复杂网络的基础知识

第二章复杂网络的基础知识

2.1 网络的概念

所谓“网络”（networks），实际上就是节点（node）和连边（edge）的集合。如果节点对（i，j）与（j，i）对应为同一条边，那么该网络为无向网络（undirected networks），否则为有向网络（directed networks）。如果给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就为加权网络（weighted networks），否则为无权网络（unweighted networks），如图2-1所示。

图2-1 网络类型示例

(a) 无权无向网络(b) 加权网络(c) 无权有向网络

如果节点按照确定的规则连边，所得到的网络就称为“规则网络”（regular networks），如图2-2所示。如果节点按照完全随机的方式连边，所得到的网络就称为“随机网络”（random networks）。如果节点按照某种（自）组织原则的方式连边，将演化成各种不同的网络，称为“复杂网络”（complex networks）。

图2-2 规则网络示例

(a) 一维有限规则网络(b) 二维无限规则网络

2.2 复杂网络的基本特征量

描述复杂网络的基本特征量主要有：平均路径长度（average path length ）、簇系数（clustering efficient ）、度分布（degree distribution ）、介数（betweenness ）等，下面介绍它们的定义。

2.2.1 平均路径长度（average path length ）

定义网络中任何两个节点i 和j 之间的距离l ij 为从其中一个节点出发到达另一个节点所要经过的连边的最少数目。定义网络的直径（diameter ）为网络中任意两个节点之间距离的最大值。即

}{max ,ij j

i l D = （2-1） 定义网络的平均路径长度L 为网络中所有节点对之间距离的平均值。即

∑∑-=+=-=111)1(2N i N i j ij l

N N L （2-2）

其中N 为网络节点数，不考虑节点自身的距离。网络的平均路径长度L 又称为特征路径长度（characteristic path length ）。

网络的平均路径长度L 和直径D 主要用来衡量网络的传输效率。

2.2.2 簇系数（clustering efficient ）

假设网络中的一个节点i 有k i 条边将它与其它节点相连，这k i 个节点称为节点i 的邻居节点，在这k i 个邻居节点之间最多可能有k i (k i -1)/2条边。节点i 的k i 个邻居节点之间实际存在的边数N i 和最多可能有的边数k i (k i -1)/2之比就定义为节点i 的簇系数，记为C i 。即

)

1(2-=i i i i k k N C (2-3) 整个网络的聚类系数定义为网络中所有节点i 的聚类系数C i 的平均值，记

为C 。即

∑==N

i i

C N C 11 （2-4） 显然，0 ≤ C ≤ 1之间。当C =0时，说明网络中所有节点均为孤立节点，即没有任何连边。当C =1时，说明网络中任意两个节点都直接相连，即网络是全局耦合网络。

2.2.3 度分布（degree distribution ）

网络中某个节点i 的度k i 定义为与该节点相连接的其它节点的数目，也就是该节点的邻居数。通常情况下，网络中不同节点的度并不相同，所有节点i 的度k i 的的平均值称为网络的（节点）平均度，记为。即

∑==〉〈N i i k

N k 11 （2-5）

网络中节点的分布情况一般用度分布函数P (k )来描述。度分布函数P (k )表示在网络中任意选取一节点，该节点的度恰好为k 的概率。即

∑=-=N

i i

k k N k P 1)(1)(δ （2-6） 通常，一个节点的度越大，意味着这个节点属于网络中的关键节点，在某种意义上也越“重要”。

2.2.4 介数（betweenness ）

节点i 的介数定义为网络中所有的最短路径中，经过节点i 的数量。用B i 表示。即

n m i n m,g g B n m n m n i m i ≠≠=∑ ,, （2-7）

式中g mn 为节点m 与节点n 之间的最短路径数，g min 为节点m 与节点n 之

间经过节点i的最短路径数。

节点的介数反映了该节点在网络中的影响力。

描述网络结构的特征量还有很多，这里就不一一介绍，在使用到它们的地方再给出详细的说明。

2.3 复杂网络的基本模型

人们在对不同领域内的大量实际网络进行广泛的实证研究后发现：真实网络系统往往表现出小世界特性、无标度特性和高聚集特性。为了解释这些现象，人们构造了各种各样的网络模型，以便从理论上揭示网络行为与网络结构之间的关系，进而考虑改善网络的行为。下面介绍几类基本的网络模型。

2.3.1 规则网络（regular network）

常见的规则网络有三种：全局耦合网络（globally coupled network）、最近邻耦合网络（nearest-neighbor coupled network）和星型网络模型（star coupled network），如图2-3所示。

图2-3 三种典型的规则网络

(a) 全局耦合网络(b) 最近邻耦合网络(c) 星型网络

图2-3（a）所示为一个含有N个节点的全局耦合网络。网络中共有N(N-1)/2条边，其平均路径长度L=1（最小），簇系数C=1（最大）。度分布P(k)为以N-1为中心的δ函数。

模型的优点：能反映实际网络的小世界特性和大聚类特性。

模型的缺点：不能反映实际网络的稀疏特性。因为一个具有N个节点的全