等比数列(3课时)-最新

等比数列（一）一、任务目标1、 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念；2、 类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法；3、 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.二、自主学习1、等比数列的概念：一般地，如果一个数列从 起， 每一项与它的前一项的比等于 ,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：注:1︒“从第二项起”, “每一项与它的前一项的比”，“同一个常数q ”｛n a ｝成等比数列⇔ （n N *∈,q ≠0）2︒ 隐含条件：任一项00n a q ≠≠且公比3︒ 时，{a n }为常数列.2、等比数列的通项公式①②三、应用举例例1、判断下列数列是否为等比数列；若是，写出公比的值. （1）1， 1， 1， 1， 1；（2）0, 1, 2, 4, 8；（3）1，21-，41，81-，161. 例2、求出下列等比数列中的未知项： （1）2，a , 8；（2）14,,,2b c -.注：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的 ，且G= . 练习：45和80的等比中项为 .探究：在等比数列｛a n ｝中，首项为1,a 公比为q ，推导?n a =例3、在等比数列{a n }中，（1）已知163,2,a q a ==-求 ； （2）已知3620,120,n a a a ==求 ．变式：7964,256,n a a a ==求.注：（1）等差数列的通项公式：（2）已知两项求公比的方法：例4、在243和3之间插入3个数，使这5个数成等比数列.四、当课反馈1、在等比数列｛a n ｝中，4727,3,a q a ==-求.2、在等比数列｛a n ｝中，已知2418,8a a ==，求1a q 和.3、在等比数列｛a n ｝中，已知514215,6a a a a -=-=，求3a .作业 等比数列（一）1、下列各组数能组成等比数列的是__ __.A. 111,,369B. lg3,lg9,lg 27C. 6,8,10D. 3,33,9-2、 数列m ，m ，m ，m ，…，m___ __.A 、一定是等比数列B 、既是等差数列又是等比数列C 、一定是等差数列不一定是等比数列D 、既不是等差数列，又不是等比数列3、在等比数列中，已知首项为89，末项为31,公比为32，则项数n 等于___ __. 4、求下列等比数列的公比、第5项和第n 项： （1）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…； （2）5，15+c ，125+c ，315c + ,….5、在等比数列}{n a 中，若212a =，48a =，则=6a ___ __. 6、等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =___ __.7、若等比数列的首项为4，公比为2，则其第3项和第9项的等比中项为___ __.8、在等比数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有12n n n a a a ++=+，则公比q =___ __.9、在等比数列}{n a 中:（1）已知,38,3453==a a 求10a ；（2）已知,43-=n n a 求q a ,1； （3）已知494,972,n a a a ==求.10、在两个非零实数a 和b 之间插入2个数，使它们成等比数列，试用a b ，表示这个等比数列的公比.等比数列（二）一、任务目标1、进一步体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念；2、掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.二、活动探究（1）在等比数列{a n }中，是否有a 2n ＝a n-1 a n +1 (2n ≥)？（2）如果数列{a n }中，对于任意的正整数n (2n ≥)，都有a 2n ＝a n-1 a n +1，那么，{a n }一定是等比数列吗？注：a n ≠0，且a 2n ＝a n-1 a n +1 (2n ≥，n ∈N *) 数列{a n }是等比数列.三、应用举例例1、已知数列｛a n ｝满足：32n n a =⨯，求证：｛a n ｝是等比数列.思考：一个数列｛a n ｝的通项公式为n n a aq =，其中,a q 都是不为0的常数，则｛a n ｝是等比数列吗？例2、在等比数列{a n }中，（1）2519a a a =是否成立？ 2537a a a =是否成立？（2）能否得到一般性的结论？注：在等比数列}{n a 中，若,,,,m n p k m n p k N *+=+∈，则 .若2,,,n p k n p k N *=+∈，则 .例3、（1）在等比数列｛a n ｝中，若 71289101115,a a a a a a =求的值.（2）在等比数列｛a n ｝中，若 252,0645342=++>a a a a a a a n ，求53a a +的值.例4、在等比数列}{n a 中，若1231233,8a a a a a a ++=-=，求4a .变式：已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5+a 3a 7=36，a 2a 4+2a 2a 6+a 4a 6=100，求数列的通项公式.四、当课反馈1、在等比数列｛a n ｝中，已知2618,8a a ==，求4a .2、已知数列｛a n ｝满足：lg a n ＝3n ＋5，试用定义证明｛a n ｝是等比数列.3、在等比数列｛a n ｝中71389111215,a a a a a a =求的值.作业 等比数列（二）1、已知等比数列{a n }的公比q =－31,则86427531a a a a a a a a ++++++=________________. 2、在等比数列{a n }中各项都是正数，a 6a 10+a 3a 5=41，a 4a 8=4,则a 4+a 8=_____.3、设23,26,212a b c===，那么,,a b c ___ __.A 既是等差数列，又是等比数列B 是等差数列，但不是等比数列C 是等比数列，但不是等差数列D 既不是等差数列，也不是等比数列4、在等比数列｛a n ｝中，若a 2·a 8=36,a 3＋a 7＝15，则公比q 值的可能个数为___________.5、在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 10等于________________.6、在等比数列{a n }中，如果a 3=6,a 9=9，那么a 6等于________________.7、将20，50，100这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是________________.8、在等比数列｛a n ｝中，a 3·a 4·a 5＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 9·a 10·a 11的值等于_________.9、已知数列｛a n ｝为等比数列，（1）a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .（2）12324a a +=，3436a a +=，求56a a +.10、已知数列｛lg a n ｝是首项为3，公差为2的等差数列，求证：｛a n ｝是等比数列.等比数列（三）一、任务目标1、灵活应用等比数列的定义及通项公式；2、熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法；3、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.二、自主学习若a 、b 、c 成等比数列，试证：a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2也成等比数列.三、活动探究若}{n a 为等比数列，公比为q ，则（1）{a 2n }也是_____ ；公比为______ _；21{}n a -也是______ _；公比为_______；（2）每隔k 项（k N *∈）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为____________；（3）{a n +a n+1}也是_________ ___；公比为____________；（4）若{a n }、{b n }是等比数列，则{a n b n }也是__________ __.练习：已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在①{a n +a n +1} , ②{a n +1－a n } ,③{1+n n a a } , ④{na n }这四个数列中，是等比数列的序号为___________ _.四、应用举例例1、已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0,且a 1，a 3，a 9成等比数列，求1042931a a a a a a ++++的值.例2、在n1和n +1之间插入n 个正数，使这n +2个数依次成等比数列，求所插入的n 个数之积.例3、三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91，求这三个数．[注] 若已知三个数成等比数列，且已知它们的积,则可设此三个数为:变式：已知四个正数成等比数列，其积为16，中间两项之和为5，求这四个数及公比.[注] 若已知四个数成等比数列，且已知它们的积,则可设此四个数为:例4、如图，在边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，连结各边中点得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再连结△Ａ１Ｂ１Ｃ１各边中点得△Ａ２Ｂ２Ｃ２……如此继续下去，试证明数列Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ｓ△Ａ２Ｂ２Ｃ２，…是等比数列．五、当课反馈1、公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为______________.2、成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.作业 等比数列（三）1、 已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数()f x 2ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数 为_____________.2、等比数列}{n a 的公比为q ，n 为奇数，若m a n =+21，则=+213n a .3、若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 .① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ④{}lg n a 4、制造某种产品，预计经过两年使成本降低36%，则平均每年应降低成本的百分比为 ____ .5、数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n + 1) = n + 1, 则a n =____ _______.6、已知公差不为0的等差数列的第4，7，16项恰好是某等比数列的第4，6，8项，那么该 等比数列的公比是_________________.7、若方程052=+-m x x 与0102=+-n x x 的四个实数根适当排列后，恰好组成一个首 项为1的等比数列，则n ∶m 的值为_____________________.8、设正项数列}{n a 是公差不为0的等差数列，正项数列}{n b 是等比数列，且573311b a ,b a ,b a ===，若m b a =15，求m 的值.9、三个数成等比数列，它们的积等于64，它们的和等于14，求这三个数．10、(1).已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数.(2)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.(3)有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.。