大一高等数学教材2-1
高等数学 第二章 极限和导数2-1导数的概念
2. 曲线的切线问题 曲线 点处的切线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 当 时) 割线 M N 的斜率 f ( x ) − f ( x0 ) ta n ϕ = x − x0 切线 MT 的斜率
= lim ta n ϕ = lim
ϕ→ α
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
(1)
存在, 存在 则称函数 f ( x ) 在点 x0 处可导 并称此极限 可导, 处的导数 导数， 值为 y = f (x)在点 x0 处的导数，记作 在
f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆x
f ′ ( x 0 ) = lim
∆ x→ 0
也可记作: 也可记作
y′
x = x0
;
处的导数为无穷大 此时，导数不存在； 在点 x0 处的导数为无穷大 . 此时，导数不存在； 2°在 一 点 的 导 数 是 因 变 量在 点 x 处 的 变 化 率 , ° 0
它 反 映 了 因 变 量 随 自 变 量 的 变 化而 变 化 的 快 慢 程 度.
时刻的瞬时速度 运动质点的位置函数 运动质点的位置函数 s = f ( t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度
LLL
二、导数的概念 内 1. 定义 定义2.1 设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0)内
有定义. 有定义
若
x0 + ∆x ∈ U ( x0 )
∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆y lim = lim f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x → 0 ∆ x ∆x→ 0 ∆x
dy d f (x) ; d x x = x0 d x x = x0
《高数II-1》教学大纲
《高数II-1》教学大纲I先修课程先修课程：《高中数学》II本课程的课时分配情况课时分配：III课程性质、目的和任务《高等II-1》是高等学校网络教育考试最重要的一门必修课。
本课程的特点是理论性强，用处广，是一门重要的基础学科。
设立本门课程的目的是让学生掌握数学中的微积分方法，为学好后续课程打基础。
通过本课程的学习，使学生建立变量的思想，认识到学好函数关系的重要性；使学生对极限的思想和方法有初步认识；使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，为学习其他课程和今后工作的需要，打下必要的基础。
通过各教学环节逐步培养学生具有比较熟练的分析问题和解决问题的能力。
为学习后继课程及今后的专业工作奠定必要的数学基础。
IV本课程的要求和内容第一章函数一、学习要求通过本章的学习，要求理解函数的概念，理解函数的概念，了解分段函数，函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)，复合函数、初等函数的概念、会进行函数的复合与分解；能熟练地求函数的定义域和函数值，六类基本初等函数的解析式、定义域、主要性质和图形；会列简单应用问题的函数关系式。
二、课程内容1.1 集合1.2 实数集1.3 函数关系1.4 函数表示法1.5 建立函数关系的例题1.6 函数的几种简单性质1.7 反函数，复合函数1.8 初等函数(1) 理解函数的概念。
掌握函数的表示法，会求函数的定义域。
(2) 了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。
(3) 了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。
(4) 掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。
第二章极限与连续一、学习要求通过本章的学习，要求理解数列及函数极限的概念，无穷小和无穷大的概念，了解极限的有关性质（惟一性，有界性），函数在一点处极限存在的充分必要条件，高阶、同阶、等价无穷小的概念，复合函数、反函数和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)；掌握极限的四则运算法则，用两个重要极限求极限的方法，连续函数的四则运算法则，会求函数的极限（含左极限、右极限）。
2-1高等数学 A类 课件 完整典藏版(适用于自学、考研)
或 ∀ε > 0, ∃N ∈ N , ∀n > N : xn − a < ε .
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
18/40
注意1： 1） ε（> 0）必须可以任意小。 (ε 的两重性：任意性和相对固定性) 2）N与 ε 有关。 3）若N(ε )存在，则必不唯一。 4）几何解释：
a−ε
2ε
a
a+ε
−3
故取 N = 1000, 则∀n > N , 就有 xn − 1 < ε 2 ;
1 给定 ε 3 = 10 , 要使 xn − 1 = < 10− 4 , 即 n > 104 , n
−4
故取 N = 10 , 则∀n > N , 就有 xn − 1 < ε 3 ;
4
为刻划这个无限的检验 过程，引进一个任意 接近指标，即任意正数 ε > 0(它包括一切需要 检验的接近程度 )，即
4/40
两种关注的数列
1. 有界数列
设数列{ xn }, 若∃M > 0, ∀n ∈ N : xn ≤ M
则称 { xn }为有界数列。
类似地，可分别考虑有 上(下)界数列。
2. 单调数列 设数列{ xn }, 若∀n ∈ N : xn ≤ xn+1 (或xn ≥ xn+1 )
则称 { xn }为单调增(或单调减 )数列。
A1 , A2 , A3 ,
, An ,
S
8/40
2. 求由曲线 y = x , x = 1和 x轴所围成曲边三 y 角形面积S。
2
将[0,1]n等分，每个小区间上
小曲边梯形面积用小矩 形近似 替代，即
k 21 ΔS ≈ ( ) , ( k = 0,1, n n
高等数学1和2的教材一样吗
高等数学1和2的教材一样吗高等数学是大学数学中的重要学科，对于理工科和相关专业的学生来说至关重要。
高等数学主要分为高等数学1和高等数学2两个部分。
那么，高等数学1和2的教材是否完全一样呢？本文将从教材内容和学习目标两个方面来探讨这个问题。
一、教材内容高等数学1和高等数学2的教材内容在很大程度上是相似的。
两个部分都包括了微积分、数学分析、线性代数等基础知识。
它们都强调数学的逻辑性和严谨性，并且都涉及到了数学的基本概念、原理、定理和应用。
具体来说，高等数学1的教材主要包括以下内容：1. 极限与连续2. 导数与微分3. 微分中值定理与导数应用4. 不定积分5. 定积分与积分应用而高等数学2的教材则在高等数学1的基础上进一步拓展和深化了一些内容，主要包括以下部分：1. 广义积分与应用2. 多元函数微分学与应用3. 重积分与应用4. 曲线与曲面积分5. 常微分方程虽然高等数学1和2的教材内容有一些区别，但是整体而言，它们都是建立在基本数学概念与原理之上，并且都旨在培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
二、学习目标高等数学1和高等数学2的学习目标也是相似的。
无论是高等数学1还是高等数学2，都旨在培养学生的数学思维和逻辑推理能力，帮助学生建立起扎实的数学基础。
通过学习这两门课程，学生可以掌握数学的基本概念、原理和定理，并能够运用数学方法解决实际问题。
高等数学1主要着重培养学生的微分学思维和基本的积分学能力，使学生能够理解和运用微积分的基本概念和方法。
而高等数学2则进一步加深学生对多元函数微分学、重积分和曲线曲面积分等内容的理解，并培养学生解决实际问题的能力。
总体来看，高等数学1和高等数学2的教材可能有一些内容上的差异，但它们的学习目标和培养学生的数学思维能力的目的都是相同的。
结论：虽然高等数学1和高等数学2的教材在内容上可能会有所不同，但它们的学习目标和培养学生的数学思维能力的目的是一致的。
因此，我们可以说高等数学1和高等数学2的教材在整体上是相似的，都是为了帮助学生建立起扎实的数学基础，掌握基本的数学概念、原理和方法，以便能够应对后续更深入的数学学习和实际问题的解决。
高等数学2-1
(1) y ( x 1) x2 x 2 不可导点个数（ ）
外：非零点 内：零点
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）y cos x sin 2x 的不可导点是（ ）
（A）
4
（B）
2
外：非零点
（C） （D）3
2
内：零点
③抽象函数求极限 大思路：洛必达法则或导数定义 细节：不能超越题目条件书写符号！
lim
h0
h
存在，其值一定为 f ( x)
双侧 真导数定义！
动点
lim f ( x 2h) f ( x h) 存在，其值未必 f ( x)
h0
h
双侧 假导数定义！
【注解】真假导数的极限有下面关系
真
假
lim f ( x h) f ( x) A
h0
h
lim f ( x 2h) f ( x h) A
【注解1】上述结论的图形解读
纯绝对值
y x a : （书上重点例题）
在 x a 处连续但不可导
( x )（绝对值外）
y (x a) x a :
在 x a 处连续 且可导！
y y xa
oa
x
y
oa
x
【注解2】利用上结论可快速判断某些带
绝对值 函数在 x a 处的可导性。
【练习】
1， 2 2 处不可导！
lim y x0 x
研究 y 的近似计算—— 微分
y ？
幂低
（1）微分定义： 线性主部！ 幂高 若函数增量 y A( x ) x o( x ), 称 y 在 x 处可微。记 dy A( x )x 为微分。即 y dy o(x), y dy
【注解】若 y 是自变量时，
高等数学课件2-1数列的极限
3. 收敛数列的保号性. 若 且 时, 有 证: 对 a > 0 , 取
( 0) , ( 0) .
推论1:
推论2: 若数列从某项起
( 0) . (用反证法证明)
( 0)
推论3: (用反证法证明)
4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 定理: Note: 则判断原数列发散的方法 .
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积S. 依次作圆内接正
设 A n 表示内接正 3 2 边形的面积
n
于是得到一列数
A 0 , A1 , A 2 , A 3
3 2
n1
r sin2Fra bibliotek3 2
n1
当 n 无限增大时,
称数列 A n 以 S 为极限 (当 n 时 )
无限逼近 S
取 N max N1 , N 2 , 则当 n > N 时, x 满足的不等式 n a b ba ba a b ba 3 a b 2 xn b 2 xn n ba a x 3 22 2 2 2
xn
ab 2
例4. 证明数列 证: 用反证法.
1. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且a b.
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时, 从而 xn
n
ab 2
同理, 因 lim x n b ,故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
从而
矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
2. 收敛数列一定有界.
高数大一习题2-1答案
高数大一习题2-1答案高数（高等数学）是大学一年级的必修课程之一，对于很多学生来说，高数是一门难以逾越的学科。
而习题是学习高数的重要环节，通过解答习题可以巩固知识，提高解题能力。
本文将为大家提供高数大一习题2-1的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
2-1习题是高数中的基础部分，主要涉及到函数的概念、性质和运算。
下面将逐题进行解答。
1. 设函数f(x) = 2x + 3，求f(1)的值。
解答：将x = 1代入函数f(x)中，得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。
所以f(1)的值为5。
2. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(-1)的值。
解答：将x = -1代入函数f(x)中，得到f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8。
所以f(-1)的值为8。
3. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(2)的值。
解答：将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 1 = 12 + 4 - 1 = 15。
所以f(2)的值为15。
4. 设函数f(x) = x^3 - x，求f(0)的值。
解答：将x = 0代入函数f(x)中，得到f(0) = (0)^3 - 0 = 0。
所以f(0)的值为0。
5. 设函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。
解答：将x = -2代入函数f(x)中，得到f(-2) = 2(-2)^2 + 3(-2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3。
所以f(-2)的值为3。
6. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f(3)的值。
解答：将x = 3代入函数f(x)中，得到f(3) = (3)^2 + 2(3) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16。
所以f(3)的值为16。
通过以上六道题目的解答，我们可以看到，求函数在某一点的值，只需要将该点的横坐标代入函数中，进行计算即可。
高等数学2-1
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
高
等
数 学
2、唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.（唯一性） 证：设 lim xn a, 又 lim xn b,
n n
由定义,
0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 xn a ;
电
子 教 案
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
电
子 教 案
因为 lim xn a,
a 取 , 则存在正整数N , 当n N时，有 2
n
xn 0
a a 3 xn a , 即0 xn a 2 2 2
高
等 4、子数列的收敛性 定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 数 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到 学 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 电
n
电
子 教 案
( 2) lim yn a , lim zn a ,
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
n
高
等
数 学
证 yn a,
zn a ,
0, N1 0, N 2 0, 使得
当 n N 1时恒有 yn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
2. N与任意给定的正数有关.
高等数学教材1和2的区别
高等数学教材1和2的区别高等数学作为一门重要的学科，对于大学生的学习和研究具有重要作用。
在高等数学的学习过程中，不同版本的教材往往会有一些区别。
本文将从教材内容、难度水平和教学方法等方面探讨高等数学教材1和2之间的区别。
一、教材内容高等数学教材1和2的区别之一在于教材内容的深度和广度。
一般来说，教材1更注重基础知识的掌握和理解，主要包括微分与积分的基本概念、基本定理、微积分的应用等内容。
而教材2则在此基础上深入探讨了一些高级的数学理论和方法，如多元函数的微分、曲线积分与曲面积分、级数等。
因此，教材2相比于教材1来说更具挑战性和深度。
二、难度水平教材1和2之间的另一个区别在于难度水平的提升。
教材1往往适用于大一新生，对于他们来说，高等数学的概念和方法都是新鲜的，因此教材1相对较为简化和容易理解。
而教材2则适用于大二的学生，他们已经对高等数学有一定的了解和掌握，因此教材2在难度上会有所增加，涉及到更多的复杂问题和高级的理论。
三、教学方法教材1和2还存在着在教学方法上的一些区别。
教材1通常会通过一些基础的例题和练习来帮助学生理解和应用概念和方法。
而教材2除了基础的例题和练习外，还会引入一些拓展性的思考题和探究性的问题，以培养学生的数学思维和创新能力。
总结起来，高等数学教材1和2之间的区别主要体现在教材内容、难度水平和教学方法等方面。
教材1注重基础知识的掌握和理解，适用于初学者；而教材2则在此基础上深入拓展，适用于已经有一定数学基础的学生。
无论选择哪种教材，都需要学生具备良好的数学思维和学习能力，才能更好地掌握高等数学知识，为深入学习相关学科打下坚实的基础。
大学高等数学ii一教材
大学高等数学ii一教材大学高等数学II一教材是针对大学本科二年级学生开设的一门数学课程。
本教材旨在帮助学生巩固和拓展在高等数学I中所学的知识，并引领他们进入更为深入和复杂的数学领域。
本文将围绕教材的主要内容、教学方法以及学生学习体验等方面展开讨论。
一、教材主要内容大学高等数学II一教材涵盖了多个重要的数学主题，其中包括复数与复变函数、级数与幂级数、微分方程、多元函数微分学、向量场与曲线积分以及曲线、曲面与曲面积分等等。
这些内容不仅构成了大学高等数学II的核心内容，也是后续课程和专业学习的基础。
1.复数与复变函数该部分主要介绍了复数的定义、运算法则以及复变函数的基本概念和性质。
学生将学会如何利用复数进行计算，并了解复变函数在工程、物理和应用数学中的重要性。
2.级数与幂级数这一部分讨论级数的概念、性质以及级数收敛和发散的判定方法。
同时，幂级数作为级数的一种特殊形式也会被深入研究。
学生将学会如何对级数进行求和，并应用级数解决实际问题。
3.微分方程微分方程是应用数学中的重要工具，本部分主要介绍了一阶和二阶线性常微分方程的求解方法。
学生将学会如何建立微分方程模型并利用解析解和数值解方法求解实际问题。
4.多元函数微分学该部分重点研究了多元函数的极限、连续性和偏导数等概念。
通过学习多元函数的微分学知识，学生将能够进一步研究向量场、梯度、方向导数以及多元函数的极值和条件极值等内容。
5.向量场与曲线积分这一部分介绍了向量场的概念和性质，以及曲线积分的计算方法。
学生将学会如何计算向量场沿曲线的积分，并应用曲线积分解决实际问题，如质量中心、电场强度等计算。
6.曲线、曲面与曲面积分曲线和曲面是数学中重要的研究对象，本部分将介绍参数方程下的曲线和曲面以及曲面积分的计算方法。
学生将了解曲线和曲面的性质，并学会应用曲面积分解决曲线和曲面相关的实际问题。
二、教学方法教材采用了多种教学方法，旨在激发学生的学习兴趣和提高他们的数学思维能力。
高数2-1
要找到这样的正整数 N，当n N时，恒有
n （- 1）1 1 | 0 || | n n 1 1 , 这只要n 即可，因此，只要取N [ ]就可以了.
证明
0, 取N [ ]，则当 n N时，就有
1
(1) n 1 1 | 0 | , n n
n
恒有| xn A | 成立.
几何解释:
lim xn A
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 | xn A | .
A xn A
(n N )
A
2
A
即 xn ( A , )
(n N )
x2 x1
1 1 第 二 天 截 下 的 杖 长 总 为 l2 2 ; 和 2 2
1 1 1 第n天 截 下 的 杖 长 总 和 为 2 n ; ln 2 2 2 1 ln 1 n 1 2
设 {x n }是一个给定的数列 .我们关心的是，在 无限 n 增大的过程中通项 n的变化趋势 x
xN 1
A xN 2
x3
x
当n N时, 所有的点xn都落在( A , A )内, 只有有限个(至多只有N个) 落在其外 .
极限定义并没有给出求极限的方法（极限的法
放在后面研究），下面根据“ N” 定义证明某个 数是某数列的极限的例子. (1) n 1 0. 例 2 证明 lim n n 分析 根据“ N”定义，就是要证明： 0,
lim xn A 或
n
xn A(n ).
为了表达方便，我们引进几个逻辑符号：
(1) 符号" " 表示“充分必要”或“ 等价”；
高等数学1和2教材内容
高等数学1和2教材内容高等数学作为大学本科阶段的一门基础课程，内容丰富而广泛，包含了数学的各个分支和应用。
高等数学1和2教材的内容涵盖了微积分、线性代数和概率论等重要的数学概念和方法。
以下是对这两本教材的内容进行简要介绍。
一、高等数学1教材内容1. 微积分微积分是高等数学的核心内容之一，主要包括极限、函数、导数和积分等方面的知识。
在高等数学1教材中，首先介绍了函数的概念和性质，包括常见的代数函数、三角函数、指数函数和对数函数等。
然后讲解了极限的概念和运算规则，以及无穷小量和无穷大量的相关内容。
接着引入了导数的概念和计算方法，包括常见函数的导数、导数的四则运算和导数的几何意义。
最后介绍了定积分的概念和计算方法，包括基本积分公式和换元积分法等。
2. 线性代数线性代数是数学的一个重要分支，研究向量、线性方程组和线性变换等内容。
在高等数学1教材中，首先介绍了向量及其运算的概念，包括向量的加法、减法、数量乘法和内积等。
然后讲解了向量的线性相关与线性无关、向量组的秩和向量空间等概念。
接着引入了矩阵及其运算的知识，包括矩阵的加法、减法、数量乘法和乘法运算等。
最后介绍了线性方程组的解法，包括消元法和矩阵法等。
二、高等数学2教材内容1. 微分方程微分方程是高等数学的重要内容之一，研究函数与其导数之间的关系。
在高等数学2教材中，首先介绍了常微分方程的基本概念和分类，包括一阶微分方程和高阶微分方程等。
然后讲解了一阶线性微分方程和常系数线性齐次微分方程的解法。
接着引入了二阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解法，包括特征根法和待定系数法等。
最后介绍了常系数线性微分方程的解法，包括指数函数解法和特征方程法等。
2. 概率论概率论是高等数学的一个重要分支，研究随机事件和概率的相关性。
在高等数学2教材中，首先介绍了随机事件和样本空间的概念，以及事件的运算规则和概率的性质。
然后讲解了离散型随机变量和连续型随机变量的概念和性质，包括概率函数、概率密度函数和分布函数等。
《高等数学》课件2-1微商的概念
03 可导函数的拐点满足一阶导数变号，二阶导数不 为零。
导数的计算方法
定义法
通过导数的定义公式计算导数。
链式法则
对于复合函数的导数，使用链式法则进行计算。
乘积法则
对于两个函数的乘积的导数，使用乘积法则进行计算。
幂函数求导法则
对于幂函数的导数，使用幂函数求导法则进行计算。
微积分基本定理的应用非常 广泛，它可以用来计算定积 分、解决一些微分方程以及 证明一些重要的数学定理。
微积分的应用实例
在物理学中，微积分被广泛应用于解决力学、热学、光学等问题，例如计算物体运动的速度和加速度 、求解热传导方程等。
在工程学中，微积分是解决各种实际问题的必备工具，例如在电路分析、流体动力学、控制理论等领域 中，都需要用到微积分的知识。
在具体运算中，微商的符号表 示可以与其他数学符号进行运
算，如乘法、加法等。
微商的符号表示形式简洁明了 ，能够直观地反映函数在某一
点处的变化趋势。
微商的几何意义
微商在几何上表示曲线在某一 点处的切线斜率。
若函数在某一点处可导，则该 点处存在切线，切线的斜率即
为函数在该点的微商。
对于不可导的函数，微商无法 给出切线斜率的具体值，但在 可导区间内，微商可以描述函 数在该点附近的局部变化趋势 。
04
微商与积分的关系
导数与积分的关系
01
导数是函数在某一点的变化率，而积分则是一种求和运算 ，两者在概念上存在明显差异。
02
导数和积分在微积分中具有密切的联系，通过微积分基本定理， 我们可以将一个函数的积分转化为其导数的积分之和，从而将求
积分的问题转化为求导数的问题。
高等数学2-1
C −C f ( x + h) − f ( x ) = lim f ′( x ) = lim = 0. h→ 0 h→ 0 h h (C )′ = 0.
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
Teaching Plan on Advanced Mathematics
第二章 导数与微分
第一节 导数概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高阶导数 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数 相关变化率 第五节 函数的微分
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
Teaching Plan on Advanced Mathematics
y
如果割线MN绕点 绕点M 如图 如果割线 绕点 旋转而趋向极限位置MT,直 旋转而趋向极限位置 , 就称为曲线C在点 线MT就称为曲线 在点 处 就称为曲线 在点M处 的切线. 的切线. 极限位置即
y = f (x)
N T
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
dy dx
x = x0
df ( x ) 或 dx
x = x0
,
即 其它形式
y′ x=x0 = lim
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
t0
高数A(一)第二章答案
《高等数学教程》第二章 习题答案习题2-1 (A)1.63. 4. (1) ;)(0x f ' (2) ;)(0x f '- (3) ;)0(f ' (4) .)(20x f '5. (1);54x (2);3231-x (3) ;3.231.x (4) 32--x ; (5) 2527x ; (6) 1013x 103--.6. (1) 19.6 米； 19.6 米/秒 .7. 切线方程 ,0632=--+πy x法线方程 .03232=-+-πy x 8.（2，4）.9. (1)在0=x 连续且可导； (2)在0=x 连续且可导. 10. ;0)0(='+f ;-1)0(='-f )(x f 在点0=x 处不可导.习题2-1 (B)4.e1. 7. 0)0(='f .习题2-2 (A)1.(1) 33464xx x --; (2) 21232121----x x ; (3) x x sin 5cos 3+;(4) x x x x x x tan sec cos sin 22++; (5) 1ln +x ; (6)x x x x x22csc sec tan 21-+; (7) 2ln log 22xx x +; (8) b a x --2; (9)2)cos 1(1sin cos x x x +++;(10)2sin cos x xx x -; (11)2ln 1xx- (12)3)2(xe x x-; (13) x x x x x x x x sin ln cos cos ln 22⋅⋅-+⋅⋅;(14) x x cos 2;2. (1) 218332ππ-; (2) )42(22π-; (3) 181-;(4) 1517)2(,253)0(='='f f . 3. 3t 2t ==或.4. 切线方程 x y 2=，法线方程 x y 21-=.5. (1) 410; (2) 0 ; (3) 410- .13.(1)4)32(10+x ; (2) )31(cos 3x --; (3)212x x+; (4) a a e xxln +; (5)22)110(ln10102e 2+⋅+-x x x x x ; (6) 4x12-x ; (7) 222sin x a x x ---; (8) )(sec 3322x x ;(9) x2x ee +1; (10) a x x x 2ln )1(12+++. 14.(1) 322)41(38-+x x ; (2) )2(cos 2ln 2x x ⋅(3) x e x e xx 3sec 33tan 21222--+-; (4) 122-x x x ;(5)x xarctan 122+; (6)xxx-33sin 3ln 3cos 3;(7)221xx -; (8)22xa +1;(9) sec x ; (10) csc x .15.(1) )(cos 22cos 22x x x-; (2) csc x ; (3)2ln 22)1(22arctanx xx x x e ++; (4))(ln ln ln 1x x x ;(5)22)arccos (12x x x-; (6) -2sec2x .16.(1) cosh(cosh x )sinh x (2))(ln cosh 12x x ; (3) (3sinh x +2)sinh x cosh x (4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x a 1x e x cosh 2sinh 22cosh ; (5) )1(cosh 222x x --; (6) 22224++x x x;(7)1242-x x e e ; (8) x 3tanh .17. (1))32(2x x +; (2) )3sin 93cos 7(x x e x --;(3) 2ln 2cos 2sin 2ln 2sin xxxx +; (4)222)arcsin (1arcsin 1x x x -x x --;(5)1ln 1+-n x x n ; (6) 3xx arctan 962+;(7) x cosh 12; (8) 222arctan2x)()4x 1()4x 1(2arctan2x )4x 1(4++-+.习题2-2 (B)1. (1)22)1(2x x-; (2) 23323)2()321()(-)2()211(x x-x-x x x x-x++;(3) )cos (cos )cos sin ()cos (sin )sin (sin αx x αx x x x x α++++-;(4) 23)cos 1(sin 2sin )cos 1(x xx x +++; (5) 22)tan (sec 2-tan 2x x x x x +;(6) )sec 2()ln 2(cos )tan (cos 1)tan ()ln 2(sinx 222x x x x x x x xx x x +-++-+--;(7) )49283(224+-x x x ; (8))ln (1x x 2-+.2.2)()(d xx g x g x dx y -'=. 3. 切线方程：022=--y x 和 022=+-y x .6. (1) 400英尺；(2) v(2) = 96英尺/秒 ； v(8) = - 96英尺/秒 ； (3) 10秒 7. (1) )()(e ()()(x x x f x f x e f x f e )e f e '+'; (2) )()]([x f x f f '';(3) x x f x x f )sin2(cos )sin2(sin 22'-'; (4) )(n n 1n b ax f x a -+'. 8. (1))()()()()()(d 22x x x x x x dx y ψϕψϕϕψ+'-'=. (2))()()()()()(d 22x x x x x x dx y ψϕψϕϕψ+'+'=. 9. x21)(='x f ; 21)21(='f .10. x xx f 121)(3---='. 12. (1) 211x +; (2)xx x xxx +++++2)21(1211; (3) 242x -;(4) xx x 2455ln 212⋅++; (5) a b a b x b b a a x a b xa b ln 11⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-;(6) ()2111ln ln a aa x axa xa a x a a x a a +-+-++; (7) 222-1)(1)-(12xx x +;(8) x e x x 1sin 222sin-; (9) 3/22)(1arcsin x x x -; (10) xx x x 21254e11ln55151++--. 13. )1(sin )1(sin 1cos 22x f x f x x'-. 14.)(22x xcos dx y d =; )()(22x cos x d y d =; )(32)(23x cos x x d y d =. 15. )2arcsin()]([x x f ='ϕ; 411)]([xx f -='ϕ; 412])]([[xx x f -='ϕ.16.1sin cos 222+πππe e e .17.)()1(2x 2x xe sin x xe dx yd +=. 18. 2e .习题2-3 (A)1. (1) 214x-; (2) x e 214-; (3) x x x sin cos 2-; (4) x exsin 22-; (5) 2/3222)(x a a --; (6) 232)1(/x x +-; (7) )23(222x xe x +; (8) 3)22(xx x e 2x +--; (9) x x tan sec 22; (10) 212tan 2xxx arc ++.习题2-3 (B)1. (1) n! (2) 1)1(!2)1(+--n nx n (3) )2(!)2()1(1≥---n xn n n ;(4) ]2)1(2[21π-+n x sin -n ; (5) )(n x e x +;(6) ])1(1)2(1[!)1(11++----n n n x x n ; (7) ])(1)()1([!)1(1nn n nbx a bx a b n -++---; (8) n m x n mm m m -++---1)1()11()21()11(1 ;(9) ]22[2π⋅+-n x cos n(10) 11)21(!2+--n n x n 2. (1) x cos e y x 4)4(-=; (2) x cosh xsinhx y 100)100(+=; (3) )2sin 212252cos 502sin (2250)0(x x x x x y 5++-=; 3. (1) )()(222x f 4x x f 2''+'; (2) 22x f x f x f x f )]([)]([)()('-''. 5. 21+=x y , 3x y )2(2+=''. 7. 0=+y dt yd 22.8. 0=+y dt yd 22.习题2-4 (A)1.(1) x y y -; (2) ax y x ay 22--; (3) yy xe e +-1; (4) y x y x e x y e ++-- (5) )(1)(11xy cos x yxy cos y x +-+ (6) )(1)(2222y x f 2y y x f 2x +'-+'. 3. 切线方程：022=-+a y x ； 法线方程：0=-y x .4. (1) ]1)1([)1(222x2xsinxx cos ln cosx x sinx +++⋅+; (2) ]2cot 2sec cos 22tan ln sin [)tan (2cos x x x x x x x ⋅⋅+⋅-;(3) ]163112[)1(3)1(232x xx x x x x 2++--++-+; (4)])(251121[2)1(3122x x x x x x x 35-+++-+; (5) ])1(21[121xx xe e cotx x e sinx x --+-; (6) )ln 1()ln 1lnln ()ln (21x x xx x x x -++-;(7) )1(1+++-lnx x ln x x x ππππ;(8) ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x a b b a ln a x x b b a ba x .5. (1)t 2a 3b dx y d =; (2) t tdx y cos 2cos2d =; (3)ϕtan d -=dxy ; (4) θθθθθθcos -sin -1sin -cos d =dx y . 6. (1) 切线方程：042=-+y x ; 法线方程：032=-+y x . (2) 切线方程：01234=-+a y x ; 法线方程：0643=+-a y x .习题2-4 (B)1. (1) )(ln )()(ln )()(ln )()(2x x x ψx x x ψx ψϕϕϕϕ'-';(2) )()()(ln )()()()()(2)(x x x x x x x x x ψϕψψϕϕψψϕ'-'.2. ye e x y d dx yx y x --=++.3. (1) θθa sec dx y d 222=; (2) )(1t f dxy d 22''=;(3) )1(2222t t 6dyx d +=; (4) )1(832533t t dx y d +-=;(5) 343381tt dx y d -=; 4.4π. 5. 2e .6. 0 .8. (1) a (1)= - 6 (m/s 2) ; a (3)= 6 (m/s 2 ). (2) |v(2)| = 3 (m/s) ;9. 144π (m 2/s)10. 20402516.π≈(m/min). 11.640225144.π=(cm/min).12. 70 英里/小时. 习题2-5 (A)2. (a ) 0dy y 0dy 0y >->>∆∆,,;(b ) 0dy y 0dy 0y <->>∆∆,,; (c ) 0dy y 0dy 0y <-<<∆∆,,; (d ) 0dy y 0dy 0y >-<<∆∆,,.3. (1) dx x x)12(3+-; (2) dx x x x )2cos 22(sin +; (3) dx e x x 2x )1(2+; (4)dx xx412+-; (5) dx x x e x )]cos(3)[sin(3----; (6) dx x x x )21(sec )21(tan 8223++;(7)dx x xx 222)]1([ln 16---; (8)dx x x x xxx +++++2)211(211.4. (1)dx xy x +--182; (2) dx y x csc )(2+-; 5. (1) C x +2; (2) C x +223; (3) C t sin +; (4) C t cos 1+-ωω;(5) C x ++)(1ln ; (6) C e x +--221; (7) C x +2; (8) C x +3tan 31.习题2-5 (B)1. h R 0π2.2. 7683,4,0010,.V l .r l r V 2='===∆π, 0037680.dV V =≈∆; 用铜约为033550.(克).3. 0021021603.π-≈-. 4. 050.T =∆(秒)，设摆长约需加长 d l , d l 2292140050..≈⨯=π(厘米) .5. R 约增加了43.63 cm 2, 扇形面积约增加了 104.72 cm 2 .6. (1) 0. 87476 ; (2) - 0. 96509 .7. (1) 7430''o ; (2) 260'o .8. (3) 01309054tan .≈'; 0020)0021(ln ..≈.9. (1) 9.9867; (2) 2.0052 .总复习题二一、1. B 2. D 3. A 4. A 5. D 二、1. 充分； 必要； 充要.2. t 2e t t f =)(, t 2e 2t t f )1()(+='.3.1)1='-0(x f . 4. 1+=x y . 5. b. 6. [10, 20] .三、1. 212xx y +='.2. (1))]}([)]([)]([)({)]([)(2222222222x f sin x f x f cos x f x 4x f cos x f dx yd 2'-''+'=;(2) )(4)(2)()(2)]([2222222x f x x f x f x f x f dxyd ''+'+''+'=.3.xx ydx y d ln 2-=. 4. 32222)1ln ()1ln ()1ln (++-+=y xy x x y y dx y d . 5. 322)1(f f dx y d '-''=. 6. ⎪⎩⎪⎨⎧>-<≤<='1,110,20,3)(2x x x x x x f7. (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x;(2) )(x f ' 在 ),(∞+-∞上是连续函数。
高等数学1和2教材
高等数学1和2教材高等数学1和2教材是大学中普遍使用的两本教材，涵盖了高等数学的基础知识和进阶内容。
本文将从教材的结构、内容特点和学习方法三个方面对高等数学1和2教材进行介绍。
一、教材结构高等数学1和2教材一般由教材正文和习题部分组成。
教材正文是核心部分，包括了各个章节的理论知识，以及相关的例题和解题方法。
习题部分则提供了大量的练习题和习题答案，供学生巩固和应用所学知识。
二、内容特点高等数学1和2教材的内容难度逐渐递增，旨在帮助学生逐步掌握高等数学的基本概念和方法。
以下是高等数学1和2教材的内容特点：1. 高等数学1教材：高等数学1教材主要包括极限、连续、一元函数、微分学和积分学等内容。
其中，极限是高等数学的基础，通过学习极限，能够帮助学生建立起正确的数学思维方式。
一元函数的学习则拓展了学生对函数的理解，为后续微分学和积分学的学习奠定基础。
2. 高等数学2教材：高等数学2教材主要包括级数、多元函数、微分学和积分学的进阶内容。
级数是高等数学2教材的重点内容之一，它对于学生理解数列和函数的性质非常关键。
多元函数的学习则让学生能够研究多变量之间的关系，扩展了数学应用的范围。
三、学习方法学习高等数学1和2教材需要采用正确的学习方法，以便更好地理解和应用所学知识。
以下是几种有效的学习方法：1. 制定学习计划：合理分配学习时间，安排每天的学习进度，保证能够逐步掌握教材内容。
2. 理解概念：高等数学的学习注重基本概念的理解，学生应该通过多次阅读教材、查阅相关资料，确保对关键概念的理解准确。
3. 多做习题：高等数学的学习需要通过大量的练习来巩固和应用所学知识。
学生应该根据教材提供的习题，进行积极的练习，并及时查看习题答案，找出自己的错误并进行纠正。
4. 寻求帮助：在学习过程中，如果遇到难题或者不理解的地方，应及时向老师或同学请教，寻求帮助解决问题。
总结：高等数学1和2教材是大学中数学学科的重要教材，通过系统学习这两本教材，学生能够建立起扎实的数学基础，为后续高级数学课程的学习打下坚实的基础。
高等数学1和2的教材
高等数学1和2的教材高等数学是大学数学课程的重要组成部分，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。
在高等数学教学中，教材的选择对学生的学习效果起到至关重要的作用。
本文将对高等数学1和2的教材进行综合评价，从内容设置、难度合理性和教学方法三个方面进行分析。
一、内容设置高等数学1和2教材的内容设置是教材选择的核心因素之一。
内容应覆盖高等数学的基本理论和方法，并合理安排不同章节之间的逻辑关系。
高等数学1教材主要包括数列与极限、函数与连续、导数与微分等内容，而高等数学2教材则包含了定积分与不定积分、微分方程等进阶内容。
对于高等数学1教材而言，数列与极限是其中的重要内容之一。
教材应以理论为基础，引导学生从数列的定义、极限的概念逐步深入理解与应用，同时结合实际问题进行实例分析，增强学生对数学知识的应用能力。
高等数学2教材中，定积分与不定积分的学习是重点。
教材设计应充分体现这两个概念之间的联系，通过典型例题和应用题的讲解，帮助学生理解和掌握不同类型的积分计算方法，提高问题求解能力。
二、难度合理性高等数学1和2的教材难度应该与学生的知识基础相适应，既要有一定挑战性，又不能过于困难。
对于高等数学1教材而言，应注重培养学生的数学思维和解题能力，适当增加难度，引导学生进行独立思考和创新性思维的发展。
在高等数学2教材中，由于定积分和不定积分的概念较为复杂，教材应通过具体例题和实际应用，激发学生的兴趣，并注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教材的难度合理性还体现在章节之间的难度跨度。
难度适中的设置能够帮助学生理解和吸收知识，保持对数学的兴趣，并逐渐提高自己的数学能力。
三、教学方法高等数学1和2的教学方法应多样化，注重理论与实践相结合，既要培养学生的基本功，又要注重激发学生的数学思维，提高解题能力。
在高等数学1教学中，可以引导学生通过课堂讲解、讨论和实例分析来加深对数学概念和理论的理解。
同时，可以结合计算机软件或在线模拟工具，帮助学生进行计算和图形分析，提高数学问题的可视化呈现。
高等数学一和二教材一样吗
高等数学一和二教材一样吗高等数学一和二作为大学数学专业的基础课程，是学生在数学领域中的重要学习内容。
在学生学习高等数学的过程中，常常会遇到这样一个问题：高等数学一和二的教材内容是否完全一样？为了解答这个问题，我们需要对高等数学一和二的教材进行比较和分析。
首先，需要明确的是，高等数学一和高等数学二是按照不同的学期来划分的。
高等数学一通常是在大一第一学期进行学习，而高等数学二则是在大一第二学期进行学习。
由于学期之间存在时间的跨度和学习进度的不同，因此高等数学一和二的教材内容是有所区别的。
在大多数高校中，高等数学一和二的教材内容都会涵盖以下几个主要方面：极限与连续、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程等。
然而，在具体的教学内容和深度上，高等数学一和二会有所不同。
在高等数学一中，学生通常会学习以下内容：1. 函数与极限：学习函数的概念、一般初等函数以及函数的极限概念和性质。
2. 导数与微分：学习导数的定义、导数的运算法则以及应用于函数的最值、曲线形状等问题。
3. 积分与不定积分：学习不定积分的定义和基本性质，以及一些基本的积分计算方法。
4. 微分方程：学习一阶微分方程的基本概念、解法以及应用。
而在高等数学二中，学生会进一步深入学习以下内容：1. 极限与连续：学习函数的极限、无穷极限、函数连续性的概念和性质。
2. 导数与微分：学习高阶导数的概念和使用，以及泰勒公式的应用。
3. 定积分：学习定积分的概念、性质和计算方法，以及曲线下面积的计算和应用。
4. 微分方程：学习高阶线性微分方程的解法，以及一些简单的非线性微分方程的解法。
可以看出，高等数学一和二的教材内容虽然有所重叠，但在深度和难度上存在明显的区别。
高等数学二相对于高等数学一来说，更加注重理论的推导和应用的深入，需要学生在扎实掌握高等数学一的基础上进行学习。
综上所述，高等数学一和二的教材内容并非完全一样。
虽然它们都涵盖了函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程等方面的知识，但在具体内容和深度上有所不同。
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( x ) x 1 .
1
( R )
1 2 1 1 . ( x ) x 2 x 2
( x ) (1) x
1
1 1
1 2. x
例4 求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数. 解
a xh a x (a x ) lim h 0 h ah 1 a x lim h 0 h
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
y
y x
o
x
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) tan , (为倾角) o
1
－1/π
0
1/π
x
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x )的尖点 (不可导点) .
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x
o
x0
x
1 x sin , x 0 例8 讨论函数 f ( x ) , x 0, x0 在x 0处的连续性与可导性 .
lim0 x
( x0 x ) ( x0 )
x
f ( x0 ) 存在,
f ( x0 x ) f ( x0 ) 若 lim0 x x lim0 x
( x0 x ) ( x0 )
x
f ( x0 ) 存在,
且 f ( x0 ) f ( x0 ) a,
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
其它形式
关于导数的说明：
★
点导数是因变量在点 x0处的变化率, 它
反映了 因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
★
如果函数 y f ( x )在开区间 I 内的每点
处都可导, 就称函数 f ( x )在开区间 I 内可导.
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度. s ds v ( t ) lim . t 0 t dt 交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
q dq i ( t ) lim . t 0 t dt
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
例如,
y
y 3 x 1
f ( x ) 3 x 1,
在 x 1处不可导.
0
1
x
3. 函数 f ( x )在连续点的左右导数都不存在 (指摆动不定) , 则 x0点不可导 .
例如,
y
1 x sin , f ( x) x 0,
在x 0处不可导.
x0 , x0
2.右导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
★ 函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右
导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
a x ln a .
即
(a x ) a x ln a .
( e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数.解y lim
log a ( x h) log a x h 0 h h log a (1 ) x 1 lim h 0 h x x x 1 h h 1 lim log a (1 ) log a e . x h 0 x x
五、可导与连续的关系
定理
证
凡可导函数都是连续函数.
设函数 f ( x )在点 x0可导,
y lim f ( x 0 ) x 0 x y f ( x 0 ) x
0 ( x 0 )
x 0 x 0
y f ( x0 )x x
lim y lim [ f ( x 0 )x x ] 0
则 f ( x ) 在点x 0 可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
1 (log a x ) log a e . x
即
1 (ln x ) . x
例6 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h h
f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1, h 0 h 0 h h f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1. h 0 h 0 h h
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
MN 0, NMT 0.
y f ( x)
N T
C
o
M
x0
x
x
设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ).
y y0 f ( x ) f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan , x x0 x x0 N 沿曲线C M , x x 0 , f ( x ) f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k tan lim x x0 x x0
1 解 sin 是有界函数 , x 1 lim x sin 0 x 0 x
f ( x )在x 0处连续. x 0 1 (0 x ) sin 0 1 y 0 x sin 但在x 0处有 x x x y 当x 0时, 在 1和1之间振荡而极限不存在. x f ( x )在x 0处不可导.
例1 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
f ( x h) f ( x ) C C 解 f ( x ) lim 0. lim h 0 h 0 h h
即
(C ) 0.
例2 设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x ) 解
dy dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t 0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t 0的时刻t , 运动时间t ,
s s s 0 g 平均速度 v ( t 0 t ). t t t 0 2
t0
t
t
当 t t 0时,
取极限得
g(t 0 t) gt 0 . 瞬时速度 v lim t t0 2
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
y
y x2
yx
0
x
在 x 0处不可导, x 0为 f ( x )的角点.
2. 设函数 f ( x )在点 x0 连续, 但 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim , x 0 x x 0 x 称函数 f ( x )在点 x0有无穷导数. (不可导)
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y
1 x 2
1 ( ) x
1 x 2
1 2 x
1 x 2
4.
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0. 2 1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
例3 求函数 y x n (n为正整数) 的导数. 解
( x h) n x n ( x n ) lim h 0 h n( n 1) n 2 n 1 lim[nx x h hn1 ] nx n 1 h0 2!
即
更一般地 例如,
( x n ) nx n 1 .
y
y f ( x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
1 ( x x 0 ). 法线方程为 y y 0 f ( x 0 )
1 1 例7 求等边双曲线 y 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
函数 f ( x )在点 x0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f ( x )连续 , 若 f ( x0 ) f ( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x ) 的角点 , 函数在角点不可导 .