高考一轮复习数学第七章第六节我来演练

合集下载

高三数学一轮复习练习第七章章末强化训练

高三数学一轮复习练习第七章章末强化训练一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.（2011届·厦门调研）复数3－i1－i等于 ( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：3－i 1－i ＝(3－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝4＋2i 2＝2＋i.答案：C2.(2011届·佛山调研）若复数a ＋3i1＋2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6解析：因为a ＋3i 1＋2i ＝a ＋6＋(3－2a )i5为纯虚数，所以a ＋6＝0且3－2a ≠0，所以a ＝－6.答案：C3.已知复数z=(a 2-1)+(a-2)i(a,b ∈R)，则“a=1”是“z 为纯虚数”的 ( ) A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：a=1⇒z=-i 为纯虚数.z 为纯虚数⇒a 2-1=0，a-2≠0⇒a=±1. 答案：A4.已知3-3i=z ·（-23i ），那么复数z 在平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A5.若复数z 满足31+z)i=1，则z+z 2的值等于 ( ) A.1 B.0C.-1D.-12+32i答案：C6.已知向量a =(1,1)，b =(2,n),若|a +b |=a ·b ,则n= ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3解析：a +b =（3,n+1）,a ·b =2+n ，由|a +b |=a ·b ,223(1)n ++答案：D7.已知向量a 与b 夹角为120°，且|a |=3,|a +b 13则|b |等于 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析：设|b |=t,|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=9+2×3tcos 120°+t 2=13, 所以t 2-3t-4=0,t=4或t=-1(舍去). 答案：A9.设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+ |FB |+|FC |的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)，由于F(1,0),则FA =（x 1-1,y 1）, FB =（x 2-1,y 2）, FC =(x 3-1,y 3),由FA +FB +FC =0得x 1-1+x 2-1+x 3-1=0,x 1+x 2+x 3=3. |FA |+|FC |+|FC |=x 1+x 2+x 3+3×2p=3+3=6. 答案：D10.(2011届·福州质检)设设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b|＝|a|·|b|·sin θ，若a ＝(－3，－ 1)，b ＝(1，3)，则|a ×b|＝( ) A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4 解析：因为cos θ＝a·b |a|·|b|＝－3－32×2＝－32，θ∈(0，π)，所以sin θ＝12，所以|a ×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×2×12＝2.答案：B二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. △ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c .设向量p ＝(a ＋c ，b )， q ＝(b －a ，c －a )．若p ∥q ，则角C 的大小为 .解析：p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C ．因为0<C <π，所以C ＝π3.答案：π313.（2011届·重庆南开中学高三月考）已知|a |=2，|b 2，a 与b 的夹角为45°,若 |a +λb 10，则实数λ的取值范围是 . 解析：由|a +λb 10得a 2+2λa ·b +λ2b 2<10，即4+2×2×2λcos 45°+λ2×2<10, 即λ2+2λ-3<0,所以-3<λ<1. 答案：（-3,1）14.若sin 2θ-1+i(2cos θ+1)是纯虚数（其中i 是虚数单位），且θ∈［0,2π),则θ的值为 .解析：sin 2θ-1=0,2cos θ+1≠0,解得sin 2θ=1,cos θ≠-22. 因为θ∈［0,2π)，所以θ=4π. 答案：4π 15.已知复数z 1=3-i ，z 2是复数-1+2i 的共轭复数,则214z i z -的虚部等于 . 解析：因为z 1=3-i,z 2=-1-2i ，答案：45三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17.（13分）已知z=1+i,ω=221z az bz z ++-+,且ω与z 互为共轭复数，求实数a,b 的值.解：因为z=1+i,18.（13分）若a ,b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ,t b , 13(a +b )三向量的终点在同一条直线上？解：设OA ＝a , OB =t b , OC =13(a +b ), 所以AC =OC -OA =-23a +13b ,AB =OB -OA =t b -a . 要使A 、B 、C 三点共线，只需AC =λAB ，即-23a +13b =λt b -λa ,所以有-23=-λ，13=λt ，所以λ=23，t=12.所以当t=12时，三向量终点在同一直线上.19.（13分）已知向量a =3，1），向量b =(sin α-m,cos α).(1)若a ∥b ，且α∈［0,2π),将m 表示为α的函数，并求m 的最小值及相应的α的值；(2)若a ⊥b ,且m=0，求cos()sin(2)2cos()παπαπα-+-的值.20.（2011届·烟台质检）（14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →.(1)判断△ABC 的形状；(2)若AB →·AC →＝k (k ∈R )且c ＝2，求k 的值．解：(1)因为AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ，又AB →·AC →＝BA →·BC →，所以bc cos A ＝ac cos B ，所以sin B cos A ＝sin A cos B . 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，所以sin(A －B )＝0.因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知a ＝b ，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22.因为c ＝2，所以k ＝1.。

第七章第六节

自主落实 · 固基础
→ → → 【思路点拨】 (1)在图形中，用向量AB，AA1表示向量MN. (2)用共面向量的概念判定 MN 是否与平面 ABB1A1 平行． → → → → 【尝试解答】 (1)∵AM＝kAC1，BN＝kBC，
→ → → → → → → ∴MN＝MA＋AB＋BN＝kC1A＋AB＋kBC → → → → → → ＝k(C1A＋BC)＋AB＝k(C1A＋B1C1)＋AB
高考体验 · 明考情
典例探究 · 提知能
→ → 1 → → → ∴FG· ＝ (BC－BA)· BA BA 2 1 → → →2 1 1 1 ＝ (BC· －BA )＝ ×( －1)＝－ . BA 2 2 2 4
课时知能训练
【答案】 B
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
高考体验 · 明考情
典例探究 · 提知能
课时知能训练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自主落实 · 固基础
【解】
→ → → → (1)由已知OA＋OB＋OC＝3OM，
高考体验 · 明考情
典例探究 · 提知能
→ → → → A，B，C 共面⇔对空间任意一点 O，有OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中 x ＋y＋z＝1)．
课时知能训练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自主落实 · 固基础
已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一 → 1 → → → 点 O，若点 M 满足OM＝ (OA＋OB＋OC)． 3 → → → (1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．

2022版高考数学一轮复习练案(49理)第七章立体几何高考大题规范解答系列(四)—立体几何(

高考大题规范解答系列（四）——立体几何(理）1．（2021·安徽黄山质检）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，且AD ⊥BC,四边形ABB1A1为正方形．（1）求证:A1C∥平面AB1D；(2）若∠BAC＝60°，BC＝4，求点A1到平面AB1D的距离．[解析］（1）连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，由已知得,四边形ABB1A1为正方形,E为A1B的中点,∵D是BC的中点,∴DE∥A1C，又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D,∴A1C∥平面AB1D。

(2）∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC,且BC为它们的交线,又AD⊥BC,∴AD⊥平面BCC1B1，又∵B1D⊂平面BCC1B1,∴AD⊥B1D，且AD＝2错误!，B1D＝2错误!。

同理可得，过D作DG⊥AB，则DG⊥面ABB1A1,且DG＝错误!。

设A1到平面AB1D的距离为h，由等体积法可得:VA1－AB1D＝VD－AA1B1，即错误!·错误!·AD·DB1·h＝错误!·错误!·AA1·A1B1·DG,即2错误!×2错误!·h＝4×4×错误!，∴h＝错误!.即点A1到平面AB1D的距离为错误!。

（注：本题也可建立空间直角坐标系用向量法求解．）2．（2019·天津,17）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形,平面P AC⊥平面PCD,P A⊥CD，CD＝2，AD＝3。

（1)设G,H分别为PB,AC的中点，求证：GH∥平面P AD；（2）求证：P A⊥平面PCD；（3)求直线AD与平面P AC所成角的正弦值．［解析]（1）证明：连接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH.又由BG＝PG，故GH∥PD。

又因为GH⊄平面P AD，PD⊂平面P AD,所以GH∥平面P AD。

2025高考数学一轮复习-7.6-利用空间向量求空间角、距离【课件】

(3)平面与平面的夹角如图，平面 α 与平面 β 相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面 α 与平面 β 的夹角．
若平面 α，β 的法向量分别是 n1 和 n2，则平面 α 与平面 β 的夹角即为向量 n1 和 n2 的 |n1·n2|
夹角或其补角．设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ，则 cosθ＝|cos n1，n2 |＝_____|n_1_||n__2|___.
设平面 CDP 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··PP→→DC＝＝00 ⇒n＝(0,1,1)．
平面 PAB 的法向量 m＝(0,1,0)
cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝
2 2.
又∵平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为锐二面角，∴所求二面角为 45°.
易错点睛：(1)误认为直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是线面角出错． (2)不能结合图形准确判定二面角出错．
4．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，
π 则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为___6_____．
【解析】以 C 为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0，2 2)．点 C1 在
侧面 ABB1A1 内的射影为点
提醒：(1)利用公式与二面角的平面角时，要注意 n1，n2 与二面角大小的关系，是
相等还是互补，需要结合图形进行判断． (2)注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的
夹角的范围为0，π2.
2．空间距离(1)点 P 到直线 l 的距离设A→P＝a，u 是直线 l 的单位方向向量，则向量A→P在直线 l 上的投影向量A→Q＝(a·u)u. 在 Rt△APQ 中，由勾股定理，得 PQ＝ |A→P|2－|A→Q|2＝___a_2－___a_·u__2__.

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式训练文

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第七章不等式训练文考纲链接1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：ab≤a＋b2(a ≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．§7.1 不等关系与不等式1．两个实数大小的比较(1)a＞b⇔a－b________；(2)a＝b⇔a－b________；(3)a＜b⇔a－b________.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__________；(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d；(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒ac＞bd；※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1a＜1b；(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．自查自纠：1．＞0 ＝0 ＜02．(1)b<a(2)a>c(3)> (4)ac>bc ac<bc(5)a＋c>b＋d(7)ac>bd(10)a n>b n(n∈N且n≥2)(11)na>nb(n∈N且n≥2)(2014·山东)已知实数x，y满足a x＜a y(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x2＋1＞1y2＋1B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) C．sin x＞sin y D．x3＞y3解：根据指数函数的性质得x＞y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．故选D.(2015·烟台模拟)设a，b∈(－∞，0)，则“a>b”是“a－1a>b－1b”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a－1a－⎝⎛⎭⎪⎫b－1b＝(a－b)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1ab，又1＋1ab>0，若a>b，则(a－b)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1ab>0，∴a－1a>b－1b成立；反之，若(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab >0，则a >b 成立．故选C.已知a ＞0，b ＞0，则a a b b与a b b a的大小关系为( )A ．a a b b ≥a b b aB ．a a b b ＜a b b aC ．a a b b ≤a b b aD ．与a ，b 的大小有关解：不妨设a ≥b ＞0，则a b ≥1，a －b ≥0.a a b ba b ba ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ≥1，即a a b b ≥a b b a.同理当b ＞a ＞0时，亦有a a b b ≥a b b a.故选A.已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a b.解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2－b 2＝28－14－83＝14－83＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫74－3＞0，从而a ＞b.故填＞.(2015·济南模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的是________(填序号)．解：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确．故填②③④.类型一建立不等关系(2015·湖北)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1得1≤t <2，由[t 2]＝2得2≤t 2<3，由[t 4]＝4得4≤t 4<5，所以2≤t 2<5，由[t 3]＝3得3≤t 3<4，所以6≤t 5<45，由[t 5]＝5得5≤t 5<6，与6≤t 5<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.故选B.点拨：解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例[x ]表示不超过x 的最大整数，故由[x ]＝k ，可得k ≤x <k ＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n 的最大值．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k(k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计) 解：假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是47；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为47k，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k ，有47＋47k＜1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为47k 2，此时应有47＋47k ＋47k2，有47＋47k ＋47k2≥1. 所以可从中提炼出一个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k＜1，47＋47k ＋47k2≥1.类型二不等式的性质已知下列三个不等式①ab ＞0；②ca＞d b；③bc >ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc －adab＞0，由ab ＞0，bc ＞ad 得②成立，∴①③⇒②.(2)若ab ＞0，bc －adab＞0，则bc ＞ad ，∴①②⇒③.(3)若bc ＞ad ，bc －adab＞0，则ab ＞0，∴②③⇒①.综上所述可组成3个正确命题．点拨：运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac 与bc 的大小关系应注意从c ＞0，c ＝0，c ＜0三个方面讨论．(2014·四川)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得－a d ＞－b c ＞0，所以a d ＜b c.故选D.类型三不等式性质的应用(1)若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是________．解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以α2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.点拨：①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32和－4＜β＜2两式相减来得到α2－β的范围．②此类题目用线性规划也可解．(2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________．解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.∴－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1.∴－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132.点拨：由于a ＋b ，a －b 的范围已知，所以要求2a ＋3b 的取值范围，只需将2a ＋3b 用已知量a ＋b ，a －b 表示出来，可设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，用待定系数法求出x ，y ，再利用同向不等式的可加性求解．(1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．解：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，－π2＜－β＜π2，而α＜β，∴－π＜α－β＜0，∴2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.(2)设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围为________．解法一：由已知⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4.①②f (－2)＝4a －2b.设4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )(m ，n 为待定系数)，即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. 由①×3＋②×1得5≤4a －2b ≤10，即5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），a ＋b ＝f （1）得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （1）＋f （－1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)，后面同解法一．故填[5，10]．类型四比较大小实数b ＞a ＞0，实数m ＞0，比较a ＋mb ＋m与a b 的大小，则a ＋m b ＋m ________a b. 解法一：(作差比较)：a ＋mb ＋m －a b ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b －a ）b （b ＋m ），∵b ＞a ＞0，m ＞0，∴m （b －a ）b （b ＋m ）＞0，∴a ＋mb ＋m＞ab. 解法二(作商比较)：∵b ＞a ＞0，m ＞0， ∴bm ＞am ⇒ab ＋bm ＞ab ＋am ＞0， ∴ab ＋bm ab ＋am ＞1，即a ＋m b ＋m ·b a ＞1⇒a ＋m b ＋m ＞a b .故填＞.点拨：本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．(2015·福建月考)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋bn的大小，则a n ＋b n ________c n.解：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n>0，而a n ＋b n cn＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0<a c <1，0<b c <1.当n ∈N ，n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，∴a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c 2＝1，∴a n ＋b n <c n .故填＜.1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．1．(2015·厦门模拟) “a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分必要条件D ．必要不充分条件解：由“a ＋c >b ＋d ”不能得知“a >b 且c >d ”，反过来，由“a >b 且c >d ”可得知“a ＋c >b ＋d ”，因此“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件．故选D.2．已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a nb ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A ．恒为正B ．恒为负C ．与n 的奇偶性有关D ．与a ，b 的大小有关解：a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1＝a n (b －a )＋b n(a －b )＝－(a －b )(a n －b n)，因为(a －b )与(a n －b n )同号，所以a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1<0恒成立．故选B.3．(2015·云南模拟)若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋c ≥b －cB ．(a －b )c 2≥0 C ．ac >bcD.c 2a －b>0解：A 项：当c <0时，不等式a ＋c <b －c 可能成立；B 项：a >b ⇒a －b >0，c 2≥0，故(a －b )c 2≥0；C 项：当c ＝0时，ac ＝bc ；D 项：当c ＝0时，c 2a －b＝0.故选B.4．(2014·湖南)已知命题p ：若x ＞y ，则－x＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解：当x ＞y 时，两边乘以－1可得－x ＜－y ，∴命题p 为真命题；当x ＝1，y ＝－2时，显然x 2＜y 2，∴命题q 为假命题，∴②③为真命题．故选C.5．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c≤6C ．6＜c≤9D ．c ＞9解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C.6．如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB ．cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mC ．cos b －m a －m ＜cos b a ＜cos b ＋m a ＋mD ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b －m a －m ＜cos b a解：作商比较：b ＋m a ＋m ÷b a ＝ab ＋amab ＋bm＞1，所以1＞b ＋m a ＋m ＞b a ＞0，同理，0＜b －m a －m ＜b a ＜1，∴1＞b ＋m a ＋m ＞b a ＞b －m a －m ＞0.而y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －ma －m(也可取特殊值判断)．故选A.7．(2015·江西模拟)设a ＝lg e ，b ＝(lg e )2，c ＝lg e ，则a ，b ，c 的大小关系为________．解：∵e ＜10，∴lg e ＜lg 10＝12，∴(lg e )2＜12·lg e ＝lg e ，即b ＜c.又∵e ＜e ，∴lg e ＜lg e ，即c ＜a.故填b ＜c ＜a.8．(2015·安徽模拟)定义a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＜b ，b ，a ≥b.已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c ＝________．(结果用a ，b ，c 表示)解：∵log 30.3<0<0.33<1<30.3，∴c <b <a ，∴(a *b )*c ＝b *c ＝c.故填c.9．设实数a ，b ，c 满足①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，②c －b ＝4－4a ＋a 2.试确定a ，b ，c 的大小关系．解：∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，又2b ＝2＋2a 2，∴b ＝1＋a 2，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴b ＞a ，从而c ≥b ＞a.10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝1 000＋30x 800＋ax(a ∈N *，1≤x ≤10)．假设会超过1.5万元，则当a ＝10时有1 000＋30x 800＋10x ＞1.5，解得x ＞403＞10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元．(2)设1≤x 1＜x 2≤10，y ＝f (x )＝1 000＋30x800＋ax，则f (x 2)－f (x 1)＝1 000＋30x 2800＋ax 2－1 000＋30x 1800＋ax 1＝（30×800－1 000a ）（x 2－x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1）＞0，所以30×800－1 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．11．(2015·云南模拟改编)已知a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，求ca的取值范围．解：∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ， ∴a >－(a ＋c )>c ，且3a ＞a ＋b ＋c ＝0＞3c ，则a >0，c <0，∴1>－a ＋c a ＞ca，即1＞－1－c a ＞c a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，ca ＞－2，解得－2＜ca ＜－12.故c a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12. 设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >cb；②a c<b c；③log b ()a －c >log a ()b －c .其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③解：①∵a >b >1，∴0<1a <1b<1，又c <0，∴c a >cb ，①正确；②由于a >b >1，可设f (x )＝a x，g (x )＝b x，当x ＝c ＜0时，根据指数函数的性质，得a c <b c，②正确；③∵a ＞b ＞1，c ＜0，即a －c ＞b －c ＞1，∴log a(a－c)＞log a(b－c)，又由对数函数的性质知c)，③正确．故选D. log b(a－c)＞log a(a－c)，∴log b(a－c)＞log a(b－§7.2 一元二次不等式及其解法1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．(4)一元二次不等式的解：函数与不等式Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①②Rax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解{x|x1＜x＜x2}∅③集4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0 ⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）g（x）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.自查自纠：1．(1)同解不等式(2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＞ba⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＜baa＝0，b＜03．(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)①{}x|x＜x1或x＞x2②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x≠－b2a③∅(2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( )A．[－2，－1] B．[－1，2)C．[－1，1] D．[1，2)解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．故选A.设f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集为( )A．{x|x∈R} B．{x|x≠1，x∈R}C．{x|x≥1} D．{x|x≤1}解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b，由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b，解出b＝－2，代入原函数，f(x)>0即x2－2x＋1>0，x的取值范围是x≠1.故选B.已知－12<1x<2，则x 的取值范围是( )A ．(－2，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D.不等式2x 2－x <4的解集为____________．解：由2x 2－x <4得x 2－x <2，解得－1<x <2，即不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}．故填{x |－1<x <2}．(2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．解：显然k ≠0.则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＜0，解得k ∈(－3，0)．故填(－3，0)．类型一一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，则关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集为________．解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b ＝－13，从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0，将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故填{x |x ＜－3}．点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2aa ＋b＝－13是解本题的关键．解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时，①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅， ②当m ＝2时，原不等式的解集为R .(2)当m 2－4＞0，即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2.(3)当m 2－4＜0，即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2.类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0；(3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0.解：(1)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4.而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1.而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R .点拨：解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．(2015·贵州模拟)关于x 的不等式x2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是________．解：原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5；当a <1时，得a <x <1，此时解集中的整数为－2，－1，0.则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．故填[－3，－2)∪(4，5]．类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系(2015·贵州模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－1或x >12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}解：由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，且a ＜0.由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－b a ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1＜x ＜12.故选B.点拨：已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为________．解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝2＋3，ca ＝2×3，a ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0)．即6x 2＋5x ＋1＜0，解得－12＜x ＜－13.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜－13. 类型四含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.解：(1)当m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}；(2)当m ≠0时，不等式为m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＜0.①当m ＜0，不等式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＞0， ∵1m＜1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m或x ＞1.②当m ＞0，不等式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＜0.(Ⅰ)若1m＜1，即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m＜x ＜1；(Ⅱ)若1m＞1，即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ；(Ⅲ)若1m＝1，即m ＝1时，不等式的解集为∅.点拨：当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m ＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0，当a ＝0时，解集为(－∞，－1]．当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞；当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a .类型五分式不等式的解法(1)不等式x －12x ＋1≤1的解集为________．解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0⇔ x ＋22x ＋1≥0. 解法一：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{xx ＞－12或x ≤－2}．解法二：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0. 得{x |x ＞－12或x ≤－2}．故填{x |x ＞－12或x ≤－2}．(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集为．解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}，故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}．点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零．※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数)．(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根．①若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；②若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根．(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可)．(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根．但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆．(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零．(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0≤x ≤1} 解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．故选B.(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A.类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12成立，则实数a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， ∴a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，∴⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.∴a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a 2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0 ⇒a ≥0.(如图1) ②⎩⎪⎨⎪⎧0＜－a 2＜12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)③⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0 ⇒－52≤a ≤－1.(如图3)图1 图2 图3综上 ①②③，a ≥－52.故选C.(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．1＜x ＜3B ．x ＜1或x ＞3C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B.点拨：(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．(1)(2015·甘肃模拟)若不等式a ·4x－2x＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：不等式可变形为a >2x－14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t >0.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a >14.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1. ∴x ＜－1或x ＞3.故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．类型七二次方程根的讨论若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．[0，1)解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1.解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B.点拨：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x ＝－b2a与区间端点的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．(2015·贵州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为________．解：根据题意有f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0.∴－32<a <－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.检验知合要求．不等式f (x )>1即为－x 2－x ＋1>1，解得－1<x <0.∴故填{x |－1＜x ＜0}．类型八一元二次不等式的应用(2013·上海)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇒5x－14－3x≥0⇒5x 2－14x －3≥0⇒(5x ＋1)(x －3)≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 2＋1x ＋5＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112. 故x ＝6时，y max ＝457 500元．点拨：和一元二次不等式有关的实际应用题是高考考查的重点，这类题目往往与实际生活结合紧密，应予以重视．(2015·河南模拟)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解： (1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . ∵售价不能低于成本价，∴100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.∴y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.∴x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1，2] B ．[－1，2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，故选D.2．(2015·湖北模拟)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2.则f (x )＝－x 2－x ＋2，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2.故选C.3．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg2}B ．{x |－1<x <lg2}C ．{x |x >－lg2}D ．{x |x <－lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫10x －12<0，从而10x <12，解得x <－lg2，故选D.4．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m )的取值范围是( )A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30] 解：设矩形的另一边为y m ，依题意得x40＝40－y40，即y ＝40－x ，所以x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.故选C.5．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－12)B ．(－4，＋∞)C ．(－12，＋∞)D ．(－∞，－4)解：关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ＞0在(1，4)内有解，即a ＜2x 2－8x －4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2－8x －4＝2(x －2)2－12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－12；当x ＝4时，f (4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f (x )＜－4.要使a ＜f (x )有解，则a ＜－4.故选D.6．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－12，＋∞)C ．(－22，0)D ．(－12，0)解：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，a ＜0，－2＋a ＜0，12＋a ＞0.解得－12＜a ＜0.故选D.7．(2015·浙江模拟)不等式log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3的解集为________．解：log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3⇔log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤log 28⇔0＜x ＋1x ＋6≤8⇔－6＜x ＋1x ≤2.当x ＞0时，x ＋1x≥2，此时x ＝1；当x ＜0时，x ＋1x≤－2，此时x＋1x＞－6，解得－3－22＜x ＜－3＋22.故填(－3－22，－3＋22)∪{1}． 8．(2015·昆明模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值是______________．解：原不等式可化为x 2a ≥1＋x2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即（t 2－1）2a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22，对t ≥1恒成立，所以（t ＋1）2a ≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.故填8.9．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解法一：设f (x )＝x 2－ax －a.则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )min ≤－3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ＋a 24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.解法二：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m )与车速x (km /h )之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2. 问甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2＞12，即x 2＋10x －1200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(舍去)．这表明甲车的车速超过30 km /h ，又由甲车刹车距离略超12 m ，可判断甲车车速不会超过限速40 km /h.对于乙车有0.05x ＋0.005x 2＞10，即x 2＋10x －2000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(舍去)．这表明乙车超过40 km /h ，超过规定限速． 11．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)， ∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0. 因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a.①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①得f (x )的解析式f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a，及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a.由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．解关于x 的不等式：a （x －1）x －2＞1(a＜1)．解：(x －2)[(a －1)x ＋2－a ]＞0，当a ＜1时有(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1＜0，若a －2a －1＞2，即0＜a ＜1时，解集为{x |2＜x ＜a －2a －1}；若a －2a －1＝2，即a ＝0时，解集为∅；若a －2a －1＜2，即a ＜0时，解集为{x |a －2a －1＜x ＜2}．§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．②设________，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即________，在可行域内求得使目标函数________．自查自纠：1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x －2y＋6＝0的( )A．左下方 B．左上方C．右下方 D．右上方解：画出直线并取原点代入知C正确．故选C.(2015·北京)若x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－y≤0，x＋y≤1，x≥0，则z ＝x＋2y的最大值为( )A．0 B．1 C.32D．2解：由题意作出可行域如图中阴影部分所示，当z＝x＋2y经过点A(0，1)时取最大值，即z max ＝2.故选D.(2015·湖南)若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥－1，2x－y≤1，y≤1，则z＝3x－y的最小值为( ) A．－7 B．－1 C．1 D．2解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥－1，2x－y≤1，y≤1表示的可行域。

(全国通用)高考数学一轮复习第七章立体几何第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算习题理【含答案】

第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算[基础达标]一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则DE与D1F的位置关系是()A.平行B.相交且垂直C.异面且垂直D.既不平行也不垂直1.C【解析】建立空间直角坐标系后,求得=0,所以,即DE与D1F垂直且DE与D1F是异面直线.2.两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则是a∥b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.A【解析】a∥b且一个坐标为0是不能得到,所以必要性不满足,即是a∥b的充分不必要条件.3.已知空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N是BC的中点, =a,=b, =c,则=() A. a+b-c B.- a+b+cC. a-b+cD. a+b-c3.B【解析】∵点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点, +()++()+)=-,∵=a, =b, =c,∴=-a+b+c.4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是()A.B.C.D.4.D【解析】选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,可得AD1⊥B1C,此时有=0;选项B,当四边形ABCD为正方形时,可得AC⊥BD,可得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时有=0;选项C,由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1,可得AB⊥AD1,此时必有=0;选项D,由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1,可得BC⊥CD1,△BCD1为直角三角形,∠BCD1为直角,故BC与BD1不可能垂直,即≠0.5.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点,则||为() A.B.C.D.5.D【解析】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,则F,C1(0,1,1),G.因为H是C1G的中点,所以H,所以=-,则||=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量a=(-4,2,4),b=(-6,3,-2),则a·b=;|a|=.6.226【解析】a·b=(-4)×(-6)+2×3+4×(-2)=22,|a|==6.7.已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,a),如果四边形ABCD为梯形,则实数a的值为.7.9【解析】因为=(4,-8,2), =(8,5,7), =(2,-4,10-a), =(10,1,a-1),四边形ABCD为梯形,则,解得a=9,此时不平行.8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1B1上任意一点,则DP与BC1始终.8.垂直【解析】因为=()·=()·=0,所以,即DP与BC1始终垂直.三、解答题(共20分)9.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中点,H为平面EDB内一点,=(2m,-2m,-m)(m<0),证明:HC1⊥平面EDB.9.【解析】设正方体的棱长为a,则=(a,a,0),所以=(2m,-2m,-m)·=0,=(2m,-2m,-m)·(a,a,0)=0,所以,又DE∩DB=D,所以HC1⊥平面EDB.10.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AB,PC的中点,若ABCD是平行四边形.求证:MN∥平面PAD.10.【解析】取DP的中点E,连接AE,EN,则,所以,所以共面,且MN不在平面PAD上,所以MN∥平面PAD.[高考冲关]1.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),该四面体的体积为()A.B.C.1 D.21.A【解析】在空间直角坐标系中作出四面体的四个顶点,可知该四面体是棱长为的正四面体,所以体积为.2.(5分)设P(2,3,4)在三个坐标平面上的射影分别为P1,P2,P3,则向量:①(6,-3,-4);②(4,-3,-4);③(0,-3,4);④(2,-6,4).其中与平面P1P2P3平行的向量有().A.1个B.2个C.3个D.4个2.C【解析】由题意可知,P1,P2,P3的坐标分别为(2,3,0),(2,0,4),(0,3,4),可以求得平面P1P2P3的一个法向量为(6,4,3),①不与该法向量垂直,所以不与平面P1P2P3平行,②③④与该法向量垂直,所以与平面P1P2P3平行.3.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN 与平面BB1C1C的位置关系是() A.在平面上B.相交C.平行D.以上都不正确3.C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则点M a,,N,所以=-,0,-与平面BB1C1C的法向量=(0,a,0)垂直,且MN不在平面BB1C1C上,所以MN与平面BB1C1C的位置关系是平行.4.(5分)已知空间四边形ABCD中, =a-2c, =5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则=.4.3a+3b-5c【解析】=3a+3b-5c.5.(5分)已知空间图形A-BCD,E,F,G,H,M,N分别是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中点,求证:EG,FH,MN交于一点且互相平分.5.【解析】设P1,P2,P3分别为EG,FH,MN的中点,又设=a, =b, =c,则)=)=(a+b+c).同理可证 (a+b+c),(a+b+c),∴P1,P2,P3三点重合.从而原命题得证.6.(10分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M是棱AA1的中点,点O是对角线BD1的中点.(1)求证:BD1⊥AC;(2)求证:OM是异面直线AA1与BD1的公垂线.6.【解析】(1)以D为原点,DC,DA,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),M,O.∴=(-1,-1,1), =(1,-1,0),∴=(-1)×1+(-1)×(-1)+1×0=0,∴,即BD1⊥AC.(2) =(0,0,1), =(-1,-1,1),∵=0, =0,∴OM⊥AA1,OM⊥BD1,即OM是异面直线AA1与BD1的公垂线.7.(10分)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.在直线CC1上是否存在一点N,使得MN⊥AB1?若存在,请你求出它的位置;若不存在,请说明理由.7.【解析】假设在直线CC1上存在一点N,使得MN⊥AB1.如图,建立空间直角坐标系,有A(0,0,0),B,M,0,N(0,1,z),B1,∴.∵,∴=-+2z=0,解得z=,N,即CN=时,AB1⊥MN.。

近年高考数学一轮复习第7章不等式章末总结演练文(2021年整理)

2019高考数学一轮复习第7章不等式章末总结分层演练文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第7章不等式章末总结分层演练文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019高考数学一轮复习第7章不等式章末总结分层演练文的全部内容。

第7章不等式章末总结一、点在纲上,源在本里二、根置教材,考在变中一、选择题1．(必修5 P100练习T3改编)用长为a(a〉0)的铁丝折成一个矩形,则矩形面积的最大值为( )A．a22B。

错误!C．错误! D.错误!解析:选D.设折成的矩形的两边分别为x，y（x〉0，y〉0)．则x＋y＝错误!。

因为x＋y≥2错误!,所以xy≤错误!(x＋y)2＝错误!,即S矩形≤错误!.当且仅当x ＝y＝错误!时，S max＝错误!。

故选D.2．（必修5P91练习T1改编)实数x,y满足错误!且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（)A．错误!B。

错误!C．错误! D.错误!解析：选B。

在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分（包括边界）所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1，1）时有最大值3;当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点A（a，a）时有最小值3a,由3＝4×3a,得a＝错误!.3．（必修5 P93B组T1改编）设实数x，y满足条件错误!若目标函数z＝ax ＋by(a>0，b〉0）的最大值为8,则错误!＋错误!的最小值为( ）A．2 B．3C．4 D．6解析:选C.画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（包括边界)所示，当直线z＝ax＋by（a>0，b>0)过直线2x－3y＝6与直线x－6y＝－6的交点(6，2）时,目标函数z＝ax＋by（a>0，b>0）取得最大值8，即6a＋2b ＝8,所以3a＋b＝4，所以错误!（3a＋b)＝10＋3错误!≥16。

2022版高考数学一轮复习考案7理+7文第七章立体几何综合过关规范限时检测含解析新人教版

第七章综合过关规X限时检测(时间：120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2021·某某省某某中学调研)下列命题正确的个数为( C )①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1C．2 D．3[解析]①由于梯形是有一组对边平行的四边形，易知两平行线确定一平面，所以梯形可以确定一个平面，故①对；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，比如等腰三角形ABC，AB＝AC，直线AB，AC与直线BC所成的角相等，而直线AB，AC不平行，故②错；③两两相交的三条直线，比如墙角处的三条交线可以确定三个平面，故③对；④如果两个平面有三个公共点，比如两平面相交有一条公共直线，如果这三个公共点不共线，则这两个平面重合，故④错．综上，选C.2．(2020·某某省某某市6月模拟)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切．若O1O2＝2，则圆柱O1O2的表面积为( C )A．4πB．5πC．6πD．7π[解析]由题意，可得h＝2r＝2，解得r＝1，所以圆柱O1O2的表面积为S＝πr2×2＋2πr ×h ＝6πr 2＝6π.故选C.3．(2021·某某省某某市期末)一个几何体的三视图如图所示，小正方形的边长为1，则这个几何体的表面积是( D )A ．11πB ．9πC ．7πD ．5π[解析] 由三视图可得几何体为18个球体，球的半径为2，故该几何体的表面积为18×4×π×4＋3×π×44＝5π，故选D.4．(2021·某某省滨州市三模)已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是( B )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m ，则m ⊥βC ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n[解析]对A ：若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误；对B ：若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m ，不妨取交线m 上一点P ，作平面β的垂线为l ，因为l ⊥β，α⊥β，且点P ∈α，故l ⊂α；同理可得l ⊂γ，故l 与m 是同一条直线，因为l ⊥β，故m ⊥γ.故B 选项正确；对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，才会有α∥β.故C 错误；对D ：若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m 与n 的关系不确定，故D 错误．故选B.5．(理)(2021·东北三省四市教研联合体模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点．则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为( C )A ．55B ．105C ．1515D ．2515(文)(2021·某某某某一中期末)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是( C )A ．12B ．32C ．63D ．62[解析] (理)解法一：如图，设B 1M ∩A 1C 1＝H ，在AA 1上取点P ，使A 1P ＝13AA 1，连PH 、AC 1、PM ，易知PM ∥AC 1∥ON ，∴∠MHP 即为BM 与ON 所成的角，设正方体的棱长为6，则PM ＝3，PH ＝23，MH ＝5，∴cos ∠MHP ＝MH 2＋PH 2－PM 22PH ·MH ＝1515，故选C.解法二：以D 为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，所以有D (0,0,0)，O (1,1,0)，B 1(2,2,2)，M (1,0,2)，N (0，2,1)，因此B 1M →＝(－1，－2,0)，ON →＝(－1,1,1)，设异面直线B 1M 与ON 所成角为α，所以cos α＝|B 1M →·ON →||B 1M →|·|ON →|＝|－1×－1＋－2×1＋0×1|－12＋－22＋02·－12＋12＋12＝1515.故选C.(文)连BD 1，∵E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，∴EF ∥BD 1，∴∠AD 1B 即为EF 与AD 1所成的角，设正方体的棱长为1，则A 1D ＝2，BD 1＝3，又AB ⊥平面AD 1，∴AB ⊥AD 1，∴cos ∠AD 1B ＝AD 1BD 1＝23＝63.故选C.6．(2021·某某某某期末)已知m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是( C )①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ②若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β ③若m ∥n ，n ⊂α，α∥β，m ⊄β，则m ∥β ④若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β A ．①②B ．①③ C ．②③D ．②④[解析]在①中的条件下，m ∥n 或m 与n 相交或m 、n 异面，①错；又⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥αn ⊥β⇒α∥β，②正确；⎭⎪⎬⎪⎫n ⊂αα∥β⇒⎭⎪⎬⎪⎫n ∥βm ∥n m ⊄β⇒m ∥β，③正确；⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊥α⇒⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αα⊥β⇒m ∥β或m ⊂β，④错，故选C.7．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点．现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 点重合，重合后的点记为H .那么，在这个空间图形中必有( B )A ．AG ⊥平面EFHB ．AH ⊥平面EFHC ．HF ⊥平面AEFD ．HG ⊥平面AEF[解析]根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH⊂平面HAG，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.8．(2021·某某某某部分学校质检)如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是( D )[解析]选项D中，MN⊂平面ABC，故选D.9．(2021·某某滨州期末改编)已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD相交于点O.将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论错误的是( C ) A．BD⊥CMB．存在一个位置，使△CDM为等边三角形C．DM与BC不可能垂直D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°[解析]由题意知BD⊥OM，BD⊥CO，∴BD⊥平面MOC，∴BD⊥CM，A正确；设菱形边长为a，则CM的取值X围为(0，3a)，∴B正确；当CM＝a时，DM⊥BC，C错；当平面MBD⊥平面BCD时，直线DM与平面BCD所成角最大为60°，D正确，故选C.10．(2021·某某虹口区期末)在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是( C ) A．1个B．2个C．3个D．无数个[解析](1)如图，当直线AB与l异面时，则只有一种情况；(2)当直线AB与l平行时，则有无数种情况，平面α可以绕着l转动；(3)如图，当l过线段AB的中垂面时，有两种情况．故选C.11.(2021·某某某某模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1＝1，P是侧面BCC1B1内一动点，HP＝13，则CP的最小值为( A )A．13－2 B．13－3C.15－2 D．15－3[解析] 如图，作HG⊥BB1交BB1于点G，则B1G＝1.因为HP＝13，所以GP＝2，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以CP的最小值为CG－2＝13－2.12．(理)(2021·某某某某质检)在三棱锥A－BCD中，△ABC和△BCD都是边长为23的等边三角形，且平面ABC⊥平面BCD，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为( D ) A．8πB．12πC．16πD．20π(文)(2021·某某某某、某某名师联盟质检)将一个半径为6的半球切削成一个正方体(保持正方体的一个所在平面上)，所得正方体体积的最大值为面在半球底面( B )A．42B．8C．22D．4[解析] (理)取BC的中点E，连结AE与DE，则AE⊥DE，且AE＝DE＝23×3 2＝3，在DE上取点I使得EI＝13DE，在AE上取点H使得EH＝13AE，则点I是三角形BCD的外接圆圆心，点H是三角形BCA的外接圆圆心，则BI＝12×2332＝2，分别过点I、H作平面BCD和ABC的垂线IO和HO交于O点，则点O是三棱锥A－BCD的外接球球心，OI ＝EH＝13×3＝1，BO＝BI2＋OI2＝4＋1＝5，故外接球半径为5，则三棱锥A－BCD 外接球的表面积4π×5＝20π.(文)由题意，当正方体内接于半球时体积最大，如图，连接球心O与点C，连接OC1，则OC1＝ 6.设正方体棱长为a，则在Rt△OCC1中，OC2＋CC21＝OC21，⎝⎛⎭⎪⎪⎫22a2＋a2＝6，解得a＝2，故正方体体积的最大值为8.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2021·石景山期末)已知平面α、β、γ.给出下列三个论断：①α⊥β；②α⊥γ；③β∥γ.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β(或填α⊥β，β∥γ，则α⊥γ) .14．(2018·某某卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为43.[解析]由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥＝2×13×(2)2×1＝43.15．如图所示，在直四棱柱(侧棱与底面垂直)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或ABCD 为正方形或ABCD 为菱形等) 时，有AC 1⊥BD 成立(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．[解析]∵C 1C ⊥平面ABCD ，∴BD ⊥CC 1，又BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面ACC 1，∴AC 1⊥BD . 16．(2021·某某滨州期末)在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝2，且SA ⊥SB ，BC ＝5，AC ＝3，则该四面体体积的最大值为306，该四面体外接球的表面积为 8π.[解析]∵SA ＝SB ＝2，SA ⊥SB ，∴AB ＝22，又BC ＝5，AC ＝3，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，即AC ⊥BC ，当平面ASB ⊥平面ABC 时V S －ABC 最大，此时V S －ABC ＝13×152×2＝306.设AB 的中点为O ，则OA ＝OB ＝OC ＝OS ＝2，即四面体外接球的半径为2，∴四面体外接球的表面积为S ＝4π(2)2＝8π.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(理)(2021·某某新高考质量测评)如图，在四棱锥M －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝BC ＝1，MD ＝1，MD ⊥平面ABCD ，H 是MB 中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：(1)二面角A －MD －C 的大小是2π3；(2)∠BAD ＝π2，若.求CH 与平面MCD 所成角的正弦值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．(文)(2021·某某、某某联考)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D ，E 分别为A 1C 1，B 1C 1的中点，AB ＝AC .(1)AB ∥平面CDE ； (2)A 1E ⊥CE .[解析](理)若选(1)．因为MD ⊥平面ABCD ，所以AD ⊥MD ，CD ⊥MD ，所以∠ADC 就是二面角A －MD －C 的平面角，所以∠ADC ＝2π3，过D 作x 轴⊥DC ，以D 为坐标原点，以DC ，DM 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则C(0,1,0)，H⎝⎛⎭⎪⎪⎫34，14，12.所以CH→＝⎝⎛34，－34，12)．取平面MCD的一个法向量为n＝(1,0,0)．设CH与平面MCD所成角为θ，则sin θ＝|CH→·n||CH→|·|n|＝34316＋916＋14＝34.所以CH与平面MCD所成角的正弦值是34.若选(2)．因为MD⊥平面ABCD，∠BAD＝π2，所以DA，DC，DM两两垂直．以D为坐标原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则C(0,1,0)，H⎝⎛⎭⎪⎫12，12，12.所以CH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，12.取平面MCD 的一个法向量n ＝(1,0,0)．设CH 与平面MCD 所成角为θ，则sin θ＝|CH →·n ||CH →|·|n |＝1214＋14＋14＝33.所以CH 与平面MCD 所成角的正弦值是33.(文)(1)因为D ，E 分别为A 1C 1，B 1C 1的中点，所以DE ∥A 1B 1，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以AB ∥DE .又因为DE ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，所以AB ∥平面CDE .(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，E 为B 1C 1的中点，所以A 1E ⊥B 1C 1.因为C 1C ∥AA 1，所以C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，又因为A 1E ⊂平面A 1B 1C 1，所以C 1C ⊥A 1E . 因为C 1C ⊂平面BB 1C 1C ，B 1C 1⊂平面BB 1C 1C ，C 1C ∩B 1C 1＝C 1，所以A 1E ⊥平面BB 1C 1C .因为C 1E ⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1E ⊥CE .18．(本小题满分12分)(2021·某某潍坊安丘市、诸城市、高密市联考)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的边长均为23，E ，F 分别是线段AC 1和BB 1的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC ； (2)求三棱锥C －ABE 的体积．[解析](1)证明：取AC 的中点为G ，连结GE ，GB ，在△ACC 1中，EG 为中位线，所以EG ∥CC 1，EG ＝12CC 1，又因为CC 1∥BB 1，CC 1＝BB 1，F 为BB 1的中点，所以EG ∥BF ，EG ＝BF ，所以四边形EFBG 为平行四边形，所以EF ∥GB ，又EF ⊄平面ABC ，GB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .(2)因为V C －ABE ＝V E －ABC ，因为E 为AC 1的中点，所以E 到底面ABC 的距离是C 1到底面ABC 的距离的一半，即三棱锥E －ABC 的高h ＝12CC 1＝3，又△ABC 的面积为S ＝34×(23)2＝33，所以V C －ABE ＝V E －ABC ＝13Sh ＝13×33×3＝3.19．(本小题满分12分)(理)(2021·某某某某、某某质检)已知平面多边形PABCD 中，PA ＝PD ，AD ＝2DC ＝2BC ＝4，AD ∥BC ，AP ⊥PD ，AD ⊥DC ，E 为PD 的中点，现将△APD 沿AD 折起，使PC ＝2 2.(1)证明：CE ∥平面ABP ；(2)求直线AE 与平面ABP 所成角的正弦值．(文)(2021·某某某某质检)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAB 是边长为2正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形．(1)证明：PC ⊥AB ； (2)求点D 到PAC 的距离．[解析](理)(1)证明：取PA 的中点H ，连HE ，BH . ∵E 为PD 中点，∴HE 为△APD 的中位线， ∴HE ∥AD ，HE ＝12AD .又AD ∥BC ，∴HE ∥BC ，HE ＝BC ， ∴四边形BCEH 为平行四边形， ∴CE ∥BH .∵BH ⊂平面ABP ，CE ⊄平面ABP ， ∴CE ∥平面ABP .(2)由题意知△PAD 为等腰直角三角形，四边形ABCD 为直角梯形，取AD 中点F ，连接BF ，PF ，∵AD ＝2BC ＝4，∴平面多边形PABCD 中P ，F ，B 三点共线，且PF ＝BF ＝2， ∴翻折后，PF ⊥AD ，BF ⊥AD ，PF ∩BF ＝F ， ∴DF ⊥平面PBF ，∴BC ⊥平面PBF ， ∵PB ⊂平面PBF ，∴BC ⊥PB . 在直角三角形PBC 中，PC ＝22，BC ＝2，∴PB ＝2，∴△PBF 为等边三角形．取BF 的中点O ，DC 的中点M ，则PO ⊥BF ，PO ⊥DF ，DF ∩BF ＝F ， ∴PO ⊥平面ABCD .以O 为原点，OB →，OM →，OP →分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,2,0)，P (0,0，3)，A (－1，－2,0)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，1，32， ∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，3，32， ∴AB →＝(2,2,0)，BP →＝(－1,0，3)．设平面ABP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB→＝0n ·BP→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0－x ＋3z ＝0.故可取n ＝(3，－3，3)， ∴cos n ，AE →＝n ·AE→|n |·|AE →|＝－21035.∴直线AE 与平面ABP 所成角的正弦值为21035.(文)(1)如图所示取AB 中点为M ，连接PM ，CM ，∵△PAB 、△ABC 均为正三角形， ∴PM ⊥AB ，CM ⊥AB .∴AB ⊥PM ，AB ⊥CM ，又PM ∩CM ＝M ， ∴AB ⊥平面PMC .又∵PC ⊂平面PMC ，∴AB ⊥PC .(2)∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PM ⊥AB ， ∴PM ⊥平面ABC ，∴PM ⊥CM ， ∴PC ＝PM 2＋CM 2＝6，∴S △PAC ＝12×PC ×h ＝12×6×22－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫622＝152， ∴V P －ABC ＝V P －ACD ＝13×S V －ABC ×PM ＝13×34×22×3＝1，设D 到平面PAC 的距离为d ，则V P －ACD ＝V D －PAC ＝13S V －PAC d ＝13×152d ＝1，∴d ＝2155，∴D 到平面PAC 的距离为2155. 20．(本小题满分12分)(理)(2021·某某某某调研)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ADC ＝120°，且DE ∥FC ，DE ⊥平面ABCD ，DE ＝2FC ＝2.(1)证明：平面FBE ⊥平面EDB ； (2)求二面角A －EB －C 的余弦值．(文)(2021·某某实验中学模拟)已知四边形ABCD 是梯形(如图甲)，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD ＝4，AB ＝AD ＝2，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置(如图乙)，且PB＝2.(1)求证：平面PAE ⊥平面ABCE ； (2)求点A 到平面PBE 的距离．[解析](理)(1)如图，连接AC 交BD 于点O ，取EB 的中点H ，连接FH ，HO .∵四边形ABCD 为菱形，点H 是EB 的中点，DE ∥FC . ∴HO ∥FC ，HO ＝12ED ＝FC ，∴四边形CFHO 为平行四边形， ∵FH ∥CO .∵DE ⊥平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥CO . 又∵CO ⊥BD ，ED ∩BD ＝D ，∴CO ⊥平面EDB ， ∴FH ⊥平面EDB .又FH ⊂平面FBE ， ∴平面FBE ⊥平面EDB .(2)连接EC ，以点O 为坐标原点，分别以OB →，OC →，OH →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题意得A (0，－3，0)，C (0，3，0)，B (1,0,0)，E (－1,0,2)，则EB →＝(2,0，－2)，AB →＝(1，3，0)，BC →＝(－1，3，0)．设平面AEB 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧EB →·m ＝0，AB→·m ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－2z 1＝0x 1＋3y 1＝0，取m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－33，1.设平面CEB 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧EB →·m ＝0BC→·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2z 2＝0－x 2＋3y 2＝0，取n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－33，－1.cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝1×－1＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33＋1×－11＋13＋1×1＋13＋1＝－57，∴二面角A－EB－C的余弦值为－57.(文)(1)证明：连接BE，因为AB∥CD，AD⊥DC，CD＝4，E为CD的中点，AB＝AD＝2，所以四边形ABED是边长为2的正方形，且BE＝EC.取AE的中点M，连接PM，BM.因为AP＝PE＝2，所以PM⊥AE，BM⊥AE，且AE＝22，PM＝AM＝BM＝ 2.又PB＝2，所以PM2＋MB2＝PB2，所以PM⊥MB.又AE∩MB＝M，所以PM⊥平面ABCE.又PM⊂平面PAE，所以平面PAE⊥平面ABCE.(2)由(1)知，PM⊥平面ABCE，△PBE为正三角形且边长为2.设点A到平面PBE的距离为d，则V P －ABE ＝13×S △ABE ×PM ＝13×S △PBE ×d ，所以13×12×2×2×2＝13×34×22×d ，解得d ＝263，故点A 到平面PBE 的距离为263.21．(本小题满分12分)(2021·某某中原名校质量测评)如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A ，B 在底面圆周上，且∠AOB ＝60°，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点．(1)求证：AC ⊥OB ；(2)若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值．[解析](1)证明：由题意，得SO ⊥底面圆O ，∵点C ，D 分别为SB ，OB 中点，∴CD ∥SO ，∴CD ⊥底面圆O ，∵OB 在底面圆O 上，∴OB ⊥CD ，∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 为正三角形，又D 为OB 中点，∴OB ⊥AD ，又AD ∩CD ＝D ，且AD ，CD ⊂平面ACD ，∴OB ⊥平面ACD ，∵AC ⊂平面ACD ，∴AC ⊥OB .(2)解法一：作DH ⊥OA 于H ，∵SO⊥底圆面O，∴DH⊥SO，∴DH⊥平面SOA，又正△OAB边长为2，∴DH＝32，AD＝3，又OS＝4，∴DC＝2，又CD⊥AD，∴AC＝AD2＋DC2＝7，设AC与平面SOA所成角为θ，又C到平面SAO的距离等于DH，∴sin θ＝327＝2114.解法二：(理)如图，以D为原点，DA，DB，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3，0,0)，C(0,0,2)，O(0，－1，0)，S(0，－1,4)，故AC→＝(－3，0,2)，AS→＝(－3，－1,4)，OA→＝(3，1,0)，设平面SOA的法向量为n＝(x，y，z)，由⎩⎨⎧ n ·AS →＝0n ·OA →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －y ＋4z ＝03x ＋y ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－3，0)为平面SOA 的一个法向量，设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AC →|n |·|AC →|＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3＋0＋01＋3×3＋4＝327＝2114，即直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值为2114. 22．(本小题满分12分)(理)(2021·某某九师联盟质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，PA ⊥PD ，PA ＝PD .(1)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；(2)若BC ＝1，AD ＝CD ＝2，求二面角A －PC －B 的余弦值．(文)(2021·皖豫名校联盟联考)如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，平面SAB ⊥底面ABCD ，∠ABC ＝90°，∠ACD ＝60°，AC ＝AD ，SA ＝2，AB ＝3，BC ＝1.设平面SCD 与平面SAB 的交线为l ，E 为SD 的中点．(1)求证：l ∥平面ACE ；(2)若在棱AB上存在一点Q，使得DQ⊥平面SAC，当四棱锥S－ABCD的体积最大时，求SQ的值．[解析] (理)(1)证明：在四棱锥P－ABCD中，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又因为CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.因为PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA．因为PA⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PC⊂平面PCD，所以PA⊥平面PCD.因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.(2)解：取AD中点O，连接OP，OB，因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，因为PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OA，PO⊥OB.因为CD⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC，所以BC∥OD，BC＝OD，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥OC，所以OB⊥AD.以OA，OB，OP所在的直线分别为x、y、z轴建立，如图所示的空间直角坐标系O －xyz，则O (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (－1,2,0)，P (0,0,1)，所以AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－1,0,1)，BC →＝(－1,0,0)，BP →＝(0，－2,1)，设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ AC →·n ＝0，AP →·n ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－x ＋z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1,1,1)．设平面BPC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎨⎧ BC →·m ＝0，BP →·m ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，－2b ＋c ＝0. 令b ＝1，则m ＝(0,1,2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝155，易判断二面角A －PC －B 为锐角，所以二面角A －PC －B 的余弦值为155. (文)(1)在Rt △ABC 中，因为BC ＝1，AB ＝3，所以tan ∠BAC ＝13＝33，AC ＝2，所以∠BAC ＝30°.在△ACD 中，因为AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，所以△ACD 为等边三角形，所以CD ＝2，∠CAD ＝60°，所以∠BAD ＝90°，又∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .如图，延长AB 和DC 交于点F ，连接SF ，因为F ∈AB ，AB ⊂平面SAB ，所以F ∈平面SAB .同理可得F ∈平面SCD .所以SF 所在直线即为直线l .因为BCAD ＝FC FD ＝12，所以C 为DF 的中点，所以在△SDF 中，l ∥CE .因为l 不在平面ACE 内，CE ⊂平面ACE ，所以l ∥平面ACE .(2)过S 向AB 作垂线，垂足为P ，因为平面SAB ⊥底面ABCD ，所以SP ⊥底面ABCD ，因为梯形ABCD 的面积和SA 的长为定值，所以当P 与A 重合，即SA ⊥底面ABCD 时，四棱锥S －ABCD 的体积最大．因为DQ ⊥平面SAC ，AC ⊂平面SAC ，所以DQ ⊥AC ，所以DQ 经过AC 的中点．所以∠ADQ ＝30°，所以AQ ＝AD ·tan ∠ADQ ＝2·tan 30°＝233，故SQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2332＋22＝433.。

高考数学总复习第七章第6课时知能演练+轻松闯关文试题

【优化方案】2021年高考数学总复习第七章第6课时知能演练+轻松闯关文创作人：历恰面日期： 2020年1月1日1．(2021·调研)点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的间隔是( )A.62B.32C. 3D ．2c ＝2，a ＝1，∴b ＝1，∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．将y ＝12代入可求P 的横坐标为x ＝－52.∴点P 到原点的间隔为－522＋122＝62. 2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1是左焦点，O 是坐标原点，假设双曲线上存在点P ，使|PO |＝|PF 1|，那么此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1，＋∞)C ．(1,3)D ．[2，＋∞)解析：选D.由|PO |＝|PF 1|得点P 的横坐标x 1＝－c2，因为P 在双曲线的左支上，所以－c2≤－a ，即e ＝c a≥2.应选D.3．(2021·高考卷)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有 (λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或者λ＝－4.一、选择题1．(2021·高考卷)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，那么a 的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±322，解得aa >0，∴a ＝2. 2．M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，那么动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．双曲线右边一支D ．一条射线解析：选C.∵|PM |－|PN |＝3＜4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支，又∵|PM |＞|PN |，∴点P 的轨迹为双曲线的右支． 3．(2021·质检)假设k ∈R ，那么方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )A ．－3＜k ＜－2B ．k ＜－3C ．k ＜－3或者k ＞－2D ．k ＞－2⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3＞0，k ＋2＜0，解得－3＜k ＜－2.4．(2021·高考卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的间隔为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，那么双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5A 1(－a,0)，渐近线为y ＝±bax ，抛物线y 2＝2px (p >0)焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为直线x ＝－p2.由题意知－p2＝－2，∴p ＝4，由题意知2＋a ＝4，∴a ＝2.∴双曲线渐近线y ＝±b 2x 中与准线x ＝－p 2交于(－2，－1)的渐近线为y ＝b 2x ，∴－1＝b2×(－2)，∴b ＝1.∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴c ＝5，∴2c ＝2 5.5．双曲线的焦点分别为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，假设双曲线上存在一点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝8，那么此双曲线的HY 方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 264－y 236＝1 D.x 24－y 23＝1 x 轴上，由|PF 1|－|PF 2|＝8得a ＝4，又c ＝5，从而b 2＝c 2－a2x 216－y 29＝1.应选A. 二、填空题6．(2021·高考卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有一样的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，那么双曲线的方程为________．解析：椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有一样的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.答案：x 24－y 23＝17．过点P (－2,0)的双曲线C 与椭圆x 225＋y 29＝1有一样的焦点，那么双曲线C 的渐近线方程是________．解析：由题意，双曲线C 的焦点在x 轴上且为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，∴c ＝4. 又双曲线过点P (－2,0)，∴a ＝2. ∴b ＝c 2－a 2＝23，∴其渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 答案：3x ±y ＝08．双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，那么PA 1→·PF 2→的最小值为________．解析：设P (x 0，y 0)，由题意知x 0≥1，且A 1(－1,0)，F 2(2,0)，那么PA 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－x 0－2，由P 在双曲线x 2－y 23＝1上得x 20－y 203＝1，所以y 20＝3x 20－3，所以PA 1→·PF 2→＝4x 20－x 0－5＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－182－164－5(x 0≥1)，故当x 0＝1时，(PA 1→·PF 2→)min ＝－2.答案：－2 三、解答题9．椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有一样焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因此双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0,5)到两条渐近线的间隔为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10.如下图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|，又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝23， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23，∴双曲线的方程为：3x 22－y22＝1.11．(探究选做)中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)假设直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，务实数m 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由得a ＝3，c ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝12m 2＋1－3k 2＞0，可得m 2＞3k 2－1且k 2≠13.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)，那么x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k2，由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k2＝－1k(k ≠0，m ≠0)，整理得3k 2＝4m ＋1，② 将②代入①，得m 2－4m ＞0， ∴m ＜0或者m ＞4，又3k 2＝4m ＋1＞0(k ≠0)，即m ＞－14.∴m 的取值范围是(－14，0)∪(4，＋∞)．。

2022届高考数学一轮复习第七章7

第七章核心考点·精准研析考点一类比推理1.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,与半球(如图一)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥(如图二),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆+=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图三),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )A.4πB.8πC.16πD.32π2.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d=,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为()A.3B.5C.D.3【解析】1.选C.构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥,则当截面与底面距离为h(0≤h≤3)时,小圆锥的底面半径为r,则=,所以r=h,故截面面积为4π-,把y=h代入椭圆+=1可得x=±,所以橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π-,由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2=16π.2.选B.类比平面内点到直线的距离公式,可得空间中点(x0,y0,z0)到直线Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=,则所求距离d==5.类比推理的分类考点二演绎推理【典例】已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N+). 世纪金榜导学号(1)求a2,a3,a4的值,猜想数列{a n}的通项公式.(2)运用(1)中的猜想,证明数列是等差数列,并注明大前提、小前提和结论.【解题导思】序号题目拆解(1) 猜想数列的通项公式根据a2,a3,a4的结构特征归纳猜想(2) 证明数列是等差数列证明-=常数【解析】(1)因为数列{a n}中,a1=1,a n+1=,a2=,a3=,a4=,猜想:a n=.(2)因为通项公式为a n的数列{a n},若a n+1-a n=d,d是常数,则{a n}是等差数列,…大前提又因为-=,为常数;…小前提所以数列是等差数列.…结论演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.设数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n=2-S n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值并写出其通项公式.(2)用三段论证明数列{a n}是等比数列.【解析】(1)由a n=2-S n,当n=1时,a1=2-S1=2-a1,解得a1=1,当n=2时,a2=2-S2=2-a1-a2,解得a2=,当n=3时,a3=2-S3=2-a1-a2-a3,解得a3=,当n=4时,a4=2-S4=2-a1-a2-a3-a4,解得a4=,…由此归纳推理得a n =(n∈N*).(2)因为通项公式为a n的数列{a n},若=p,p是非零常数,则{a n}是等比数列;因为通项公式a n =,又=;所以通项公式a n =的数列{a n}是等比数列.考点三归纳推理命题精解读1.考什么:(1)考查数学定义、等式、不等式的证明.(2)考查逻辑推理的核心素养.2.怎么考:与数列、基本初等函数结合考查数学概念、数列相关的等式、不等式的证明.3.新趋势:与三角、统计等知识点的交汇问题.学霸好方法1.数字排列问题的解题方法:先从行的规律归纳开头与末尾的数与所在行的关系式,再从列的规律归纳数与所在列的关系式,最后归纳表中各个数与行列的关系式2.与式子有关的推理(1)与不等式有关的归纳推理:观察所给几个不等式两边式子的特点,注意纵向看、找出隐含规律.(2)与数列有关的归纳推理:通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出式子即可.3.图形问题的解法:与图形变化有关的归纳推理,合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.与数字有关的归纳推理【典例】(2019·宜昌模拟)大衍数列,源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,揭示了中国传统文化中的太极衍生原理(其衍生过程如图所示).已知大衍数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列第25项与第26项之和为( )A.600B.650C.700D.750【解析】选B.0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,72,84,98,112,128,144,162,180,200,220,242,264,288,312,338,故此数列第25项与第26项之和为312+338=650.与式子有关的归纳推理【典例】(2019·武汉模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,……,第n个三角形数为=n2+n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=n2+n正方形数N(n,4)=n2五边形数N(n,5)=n2-n六边形数N(n,6)=2n2-n可以推测N(n,k)=________________,由此计算N(5,12)=________________. 世纪金榜导学号【解析】原已知式子可化为:N(n,3)=n2+n=n2+n;N(n,4)=n2=n2+n;N(n,5)=n2-n=n2+n;N(n,6)=2n2-n=n2+n;可推测N(n,k)=n2+n,故N(5,12)=5×52-4×5=105.答案:n2+n 105与图形有关的归纳推理【典例】(2020·衡水模拟)如图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来,……,如此类推.设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n,则+++…+= ( )世纪金榜导学号A. B. C. D.【解析】选A.a3=12,a4=20,a5=30,猜想a n=n(n+1)(n≥3,n∈N*),所以==-,所以+++…+=+++…+=-=.1.(2020·山东省实验中学模拟)观察下列式子,l n 2>,l n 3>+,l n 4>++,……,根据上述规律,第n个不等式应该为________________.【解析】根据题意,对于第一个不等式,l n 2>,则有l n(1+1)>,对于第二个不等式,ln 3>+,则有ln(2+1)>+,对于第三个不等式,ln 4>++,则有ln(3+1)>++,以此类推:第n个不等式为:ln(n+1)>++…+.答案:l n(n+1)>++…+2.(2020·西北工业大学附中模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以下排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________________.12 34 5 67 8 9 10……【解析】第n-1行最后一个数是1+2+3+…+(n-1)=,第n(n≥3)行从左至右的第3个数是+3=.答案:如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,…,以此类推,则格点坐标(22,23)的标签为 ( )A.2 109B.2 107C.2 207D.2 209【解析】选C.观察图像得点(1,0)处标1,即12,点(2,1)处标9,即32,点(3,2)处标25,即52,归纳点(n+1,n)处标(2n+1)2,则格点坐标(24,23)的标签为(2×23+1)2=2 209,又点(22,23)在点(24,23)左边两格,即格点坐标(22,23)的标签为2 207.。

高三数学一轮复习第七章第6课时知能演练轻松闯关新人教版

1．(2012·大同调研)已知△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)．求：(1)顶点B 和顶点C 的坐标；(2)CA →·AB →.解：(1)设B (x 1，y 1，z 1)，由AB →＝(x 1，y 1，z 1)－(2，－5,3)＝(4,1,2)，故B (6，－4,5)，同理C (9，－6,10)．(2)∵CA →＝－AC →＝－(AB →＋BC →)＝(－7,1，－7)，∴CA →·AB →＝(－7,1，－7)·(4,1,2)＝－28＋1－14＝－41.2．E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中线段A 1D ，AC 上的点，且DE ＝AF ＝13AC .求证： (1)EF ∥BD 1；(2)EF ⊥A 1D .证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，连接DF ，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0, 1,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，13，又DF →＝DA →＋13AC →，可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，0. ∵EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13，BD 1→＝(－1，－1,1)＝－3EF →， ∴BD 1→∥EF →，又F 不在BD 1上，∴EF ∥BD 1.(2)∵A 1D →＝(－1,0，－1)，EF →·A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13·(－1,0，－1)＝0， ∴EF →⊥A 1D →，即EF ⊥A 1D .一、选择题1．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直解析：选B.由题意得AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点．∴AB ∥CD .2．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面解析：选D.OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面．3．已知两空间向量m ＝(cos θ，1，sin θ)，n ＝(sin θ，1，cos θ)，则m ＋n 与m －n 的夹角是( )A.π2 B ．－π2C.π3D.π4解析：选A.由题意得(m ＋n )·(m －n )＝m 2－n 2＝cos 2θ＋1＋sin 2θ－(sin 2θ＋1＋cos 2θ)＝0，∴(m ＋n )⊥(m －n )，∴〈m ＋n ，m －n 〉＝π2. 4．空间四点A (2,3,6)、B (4,3,2)、C (0,0,1)、D (2,0,2)的位置关系为( )A ．共线B ．共面C ．不共面D ．无法确定解析：选C.∵AB →＝(2,0，－4)，AC →＝(－2，－3，－5)，AD →＝(0，－3，－4)．假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x ，y ，使AD →＝xAB →＋yAC →，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2y ＝0， ①－3y ＝－3， ②－4x －5y ＝－4， ③由①②得x ＝y ＝1，代入③式不成立，矛盾．∴假设不成立，故四点不共面．5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1 解析：选C.如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)．二、填空题6．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．解析：由题意得(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10.即2a ·c ＋b ·c ＝－10，又∵a ·c ＝4，∴b ·c ＝－18，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12， ∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.答案：60°7.如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，M 为AC 1与CA 1的交点，则M 点的坐标为__________．解析：由长方体的几何性质得，M 为AC 1的中点，在所给的坐标系中，A (0,0,0)，C 1(2,3,2)，∴中点M 的坐标为(1，32，1)．答案：(1，32，1) 8．(2012·保定质检)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 上的点，F 是AC 上的点，且A 1E ＝2EB ，CF ＝2AF ，则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为________．解析：取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 为基底，易得EF →＝－13(a ＋b －c )，而DB 1→＝a ＋b －c ，即EF →∥DB 1→，故EF ∥DB 1，且EF ⊄平面A 1B 1CD ，DB 1⊂平面A 1B 1CD ，所以EF ∥平面A 1B 1CD .答案：平行三、解答题9．已知向量b 与向量a ＝(2，－1,2)共线，且满足a ·b ＝18，(ka ＋b )⊥(ka －b )，求向量b 及k 的值．解：∵a ，b 共线，∴存在实数λ，使b ＝λa ，∴a ·b ＝λa 2＝λ|a |2 ＝λ[22＋－12＋22]2＝18，解得λ＝2.∴b ＝(4，－2,4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －b )，∴(ka ＋b )·(ka －b )＝0. ∴(ka ＋2a )·(ka －2a )＝0. ∴(k 2－4)|a |2＝0.∴k ＝±2.10.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →； (2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x 、y 、z 的值．解：(1)∵AB →＋AD →＝AC →，∴A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →) ＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →. (2)∵EO →＝ED →＋DO →＝23D 1D →＋12DB → ＝23D 1D →＋12(DA →＋AB →) ＝23A 1A →＋12DA →＋12AB → ＝12AB →－12AD →－23AA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23. 11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，3AD ＝DC ＝3，AB＝2，E 是DC 上的点，且满足DE ＝1，连接AE ，将△DAE 沿AE 折起到△D 1AE 的位置，使得∠D 1AB ＝60°，设AC 与BE 的交点为O .(1)试用基向量AB →，AE →，AD 1→表示向量OD 1→；(2)求异面直线OD 1与AE 所成角的余弦值；(3)判断平面D 1AE 与平面ABCE 是否垂直？并说明理由．解：(1)∵AB ∥CE ，AB ＝CE ＝2， ∴四边形ABCE 是平行四边形，∴O 为BE 的中点．∴OD 1→＝AD 1→－AO →＝AD 1→－12(AB →＋AE →) ＝AD 1→－12AB →－12AE →.(2)设异面直线OD 1与AE 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈OD 1→，AE →〉|＝|OD 1→·AE →||OD 1→|·|AE →|，∵OD 1→·AE →＝(AD 1→－12AB →－12AE →)·AE →＝AD 1→·AE →－12AB →·AE →－12|AE →|2＝1×2×cos45°－12×2×2×cos45°－12×(2)2＝－1，|OD 1→|＝ AD 1→－12AB →－12AE →2＝62， ∴cos θ＝|OD 1→·AE →||OD 1→|·|AE →||＝|－162×2|＝33.故异面直线OD 1与AE 所成角的余弦值为33.(3)平面D 1AE ⊥平面ABCE .证明如下：取AE 的中点M ，连接D 1M ，则D 1M →＝AM →－AD 1→＝12AE →－AD 1→，∴D 1M →·AE →＝(12AE →－AD 1→)·AE →＝12|AE →|2－AD 1→·AE →＝12×(2)2－1×2×cos45°＝0. ∴D 1M →⊥AE →.∴D 1M ⊥AE .∵D 1M →·AB →＝(12AE →－AD 1→)·AB →＝12AE →·AB →－AD 1→·AB →＝12×2×2×cos45°－1×2×cos60°＝0，∴D 1M →⊥AB →，∴D 1M ⊥AB.又AE ∩AB ＝A ，AE 、AB ⊂平面ABCE ， ∴D 1M ⊥平面ABCE .∵D 1M ⊂平面D 1AE ，∴平面D 1AE ⊥平面ABCE .。

空间向量的应用课件-2025届高三数学一轮基础专项复习

（2）平面平面 .
【答案】结合（1）知，，,, ．设平面的法向量为，则即令，则,,得．设平面的法向量为，则即得,令，则,得 .因为，所以 ,故平面平面．
5.中等［苏教选必二P53复习题第13题变式］如图，在三棱柱中，平面，，且，，点是的中点.
（1）求证：平面 .
【答案】第1步：建系由题意，以为坐标原点，,,的方向分别为轴,轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，,, ,
教材知识萃取
2.利用空间向量证明垂直问题的方法
线线垂直
证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零．
线面垂直
（1）证明直线的方向向量与平面的法向量共线；（2）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直．
面面垂直
（1）其中一个平面与另一个平面的法向量平行；（2）两个平面的法向量垂直.
4.［人A选必一P33练习第3题变式］如图，已知平面，四边形为矩形，，,分别为, 的中点，求证：
（1）平面；
【答案】第1步：建系由题意，以为坐标原点，,,所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．设,，则有,,,, ．第2步：求出，， ,利用向量知识证明因为,分别为,的中点，所以,,所以 ,又,,所以．又平面，所以平面．
利用空间向量求线线角
贰
教材知识萃取
已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,设a,b所成的角为θ,则cos θ=. Nhomakorabea易错提醒
利用空间向量求异面直线所成的角时,注意角的范围是(0,].
教材知识萃取
方法技巧求异面直线所成角的方法
几何法
将两直线平移到同一平面内，构造三角形，利用勾股定理或解三角形求两异面直线的夹角或其余弦值.

高考数学一轮复习第7节数学归纳法我来演练

【三维设计】2013高考数学一轮复习第7节数学归纳法我来演练一、选择题1．(2012·济南模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.k ＋14＋k ＋122D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析：当n ＝k 时，等式左端＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k 2＋答案：D2．如果命题p (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )A ．p (n )对所有正整数n 都成立B ．p (n )对所有正偶数n 都成立C ．p (n )对所有正奇数n 都成立D ．p (n )对所有自然数n 都成立解析：若n ＝2p (n )成立，则n ＝4,6,8，…，时p (n )成立．答案：B3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N ＋)成立，其初始值最小应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：可逐个验证，n 的最小值为8. 答案：B4．下列代数式(其中k ∈N ＋)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k)解析：(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N ＋)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k ∈N ＋都成立．答案：D5．若凸n (n ≥4)边形有f (n )条对角线，是凸(n ＋1)边形的对角线条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n －2 B ．f (n )＋n －1 C ．f (n )＋nD ．f (n )＋n ＋1解析：由题意知f (n ＋1)－f (n )＝n －1，故f (n ＋1)＝f (n )＋n －1. 答案：B 二、填空题6．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是____________．解析：a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5， a 3＝135＝15×7， ∴a n ＝12n －12n ＋1.答案：a n ＝12n －12n ＋17．(2012·徐州模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．解析：∵n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立．答案：2k ＋1 三、解答题8．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n(n ∈N ＋)，且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N ＋，点P n 都在直线l 上．解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2(13，13)．∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，2a k ＋b k ＝1成立．则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a 2k·(2a k ＋1) ＝b k1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N ＋，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上． 9．设f (x )＝2xx ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求x 2，x 3，x 4的值；(2)归纳并猜想{x n }的通项公式； (3)用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)x 2＝f (x 1)＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24，x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25.(2)根据计算结果，可以归纳猜想出x n ＝2n ＋1. (3)①当n ＝1时，x 1＝21＋1＝1，归纳出的公式成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，公式成立，即x k ＝2k ＋1，那么， x k ＋1＝2x k x k ＋2＝2×2k ＋12k ＋1＋2＝42k ＋4＝2k ＋1＋1，所以，当n ＝k ＋1时公式也成立．由①②知，n ∈N ＋时，有x n ＝2n ＋1成立． 10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由．解：∵f ′(x )＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n ≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立； ②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时结论成立，即a k ≥2k－1，则当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n ∈N ＋，都有a n ≥2n－1. 即1＋a n ≥2n.∴11＋a n ≤12n . ∴11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<1.。

2020高考数学一轮复习第7节双曲线我来演练.doc

【三维设计】高考数学一轮复习第7节双曲线我来演练一、选择题1．(2011·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2,2a ＝4. 答案：C 2．(2012·烟台模拟)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1D ．x 2－y 22＝1 解析：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为(±3，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A 、C.又双曲线x 22－y 2＝1经过点(2,1)．答案：B 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个顶点与抛物线y 2＝20x 的焦点重合，该双曲线的离心率为52，则该双曲线的渐近线斜率为( ) A ．±2 B ．±43 C ．±12D ．±34 解析：由抛物线y 2＝20x 的焦点坐标为(5,0)，可得双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的顶点坐标为(5,0)，即得a ＝5，又由e ＝c a ＝c 5＝52，可解得c ＝552，则b 2＝c 2－a 2＝254，即b ＝52，由此可得双曲线的渐近线的斜率为k ＝±b a ＝±12. 答案：C4．设F 1、F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF u u u r ·2PF u u u r 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4， S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y 0|＝2|y 0|＝2，|y 0|＝1，x 203－y 20＝1，x 20＝3(y 20＋1)＝6，1PF u u u r ·2PF u u u r ＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.答案：B 5．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．7C ．8D ．9解析：因为双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为y ＝±3ax ，而已知一条渐近线方程为3x －2y ＝0，所以a ＝2.根据双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝4.又|PF 1|＝3，从而解得|PF 2|＝7或|PF 2|＝－1(舍去)．答案：B二、填空题二、填空题6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，则a ＝________. 解析：由双曲线方程知a >0，焦点在x 轴上，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 2＝a ＋2，0<a <2，解得a ＝1.答案：17．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA u u u r ·2PF u u u r 的最小值为________．解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则1PA u u u r ＝(－1－x ，－y )，2PF u u u r ＝(2－x ，－y )，1PA u u u r ·2PF u u u r ＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5. ∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图像的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，1PA u u u r ·2PF u u u r 取得最小值－2.答案：－2三、解答题8.如图所示，在以点O 为圆心，AB 为直径的半圆中，D 为半圆弧的中点，P 为半圆弧上一点，且AB ＝4，∠POB ＝30°，双曲线C 以A ，B为焦点且经过点P ，建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C 的方程．解：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则点A (－2,0)，B (2,0)，P (3，1)．设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝ 1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 32a2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝4，解得a 2＝b 2＝2，故双曲线C 的方程是x 22－y 22＝1. 9．双曲线的中心在原点，实轴在x 轴上，且与圆x 2＋y 2＝5交于点P (2，－1)，如果过点P 的圆的切线恰平行于双曲线的左顶点与虚轴的上端点的连线，求双曲线的方程．解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上， ∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． ∵P (2，－1)在双曲线上，∴4a 2－1b2＝1.① ∵圆x 2＋y 2＝5在P 点的切线平行于双曲线左顶点(－a,0)与虚轴上端点(0，b )的连线，而圆的切线斜率k 与k OP 的乘积为－1，∴k ＝2.即b a＝2.∴b ＝2a .②由①，②得a 2＝154，b 2＝15. ∴所求双曲线方程为4x 215－y 215＝1. 10．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM u u u u r ＋ON u u u r ＝t OD u u u r ，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23 x . 即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝ 3. ∴b 2＝3∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得 x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.∴⎩⎨⎧ x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。

高考一轮复习数学第七章 第六节 我来演练

高三数学一轮复习练习 第七章章末强化训练