三角函数推导,公式应用大全

合集下载

三角函数公式大全(方便记忆)

三角函数公式大全（方便记忆）三角函数是数学中非常重要的一类函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们是描述角度和边长之间关系的函数，广泛应用于几何、物理、工程等领域。

下面是一些常用的三角函数公式，方便记忆和应用。

1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是一个周期性函数，周期为2π，其定义域为实数集，值域为[-1,1]。

正弦函数的公式如下：sin(x) = o/h = b/c2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数也是一个周期性函数，周期为2π，其定义域为实数集，值域为[-1,1]。

余弦函数的公式如下：cos(x) = a/h = c/b3. 正切函数（tangent function）：正切函数是一个周期性函数，周期为π，其定义域为实数集（除了π/2+kπ,k为整数），值域为全体实数。

正切函数的公式如下：tan(x) = o/a = b/c4. 余切函数（cotangent function）：余切函数也是一个周期性函数，周期为π，其定义域为实数集（除了kπ,k为整数），值域为全体实数。

余切函数的公式如下：cot(x) = a/o = c/b5. 正割函数（secant function）：正割函数是一个周期性函数，周期为2π，其定义域为实数集（除了π/2+kπ,k为整数），值域为(-∞，-1]∪[1,+∞)。

正割函数的公式如下：sec(x) = h/a = c/b6. 余割函数（cosecant unction）：余割函数也是一个周期性函数，周期为2π，其定义域为实数集（除了kπ,k为整数），值域为(-∞，-1]∪[1,+∞)。

余割函数的公式如下：csc(x) = h/o = b/a7.三角函数的和差公式：sin(a±b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)cos(a±b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)tan(a±b) = (tan(a) ± tan(b))/(1 ∓ tan(a)tan(b))8.三角函数的倍角公式：sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 2cos^2(a) - 1 = 1 - 2sin^2(a) tan(2a) = 2tan(a)/(1 - tan^2(a))9.三角函数的半角公式：sin(a/2) = ±√[(1 - cos(a))/2]cos(a/2) = ±√[(1 + cos(a))/2]tan(a/2) = ±√[(1 - cos(a))/(1 + cos(a))]10.倍角和半角公式的推广：sin(θ) = 2sin(θ/2)cos(θ/2)cos(θ) = cos^2(θ/2) - sin^2(θ/2)tan(θ) = (2tan(θ/2))/(1 - tan^2(θ/2))这只是一些常见的三角函数公式，还有很多其他的公式和性质，需要根据具体的问题和应用进行进一步的学习和探索。

三角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导方法三角函数是高中数学课程中重要的内容之一、在学习三角函数时，我们会学习各种不同的三角函数公式，这些公式有助于解决三角函数相关的各种问题。

本文将介绍常用的三角函数公式及其推导方法。

一、基本三角函数公式1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值。

sin(A) = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值。

cos(A) = 邻边 / 斜边3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值。

tan(A) = 对边 / 邻边二、三角函数的诱导公式1.正弦函数的诱导公式：sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)sin(2α) = 2sin(α)cos(α)2.余弦函数的诱导公式：cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)cos(2α) = cos²(α) - sin²(α) = 2cos²(α) - 1 = 1 -2sin²(α)3.正切函数的诱导公式：tan(α ± β) = (tan(α) ± tan(β)) / (1 ∓ tan(α)tan(β)) tan(2α) = 2tan(α) / (1 - tan²(α))三、倍角公式1.正弦函数的倍角公式：sin(2α) = 2sin(α)cos(α)2.余弦函数的倍角公式：cos(2α) = cos²(α) - sin²(α) = 2cos²(α) - 1 = 1 -2sin²(α)3.正切函数的倍角公式：tan(2α) = 2tan(α) / (1 - tan²(α))四、和差公式1.正弦函数的和差公式：sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)2.余弦函数的和差公式：cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)3.正切函数的和差公式：tan(α + β) = (tan(α) + tan(β)) / (1 - tan(α)tan(β))tan(α - β) = (tan(α) - tan(β)) / (1 + tan(α)tan(β))五、万能公式sin(A) = (e^(iA) - e^(-iA)) / (2i)cos(A) = (e^(iA) + e^(-iA)) / 2以上是一些常用的三角函数公式及其推导方法。

三角函数推导,公式应用大全,实例

一、两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+推导：1、应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P 1，∠POP 1＝β，则∠POx ＝α－β．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，那么OM 即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM ．过点P 作PA ⊥OP 1，垂足为A ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，再过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，那么cos β＝OA ，sin β＝AP ，并且∠PAC ＝∠P 1Ox ＝α，于是OM ＝OB ＋BM ＝OB ＋CP ＝OA cos α＋AP sin α＝cos βcos α＋sin βsin α．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.2、设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.或者：sin(a+b)=cos[(π/2)-(a+b)]=cos[(π/2-a)-b]=cos(π/2-a)cosb-sin(π/2-a)sinb=sinacosb-cosasinb（就是利用π/2的诱导公式）3、tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(sinacosb+cosasinb)/(cosacosb-sinasinb) 分子分母同除以cosacosb 得(tana+tanb)/【1-tanatanb 】二、倍角公式tan2A =Atan 12tanA2Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A1、公式sin2α=2sinα·cosα推导过程sin2α=sin(α+α)=sinα·cosα+cosα·sinα=2sinα·cosα2、公式余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价： cos2α=2cos²α-1 cos2α=1-2sin²α cos2α=cos²α-sin²α推导过程cos2α=cos(α+α)=cosα·cosα-sinα·sinα=cos²α-sin²α=2(cos²α)-1 =1-2(sin²α)3、正切二倍角公式tan2α=2tanα/[1-tan²α] 推导过程：tan2α=sin2α/cos2α=2sinα·cosα/cos²α-sin²α=[2sinα·cosα/cos²α]/[cos²α-sin²α/cos²α]=2tanα/[1-tan²α]三、半角公式（正负由所在的象限决定）（正负由所在的象限决定）（正负由所在的象限决定）推导过程：……①sin由等式①，整理得：将代入α，整理得：开方，得cos在等式①两边加上1，整理得：将代入，整理得：开方，得tansina=cos （π/2-a ）注：四、三倍角公式（常用）四、五、六、七、八、九、十、N 倍角公式(不常用)sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)推导： sin3a =sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin ²a)+(1-2sin ²a)sina =3sina-4sin ³a cos3a =cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos ²a-1)cosa-2(1-cos ²a)cosa =4cos ³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8) 九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tan A^6+9*tanA^8)十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^ 4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)N倍角公式根据棣美弗定理，(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ) 为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c 考虑n为正整数的情形：cos(nθ)+ i sin(nθ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 +C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... +C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... =>比较两边的实部与虚部实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 +C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... i*(虚部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... 对所有的自然数n，1. cos(nθ)：公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。

三角函数转化公式大全

三角函数转化公式大全三角函数是数学中重要的概念之一，它们在数学、物理、工程等学科中应用广泛。

在解决三角函数相关题目时，经常会用到一些三角函数的转化公式，这些公式可以用来简化三角函数的计算和推导过程。

本文将介绍一些常用的三角函数转化公式，并给出其推导过程和应用示例。

1.正弦函数和余弦函数的关系：① 正弦函数和余弦函数的关系式为：sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) = sin(π/2 - x)。

推导过程：根据三角函数的定义可得：sin(x) = y/r，cos(x) = x/r，其中x、y均为直角三角形中其中一角的对边和邻边，r为斜边。

利用勾股定理可得：x²+y²=r²，两边同时除以r²可得：(x²/r²)+(y²/r²)=1将sin²(x) + cos²(x) = 1代入上式中可得：sin²(x) + sin²(π/2 - x) = 1即可得到sin(x) = cos(π/2 - x)。

应用示例：已知三角形ABC中，∠A = 60°，求∠B所对边BC的长度。

由正弦定理可得sin(60°) = BC/AB。

根据sin(x) = cos(π/2 - x)可得cos(30°) = BC/AB。

由余弦函数的定义可得：cos(30°) = x/r = BC/AB，其中r为三角形ABC的外接圆半径。

因此，BC = AB * cos(30°)。

2.正切函数和余切函数的关系：② 正切函数和余切函数的关系式为：tan(x) = cot(π/2 - x)，cot(x) = tan(π/2 - x)。

推导过程：根据正切函数和余切函数的定义可得：tan(x) = y/x，cot(x) = x/y。

利用勾股定理可得：x² + y² = r²，两边同时除以xy可得：(x²/r²) + (y²/r²) = 1将tan²(x) + 1 = sec²(x)代入上式中可得：tan²(x) + cot²(x) =1即可得到tan(x) = cot(π/2 - x)。

三角函数的万能公式应用大全

三角函数的万能公式应用大全1.求解三角函数的值：sin30° = sin(90° - 60°) = sin90°cos60° - cos90°sin60° = cos60° = 0.5同样地，可以使用万能公式求解其他角度的三角函数值。

2.简化复杂的三角函数表达式：有时候，我们需要简化一些复杂的三角函数表达式，以便更方便地进行运算。

万能公式常常被用于化简这些表达式。

例如，对于表达式 sinx + cosx，可以使用万能公式将其化简为：sinx + cosx = sqrt(2) * sin(x + 45°)这样的化简可以使得表达式更加简洁，并且易于计算。

3.证明三角恒等式：三角恒等式是指在三角函数中成立的等式。

我们可以使用万能公式来证明这些恒等式。

例如，我们要证明 tanx + cotx = secx * cscx。

可以使用万能公式将式子的左边化简为：tanx + cotx = (sinx/cosx) + (cosx/sinx) = (sin^2x +cos^2x)/(sinxcosx) = 1/(sinxcosx) = cscxsecx通过使用万能公式，我们得到了三角恒等式的证明。

4.解三角方程：在解三角方程的过程中，有时候需要将方程中的三角函数转化为其他形式。

万能公式提供了这样的转化的方法。

例如，对于方程 sinx = cosx，可以使用万能公式将其转化为：sinx = cosxsinx = sin(90° - x)根据单位圆上的正弦函数的性质，可以得到x=45°以上是三角函数万能公式的一些常见应用。

通过灵活运用这些公式，我们可以更加便捷地解决三角函数的相关问题，并深入理解其性质和关系。

三角函数公式及推导

三角函数公式及推导
三角函数是数学中常见的函数之一，常用于解决与角度相关的问题。

三角函数公式是三角函数的基本知识点之一，掌握了三角函数公式，就能更好的理解和应用三角函数。

三角函数公式主要包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等六种函数的公式。

这些公式可以通过三角函数的定义和性质来推导得到。

正弦函数公式：sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
余弦函数公式：cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
正切函数公式：tan(a+b)= (tana + tanb)/ (1 - tana*tanb) 余切函数公式：cot(a+b)= (cota*cotb - 1) / (cota + cotb) 正割函数公式：sec(a+b)= (secacosb+sinasectanb) / (secb) 余割函数公式：csc(a+b)= (cscacosc+b) / (sincosb)
以上公式都可以通过三角函数的定义和一些基本的代数运算及恒等式推导出来。

了解这些公式，可以在解决复杂三角函数问题时更灵活应用。

除了以上推导的公式，还有许多其它的三角函数公式，比如二倍角公式、半角公式、余角公式等等，这些公式也是非常重要的。

在学习三角函数时，需要重点掌握这些公式，才能更好地理解和运用三角函数。

三角函数公式的推导并不是一件容易的事情，需要对三角函数的性质和一些基本的代数运算非常熟练才能够推导得出。

因此，在学习
三角函数时，需要认真掌握每一个知识点，努力理解和应用三角函数公式，才能在以后的学习和工作中发挥更大的作用。

三角函数推导及公式应用大全

三角函数公式1、两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2、倍角公式tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A)Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos^2 A--Sin^2 A=2Cos^2 A—1=1—2sin^2 A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)^3;cos3A = 4(cosA)^3 -3cosAtan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a) 半角公式sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)}tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)3、和差化积sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB4、积化和差sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]5、诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)sin(π-a) = sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tgA=tanA = sinA/cosA6、万能公式sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2}tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}7、其它公式a•sin(a)+b•cos(a) = [√(a^2+b^2)]*sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]a•sin(a)-b•cos(a) = [√(a^2+b^2)]*cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;8、其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)9、双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)三角函数公式大全锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα•cosβ•cosγ+cosα•sinβ•cosγ+cosα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•sinγcos(α+β+γ)=cosα•cosβ•cosγ-cosα•sinβ•sinγ-sinα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα•tanβ•tanγ)/(1-tanα•tanβ-tanβ•tanγ-tanγ•tanα)两角和差cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβcos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβsin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ= -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/〔1+tan＾(α/2)〕cosα=〔1-tan＾(α/2)〕/1+tan＾(α/2)〕tanα=2tan(α/2)/〔1-tan＾(α/2)〕其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0一,诱导公式口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.1. sin (α+k•360)=sin αcos (α+k•360)=cos atan (α+k•360)=tan α2. sin(180°+β)=-sinαcos(180°+β)=-cosa3. sin(-α)=-sinacos(-a)=cosα4*. tan(180°+α)=tanαtan(-α)=tanα5. sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosα6. sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosα7. sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα8*. Sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinα9*. Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+a)=-sinα10*.sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα二,两角和与差的三角函数1. 两点距离公式2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβC(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβC(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ4. T(α+β):T(α-β):5*.三,二倍角公式1. S2α: sin2α=2sinαcosα2. C2a: cos2α=cos2α-sin2a3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)4. C2a': cos2α=1-2sin2αcos2α=2cos2α-1四*,其它杂项(全部不可直接用)1.辅助角公式asinα+bcosα=sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a, b) asinα+bcosα=cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a) 2.降次,配方公式降次:sin2θ=(1-cos2θ)/2cos2θ=(1+cos2θ)/2配方1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]21+cosθ=2cos2(θ/2)1-cosθ=2sin2(θ/2)3. 三倍角公式sin3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3-3cosθ4. 万能公式5. 和差化积公式sinα+sinβ=sinα-sinβ=cosα+cosβ=cosα-cosβ=6. 积化和差公式sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]7. 半角公式另：三角函数口诀三角知识,自成体系,记忆口诀,一二三四.一个定义,三角函数,两种制度,角度弧度.三套公式,牢固记忆,同角诱导,加法定理.同角公式,八个三组,平方关系,导数商数.诱导公式,两类九组,象限定号,偶同奇余.两角和差,欲求正弦,正余余正,符号同前.两角和差,欲求余弦,余余正正,符号相反.两角相等,倍角公式,逆向反推,半角极限.加加减减,变量替换,积化和差,和奇互变.锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα•cosβ•cosγ+cosα•sinβ•cosγ+cosα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•sin γcos(α+β+γ)=cosα•cosβ•cosγ-cosα•sinβ•sinγ-sinα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•cos γtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα•tanβ•tanγ)/(1-tanα•tanβ-tanβ•tanγ-tan γ•tanα)两角和差cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβcos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβsin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ= -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。

三角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导方法1.基本关系：三角函数的定义是将角的信息转化为边长比值的函数。

主要有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)、余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)。

2.三角函数的和差公式：（1）正弦函数的和差公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)（2）余弦函数的和差公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)（3）正切函数的和差公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))（4）余切函数的和差公式：cot(a ± b) = (cot(a)cot(b) ∓ 1) / (cot(b) ± cot(a))3.三角函数的倍角公式：（1）正弦函数的倍角公式：sin(2a) = 2sin(a)cos(a)（2）余弦函数的倍角公式：cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 2cos^2(a) - 1 = 1 - 2sin^2(a)tan(2a) = 2tan(a) / (1 - tan^2(a))（4）余切函数的倍角公式：cot(2a) = (cot^2(a) - 1) / (2cot(a))4.三角函数的半角公式：（1）正弦函数的半角公式：sin(a/2) = ± √((1 - cos(a)) / 2)（2）余弦函数的半角公式：cos(a/2) = ± √((1 + cos(a)) / 2)（3）正切函数的半角公式：tan(a/2) = ± √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))5.诱导公式：（1）正切函数的诱导公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))（2）余切函数的诱导公式：cot(a ± b) = (cot(a)cot(b) ∓ 1) / (cot(b) ± cot(a))6.三角函数的倒角公式：（1）正弦函数的倒角公式：sin(a/2) = ± √((1 - cos(a)) / 2)cos(a/2) = ± √((1 + cos(a)) / 2)（3）正切函数的倒角公式：tan(a/2) = ± √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))这些都是三角函数的重要公式。

高中数学-三角函数公式大全

高中数学-三角函数公式大全新课程高中数学三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取一点P(x,y)，记r=x²+y²。

正弦：sinα=y/r余弦：cosα=x/r正切：tanα=y/x余切：cotα=x/y正割：secα=r/x余割：cscα=r/y注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数。

如图，与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：sinα·cscα=1，cosα·secα=1，tanα·cotα=1.商数关系：tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα。

平方关系：sin²α+cos²α=1，1+tan²α=sec²α，1+cot²α=csc²α。

三、诱导公式⑴α+2kπ(k∈Z)、-α、π+α、π-α、2π-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵π/3+α、-π/3+α、π-α、-π+α的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)五、二倍角公式sin2α=2sinα·cosαcos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α…(※)tan2α=2tanα/(1-tan²α)二倍角的余弦公式(※)有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α1+sin2α=(sinα+cosα)²1-sin2α=(sinα-cosα)²cos2α=(1+cos2α)/(1-cos2α)sin2α=(1-cos2α)/2tanα=sin2α/(1+cos2α)万能公式告诉我们，任何单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。

三角函数万能公式

三角函数万能公式三角函数万能公式是解决各种三角函数相关问题的重要工具。

它能帮助我们计算不同角度下的正弦、余弦、正切等函数值，以及解决三角方程、三角恒等式等问题。

这些公式的应用范围广泛，包括数学、物理、工程等领域。

下面我将详细介绍三角函数万能公式的推导及应用。

推导过程：要理解三角函数万能公式，首先需要了解单位圆上的三角函数定义。

单位圆是以原点为中心、半径为1的圆，以角度θ为自变量，角度对应的坐标为函数值。

在单位圆上，设角θ的终边与x轴正方向的夹角为θ，那么角θ的正弦、余弦、正切等函数值分别为：正弦：sin(θ) = y余弦：cos(θ) = x正切：tan(θ) = y/x接下来，我们将利用三角函数在单位圆上的性质进行推导。

首先，设θ为任意角度，则在单位圆上，对应的点坐标为(x,y)。

根据单位圆上的性质，我们可得到：x²+y²=1接下来，利用勾股定理，将x和y进行替换。

通过将x和y分别除以半径r=1，我们可以得到：x = cos(θ)y = sin(θ)将x和y代入到上述方程中，我们可以得到：cos²(θ) + sin²(θ) = 1根据这个等式，我们可以推导出三角函数万能公式。

(1)正弦函数的万能公式：sin²(θ) = 1 - cos²(θ)(2)余弦函数的万能公式：cos²(θ) = 1 - sin²(θ)(3)正切函数的万能公式：tan²(θ) = 1 - sec²(θ)(4)余切函数的万能公式：cot²(θ) = 1 - csc²(θ)其中，sec(θ)表示secant函数，csc(θ)表示cosecant函数，它们的定义如下：sec(θ) = 1/cos(θ)csc(θ) = 1/sin(θ)应用：1.解三角方程：有时候我们需要求解三角方程，即找出满足特定条件的角度。

高中数学三角函数诱导_推理公式_习题大全

公式一：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα（以上k∈Z）※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k 〒α（k∈Z）的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k〃360°+α（k∈Z），-α、180°〒α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。

三角函数推导万能公式大全

三角函数推导万能公式大全三角函数推导万能公式大全1、三角函数推导公式——万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]，(因为cos2(α)+sin2(α)=1)再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。

正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

2、三角函数推导公式——三倍角公式推导tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]上下同除以cos3(α)，得：tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)=3sinα-4sin3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]=4cos3(α)-3cosα即sin3α=3sinα-4sin3(α)cos3α=4cos3(α)-3cosα3、三角函数推导公式——和差化积公式推导首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb同理，若把两式相减，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2同样的，我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb 同理，两式相减我们就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2这样，我们就得到了积化和差的公式：cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2 把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/ 2]4、同角三角函数的基本关系式倒数关系tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的关系sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系sin2(α)+cos2(α)=11+tan2(α)=sec2(α)1+cot2(α)=csc2(α)同角三角函数关系六角形记忆法构造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中间1”的正六边形为模型。

三角函数公式及推导公式

三角函数公式及推导公式三角函数是解析几何中的重要内容，它研究的是角度和三角形的关系。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们常用于求解角度、测量距离和角度的相关问题。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它表示的是一个锐角的对边与斜边之间的比值。

正弦函数可以用如下公式表示：sinθ = 对边 / 斜边其中，θ是一个锐角，对边是与该锐角相对的边，斜边是与该锐角相邻的边。

二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一个基本函数，它表示的是锐角的邻边与斜边之间的比值。

余弦函数可以用如下公式表示：cosθ = 邻边 / 斜边其中，θ是一个锐角，邻边是与该锐角相邻的边，斜边是与该锐角相对的边。

三、正切函数正切函数是三角函数中的第三个基本函数，它表示的是锐角的对边与邻边之间的比值。

正切函数可以用如下公式表示：tanθ = 对边 / 邻边其中，θ是一个锐角，对边是与该锐角相对的边，邻边是与该锐角相邻的边。

四、推导公式1.和差公式sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβsin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβcos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβcos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβtan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)2.积化和差公式sin2θ = (1 - cos2θ) / 2cos2θ = (1 + cos2θ) / 2tan2θ = (1 - cos2θ) / (1 + cos2θ)3.和差化积公式sinα + sinβ = 2sin((α + β) / 2)cos((α - β) / 2)sinα - sinβ = 2cos((α + β) / 2)sin((α - β) / 2)cosα + cosβ = 2cos((α + β) / 2)cos((α - β) / 2)cosα - cosβ = -2sin((α + β) / 2)sin((α - β) / 2)四、推导下面以正弦函数的推导为例进行详细说明。

三角函数常用公式与结论

三角函数常用公式与结论三角函数常用公式与结论一、同角三角函数的关系：常用的同角三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。

它们之间存在倒数关系、商数关系和平方关系。

二、诱导公式：诱导公式是指通过已知角的正弦、余弦、正切或余切值，来求解其他角的正弦、余弦、正切或余切值的公式。

其中，奇变偶不变，符号看象限。

三、两角和与差、二倍角的正、余弦和正切公式：两角和与差公式可以用来求解两个角的正弦、余弦、正切或余切值之和或差的公式。

二倍角公式可以用来求解一个角的正弦、余弦、正切或余切值的两倍的公式。

四、降次公式：降次公式是指将高次三角函数降为低次三角函数的公式。

其中，将正弦的平方或余弦的平方表示为另一个三角函数的形式，可以方便计算和化简。

五、万能公式：万能公式是指将正弦、余弦和正切表示为同一种三角函数的公式。

这个公式可以方便计算和化简。

六、辅助角公式：辅助角公式是指通过正弦、余弦和正切函数，将一个角表示为另一个角的函数的公式。

这个公式可以用于求解一些复杂的三角函数问题。

七、弧长公式和扇形面积公式：弧长公式可以用来计算圆的弧长，扇形面积公式可以用来计算扇形的面积。

这些公式在几何学和物理学中都有广泛的应用。

八、正余弦函数的图像和性质：正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波形，正弦函数的最大值为1，最小值为-1，余弦函数的最大值为1，最小值为-1.它们的定义域和值域可以通过公式计算得出。

这些函数在数学和物理学中都有广泛的应用。

以上是三角函数常用的公式和结论，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。

周期为：＿＿＿＿＿＿正弦函数是周期为2π的函数，其图像关于y轴对称。

对称轴为：y=0对称中心为：(0,0)增区间为：(0,π)减区间为：(π,2π)余切函数的定义域为：x≠kπ，k∈Z余切函数的值域为：(-∞,∞)周期为：π是奇函数，其图像关于原点对称。

对称中心为：(0,0)在每个π区间上都是单调递增。

正切函数的定义域为：x≠(k+1/2)π，k∈Z正切函数的值域为：(-∞,∞)周期为：π是奇函数，其图像关于原点对称。

三角函数公式推导和应用大全

三角函数公式推导和应用大全三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在中文名三角函数公式外文名Formulas of trigonometric functions应用学科数学、物理、地理、天文等适用领域范围几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等适用领域范围高考复习目录1 定义式2 函数关系3 诱导公式4 根本公式▪和差角公式▪和差化积▪积化和差▪倍角公式▪半角公式▪万能公式▪辅助角公式5 三角形定理▪正弦定理▪余弦定理三角函数公式定义式编辑锐角三角函数任意角三角函数图形直角三角形任意角三角函数正弦〔sin〕余弦〔cos〕正切〔tan或tg〕余切〔cot或ctg〕正割〔sec〕余割〔csc〕表格参考资料来源：现代汉语词典．三角函数公式函数关系编辑倒数关系：；；商数关系：；．平方关系：；；．三角函数公式诱导公式编辑公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如〔2k+1〕90°±α，那么函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。

形如2k×90°±α，那么函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限〞意义：k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

三角函数公式应用大全

三角函数公式应用大全一、常见三角函数公式：1.三角函数的基本关系：- 正弦函数：sinθ = 对边 / 斜边- 余弦函数：cosθ = 邻边 / 斜边- 正切函数：tanθ = 对边 / 邻边2.三角函数的相互关系：- 余切函数：cotθ = 1 / tanθ- 割函数：secθ = 1 / cosθ- 约束函数：cscθ = 1 / sinθ3.三角函数的基本性质：-三角函数的周期性：sin(θ + 2πn) = sinθcos(θ + 2πn) = cosθtan(θ + πn) = tanθ-三角函数的奇偶性：sin(-θ) = -sinθcos(-θ) = cosθtan(-θ) = -tanθ4.三角函数的和差公式：-正弦函数的和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB-余弦函数的和差公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB-正切函数的和差公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)5.三角函数的倍角公式：-正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ-余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ-正切函数的倍角公式：tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)二、三角函数的应用：1.角度的计算：通过使用正弦、余弦、正切等三角函数公式，可以计算出给定角度的各个三角函数值。

2.三角函数的图像：三角函数的图像是平面直角坐标系中的曲线，可以通过画出各个三角函数的图像来了解它们的性质和特点。

3.角度的转换：通过使用三角函数的基本关系和公式，可以在弧度和角度之间互相转换。

4.三角恒等式的证明：利用三角函数公式，可以证明一些三角恒等式，如正弦定理、余弦定理以及二次三角恒等式等。