机器人学第二章(数学基础)
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和tip两者描述相同的物件，但有着不同的值。为了涉及到坐标架、向量或平面的每一分量，我们添加下标来表示特定分量。例如，矢量 有分量 ， ， 。
2.3
在n维空间中物体的齐次坐标表达式是一个（n+1）维空间实体，这样一个特定的透视投影即重新建立了该n维空间。这也可以被视为对每个向量加上一个外加坐标（比例因子）。这样，如果包括比例因子的每个分量乘以一常数，向量含义不变。
（2-36）
这一结果如图2-2所示。如果将两个变换结合起来，我们有
（2-37）
和 （2-38）
将公式2-37的 代入公式2-38得
（2-39）
（2-40）
（2-41）
于是
（2-42）
这与我们在前面所得到的一致。
如果我们颠倒转动的次序，首先绕 轴转 ，再绕 轴转 ，我们得到一不同位置
（2-43）
且点 变换至 为
我们也将使用向量的点乘和叉乘，给出二个向量
（2-4）
我们规定向量点乘用“ ”表示为
（2-5）
二向量的点乘是一个标量。用“ ”标明的叉乘，是垂直于两相乘向量所形成平面的另一向量，用下式表示
（2-6）
这一定义作为行列式展开更易于记忆
（2-7）
2.4
一个平面可以用一个行矩阵来表示
（2-8）
这样，如果点v位于平面中，矩阵乘积
第二章
2.1
机器人操作手的研究涉及物体之间以及物体与操作手之间的关系。在这一章中，我们将研究描述这些关系所需的表示方法。在同样必须描述物体之间关系的计算机制图学领域中，已经解决了类似的表示方法问题。在该领域以及计算机视觉方面使用了齐次变换。这些变换以前Denavit用来描述连杆机构。而现在我们用这些变换来描述操作手。
（2-9）
或展开为
（2-10）
如果我们定义一常数
（2-11）
将方程2-10除以 得
（2-12）
方程2-12左边是 和 两向量的点乘，表示点 沿向量 的指向的距离。向量 可被理解为是在法线方向上离原点距离为 的平面的一条外指法线。于是平行于 平面，沿 一个单位的平面 可表示为
（2-13）
或 （2-14）
或 （2-15）
点 将落在这一平面中
（2-16）
或
（2-17）
点 位于平面上面
（2-18）
实际是正数，表明点在平面之外，而在外指法线方向上。点 位于平面之下
（2-19）
平面 是非限定的。
2.5
空间变换 是一个4 4矩阵，能够用来表示移动，转动。伸展和透视变换。给出一点u，它的变换v矩阵乘积表示为
（2-20）
我们将首先建立向量和平面的符号，再在这些符号基础上引入变换。这些变换主要由移动和转动所组成。接着将表明，这些变换也可以作为表示包括操作手在内的物体的坐标架。然后将引入逆变换。后一节叙述绕任一向量旋转的一般旋转变换。再介绍一种算法，以用来找出用任何已知变换表示的等效旋转轴和等效旋转角。伸张和缩放变换的一小节，连同透视变换一节也包含在本章中。这一章用一节关于变换方程的内容来作为结尾。
2.2
在描述物体间关系时，我们将利用点向量、平面和坐标架。点向量用小写黑体印刷符号表示，平面用手写体印刷符号表示，坐标架则用大写黑体印刷符号表示。例如：
向量v, xl, x
平面，
坐标架I, A, CONV
我们将把点向量、平面和坐标架作为具有关联数值的变量使用。例如，一个点向量就具有三个笛卡尔坐标分量。
如同点和平面一样，变换矩阵的每个元素，可乘以一非零常数而变换不变。现考虑将矢量 移动，或是与 相加
（2-27）
如果把变换矩阵元素乘以 ，而将向量元素乘以2，我们得到
（2-28）
这和上述向量 一致。点 落在平面 中
（2-29）
正如我们已得到的一样，变换点是 。现在我们来计算变换后的平面。逆变换是
而变换后的平面是
（2-30）
变换后的点再次落在变换后的平面中
（2-31）
2.7
相应于绕 或 轴转过角度 的变换是
（2-32）
（2-33）
（2-34）
让我们用例子来解释这些转动。给出一点 ，将它绕 轴转 至 ，其结果如何？将 和 代入公式2-34，得到变换为
（2-35）
始点和终点如图2-1所示，点确实绕 轴转过 。现在让我们将 绕 轴转 到 。我们可从公式2-33得到变换，有
一个点向量
（源自文库-1）
式中i，j和k分别是沿x，y和z坐标轴的单位向量。在齐次坐标中用一列矩阵来表示点向量
（2-2）
式中
（2-3）
于是能够把向量 写成 ,或者 ，或者再写成为 等等。上标T指明行向量转置为列向量。在原点处的向量（零向量）被写成 ,式中n是任意非零比例因子， 是非限定向量。形式为 的向量表示无限大向量，并被用来表示方向：加上其它任一有限向量，都不会改变它的大小。
如果希望相对于坐标架E来描述空间一个称为p的点我们将用一个称为ｖ的向量，并将这一向量写成
前置的上标表示所定义的坐标架。
我们也可以利用向量w相对于例如H这样的不同坐标架，来描述相同的点p为
v和w是两个很可能具有不同分量的向量，虽然两个向量描述相同的点p，但v w。也可能存在这种情况，用一个向量a来描述在任一坐标架上面3英寸地方的一个点
（2-44）
我们应该预料到这一点，因为矩阵相乘是不能交换的。
（2-45）
这一变换结果如图2-3所示.
现在我们将原先的转动与移动 结合起来。我们从公式2-27得到移动，从公式2.41得到转动。矩阵表达式是
（2-46）
且点 变换至 为
（2-47）
其结果如图2-4所示。
2.8坐标架
我们可以把齐次变换的元素理解为描述另一坐标架的四个向量。向量 位于另一坐标架的原点。它的变换是和变换矩阵右边那一列相对应。考虑公式2.47中的变换
在这一情况中，向量是完全相同的，但是描述了不同的点，通常文中定义的坐标架是明显的，这时上标就不用。在许多情况中，向量的名称将与被描述的物体的名称相同，例如，销的末端可以用相对于坐标架BASE的向量tip来描述
如果文中相对于BASE描述向量是明显的，则我们可以简单地写为
tip
如果还希望相对于另一坐标架HAND来描述这一点，则我们必须用另一向量来描述这一关系，例如
从到的相应平面变换为
（2-21）
这是因为我们要求条件
（2-22）
在所有变换中不变。为了证实这一点，我们将公式2.20和2.21代入公式2.22的左边。由于 为单位矩阵I，故得
（2-23）
2.6
相应于用向量 表示的移动变换 是
（2-24）
给出向量 ,则得变换后的向量 为
（2-25）
（2-26）
移动也可以解释为两个向量 与 之和。
2.3
在n维空间中物体的齐次坐标表达式是一个（n+1）维空间实体，这样一个特定的透视投影即重新建立了该n维空间。这也可以被视为对每个向量加上一个外加坐标（比例因子）。这样，如果包括比例因子的每个分量乘以一常数，向量含义不变。
（2-36）
这一结果如图2-2所示。如果将两个变换结合起来，我们有
（2-37）
和 （2-38）
将公式2-37的 代入公式2-38得
（2-39）
（2-40）
（2-41）
于是
（2-42）
这与我们在前面所得到的一致。
如果我们颠倒转动的次序，首先绕 轴转 ，再绕 轴转 ，我们得到一不同位置
（2-43）
且点 变换至 为
我们也将使用向量的点乘和叉乘，给出二个向量
（2-4）
我们规定向量点乘用“ ”表示为
（2-5）
二向量的点乘是一个标量。用“ ”标明的叉乘，是垂直于两相乘向量所形成平面的另一向量，用下式表示
（2-6）
这一定义作为行列式展开更易于记忆
（2-7）
2.4
一个平面可以用一个行矩阵来表示
（2-8）
这样，如果点v位于平面中，矩阵乘积
第二章
2.1
机器人操作手的研究涉及物体之间以及物体与操作手之间的关系。在这一章中，我们将研究描述这些关系所需的表示方法。在同样必须描述物体之间关系的计算机制图学领域中，已经解决了类似的表示方法问题。在该领域以及计算机视觉方面使用了齐次变换。这些变换以前Denavit用来描述连杆机构。而现在我们用这些变换来描述操作手。
（2-9）
或展开为
（2-10）
如果我们定义一常数
（2-11）
将方程2-10除以 得
（2-12）
方程2-12左边是 和 两向量的点乘，表示点 沿向量 的指向的距离。向量 可被理解为是在法线方向上离原点距离为 的平面的一条外指法线。于是平行于 平面，沿 一个单位的平面 可表示为
（2-13）
或 （2-14）
或 （2-15）
点 将落在这一平面中
（2-16）
或
（2-17）
点 位于平面上面
（2-18）
实际是正数，表明点在平面之外，而在外指法线方向上。点 位于平面之下
（2-19）
平面 是非限定的。
2.5
空间变换 是一个4 4矩阵，能够用来表示移动，转动。伸展和透视变换。给出一点u，它的变换v矩阵乘积表示为
（2-20）
我们将首先建立向量和平面的符号，再在这些符号基础上引入变换。这些变换主要由移动和转动所组成。接着将表明，这些变换也可以作为表示包括操作手在内的物体的坐标架。然后将引入逆变换。后一节叙述绕任一向量旋转的一般旋转变换。再介绍一种算法，以用来找出用任何已知变换表示的等效旋转轴和等效旋转角。伸张和缩放变换的一小节，连同透视变换一节也包含在本章中。这一章用一节关于变换方程的内容来作为结尾。
2.2
在描述物体间关系时，我们将利用点向量、平面和坐标架。点向量用小写黑体印刷符号表示，平面用手写体印刷符号表示，坐标架则用大写黑体印刷符号表示。例如：
向量v, xl, x
平面，
坐标架I, A, CONV
我们将把点向量、平面和坐标架作为具有关联数值的变量使用。例如，一个点向量就具有三个笛卡尔坐标分量。
如同点和平面一样，变换矩阵的每个元素，可乘以一非零常数而变换不变。现考虑将矢量 移动，或是与 相加
（2-27）
如果把变换矩阵元素乘以 ，而将向量元素乘以2，我们得到
（2-28）
这和上述向量 一致。点 落在平面 中
（2-29）
正如我们已得到的一样，变换点是 。现在我们来计算变换后的平面。逆变换是
而变换后的平面是
（2-30）
变换后的点再次落在变换后的平面中
（2-31）
2.7
相应于绕 或 轴转过角度 的变换是
（2-32）
（2-33）
（2-34）
让我们用例子来解释这些转动。给出一点 ，将它绕 轴转 至 ，其结果如何？将 和 代入公式2-34，得到变换为
（2-35）
始点和终点如图2-1所示，点确实绕 轴转过 。现在让我们将 绕 轴转 到 。我们可从公式2-33得到变换，有
一个点向量
（源自文库-1）
式中i，j和k分别是沿x，y和z坐标轴的单位向量。在齐次坐标中用一列矩阵来表示点向量
（2-2）
式中
（2-3）
于是能够把向量 写成 ,或者 ，或者再写成为 等等。上标T指明行向量转置为列向量。在原点处的向量（零向量）被写成 ,式中n是任意非零比例因子， 是非限定向量。形式为 的向量表示无限大向量，并被用来表示方向：加上其它任一有限向量，都不会改变它的大小。
如果希望相对于坐标架E来描述空间一个称为p的点我们将用一个称为ｖ的向量，并将这一向量写成
前置的上标表示所定义的坐标架。
我们也可以利用向量w相对于例如H这样的不同坐标架，来描述相同的点p为
v和w是两个很可能具有不同分量的向量，虽然两个向量描述相同的点p，但v w。也可能存在这种情况，用一个向量a来描述在任一坐标架上面3英寸地方的一个点
（2-44）
我们应该预料到这一点，因为矩阵相乘是不能交换的。
（2-45）
这一变换结果如图2-3所示.
现在我们将原先的转动与移动 结合起来。我们从公式2-27得到移动，从公式2.41得到转动。矩阵表达式是
（2-46）
且点 变换至 为
（2-47）
其结果如图2-4所示。
2.8坐标架
我们可以把齐次变换的元素理解为描述另一坐标架的四个向量。向量 位于另一坐标架的原点。它的变换是和变换矩阵右边那一列相对应。考虑公式2.47中的变换
在这一情况中，向量是完全相同的，但是描述了不同的点，通常文中定义的坐标架是明显的，这时上标就不用。在许多情况中，向量的名称将与被描述的物体的名称相同，例如，销的末端可以用相对于坐标架BASE的向量tip来描述
如果文中相对于BASE描述向量是明显的，则我们可以简单地写为
tip
如果还希望相对于另一坐标架HAND来描述这一点，则我们必须用另一向量来描述这一关系，例如
从到的相应平面变换为
（2-21）
这是因为我们要求条件
（2-22）
在所有变换中不变。为了证实这一点，我们将公式2.20和2.21代入公式2.22的左边。由于 为单位矩阵I，故得
（2-23）
2.6
相应于用向量 表示的移动变换 是
（2-24）
给出向量 ,则得变换后的向量 为
（2-25）
（2-26）
移动也可以解释为两个向量 与 之和。