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【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角平分线问题(含答案)

【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。

中考数学专题复习全等三角形之辅助线倍长中线法

中考数学专题复习全等三角形（辅助线倍长中线法）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、单选题1．如图，己知AD 是△ABC 中BC 边上的中线，AB ＝5，AC ＝3，则AD 的取值范围是（）A ．2＜AD ＜8B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜5 D ．4≤AD ≤82．在ABC 中，5AC =，中线7AD =，则AB 边的取值范围（）A ．212AB << B ．412AB <<C ．919AB <<D ．1019AB <<3．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB BD ⊥，5AB =，4BD =，3CD =，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（）．A ．2B ．52C ．5D ．34．如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，若3,4AC AD ==．则AB 的长不可能．．．是（）A．5B．7C．8D．9评卷人得分二、填空题5．如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，3AC=，5AD=，则AB的取值范围是________．6．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，△FAD＝60°，AE平分△FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF ＝__．评卷人得分三、解答题7．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．8．如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，△AOB+△COD＝180︒．（1）若△BOE＝△BAO，AB＝22，求OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．9．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC中，6AB=，10AC=，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长AD到E点，使DE AD=，连接BE．根据______可以判定ADC≌△______，得出AC=______．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在ABE△中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．【问题解决】（2）如图2，在ABC中，90A∠=，D是BC边的中点，90EDF=∠，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：222BE CF EF+=．【问题拓展】（3）如图3，ABC中，90B=∠，3AB=，AD是ABC的中线，CE BC⊥，5CE=，且90ADE∠=．直接写出AE的长＝______．10．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE△AB交AC延长线于点E，求证：△ABC△△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且△CAE＝△B，点E是CD的中点，若AD 平分△BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．11．如图，ABC中，BD DC AC==，E是DC的中点，求证：2AB AE=．12．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED△△ABD．△请证明△CED△△ABD；△中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，△ABM＝△NBC＝△90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．13．已知ABC 中，（1）如图1，点E 为BC 的中点，连AE 并延长到点F ，使=FE EA ，则BF 与AC 的数量关系是________．（2）如图2，若AB AC =，点E 为边AC 一点，过点C 作BC 的垂线交BE 的延长线于点D ，连接AD ，若DAC ABD ∠=∠，求证：AE EC =．（3）如图3，点D 在ABC 内部，且满足AD BC =，BAD DCB ∠=∠，点M 在DC 的延长线上，连AM 交BD 的延长线于点N ，若点N 为AM 的中点，求证：DM AB =．14．如图1，在ABC 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM ∠=∠交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，CP kAC =，求CPCM的值．15．如图，AD 为ABC 中BC 边上的中线()AB AC >．（1）求证：2AB AC AD AB AC -<<+；（2）若8cm AB =，5cm AC =，求AD 的取值范围．16．（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．17．（1）如图1，△ABC 中，AD 为中线，求证：AB +AC ＞2AD ；（2）如图2，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE △DF 交AB 、AC 于E 、F ．求证：BE +CF ＞EF ．18．定义：如果三角形三边的长a 、b 、c 满足3a b cb ++=，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为．（2）如图，ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的△O 交BC 于点D ，过点D 作DF △AC ，垂足为F ，交AB 的延长线于E ，求证：EF 是△O 的切线；（3）在（2）的条件下，若53BE CF =，判断AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．19．课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D 是ABC 边BC 的中点，5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．（1）小明的想法是，过点B作//BE AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰Rt ABC中，90BAC∠=︒，AB AC=，点D边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE BD⊥于点E，过点A作AF AE⊥，且AF AE=，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG CG=．20．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），△延长AD到M，使得DM＝AD；△连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；△利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，△BAE＝△CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．21．如图，在△ABC中，△ACB＝135°，BC＝6，点D为AB的中点，连接DC，若DC△BC，求AB的长．22．如图，ABC∆中，3AB=，4AC=，AD为中线，求中线AD的取值范围．23．（1）方法呈现：如图△：在ABC中，若6AB=，4AC=，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE AD=，再连接BE，可证ACD EBD△≌△，从而把AB、AC，2AD集中在ABE△中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图△，在ABC中，点D是BC的中点，DE DF⊥于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE CF+与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图△，在四边形ABCD中，//AB CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是BAF∠的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．24．在等腰Rt△ABC中△ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中△CDE＝90°，DE＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点．（1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2 2，求BF的长．（2）如图2，连接BE、BD、EF，当△DBE＝45°时，求证：EF＝12ED．25．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD是ABC∆的中线，7,5,AB AC==求AD的取值范围．我们可以延长AD到点M，使DM AD=，连接BM，易证ADC MDB∆≅∆，所以BM AC=．接下来，在ABM∆中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是；（2）如图2，AD是ABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点,F且AE EF=，求证：AC BF=；（3）如图3，在四边形ABCD中，//AD BC，点E是AB的中点，连接CE，ED且CE DE⊥，试猜想线段,,BC CD AD之间满足的数量关系，并予以证明．26．已知：在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DF AC⊥，交AC于点E，交AB于点F．（1）如图1，若2tan 2ACD ∠=． △求证：AF BF =；△连接BE ，求证：2CD BE =．（2）如图2，若2AF AB BF =⋅，求cos FDC ∠的值．27．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD 为△ABC 中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F ，AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．经过讨论，同学们得到以下思路：如图△，添加辅助线后依据SAS 可证得△ADC △△GDB ，再利用AE ＝EF 可以进一步证得△G ＝△F AE ＝△AFE ＝△BFG ，从而证明结论．完成下面问题：（1）这一思路的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应的图形，并写出证明过程）．28．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．（1）求四边形AEDF的周长；（2）若△BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．29．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC △EDB △的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．30．在ABC ∆与CDE ∆中，90ACB CDE ∠=∠=︒，26AC BC ==，2CD ED ==，连接,AE BE ，点F 为AE 的中点，连接DF ，CDE ∆绕着点C 旋转．（1）如图1，当点D 落在AC 的延长线上时，DF 与BE 的数量关系是：__________；（2）如图2，当CDE ∆旋转到点D 落在BC 的延长线上时，DF 与BE 是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；（3）旋转过程中，若当105BCD ∠=︒时，直接写出2DF 的值．参考答案：1．B 【解析】【分析】如图所示，延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ，先证ABD ECD ≅，得AB CE =，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE 的取值范围．【详解】如图所示，延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ， AD 是△ABC 中BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ABD △与ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABD ECD ∴≅，5AB CE ∴==，在ACE 中，由三角形三边关系得：CE AC AE CE AC -<<+，3AC =，2AE AD DE AD AD AD =+=+=，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．【点睛】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．C【分析】延长AD 至E ，使DE =AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB =CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE 的取值范围，即为AB 的取值范围．【详解】解：如图，延长AD 至E ，使DE =AD ，△AD 是△ABC 的中线， △BD =CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， △△ABD △△ECD （SAS ）， △AB =CE ， △AD =7， △AE =7+7=14， △14+5=19，14-5=9， △9＜CE ＜19，即9＜AB ＜19．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 3．C【分析】延长BE 交CD 延长线于P ，可证△AEB ≌△CEP ，求出DP ，根据勾股定理求出BP 的长，从而求出BM 的长．【详解】解：延长BE 交CD 延长线于P ， ∵AB ∥CD ， ∴∠EAB ＝∠ECP ，在△AEB 和△CEP 中，EAB ECP AE CE AEB CEP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB ≌△CEP （ASA ） ∴BE ＝PE ，CP ＝AB ＝5 又∵CD ＝3， ∴PD=2， △4BD =△2225BP DP BD =+= ∴BE ＝12BP ＝5．故选：C ．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP ． 4．A 【解析】延长AD 到E ，使AD =DE ，证明△ADC △△EDB ，然后利用三边关系即可得出结论．【详解】解：延长AD 到E ，使AD =DE =4，连接BE ，△D 是BC 的中点， △BD =CD 又△BDE =△CDA △△ADC △△EDB ， △BE =AC =3由三角形三边关系得，AE BE AB AE BE -<<+ 即：511AB << 故选：A 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 5．713AB << 【解析】【分析】延长AD 至点E ，使DE=AD ，证明ABD ECD ≅,由全等性质求出相关的线段长度，在CAE 中，由,AE AC EC AE AC EC +>-<，代入数值即可得到答案．【详解】解：延长AD 至点E ，使DE=AD ，如下图：△D 是BC 的中点 △BD =CD在ABD △和ECD 中：BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABD ECD ≅ △=AB EC △AD =5 △AE =10在CAE 中，由,AE AC EC AE AC EC +>-<得：713EC << 即：713AB << 故答案为：713AB << 【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键． 6．4 【解析】【分析】延长AE ，BC 交于点G ，判定△ADE△△GCE ，即可得出CG ＝AD ＝5，AE ＝GE ，再根据三线合一即可得到FE△AG ，进而得出Rt △AEF 中，EF ＝12AF ＝4．【详解】解：如图，延长AE ，BC 交于点G ，△点E 是CD 的中点，△DE ＝CE ，△平行四边形ABCD 中，AD△BC ，△△D ＝△ECG ，又△△AED ＝△GEC ，△△ADE△△GCE ，△CG ＝AD ＝5，AE ＝GE ，又△AE 平分△FAD ，AD△BC ，△△FAE ＝△DAE ＝△G ＝12△DAF ＝30°， △AF ＝GF ＝3+5＝8，又△E 是AG 的中点，△FE△AG ，在Rt △AEF 中，△FAE ＝30°，△EF ＝12AF ＝4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．7．(1)6a =，10b =(2)2<CD <8【解析】【分析】（1）把()()211x a x b -+-+展开，然后根据多项式x 2+4x +5可以写成（x ﹣1）2+a （x ﹣1）+b的形式，可得2415aa b-=⎧⎨-+=⎩，即可求解；（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB△△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．(1)解：△()()211x a x b-+-+221x x ax a b=-++-+()221x a x a b=+-+-+，根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b△2415aa b-=⎧⎨-+=⎩，解得：610ab=⎧⎨=⎩；(2)解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，△CD是AB边上的中线，△BD=AD，在△CDB和△HDA中，△CD=DH，△CDB=△ADH，BD=DA，△△CDB△△HDA（SAS），△BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，△10-6<2CD<10+6，△2<CD<8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．8．（1）2；（2）12OE CD=，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知条件△BOE＝△BAO，且公共角OBE ABO∠=∠，证明△OBE△△ABO，进而列出比例式，代入数值即可求得OB；（2）延长OE到点F，使得EF OE=，连接AF，FB，证明△AOF△△DOC，进而可得OF CD=，即12OE CD=【详解】（1）解：△△BOE＝△BAO，OBE ABO∠=∠，△△OBE△△ABO，△BE OBOB AB=，△AB＝22，E为AB的中点，△2BE=△222OBOB=，△2OB=（舍负）.（2）线段OE和CD的数量关系是：12OE CD=，理由如下，证明：如图，延长OE到点F，使得EF OE=，连接AF，FB.△AE BE=△四边形AFBO是平行四边形，△AF OB ∥，AF OB =，△180FAO AOB ∠+∠=︒，△△AOB +△COD ＝180︒，△FAO COD ∠=∠，△OB ＝OC ，△AF OC =，在△AOF 和△DOC 中， OA OD FAO COD AF OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AOF △△ODC ，△OF CD =△12OE CD =. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，第（2）小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键． 9．（1）SAS ；EDB △；BE ；2<<8AD ；（2）见解析；（3）7．【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；（2）延长ED 使DG =ED ，连接FG ，GC ，根据垂直平分线的性质得到EF GF =，然后利用SAS 证明BDE CDG ≌，得到BE CG =，B DCG ∠=∠，进而得到18090ACG A ∠=︒-∠=︒,最后根据勾股定理证明即可；（3）延长AD 交EC 的延长线于点F ，根据ASA 证明ABD FCD ∆∆≌，然后根据垂直平分线的性质得到AE CF =，最后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）在ADC 和EDB △中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()ADC EDB SAS ≌△△， △10AC BE ==．△6AB =，△<<BE AB AE BE AB -+，即106<<106AE -+，△4<<16AE ，△4<2<16AD ，解得：2<<8AD ；故答案为：SAS ；EDB △；BE ；2<<8AD ；（2）如图所示，延长ED 使DG =ED ，连接FG ，GC ，△90EDF =∠，△EF GF =，在BDE 和CDG 中， BD CD BDE CDG DE GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()BDE CDG SAS ≌△△， △BE CG =，B DCG ∠=∠，△AB CG ∥，△18090ACG A ∠=︒-∠=︒，△在Rt FGC △中，222CG FC FG +=，△222BE CF EF +=；（3）如图所示，延长AD 交EC 的延长线于点F ，△,AB BC EF BC ⊥⊥，ABD FCD ∴∠=∠，在ABD △和FCD 中，ABD FCD BD CDADB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABD FCD ASA ∴∆∆≌，△3CF AB ==，AD DF =，△90ADE ∠=，△AE EF =，△538EF CE AB =+=+=，△8AE =．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．10．[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x ＜4【解析】【分析】[探究与发现]由ASA 证明△ABC △△EDC 即可；[理解与应用]（1）延长AE 到F ，使EF =EA ，连接DF ，证△DEF △△CEA （SAS ），得AC =FD ，再证△ABD △△AFD （AAS ），得BD =FD ，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AB =AF =2x ，再由三角形的三边关系得AD -BD ＜AB ＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．【详解】解：[探究与发现]证明：△DE△AB，△△B=△D，又△BC=DC，△ACB=△ECD，△△ABC△△EDC（ASA）；[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，△点E是CD的中点，△ED=EC，在△DEF与△CEA中，EF EADEF CEAED EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△DEF△△CEA（SAS），△AC=FD，△△AFD=△CAE，△△CAE=△B，△△AFD=△B，△AD平分△BAE，△△BAD=△F AD，在△ABD与△AFD中，BAD FAD AD AD ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△AFD （AAS ），△BD =FD ，△AC =BD ；（2）解：由（1）得：AF =2AE =2x ，△ABD △△AFD ，△AB =AF =2x ，△BD =3，AD =5，在△ABD 中，由三角形的三边关系得：AD -BD ＜AB ＜AD +BD ，即5-3＜2x ＜5+3，解得：1＜x ＜4，即x 的取值范围是1＜x ＜4．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．见解析【解析】【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，△E 是DC 中点， △DE CE = ，△在DEF 和CEA 中，DEF CEA EF EA ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△DEF CEA △≌△（SAS ），△DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，△DC AC =，△ADC CAD ∠=∠，又△ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，△ADF ADB ∠=∠，在ADB △和ADF 中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ADB ADF △≌△（SAS ），△2AB AF AE == ．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．12．（1）△见解析；△19BD <<；（3）MN =2BD ，理由见解析【解析】【分析】（1）△只需要利用SAS 证明△CED △△ABD 即可；△根据△CED △△ABD 可得AB =CE ，由三角形三边的关系可得CE BC BE CE BC -<<+即AB BC BE AB BC -<<+则218BE <<，再由2BE BD =，可得19BD <<；（2），延长BD 到E 使得DE =BD ，同（1）原理可证△ADE △△CDB ，得到△DAE =△DCB ，AE=CB，然后证明△BAE=△MBN，则可证△BAE△△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【详解】解：（1）△△BD是三角形ABC的中线，△AD=CD，又△△ABD=△CDE，BD=ED，△△CED△△ABD（SAS）；△△△CED△△ABD，△AB=CE，△CE BC BE CE BC-<<+，△AB BC BE AB BC-<<+即218BE<<，又△2BE BD DE BD=+=，△19BD<<；故答案为：19BD<<；（2）MN=2BD，理由如下：如图所示，延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE△△CDB（SAS），△△DAE=△DCB，AE=CB，△BC=BN，△AE=BN，△△ABM=△NBC=90°，△△MBN+△ABC=360°-△ABM-△NBC=180°，△△ABC+△BAC+△ACB=180°，△△ABC+△BAC+△DAE=180°，△△BAE+△ABC=180°，△△BAE=△MBN，又△AB =BM ，△△BAE △△MBN （SAS ），△MN =BE ，△BE =BD +ED =2BD ，△MN =2BD ．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等．13．（1）BF AC =；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）通过证明BEF CEA △≌△，即可求解；（2）过点A 引AF CD ∥交BE 于点F ，通过≌ABF CAD 得到AF CD =，再通过AFE CDE ≌即可求解；（3）过点M 作MT AB ∥交BN 的延长线于点T ，MG AD ，在MT 上取一点K ，使得MK CD =，连接GK ，利用全等三角形的性质证明AB MT =、DM MT =，即可解决．【详解】证明：（1）BF AC =由题意可得：BE EC =在BEF 和CEA 中BE EC BEF CEA EF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()BEF CEA SAS △≌△△BF AC =（2）过点A 引AF CD ∥交BE 于点F ，如下图：由题意可得：CD BC ⊥，且∠=∠EAF ACD则AF BC ⊥又△AB AC =△AF 平分BAC ∠，△BAF EAF ACD ∠=∠=∠△在ABF 和CAD 中ABF DAC AB ACBAF ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△()ABF CAD ASA ≌△AF CD =在AFE △和CDE △中 FAE DCE AEF CED AF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()AFE CDE AAS △≌△△AE EC =（3）证明：过点M 作MT AB ∥交BN 的延长线于点T ，MGAD ，在MT 上取一点K ，使得MK CD =，连接GK ，如下图：△AB MT ∥△ABN T ∠=∠△ANB MNT ∠=∠，AN MN =△()ANB MNT AAS △≌△△BN NT =，AB MT =△MG AD△ADN MGN ∠=∠△,AND MNG AN NM ∠=∠=△()AND MNG AAS △≌△△,AD MG DN NG ==△BD GT =△,BAN AMT DAN GMN ∠=∠∠=∠△BAD GMT ∠=∠△BAD BCD ∠=∠△BCD GMK ∠=∠△,AD BC AD GM ==△BC GM =又△MK CD =△()BCD GMK SAS △≌△△,GK BD BDC MKG =∠=∠△,GK GT MDT GKT =∠=∠△GKT T ∠=∠△DM MT =△AB MT =△DM AB =【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．14．（1）见解析；（2）21k k + 【解析】【分析】（1）延长CM 至点D ，使CM DM =，可证ACM BDM ∆≅∆，由全等三角形的性质从而得出AC BD =，根据题目已知，可证DCB NCB ∆≅∆，由全等三角形的性质从而得出BN BD =，等量代换即可得出答案；（2）如图所示，作CQ CP =，可证CPO CQO ∆≅∆，由全等三角形的性质相等角从而得出123∠=∠=∠，进而得出45∠=∠，故可证NOB NOQ ∆≅∆等量转化即可求出CP CM 的值．【详解】（1）如图1所示，延长CM 至点D ，使CM DM =，在ACM △与BDM 中，CM DM AMC BMD AM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACM BDM ∴∆≅∆，AC BD ∴=，2CM CN =，CD CN ∴=，在DCB 与NCB △中，CD CN DCB NCB CB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, DCB NCB ∴∆≅∆，BN BD ∴=，AC BN ∴=；（2）如图所示，120AMC ∠=︒，60CMN ∴∠=︒，NP 平分MNC ∠，BCN BCM ∠=∠，1602PNC BCN AMC ∠+∠=∠=︒， 120CON ∴∠=︒，60COP ∠=︒，180CMN BOP ∴∠+∠=︒，作CQ CP =，在CPO △与CQO 中， CQ CP QCO PCO CO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CPO CQO ∴∆≅∆，123∴∠=∠=∠，45∴∠=∠，在NOB 与NOQ 中，45BNO QNO NO NO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，NOB NOQ ∴∆≅∆，BN NQ ∴=，CN CP NB ∴=+，2CM CP AC∴=+，设AC a=，CP ka∴=，(1)2a kCM+=，21CP kCM k∴=+．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．15．（1）2AB AC AD AB AC-<<+，（2）31322AD<<【解析】【分析】（1）延长AD至E，使AD DE=，连接BE，然后再证明ACD EBD△≌△，根据全等三角形的性质可得AC BE=，再根据三角形的三边关系可得AB BE AE AB BE-<<+，利用等量代换可得2AB AC AD AB AC-<<+；（2）把8cmAB=，5cmAC=代入（1）的结论里，再解不等式即可．【详解】（1）证明：如图延长AD至E，使DE AD=，连接BE，△AD为ABC中BC边上的中线，△DC BD=，在ACD△和EBD△中：DC BD ADC BDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△(SAS)ACD EBD ≌△△，△AC BE =（全等三角形的对应边相等），在ABE △中，由三角形的三边关系可得AB BE AE AB BE -<<+，即2AB AC AD AB AC -<<+；（2）解：△8cm AB =，5cm AC =，由（1）可得2AB AC AD AB AC -<<+，△85285AD -<<+，△31322AD <<．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键．16．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，△AD是△ABC的中线，△D为BC的中点，BD=CD，在△ABD与△PCD中，BD CDADB PDCAD PD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD△△PCD(SAS)，△AB=CP，在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，△2AB AC AD+>；（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，△H为DE中点，D、E为BC三等分点，△DH=EH，BD=DE=CE，△DH=CH，在△ABH和△QCH中，BH CHBHA CHQAH QH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABH△△QCH(SAS)，同理可得：△ADH△△QEH，△AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点，△AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，△AC +CQ ＞AK +QK ，又△AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，△AK +QK ＞AE +QE ，△AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，△AB =CQ ，AD =EQ ，△AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ， △M 为DE 中点，△DM =EM ，△BD =CE ，△BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ △△ABM △△NCM (SAS )，同理可证△ADM △△NEM ，△AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，△AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，△AC +CN ＞AT +NT ，又△AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，△AT +NT ＞AE +NE ，△AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，△AB =NC ，AD =NE ，△AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）延长AD 至点E ，使ED AD =．由AD 为中线可知BD CD =，即易证()ABD ECD SAS ≅，得出AB EC =．利用三角形三边关系可知AC EC AE +>，即可证明2AC AB AD +>．（2）延长ED 至点G ，使DG ED =，连接CG，EG ．由AD 为中线可知BD CD =．即易证()BDE CDG SAS ≅，得出BE CG =．由题意可得90EDF GDF ∠=∠=︒，即易证()EDF GDF SAS ≅，得出EF GF =．利用三角形三边关系可知CG CF FG +>，即可证明BE CF EF +>．【详解】（1）如图，延长AD 至点E ，使ED AD =．△AD 为中线，△BD CD =．△在ABD △和ECD 中，BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()ABD ECD SAS ≅，△AB EC =．△在ACE 中，AC EC AE +>，△2AC AB AD +>．（2）如图，延长ED 至点G ，使DG ED =，连接CG ，EG ．△AD 为中线，△BD CD =．△在BDE 和CDG 中，BD CD BDE CDG ED GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()BDE CDG SAS ≅，△BE CG =．△DE DF ⊥，△90EDF GDF ∠=∠=︒， △在EDF 和GDF 中，90ED GD EDF GDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，△()EDF GDF SAS ≅，△EF GF =．△在CFG △中，CG CF FG +>，△BE CF EF +>．【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系．作出常用的辅助线是解答本题的关键．18．（1）5或8；（2）见解析；（3）AEF 是“匀称三角形”，见解析【解析】【分析】（1）设第三边长为x ，利用“匀称三角形”的定义，列出方程，但是由于3a b c b ++=等式中，4，6，x 均有可能为等式右边的“b ”，所以需要分三类讨论，最终确定下来的三边长必须满足“三角形两边之和大于第三边”，故最终答案为5或8；（2）要证明EF 为O 切线，连接OD ，由于OD 是O 半径，只需要证明OD EF ⊥，又由于DF AC ⊥，所以只需要证明//OD AC ，又由于O 为AB 中点，只需要证明D 为BC 的中点，因为AB 是O 直径，所以AD BD ⊥，又因为AB AC =，所以D 为BC 的中点，即可证明；（3）因为D 为BC 的中点，仿照“中线倍长”模型，过B 作BM EF ⊥于M ，如图2，或者在DE 上截取DM DF =，构造BMD CFD ≅，所以BM CF =，将53BE CF =转化成53BE BM =，因为//BM AC ，所以BEM AEF ∽，可以得到53AE BE AF BM ==，设5AE x =，则3AF x =，利用勾股定理求出4EF x =，满足定义，即可证明．【详解】解：（1）解：设第三边长为x ，△当4663x ++=时，解得8x =， △当463x x ++=是，解得5x =， △当4643x ++=时，解得2x =， 246+=，∴当三边长为2，4，6时，不能构成三角形，所以△舍去，故答案为：5或8；（2）证明：如图1，连接OD ，AD ，AB是O直径，AD BC∴⊥，AB AC=，D∴为BC的中点，即BD CD=，O为AB中点，//OD AC∴，12OD AC=，DF AC⊥，90AFD∴∠=︒，//OD AC，90ODE AFD∴∠=∠=︒，OD EF⊥∴，OD是O半径，EF∴是O的切线；（3）解：AEF∆是“匀称三角形”，理由如下：如图2，过B作BM EF⊥于M，90BMD CFD ∴∠=∠=︒，在BMD 和CFD △中，BMD CFD BDM CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BMD CFD AAS ∴≅，BM CF ∴=，53BE CF =， ∴53BE BM =， 90BMD CFD ∠=∠=︒，EBM EAF ∴∽，∴53BE AE BM AF ==，设5AE x =，则3AF x =，∴224EF AE AF x =-=，54343x x x x ++=， ∴3AE EF AF EF ++=， AEF ∴是“匀称三角形”．【点睛】本题是一道圆的综合题，由新定义的结论，要注意分类讨论和根据三角形三边关系对答案进行取舍，在几何证明中，要注意利用相似转化线段比的思想，比如本题中“53BE BE AE FC BM AF ===”的转化． 19．（1）14AD <<；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据已知证明BDE ADC △≌△，进而求得AC BE =，根据三角形三边关系即可求得AD 的取值范围；（2）过点B 作//BM FC 交FE 的延长线于M ，证明ABE ACF ≌，得CF BE =，再证明BM CE =，进而证明BMG CFG △≌△，即可证明BG CG =【详解】（1）//BE ACE EAC∴∠=∠,BDE ADC BD CD∠=∠=∴BDE ADC△≌△3AC BE∴==AB BE AE AB BE-<<+，即228AD<<14AD∴<<（2）如图，过点B作//BM FC交FE的延长线于M，23∴∠=∠AF AE=,AF AE⊥,445AEF∴∠=∠=︒,1180180904545AEB AEF∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,,,90AB AC AE AF BAC EAF==∠=∠=︒BAC EAC EAF EAC∴∠-∠=∠-∠即BAE CAF∠=∠∴ABE ACF≌CF BE∴=，90AEB AFC∠=∠=︒390445∴∠=︒-∠=︒3445,AEF AE BD∠=∠=∠=︒⊥23145∴∠=∠=∠=︒BE BM∴=BM CF∴=又BGM CGF∠=∠,BMG CFG ∴△≌△BG CG ∴=【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．20．（1）1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，证明见解析；（3）EF ＝2AD ，证明见解析．【解析】【分析】（1）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，根据题意证明△MDB ≌△ADC ，可知BM ＝AC ，在△ABM 中，根据AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，即可求的；（2）由（1）知，△MDB ≌△ADC ，可知∠M ＝∠CAD ，AC ＝BM ，进而可知AC ∥BM ；（3）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM ≌△EAF ，进而可得AM ＝2AD ，由AM ＝EF ，即可求得AD 与EF 的数量关系．【详解】（1）如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△MDB 和△ADC 中，BD CD BDM CDA DM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDB ≌△ADC （SAS ），∴BM ＝AC ＝6，在△ABM 中，AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，∴8﹣6＜AM ＜8+6，2＜AM ＜14，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，理由是：由（1）知，△MDB ≌△ADC ，。

中考数学复习--几何图形辅助线直角三角形中辅助线作法

321直角三角形中辅助线作法1.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P 是边AB 上一点，连接CP,将△ACP 沿CP 翻折得到△QCP，且PQ⊥AB，求BP 的长。

2.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F 分别是AC、BD 的中点。

求证:EF⊥BD.3.如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,AD⊥BD,∠C 与∠BAD 互补，若AD=,求AC 的长.4.如图，在△ABC 中，∠C=25°点D 在边BC 上，且∠DAC=90°,AB=DC.求∠BAC 的度数。

22222121方法归纳直角三角形中辅助线的作法如下:方法1.作斜边上的高如图①,在Rt△ABC 中,过点C 作斜边的高，则∠ADC=90°,AB•CD=AC•BC.方法2.作斜边的中线如图②,在Rt△ABC 中，取斜边AB 的中点D,连接CD,则AD=CD=BD,∠CAD=∠ACD,∠DCB=∠ABC.方法3.倍长直角边构造等腰三角形如图③,在Rt△ABC 中,倍长一直角边，使得CD=BC,则AB=AD,∠B=∠D.方法4.构造特殊(含30°,45°)直角三角形(1)如图④，在△ABC 中，∠ABC=45°，过点A 作AD⊥AB 交BC 于点D,则BD=AB=AD.(2)如图⑤，在Rt△ABC 中，延长短直角边至点D,使得BD=BC,则CD=BC=BD (3)如图⑥，在△ABC 中，∠C=30°,过点B 作BD⊥AC 交CA 的延长线于点D,则BD=BC.(4)如图⑦，在Rt△ABC 中，在直角边AB 上取一点D.使得BD，则∠BCD=30°，∠BDC=60°，BD=CD 例1如图，在△ABC 和△ADC 中,AB=2AC,∠ACD=90°,连接BD，且AD=BD,求证:∠BAC=2∠ABD.思路点拨：题目中要证∠BAC=2∠ABD，结合已知条件不能直接求证，可根据AB=2AC，延长直角三角形上的一条直角边,利用三角形全等和等腰三角形的性质解决问题;或通过作垂直构造三角形全等得到角度的转化，再由等腰三角形的性质求证即可.作法1:倍长直角边构造等腰三角形求证，具体辅助线作法为。

中考数学几何压轴题

2017中考数学几何压轴题(辅助线专题复习)(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--中考压轴题专题几何（辅助线）精选1.如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，DE 垂直平分AC ，垂足为O ，AD ∥BC ，且AB =3，BC =4，则AD 的长为．精选2．如图，△ABC 中，∠C ＝60°，∠CAB 与∠CBA 的平分线AE ，BF 相交于点D ，求证：DE ＝DF ．精选3.已知：如图，⊙O 的直径AB=8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ．(1) 若∠ACP=120°，求阴影部分的面积；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交AC 于点M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数。

精选4、如图1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O 是斜边AB 上一动点，以OA 为半径作⊙O 与AC 边交于点P ，（1）当OA=时，求点O 到BC 的距离；（2）如图1，当OA=时，求证：直线BC 与⊙O 相切；此时线段AP 的长是多少？（3）若BC 边与⊙O 有公共点，直接写出OA 的取值范围；（4）若CO 平分∠ACB，则线段AP 的长是多少？DEF．精选5．如图，已知△ABC 为等边三角形，∠BDC ＝120°，AD 平分∠BDC ，求证：BD +DC ＝AD ．精选6、已知矩形ABCD 的一条边AD =8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、O A ． ①求证：△OCP ∽△PDA ；②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN =PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．精选7、如图，四边形ABCD 是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB 、BA （或它们的延长线）于点E 、F ，∠EDF=60°，当CE=AF 时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF ．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF 时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；EB（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？精选8、等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ；（1）如图（1），若A （0，1），B （2，0），求C 点的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC 运动到使点D 恰为AC 中点时，连接DE ，求证：∠ADB=∠CDE（3）如图（3），在等腰Rt△ABC 不断运动的过程中，若满足BD 始终是∠ABC 的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．精选9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h 123(000)h h h >>>，，．（1）求证：31h h =；（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：22121()S h h h =++；（3）若12312h h +=，当1h 变化时，说明正方形ABCD 的面积S 随1h 的变化情况．l 1l 2l 3l 4h 3h 2 h 1 AD B第题图参考答案精选1解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC ===5，∵DE垂直平分AC，垂足为O，∴OA =AC =，∠AOD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AOD∽△CBA，∴=，即=，解得AD =．故答案为：．精选2证明：在AB上截取AG，使AG=AF，易证△ADF≌△ADG（SAS）．∴DF＝DG．∵∠C＝60°，AD，BD是角平分线，易证∠ADB=120°．∴∠ADF＝∠ADG＝∠BDG＝∠BDE＝60°．易证△BDE≌△BDG（ASA）．∴DE＝DG＝DF．精选3、解：（1）连接OC．∵PC为⊙O的切线，∴PC⊥OC．∴∠PCO=90度．∵∠ACP=120°∴∠ACO=30°∵OC=OA，∴∠A=∠ACO=30度．∴∠BOC=60°∵OC=4∴∴S阴影=S△OPC﹣S扇形BOC =；（2）∠CMP的大小不变，∠CMP=45°由（1）知∠BOC+∠OPC=90°∵PM平分∠APC∴∠APM=∠APCDE F∵∠A=∠BOC∴∠PMC=∠A+∠APM=（∠BOC+∠OPC）=45°．精选4、解：（1）在Rt△ABE中，．（1分）过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，∴△ODB∽△ACB，∴，∴，∴，∴点O到BC的距离为．（3分）（2）证明：过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，∵△OEB∽△ACB，∴∴，∴．∴直线BC与⊙O相切．（5分）此时，四边形OECF为矩形，∴AF=AC﹣FC=3﹣=，∵OF⊥AC，∴AP=2AF=．（7分）（3）；（9分）（4）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．（10分）设正方形OGCH的边长为x，则AG=3﹣x，∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，∴，∴，∴，∴，∴AP=2AG=．（12分）精选5、证法1：（截长）如图，截DF=DB，易证△DBF为等边三角，然后证△BDC≌△BFA即可；证法2：（截长）如图，截DF=DC，易证△DCF为等边三角，然后证△BDC≌△AFC即可；证法3：（补短）如图，延长BD至F，使DF=DC，此时BD+DC=BD+DF=BF，易证△DCF为等边△，再证△BCF≌△ACD即可．证法4：（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆．设AB＝AC＝BC＝a，根据（圆内接四边形）托勒密定理：CD·a＋BD·a＝AD·a，得证．FFF精选6、解：（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠PO C．∵∠D=∠C，∠APD=∠PO C．∴△OCP∽△PD A．②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴====．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边AB的长为10．（2）如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=D C．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度数为30°．（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，．∴△MFQ≌△NF B．∴QF=BF．∴QF=Q B．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=P B．由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．精选7、解：（1）DF=DE．理由如下：如答图1，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（2）DF=DE．理由如下：如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．即y=（x+1）2+．∵＞0，∴该抛物线的开口方向向上，∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=．精选8、（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，∴∠AFC=90°，∴∠CAF+∠ACF=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，∴∠ACF=∠BAO．在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS）∴CF=OA=1，AF=OB=2∴OF=1∴C（﹣1，﹣1）；（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∴∠ACG=∠BAC=90°，∴∠AGC+∠GAC=90°．∵∠CAG+∠BAO=90°，∴∠AGC=∠BAO．∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，∴∠ADO=∠BAO，∴∠AGC=∠ADO．在△ACG和△ABD中∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG=AD=CD．∵∠ACB=∠ABC=45°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠G，∴∠ADB=∠CDE；（3）解：在OB上截取OH=OD，连接AH 由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．∵∠ADH=∠BAO．∴∠BAO=∠AHD．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABO=∠EBO，∵∠AOB=∠EOB=90°．在△AOB和△EOB中，，∴△AOB≌△EOB（ASA），∴AB=EB，AO=EO，∴∠BAO=∠BEO，∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．∴∠AEC=∠BHA．在△AEC和△BHA中，，∴△ACE≌△BAH（AAS）∴AE=BH=2OA∵DH=2OD∴BD=2（OA+OD）．精选9、（1）证：设2AD l 与交于点E ，BC 与3l 交于点F ，由已知BF ED BE FD ∥，∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，BE DF ∴=．又CDF Rt ABE Rt CD AB ∆∆∴=≌，．31h h =∴ （2）证：作44BG l DH l ⊥⊥，，垂足分别为G H 、，在Rt Rt BGC CHD △和△中，1809090BCG DCH BCD CDH DCH ∠+∠=︒-∠=︒∠+∠=︒，． BCG CDH ∴∠=∠．又90BGC CHD BC CD ∠=∠=︒=，，2Rt Rt BGC CHD CG DH h ∴==△≌△，．又22222223232121()()BG h h BC BG CG h h h h h h =+∴=+=++=+，，222121()S BC h h h ∴==++．（3）解：1221331122h h h h +=∴=-，， 1 l 2 l 3h 2 h 1 A BE 1 l 2 l 3lh 3h 2h 1 A D BF E2222121111355241124455S h h h h h h ⎛⎫⎛⎫∴=+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1211320010023h h h h >>∴->∴<<，，，．∴当1205h <<时，S 随1h 的增大而减小；当12253h <<时，S 随1h 的增大而增大．。

2025年中考数学二轮复习几何模型突破课件：模型1中点辅助线作法

一点，G，H分别为EF，BF的中点，连接GH，则GH的长是( D )
A．6
B．5.5
C．6.5
D．5
【解析】连接BE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵AD＝12，E为
1
AD 的中点， ∴ AE ＝ AD ＝ 6. ∵ AB ＝ 8 ， ∴ 在 Rt△ABE 中， BE ＝
2
2 ＋ 2 ＝10.∵G，H分别为EF，BF的中点，∴GH是△BEF的中位
1
1
BD.∵BD⊥AC，AE＝BD，∴EF⊥AC，EF＝ AE，∴∠CFE＝∠AFE
2
2
＝90°，∠EAF＝30°，∴∠AEF＝60°.又∵∠C＝55°，∴∠CEF＝
35°，∴∠AEB＝180°－∠AEF－∠CEF＝85°.故选D.
2.如图，菱形ABCD的对角线BD的长为8，E，F分别是AD，CD边的中
点，连接EF.若EF＝3，则菱形ABCD的面积是( A )
A．24
B．20
C．12
D．6
【解析】连接AC.∵E，F分别是AD，CD边上的中点，即EF是△ACD的中
1
1
位线，∴AC＝2EF＝6，∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×6×8＝24.故选A.
2
2
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD的中点，F为CD边上

AD，∠B＝∠DCB，∠A＝∠ACD
模型
总结
当遇等腰三角形底边上的中点
当遇直角三角形斜边上的
时，考虑作底边上的中线，利用中点时，考虑作斜边上的
“三线合一”解题
中线
例2
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中
点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，连接EF.若AE＝4，

微专题9 中点常见问题及辅助线作法++++课件+2025年中考数学总复习人教版(山东)

量关系
5
【针对训练】
2.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=2
为( B )
3 3
A.
4
3 3
B.
8
C.
3
4
D.
3
8
1
3,D为BC的中点,AE= AB,则△EBD的面积
4
6
类型3
边的垂线+中点,构造等腰三角形
特点经过线段的中点,出现线段的垂线
示例
结论
点D是BC中点,DE⊥BC,连接BE,根据垂直平分线的性质可以得到:
BE=CE
7
【针对训练】
3.(2024·临沂郯城县二模)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=BC=2AD=8,
边CD的垂直平分线分别交AB,CD于点E,F,则AE的长为
A.6
B.4 3
C.7
D.2 14
(C )
8
4.(2024·烟台蓬莱区二模)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点O为对角线BD的中点,
微专题9
中点常见问题
及辅助线作法
2
类型1
直角三角形+斜边中点,作斜边上的中线
特点在直角三角形中,有斜边上的中点
示例
结论
思路
作用
在 Rt△ABC 中 , ∠ C=90°, 点 D 为 AB 的中点 , 作斜边上的中线 CD, 则有
1
CD=AD=BD= AB
2
(1)有时有中点无直角,要寻找直角,可简记为“直角+中点,等腰必呈现”.
的取值范围是 ( C )
A.2<AD<16
B.0<AD<16

专题07 全等三角形中的辅助线问题(原卷版)2022年中考数学二轮解题方法分类专项突破

专题07 全等三角形中的辅助线问题【类型】一、全等三角形中的辅助线问题-作平行线一、单选题1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE△AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝P A，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．1B．1.8C．2D．2.52．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE△AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝P A，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．0.5B．0.9C．1D．1.25二、填空题3．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC△BD，AC＝BD＝CD，点P是△OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：△△CPD＝135°；△BA＝BP；△△P AC△△PDB；△S△ABP＝S△DCP；CD．其中正确的是___．（填序号）△PM＝12三、解答题4．P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE△AC于E，若AB＝6，求DE的长．=，连接DE交BC 5．如图所示：ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD CE于点M．求让：MD ME=6．读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且△BAE=△CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG△DE于G,BF△DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF△AB交DE的延长线于F.7．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP=DQ；(2)过P作PE△AC于E，若BC=4，求DE的长．8．如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，△CEF＝△A，连接DF．（1）在图1中找出与△ACE相等的角，并证明；（2）求证：△BDF＝△EFC；（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求DGDF的值（用含k的代数式表示）．9．P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE △AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．【类型】二、全等三角形中的辅助线问题-作垂线一、单选题1．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，90BAD CAE ∠=∠=，AH △BC 于H ，HA 的延长线交DE 于G ，下列结论：△DG ＝EG ；△BC ＝2AG ；△AH ＝AG ；△ΔΔABC ADE S S =，其中正确的结论为（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△二、填空题 2．如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，点E 在AC 上，且AE ＝1，连接BE ，△BEF ＝90°，且BE ＝FE ，连接CF ，则CF 的长为____________3．如图，ABC 中，,90,(0,3), (1,0)AC BC ACB A C =∠=︒，则点B 的坐标为________．三、解答题4．已知△ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，且DB△MN于点B，如图易证BD＋AB2＝，过程如下：解：过点C作CE△CB于点C，与MN交于点E△△ACB＋△BCD＝90°，△ACB＋△ACE＝90°，△△BCD＝△ACE．△DB△MN，△△ABC＋△CBD＝90°，CE△CB，△△ABC＋△CEA＝90°，△△CBD＝△CEA．又△AC＝DC，△△ACE△△DCB（AAS），△AE＝DB，CE＝CB，△△ECB为等腰直角三角形，△BE2＝．又△BE＝AE＋AB，△BE＝BD＋AB，△BD＋AB2＝．（1）当MN绕A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明．（2）当MN绕A旋转到如图（3）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请直接写出你的结论．5．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD△AC，BC△AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．（1）求证：△EAF△△DAF；（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求△DCF的度数．6．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，△BCD=α°，△ABC+△ADC＝180°，A C、BD交于点E．将△CBA 绕点C顺时针旋转α°得到△CDF．（1）求证：△CAB＝△CAD；（2）若△ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1：S2的值．7．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且△BAE＝△CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．△如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；△如图2，分别过点B、C作BF△DE，CG△DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．8．如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC．9．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且△BAE=△CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．10．如图，已知△AOB＝60°，在△AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当△DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当△DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当△DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD 、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【类型】三、全等三角形中的辅助线问题-补全图形法一、解答题1．如图，ABC 中，AC ＝BC ，△ACB ＝90°，AD 平分△BAC 交BC 于点D ，过点B 作BE △AD ，交AD 延长线于点E ，F 为AB 的中点，连接CF ，交AD 于点G ，连接BG ．（1）线段BE 与线段AD 有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG 的形状，并说明理由．2．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于(,0) ,(0,)A a B b 两点，且,a b 满足2()|4|0a b a t ，且0,t t >是常数，直线BD 平分OBA ∠，交x 轴于点D ．（1）若AB 的中点为M ，连接OM 交BD 于点N ，求证：ON OD =；（2）如图2，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，猜想AE 与BD 间的数量关系，并证明你的猜想．3．如图，在△ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分△BAC ，CE△AE 点F 在AB 上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形（2）线段AB ，BF ，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论4．已知，如图ABC ∆中，AB AC =，90A ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点E ，90BDC ∠=︒，求证：2CE BD =.5．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．6．在△ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，连接AD、BD．（1）如图1，当△BAC=100°，60α=时，△CBD 的大小为_________；（2）如图2，当△BAC=100°，20α=时，求△CBD的大小；（3）已知△BAC的大小为m（60120<<），若△CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的m大小．。

中考数学几何添加辅助线法：找斜边上的中线(详解答案)

斜边上的中线一、斜边上中线解题思路定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

90°+中点需要想到斜边中线，以构造辅助线，尤其是当遇到两直角三角形共斜边时，那么这两个直角三角形的斜边中线必然是相等的。

二、典例精讲典例．如图所示，CDE ∆中，135CDE ∠=︒，CB DE ⊥于V ，EA CD ⊥于A ，求证：CE =.名师点拨：取CE 的中点F ，连接AF 、BF ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF =EF =BF =CF ，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE +∠BEC =45°，然后求出∠AEC +∠BCE =135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC +∠AFE =90°，然后求出∠AFB =90°，从而判断出△ABF 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的2可得AF =2AB ，然后证明即可．满分解答：证明：如图，取CE 的中点F ，连接AF 、BF ，∵CB ⊥DE ，EA ⊥CD ，∴AF =EF =BF =CF =12CE ，在△CDE 中，∵∠CDE =135°，∴∠ACE +∠BEC =180°-135°=45°，∴∠AEC +∠BCE =（90°-∠ACE ）+（90°-∠BEC ）=180°-45°=135°，∴∠BFC +∠AFE =（180°-2∠BCE ）+（180°-2∠AEC ）=360°-2（∠AEC +∠BCE ）=360°-2×135°=90°，∴∠AFB =180°-（∠BCF +∠AFE ）=180°-90°=90°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF =2AB ，∴CE =2AF AB ，即CE ．名师点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．变式题．如图,在矩形ABCD 中,∠BAD 的平分线交BC 于点E ,交DC 的延长线于点F . （1）若AB =2,AD =3,求EF 的长；（2）若G 是EF 的中点,连接BG 和DG ,求证：DG =BG .三、中考押题1．如图所示，在ABC ∆中，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，点M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求证：MN DE ⊥.2．如图所示，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，延长BA 到D ，使12AD AB =，点E 是AC 的中点，求证：2BC DE .。

初三数学几何辅助线练习题

初三数学几何辅助线练习题几何是初中数学中的重要部分，而辅助线则是解决几何问题时常常使用的一种方法。

辅助线能够通过引入额外的线段或者点，帮助我们发现几何图形中隐藏的属性和关系，从而更好地解决问题。

本文将通过一系列练习题来帮助同学们巩固初三数学几何辅助线的应用。

练习题一：等腰三角形给定一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。

辅助线AD垂直于BC，交BC于D，请证明：AD是三角形ABC的高线。

解析：在等腰三角形中，我们通常会遇到三个等边的性质：底边相等、底角相等和顶角相等。

这里我们通过引入辅助线AD来进一步研究三角形ABC的性质。

首先，连接AB和AC，得到线段AB和AC。

由于等腰三角形的性质，我们知道AB=AC。

接下来，引入辅助线AD，使其与底边BC垂直，并交BC于点D。

根据垂直线的性质，我们知道AD与BC垂直，即AD⊥BC。

由于AD是从顶点A引出的垂直线，并且连接了底边BC的中点D，所以AD一定是三角形ABC的高线。

练习题二：平行四边形的性质给定一个平行四边形ABCD，辅助线AC和BD相交于点O。

请证明：1. AO与OC相等；2. BO与OD相等。

解析：平行四边形是具有多个特殊性质的四边形，而辅助线的引入可以帮助我们更好地探究这些性质。

首先，连接线段AO和CO，线段BO和DO。

我们可以看到辅助线AC把平行四边形分成了两个三角形，即三角形ABC和三角形CDA；辅助线BD也将平行四边形分成了两个三角形，即三角形ABD和三角形BCD。

通过观察，我们可以发现这四个三角形都有共同的底边AC 和BD。

1. 我们先来证明AO与OC相等。

根据三角形ABC和三角形CDA 的对应边相等性质，我们可以得出AB=AD，BC=CD。

根据平行四边形的性质，由于边AB与边CD平行且相等，所以AO与OC相等。

2. 接下来，我们来证明BO与OD相等。

根据三角形ABD和三角形BCD的对应边相等性质，我们可以得出AB=BC，AD=CD。

同样根据平行四边形的性质，由于边AD与边BC平行且相等，所以BO与OD 相等。

【中考数学专题】08：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之倍长中线

专题08：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之倍长中线一、单选题1．在△ABC 中，AC ＝6，中线AD ＝5，则边AB 的取值范围是（）A ．1＜AB ＜11 B ．4＜AB ＜13C ．4＜AB ＜16D ．11＜AB ＜162．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒3．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠ C ．ED BC EB += D ．2DEBC EFB S S =四边形4．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD 是△ABC 的中线，则AD 的取值范围是（）A ．3<AD<13B ．1.5<AD<6.5C ．2.5<AD<7.5D ．10<AD<165．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90,8C AC ∠=︒=，F 为AB 边的中点，点D ，E 分别在,AC BC 边上运动，且保持AD CE =，连接,,DE DF EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：△DEF 是等腰直角三角形；△四边形CDFE 的面积保持不变；△AD BE DE +>．其中正确的是（）A ．△△△B ．△C ．△D ．△△二、填空题 6．如图，平行四边形ABCD 中，CE AD ⊥于E ，点F 为边AB 中点，12AD CD =，40CEF ∠=︒，则AFE ∠=_________7．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F ，BE AC =，且9BF =，6CF =，那么AF 的长度为__．8．如图，901,2,AB CD BCD AB BC CD E ∠=︒===，，为AD 上的中点，则BE ＝______．9．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：23，则△BCD＝_____．10．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，△CAD＝45°，则BC＝_____.三、解答题11．如图，已知AD是ABC的中线，过点B作BE△AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．12．在ABC中，△C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF△DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E 是线段AC 的中点时，AE ＝2，BF ＝1，求EF 的长；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．13．阅读材料，解答下列问题．如图1，已知△ABC 中，AD 为中线．延长AD 至点E ，使 DE =AD ．在△ADC 和△EDB 中，AD =DE ，△ADC =△EDB ，BD =CD ，所以，△ACD △△EBD ，进一步可得到AC =BE ，AC //BE 等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC 中，AD 是三角形的中线，点F 为AD 上一点，且BF =AC ，连结并延长BF 交AC 于点E ，求证：AE =EF ．14．如图1，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，3AB =M 是BC 边的中点，MN BC ⊥交AC 于点N .将直角PMQ ∠绕顶点M 旋转，使得边MP 与线段BA 交于点P ，边MQ 与线段AC 交于点Q .（1）求证：PBM ∆与QNM ∆相似；（2）设BP 的长为x ，Rt APQ ∆的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）探究2BP 、2PQ 、2CQ 三者之间的数量关系，并说明理由.15．如图1，已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，EF BE =，90BEF ∠=︒，F 是线段BC 上一点，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．（1）探究EG 与CG 的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰Rt BEF ∆绕点B 顺时针旋转()090αα︒<<︒，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若2AD =，求2GE BF +的最小值．参考答案1．C【解析】【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．【详解】如图，延长AD至E，使DE＝AD，△AD是△ABC的中线，△BD＝CD，在△ABD和△ECD中，BD＝CD，△ADB＝△EDC，AD＝DE，△△ABD△△ECD（SAS），△AB＝CE，△AD＝5，△AE＝5＋5＝10，△10＋6＝16，10−6＝4，△4＜CE＜16，即4＜AB＜16．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．2．D【解析】【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE △△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD △AB 于D ，△ADE ＝50°，即可求出△B 的度数．【详解】解：连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，△四边形ABCF 是平行四边形，△AB △CF ，AB ＝CF ，△△NAE ＝△F ，△点E 是的AF 中点，△AE ＝FE ，在△NAE 和△CFE 中，NAE F AE FEAEN FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△NAE △△CFE （ASA ），△NE ＝CE ，NA ＝CF ，△AB ＝CF ，△NA ＝AB ，即BN ＝2AB ，△BC ＝2AB ，△BC ＝BN ，△N ＝△NCB ，△CD △AB 于D ，即△NDC ＝90°且NE ＝CE ，△DE ＝12NC ＝NE ， △△N ＝△NDE ＝50°＝△NCB ，△△B ＝80°．故选：D ．【点评】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．3．D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以得到228CD AD BC ===，且F 为DC 的中点，所以4CF BC ==,由此可判断A 选项；再结合平行线的性质可以得到CFB FBA ∠=∠，由此可判断B 选项；同时延长EF 和BC 交于点P ，,,DF CF DFE PFC D FCP =∠=∠∠=∠ 可以证得DFE CFP ≅，所以ED BC CP BC BP +=+=,由此可以判断C 选项；由于DFE CFP ≅，所以BEP DEBC S S=四边形，由此可以判断D 选项；【详解】四边形ABCD 是平行四边形 ∴ 228CD AD BC ===∴ 4CF BC ==由于条件不足，所以无法证明4BF =,故A 选项错误；4CF BC ==∴ CFB FBC ∠=∠DC AB ∥∴ CFB FBC FBA ∠=∠=∠∴ 2ABC ABF ∠=∠故B 选项错误；同时延长EF 和BC 交于点PAD BP∴ D FCP ∠=∠∴ 在DFE △和CFP 中：()DF CF DFE PFC D FCP ASA ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ DFE CFP ≅∴ ED BC CP BC BP +=+=由于条件不足，并不能证明BP BE =，故C 选项错误；DFE CFP ≅∴ BEP DEBC S S =四边形F 为DC 的中点∴ 2BEP BEF DEBC S S S ==四边形故D 选项正确；故选：D.【点评】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键. 4．B【解析】【分析】延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，证明△ADC△△EDB 就可以得出BE=AC ，根据三角形的三边关系就可以得出结论．【详解】解：延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ．△AD 是△ABC 的中线，△BD=CD ．在△ADC 和△EDB 中，CD BD ADC BDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC△△EDB （SAS ），△AC=BE ．△AB -BE ＜AE ＜AB+BE ，△AB -AC ＜2AD ＜AB+AC ．△AB=8，AC=5，△1.5＜AD ＜6.5．故选：B【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．5．A【解析】【分析】连接CF ，利用SAS 可证ADF CEF ≌，从而得出,=∠=∠DF FE AFD CFE ，从而求出90EFD ∠=︒，即可判断△；根据全等三角形的性质可得=ADF CEF S S ，从而得出四边形CDFE 的面积为12ABC S ，从而判断△；延长DF 到G 使FG DF =，连接,EG BG ，证出AD BG =和DE EG =，最后根据三角形的三边关系即可判断△．【详解】解：如图，连接CF ．△AC BC =，F 为AB 的中点，△CF AB ⊥，12∠=∠=ACF BCF ACB ． △90ACB ∠=︒，△45∠=∠=∠=︒A ACF BCF ，△CF AF =．又△AD CE =，△ADF CEF ≌．△,=∠=∠DF FE AFD CFE ，△90AFD CFD ∠+∠=︒，△90∠+∠=︒CFE CFD ，△90EFD ∠=︒，△DEF 是等腰直角三角形．△正确．△ADF CEF ≌，△=ADF CEF S S ，△四边形CDFE 的面积为12+=+==CDF CEF CDF MDF AFC ABC SS S S S S ． △11883222=⨯=⨯⨯=ABC S AC BC ， △四边形CDFE 的面积为16，为定值．△正确．延长DF 到G 使FG DF =，连接,EG BG ．△AF BF =，∠=∠AFD BFG ，DF FG =，△ADF BCF ≌△△，△AD BG =．△90EFD ∠=︒，△EF DF ⊥，△DE EG =．在EBG 中，△+>BG BE EG ，△AD BE DE +>．△正确．△△△均正确，故选A ．【点评】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．6．30【解析】【分析】延长EF 、CB 交于点G ，连接FC ，先依据全等的判定和性质得到FE FG =，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到FC FE FG ==，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到BF BC =，依据三角形等边对等角得到50FCG G ∠=∠=︒、50BFC FCG ∠=∠=︒，依据三角形内角和得到GFC ∠，通过作差即得所求.【详解】解：延长EF 、CB 交于点G ，连接FC ，△平行四边形ABCD 中，△//AD BC ，AB CD =,AD BC =,△A GBF ∠=∠，AFE BFG ∠=∠，90GCE CED ∠==︒,又△点F 为边AB 中点，得12A FB A BF ==, △AFE △△BFG (ASA)，0509C G EF ∠∠-==︒︒，△FE FG =，△FC FE FG ==，△50FCG G ∠=∠=︒,△18080GFC FCG G ∠=︒-∠-∠=︒, △12BF AB =,12AD CD =,AB CD =,AD BC =, △BF BC =,△50BFC FCG ∠=∠=︒,△30BFG GFC BFC ∠=∠-∠=︒,△30BFG AFE ∠∠==︒,故答案为：30.【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.7．32；【解析】【分析】延长AD 至G 使AD DG =，连接BG ，得出ACD GBD ∆≅∆,得出AC BG BE ==，所以得出AEF ∆是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．【详解】如图：延长AD 至G 使AD DG =，连接BG在ACD ∆和GBD ∆中：CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACD GBD ∆≅∆△,CAD G AC BG ∠=∠=△BE AC =△BE BG =△G BEG ∠=∠△BEG AEF ∠=∠△AEF EAF ∠=∠△EF AF =△AF CF BF EF +=-即69AF EF +=- △32AF = 【点评】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．85 【解析】【分析】延长BE 交CD 于点F ，证ABE DFE ≌，则BE=EF=12BF ，故再在直角三角形BCF 中运用勾股定理求出BF 长即可.【详解】解：延长BE 交CD 于点F,△AB 平行CD ，则△A=△EDC ，△ABE=△DFE ，又E 为AD 上的中点，△BE=EF,所以ABE DFE ≌.△1,12BE EF BF AB DF ==== △1CF =在直角三角形BCF 中，BF=2212+=5.△1522BE BF ==. 【点评】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.9．30°【解析】【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案．【详解】解：延长CD 到E ，使DE ＝CD ，连接BE ，过E 点作EF △BC ，垂足为F ，△D 是AB 的中点，△AD＝BD，又△△ADC＝△BDE，DE＝DC，△△ADC△△BDE（SAS），△AC＝BE，△CD：AC：BC＝1：2：23，设CD＝m，则AC＝2m＝BE＝CE，△FC＝FB＝12BC＝3m，在Rt△CEF中，cos△FCE＝CFCE＝32mm＝32，△△FCE＝30°，即△BCD＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识，理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提．10．237【解析】【分析】延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EF△AC于F，作CH△AD于H，如图，先证明△ADB△△EDC得到EC=AB=10，再利用△AEF为等腰直角三角形计算出AF=EF2，则根据勾股定理可计算出CF2从而得到AC2，接着利用△ACH为等腰直角三角形得到AH=CH=6，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到BC的长．【详解】延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EF△AC于F，作CH△AD于H，如图，△AD是中线，△BD=CD．在△ADB 和△EDC 中，△AD DE ADB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△EDC （SAS ），△EC =AB =10．在Rt△AEF 中，△△DAC =45°，AE =14，△AF =EF 22=AE =72．在Rt△CEF 中，CF 2210(72)2=-=，△AC =AF ﹣CF =62．在Rt△ACH 中，△△HAC =45°，△AH =CH 22=AC =6，△DH =AD ﹣AH =1．在Rt△CDH 中，CD 221637=+=，△BC =2CD =237．故答案为237．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形高、中线的定义；构造等腰直角三角形是解答此题的关键．11．6【解析】【分析】延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，证明()BDE CDF AAS ≅，再根据全等三角形的性质得到6BE CF ==．【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，△AD 是ABC 的中线，△BD CD =，△BE AD ⊥，CF AD ⊥，△90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE 和CDF 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()BDE CDF AAS ≅，△6BE CF ==，即点C 到AD 的距离是6．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．12．（15（2）AE 2+BF 2＝EF 2，证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE△BC ，DE ＝12BC ，进而证明四边形CEDF 是矩形得DE ＝CF ，得出CF ，再根据勾股定理得结果；（2）过点B 作BM△AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，证明△ADE△△BDM 得AE ＝BM ，DE ＝DM ，由垂直平分线的判定定理得EF ＝MF ，进而根据勾股定理得结论．【详解】解：（1）△D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点，△DE△BC ，DE ＝12BC ， △△ACB ＝90°，△△DEC＝90°，△DF△DE，△△EDF＝90°，△四边形CEDF是矩形，△DE＝CF＝12BC ，△CF＝BF＝1，△CE＝AE＝2，△EF＝2222125CF CE+=+=；（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM△AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则△AED＝△BMD，△CBM＝△ACB＝90°，△D点是AB的中点，△AD＝BD，在△ADE和△BDM中，AED BMDADE BDM AD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADE△△BDM（AAS），△AE＝BM，DE＝DM，△DF△DE，△EF＝MF，△BM2+BF2＝MF2，△AE2+BF2＝EF2．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．13．详见解析【解析】【分析】延长AD 到M ，使DM=AD ，连接BM ，根据SAS 推出△BDM△△CDA ，根据全等三角形的性质得出BM=AC ，△CAD=△M ，根据BF=AC 可得BF=BM ，推出△BFM=△M ，求出△AFE=△EAF 即可．【详解】如图，延长AD 至点M ，使得MD AD =，并连结BM ，△AD 是三角形的中线，△BD CD =，在MDB △和ADC △中，,,,BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MDB ADC △≌△，△AC MB =，BMD CAD ∠=∠，△BF AC =，△BF BM =，△BMD BFD ∠=∠，△BFD EFA ∠=∠，BMD CAD ∠=∠，△EFA EAF ∠=∠，即AE EF =．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．14．（1）PBMQNM ∆∆；（2）206S x x =-+≤<（3）222BP CQ PQ += 【解析】【分析】（1）由同角的余角相等证得PMB QMN ∠=∠及PBM QNM ∠=∠即可得出结论；（2）先由特殊角的三角函数值求出AC 、BC ，再由相似比求出NQ ，并进一步得出AQ ，最后由面积公式得出S 与x 的函数关系式；（3）利用M 是BC 边的中点构造三角形全等，再由勾股定理探究2BP 、2PQ 、2CQ 三者之间的数量关系.【详解】（1）PBM QNM ∆∆.证明：△MQ MP ⊥，MN BC ⊥，△90PMB PMN ∠+∠=︒，90QMN PMN ∠+∠=︒，△PMB QMN ∠=∠.△90PBM C ∠+∠=︒，90QNM C ∠+∠=︒，△PBM QNM ∠=∠，△PBM QNM ∆∆.（2）在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，AB =△30C ∠=︒，BC =12AC =.△M是BC 边的中点，△BM CM ==.在Rt NMC ∆中，90NMC ∠=︒，30C ∠=︒，CM =△4MN =，8CN =，△4AN AC CN =-=.又△BP x =，△AP x =.由（1）得PBMQNM ∆∆；△BP BM NQ MN =，即4x NQ =，△3NQ x =，△43AN NQ A x Q +=+=，△()11422S AP AQ x x ⎛⎫=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭20x x =+≤<.（3）222BP CQ PQ +=.理由如下：如图2，延长PM ，使'P M PM =.△M 是BC 的中点，△BM CM =.△'PMB P MC ∠=∠，△'BMP CMP ∆≅∆，△'BP CP =，'B MCP ∠=∠.△90B ACB ∠+∠=︒，△'90MCP ACB ∠+∠=︒，△222''CP CQ P Q +=，则222'BP CQ P Q +=.△'P M PM =，QM PM ⊥，△'PQ P Q =，△222BP CQ PQ +=.【点评】本题以直角三角形为载体，以旋转变换为切入点考查相似三角形的判定与性质、三角形全等的判断与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等核心知识，渗透数形结合、运动变化、函数方程等数学思想，检测探究、推理、运算等能力.15．（1）=EG CG 且EG CG ⊥．理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）2【解析】【分析】（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出B 、E 、D 三点共线，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明=EG CG ，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出90EGC ∠=︒，从而证明EG CG ⊥；（2）延长CG 至H ，使GH CG =，连接HF 交BC 于M ，连接EH 、EC ，首先通过SAS 证明HFG CDG △≌△，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明//HF CD ，进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明BEC FEH △≌△，从而可证明结论仍然成立；（3）连接AH ，首先根据题意确定当A 、H 、G ，C 在同一直线上时，2GE BF +有最小值，此时BE 在BC 上，然后根据平行四边形的判定及性质得出2GE BF +有最小值就是AC 的长，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）=EG CG 且EG CG ⊥．理由如下：如图1，连接BD ．△正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，△45EBF DBC ∠=∠=︒，△B 、E 、D 三点共线．△90DEF ∠=︒，G 为DF 的中点，90DCB ∠=︒， △12EG DF CG DG ===． △2EGF EDG ∠=∠，2CGF CDG ∠=∠．△290EGF CGF EDC ∠+∠=∠=︒，即90EGC ∠=︒，△EG CG ⊥．（2）仍然成立．理由如下：如图2，延长CG 至H ，使GH CG =，连接HF 交BC 于M ，连接EH 、EC ．△GF GD =，HGF CGD ∠=∠，HG CG =，△()HFG CDG SAS △≌△，△HF CD =，GHF GCD ∠=∠，△//HF CD ．△ABCD 是正方形，△HF BC =，⊥HF BC ．△BEF 是等腰直角三角形，△BE EF =，EBC HFE ∠=∠，△()BEC FEH SAS △≌△，△HE EC =，BEC FEH ∠=∠，△90BEF HEC ︒∠=∠=，△ECH ∆为等腰直角三角形．又△CG GH =，△=EG CG 且EG CG ⊥．（3）如下图，连接AH ，当A 、H 、G ，C 在同一直线上时，2GE BF +有最小值，此时BE 在BC 上，△//FH AB ，//AC BF ，△四边形ABFH 是平行四边形，△AH BF =，由（2）知CG GH =，△2GE BF CH AH AC +=+=，即2GE BF +有最小值，就是AC 的长，由勾股定理得22222AC =+=【点评】本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．。

【中考数学29个几何模型】模型01 中点相关的辅助线问题(后附解题思路分析与小结)

专题01 中点相关的辅助线问题1．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是中线，AE 是角平分线，点F 是AE 上任意一点（不与A ，E 重合），连接BF 、CF ．给出以下结论：①AB EB AC EC =；②1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠；③11()()22AB AC AD AB AC -<<+；④AB CF AC BF +>+．其中一定正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD 是△ABC 的中线，则AD 的取值范围是（）A ．3<AD<13B ．1.5<AD<6.5C ．2.5<AD<7.5D ．10<AD<163．在△ABC 中，AC ＝6，中线AD ＝5，则边AB 的取值范围是（）A ．1＜AB ＜11B ．4＜AB ＜13C ．4＜AB ＜16D ．11＜AB ＜164．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B Ð的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒5．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x 的取值范围是_____．6．如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别为边CD ，AD 的中点，CF 与EA 、EB 分别交于点M 、N ．已知8AB =，12BC =，则MN 的长为______________．7．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．8．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 边的中点，且EAF DAE AF ∠=∠，交射线BC 于点F ，若133AF CF ==，，则BF 的长度为________9．已知：在ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE=CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），求证：BCE CAM ≌．10．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．（1）试说明：①AE=CF；②CG=GD；（2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．11．请阅读下列材料：问题：在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且∠AMD=90°（1）如图1，若AB与CD不平行，试判断AB+CD与AD之间的数量关系；小雪同学的思路是：延长DM至E使DM=ME，连接AE，BE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD与AD之间的数量关系：（2）如图2，若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD 与AD之间的数量关系，并证明．12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．（1）如果，12AD BC =，求证：△ABC 是直角三角形．（2）如果，5AB =，13AC =，6AD =，求BC 的长．13．如图，已知//AP BC ，点E 是DC 的中点，且AD BC AB +=，求证：AE BE ⊥．14．如图，已知AD 是ABC 的中线，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．若BE=6，求点C 到AD 的距离．15．△ABC 中D 是BC 边上一点，连接AD ．（1）如图1，AD 是中线，则AB+AC 2AD （填>，<或=）；（2）如图2，AD 是角平分线，求证AB-AC >BD-CD ．16．在 ABC 中，∠C ＝90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点，E 为直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当点E 是线段AC 的中点时，AE ＝2，BF ＝1，求EF 的长；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．17．如图1，已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，EF BE =，90BEF ∠=︒，F 是线段BC 上一点，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．（1）探究EG 与CG 的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰Rt BEF ∆绕点B 顺时针旋转()090αα︒<<︒，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若2AD =，求2GE BF +的最小值．18．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为线段BC 的延长线上一点，且DB=DA ，BE ⊥AD 于点E ，取BE 的中点F ，连接AF ．(1)若15，3BE 的长；(2)在（1）的条件下，如果∠D=45°，求△ABD 的面积．(3)若∠BAC=∠DAF ，求证：2AF=AD ；19．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．21．如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，90,2BAD AB AD ∠== ，求DAC ∠的度数．专题01 中点相关的辅助线问题（解析版）1．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是中线，AE 是角平分线，点F 是AE 上任意一点（不与A ，E 重合），连接BF 、CF ．给出以下结论：①AB EB AC EC =；②1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠；③11()()22AB AC AD AB AC -<<+；④AB CF AC BF +>+．其中一定正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】①根据面积法可得ABE ACE S AB S AC ∆∆=，ABE ACE S BE S CE∆∆=，从而可得①正确；②由AD 是中线，无法得出1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠，故可判断②错误；③运用SAS 证明ADC MDB ∆≅∆得AC MB =，在AMB ∆中运用三角形三边关系可得结论，从而判断③；④在AB 上截取AN AC =，连接FN ，运用SAS 证明AFN AFC ∆≅∆得NF CF =，在BNF ∆中运用三角形三边关系可得结论，从而判断④．【解析】①过E 作EG AB ⊥于G ，EH AC ⊥于H ，过A 作AK BC ⊥于K，AE ∵是BAC ∠角平分线，EG AB ⊥，EH AC ⊥，EG EH ∴=，1212ABE ACE AB EG S AB S AC AC EH ∆∆⋅∴==⋅，AK BC ⊥ ，12ABE S BE AK ∆∴=⋅，12ACE S CE AK ∆=⋅1212ABE ACE BE AK S BE S CE CE AK ∆∆⋅∴==⋅，AB EB AC EC ∴=，故①正确；②180BAC ACB ABC ∠+∠+∠=︒ 180()BAC ACB ABC ∴∠=︒-∠+∠，AE ∵平分BAC ∠，1190()22BAE CAE BAC ACB ABC ∴∠=∠=∠=︒-∠+∠，AD 是中线，∴无法得出1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠，故②错误；③延长AD 到M 使DM AD =，连接BM，AD 是中线，BD CD ∴=，在ADC ∆和MDB ∆中，AD MD ADC MDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC MDB SAS ∴∆≅∆，AC MB∴=在AMB ∆中，AB BM AM AB BM-<<+2AM AD DM AD =+= ，AC BM =，2AB AC AD AB AC∴-<<+11()()22AB AC AD AB AC ∴-<<+，故③正确；④在AB 上截取AN AC =，连接FN，AE ∵是角平分线，NAF CAF ∴∠=∠，在AFN ∆和AFC ∆中，AN AC NAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFN AFC SAS ∴∆≅∆，NF CF ∴=，在BNF ∆中，BF NF BN -<，BN AB AN AB AC =-=- ，BF CF AB AC ∴-<-，即AB CF AC BF +>+，故④正确；综上①③④正确．故选B ．【小结】此题主要考查了三角形的中线，角平分线以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线．2．如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（）A．3<AD<13B．1.5<AD<6.5C．2.5<AD<7.5D．10<AD<16【分析】延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论．【解析】延长AD到E，使AD=DE，连结BE．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．在△ADC和△EDB中，CD BDADC BDEAD DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE．∵AB-BE＜AE＜AB+BE，∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．∵AB=8，AC=5，∴1.5＜AD＜6.5．故选：B【小结】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．3．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（）A．1＜AB＜11B．4＜AB＜13C．4＜AB＜16D．11＜AB＜16【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．【解析】如图，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE，∵AD＝5，∴AE＝5＋5＝10，∵10＋6＝16，10−6＝4，∴4＜CE＜16，即4＜AB＜16．故选：C．【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．4．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B Ð的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE ≌△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD ⊥AB 于D ，∠ADE ＝50°，即可求出∠B 度数．【解析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N，∵四边形ABCF 是平行四边形，∴AB ∥CF ，AB ＝CF ，∴∠NAE ＝∠F ，∵点E 是的AF 中点，∴AE ＝FE ，在△NAE 和△CFE 中，NAE F AE FE AEN FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△NAE ≌△CFE （ASA ），∴NE ＝CE ，NA ＝CF ，∵AB ＝CF ，∴NA ＝AB ，即BN ＝2AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝BN ，∠N ＝∠NCB ，∵CD ⊥AB 于D ，即∠NDC ＝90°且NE ＝CE ，∴DE ＝12NC ＝NE ，∴∠N ＝∠NDE ＝50°＝∠NCB ，∴∠B ＝80°．故选：D ．【小结】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．5．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x 的取值范围是_____．【分析】由“SAS ”可证△BDE ≌△CDA ，可得BE ＝AC ＝6，AE ＝2x ，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．【解析】如图所示，AB ＝4，AC ＝6，延长AD 至E ，使AD ＝DE ，连接BE 、EC ，设AD ＝x，在△BDE 与△CDA 中，AD DE ADC BDE BD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDA （SAS ），∴BE ＝AC ＝6，AE ＝2x ，在△ABE 中，BE ﹣AB ＜AE ＜AB +BE ，即6﹣4＜2x ＜6+4，∴1＜x ＜5，【小结】考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意构造全等三角形及三角形的三边关系．6．如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别为边CD ，AD 的中点，CF 与EA 、EB 分别交于点M 、N ．已知8AB =，12BC =，则MN 的长为______________．【分析】延长BE ，AD 交于Q ，已知8AB =，12BC =，则10CF ==，因为E 为CD 中点，即可得()QDE BCE AAS ∆∆≌，通过QNF BNC ∆∆∽，根据对应边成比例可得FN 、CN 的长；同理延长CF ，BA 交于点W ，即可求出CM 的长，即可得MN ．【解析】延长BE ，AD 交于Q ，∵四边形ABCD 为矩形，12BC =，∴90BAD ∠=︒，12AD BC ==，//AD BC ，∵F 为AD 中点，∴6DF AF ==，在Rt CDF ∆中，8CD AB ==，由勾股定理得：2210CF CD DF =+=，∵//AD BC ，Q EBC ∠=∠，E 为CD 中点，8CD =，∴4DE CE ==，在QDE ∆与BCE ∆中，DQE CBE DEQ CEB DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()QDE BCE AAS ∆∆≌，∴12DQ BC ==，即18QF DQ DF =+=，∵//AD BC ，∴QNF BNC ∆∆∽，∴32FN QF CN BC ==，∵CF 10=，∴365FN CF ==，245CN CF ==，延长CF ，BA 交于点W，∵F 为DA 中点，∴DF AF =，在AFW ∆与DFC ∆中，AWF DCF AFW DFC AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFW DFC AAS ∆∆≌，∴8AW CD ==，∴16BW BA AW =+=，10CF NF ==，∴20CW =，∵//AB CD ，∴CME WMA ∆∆∽，∴12CM CE WM AW ==，∴12033CM CW ==，∴MN FN CM CF =+-206103=+-83=，即MN 的长度为83．【小结】本题考查全等三角形、相似三角形的判定与性质相结合，注意构造辅助线构造8字型全等及相似是解题的关键，属于中等偏难题型．7．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．【分析】利用中线的性质，作辅助线AD=DE ，构造全等三角形()ADB EDC SAS ≅ ，再有全等三角形对应边相等的性质，解得7CE AB ==，最后由三角形三边关系解题即可．【解析】如图，AD 为BC 边上的中线,延长AD 至点E ，使得AD=DE在△ADB 和△EDC 中，BD DC ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB EDC SAS ∴≅ ，7CE AB ∴==CE AC AE AC CE-<<+ 75275AD ∴-<<+16AD ∴<<故答案为：16AD <<．【小结】本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．8．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 边的中点，且EAF DAE AF ∠=∠，交射线BC 于点F ，若133AF CF ==，，则BF 的长度为________【分析】延长AE 交BC 的延长线于点G ，分两种情况：点F 在线段BC 上和点F 在线段BC 的延长线上，分情况讨论即可．【解析】延长AE 交BC 的延长线于点G ，分两种情况：①如图∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//,AD BC AD BC =．,G DAE EAF D GCE ∠=∠=∠∠=∠ ，13GF AF ∴==，13310GC GF CF ∴=-=-=．点E 为CD 边的中点，DE CE ∴=，在ADE 和GCE 中，DAE G D GCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE GCE AAS ∴≅△△，10AD GC ∴==，10BC ∴=，7BF BC CF ∴=-=；②如图，同理可得13GF AF ==，ADE GCE ≅△△，16,16GC GF CF AD GC ∴=+===，16BC ∴=，19BF BC CF ∴=+=；综上所述，BF 的长度为7或19，故答案为：7或19．【小结】本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握这些性质并分情况讨论是解题的关键．9．已知：在ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB边上一点．（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE=CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），求证：BCE CAM ≌．【分析】（1）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△AEC 和△CGB 一组对应边、一组对应角相等，AC BC =，CAE BCG ∠=∠；然后利用同角的余角相等，证得ACE CBG ∠=∠；两角及其夹边对应相等()ASA 则两三角形全等．（2）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△BCE 和△CAM 一组对应边、一组对应角相等，AC BC =，ACM CBE ∠=∠；然后利用同角的余角相等，证得BEC CMA ∠=∠；两角及其中一角的对边对应相等()AAS 则两三角形全等．【解析】（1）证明：∵点D 是AB 中点，AC=BC ，∠ACB=90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG ，又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG ，在△AEC 和△CGB 中，CAE BCG AC BC ACE CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEC ≌△CGB （ASA ），∴AE=CG ，（2）证明：∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC ，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE 和△CAM 中，BEC CMA ACM CBE BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CAM （AAS ）．【小结】考查全等三角形判定定理，从题中找到对应边、角的信息，灵活运用三角形判定定理是解题关键．10．已知，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD 为边AB 上的中线，若E 是线段CA 上任意一点，DF ⊥DE ，交直线BC 于F 点．G 为EF 的中点，连接CG 并延长交直线AB 于点H ．（1）试说明：①AE=CF ；②CG=GD ；（2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．【分析】（1）①由题意易得AD=DC=DB ，∠A=∠B=45°，CD ⊥AB ，进而可证△ADE ≌△CDF ，然后根据全等三角形的性质可得；②由直角三角形斜边中线定理可得11,22CG EF DG EF ==，进而问题得证；（2）由（1）可得AE=CF=6，由题意易得12DG CH =，则有EF=CH=10，然后根据勾股定理可求解．【解析】（1）①AE=CF ，理由如下：∵AC=BC ，∠ACB=90°，CD 为边AB 上的中线，∴AD=DC=DB ，∠A=∠B=45°，CD ⊥AB ，∴∠A=∠BCD=45°，∵DF ⊥DE ，∴∠EDC+∠CDF=90°，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF ，∴△ADE ≌△CDF （ASA ），∴AE=CF ，②CG=GD ，理由如下：∵∠ACB=90°，∠EDF=90°，EG=GF ，∴11,22CG EF DG EF ==，∴CG=GD ；（2）由（1）得：AE=CF=6，CG=GD ，12DG EF =，∴∠GCD=∠GDC ，∵∠GCD+∠CHD=90°，∠GDC+∠GDH=90°，∴∠CHD=∠GDH ，∴GH=GD ，∴12DG CH =，∵CH=10，∴CH=EF=10，在Rt △CEF 中，222+=CF CE EF ，即222610CE +=，解得：CE=8，∴AC=AE+CE=14．【小结】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．11．请阅读下列材料：问题：在四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，且∠AMD=90°（1）如图1，若AB 与CD 不平行，试判断AB+CD 与AD 之间的数量关系；小雪同学的思路是：延长DM 至E 使DM=ME ，连接AE ，BE ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD 与AD 之间的数量关系：（2）如图2，若在原条件的基础上，增加AM 平分∠BAD ，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD 与AD 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据条件作出图形，利用DM=EM 、BM=MC 便可得到是四边形BECE 是平行四边形，再结合EM=DM,且∠AMD=90°，得到等腰三角形，最后根据三角形三边关系求解．（2）增加AM 平分∠BAD ，便可以得到点A.B.E 必然共线，故（1）的结论不成立，通过（1）的分析，边可以证明其数量关系．【解析】（1） AB 与CD 不平行根据题意,延长DM 使DM=EM ，连接BE ，AE ，EC ，BD由于M 是BC 的中点，故BM=MC∴四边形BECE 是平行四边形∴CD=BE 又 EM=DM ，且∠AMD=90°∴AED 是等腰三角形∴AD=AB 在ABE △中，AB BE AE+>AB CD AD∴+>(2)若在原条件的基础上，增加AM 平分∠BAD则（1）的结论不成立关系为：AB CD AD+=证明：由于M 是BC 的中点，故BM=MC∴四边形BECE 是平行四边形∴CD=BE 又 EM=DM,且∠AMD=90°∴AED 是等腰三角形∴AD=AE 又 AM 平分∠BAD∴点A.B.E 必然共线∴AB CD AD +=【小结】本题比较综合，涉及到画图能力，平行四边形判定，等腰三角形性质应用，三角形三边关系等，解题的关键在于熟悉各个知识点的灵活运用．12．如图，在△ABC 中，AD 是BC边上的中线．（1）如果，12AD BC =，求证：△ABC 是直角三角形．（2）如果，5AB =，13AC =，6AD =，求BC 的长．【分析】（1）由于12AD BC =，所以AD BD DC ==，故有B BAD ∠=∠，C CAD ∠=∠，由三角形内角和定理即可求解；（2）延长AD 到E 使AD DE =，可得ABD ECD ≌，由勾股定理可得90E ∠=︒，再由勾股定理可求得CD 的长，同时即可求解．【解析】（1）∵12AD BC =，12BD CD BC ==，∴AD BD DC ==，∴B BAD ∠=∠，C CAD ∠=∠，∵180B BAD CAD C ︒∠+∠+∠+∠=，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，即90BAC ∠=︒．（2）延长AD 到E 使AD DE =，连接CE，在△ABD 和△ECD 中，AD DE ADB EDC BD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ECD SAS ≌△△，∴5AB CE ==，6AD DE ==，12AE =，在△AEC 中，13AC =，12AE =，5CE =，∴222AC AE CE =+，∴90E ∠=︒，由勾股定理得：CD ==，∴2BC CD ==．【小结】主要考查三角形全等，利用倍长中线作出辅助线，由勾股定理证明90E ∠=︒是本题的解题关键．13．如图，已知//AP BC ，点E 是DC 的中点，且AD BC AB +=，求证：AE BE ⊥．【分析】延长AE 、BC 交于点M ，利用AAS 证出△ADE ≌△MCE ，从而得出AD=MC ，AE=ME ，结合已知条件即可证出BM=AB ，再利用SSS 即可证出△BAE ≌△BME ，从而得出∠BEA=∠BEM ，根据垂直定义即可证出结论．【解析】延长AE 、BC 交于点M，如下图所示∵点E 是DC 的中点，∴DE=CE ，∵//AP BC ∴∠1=∠M在△ADE 和△MCE 中，156M DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△MCE ，∴AD=MC ，AE=ME∵AD BC AB+=∴MC ＋BC=AB ，∴BM=AB在△BAE 和△BME 中，AE ME BE BE BA BM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△BME ，∴∠BEA=∠BEM∵∠BEA ＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴AE BE⊥【小结】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．14．如图，已知AD 是ABC 的中线，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．若BE=6，求点C 到AD的距离．【分析】延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，证明()BDE CDF AAS ≅ ，据全等性质得6BE CF ==【解析】如图，延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE 和CDF 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BDE CDF AAS ≅ ，∴6BE CF ==，即点C 到AD 的距离是6．【小结】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．15．△ABC 中D 是BC 边上一点，连接AD ．（1）如图1，AD 是中线，则AB+AC 2AD （填>，<或=）；（2）如图2，AD 是角平分线，求证AB-AC >BD-CD．【分析】（1）延长AD 至E ，使DE=AD ，连接CE ，利用“SAS ”证明△CDE ≌△ADB ，再利用三角形的三边关系证明即可；（2）在AB 上截取AG=AC ，连接DG ，利用“SAS ”证明△ADC ≅△ADG ，再根据三角形三边关系即可证明AB-AC >BD-CD ．【解析】（1）如图，延长AD 至E ，使DE=AD ，连接CE，在△CDE 与△ADB 中，AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDE ≌△ADB （SAS ），∴AB=CE ，∴AB+AC=AC+CE ＞AE=2AD ，即AB+AC ＞2AD ；（2）在AB 上截取AG=AC ，连接DG，∵AD 是角平分线，∴∠1=∠2，在△ADC 和△ADG 中，12AC AG AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≅△ADG(SAS)，∴DC=DG ，∴AB-AC =AB-AG=BG >BD-DG =BD-CD ．【小结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．16．在 ABC 中，∠C ＝90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点，E 为直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF．（1）如图1，当点E 是线段AC 的中点时，AE ＝2，BF ＝1，求EF 的长；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE ∥BC ，DE ＝12BC ，进而证明四边形CEDF 是矩形得DE ＝CF ，得出CF ，再根据勾股定理得结果；（2）过点B 作BM ∥AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，证明△ADE ≌△BDM 得AE ＝BM ，DE ＝DM ，由垂直平分线的判定定理得EF ＝MF ，进而根据勾股定理得结论．【解析】（1）∵D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ，∵∠ACB ＝90°，∴∠DEC ＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝12BC，∴CF＝BF＝1，∵CE＝AE＝2，∴EF==；（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，AED BMDADE BDMAD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．【小结】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．17．如图1，已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，EF BE =，90BEF ∠=︒，F 是线段BC 上一点，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．（1）探究EG 与CG 的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰Rt BEF ∆绕点B 顺时针旋转()090αα︒<<︒，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若2AD =，求2GE BF +的最小值．【分析】（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出B 、E 、D 三点共线，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明=EG CG ，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出90EGC ∠=︒，从而证明EG CG ⊥；（2）延长CG 至H ，使GH CG =，连接HF 交BC 于M ，连接EH 、EC ，首先通过SAS 证明HFG CDG △≌△，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明//HF CD ，进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明BEC FEH △≌△，从而可证明结论仍然成立；（3）连接AH ，首先根据题意确定当A 、H 、G ，C 在同一直线上时，2GE BF +有最小值，此时BE 在BC 上，然后根据平行四边形的判定及性质得出2GE BF +有最小值就是AC 的长，最后利用勾股定理求解即可．【解析】（1）=EG CG 且EG CG ⊥．理由如下：如图1，连接BD ．∵正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，∴45EBF DBC ∠=∠=︒，∴B 、E 、D 三点共线．∵90DEF ∠=︒，G 为DF 的中点，90DCB ∠=︒，∴12EG DF CG DG ===．∴2EGF EDG ∠=∠，2CGF CDG ∠=∠．∴290EGF CGF EDC ∠+∠=∠=︒，即90EGC ∠=︒，∴EG CG ⊥．（2）仍然成立．理由如下：如图2，延长CG 至H ，使GH CG =，连接HF 交BC 于M ，连接EH 、EC ．∵GF GD =，HGF CGD ∠=∠，HG CG =，∴()HFG CDG SAS △≌△，∴HF CD =，GHF GCD ∠=∠，∴//HF CD ．∵ABCD 是正方形，∴HF BC =，⊥HF BC ．∵BEF 是等腰直角三角形，∴BE EF =，EBC HFE ∠=∠，∴()BEC FEH SAS △≌△，∴HE EC =，BEC FEH ∠=∠，∴90BEF HEC ︒∠=∠=，∴ECH ∆为等腰直角三角形．又∵CG GH =，∴=EG CG 且EG CG ⊥．（3）如下图，连接AH ，当A 、H 、G ，C 在同一直线上时，2GE BF +有最小值，此时BE 在BC 上，∵//FH AB ，//AC BF ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴AH BF =，由（2）知CG GH =，∴2GE BF CH AH AC +=+=，即2GE BF +有最小值，就是AC 的长，由勾股定理得22222AC =+=．【小结】本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．18．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为线段BC 的延长线上一点，且DB=DA ，BE ⊥AD 于点E ，取BE 的中点F ，连接AF ．(1)若15，AE=3，求BE 的长；(2)在（1）的条件下，如果∠D=45°，求△ABD 的面积．(3)若∠BAC=∠DAF ，求证：2AF=AD ；【分析】（1）在Rt △AEB 中，利用勾股定理即可解决问题；（2）由∠D ＝45°可证得BE ＝DE ，再利用三角的面积公式计算即可；（3）如图，延长AF 至M 点，使AF ＝MF ，连接BM ，首先证明△AEF ≌△MFB ，再证明△ABM ≌△ACD 即可．【解析】（1）解：∵AB ＝AC ，AC 15，∴AB＝，∵BE⊥AD，AE，∴在Rt△AEB中，BE===；（2）解：∵BE⊥AD，∠D＝45°，∴∠EBD＝∠D＝45°，∴BE＝DE＝，∴AD＝AE+DE+=，∴11922ABDS AD BE=⋅=⨯=；（3）证明：如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，∵点F为BE的中点，∴EF＝BF，在△AEF和△MBF中，AF FMAFE BFMEF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△MBF（SAS），∴∠FAE＝∠FMB，∴AE∥MB，∴∠EAB+∠ABM＝180°，∴∠ABM＝180°﹣∠BAD，又∵AB＝AC，DB＝DA，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB，∴∠ABM＝∠ACD．又∵∠BAC＝∠DAF，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠DAF﹣∠MAC，∴∠1＝∠2．在△ABM和△ACD中，12AB ACABM ACD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABM≌△ACD（ASA），∴AM＝AD，又∵AM＝AF+MF＝2AF，∴2AF＝AD．【小结】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型．19．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．【解析】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，=AD DGADC GDCD BDB⎧=∠⎪∠⎪⎨⎩＝，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，又∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠EFA ，∵∠BFG ＝∠EFA ，∠G ＝∠CAD ，∴∠G ＝∠BFG ，∴BG ＝BF ，∴AC ＝BF ．【小结】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．20．已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD ⊥于D .求证：222AE BF EF +=.【分析】通过倍长线段DE ，将AE 、BF 、EF 转化到BGF ∆中，再证BGF ∆为直角三角形.【解析】延长ED 至G ，使DG DE =，连结BG 、FG ，AD BD = ，ADE BDG ∠=∠，ADE BDG ∴∆≅∆，AE BG ∴=，A DBG ∠=∠，AC BG ∴ ，180C FBG ∴∠+∠=︒，90FBG ∴∠=︒，222BG BF GF ∴+=，又ED FD ⊥ ，ED GD =，EF GF ∴=，222AE BF EF ∴+=.【小结】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.21．如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，90,2BAD AB AD ∠==，求DAC ∠的度数．【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，则ADB EDC ∆∆≌，根据全等三角形的性质得EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，由AB=2AD 可得EC=AE ，可得△AEC 是等腰直角三角形，即可得∠DAC 的度数．【解析】延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，∵BD=CD ，∠ADB=∠EDC∴ADB EDC ∆∆≌，∴EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，∵AB=2AD ，DE AD=∴AB=AE=EC∴△AEC 是等腰直角三角形，∴∠DAC=45°.故答案为45°.【小结】本题考查全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形。

2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——添加辅助线

1
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G， = ，MN= 3，求⊙O的半径；

4
（3）在（2）的条件下，当∠BAC=36°时，求线段CE的长
【详解】
(3) 作∠ABC的平分线BF交AC于F,连接AD
∵∠BNC=36°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=72°
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠CBP=36°
∴∠BFC=72°即∠BAF=∠ABF、
∠BFC=∠ACB
∴BC=BF=AF
∵∠CBF=∠BAC,∠C=∠C
∴△CBF∽△CAB
∴BC²=CF·AC
设BC=x则AF=x
∴CF=2-x
∴x²=2（2-x）解得：x=± 5 − 1
∴BC= 5 − 1
∴AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵AB=AC
1
∴CD=BD= BC
【分析】①由旋转性质证明△ABD∽△ACE即可判断；
②由①的结论可得，∠ABD=∠ACE，进而得到∠BOC=∠CAB=45°，即可判断∠COD；
③证明△ABD为等腰三角形即可判断；
④由题意直线BD、CE相交于点O，当AD⊥AC时，△AOC的面积最大，通过勾股定理计
算求出最大值，进而进行判断
试炼场：
从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是CO的切线；
3
1
（2）连接OM，先求出MG= ，得出OG= OM，最后用勾股定理求解，即可得
2
2
出结论；
（3）作∠ABC的平分线交AC于F，判断出△BCF∽△ACB，得出比例式求成
BC= 5 − 1，连接AD，再求出CD=
例式求解，即可得出结论
5−1
，再判断出△DEC∽△ADC，得出比

【通用版】中考数学一轮复习：初中几何常见辅助线50种作法

中考数学一轮复习：初中几何常见辅助线50种作法任何几何题目都需分析题目条件和结论找到解题思路，本讲从常见的条件和结论出发说明50种辅助线作法，分三角形部分、四边形部分、解直角三角形部分、圆。

每种辅助线作法均配备了例题和练习。

三角形部分1．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.证法（一）：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE①在△BDM中，MB＋MD＞BD②在△CEN中，CN＋NE＞CE③①＋②＋③得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有，①AB＋AF＞BD＋DG＋GF②GF＋FC＞GE＋CE③DG＋GE＞DE∴①＋②＋③有AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P为△ABC内任一点，求证：12(AB＋BC＋AC)＜P A＋PB＋PC＜AB＋BC＋ACFGNMEDBA2.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC ＞∠DEC 同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC3.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE同理可证：CF = NF 在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF4. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.FABCD E DCBA4321NFEDCBA例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDF DF = DF∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）5. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD在△ACD 和△EBD 中 BD = CDMABCDEF1234512ED CBA∠1 = ∠2 AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD6.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC ∠1 = ∠2 AP = AP∴△APN ≌△APC ∴PC = PN∵△BPN 中有PB －PC ＜BN ∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = APP12N DCBAABC D21P∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O 求证：AC = AE ＋CD2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD7.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知AC = BD ，AD ⊥AC 于A ，BCBD 于B求证：AD = BC证明：分别延长DA 、CB 交于点E∵AD ⊥AC BC ⊥BD ∴∠CAE = ∠DBE = 90o 在△DBE 和△CAE 中 ∠DBE =∠CAE BD = AC ∠E =∠E∴△DBE ≌△CAE ∴ED = EC ，EB = EA ∴ED －EA = EC － EB ∴AD = BC8.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，AB ∥CD ，AD ∥BCOEDCBA4321EDCB A。

中考总复习—全等三角形中辅助线的添加(最经典最全面)-有答案.doc

全等三角形及其辅助线作法常见辅助线的作法有以下几种：1）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”（或构造平行线的X型全等）.2）遇到角平分线，一是可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，二是在角的两边上截取相同的线段，构成全等。

利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，也是运用了角的对称性。

3）截R法与补短法，具体做法是在较R线段上截取一条线段与特定线段相等，使剩下的线段与另一条线段相等；或者是将两条较短线段中的一条延长，使这两条线段的和等于较长的线段。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等题目.4）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.也可以将两腰分拆到两个三角形中，证明这两个三角形全等。

特殊的应用有等边三角形与等腰直角三角形。

5）此外，还有旋转、折叠等情况。

（一）、中点线段倍长问题（中线倍长或者倍长中线）：1、（“希望杯”试题）已知，如图AABC中，AB=5, AC=3,则中线AD的取值范围是2、如图ZiABC中，点D是BC边中点，过点D作直线交AB、CA延长线于点E、F。

当AE=AF时，求证BE=CF。

3、如图，AABC中，E、F分别在AB、AC上，DE1DF, D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.4、如图，AABC中,BD=DC=AC, E是DC的中点,求证：AD平分ZBAE.DEC5 如图，AB=AC, AD=AE, M 为 BE 中点，ZBAC=ZDAE=90° 。

求证：AMJLDC。

应用: 1、以△ABC以的两边/1方、化为腰分别向外作等腰RtAABD和等腰RtAACE,且匕1^。

二匕。

入£-90°,连接〃匹，扒A分别是网、姻勺中点.探究：九编砒勺位置关系及数量关系.（1）如图① 当AABC为直角三角形时，4妈处的位置关系是,线段4屿勿的数量关系是；（2）将图①中的等腰RtAABD绕点A沿逆时针方向旋转0 ° （0<0<90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.（二）角平分线与轴对称1、如图，巳知AD为Z\ABC的角平分线，ZC=2ZB,求证:AB=AC+CD.2、如图，直线1]〃L,直线m与直线h、12交于A、B两点。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章微专题遇到角平分线如何添加辅助线知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章微专题遇到角平分线如何添加辅助线知识精练1.(2023随州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD 是∠ABC的角平分线，则AD＝________．第1题图2.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点D作DE∥BC交AC于点E，作DF⊥BC于点F，若DF＝4，DE＝5，则△CDE的面积为________．第2题图3.如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，BD是∠ABC的平分线，交边AC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥AB于点F，若EF＝2，则线段BF的长为________．第3题图4.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，且3BD＝2CD，若AC＝3，则AB 的长为________．第4题图5.如图，在▱ABCD中，BG，AG分别平分∠ABC与∠BAD，GH⊥AB，GH＝5，BC＝15，则▱ABCD的面积是________．第5题图6.如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE＝AD，连接CE.求证：BC＝AB＋CE.第6题图7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD 的延长线于点E.(1)若AD＝1，求DC的长；(2)求证：BD＝2CE.第7题图参考答案与解析1.5【解析】如解图，过点D 作AB 的垂线，垂足为P ，在Rt △ABC 中，∵AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10.∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠CBD ＝∠PBD ，∵∠C ＝∠BPD ＝90°，BD ＝BD ，∴△BDC ≌△BDP (AAS)，∴BC ＝BP ＝6，CD ＝PD ，设CD ＝PD ＝x ，在Rt △ADP 中，∵PA ＝AB －BP ＝4，AD ＝8－x ，∴x 2＋42＝(8－x )2，∴x ＝3，∴AD ＝5.第1题解图2.10【解析】如解图，过点D 作DG ⊥AC 于点G ，∵CD 平分∠ACB ，DF ⊥BC ，DG ⊥AC ，∴∠BCD ＝∠ACD ，DG ＝DF ＝4.∵DE ∥BC ，∴∠CDE ＝∠BCD ，∴∠CDE ＝∠ACD ，∴CE＝DE ＝5，∴S △CDE ＝12CE ·DG ＝12×5×4＝10.第2题解图3.4＋23【解析】如解图，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，则∠GEB ＝∠EBC ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∠ABC ＝30°，∴∠EBC ＝∠FBE ＝15°，∴∠FBE ＝∠GEB ＝15°，∴BG ＝GE .∴∠FGE ＝30°.∵EF ⊥AB ，∴GE ＝2FE ＝4，GF ＝GE ·cos 30°＝23，∴BF ＝BG ＋GF ＝4＋23.第3题解图4.2【解析】如解图，过点B 作BE ∥AD 交CA 的延长线于点E ，则∠E ＝∠CAD ，∠ABE ＝∠BAD ，∴△CBE ∽△CDA ，∴EC AC ＝BC DC .∵3BD ＝2CD ，∴BC ＝53CD ，∴EC AC ＝53.∵AD平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴∠ABE ＝∠E ，∴AB ＝AE .∵EC ＝AC ＋AE ，∴AC ＋AB AC＝53，即3＋AB 3＝53，解得AB ＝2.第4题解图5.150【解析】如解图，作GE ⊥AD 交AD 于点E ，EG 的延长线交BC 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC .∵GE ⊥AD ，∴EF ⊥BC .∵BG ，AG 分别平分∠ABC 与∠BAD ，∴GE ＝GH ＝5，GF ＝GH ＝5，∴EF ＝5＋5＝10，▱ABCD 的面积为BC ×EF ＝15×10＝150.第5题解图6.证明：如解图，在BC 上截取BF ＝AB ，连接DF .∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠1＝∠2＝12∠ABC ＝20°.在△ABD 与△FBD 中，＝FB ，1＝∠2，＝BD ，∴△ABD ≌△FBD (SAS)，∴DF ＝DA ＝DE ，∠BAD ＝∠BFD .又∵∠A ＝100°，∠ABC ＝40°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝40°，∠DFC ＝180°－∠BFD ＝180°－∠A ＝80°，∴∠FDC ＝180°－∠DFC －∠DCF ＝60°.∵∠EDC ＝∠ADB ＝180°－∠1－∠A ＝180°－20°－100°＝60°，∴∠FDC ＝∠EDC .在△DCE 与△DCF 中，＝DF，EDC＝∠FDC，＝CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋CF＝AB＋CE，即BC＝AB＋CE.第6题解图7.(1)解：如解图①，过点D作DH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BCA＝45°，∴DH＝CH.∵BD是∠ABC的平分线，∴DH＝AD＝1，∴在Rt△CHD中，DC＝CH2＋HD2＝2；图①图②第7题解图(2)证明：如解图②，延长CE，BA相交于点F，∵∠EBF＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°，∴∠EBF＝∠ACF.在△ABD和△ACF中，ABD＝∠ACF，＝AC，BAD＝∠CAF，∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴BD＝CF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBC＝∠EBF.在△BCE和△BFE中，EBC＝∠EBF，＝BE，CEB＝∠FEB，∴△BCE≌△BFE(ASA)，∴CE＝EF，∴CF＝2CE，∵BD＝CF，∴BD＝2CE.。

2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)：圆中的重要模型之辅助线模型(八大类)(解析版)

质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.
模型 2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）【模型解读】已知 AB 是⊙O 的一条弦，过点 OE⊥AB，则 AE＝BE，OE2+AE2=OA2。
在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过
弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半
AD 的度数为 35°，则 BE 的度数是_____．
【答案】105°．【分析】连接 OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【解析】解：连接 OD、OE，
∵ AD 的度数为 35°，∴∠AOD=35°，∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°，
A．30°
B．25°
C．20°
D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接 OB，OD，AC，先求解 OAC OCA 100 ，再求解 PAO PCO 50 ，从而可
得 BOA COD 260 ，再利用周角的含义可得 BOD 360 80 260 20 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 OB，OD，AC，
∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而 OC＝OD，∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E=
13∠AOC=
1 3
×84°＝28ห้องสมุดไป่ตู้．故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．例 3．（2023·江苏沭阳初三月考）如图，已知点 C 是⊙O 的直径 AB 上的一点，过点 C 作弦 DE，使 CD=CO．若

2024年中考数学总复习考点培优训练第四章专项2遇到角平分线如何添加辅助线

∴PH＝PK.在△PHD和△PKE中，PHPHDPKPKE ,
DPH EPK
∴△PHD≌△PKE(ASA)，∴PD＝PE；
第4题解图①
专项2 遇到角平分线如何添加辅助线
(3)如图③，在(2)的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，
请判断线段OD与OE的数量关系，并说明理由．
(3)解：OE＝2OD.
第4题图②
专项2 遇到角平分线如何添加辅助线
(2)解：小新的观点正确．
理由：如解图①，过点P作PH⊥OA于点H，PK⊥OB于点K.
∵∠PHO＝∠PKO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠HPK＝120°，
∵∠DPE＝∠HPK＝120°，∴∠DPH＝∠EPK.
∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PK⊥OB，
第4题解图②
∵∠AOB＝60°，∠DPE＝120°，
∴∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，∴∠OTP＝∠ODP＝120°，
∴∠PTE＝60°，∴∠TPE＝∠PET＝60°，∴TP＝TE.
∵∠PTE＝∠TOP＋∠TPO，∠POT＝30°，
∴∠TOP＝∠TPO＝30°，
∴OT＝TP，∴OT＝TE.
∵OT＝OD，∴OE＝2OD.
第1题图
第2题图
第3题图
专项2 遇到角平分线如何添加辅助线
4. 已知：∠AOB＝60°.小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°(即∠DPE＝120°)的角尺来作∠AOB的平分线． (1)如图①，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使 PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的平分线．试根据小新的做法证明射线OP是∠AOB的平分线；
理由：如解图②，在OB上取一点T，使得OT＝OD，

2023年安徽中考数学总复习专题：辅助圆问题(PDF版,有答案)

2023年安徽中考物理总复习专题：辅助圆问题类型一定点定长（1）利用几个点到定点距离相等构造圆典例1如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是．【思路点拨】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案为：140°．【关键点】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．针对训练1．如图，四边形ABCD内有一点E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，则∠BAD的大小是（）A．25°B．50°C．60°D．80°（2）翻折产生隐圆典例2如图，等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一点，且PB＝6，直线l经过点P，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点为点B'，在直线l变化的过程中，则△ACB'面积的最大值为．【思路点拨】由已知确定B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，过点P作PH⊥AC交于H，当B'、P、H三点共线时，S△AB'C的面积最大，再求面积即可．解：由对称性可知，PB＝PB'，∴B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，过点P作PH⊥AC交于H，当B'、P、H三点共线时，S△ACB'的面积最大，∵∠BAC＝60°，PB＝6，AB＝8，∴AP＝2，在Rt△APH中，PH＝AP•sin60°＝2×32=3，∴B'H＝6+3，∴S△AB'C=12×8×（6+3）＝24+43，故答案为：24+43．【关键点】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，等边三角形的性质，能判断点B'的运动轨迹是解题的关键．针对训练2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（）A．5B．4C．22D．25类型二定角对定弦构造圆（1）定直角对定边典例3已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是直线BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为　．【思路点拨】先证明△ABE≌△BCF，即可得到∠APB＝90°，所以点P在以AB为直径的圆上，由图形可知：当O、P、D在同一直线上时，DP有最小值，然后根据勾股定理即可解决问题．解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF，BE=CF∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，由图形可知：当O、P、D在同一直线上时，DP有最小值，如图所示：∵正方形ABCD，BC＝2，∴AO＝1＝OP，Rt△OAD中，OD=22+12=5，∴PD＝OD﹣OP=5―1．【关键点】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是得到△ABE≌△BCF．针对训练3．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．4．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝10，AC＝8，D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值等于　．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为　226―2　．（2）任意角对定边典例4如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（）A．1.5B．3C．433D．2【思路点拨】由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，求出∠APC＝120°，当O、P、B共线时，PB长度最小，由等边三角形的性质得出AD＝CD=12 AC=32，∠PAC＝∠ACP＝30°，求出PD和BD的长，可得PB的长，即可得出答案．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是AC，设AC所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD=12AC=32，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD=12∠ABC＝30°，∴PD=32，BD=332，∴PB＝BD﹣PD=332―32=3．故选：B．【关键点】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；作辅助线构建圆是解决问题的关键．针对训练6．在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是．7．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B（﹣1，0），点C是y轴上一动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为．类型三对角互补构造圆典例5如图，AB是⊙O的直径，M、N是AB（异于A、B）上两点，C是MN上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是．【思路点拨】连接EB，设OA＝r，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．解：如图，连接EB，设OA＝r∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．∴E是△ACB的内心，∴∠AEB＝135°，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，∴弧MN的长度：弧GF的长度=2α×π×r180α×π×2r180=2．故答案为：2．【关键点】本题考查了轨迹，圆周角定理，弧长公式，解决本题的关键是掌握与圆有关的性质．针对训练8．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，P和C不重合，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（）A．变大B．先变大后变小C．先变小后变大D．不变综合训练1．如图，等边△ABC的边长为3，F为边BC上的动点，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，则DE的长（）A．随点F运动而变化，最小值为94B．随点F运动而变化，最大值为94C．随点F运动而变化，最小值为323D．随点F运动，其值不变2．在直角坐标系xOy中，点O（0，0），动点A（t，t）在第一象限，动点B（0，m）在y 轴上．当AB＝4时，△OAB面积的最大值为（）A．8B．42+4C．43+4D．823．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE 于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（）A．5B．213―2C．6D．25+24．在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为．5．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为．6．如图，∠MON＝90°，直角三角形ABC斜边的端点A，B分别在射线OM，ON上滑动，BC＝1，∠BAC＝30°，连接OC．当AB平分OC时，OC的长为　．7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF 的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 cm．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是　．9．（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC 是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD 于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．参考答案针对训练1．B【解析】连接BD，并延长AE交BD于点O，∵AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，∴四边形BCDE是菱形，∵∠C＝100°，∴∠BED＝100°，∵EA＝EB＝ED，∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA，∵∠BEO＝∠EAB+∠EBA，∠DEO＝∠EAD+∠EDA，∴∠BED＝2∠BAD，∴∠BAD＝50°．2．B【解析】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．∵DE＝3，DD′＝4，∴ED′=DE2+DD′2=5，∵DP＝PD′，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝EA＝1是定值，∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，∴PF+PD 的最小值为4．3．2【解析】∵AB⊥BC，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP ＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小，在Rt△BCO中，AB＝6，BC＝4，∴OB=12AB＝3，∴OC=OB2+BC2=5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．4．213―4【解析】如图，取AC 的中点O '，连接BO ′、BC ．∵CE ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°，∴在点D 移动的过程中，点E 在以AC 为直径的圆上运动，∴CO '=12AC ＝4，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵AC ＝8，AB ＝10，∴BC =AB 2―AC 2=102―82=6，在Rt △BCO ′中，BO ′=BC 2+CO′2=62+42=213，∵O ′E +BE ≥O ′B ，∴当O ′、E 、B 共线时，BE 的值最小，最小值为O ′B ﹣O ′E ＝213―4．5．226―2【解析】连接CE ，取BC 的中点F ，作直径为BC 的⊙F ，连接EF ，AF ，∵BC ＝4，∴CF ＝2，∵∠ACB ＝90°，AC ＝10，∴AF =AC 2+CF 2=104=226，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CED ＝∠CEB ＝90°，∴E 点在⊙F 上，∵在D 的运动过程中，AE ≥AF ﹣EF ，且A 、E 、F 三点共线时等号成立，∴当A 、E 、F 三点共线时，AE 取最小值为AF ﹣EF ＝226―2．6．4＜BC ≤833【解析】作△ABC 的外接圆，如图所示，∵∠BAC ＞∠ABC ，AB ＝4，当∠BAC ＝90°时，BC 是直径最长，∵∠C ＝60°，∴∠ABC ＝30°，∴BC ＝2AC ，AB =3AC ＝4，∴AC =433，∴BC =833；当∠BAC ＝∠ABC 时，△ABC 是等边三角形，BC ＝AC ＝AB ＝4，∵∠BAC ＞∠ABC ，∴BC 长的取值范围是4＜BC ≤833．7．（0，2+7）或（0，﹣2―7）【解析】如图，先作等腰直角△PAB ，再以P 点为圆心，PA 为半径作⊙O 交y 轴于C 点，作PD ⊥y 轴于D ，可得P （1，2），PA ＝22，∴PC ＝22，∴CD =(22)2―12=7，∴OC ＝2+7，∴C （0，2+7），同理可得C ′（0，﹣2―7），综上所述，满足条件的C 点坐标为：（0，2+7）或（0，﹣2―7）．8．D 【解析】连接AC 交BD 于O ，连接EO 、AG ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，∵EG 是AP 的垂直平分线，∴AG ＝PG ，∠AEG ＝∠AOB ＝90°，∴A 、E 、G 、O 四点共圆，∴∠PAG ＝∠EOB ，∠APG ＝∠PAG ，∴∠EOG ＝∠APG ，∵四边形ABCD是菱形，∴OA ＝OC ，∵AE ＝PE ，∴OE ∥BC ，∴∠EOB ＝∠DBC =12∠ABC ，∵菱形ABCD 固定，∴∠ABC 的度数固定，即∠APG 的度数不变．综合训练1．A 【解析】作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴AG =32AB =332，∵S △ABF +S △ACF ＝S △ABC ，∴12AB •DF +12AC •EF =12BC •AG ，∵AB ＝AC ＝BC ＝3，∴DF +EF ＝AG =332，∵△DEF 中，DE ＜DF +EF ，∴DE 的长随F 点运动而变化，当F 运动到BC 中点时DE 最小值为94（四边形ADFE 四点共圆，当直径AF 最小时，DE 的值最小，根据垂线段最短，可得结论）．2．B【解析】根据条件可知，∠AOB＝45°，AB＝4，以AB为弦，所对圆周角等于45°作一辅助圆，如图所示，当点O位于优弧中点时，点O到直线AB的距离最大，即“高”最大，而底AB为定值4，所以此时△OAB的面积最大，计辅助圆圆心为G，∠AGB＝90°，AG＝BG＝22，所以点O位于优弧中点时，点O到直线AB的距离为22+2，所以△OAB面积的最大值12×4×（22+2）＝42+4．3．B【解析】如图，取点C关于直线DA的对称点C′．以AB中点O为圆心，OA为半径画半圆．连接OC′交DA于点P，交半圆O于点F，连AF．连BF并延长交DA于点E．由以上作图可知，AF⊥EB于F．PC+PF＝PC'′+EF＝C'F，由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小．∵C'B'＝4，OB′＝6，∴C'O=42+62=213，∴C'F＝213―2，∴PC+PF的最小值为213―24．92+9【解析】作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM=12AB=12×6=3，∴OA=OM2+AM2=32，∴CM＝OC+OM＝32+3，∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（32+3）＝92+9．5．2+433【解析】如图所示，延长AC至P，使CB＝CP，则∠P＝∠PBC，∵∠ACB＝∠P+∠PBC＝90°，∴∠P＝60°，作△ABP的外接圆，当AP为△ABP的外接圆的直径时，AP最长，AP＝AC+CP＝AC+CB，则∠ABP＝90°，∴△ABP是直角三角形，∴PB=3 3AB=233，∴AP＝2PB=433，∴△ABC周长的最大值＝AB+AC+BC＝AB+AP＝2+433．6．2或3【解析】①当OA＝OC时，∵∠ACB＝∠AOB＝90°，AB＝AB，∴△ACB≌△AOB（HL），∴BC＝BO，∴AB垂直平分线段OC，∵∠ACB＝∠AOB＝90°，∴A，O，B，C四点共圆，∴∠CAB＝∠COB＝30°，∴∠AOC＝60°，∵AC＝OA=3，∴△AOC 是等边三角形，∴OC＝AC=3．②当四边形AOBC是矩形时，此时AB平分OC，∴OC ＝AB＝2，综上所述，满足条件的OC的值为3或2．7．（10―2）【解析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，∴MA=10，MG=12OB=2，AG≥AM﹣MG=10―2，当A，M，G三点共线时，AG最小＝（10―2）cm．8．33【解析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC=12AB＝2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE=12AC＝1，∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∵FT⊥AB，∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE ＝∠FCE，∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE ＝∠EAT＝30°，∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，∴CF＝OC•tan30°=33，∴CF的最大值为33．9．【解析】（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC=12∠BAC＝45°，当点D在BC的下方时，∠BDC＝135°，故答案是：45或135；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAD=∠CDAAE=DF，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO=12AB＝1，在Rt△AOD中，OD=AO2+AD2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH最小值＝OD﹣OH=5―1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆AB上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）。

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不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BNቤተ መጻሕፍቲ ባይዱPM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 ME⊥BP 于点 E．试问当点 M、 N 在移动过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF 的长度．
学海无涯
精选 7、如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB、BA（或它们的延长线）于点 E、F， ∠EDF=60°，当 CE=AF 时，如图 1 小芳同学得出的结论是 DE=DF．（1）继续旋转三角形纸片，当 CE≠AF 时，如图 2 小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点 E、F 分别在 CB、BA 的延长线上时，如图 3 请直接写出 DE 与 DF 的数量关系；（3）连 EF，若△DEF 的面积为 y，CE=x，求 y 与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？
学海无涯
中考压轴题专题几何（辅助线）
图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线加一倍。梯等式子比例换，寻找相似很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，弦高公式是关键。计算半径与弦长，弦心距来站中间。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦园。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。若是添上连心线，切点肯定在上面。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
精选 1.如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90°，DE 垂直平分 AC，垂足为 O，AD∥BC，且 AB=3，BC=4，则 AD 的长为
．
精选 2．如图，△ABC 中，∠C＝60°，∠CAB 与∠CBA 的平分线 AE，BF 相交于点 D，求证：DE＝DF． C
F E
D
A
B
精选 3.已知：如图，⊙O 的直径 AB=8cm，P 是 AB 延长线上的一点，过点 P 作⊙O 的切线，切点为 C，连接 AC． (1) 若∠ACP=120°，求阴影部分的面积； (2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交 AC 于点 M，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数。
学海无涯
精选 8、等腰 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点 A、点 B 分别是 x 轴、y 轴两个动点，直角边 AC 交 x 轴于点 D，斜边 B（C1交）如y 轴图于（点1），E；若 A（0，1），B（2，0），求 C 点的坐标；（2）如图（2），当等腰 Rt△ABC 运动到使点 D 恰为 AC 中点时，连接 DE，求证：∠ADB=∠CDE （3）如图（3），在等腰 Rt△ABC 不断运动的过程中，若满足 BD 始终是∠ABC 的平分线，试探究：线段 OA、OD、 BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．
（3）若
3 2
h1
+
h2
= 1，当 h1
变化时，说明正方形
ABCD 的面积
S 随 h1 的变化情况．
l1
B
l2 l3
A
h1
h2
D h3
l4
C
第题图
参考答案
学海无涯
精选 1
解：∵Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=
=
=5，
∵DE 垂直平分 AC，垂足为 O， ∴OA= AC= ，∠AOD=∠B=90°，
∵AD∥BC， ∴∠A=∠C， ∴△AOD∽△CBA， ∴ = ，即 = ，解得 AD= ．
故答案为：．
精选 2
证明：在 AB 上截取 AG，使 AG=AF，
C
易证△ADF≌△ADG（SAS）．
∴DF＝DG．∵∠C＝60°， AD，BD 是角平分线，易证∠ADB=120°．
F E
∴∠ADF＝∠ADG＝∠BDG＝∠BDE＝60°．
精选 9．如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1 、l2 、l3 、l4 上，这四条直线中相邻两条之间的距
离依次为 h1 、 h2 、 h3 (h1 0，h2 0，h3 0) ．
（1）求证： h1 = h3 ；
（2）设正方形 ABCD 的面积为 S ，求证： S = (h1 + h2 )2 + h12 ；
精选 4、如图 1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点 O 是斜边 AB 上一动点，以 OA 为半径作⊙O 与 AC
边交于点 P，（1）当 OA= 时，求点 O 到 BC 的距离；
学海无涯
（2）如图 1，当 OA= 时，求证：直线 BC 与⊙O 相切；此时线段 AP 的长是多少？
（3）若 BC 边与⊙O 有公共点，直接写出 OA 的取值范围；（4）若 CO 平分∠ACB，则线段 AP 的长是多少？
．
A 精选 5．如图，已知△ABC 为等边三角形，∠BDC＝120°，AD 平分∠BDC，
求证：BD+DC＝AD．
E
B
C
D
精选 6、已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处．
D
易证△BDE≌△BDG（ASA）． ∴DE＝DG＝DF．
A
G
B
精选 3、
解：（1）连接 OC．
∵PC 为⊙O 的切线，
（第 6 题图）
（1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长；
（2）若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点，求∠OAB 的度数；
（3）如图 2，
，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP．动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P、A