2019-2020年高三年级第二次模拟考试理科数学

2019-2020年高三年级第二次模拟考试理科数学说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分。

其中第一道大题为选择题。

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。

如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 334R V π=球那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率： 其中R 表示球的半径()C (1)kk n k n n P k P P -=⋅⋅-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.（1）已知集合31{|log },{|cos 0},2P x x Q x x =<=<则P Q ⋂=（A ）φ （B ）{|}x x π<< （C ）{|}2x x ππ<< （D ）{|2x x π<<（2）函数tan(31)y x =+的最小正周期是（A ）3π （B ）23π （C ）6π（D ）π（3）表面积为16π的球的一个截面面积为3π，则球心到该截面的距离为（A （B （C ）12（D ）1 （4）2(12)1i i+=- （A ）7122i -+ （B ）7122i - （C ）1722i - （D ）1722i -+ （5）椭圆的长轴为12A A ，B 为短轴一端点，若12120A BA ∠=︒，则椭圆的离心率为（A （B ）12（C （D（6）函数1)y x =≤-的反函数是（A）0)y x =≥ （B）0)y x =≤ （C）y x =≥ （D）y x =≤ （7）在等差数列{}n a 中，1351,14,n a a a S =+=为{}n a 的前n 项和，若21lim 2n nan S →∞-=，则a =（A ）13 （B ）12（C ）2 （D ）3 （8）在三棱锥P ABC -中，,,,23PA AB AC PAB PAC BAC D ππ==∠=∠=∠=为AB 的中点，则直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值为 （A（B（C（D（9）一样本的所有数据分组及频数如下：12555[0.5,0.5),C [0.5,1.5),C [1.5,2.5),C - 345555[2.5,3.5),C [3.5,4.5),C [4.5,5.5),C则在[1.5,4.5)的频率为 （A ）58 （B ）12 （C ）2532 （D ）1516（10）两个函数1y x =-与ln y x =的图象共有公共点（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个（11）已知直线l 与平面α所成的角为70︒，过空间一点O 与直线l 和平面α都成45︒角的直线共有（A ）4条 （B ）3条 （C ）2条 （D ）1条 （12）A B 、是抛物线24x x =上的不同两点，直线AB 经过抛物线的焦点,F A B F 、、，在抛物线准线上的射影分别为111A B F 、、，则下列选项中不可能成立．．．．．的是 （A ）190AF B ∠<︒ （B ）190AF B ∠>︒ （C ）1190A FB ∠=︒ （D ）1111AF A BF B ∠=∠ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （13）的展开式中，的系数为（用数字作答） （14）曲线在处的切线方程为（15）直线与圆相交于两点，则（16）将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其它盒子中球的颜色齐全的不同放法共有种.（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题共12分）在ABC ∆中，120C =︒，求11tan tan A B+的最小值.（18）（本小题共12分）某车间每日每位工人要完成2箱零件的装箱，每箱装入6个零件.质检员要通过抽样检验对工人装箱质量进行评分：从2箱中随机抽取1箱并从该箱中取出3件，若无次品混入计10分；发现一件次品混入计分；发现2件次品混入计分；发现3件次品混入计分.工人谢黛所装第一箱无次品混入，但不慎将3件次品误装入第二箱.求谢黛该日所得分的分布列和期望.（19）（本小题共12分）平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是矩形，111,2,AB BC D C D C ===⊥平面ABCD . （Ⅰ）求二面角11D BC B --的大小； （Ⅱ）求点C 到平面1ABD 的距离.（20）（本小题共12分）已知A B 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上两点，O 为原点，直线OA OB 、的斜率之ABCD A 1 C 1B 1D 1积22OA OBb k k a⋅= （Ⅰ）设OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，证明当A B 、运动时，点P 恒在另一双曲线上；（Ⅱ）设OQ OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，是否存在不同时为零的实数λμ、，使得点Q 在题设双曲线的渐近线上，证明你的结论.（21）（本小题共14分）在数列{}n a 中，111111,(*2)6223n n n a a a n N n -==+⋅∈≥且 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：16n a ≤.（22）（本小题共12分）设函数2321()1,*2321n n x x x f x x n N n -=-+-+-∈-L （Ⅰ）研究函数2()f x 的单调性；（Ⅱ）判断()0n f x =的实数解的个数，并加以证明.唐山市2006—2007学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：DADAC ACBCB CB 二、填空题：（13）16- （14）08x y π+-= （15） 2 （16） 720三、解答题：（17）解：120,60,60.C A B B A =︒∴+=︒=︒-Q …………………………2分11sin cos cos sin sin()tan tan sin sin sin sin A B A B A B A B A B A B +++===6分.2sin(230)1A ===+︒-……10分由题意，060A ︒<<︒，则30230150A ︒<+︒<︒， 所以当23090A +︒=︒，即30A =︒时，11tan tan A B+有最小值12分 （18）解：设谢黛该日装箱质量所得分为ξ，则336313132626C C 21(10)C C C C 40P ξ==+=……………………………………2分 12331326C C 9(5)C C 40P ξ=-==……………………………………………4分21331326C C 9(10)C C 40P ξ=-==……………………………………………6分 331326C 1(20)C C 40P ξ=-==……………………………………………8分 ξ的概率分布为……………………………………10分21991111051020404040408E ξ=⨯-⨯-⨯-⨯=…………………………………12分 （19）解法一：（Ⅰ）11,,.D C ABCD BC ABCD BC D C ⊥⊂∴⊥Q 平面平面C 1又11,BC DC BC DCC D BC CC ⊥∴⊥∴⊥，平面， 于是11D CC ∠为二面角11D BC B --的平面角.…………………………4分 再由1111111,,//,D C ABCD D C CD C D CD D C C D ⊥⊥∴⊥Q 平面得，1111112,1,tan 2D C C D D CC ==∴∠=Q 故二面角11D BC B --的大小为1arctan 2………………………………8分（Ⅱ）由111,,,D C ABCD D C AB AB BC AB D BC ⊥⊥⊥∴⊥平面得又平面，111,AB ABD ABD D BC ⊂∴⊥Q 平面平面平面作11,,CE D B E CE ABD ⊥⊥垂足为则平面…………………………10分1D BC ∆为等腰直角三角形，12D C BC ==，则CE =故点C 到平面1ABD 分 解法二：如图，建立空间直角坐标系C xyz -.（Ⅰ）由已知，11(0,0,2),(1,0,2),(0,2,0),CD CC CB ==-=u u u u r u u u u r u u u r11110,,,CD CB CC CB CD BC CC BC ⋅=⋅=∴⊥⊥u u u u r u u u r u u u u r u u u rQ ………………4分 11cos ,CD CC <>=u u u u r u u u u r Q ∴二面角1D BC --（Ⅱ）(1BA CD ==u u u r u u u r设平面1ABD 的一个法向量为(,,)a b c =n ，由10BA BD ⋅=⋅=u u u r u u u u rn n ，得220a b c =⎧⎨-+=⎩，取(0,1,1)=n …………………………………10分 所以点C 到平面1ABD的距离|CB d ⋅===u u u rn ||n |分（20）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，得1212(,)P x x y y ++ 由A B 、在双曲线上，有2211221x y a b-= ① 2222221x y a b -= ②…………………………………………2分 由22OA OBb k k a ⋅=，即212212y y b x x a⋅=，得 1212220x x y y a b-=， ③………………………………………4分 ①+2×③+②，并整理，得22121222()()2x x y y a b ++-= 这表明点P 恒在双曲线22222x y a b-=上.……………………………6分（Ⅱ）同（Ⅰ）所设，由OQ OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，得1212(,)Q x x y y λμλμ++当点Q 在双曲线的渐近线上，有1212()by y x x aλμλμ+=±+ 即22121222()()0x x y y a bλμλμ++-=，亦即 22222211121222222222()2()()0x y x x y y x y a b a b a b λλμμ-+-+-=…………………10分将①②③三式代入上式，得220λμ+=，从而0λμ==因此，不存在不同时为零的实数λμ、，使得点Q 在题设双曲线的渐近上.…12分 （21）解：（Ⅰ）由已知，得121111111111()223222323n n n n n n a a a ---=+⋅=+⋅+⋅2322122211111111111111()2232322232323n n n n n n n a a -----=+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅33332111111112232323n n n n a ---=+⋅+⋅+⋅…………………………3分=L11123321111111111223232323n n n n n a ----=+⋅++⋅+⋅+⋅L12332111111111112323232323n n n n n ---=⋅+++⋅+⋅+⋅L112[1()]1123322313nn n n ⋅-==--………………………………8分（Ⅱ）11111111112232323n n n n n n n n a a +++++-=--+=-Q11111121111142934243n n n n ----=⋅-⋅>⋅-⋅11111()0423n n --=-≥……………………………12分 111,6n n a a a +∴>=又所以对任意正整数n ，都有16n a ≤……………………14分（22）解：（Ⅰ）23222213()1,()1()02324x x f x x f x x x x '=-+-=-+-=---< 所以2()f x 在(,)-∞+∞单调递减.………………………………4分 （Ⅱ）1()1f x x =-有唯一实数解1x =.由232222(0)10,(2)12023f f =>=-+-<，以及2()f x 在(,)-∞+∞单调递减， 知2()f x 在(0,2)有唯一实数解，从而2()f x 在(,)-∞+∞有唯一实数解. 推断()n f x 在(,)-∞+∞有唯一实数解…………………………6分当2n ≥时，由2321()1,*2321n n x x x f x x n N n -=-+-+-∈-L ，得 22322()1n n n f x x x x x --'=-+-++-L若1x =-，则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--< 若0x =，则()10n f x '=-<若1x ≠-且0x ≠时，则211()1n n xf x x --'=-+ 当1x <-时，2110,10,()0n n x x f x -'+<+<< 当1x >-时，2110,10,()0n n x x f x -'+>+><总之()0n f x '<，()n f x 在(,)-∞+∞单调递减……………………8分(0)1n f =，又23452221222222(2)(12)()()()23452221n n n f n n --=-+-+-++---L24221212121()2()2()223452221n n n -=-+-+-++---L 2422132312222345(22)(21)n n n n --=-----⋅⋅--L 0< 所以()n f x 在(0,2)有唯一实数解，从而()n f x 在(,)-∞+∞有唯一实数解. 综上，()0n f x =有唯一实数解.……………………………………12分。