一种化简二次曲面方程的新方法(论文)

角，再将 x 轴、z 轴绕 y 轴逆时针转 ψ 角得新坐标系
O－x觹y觹z觹，在新坐标系 O－x觹y觹z觹 中，所给曲面的方程是
x″2 33
＋
y″2 32
－
z″2 32
＝1
。
这是单叶旋转双曲面的标准方程。
（2）讨论曲面 4x2＋y2－8z2＋4xy＋8yz－4zx－8x－4y＋
4z＋4＝0 的形状。
的一次项，并且此时方程中不再有常数项。
由定义可知，二次曲面方程的标准形有以下 5
种情形：
（Ⅰ）a11x2＋a22y2＋a33z2＋a0＝0， a11a22a33≠0；
（Ⅱ）a11x2＋a22y2＋a3z＝0，
a11a22a3≠0；
（Ⅲ）a11x2＋a22y2＋a0＝0，
a11a22≠0；
（Ⅳ）a11x2＋a2y＝0，
面方程为 5x觹2－10y觹2＋2z觹2＝0，这是锥面的标准方程。
（3） 在 右 手 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 面 S：9x2－25y2＋
16z2－24xz＋80x－60z＝0 是什么曲面？
事 实 上 ，由 cot2φ＝ a11－a33 ＝ 9－16 ，取 tanφ＝ 3
2a13 －24
4
!##x＝
z″2＋2a2″3
y″z″＋2a1″
x″＋
2a2″ y″＋2a3″ z″＋a0″ ＝0。
（4）
C．
若 式 （4） 中
a″ 23
≠0，则由
cot2ψ＝
a －a ″
″
22 33
2a″23
选取
姨x″＝x苁
≠
ψ，作变换≠y″＝x苁cosψ－z苁sinψ ，消去 yz 项，便得形 ≠ ≠z″＝x苁sinψ＋z苁cosψ
LI Ling
（College of Mathematics and Physics， Chongqing University of Posts and Telecommunications， Chongqing 400065， China）
Abstract： Using 2-dimensional rotation transformations to cancel mixed terms of the product of two variables， and making use of translation transformations to simplify quadric surface equations， a new method for simplifying quadric surface equations has been obtained． It is easy to localize the position of quadric surface in the coordinate by using this method． Key words： Quadric Surface； transformation； standard type
4 5
x′－
3 5
y′
且 φ 为锐角，于是作旋转变换"y＝y′
，曲面
##z＝ 3 x′＋ 4 z′ $5 5
方程化为 25z′2－25y′2＋28x′－96z′＝0； 再作移轴变换
!x′＝x觹＋ 576
## 175 "y′＝y觹 ##z′＝z觹－ 48
，所给曲面方程化为 y觹2－z觹2＝ 28 25
y觹－ 1 姨6
z觹＋ 13 30
，
≠≠z＝ 5 x觹＋ 1 z觹 ≠ 姨30 姨 6
·38· 2009 年第 5 期
李 玲：一种化简二次曲面方程的新方法
即将 x 轴和 y 轴绕 z 轴逆时针转 θ 角，再将 y 轴和 z
轴绕 x 轴逆时针转 ψ 角，后将原点移至（ 1 ， 13 ， 5 30
0）得新坐标系 O觹－x觹y觹z觹，在新坐标系 O觹－x觹y觹z觹 中，曲
面的性质，并容易画出该曲面的图形。 在空间解析
几何中， 将一般三元二次方程化为标准形的常见
方法是确定二次曲面的对称面， 使对称面为新坐
标系的坐标面或利用二次曲面的不变量来化方程
（1）为标准形式[1]，而这些方法或者运算复杂 ，或者
无法确定图形的具体位置， 更何况用这些方法化
简 方 程 （1） 还 需 要 用 到 较 多 的 理 论 知 识 ， 但 在 教 学
（6）
因方程
（6）
中
a′ 13
＝1≠0，
从而由
cot2ψ＝
a －a ′
′
11 33
2a′13
＝
姨x′＝ 1 x″－ 1 z″
0－0 2
取
ψ＝
π 4
≠≠ 姨 2 ，再作变换≠y′＝y″
≠≠z′＝ 1
姨2 x″＋ 1
z″
，方
≠ 姨2 姨2
程（6）化为x″2＋y″2－z″2－9＝0。
上述表明：只要将 x 轴、y 轴绕 z 轴逆时针转 θ
2a1′ x＋2a2′ y′＋2a3′ z′＋a0′ ＝0。
（3）
B．
若 式 （3） 中
a′ 13
≠0，则由
cot2φ＝
a －a ′
′
11 22
2a′13
选取
姨x′＝x″cosφ－z″sinφ
≠
φ，作变换≠y′＝y″
，消去 xz 项，得
≠
≠z′＝x″sinφ＋z″cosφ
a″ 11
x″2＋a2″2
y″2＋a3″3
如式（2）的方程。
上述定理的证明过程实际上给出了化简二次
曲面方程的一种新方法。 其一般步骤是先通过平
面上坐标轴的旋转变换消去两坐标变量的混乘
项，再对方程进行配方，通过移轴变换便可得二次
曲面的标准形方程。
3 应用例举
（1）考虑下列二次方程
x2＋2y2－2姨 2 xy＋2姨 3 yz＋2姨 6 zx－27＝0 （5）
中，教学时数是有限的。 本文给出了一种化简二次
曲面方程的新方法。
2 定理及证明
本文给出方法的基本思想是： 利用平面上的 坐标轴旋转变换消去两坐标变量的混乘项， 再用 空间中的移轴变换把式（1）化为标准方程。
定理 任意二次曲面方程至多经三次平面上
的坐标轴旋转变换和一次空间坐标轴平移变换总
能化为二次曲面的标准方程。
程，得到了化简二次曲面方程的一种新方法，依此方法易见曲面在给定坐标系中的位置。
关键词： 二次曲面； 变换； 标准形
中图分类号： O 182．2
文献标识码： A
文章编号： 1671－2153（2009）05－0037－03
1 问题提出
一般地，三元二次方程
a11x2＋a22y2＋a33z2＋2a12xy＋2a13xz＋2a23yz＋
2009 年第 5 期 37
··
宁波职业技术学院学报
则 仅 需 对 方 程 （2） 进 行 配 方 ， 通 过 移 轴 变 换 就 可 将
二次方程（2）化为标准形方程。
2）若 方 程 （1）含 有 形 如 xy，xz，yz 中 的 一 项 或
多项， 则可通过两坐标轴的旋转变换消去这些混
乘 项 ， 使 式 （1） 化 为 式 （2） 的 形 式 ， 在 通 过 移 轴 变 换
2 0 0 9 年 10 月 第 13 卷第 5 期
宁波职业技术学院学报 Journal of Ningbo Polytechnic
Oct， 2 00 9 Vol．13 No．5
一种化简二次曲面方程的新方法
李玲
（重庆邮电大学 数理学院， 重庆 400065）
摘 要： 利用平面上的坐标轴旋转变换消去两坐标变量的混乘项， 再用空间中的移轴变换化简二次曲面方
2a1x＋2a2y＋2a3z＋a0＝0
（1）
所 表 示 的 曲 面 叫 二 次 曲 面 ， 这 里 系 数 a11，a22，a33，
a12，a13，a23 不能全为 0。
如 果 能 把 方 程 （1） 化 为 标 准 形 式 ， 那 么 很 容 易
判 断 方 程 （1） 所 表 示 曲 面 的 类 型 ， 从 而 便 于 讨 论 曲
姨6
姨6
姨x″＝x觹＋ 2
≠ 姨5
作移
轴
变换
≠ ≠y″＝y觹＋ ≠
1 姨30
≠z″＝z觹－ 1 ≠ 姨6
10y觹2＋2z觹2＝0。
， 所 给 方 程 化 为 5x觹2－
上述表明：只要作坐标变换
姨x＝ 2 x觹－ 1 y觹＋ 1 z觹＋ 1
≠ 姨 5 姨30 姨 6 5
≠≠ ≠y＝ ≠
1 姨5
x觹＋ 2 姨30
所表示的曲面类型。
因 为 a12＝－ 姨 2
≠0，
于 是 由 cot2θ＝ a11－a22 ＝ 2a12
1－2 ，取 tanθ ＝ 1 且 θ 为锐角，作变换
－2姨 2
姨2
姨≠x＝ ≠
姨 姨
2 3
x′－ 1 姨3
y′
≠≠y＝ ≠
1 姨3
x′＋ 姨 2 姨3
y′，所给曲面方程（5）化为
≠z＝z′
y′2＋2x′z′－9＝0。
在证明上述定理之前， 给出二次曲面标准形
的定义：
定义 称满足如下 3 个条件的三元二次方程
（1）为二次曲面的标准形方程。
（1）没有坐标 x，y，z 的混乘 xy，xz，yz 项；
（2） 如 有 某 坐 标 的 二 次 项 ， 就 没 有 该 坐 标 的 一
次项；
（3） 如 有 某 个 坐 标 的 一 次 项 ， 就 没 有 其 他 坐 标
由 cot2θ＝ a11－a22 ＝ 4－1 ， 取 tanθ＝ 1 且 θ 为锐
2a12
4
2
姨x＝ 2 x′－ 1 y′ ≠≠ 姨 5 姨 5
角 ， 作 变 换 ≠≠≠y＝
1 姨5
x′＋ 2 姨5
y′，所 给 曲 面 方 程 化
≠z＝z′
为 5x′ 2 －8z′ 2 －4 姨 5 y′ z′ －4 姨 5 x′ ＋4z′ ＋4 ＝0， 由
参考文献：
[1] 吕 林 根． 解 析 几 何[M]． 第 4 版． 北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2006．
[2] 丘 维 声． 解 析 几 何[M]． 第 2 版． 北 京 ：北 京 大 学 出 版 社 ，1996．
New method for simplifying quadric surface equations
cot2ψ＝
a －a ′
′
22 33
2a′23
＝
0－（－8） －4姨 5
，
取 tanψ＝ 姨 5
且 ψ 为锐
姨x′＝x″
≠≠y′＝ 1 y″－ 姨 5 z″ 角，作变换≠ 姨6 姨6 ，上述方程化为
≠≠z′＝ 姨 5 y″＋ 1 z″ ≠ 姨6 姨6
5x″2－10y″2＋2z″2－4 姨 5 x″＋ 4姨 5 y″＋ 4 z″＋4＝0。
x觹。
$ 25
源自文库上述表明：将x轴和 z 轴绕y轴逆时针转φ角，再
将 原 点 O 移 至 （ 1296 ，0， 3072 ）得 新 坐 标 系O′－
875
875
x觹y觹z觹，在新坐标系O′－x觹y觹z觹中，曲面方程为 y觹2－z觹2＝
28 x觹，这是双曲抛物面的标准方程。 25
4 结束语
从前面的分析可以发现， 先通过平面上坐标 轴的旋转变换消去两坐标变量的混乘项， 然后对 方程进行配方， 再通过移轴变换便可得二次曲面 的标准形方程。 显然，该方法比过去常用的化简二 次曲面方程的方法简单得多。
··
2009 年第 5 期 39
将二次方程化为标准方程。
A．
若 式 （1）中a12≠0，则 由
cot2θ＝
a11－a22 2a12
选取
≠x＝x′cosθ－y′sinθ
≠
θ，作变换≠y＝x′sinθ＋y′cosθ ，消去 xy 项，得 ≠ ≠z＝z′
a′ 11
x′2＋a2′2
y′2＋a3′3
z′2＋2a1′3
x′z′＋2a2′3
y′z′＋
a11a2≠0；
（Ⅴ）a11x2＋a0＝0，
a11≠0。
现在证明上面的定理。
证明：1） 若 方 程 （1） 中 不 含 形 如 xy，xz，yz 的
项，即式（1）为 a11x2＋a22y2＋a33z2＋2a1x＋2a2y＋2a3z＋a0＝0。 （2）
收稿日期： 2009－03－13 基金项目： 重庆邮电大学数理学院教改项目（2008sljg03） 作者简介： 李玲（1964－），女，重庆人，讲师，硕士，研究方向为偏微分方程理论和大学数学教学与研究。