，∴e x比1x e a -+更靠近ln x .②当x e >时，11|()||()|()()2ln 2ln x x e p x q x p x q x x e a x e a x---=--=-+--<--， 设1()2ln x n x x e a -=--，则12'()x n x e x-=-，122''()0x n x e x-=--<，∴'()n x 在x e >时为减函数，∴12'()'()0e n x n e e e-<=-<， ∴()n x 在x e >时为减函数，∴1()()20e n x n e a e -<=--<， ∴|()||()|p x q x <，∴e x比1x e a -+更靠近ln x .综上：在2,1a x ≥≥时，e x比1x e a -+更靠近ln x . 12分22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴， 又AB 为直径，DB AD ⊥∴，∴//AD OC .5分(2)由//AD OC ，DAB COB ∴∠=∠，BAD Rt ∆∴∽Rt COB ∆，AD ABOB OC=，∴8AD OC AB OB ⋅=⋅=. 10分23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x . 2分∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ.5分（2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为2|9sin 2cos 2|+-=θθd 7分ABM∆的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S所以ABM ∆面积的最大值为229+10分24. 【命题意图】本小题主要考查不等式证明的相关知识，具体涉及到利用比较法等证明方法. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：（1）证明：33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-. 因为,a b 都是正数，所以0a b +>. 又因为a b ≠，所以2()0a b ->.于是2()()0a b a b +->,即3322()()0a b a b ab +-+>所以3322a b a b ab +>+； 5分 （2）证明：因为2222,0b c bc a +≥≥，所以2222()2a b c a bc +≥. ① 同理2222()2b a c ab c +≥. ② 2222()2c a b abc +≥. ③ ①②③相加得2222222222()222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++从而222222()a b b c c a abc a b c ++≥++.由,,a b c 都是正数，得0a b c ++>，因此222222a b b c c a abc a b c++≥++. 10分。
2017长春二模3月数学理科
2017长春二模3月数学理科长春市普通高中2017届高三质量监测（二） 数学理科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知集合{01,2}A =，，{|2,}xB y y x A ==∈则A B =I A. {0,1,2} B. {1,2}C . {}1,2,4 D. {}1,42. 已知复数=1z i +，则下列命题中正确的个数为① ||2z =；② 1z i =- ；③ z 的虚部为i ；④ z 在复平面上对应点在第一象限. A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A. xxy e e -=+ B. ln(||1)y x =+ C. sin ||x y x = D. 1y x x=- 4. 圆22(2)4x y -+=关于直线33y x =对称的圆的方程是A. 22(3)(1)4x y +-= B.22(2)(2)4x y += C. 22(2)4x y +-= D. 22(1)(3)4x y -+=5. 堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈 = 十尺）. 答案是A. 25500立方尺B. 34300立方尺C. 46500立方尺D. 48100立方尺6.在 △ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且1132AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则BCD ABDSS ∆∆= A. 16 B. 13 C. 12 D. 237.运行如图所示的程序框图，则输出结果为A. 1008B. 1009C. 2016D. 2017 8. 关于函数2sin(3)14y x π=++，下列叙述有误．．的是 A.其图象关于直线4x π=-对称 B.其图象可由2sin()14y x π=++图象上所有点的横坐标变为原来的13倍得到 C.其图象关于点11(,0)12π对称 D. 其值域是[1,3]-是否开1,0k s == 2017?k ≥1k k =+输结(1)k s s k=+-⋅俯视侧视正视9. 右图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是 A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B.深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D.平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门10. 如图，扇形AOB 的圆心角为120︒，点P 在弦AB 上，且13AP AB =，延长OP 交弧AB 于C .现向扇形AOB 内投点，则该点落在扇形AOC 内的概率为A. 14B. 13C. 27D. 3811. 双曲线C 的渐近线方程为23y x =，一个焦点为(0,7)F ，涨幅10.00% 7.50%价格广州 深圳 北京 杭州 上海 天津 重庆 西安 南京 厦门 成都 武汉12城市春运往返3000元 2250点2,0)A ,点P 为双曲线第一象限内的点，则当P 点位置变化时，PAF ∆周长的最小值为A. 8B. 10C. 437+ D . 3317+12. 已知定义域为R 的函数()f x 的图象经过点(1,1)，且对x ∀∈R ，都有()2f x '>-，则不等式22(log |31|)3log |31|xxf -<--的解集为A. (,0)(0,1)-∞UB. (0,)+∞C. (1,0)(0,3)-UD. (,1)-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 11()ex dx x+=⎰___________.14. 将1,2,3,4,…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是___________.15. 某班主任准备请2016届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有______种.（用数字作答）16. 已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ,PE BC ⊥于E ，1EC =，6AB =，3BC =，2PE =，则四棱锥P ABCD -外接球半径为___________.…9 8 7 6 5 4 3 2 1三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）已知数列{}na 满足132a =，131()n n a a n N ++=-∈.(1)若数列{}n b 满足12nn ba =-，求证：{}nb 是等比数列；(2) 若数列{}nc 满足3log nnca =，12+nnT c c c =++…，求证：(1)2nn n T->.18. （本小题满分12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.77314973311519640167554175888018126679552190034589966320223抗倒伏易倒伏(1) 完成2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？ (2)（i ）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X,求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii ）若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P k kK ≥(22()()()()()n ad bc a b c d a c b d -K =++++,其中n a b c d =+++ )19. （本小题满分12分）已知三棱锥A BCD -中，△ABC 是等腰直角三角形，且AC ⊥BC ，2BC =，AD ⊥平面BCD ，1AD =.（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若E 为AB 中点，求二面角A CE D --的余弦值. 20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)ypx p =>与直线240x +=相切.(1)求该抛物线的方程;(2)在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，使得2211||||AMBM +为定值.如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由. 21. （本小题满分12分） 已知函数21()(1)ln ,2f x xa x a x a =+--∈R.A CD EB（1）若()f x 存在极值点为1，求a 的值； （2）若()f x 存在两个不同零点12,x x ，求证：122x x+>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为22(3sin )12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，(0,)2πα∈）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）设曲线2C 与曲线1C 的交点为,A B ，(1,0)P ，当7||||2PA PB +=时，求cos α的值.23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲. (1) 如果关于x 的不等式|1||5|x x m ++-≤的解集不是空集，求m 的取值范围；(2) 若,a b 均为正数，求证：a bb aa b ab≥.长春市普通高中2017届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.【试题解析】B题意可知，{}A B=I. 故选1,2B=，{}1,2,4B.2. C【命题意图】本题考查复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系.【试题解析】C 由已知，①②④正确，③错误.故选C.3. D【命题意图】本题考查函数的单调性与奇偶性知识. 【试题解析】D A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在(0,)+∞上不是单调递增函数.故选D.4. D 【命题意图】本题考查直线与圆的相关知识.【试题解析】D圆22x y的圆心关于直线33=y x对-+=(2)4称的坐标为3)，从而所求圆的方程为22-+=x y.故选(1)(3)4D.5.C【命题意图】本题主要考查空间几何体的体积.【试题解析】C 由已知，堑堵的体积为1201862546500⨯⨯⨯=.2故选C.6. B【命题意图】本题主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题.【试题解析】B由已知，点D在AB边的中位线上，且为靠近BC 边的三等分点处，从而有12ABDABC SS ∆∆=，13ACDABC SS ∆∆=，111(1)236BCD ABC ABCS S S ∆∆∆=--=，有13BCD ABDSS∆∆=.故选B.7. A 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算. 【试题解析】A 有已知，01234201520161008=-+-++-+=L S .故选A.8. C 【命题意图】本题考查三角函数的有关性质.【试题解析】C 由已知，该函数图象关于点11(,1)12π对称.故选C.9. D 【命题意图】本题主要考查考试对统计图表的识别. 【试题解析】D 由图可知D 错误.故选D. 10. A 【命题意图】本题主要考查几何概型.【试题解析】A 设3=OA ，则33,3==AB AP 由余弦定理可求得3=OP 有30∠=︒AOP ，所以扇形AOC 的面积为34π，扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为31434ππ=.故选A.11. B 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识. 【试题解析】B 由已知双曲线方程为22143-=y x ，设双曲线的上焦点为'F ，则||||4'=+PF PF ，△PAF 的周长为||||||||4||3'++=+++PF PA AF PF PA ，当P 点在第一象限时，||||'+PF PA 的最小值为||3'=AF ，故△PAF 的周长的最小值为10.故选B. 12. A 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为22(log |31|)3log |31|-<--xxf 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<xxf ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而|31|2-<x，解得1,<x 且0≠x . 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 212+e 【命题意图】本题考查定积分的求解.【试题解析】22211111()(ln )12222++=+=+-=⎰eex e e x dx x x .14. 91【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.【试题解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.15. 1080【命题意图】本题考查排列组合综合问题. 【试题解析】若甲乙同时参加，有2226222120=C A A 种，若甲乙有一人参与，有134264960=C C A 种，从而总共的发言顺序有1080种. 16. 2【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题.【试题解析】如图，由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为1O ，由正弦定理可求出三角形PBC 10，F 为BC边中点，进而求出112=O F ，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为221()42+=BD O F ，所以四棱锥外接球半径为2.三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查等比数列及利用不等式性质证明与数列前n 项和有关的不等式.【试题解析】(1) 由题可知*1113()()22N +-=-∈n na a n ，从而有OO 1F E PD B13+=n nb b ，11112=-=b a ，所以{}nb 是以1为首项，3为公比的等比数列. （6分）(2) 由(1)知13-=n nb ，从而1132-=+n na，11331log (3)log 312--=+>=-n n ncn ，有12(1)01212-=+++>+++-=L L nn n n Tc c c n ，所以(1)2->n n n T .（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据做出22⨯列联表如下：抗倒伏 易倒伏 合计 矮茎 15 4 19 高茎 10 16 26 合计 252045经计算7.287 6.635k ≈>，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关. （4分）(2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4株，则X的可能取值为0,1,2,3,4.416420(0)C P X C ==，13416420(1)C C P X C ⋅==，22416420(2)C C P X C ⋅==，31416420(3)C CP X C ==，44420(4)C P X C ==即X 的分布列为：X 0 12 3 4P416420C C13416420C C C ⋅22416420C C C ⋅31416420C C C44420C C(ii) 在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占25，即每次取出高茎玉米的概率均为25，设取出高茎玉米的株数为ξ，则2~(50,)5B ξ，即250205E np ξ==⨯=，23(1)501255D np p ξ=-=⨯⨯=. （12分） 19.(本小题满分12分)【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求二面角问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】（1）证明：因为AD ⊥平面,BCD ⊂BC 平面BCD ，所以⊥AD BC ，又因为,⊥=I AC BC AC AD A ，所以⊥BC 平面,ACD ⊂BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD . （6分）（2）由已知可得3=CD 如图所示建立空间直角坐标系，由已知(0,0,0)C ，(0,2,0)B ，(3,0,1)A ，3,0,0)D ，31)2E .有31)2=u u u r CE ，3,0,1)=u u u r CA ，3,0,0)=u u u rCD ，设平面ACE的法向量(,,)=rn x y z ，有300,310022⎧+=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩r u u u r r u u u r x z n CA n CE x y z ，令1=x ，得(1,0,3)=rn ，设平面CED 的法向量(,,)=u rm x y z ，有300,31002⎧=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u r u u u r u r u u u r x m CD m CE x y z ，令1=y ，得(0,1,2)m =-u r，二面角--A CE D 的余弦值||2315cos 5||||25n m n m θ⋅===⋅r u r r u r .（12分）20.(本小题满分12分)zyxA BCDE【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 联立方程有，22402⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y px，有22280-+=y p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4∆=-==p p p ，所以28=y x . （4分）(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m ，有28=+⎧⎨=⎩x ty my x，2880--=y ty m ，设1122(,),(,)A x y B x y ，有12128,8+==-y y t y y m ，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM xm y t y =-+=+， 222122222222222212121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t mAM BM t y t y t y y t m +++=+==++++，当4=m 时，2211||||AM BM +为定值，所以(4,0)M . （12分）21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1) ()1'=+--a f x x a x ，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a .（4分）(2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意；②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ， 当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数，当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为减函数，所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点12,x x ，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<a a a a a整理得1ln 12>-a a ， 作()=y f x 关于直线=x a 的对称曲线()(2)=-g x f a x ， 令2()()()(2)()22ln -=-=--=--a x h x g x f x f a x f x a x a x222222()220(2)()a a h x a x x x a a '=-+=-+≥---+所以()h x 在(0,2)a 上单调递增，不妨设12<<x a x ，则2()()0h x h a >=，即2221()(2)()()=->=g x f a x f x f x ，又因为212(0,),(0,),-∈∈a x a x a 且()f x 在(0,)a 上为减函数，故212-<a x x ，即122+>x x a ，又1ln 12>-a a ，易知1>a 成立，故122+>x x .（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 由22(3sin )12ρθ+=得22143+=x y ，该曲线为椭圆. （5分）（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22143+=x y 得22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，由直线参数方程的几何意义，设12||||,||||==PA t PB t ，1226cos ,4cos t tαα-+=-12294cos t t α-=-，所以21212122127||||||()44cos 2PA PB t t t t t t α+=-=+-==-，从而24cos 7α=，由于(0,)2πα∈，所以7cos 7α=. （10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 【试题解析】 (1) 令24,1|1||5|6,1524,5-+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩x x y x x x x x ，可知|1||5|6++-≥x x ，故要使不等式|1||5|++-≤x x m 的解集不是空集，有6≥m . （5分）（2）由,a b 均为正数，则要证≥a bb aa b a b ，只需证1--≥a b b aa b ，整理得()1-≥a b a b ，由于当≥a b 时，0-≥a b ，可得()1-≥a bab，当<a b 时，0-<a b ，可得()1->a bab ，可知,a b 均为正数时()1-≥a bab ，当且仅当=a b时等号成立，从而≥a bb aa ba b 成立. （10分）。
2017年吉林省吉林市高考数学三模试卷(理科)
2017年吉林省吉林市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|x＞p}，若（∁U A）∩B=∅，则p应该满足的条件是（）A．p＞1 B．p≥1 C．p＜1 D．p≤12．（5分）已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）已知向量=（x，2），=（2，1），=（3，x），若∥，则•=（）A．4 B．8 C．12 D．204．（5分）已知点F（2，0）是双曲线3x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．45．（5分）的展开式中，各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若=32，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．（5分）给出下列几个命题：①命题p：任意x∈R，都有cosx≤1，则￢p：存在x0∈R，使得cosx0≤1②命题“若a＞2且b＞2，则a+b＞4且ab＞4”的逆命题为假命题③空间任意一点O和三点A，B，C，则=3=2是A，B，C三点共线的充分不必要条件④线性回归方程y=bx+a对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个其中不正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A．3对 B．2对 C．1对 D．0对8．（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（）A．B．C．D．9．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n，a n+1=，若S3=10，则S180=（）A．600或900 B．900或560 C．900 D．60012．（5分）定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意x∈D，都有|f （x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）在区间D上可被g（x）替代，D称为“替代区间”．给出以下问题：①f（x）=x2+1在区间（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2+替代；②如果f（x）=lnx在区间[1，e]可被g（x）=x﹣b替代，则﹣2≤b≤2；③设f（x）=lg（ax2+x）（x∈D1），g（x）=sinx（x∈D1），则存在实数a（a≠0）及区间D1，D2，使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代．其中真命题是（）A．①②③B．②③C．①D．①②二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．（5分）设x，y满足不等式组，则z=﹣2x+y的最小值为．14．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a7=，则a4+a6+a8=．15．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为2，则正视图的面积=．16．（5分）已知A，B 是椭圆+=1和双曲线﹣=1的公共顶点，其中a＞b＞0，P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P，M都异于A，B），且满足+=λ（+）（λ∈R），设直线AP，BP，AM，BM的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若k1+k2=，则k3+k4=．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=cos2x+2sin2x+2sinx．（Ⅰ）将函数f（2x ）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若x∈[，]，求函数g（x）的值域；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足f（A）=+1，A∈（0，），a=2，b=2，求△ABC的面积．18．（12分）据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC中点．（Ⅰ）在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置（不要求给出理由）；（Ⅱ）在线段CD上是否存在一点E，使得直线AE与平面ADM所成角的正弦值为，若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A﹣MD﹣C的余弦值．20．（12分）已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，曲线C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段OQ的长；（Ⅱ）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交曲线C于点A和B，交l1于点E，若直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g （x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且两坐标系相同的长度单位．已知点N的极坐标为（，），M是曲线C1：ρ=1上任意一点，点G满足=+，设点G的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）若过点P（2，0）的直线l的参数方程为（t为参数），且直线l 与曲线C2交于A，B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：+≥．2017年吉林省吉林市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017•吉林三模）设全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|x＞p}，若（∁U A）∩B=∅，则p应该满足的条件是（）A．p＞1 B．p≥1 C．p＜1 D．p≤1【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|x＞p}，∴∁U A={x|x≤1}，又（∁U A）∩B=∅，∴p≥1．故选：B．2．（5分）（2017•吉林三模）已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．C．D．2【解答】解：z==，则|z|=．故选：B．3．（5分）（2017•吉林三模）已知向量=（x，2），=（2，1），=（3，x），若∥，则•=（）A．4 B．8 C．12 D．20【解答】解：根据题意，向量=（x，2），=（2，1），若∥，则有x=2×2=4，即=（4，2），=（3，4），则•=4×3+2×4=20；故选：D．4．（5分）（2017•吉林三模）已知点F（2，0）是双曲线3x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：双曲线3x2﹣my2=3m（m＞0）即为﹣=1，可得a=，b=，c===2，解得m=1，则e===2．故选：C．5．（5分）（2017•吉林三模）的展开式中，各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若=32，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：令x=1，则A=4n，又2n=B，=32，∴=32，解得n=5．故选：A．6．（5分）（2017•吉林三模）给出下列几个命题：①命题p：任意x∈R，都有cosx≤1，则￢p：存在x0∈R，使得cosx0≤1②命题“若a＞2且b＞2，则a+b＞4且ab＞4”的逆命题为假命题③空间任意一点O和三点A，B，C，则=3=2是A，B，C三点共线的充分不必要条件④线性回归方程y=bx+a对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个其中不正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，命题p：任意x∈R，都有cosx≤1，则￢p：存在x0∈R，使得cosx0＞1，故错；对于②，原命题的逆命题：“若a+b＞4且ab＞4“则“a＞2且b＞2”，比如a=1，b=5结论不成立，为假命题，正确；对于③，空间任意一点O和三点A，B，C，若=3=2，则A，B，C三点共线，若A，B，C三点共线时，=3=2不一定成立，故正确；对于④，线性回归方程y=bx+a对应的直线不一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个，故错．故选：B7．（5分）（2017•吉林三模）若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q 都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A．3对 B．2对 C．1对 D．0对【解答】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=（）x（x＞0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=x+1（x≤0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：1．即函数f（x）=的“友好点对”有1个．故选：C．8．（5分）（2017•吉林三模）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：设直角三角形的边长为a，a+1，则a2+（a+1）2=25，a＞0．解得a=3．∴sinθ=，cos．∴sin2θ==．故选：D．9．（5分）（2011•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B10．（5分）（2017•吉林三模）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则9117 用算筹可表示为，故选：C11．（5分）（2017•吉林三模）已知数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n，a n+1=，若S3=10，则S180=（）A．600或900 B．900或560 C．900 D．600【解答】解：（ⅰ）当a1为奇数时，a2=，此时若a2为奇数，则a3==，∴S3=10=a1++，解得a1=5，此时的数列{a n}为5，3，2，5，3，2，…．（ⅱ）当a1为奇数时，a2=，此时若a2为偶数，则a3=3a2﹣1=﹣1，∴S3=10=a1++﹣1，解得a1=3，此时的数列{a n}为3，2，5，3，2，5，…；（ⅲ）当a1为偶数时，a2=3a1﹣1，此时a2为奇数，则a3==，∴S3=10=a1+3a1﹣1+，解得a1=2，此时的数列{a n}为2，5，3，2，5，3，…．上述三种情况数列{a n}均为3周期数列，又60×3=180，∴S180=60×（5+3+2）=600．故选：D．12．（5分）（2017•吉林三模）定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）在区间D上可被g（x）替代，D称为“替代区间”．给出以下问题：①f（x）=x2+1在区间（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2+替代；②如果f（x）=lnx在区间[1，e]可被g（x）=x﹣b替代，则﹣2≤b≤2；③设f（x）=lg（ax2+x）（x∈D1），g（x）=sinx（x∈D1），则存在实数a（a≠0）及区间D1，D2，使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代．其中真命题是（）A．①②③B．②③C．①D．①②【解答】解：在①中，∵f（x）=x2+1，g（x）=x2+，∴对任意x∈（﹣∞，+∞），都有|f（x）﹣g（x）|=|1﹣|=≤1成立，∴f（x）=x2+1在区间（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2+替代，故①正确；在②中，由题意知：|f（x）﹣g（x）|=|lnx﹣x+b|≤1在x∈[1，e]上恒成立；设h（x）=lnx﹣x+b，则h′（x）=，∵x∈[1，e]，∴h′（x）≤0，∴h（x）在[1，e]上单调递减，h（1）=b﹣1，h（e）=1﹣e+b，1﹣e+b≤h（x）≤b﹣1，又﹣1≤h（x）≤1，∴，解得e﹣2≤b≤2，故②错误；在③中，若a＞0，解ax2+x＞0，得x＜﹣或x＞0，可取D1=（0，+∞），D2=R，∴D1∩D2=（0，+∞），可取x=π，则|f（x）﹣g（x）|=aπ2+π，∴不存在实数a（a＞0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；若a＜0，解ax2+x＞0得，x＜0，或x＞﹣，∴可取D1=（﹣∞，0），D2=R，∴D1∩D2=（﹣∞，0），取x=﹣π，则|f（﹣π）﹣g（﹣π）|=|aπ2﹣π|＞1，∴不存在实数a（a＜0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代．综上得，不存在实数a（a≠0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代，故③错误．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．（5分）（2017•吉林三模）设x，y满足不等式组，则z=﹣2x+y的最小值为﹣6．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=﹣2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，则由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（4，2），此时z=﹣2×4+2=﹣6，故答案为：﹣6．14．（5分）（2017•吉林三模）已知等差数列{a n}中，a5+a7=，则a4+a6+a8= 3．【解答】解：∵a5+a7===2=2a6，解得a6=1．则a4+a6+a8=3a6=3．故答案为：3．15．（5分）（2017•吉林三模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为2，则正视图的面积=2．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面BACD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AB=2，BC=1，AD=2，PA⊥底面ABCD．∴=2，解得x=2．∴正视图的面积S==2．故答案为：2．16．（5分）（2017•吉林三模）已知A，B是椭圆+=1和双曲线﹣=1的公共顶点，其中a＞b＞0，P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P，M都异于A，B），且满足+=λ（+）（λ∈R），设直线AP，BP，AM，BM的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若k1+k2=，则k3+k4=﹣．【解答】解：设A（﹣a，0），B（a，0）．设P（x1，y1），M（x2，y2），∵+=λ（+）（λ∈，其中λ∈R，∴（x1+a，y1）+（x1﹣a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2﹣a，y2）]，化为x1y2=x2y1．∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴．由k1+k2=，…①∵…②由①②得==k3+k4=，又∵，∴k3+k4=﹣=﹣．故答案为：﹣三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•吉林三模）已知函数f（x）=cos2x+2sin2x+2sinx．（Ⅰ）将函数f（2x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若x∈[，]，求函数g（x）的值域；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足f（A）=+1，A∈（0，），a=2，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=cos2x+2sin2x+2sinx=cosx2﹣sinx2+2sin2x+2sinx=cosx2+sinx2+2sinx=1+2sinx，即f（2x）=1+2sin2x，∵函数f（2x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，∴，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，，∴g（x）∈[0，3]，所以函数g（x）的值域为[0，3]．（Ⅱ）解：∵，∴；因为，∴．又，，b=2，∴c=4．所以，△ABC面积．18．（12分）（2017•吉林三模）据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05． （Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？ （Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（I ）∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05， ∴=0.05，解得x=60． …（2分）∴持“无所谓”态度的人数共有3600﹣2100﹣120﹣600﹣60=720． …（4分） ∴应在“无所谓”态度抽取720×=72人． …（6分） （Ⅱ）由（I ）知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生为=4人，社会人士为=2人， 于是第一组在校学生人数ξ=1，2，3，…（8分）P （ξ=1）=，P （ξ=2）=，P （ξ=3）=， 即ξ的分布列为：…（10分）∴Eξ=1×+2×+3×=2． …（12分）19．（12分）（2017•吉林三模）已知四棱锥P ﹣ABCD 中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC中点．（Ⅰ）在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置（不要求给出理由）；（Ⅱ）在线段CD上是否存在一点E，使得直线AE与平面ADM所成角的正弦值为，若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A﹣MD﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）过M作MN∥BC，交PB于点N，连接AN，如图，则点N为平面ADM与PB的交点N（在图中画出）由M为PC中点，得N为PB的中点．…（2分）（Ⅱ）因为四棱锥P﹣ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，以A为坐标原点，以直线AB，AD，AP所在直线建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0），M（1，），…（4分）设在线段CD上存在一点E（x，1，0），则…（5分）设直线AE与平面AMD所成角为θ，平面AMD的法向量为，则，即，令z=2，则，…（7分）因为直线AE与平面ADM所成角的正弦值为，所以，所以x=1所以在线段CD上存在中点E，使得直线AE与平面AMD所成角的正弦值为…（8分）（Ⅲ）设平面CMD的法向量，则，即，令z′=﹣1，则y′=﹣1，所以…．…（10分）所以，由图形知二面角A﹣MD﹣C的平面角是钝角，所以二面角A﹣MD﹣C的平面角的余弦值为…..…（12分）20．（12分）（2017•吉林三模）已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，曲线C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段OQ的长；（Ⅱ）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交曲线C于点A和B，交l1于点E，若直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为得，所以n=2，故抛物线方程为y2=2x，P（2，2）…．…（2分）所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为，则..…（4分）故曲线C在点P处的切线斜率，切线方程为：令y=0得x=﹣2，所以点Q（﹣2，0）…（5分）故线段OQ=2…（6分）（Ⅱ）由题意知l1：x=﹣2，因为l2与l1相交，所以m≠0设l2：x=my+b，令x=﹣2，得，故…．…（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去x得：y2﹣2my﹣2b=0则y1+y2=2m，y1y2=﹣2b…..…（9分）直线PA的斜率为，同理直线PB的斜率为，直线PE的斜率为…．…（10分）因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列所以+=2即…..…（11分）因为l2不经过点Q，所以b≠﹣2所以2m﹣b+2=2m，即b=2故l2：x=my+2，即l2恒过定点（2，0）…（12分）21．（12分）（2017•吉林三模）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a ＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g （x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵，∴…（1分）∵a＞2，∴，令f′（x）＞0，即，∵x＞0，∴0＜x＜1或，…（2分）所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），…（3分）（Ⅱ）解法一：当a=4时，所以在点P处的切线方程为…（4分）若函数存在“类对称点”P（x0，f（x0）），则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．…（5分）①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，即当0＜x＜x0时，恒成立，令，则φ（x0）=0，…（7分）要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．又∵，…（8分）∴，即．…（9分）②当x＞x 0时，f（x）＞g（x）恒成立时，．…（10分）∴．…（11分）所以y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（12分）（Ⅱ）解法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（4分）下面加以证明：当时，…（5分）①当时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，令…（7分）∵，∴函数φ（x）在上单调递增，从而当时，恒成立，即当时，f（x）＜g（x）恒成立．…（9分）②同理当时，f（x）＞g（x）恒成立．…（10分）综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（12分）四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•吉林三模）以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且两坐标系相同的长度单位．已知点N的极坐标为（，），M是曲线C1：ρ=1上任意一点，点G满足=+，设点G的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）若过点P（2，0）的直线l的参数方程为（t为参数），且直线l与曲线C2交于A，B两点，求+的值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=1，得x2+y2=1，∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，∵点N的直角坐标为（1，1），设G（x，y），M（x0，y0），又，即（x，y）=（x0，y0）+（1，1），∴，代入，得（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．（Ⅱ）把直线l（t为参数）的方程代入曲线C2的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得，即．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，易知t1＞0，t2＞0，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•吉林三模）已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：+≥．【解答】（I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．∵m∈N*，∴m=1．（II）证明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，∴α+β=2．∴+==≥=，当且仅当α=2β=时取等号．参与本试卷答题和审题的老师有：742048；sxs123；danbo7801；双曲线；沂蒙松；陈远才；zlzhan；wdnah；whgcn；maths；caoqz；lcb001；刘老师（排名不分先后）胡雯2017年4月8日。
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长春市普通高中2017届高三质量监测（二） 数学理科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. 已知集合{01,2}A =，，{|2,}x B y y x A ==∈则A B =A. {0,1,2}B. {1,2}C. {}1,2,4D. {}1,42. 已知复数=1z i +，则下列命题中正确的个数为①||z ；② 1z i =- ；③ z 的虚部为i ；④ z 在复平面上对应点在第一象限. A. 1 B. 2 C. 3D. 43. 下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A. x x y e e -=+ B . ln(||1)y x =+ C. sin ||xy x =D. 1y x x =-4. 圆22(2)4x y -+=关于直线3y x =对称的圆的方程是A. 22((1)4x y +-=B.22((4x y +=C. 22(2)4x y +-=D.22(1)(4x y -+=5. 堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”答案是C. 46500立方尺D. 48100立方尺6.在 △ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且1132AD AB AC =+ ，则BCD ABDSS ∆∆=A. 16B. 13C. 12D. 237.运行如图所示的程序框图，则输出结果为A. B. C. 2016 D. 2017 8. 关于函数2sin(3)14y x π=++，下列叙述有误．．的是 A.其图象关于直线4x π=-对称B.其图象可由2sin()14y x π=++图象上所有点的横坐标变为原来的13倍得到 C.其图象关于点11(,0)12π对称D. 其值域是[1,3]-9. 右图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是 A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B.深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D.平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 10. 如图，扇形AOB 的圆心角为120︒，点P 在弦AB 上，且13AP AB =，延长OP 交弧AB 于C .现向扇形AOB 内投点，则该点落在扇形AOC 内的概率为A.14B.13 C. 27D. 38 11. 双曲线C的渐近线方程为y x =，一个焦点为(0,F，点A ,点P 为双曲线第一象限内的点，则当P 点位置变化时，PAF ∆周长的最小值为A. 8B. 10C.4+D. 3+12. 已知定义域为R 的函数()f x 的图象经过点(1,1)，且对x ∀∈R ，都有()2f x '>-，则不等式2(log |31|)3|31|x x f -<--的解集为 A. (,0)(0,1)-∞ B. (0,)+∞ C. (1,0)(0,3)- D. (,1)-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.11()ex dx x +=⎰___________.14. 将1,2,3,4,…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是___________.2016届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有______种.（用数字作答）16. 已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ,PE BC ⊥于E ，1EC =，AB =，3BC =，2PE =，则四棱锥P ABCD -外接球半径为___________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足132a =，131()n n a a n N ++=-∈. (1)若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；(2) 若数列{}n c 满足3log n n c a =，12+n n T c c c =++…，求证：(1)2n n n T ->. 18. （本小题满分12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.77314973311519640167554175888018126679552190034589966320223抗倒伏易倒伏(1) 完成2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？ (2)（i ）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X,求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii ）若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P k k K ≥( 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d -K =++++,其中n a b c d =+++ )19. （本小题满分12分） 已知三棱锥A BCD -中，△ABC 是等腰直角三角形，且AC ⊥BC ，2BC =，AD ⊥平面BCD ，1AD =.（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若E 为AB 中点，求二面角A CE D --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>与直线40x +=相切. (1)求该抛物线的方程;(2)在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，使得2211||||AM BM +为定值.如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分） 已知函数21()(1)ln ,2f x x a x a x a =+--∈R . （1）若()f x 存在极值点为1，求a 的值；（2）若()f x 存在两个不同零点12,x x ，求证：122x x +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为22(3sin )12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，(0,)2πα∈）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线； （2）设曲线2C 与曲线1C 的交点为,A B ，(1,0)P ，当7||||2PA PB +=时，求cos α的值. 23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.(1) 如果关于x 的不等式|1||5|x x m ++-≤的解集不是空集，求m 的取值范围； (2) 若,a b 均为正数，求证：a bb aa b a b ≥.长春市普通高中2017届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. B 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.【试题解析】B 题意可知，{}1,2,4B =，{}1,2A B = . 故选B.2. C 【命题意图】本题考查复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系.【试题解析】C 由已知，①②④正确，③错误.故选C. 3. D 【命题意图】本题考查函数的单调性与奇偶性知识.【试题解析】D A 、B 选项为偶函数，排除，C 选项是奇函数，但在(0,)+∞上不是单调递增函数.故选D. 4. D 【命题意图】本题考查直线与圆的相关知识.【试题解析】D 圆22(2)4-+=x y的圆心关于直线3=y x对称的坐标为(1，从而所求圆的方程为22(1)(4-+=x y .故选D.5.C 【命题意图】本题主要考查空间几何体的体积.【试题解析】C 由已知，堑堵的体积为12018625465002⨯⨯⨯=. 故选C. 6. B 【命题意图】本题主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题.【试题解析】B 由已知，点D 在AB 边的中位线上，且为靠近BC 边的三等分点处，从而有12ABD ABC S S ∆∆=，13ACD ABC S S ∆∆=，111(1)236BCD ABC ABC S S S ∆∆∆=--=，有13BCD ABD S S ∆∆=.故选B. 7. A 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.【试题解析】A 有已知，01234201520161008=-+-++-+= S .故选A. 8. C 【命题意图】本题考查三角函数的有关性质.【试题解析】C 由已知，该函数图象关于点11(,1)12π对称.故选C. 9. D 【命题意图】本题主要考查考试对统计图表的识别.【试题解析】D 由图可知D 错误.故选D. 10. A 【命题意图】本题主要考查几何概型.【试题解析】A 设3=OA，则==AB AP=OP 30∠=︒AOP ，所以扇形AOC 的面积为34π，扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为31434ππ=.故选A.11. B 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】B 由已知双曲线方程为22143-=y x ，设双曲线的上焦点为'F ，则||||4'=+PF PF ，△PAF 的周长为||||||||4||3'++=+++PF PA AF PF PA ，当P 点在第一象限时，||||'+PF PA 的最小值为||3'=AF ，故△PAF 的周长的最小值为10.故选B.12. A 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f，因为2(log |31|)3|31|-<--x x f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2l o g |31|1-<x ，从而|31|2-<x ，解得1,<x 且0≠x . 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 212+e 【命题意图】本题考查定积分的求解.【试题解析】22211111()(ln )12222++=+=+-=⎰eex e e x dx x x .14. 91【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.【试题解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.15. 1080【命题意图】本题考查排列组合综合问题.【试题解析】若甲乙同时参加，有2226222120=C A A 种，若甲乙有一人参与，有134264960=C C A 种，从而总共的发言顺序有1080种.16. 2【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题.心为1O ，由【试题解析】如图，由已知，设三角形PBC 外接圆圆正弦定理可求出三角形PBC外接圆半径为2，F 为BC边中点，进而求出112=O F ，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为221()42+=BD O F ，所以四棱锥外接球半径为2. 三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查等比数列及利用不等式性质证明与数列前n 项和有关的不等式.【试题解析】(1) 由题可知*1113()()22N +-=-∈n n a a n ，从而有13+=n n b b ，11112=-=b a ，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.（6分）(2) 由(1)知13-=n n b ，从而1132-=+n n a ，11331log (3)log 312--=+>=-n n n c n ，有12(1)01212-=+++>+++-=n n n n T c c c n ，所以(1)2->n n n T .（12分） 18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1)22⨯经计算7.287 6.635k ≈>.（4分）(2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4株，则X 的可能取值为0,1,2,3,4.416420(0)C P X C ==，13416420(1)C C P X C ⋅==，22416420(2)C C P X C ⋅==，31416420(3)C C P X C ==，44420(4)C P X C == 即X(ii) 在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占5，即每次取出高茎玉米的概率均为25，设取出高茎玉米的株数为ξ，则2~(50,)5B ξ，即250205E np ξ==⨯=，23(1)501255D np p ξ=-=⨯⨯=.（12分）19.(本小题满分12分) 【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求二面角问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】（1）证明：因为AD ⊥平面,BCD ⊂BC 平面B C D ，所以⊥AD BC ，又因为,⊥= AC BC AC AD A ，所以⊥BC 平面,ACD ⊂BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD .（6分）（2）由已知可得=CD 如图所示建立空间直角坐标系，由已知(0,0,0)C ，(0,2,0)B ，A ，D ，1(,1,)22E .有1()22= CE ，=CA ，= CD ，设平面ACE的法向量(,,)=n x y z ，有00,10022⎧+=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎩⎩ z n CA n CE x y z ，令1=x ，得(1,0,=n ， 设平面C ED 的法向量(,,)=m x y z ，有00,1002⎧=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ m CD m CE x y z ，令1=y，得(0,1,2m =- ，二面角--A CE D 的余弦值||cos 5||||n m n m θ⋅===⋅ .（12分） x20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1)联立方程有，2402⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y px，有280-+=y p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4∆=-==p p p ，所以28=y x .（4分）(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m ，有28=+⎧⎨=⎩x ty my x，2880--=y ty m ，设1122(,),(,)A x y B x y ，有12128,8+==-y y t y y m ，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+， 222122222222222212121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t mAM BM t y t y t y y t m+++=+==++++， 当4=m 时，2211||||AM BM +为定值，所以(4,0)M . （12分） 21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1) ()1'=+--af x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a .（4分）(2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； ②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ，当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数，当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为减函数， 所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点12,x x ，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<a a a a a整理得1ln 12>-a a ，作()=y f x 关于直线=x a 的对称曲线()(2)=-g x f a x ，令2()()()(2)()22ln -=-=--=--a xh x g x f x f a x f x a x a x222222()220(2)()a a h x a x x x a a '=-+=-+≥---+所以()h x 在(0,2)a 上单调递增，不妨设12<<x a x ，则2()()0h x h a >=，即2221()(2)()()=->=g x f a x f x f x ，又因为212(0,),(0,),-∈∈a x a x a 且()f x 在(0,)a 上为减函数， 故212-<a x x ，即122+>x x a ，又1ln 12>-a a ，易知1>a 成立，故122+>x x .（12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 由22(3sin )12ρθ+=得22143+=x y ，该曲线为椭圆. （5分）（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22143+=x y 得22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，由直线参数方程的几何意义，设12||||,||||==PA t PB t ，1226cos ,4cos t t αα-+=- 12294cos t t α-=-，所以122127||||||4cos 2PA PB t t α+=-==-，从而24cos 7α=，由于(0,)2πα∈，所以cos 7α=. （10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 令24,1|1||5|6,1524,5-+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩x x y x x x x x ，可知|1||5|6++-≥x x ，故要使不等式|1||5|++-≤x x m 的解集不是空集，有6≥m . （5分）（2）由,a b 均为正数，则要证≥a bb aa b a b ，只需证1--≥a b b aab，整理得()1-≥a b ab，由于当≥a b 时，0-≥a b ，可得()1-≥a b a b ，当<a b 时，0-<a b ，可得()1->a b a b ，可知,a b 均为正数时()1-≥a b ab，当且仅当=a b 时等号成立，从而≥a b b aa b a b 成立. （10分）。