第六章样本及抽样分布

X 1 X 2 ~ 2 ( n1 n2 )
②若 X ~ 2 (n), 则 E(X)=n, D(X)=2n.
(2) t 分布
变量
2 (n), 且X与Y相互独立，则称 定义: 设X～N(0,1) , Y～
T X Y n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 记为T～t(n).
具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为:
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自由度，n2 称为第二自由度，记作 F~F(n1,n2) .
由定义可见，
1 Y n2 ~ F (n2 , n1 ) F X n1
若X~F(n1,n2)， X的概率密度为
X的数学期望为: E ( X )
n2 n2 2
若n2>2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1. 例1 已知T~t(n),证：T2~F(1,n)
总体的每次抽样结果称为一个个体。
2.样本
要获取有关总体的信息，需对总体进行抽样。一般我们作简单随机抽样， 即①每个个体被抽取的机会均等，②每次抽取后不改变总体的分布。
直观描述：对总体作n次“简单随机抽样”，得到n个个体：(X1,X2,…,Xn)，称 为总体的一个样本容量为n的样本。其中Xi为第i次抽样的结果，为随机变量。
E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 对n >2 t分布的密度函数关于x=0对称，且
Lim f ( x; n) 0
x
当n充分大时， t 分布近似N (0,1)分布. 但对于较小的n， t分布与N (0,1)分布相差 很大 (t分布尾部较高).
(3) F分布
2 2 定义: 设 X ~ (n1 ), Y ~ (n2 ), X与Y相互独立，则称统 计量 X n1 F Y n2
X1,X2,…,Xn来自同一总体，且相互独立.可得样本的 精确描述：若X1,X2,…,Xn相互独立 ，且具有相同分布函数F(x)，则称(X1,X2,…,Xn) 为来自总体F(x)的一个样本容量为n的样本(可看作n维随机变量),它们的观察值 x1,x2,…,xn称为样本值。
§2. 抽样分布 1. 统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”
1 n 样本k阶中心矩 Bk ( X i X ) k 它反映了总体k 阶中心矩E{(X-EX)k} n i 1 的信息
k=1,2,…
3.抽样分布（统计量的分布）
一．来自正态总体的几个常用的抽样分布
(1) 2 分布
定义: 设 X 1, X 2 ,, X n 相互独立, 都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量： 2 X 12 X 2 2 X n 2 所服从的分布为自由度为 n 的 2分布.
(3)
2 2 S1 1 F 2 2 ~ F ( n1 1,n2 1 ) S2 2
(1) U X Y ( 1 2 ) n1 n2
2 1 2 2
~ N ( 0 ,1 )
（2）当1= 2时
T X Y ( 1 2 ) ( n1 1 )S ( n2 1 )S n1 n2 2
2 1 2 2
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n1 n2
~ t( n1 n2 2 )
，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一 方面）的信息集中起来. 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.
定义:设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn) 是n维随机变量函数,若g中不含任何未知参数,则称 g(X1,X2,…,Xn)为统计量.设x1,x2,…,xn为X1,X2,…,Xn的观察值， 则称g(x1,x2,…,xn)为g(X1,X2,…,Xn)的观察值. 统计量是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布.
2 ~ 2 (n) 记为
2 所以，设 X 1, X 2 ,, X n为来自正态总体 N ( , ) 的样本,则
1 n 2 ( X i )2 ~ 2 ( n ) i 1
2
2 分布的性质
①可加性: 2 2 设 X 1 ~ (n1 ), X 2 ~ (n2 ), 且X1,X2相互独立，则
第六章 样本及抽样分布
第1章至第5章属于概率论范畴； 第6章至第8章属于数理统计范畴。 概率论、数理统计都是研究随机现象的统计规律性的数 学分支，但两者研究角度不同。 概率论：从已知数学模型出发，研究随机现象的性质、 特点、规律；如已知X~N(a,d2),P{X∈(b,c)}. 数理统计: 观察随机变量得到数据，由此选择、检验数 学模型，并对所考察的问题作出推断或预测。 数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析 所获得的有限的资料，对所研究的随机现象的一般概率 特征如分布函数、概率密度（或分布律）、数学期望、 方差等尽可能地作出精确而可靠的统计推断.
n
不是统计量
几个常见统计量
样本均值
1 n X Xi n i 1
2
它反映了总体均值EX的信息
1 n S ( X i X )2 样本方差 n 1 i 1
它反映了总体方差DX的信息
样本k阶原点矩
1 n k Ak X i 它反映了总体k阶原点矩E(Xk)的信息 n i 1
例1 设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，X~N(,2), 且 已知， 2 未知，问下列样本函数哪个是统计量？
1 n X Xi n i 1
1 n S ( X i X )2 n 1 i 1
2
是统计量
1 2 2
( X i )2
i 1
§1 随机样本 1.总体与个体
直观描述：具有一定共同属性的研究对象的全体称为总体
有限总体
无限总体 总体中每个成员称为个体. 由于研究总体往往只关心其中的某项数量指标，而该数量指标是一个
随机变量，因而，得到统计学中的 精确描述：具有确定分布函数F(x)的随机变量X称为总体(总体X，或总体F(x))；
X和S 2 分别为样本均值和样本方差, 则有
(1) 1 n 2 X Xi ~ N ( , ) n i 1 n X U ~ N ( 0 ,1 ) n
(2)
(6)
X S n
~ t( n 1 )
( n 1 )S 2 1 n (4) 2 ( X i X )2 ~ 2 ( n 1 ) 2 i 1
证：
X T Y /n
X~N(0,1), Y ~ (n)
2
X 2 /1 T Y /n
2
X 2 ~ 2 (1)
Y ~ 2 (n)
∴T2~F(1,n)
二．分位数 (1)设X的分布函数为F(x), 0<p<1,若数up使P{X≤up}=p, 则称up为F(x)的p分位数(点).
p
4.抽样分布定理 定理 1 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N ( , 2 ) 的样本,
(5) X 和S 2 相互独立
定理2 X ~ N( 1 , )，Y ~ N( 2 , 2 )，且X与Y独立,
2 1
2
X1,X2,…, X n1 是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是 取自Y的样本,
2 X和Y 分别是这两个样本的 样本均值, S12和S2 分别是这两
个样本的样本方差,则有