第13招 函数的零点个数问题

【知识要点】
一、方程的根与函数的零点
（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.
（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.
（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.
函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.
零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法
（1）二分法及步骤
对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .
第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <g ，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <g ，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）
第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2
()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布
讨论一元二次方程2
()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2b
x a
=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.
四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结
函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】
方法一 方程法
使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.
【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a =+--+区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.
【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.
【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7
方法二 图像法
使用情景
一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.
解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.学科@网
【例2】（2017全国高考新课标I理科数学）已知函数2
()(2)
x x
f x ae a e x
=+--.
（1）讨论()
f x的单调性；
（2）若()
f x有两个零点，求a的取值范围.
(2) ①若0,
a≤由（1）知()
f x至多有一个零点.
②若0
a>，由（1）知当ln
x a
=-时，()
f x取得最小值，
1
(ln)1ln
f a a
a
-=-+.
（i）当1
a=时，(ln)
f a
-=0，故()
f x只有一个零点.
（ii）当(1,)
a∈+∞时，由于
1
1ln a
a
-+>0，即(ln)0
f a
->，故()
f x没有零点.
（iii）当0,1
a∈（）时，
1
1ln0
a
a
-+<，即(ln)0
f a
-<.
422
(2)(2)2220,
f ae a e e
---
-=+-+>-+>故()
f x在(,ln)a
-∞-只有一个零点.
0000
000000
3
ln(1),()(2)20
3
ln(1)ln,()
n n n n
n n f n e ae a n e n n
a
a f x
a
>-=+-->->->
->-∞
设正整数满足则
由于因此在（-lna,+)有一个零点.
综上所述，a的取值范围为（0,1）.
【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1
a∈（）时，要先判断(,ln)a
-∞
的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln)0
f a
-<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422
(2)(2)2220,
f ae a e e
---
-=+-+>-+>要说明(2)0
f->，这里利用了放缩法，丢掉了42
ae ae
--
+.(3) 当0,1
a∈（）时，要判断(ln,)
a
-+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该
区间找一个函数值为正的值，它就是03
ln(1)n a
>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.
【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =
所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=
()()213211213f e f --<-+=-<
所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--
【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.
【反馈检测2】已知函数2
()1x e f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =L .
(1) 若1
3
x =
是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； (2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；
(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.
方法三 方程+图像法
使用情景
函数比较复杂，不容易求函数的单调性.
解题步骤
先令()0f x =,重新构造方程()()g x h x =,再画函数(),()y g x y h x ==的图像分析
解答.
【例4】函数()lg cos f x x x =-的零点有 （ ） A ．4 个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个
【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程f(x)lg cos 0x x =-=也不好解，直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,再在同一直角坐标系下画出
lg y x =和cos y x =的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活
应用.
【反馈检测3】设函数()()()2
21ln ,1,02
f x x m x
g x x m x m =
-=-+>． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：
函数零点个数问题的求解方法参考答案
【反馈检测1答案】C
【反馈检测2答案】（1）95a =
；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15
(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5
(1)++∞；
（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222
(21)()(1)x
ax ax e f x ax -+'=+ 因为1
3
x =
是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，
即12910,935
a a a -+==. 而当9
5a =时，229591521(2)()()59533
ax ax x x x x -+=-+=--，
可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此9
5
a =.
(2) 当4a =-时，222
(481)()(14)x
x x e f x x -++'=-
令()0f x '=得24810x x -++=，解得5
1x =，而12x ≠±.
所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是
x
1
(,)2
-∞-
15(,1)22
-- 512
-
51(1,)22-
15(,1)22
+ 512
+
5
(1,)2
+
+∞ ()f x '
-
-
+
+
-
()f x
] ] 极小值
Z
Z
极大值
]
因此()f x 的单调增区间是51(1)2，15
(,12+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--
，5
(1)+∞；
【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是
(
)
,m +∞,
单调递减区间是()
0,m ；（2）1．学科@网
【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()0,,'x m x m f x x
+-+∞=．
当0x m <<时，()'0f x <,函数()f x 单调递减，
当x m >
时，()'0f x >函数()f x 单调递增，
综上，函数()f x 的单调递增区间是(
)
,m +∞, 单调递减区间是()
0,m ．
（2）令()()()()2
11ln ,02
F x f x g x x m x m x x =-=-
++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x
--=-
,当
1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，
F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。