简单多面体外接球球心的确定

简单多面体外接球球心的确定

一、知识点总结

1.由球的定义确定球心

⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.

⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.

⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.

⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.

2．构造长方体或正方体确定球心

⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.

⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.

⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.

3.由性质确定球心

利用球心O 与截面圆圆心1O 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.

二、典型例题

1、已知点P 、A B C D 、、、是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边

长为.若PA =，则OAB ∆的面积为多少？

2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为多少？

3、已知正三棱锥P ABC -，点,,,P A B C 的球面上.若,,PA PB PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为多少？

4、三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2SA =，ABC ∆是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为多少？

5、点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==

2AC =，若四面体ABCD 体积的最大值为23

，则这个球的表面积为多少？

6、四面体的三组对棱分别相等，棱长为.

7、正四面体ABCD 外接球的体积为，求该四面体的体积.

8、若底面边长为2的正四棱锥P ABCD -.

9、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98

，底面周长为３，则这个球的体积为 .

10、在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0

DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为 . 11、已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 .

12、已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若

6,AC=213,AD=8AB =，则B 、C 两点间的球面距离是 .

三、几点补充

1、设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。

（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2

a R =； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2

2=。 （3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231=

=。

2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a ，O 也是球心）

内切球半径为： 612

r a = 外接球半径为：a R 46=

图1 图2

图3