大一高等数学教材2-1

解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y
1 x 2
1 ( ) x
1 x 2
1 2 x
1 x 2
4.
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0. 2 1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
★ 如果 f ( x ) 在开区间a, b 内可导，且 f (a ) 及
f (b ) 都存在，就说 f ( x ) 在闭区间a, b 上可导.
x x0 , 讨论在点 x0的 x x0
( x ), ★ 设函数 f ( x ) ( x ), 可导性.
f ( x0 x ) f ( x0 ) 若 lim0 x x
lim0 x
( x0 x ) ( x0 )
x
f ( x0 ) 存在,
f ( x0 x ) f ( x0 ) 若 lim0 x x lim0 x
( x0 x ) ( x0 )
x
f ( x0 ) 存在,
且 f ( x0 ) f ( x0 ) a,
例如,
y
y 3 x 1
f ( x ) 3 x 1,
在 x 1处不可导.
0
1
x
3. 函数 f ( x )在连续点的左右导数都不存在 (指摆动不定) , 则 x0点不可导 .
例如,
y
1 x sin , f ( x) x 0,
在x 0处不可导.
x0 , x0
1
－1/π
0
1/π
x
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x )的尖点 (不可导点) .
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x
o
x0
x
1 x sin , x 0 例8 讨论函数 f ( x ) , x 0, x0 在x 0处的连续性与可导性 .
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t 0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t 0的时刻t , 运动时间t ,
s s s 0 g 平均速度 v ( t 0 t ). t t t 0 2
t0
t
t
当 t t 0时,
取极限得
g(t 0 t) gt 0 . 瞬时速度 v lim t t0 2
例1 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
f ( x h) f ( x ) C C 解 f ( x ) lim 0. lim h 0 h 0 h h
即
(C ) 0.
例2 设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x ) 解
五、可导与连续的关系
定理
证
凡可导函数都是连续函数.
设函数 f ( x )在点 x0可导,
y lim f ( x 0 ) x 0 x y f ( x 0 ) x
0 ( x 0 )
x 0 x 0
y f ( x0 )x x
lim y lim [ f ( x 0 )x x ] 0
1 解 sin 是有界函数 , x 1 lim x sin 0 x 0 x
f ( x )在x 0处连续. x 0 1 (0 x ) sin 0 1 y 0 x sin 但在x 0处有 x x x y 当x 0时, 在 1和1之间振荡而极限不存在. x f ( x )在x 0处不可导.
( x ) x 1 .
1
( R )
1 2 1 1 . ( x ) x 2 x 2
( x ) (1) x
1
1 1
1 2. x
例4 求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数. 解
a xh a x (a x ) lim h 0 h ah 1 a x lim h 0 h
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
f (0) lim f ( x ) 0
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ( x 0 ) a f ( x 0 ) f ( x 0 ) a;
3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
a x ln a .
即
(a x ) a x ln a .
( e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数.
解
y lim
log a ( x h) log a x h 0 h h log a (1 ) x 1 lim h 0 h x x x 1 h h 1 lim log a (1 ) log a e . x h 0 x x
2.右导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
★ 函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右
导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
y
y x
o
x
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) tan , (为倾角) o
★ 对于任一 x I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的
导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数. dy df ( x ) 记作 y, f ( x ), 或 . dx dx
f ( x x ) f ( x ) 即 y lim x 0 x f ( x h) f ( x ) 或 f ( x ) lim . h 0 h
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
其它形式
关于导数的说明：
★
点导数是因变量在点 x0处的变化率, 它
反映了 因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
★
如果函数 y f ( x )在开区间 I 内的每点
处都可导, 就称函数 f ( x )在开区间 I 内可导.
y
y x2
yx
0
x
在 x 0处不可导, x 0为 f ( x )的角点.
2. 设函数 f ( x )在点 x0 连续, 但 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim , x 0 x x 0 x 称函数 f ( x )在点 x0有无穷导数. (不可导)
函数 f ( x )在点 x0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f ( x )连续 , 若 f ( x0 ) f ( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x ) 的角点 , 函数在角点不可导 .
例如,
x2, f ( x) x, x0 , x0
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
MN 0, NMT 0.
y f ( x)
N T
C
o

M

x0
x
x
设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ).
y y0 f ( x ) f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan , x x0 x x0 N 沿曲线C M , x x 0 , f ( x ) f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k tan lim x x0 x x0
例3 求函数 Байду номын сангаас x n (n为正整数) 的导数. 解
( x h) n x n ( x n ) lim h 0 h n( n 1) n 2 n 1 lim[nx x h hn1 ] nx n 1 h0 2!
即
更一般地 例如,
( x n ) nx n 1 .

y
y f ( x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
1 ( x x 0 ). 法线方程为 y y 0 f ( x 0 )
1 1 例7 求等边双曲线 y 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
dy dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
则 f ( x ) 在点x 0 可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度. s ds v ( t ) lim . t 0 t dt 交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
q dq i ( t ) lim . t 0 t dt
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
(sin x ) lim sin( x h) sin x h 0 h h sin h 2 cos x. lim cos( x ) h 0 h 2 2 (sin x ) cos x .
x 4
.
即
(sin x )
x
4
cos x
x
4
2 . 2
1 (log a x ) log a e . x
即
1 (ln x ) . x
例6 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h h
f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1, h 0 h 0 h h f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1. h 0 h 0 h h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x ) x x .
0
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
★ 单侧导数 1.左导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x