统计学数学模型

合集下载

初中数学统计中的模型教案

初中数学统计中的模型教案一、教学目标1. 知识与技能目标：通过实例认识统计模型，学会建立简单的统计模型，并能运用模型解决实际问题。

2. 过程与方法目标：通过小组合作、讨论，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。

3. 情感态度与价值观目标：让学生感受统计模型在生活中的应用，提高学生对数学的兴趣和认识。

二、教学重难点1. 重点：认识统计模型，学会建立简单的统计模型。

2. 难点：如何运用统计模型解决实际问题。

三、教学过程1. 导入：教师通过生活中的实例，如天气预报、商品销售数据等，引导学生认识统计模型。

2. 新课讲解：教师讲解统计模型的定义、特点和应用。

引导学生通过小组合作，讨论如何建立简单的统计模型。

3. 案例分析：教师给出具体案例，如某班级学生的身高分布情况，让学生尝试运用所学的统计模型进行分析和解决。

4. 练习与拓展：学生独立完成练习题，巩固所学知识。

教师引导学生思考如何将统计模型应用于生活中的其他场景。

5. 总结与反思：教师引导学生总结本节课所学内容，反思统计模型在解决问题中的作用。

四、教学方法1. 采用案例教学法，让学生在具体的情境中认识和理解统计模型。

2. 运用小组合作、讨论的方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。

3. 结合练习题和实际生活中的例子，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

五、教学评价1. 学生能正确理解统计模型的概念和特点。

2. 学生能运用统计模型解决实际问题。

3. 学生能表达对统计模型在生活中的应用的认识。

六、教学资源1. 案例材料：生活中的统计数据和实例。

2. 教学工具：多媒体课件、统计图表、练习题。

七、教学时间1课时八、课后作业1. 运用所学的统计模型，分析生活中的统计数据，撰写分析报告。

2. 思考如何将统计模型应用于家庭成员的身高、体重等数据的分析。

通过本节课的学习，学生能认识统计模型，学会建立简单的统计模型，并能运用模型解决实际问题。

同时，培养学生对数学的兴趣和认识，提高学生的团队协作能力和问题解决能力。

概率与统计的数学模型

概率与统计的数学模型概率与统计是数学中两个重要的分支，它们在现代科学和实际生活中都起着至关重要的作用。

概率是研究随机现象发生的规律性，而统计是用数据推断总体特征的方法。

它们的数学模型在研究和应用中具有广泛的应用和意义。

一、概率的数学模型概率的数学模型主要有概率空间和概率分布两个方面。

1. 概率空间概率空间是指由样本空间和样本空间中的事件组成的数学模型。

样本空间是指所有可能结果的集合，事件是指样本空间的某些子集。

概率空间由三个元素组成：样本空间Ω，事件的集合F和概率函数P。

概率函数P定义了事件在样本空间中的概率，它满足三个条件：非负性、规范性和可列可加性。

2. 概率分布概率分布是指随机变量在各取值上的概率分布情况。

随机变量是样本空间到实数集的映射，它描述了随机现象的数值特征。

概率分布可以分为离散型和连续型两种。

离散型概率分布可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来描述。

例如，二项分布是描述n重伯努利试验的概率分布，其PMF可以用来计算在n次试验中成功的次数。

连续型概率分布可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来描述。

例如，正态分布是一种常见的连续型概率分布，它在自然界和社会科学中有广泛应用。

二、统计的数学模型统计的数学模型主要有样本和总体两个方面。

1. 样本样本是指从总体中获取的部分观察结果。

样本可以是随机抽样或非随机抽样得到的，它用来代表总体并推断总体的特征。

样本是统计推断的基础。

2. 总体总体是指研究对象的整体集合。

总体可以是有限总体或无限总体，它包含了研究对象的所有可能结果。

总体的特征可以用参数来描述，例如总体的均值、方差等。

统计的数学模型主要是通过样本推断总体的特征。

统计推断包括点估计和区间估计两个方面。

点估计是利用样本数据来估计总体参数的值，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计等。

区间估计是利用样本数据给出总体参数的区间范围，常用的区间估计方法有置信区间和预测区间等。

统计学中的统计模型

统计学中的统计模型统计学是一门研究数据的收集、整理、分析和解释的学科，而统计模型则是统计学中的重要工具之一。

统计模型是根据一定规律对数据进行预测、分析和解释的数学表达。

本文将介绍统计学中的统计模型以及其在实际应用中的重要性。

一、什么是统计模型统计模型是一种表示数据间关系的数学模型。

它通过对数据进行假设和参数估计来推断出数据的结构、规律和趋势。

统计模型基于概率论和数理统计的理论基础，可以帮助我们理解和预测数据的变化趋势，发现变量之间的相互关系。

二、统计模型的种类在统计学中，有许多种不同类型的统计模型，常见的包括线性回归模型、逻辑回归模型、时间序列模型等。

这些模型在不同场景下有不同的应用，例如线性回归模型可用于探究变量之间的线性关系，逻辑回归模型可用于预测二元变量的概率，时间序列模型可用于研究时间相关数据。

三、线性回归模型线性回归模型是最常见的统计模型之一，它用于研究变量间的线性关系。

线性回归模型的数学表达为：Y = α + βX + ε，其中Y是被解释变量，X是解释变量，α和β是模型的参数，ε是随机误差项。

通过最小二乘估计方法，我们可以估计出模型的参数值，并通过模型进行预测和假设检验。

四、逻辑回归模型逻辑回归模型是用于预测二元变量的概率的统计模型。

它基于逻辑函数来建立变量与概率之间的关系。

逻辑回归模型的数学表达为：P(Y=1) = e^(β0 + β1X) / (1 + e^(β0 + β1X))，其中Y是二元变量，X是解释变量，β0和β1是模型的参数。

通过最大似然估计方法，我们可以估计出模型的参数值，并通过模型预测新的数据。

五、时间序列模型时间序列模型是用于分析时间相关数据的统计模型。

时间序列模型可帮助我们了解数据在时间上的变化规律，预测未来的趋势。

常见的时间序列模型包括自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）、自回归移动平均模型（ARMA）和自回归积分滑动平均模型（ARIMA）等。

这些模型可以通过数据的自相关和偏自相关图来选择合适的阶数，进而进行参数估计和预测。

统计模型与模型选择

统计模型与模型选择在统计学中，统计模型是一种用来描述数据生成过程的数学模型。

它可以帮助我们理解数据之间的关系，进行预测和推断，并支持决策和问题求解。

而模型选择则是在众多可能的统计模型中，选择最适合数据的模型的过程。

本文将介绍统计模型的基本概念和常见类型，并讨论模型选择的方法和准则。

一、统计模型的概念统计模型是由一个或多个参数描述的数学方程，用于描述数据的生成过程和统计结构。

它们可以通过概率分布函数来表达。

常见的统计模型包括线性回归模型、逻辑回归模型、时间序列模型等。

这些模型在不同的应用领域具有广泛的应用。

1.1 线性回归模型线性回归模型是一种常见的统计模型，用于描述自变量和因变量之间线性关系的回归模型。

它的数学表达形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1, X2, ..., Xn为自变量，β0, β1, β2, ..., βn为系数，ε为随机误差项。

1.2 逻辑回归模型逻辑回归模型是一种用于描述二分类问题的统计模型。

它的数学表达形式为：P(Y=1|X) = exp(β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn) / (1 + exp(β0 + β1X1+ β2X2 + ... + βnXn))其中，P(Y=1|X)为因变量为1的概率，X1, X2, ..., Xn为自变量，β0, β1, β2, ..., βn为系数。

二、模型选择的方法和准则在众多可能的统计模型中选择最合适的模型是模型选择的核心问题。

下面介绍几种常见的模型选择方法和准则。

2.1 最小二乘法最小二乘法是一种广泛应用于线性回归模型的模型选择方法。

它的原理是通过最小化观测值与预测值之间的误差平方和，寻找最优的系数估计。

2.2 最大似然估计最大似然估计是一种常用的统计模型参数估计方法，可以用于线性回归模型和逻辑回归模型等。

它的原理是选择使观测数据出现的概率最大的参数估计值。

统计学中的数据模型分析

统计学中的数据模型分析引言统计学中的数据模型分析是指通过建立数学模型，对数据进行统计分析和预测。

数据模型分析是数据分析的重要组成部分，旨在通过数据模型的建立和分析，得出对实际问题的解释和预测。

本文将介绍数据模型分析的概念、数据模型的建立方法、数据模型的评价以及数据模型在实际问题中的应用。

数据模型分析的概念数据模型分析是指通过建立数理模型，对数据进行统计分析和预测。

数据模型是用来描述数据之间关系的数学函数或方程。

数据模型的建立通常包括确定模型类型、收集和处理数据、估计模型参数、验证模型等步骤。

数据模型分析在工程、经济、生物、医学、环境等领域中都有广泛的应用。

数据模型的建立方法1.确定模型类型数据模型的建立首先要确定模型类型。

常用的数据模型类型包括线性回归模型、非线性回归模型、时间序列模型、分类模型、聚类模型等。

确定模型的类型是根据实际问题和数据的特点来进行选择的。

2.收集和处理数据建立数据模型的第二步是收集和处理数据。

数据预处理包括数据清洗、数据采样、特征提取、数据变换等。

数据预处理的目的是清理噪声、去除异常值、减少数据量并提高数据的质量。

3.估计模型参数估计模型参数是指通过数据的样本计算出模型的参数。

估计模型参数的常用方法包括最小二乘估计、极大似然估计、贝叶斯估计等。

选择估计方法要根据实际问题的特点来选择。

4.验证模型验证模型是指通过一定的验证方法验证模型的准确性和可靠性。

常用的验证方法包括交叉验证、留一法等。

验证模型的目的是保证模型的可靠性和准确性。

数据模型的评价1.模型拟合度模型拟合度是指模型对数据的拟合程度。

常用的拟合度指标有拟合平方和、调整拟合平方和、标准误差、残差散点图等。

模型拟合度越高，说明模型的拟合效果越好。

2.模型在预测中的应用除了模型拟合度外，模型在实际问题中的预测能力也是模型评价的重要指标。

常用的预测指标有平均绝对误差、均方误差、平均相对误差、对称平均绝对误差等。

通过评估模型的预测能力，可以对模型的准确性和可靠性进行评价。

高中数学中几种常见的概率模型

高中数学中几种常见的概率模型高中数学中几种常见的概率模型：古典概型、几何概型、贝努利概型、超几何分布概型1、古典概型：也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。

如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。

在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的；古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。

2、几何概型：是概率模型之一，别名几何概率模型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。

在这个模型下，随机实验所有可能的结果都是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。

一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征，无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。

3、贝努利模型：为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利而命名。

对随机试验中某事件是否发生，实验的可能结果只有两个，这个只有两个可能结果的实验被称为贝努利实验；重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变。

“独立是指是指各次试验的结果是相互独立的。

基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型。

4、超几何分布：是统计学上一种离散概率分布。

它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。

称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。

超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。

常用的数学模型

常用的数学模型
数学模型是指用数学语言和符号表示数学问题的数学工具。

它是数学实践中的一种方法，可用于各种领域的研究和分析。

在实际应用中，各种数学模型的形式和方法都不尽相同，但大多都包含以下几个方面：
1. 数值模型：数值模型是一种用数字表示现象或过程的数学模型。

例如，经济学家
使用数学方法来分析经济数据，物理学家使用数学方法来分析物体的运动。

3. 统计模型：统计模型是一种用概率论和统计学原理来描述现象或过程的数学模型。

例如，医学研究中，我们可以使用统计模型来评估药物的疗效和副作用。

4. 优化模型：优化模型是一种用来最小化或最大化目标函数的数学模型。

例如，工
程师可以使用优化模型来设计最佳的产品和流程。

除了以上模型外，还有许多其他类型的数学模型，如：
6. 差分方程模型：差分方程模型是一种用微积分原理来描述现象或过程的数学模型。

例如，气候模型就是一种常见的差分方程模型，用来预测未来的气候变化。

8. 时间序列模型：时间序列模型是一种用时间序列数据来描述现象或过程的数学模型。

例如，经济学家使用时间序列模型来分析经济数据的趋势和周期性。

9. 控制系统模型：控制系统模型是一种用控制理论来描述机械、电子和建筑等系统
的数学模型。

例如，自动化工程师使用控制系统模型来设计和控制机器人、电脑、飞机等
系统。

数学建模统计模型教学教案

数学建模统计模型教学教案一、教学内容本节课的教学内容选自人教版高中数学选修23第二章第四节“回归分析”和第三章第三节“独立性检验”。

具体内容包括：1. 回归直线方程的求法及应用；2. 相关系数的概念及其应用；3. 独立性检验的方法及其应用。

二、教学目标1. 理解回归直线方程、相关系数的概念，学会求回归直线方程和计算相关系数；2. 掌握独立性检验的方法，并能运用独立性检验解决实际问题；3. 培养学生的数据分析能力、数学建模能力和解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：回归直线方程的求法、相关系数的计算、独立性检验的方法及应用；2. 教学重点：回归直线方程的求法、相关系数的计算、独立性检验的方法。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：教材、笔记本、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：以“调查某班级学生的身高和体重关系”为例，引导学生思考如何利用数学模型描述身高和体重之间的关系；2. 讲解回归直线方程的求法：通过示例，讲解最小二乘法求回归直线方程的步骤，让学生掌握求回归直线方程的方法；3. 讲解相关系数的概念及计算方法：解释相关系数的概念，演示如何利用计算器计算相关系数，让学生理解相关系数的作用；4. 应用练习：让学生运用回归直线方程和相关系数解决实际问题，如预测某学生的体重；5. 讲解独立性检验的方法：通过示例，讲解独立性检验的步骤，让学生掌握独立性检验的方法；6. 应用练习：让学生运用独立性检验解决实际问题，如判断“性别与购买意愿是否独立”；六、板书设计1. 回归直线方程的求法；2. 相关系数的概念及其计算方法；3. 独立性检验的方法。

七、作业设计1. 求下列数据的回归直线方程：身高（x）：165, 170, 172, 175, 180体重（y）：60, 62, 64, 66, 682. 计算下列数据的相关系数：身高（x）：165, 170, 172, 175, 180体重（y）：60, 62, 64, 66, 683. 某班级有男生20人，女生15人，男生中有12人购买了某商品，女生中有8人购买了该商品。

数学知识总结解决实际问题的常用数学模型

数学知识总结解决实际问题的常用数学模型数学作为一门科学，不仅仅是学科的基础，还是解决实际问题的重要工具。

在工程、物理、经济、生物等领域中，数学模型被广泛运用于解决各种实际问题。

本文将总结一些常用的数学模型，并说明它们在应用中的具体作用。

1. 线性回归模型线性回归模型是一种常见的统计学模型，它用于描述两个变量之间的线性关系。

在实际问题中，我们常常需要通过已知的数据来预测或估计未知的变量。

线性回归模型通过建立一个线性方程，根据已知的数据点进行拟合，并用于预测未知数据点的取值。

这种模型广泛应用于经济预测、市场分析等领域。

2. 概率统计模型概率统计模型是研究随机现象规律性的数学工具。

在实际问题中，我们常常需要确定某个事件发生的可能性。

概率统计模型通过统计分析已有的数据，从而得到事件发生的概率。

根据已有的统计数据，我们可以计算出事件发生的可能性，并做出相应的决策。

例如，在风险评估中，我们可以通过概率统计模型来评估某个投资产品的风险。

3. 最优化模型最优化模型是研究如何找到使某个目标函数取得最优值的数学模型。

在实际问题中，我们常常需要在一定的约束条件下，找到一组满足特定条件的最优解。

最优化模型可以通过建立数学模型，并应用最优化算法来求解。

在工程设计、物流规划等领域中，最优化模型被广泛应用。

4. 图论模型图论模型是研究图的性质和关系的数学工具。

在实际问题中，我们常常需要分析和描述事物之间的关系。

图论模型可以通过构建图来描述和分析事物之间的关系，并帮助我们解决实际问题。

在社交网络分析、交通规划等领域中，图论模型发挥着重要的作用。

5. 随机过程模型随机过程模型是研究随机现象随时间变化规律的数学工具。

在实际问题中，我们常常需要研究某个随机变量随时间的变化趋势，或者某个随机事件在一段时间内的累积概率。

随机过程模型可以通过建立数学模型，对随机现象进行建模和分析。

在金融风险管理、天气预测等领域中，随机过程模型被广泛应用。

评价模型预测模型优化模型数理统计模型

评价模型预测模型优化模型数理统计模型1.引言1.1 概述概述本文旨在评价模型预测模型优化模型数理统计模型，并探讨这些模型在实际应用中的价值和局限性。

模型在科学研究和实践中扮演着重要的角色，它们被广泛运用于各个领域，包括金融、医学、工程等。

通过对模型的评价、预测、优化和数理统计的研究，我们可以更好地理解和预测系统的行为，提高系统的性能和效率。

在本文中，我们将分别介绍评价模型、预测模型、优化模型和数理统计模型的概念、方法和应用。

评价模型主要关注模型的准确性、鲁棒性和可解释性，通过评估模型的性能，可以判断模型在实际应用中的可行性和可靠性。

预测模型则旨在预测未来的趋势和结果，它可以通过历史数据和统计方法来建立，并对未来的情况进行预测和分析。

优化模型则致力于寻找最优解或最优策略，通过优化模型，我们可以在给定的约束条件下达到最佳的效果。

数理统计模型是一种基于数学和统计学原理的理论模型，它能够以概率和统计的方式分析和描述数据的规律和特征。

在本文的结论部分，我们将对评价模型预测模型优化模型数理统计模型进行总结和回顾。

通过对这些模型的研究，我们可以看到它们在实际应用中的重要性和优势。

同时，我们也需要认识到这些模型存在的局限性和挑战，例如数据的质量问题、模型假设的合理性等。

在未来的研究中，我们需要继续优化和改进这些模型，以更好地应对实际问题和需求。

总之，本文将对评价模型预测模型优化模型数理统计模型进行深入研究和探讨，并总结它们在实际应用中的价值和局限性。

通过对这些模型的理解和应用，我们可以推动科学研究和实践的发展，并提高系统的性能和效率。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分。

具体结构如下：引言部分首先对文章的主题进行了概述，介绍了评价模型、预测模型、优化模型和数理统计模型这四个主要内容，并指出了本文的目的。

正文部分主要分为四个部分，分别是评价模型、预测模型、优化模型和数理统计模型。

数学统计模型

数学统计模型数学统计模型：揭示数据背后的奥秘在当今的数据驱动时代，数学统计模型已经成为我们理解和解释数据的关键工具。

这些模型帮助我们提取有价值的信息，预测未来的趋势，以及解决各种实际问题。

本文将探讨数学统计模型的基础概念、应用领域以及未来的发展趋势。

一、数学统计模型的基本概念数学统计模型是基于数学和统计学原理构建的，用于描述、分析和预测数据的框架。

这些模型通常采用数学方程、概率分布或其他统计方法，来捕捉数据的基本特征和内在关系。

通过建立数学统计模型，我们能将复杂的现实问题简化为可量化的数学问题，进而找出隐藏在数据背后的规律和趋势。

二、数学统计模型的应用领域1. 金融：在金融领域，数学统计模型被广泛应用于风险评估、投资组合优化和股票价格预测。

例如，回归分析和时间序列分析在预测股票价格变动中发挥了关键作用。

2. 医疗：医学研究中，数学统计模型帮助我们分析基因序列、疾病发病率和治疗效果。

通过建立疾病预测模型，我们能为患者提供更有效的治疗方案。

3. 社会科学：在社会学、经济学和政治学等社会科学领域，数学统计模型用于分析社会现象、预测经济趋势和评估政策效果。

例如，通过调查数据建立的模型能预测选举结果或社会变革。

4. 自然灾害预测：在气象学和地质学中，数学统计模型用于预测自然灾害，如地震、飓风和洪水等。

这些模型能帮助我们提前预警，减少灾害造成的损失。

5. 人工智能与机器学习：在人工智能领域，数学统计模型是机器学习算法的基础。

通过训练数据，机器学习模型能自动识别模式并进行预测。

例如，支持向量机、随机森林和神经网络等算法都是基于数学统计模型的。

三、数学统计模型的未来发展随着大数据和计算能力的不断增长，数学统计模型将面临新的挑战和机遇。

一方面，我们需要发展更复杂、更精确的模型来处理大规模、高维度的数据；另一方面，随着数据来源的多样化，如何确保模型的泛化能力成为亟待解决的问题。

此外，随着人工智能技术的不断发展，数学统计模型将与机器学习算法进一步融合，形成更加智能化的数据分析工具。

统计学中的数学模型与分析

统计学中的数学模型与分析统计学是一门研究数据收集、处理和分析的学科，其应用广泛，包括经济、金融、医学和社会科学等领域。

数学模型在统计学中有着重要的作用，能够帮助我们理解数据背后的规律和趋势，并作出更加准确的预测和决策。

基本统计概念在进一步探讨数学模型的应用前，我们先来了解一些基本的统计学概念。

常见的统计量包括平均数、中位数和标准差等。

平均数是一组数据的和除以数据的数量，可据此估算数据的中心位置。

中位数则是将数据按大小顺序排列后，处在中间位置的数值。

而标准差则是表示数据分散程度的统计量，反映数据围绕平均数的离散程度。

这些统计量能够帮助我们对数据进行初步分析和了解，但是在实际应用中，我们通常需要更加精准和系统的数据模型。

线性回归模型线性回归模型是一种最基本的数学模型，在统计学中有着广泛的应用。

该模型假设，随着自变量X的变化，因变量Y也按照一定的比例发生变化。

形式化地说，线性回归模型可以写成Y = α + βX + ε的形式，其中α为截距，β为斜率，ε为误差。

这个模型可以根据数据对α和β进行求解，以预测因变量Y随着自变量X的变化趋势。

线性回归模型还有许多变体和扩展，例如多元线性回归模型和非线性回归模型等。

这些模型都可以根据不同的数据和问题进行定制和调整。

时间序列模型时间序列模型是另一种重要的统计模型，在分析时间相关数据时有着广泛的应用。

该模型假设，随着时间的变化，数据呈现出一定的规律性和趋势性。

时间序列模型最基本的形式是ARIMA模型，即差分自回归移动平均模型。

该模型主要由三个部分组成，分别是AR（自回归）、I（差分）和MA（移动平均）。

在该模型中，自回归部分考虑了变量的历史取值对当前值的影响，移动平均部分考虑了误差项对当前值的影响，差分部分可以将非平稳时间序列转换成平稳序列，方便建模和预测。

时间序列模型还有许多扩展和变体，例如ARCH模型、GARCH模型和VAR模型等。

这些模型可以更加准确地对时间序列中的趋势、周期性和不确定性进行建模和预测。

数学建模之统计学基本概念与方法

非线性回归分析
总结词
非线性回归分析是研究非线性关系的统计方法。
计算公式
非线性回归分析采用各种非线性函数形式，如多项式、指数、对数等，来描述因变量与自变量之间的非线性关系。
详细描述
非线性回归分析通过建立非线性模型，分析因变量与自变量之间的非线性关系，并预测因变量的取值。它主要应用于探索非线性关系和复杂数据模式。
根据样本数据对原假设进行拒绝或接受。
ABCD
假设检验的步骤
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、做出决策。
假设检验的局限性
依赖于样本数据和假设的合理性。
常见假设检验方法及应用
t检验
用于比较两组平均值是否有显著差异，常用于样本均数与总体均数的比较。
方差分析
用于比较多个总体均数是否有显著差异，常用于实验设计中的多因素比较。
区间估计
根据样本数据推断未知参数或总体参数可能落在某一区间内的概率。
置信区间
在一定置信水平下，估计参数可能取值范围的区间。
误差范围
区间估计的精度，通常用标准误差或置信区间宽度来表示。
假设检验的基本原理
假设检验的基本思想
根据样本数据对未知参数或总体分布提出假设，然后通过统计方法检验该假设是否成立。
为什么学习数学建模？
数学建模是现代科学研究和工程应用中不可或缺的工具，它有助于解决实际问题。
学习数学建模有助于提高分析问题和解决问题的能力，培养创新思维和团队协作能力。
为什么学习数学建模？
数学建模是现代科学研究和工程应用中不可或缺的工具，它有助于解决实际问题。
学习数学建模有助于提高分析问题和解决问题的能力，培养创新思维和团队协作能力。
正态分布

岭回归数学模型

岭回归数学模型以岭回归数学模型，是指在统计学中用于解决多元线性回归问题的一种方法。

该模型最早由英国统计学家弗朗西斯·高尔顿于1910年提出，被广泛应用于经济学、生物学、工程学等多个领域。

以岭回归模型的核心思想是通过引入一个岭惩罚项，来解决多重共线性问题。

在普通的多元线性回归中，当自变量之间存在高度相关性时，估计的回归系数容易出现较大的方差，导致模型不稳定。

而以岭回归模型则通过调整岭惩罚项的大小，来平衡回归系数的偏差和方差，从而提高模型的稳定性。

以岭回归模型的数学形式可以表示为：min ||Y - Xβ||^2 + λ||β||^2其中，Y是因变量，X是自变量矩阵，β是回归系数向量，λ是岭惩罚项的系数。

通过最小化该模型的目标函数，可以得到最优的回归系数估计。

以岭回归模型的求解可以通过多种方法实现，其中最常用的是普通最小二乘法和广义最小二乘法。

在实际应用中，以岭回归模型可以用于特征选择、参数估计和模型预测等任务。

例如，在经济学中，可以利用以岭回归模型来研究不同自变量对于经济增长的影响程度，并进行政策制定和预测。

在生物学中，可以利用以岭回归模型来探究基因表达与疾病发生之间的关系，从而为疾病的预测和治疗提供依据。

除了以岭回归模型，还有其他一些常用的回归模型，如lasso回归模型、弹性网络回归模型等。

这些模型在解决多元线性回归问题时，各有特点和适用范围。

以岭回归数学模型是一种解决多元线性回归问题的有效方法。

通过引入岭惩罚项，以岭回归模型可以有效解决多重共线性问题，提高模型的稳定性和准确性。

在实际应用中，以岭回归模型被广泛应用于各个领域，并取得了显著的成果。

统计学的预测模型

统计学的预测模型统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，它在各个领域都有广泛的应用。

其中，预测模型是统计学中的一个重要概念，它可以帮助我们预测未来的趋势和结果。

本文将介绍统计学的预测模型及其应用。

一、什么是预测模型预测模型是一种基于历史数据和统计方法构建的数学模型，用于预测未来的结果。

它通过分析过去的数据，找出其中的规律和趋势，并将这些规律应用到未来的情况中，从而得出预测结果。

预测模型可以用于各种领域，如经济学、金融学、市场营销等。

二、常见的预测模型1. 线性回归模型线性回归模型是一种常见的预测模型，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。

通过拟合一条直线或者一个平面，线性回归模型可以预测因变量的值。

线性回归模型的优点是简单易懂，但它对数据的要求较高，需要满足一些假设条件。

2. 时间序列模型时间序列模型是一种用于预测时间序列数据的模型，它假设未来的值与过去的值有关。

时间序列模型可以分为平稳时间序列模型和非平稳时间序列模型。

平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差不随时间变化，常见的平稳时间序列模型有ARMA模型和ARIMA模型。

非平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差随时间变化，常见的非平稳时间序列模型有趋势模型和季节模型。

3. 人工神经网络模型人工神经网络模型是一种模拟人脑神经元工作原理的模型，它可以通过学习历史数据来预测未来的结果。

人工神经网络模型具有较强的非线性拟合能力，可以处理复杂的数据关系。

但是，人工神经网络模型的训练过程较为复杂，需要大量的计算资源。

三、预测模型的应用预测模型在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 经济学预测模型可以用于经济学中的宏观经济预测和微观经济预测。

宏观经济预测可以帮助政府和企业做出合理的决策，微观经济预测可以帮助企业预测市场需求和销售额。

2. 金融学预测模型可以用于金融学中的股票价格预测和汇率预测。

股票价格预测可以帮助投资者做出买入或卖出的决策，汇率预测可以帮助企业进行外汇风险管理。

数学建模中统计学常用方法

1。

1多元回归1、方法概述:在研究变量之间的相互影响关系模型时候，用到这类方法，具体地说：其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值,从而可以进行预测等相关研究。

2、分类分为两类：多元线性回归和非线性线性回归；其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如：y=lnx 可以转化为y=u u=lnx来解决；所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。

3、注意事项在做回归的时候，一定要注意两件事：（1）回归方程的显著性检验(可以通过sas和spss来解决）（2）回归系数的显著性检验（可以通过sas和spss来解决）检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣,是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意.4、使用步骤：（1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系；（2）选取适当的回归方程；(3）拟合回归参数;(4）回归方程显著性检验及回归系数显著性检验（5)进行后继研究（如:预测等)这种模型的的特点是直观，容易理解。

这体现在：动态聚类图可以很直观地体现出来！当然，这只是直观的一个方面！2、分类聚类有两种类型:（1) Q型聚类:即对样本聚类；(2) R型聚类：即对变量聚类;聚类方法：（1）最短距离法(2）最长距离法(3）中间距离法（4) 重心法（5）类平均法(6）可变类平均法(7) 可变法（8）利差平均和法在具体做题中,适当选取方法；3、注意事项在样本量比较大时,要得到聚类结果就显得不是很容易，这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理。

还需要注意的是：如果总体样本的显著性差异不是特别大的时候，使用的时候也要注意！4、方法步骤（1）首先把每个样本自成一类；2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵，比如说：距离矩阵或相似性矩阵，找到矩阵中最小的元素，将该元素对应的两个类归为一类，（4)重复第2步，直到只剩下一个类；（4）重复第2步，直到只剩下一个类;补充：聚类分析是一种无监督的分类,下面将介绍有监督的“分类”。

十大经典数学模型

十大经典数学模型十大经典数学模型是指在数学领域中具有重要意义和广泛应用的数学模型。

这些模型涵盖了不同的数学分支和应用领域，包括统计学、微积分、线性代数等。

下面将介绍十大经典数学模型。

1. 线性回归模型线性回归模型用于描述两个变量之间的线性关系。

它通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来拟合一条直线，并用该直线来预测未知的观测值。

线性回归模型在统计学和经济学等领域有广泛应用。

2. 概率模型概率模型用于描述随机事件发生的可能性。

它通过定义事件的概率分布来描述事件之间的关系，包括离散型和连续型概率分布。

概率模型在统计学、金融学、生物学等领域中被广泛应用。

3. 微分方程模型微分方程模型用于描述物理系统、生物系统和工程系统中的变化过程。

它通过描述系统中各个变量之间的关系来解释系统的动态行为。

微分方程模型在物理学、生物学、经济学等领域中具有重要应用。

4. 矩阵模型矩阵模型用于表示线性关系和变换。

它通过矩阵和向量的乘法来描述线性变换，并用于解决线性方程组和特征值问题。

矩阵模型在线性代数、网络分析、图像处理等领域中广泛应用。

5. 图论模型图论模型用于描述物体之间的关系和连接方式。

它通过节点和边的组合来表示图形，并用于解决最短路径、网络流和图着色等问题。

图论模型在计算机科学、电信网络等领域中有广泛应用。

6. 最优化模型最优化模型用于寻找最佳解决方案。

它通过定义目标函数和约束条件来描述问题，并通过优化算法来找到使目标函数最优的变量取值。

最优化模型在运筹学、经济学、工程优化等领域中被广泛应用。

7. 离散事件模型离散事件模型用于描述在离散时间点上发生的事件和状态变化。

它通过定义事件的发生规则和状态转移规则来模拟系统的动态行为。

离散事件模型在排队论、供应链管理等领域中有重要应用。

8. 数理统计模型数理统计模型用于从样本数据中推断总体特征和进行决策。

它通过概率分布和统计推断方法来描述数据的分布和抽样误差，包括参数估计和假设检验等方法。

数学建模-概率统计模型

第二章概率统计模型
一个例子
• 二战时期，，为了提高飞机的防护能力，英国的科学家、设计师和工程师决定给飞机增加护甲.
• 为了不过多加重飞机的负载，护甲必须加在最必要的地方，那么是什么地方呢?
• 统计学家将每架中弹但仍返航的飞机的中弹部位描绘在图纸上，然后将这些图重叠，形成了一个密度不均的弹孔分布图.
中间距离法、重心法、类平均法、可变法和离差平法和法。
• 最短距离法：两个类别中距离最短的样品距离为类间距离。
• 最长距离法：两个类别中距离最长的样品距离为类间距离。
方法选择
• 当数据量不大的时候，一般会利用系统聚类法，从而达到最佳聚类结果。如果要聚类的数据量很大，则利用系统聚类法会消耗太多计算时间，一般选择K均值法，可以大大减少计算时间。
•
变量相似性度量
•
• 相关系数 •相关系数经常用来度量变量间的相似性。代表第i个变量xi的平均值，则第i个变量和第j 个变量的相关系数定义为
分析
• 采用不同的距离公式，会得到不同的聚类结果。在聚类分析时，可以根据需要选择符合实际的距离公式。在样品相似性度量中，欧氏距离具有非常明确的空间距离概念，马氏距离有消除量纲影响的作用；如果对变量作了标准化处理，通常可以采用欧氏距离。
• 分析：
评价电梯运行方案往往以电梯高峰期运行时间为依据。一般来说，可以预估电梯可能停靠楼层数、电梯运载次数、电梯停靠时间等参数来计算电梯高峰期运行总时间。但这种估计的方法十分粗略，可能与实际结果相差巨大。我们的目的是模拟电梯一次循环所需的平均时间，并设计电梯停靠方案以使这个时间最短。这里的主要随机量是各楼层乘客的到达数。可以考虑采用蒙特卡罗方法对电梯上下楼的方案进行随机模拟。

统计学中的统计模型与模型选择

统计学中的统计模型与模型选择统计学是一门研究数据分析、样本推断和不确定性估计的学科，而统计模型则是统计学中的重要工具之一。

统计模型是用来描述观测数据和潜在数据之间关系的数学表达式，通过对数据进行建模，我们可以进行推断和预测，从而更好地理解和解释现象。

一、统计模型的定义与作用统计模型是统计学研究中的数学模型，用来表示观测数据与统计参数之间的关系。

统计模型通常有两个部分组成：数据模型和参数模型。

数据模型描述了观测数据的分布，常见的数据模型有正态分布、泊松分布等。

参数模型描述了参数与数据之间的联系，通过对参数进行估计，我们可以对未知数据进行推断。

统计模型的作用是用来对数据进行分析、预测和推断。

通过建立适当的统计模型，我们可以对未知数据进行预测，评估假设的可信度，并进行科学决策。

二、统计模型的选择准则在实际应用中，我们可能面临多个统计模型可供选择的情况。

因此，选择合适的统计模型显得尤为重要。

模型选择的准则可以基于统计理论，也可以基于实证分析。

1. 最大似然估计法：最大似然估计法是一种常用的模型选择方法。

它通过比较不同模型的似然函数值，选取使似然函数最大的模型作为最优模型。

2. 赤池信息准则（AIC）：AIC是一种常用的模型选择准则，它考虑了模型拟合优度和模型复杂度之间的平衡。

AIC值越小，说明模型越好。

3. 贝叶斯信息准则（BIC）：BIC是模型选择中的另一种准则，它对参数个数加以惩罚。

BIC值越小，说明模型越好。

4. 交叉验证：交叉验证是一种通过划分数据集并进行多次模型拟合评估的方法。

通过比较不同模型在不同数据集上的表现，选取拟合效果最好的模型。

三、实例：线性回归模型的模型选择为了更好地理解统计模型的选择过程，我们以线性回归模型为例进行说明。

线性回归模型是一种常用的预测模型，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。

在线性回归模型中，我们常常面临多个自变量可供选择的情况。

为了选择合适的模型，我们可以使用AIC、BIC或交叉验证等方法。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一、多元回归1、方法概述：在研究变量之间的相互影响关系模型时候，用到这类方法，具体地说：其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。

2、分类分为两类：多元线性回归和非线性线性回归；其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如：y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决；所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。

3、注意事项在做回归的时候，一定要注意两件事：（1）回归方程的显著性检验（可以通过sas和spss来解决）（2）回归系数的显著性检验（可以通过sas和spss来解决）检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。

4、使用步骤：（1）根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系；（2）选取适当的回归方程；（3）拟合回归参数；（4）回归方程显著性检验及回归系数显著性检验（5）进行后继研究（如：预测等）这种模型的的特点是直观，容易理解。

这体现在：动态聚类图可以很直观地体现出来！当然，这只是直观的一个方面！二、聚类分析聚类有两种类型：（1） Q型聚类：即对样本聚类；（2） R型聚类：即对变量聚类；聚类方法：（1）最短距离法（2）最长距离法（3）中间距离法（4）重心法（5）类平均法（6）可变类平均法（7）可变法（8）利差平均和法在具体做题中，适当选取方法；3、注意事项在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易，这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理。

还需要注意的是：如果总体样本的显著性差异不是特别大的时候，使用的时候也要注意！4、方法步骤（1）首先把每个样本自成一类；（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵，比如说：距离矩阵或相似性矩阵，找到矩阵中最小的元素，将该元素对应的两个类归为一类，（4）重复第2步，直到只剩下一个类；补充：聚类分析是一种无监督的分类，下面将介绍有监督的“分类”。

我简单说明下，无监督学习和有监督学习是什么无监督学习：发现的知识是未知的而有监督学习：发现的知识是已知的或者这么说吧：有监督学习是对一个已知模型做优化，而无监督学习是从数据中挖掘模型他们在分类中应用比较广泛（非数值分类）如果是数值分类就是预测了，这点要注意三、数据分类1、方法概述数据分类是一种典型的有监督的机器学习方法，其目的是从一组已知类别的数据中发现分类模型，以预测新数据的未知类别。

这里需要说明的是：预测和分类是有区别的，预测是对数据的预测，而分类是类别的预测。

2、类别方法：（1）神经网路（2）决策树（这里不再阐述，有兴趣的同学，可以参考数据挖掘和数据仓库相关书籍）3、注意事项1》神经网路适用于下列情况的分类：（1）数据量比较小，缺少足够的样本建立数学模型；（2）数据的结构难以用传统的统计方法来描述（3）分类模型难以表示为传统的统计模型这里主要介绍以上三点，其他的情况大家可以自己总结！2》神经网路的优点：分类准确度高，并行分布处理能力强，对噪声数据有较强的鲁棒性和容错能力能够充分逼近复杂的非线性关系，具备联想记忆的功能等。

3》神经网路缺点：需要大量的参数，不能观察中间学习过程，输出结果较难解释，会影响到结果的可信度，需要较长的学习时间，当数据量较大的时候，学习速度会制约其应用。

4、步骤这里只做简略说明，具体步骤，大家可以查阅《神经网路》《数据挖掘》等相关书籍（1）初始化全系数（2）输入训练样本（3）计算实际输出值（4）计算实际输出值和期望输出值之间的误差（5）用误差去修改权系数（6）判断是否满足终止条件，如果满足终止，否则进入第二步 .四、判别分析1、概述其是基于已知类别的训练样本，对未知类别的样本判别的一种统计方法，也是一种有监督的学习方法，是分类的一个子方法！具体是：在研究已经过分类的样本基础上，根据某些判别分析方法建立判别式，然后对未知分类的样本进行分类！2、分类根据判别分析方法的不同，可分为下面几类：（1）距离判别法（2） Fisher判别法（3） Bayes判别法（4）逐步判别法关于这几类的方法的介绍，大家可以参考《多元统计学》，其中比较常用的是bayes判别法和逐步判别法3、注意事项：判别分析主要针对的是有监督学习的分类问题。

共有四种方法，这里重点注意其优缺点：（1）距离判别方法简单容易理解，但是它将总体等概率看待，没有差异性；（2） Bayes判别法有效地解决了距离判别法的不足，即：其考虑了先验概率——所以通常这种方法在实际中应用比较多！（3）在进行判别分析之前，应首先检验各类均值是不是有差异（因为判别分析要求给定的样本数据必须有明显的差异），如果检验后某两个总体的差异不明显，应将这两个总体合为一个总体，再由剩下的互不相同的总体重现建立判别分析函数。

（4）这里说明下Fisher判别法和bayes判别法的使用要求：两者对总体的数据的分布要求不同，具体的，Fisher要求对数据分布没有特殊要求，而bayes则要求数据分布是多元正态分布，但实际中却没有这么严格！（5）这种方法可以利用spss，sas等软件来轻松实现4、方法步骤这里以bayes判别法为例简要讲述，具体的方法和软件实现，可以去数学中国网站下载或者参考《多元统计学》（1）计算各类中变量的均值xj及均值向量xh，各变量的总均值xi 及均值向量x（2）计算类内协方差及其逆矩阵（3）计算bayes判别函数中，各个变量的系数及常数项并写出判别函数（4）计算类内协方差矩阵及各总协方差矩阵做多个变量的全体判别效果的检验（5）做各个变量的判别能力检验（6）判别样本应属于的类别1.5主成分分析1、概述主成分分析是一种降维数的数学方法，具体就是，通过降维技术奖多个变量化为少数几个主成分的统计分析方法。

在建模中，主要用于降维，系统评估，回归分析，加权分析等等。

2、分类（无）3、注意事项在应用主成分分析时候，应该注意：（1）综合指标彼此独立或者不相互干涉（2）每个综合指标所反映的各个样本的总信息量等于对应特征向量的特征值。

通常要选取的综合指标的特征值贡献率之和应为80%以上（3）其在应用上侧重于信息贡献影响力的综合评价（4）当主成分因子负荷的符号有正也有负的时候，综合评价的函数意义就不明确！4、方法步骤大家可以参考《多元统计学》这本书籍，在这里就不做阐述，也可以从数学中国网站的统计学板块下载！六、因子分析1、概述其是也是将变量总和为数量较少的几个因子，是降维的一种数学技术！它和主成分分析的最大区别是：其是一种探索性分析方法，即：通过用最少个数的几个不可观察的变量来说明出现在可观察变量中的相关模型（有点类似于前面讲述的分类和聚类的区别，大家好好体会下）它提供了一种有效的利用数学模型来解释事物之间的关系，体现出数据挖掘的一点精神！2、分类因子分析是R型，即对变量研究3、注意事项（1）其不是对研究总体的变量的降维，而是根据原始变量信息构造新的变量，作为共同因子，这点区别于主成分分析（2）它通过旋转可以使得因子变量具有可解释性（这块可能不容易理解，大家可以去找因子分析的相关书籍查阅，搞清楚这块，对于你解释模型会起到很大的作用）（3）这里说明下，因子分析和主成分分析的区别和联系 <1>两者都是降维数学技术，前者是后者的推广和发展<2>主成分分析只是一般的变量替换，其始终是基于原始变量研究数据的模型规律；而因子分析则是通过挖掘出新的少数变量，来研究的一种方法，有点像数据挖掘中的未知关联关则发现！4、方法步骤（略）大家可以去论坛上下载相关电子资源，也可以参考《多元统计学》七、残差分析1、概述在实际问题中，由于观察人员的粗心或偶然因素的干扰。

常会使我们所得到的数据不完全可靠, 即出现异常数据。

有时即使通过相关系数或F检验证实回归方程可靠，也不能排除数据存在上述问题。

残差分析的目的就在于解决这一问题。

所谓残差是指实际观察值与回归估计值的差。

2、分类无3、应用（1）通过残差分析来排除异常数据（2）通过残差分析来检验模型的可靠性还有很多应用，大家在使用过程中据情况选取，灵活应用！八、典型相关分析1、概述前面介绍的方法主要是一个变量和多个变量之间的关系，而典型相关分析研究的是多个变量和多个变量之间的关系，或者是一组变量和一组变量之间关系！其可以揭示两组变量之间的关系，从而供大家研究两个现象之间的关系。

例如：蔬菜的产出水平和影响产出水平的变量之间的关系！2、分类多对多的变量关系研究！3、注意事项（1）其可以很好地解决组合相关性的问题（2）其还局限于两组变量的研究，而且要求这两组变量都是连续变量且需服从多元正态分布九、时间序列1、概述时间序列预测法是一种定量分析方法，它是在时间序列变量分析的基础上，运用一定的数学方法建立预测模型，使时间趋势向外延伸，从而预测未来市场的发展变化趋势，确定变量预测值。

其基本特点是：假定事物的过去趋势会延伸到未来；预测所依据的数据具有不规则性；撇开市场发展之间的因果关系。

2、分类时间序列的变动形态一般分为四种：长期趋势变动，季节变动，循环变动，不规则变动。

方法分类：（1）平均数预测（简单算术平均法，加权算术平均法，几何平均数法）（2）移动平均数预测（一次移动平均法，二次移动平均法）（3）指数平滑法预测（一次，二次，三次指数平滑法）（4）趋势法预测（分割平均法，最小二乘法，三点法）（5）季节变动法（简单平均法，季节比例法）3．注意事项（1）季节变动法预测需要筹集至少三年以上的资料（2）移动平均法在短期预测中较准确，长期预测中效果较差；（3）移动平均可以消除或减少时间序列数据受偶然性因素干扰而产生的随机变动影响。

（4）一次移动平均法适用于具有明显线性趋势的时间序列数据的预测；一次移动平均法只能用来对下一期进行预测，不能用于长期预测，必须选择合理的移动跨期，跨期越大对预测的平滑影响也越大，移动平均数滞后于实际数据的偏差也越大。

跨期太小则又不能有效消除偶然因素的影响。

跨期取值可在3~20间选取。

（5）二次移动平均法与一次移动平均法相比，其优点是大大减少了滞后偏差，使预测准确性提高；二次移动平均只适用于短期预测。

而且只用于的情形。

6）最小二乘法即适用于直线趋势的预测，也适用于曲线趋势的预测。

还有一些注意事项，这里就不再一一罗列 4．方法步骤（略）。