第13招 函数的零点个数问题

【知识要点】

一、方程的根与函数的零点

（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.

（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.

（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.

函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.

零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法

（1）二分法及步骤

对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .

第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x

第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2

()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布

讨论一元二次方程2

()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2b

x a

=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.

四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结

函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】

方法一 方程法

使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.

【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a =+--+区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.

【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.

【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7

方法二 图像法

使用情景

一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.

解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.学科@网

【例2】（2017全国高考新课标I理科数学）已知函数2

()(2)

x x

f x ae a e x

=+--.

（1）讨论()

f x的单调性；

（2）若()

f x有两个零点，求a的取值范围.

(2) ①若0,

a≤由（1）知()

f x至多有一个零点.

②若0

a>，由（1）知当ln

x a

=-时，()

f x取得最小值，

1

(ln)1ln

f a a

a

-=-+.

（i）当1

a=时，(ln)

f a

-=0，故()

f x只有一个零点.

（ii）当(1,)

a∈+∞时，由于

1

1ln a

a

-+>0，即(ln)0

f a

->，故()

f x没有零点.

（iii）当0,1

a∈（）时，

1

1ln0

a

a

-+<，即(ln)0

f a

-<.

422

(2)(2)2220,

f ae a e e

---

-=+-+>-+>故()

f x在(,ln)a

-∞-只有一个零点.

0000

000000

3

ln(1),()(2)20

3

ln(1)ln,()

n n n n

n n f n e ae a n e n n

a

a f x

a

>-=+-->->->

->-∞

设正整数满足则

由于因此在（-lna,+)有一个零点.

综上所述，a的取值范围为（0,1）.

【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1

a∈（）时，要先判断(,ln)a

-∞

的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln)0

f a

-<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422

(2)(2)2220,

f ae a e e

---

-=+-+>-+>要说明(2)0

f->，这里利用了放缩法，丢掉了42

ae ae

--

+.(3) 当0,1

a∈（）时，要判断(ln,)

a

-+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该