离散数学--6.4几种特殊的图
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离散数学--一些特殊的图ppt教学共39页文档
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
ห้องสมุดไป่ตู้离散数学--一些特殊的图ppt教学
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
离散数学 第11章 特殊图
置可用二进制信号表示。试问如何选取鼓轮 16 个部分的材
料才能使鼓轮每转过一个部分得到一个不同的二进制信号， 即每转一周，能得到0000到1111的16个数。
2015/12/25 110-23
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
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3、计算机鼓轮设计
假设一个旋转鼓的表面被等 分为 24 个部分，如图所示，其中 每一部分分别由导体或绝缘体构 成，图中阴影部分表示导体，空 白部分表示绝缘体，导体部分给 出信号 1 ，绝缘体部分给出信号 0 。 根据鼓轮转动时所处的位置， 四个触头 A 、B 、C 、 D 将获得一定的信息。因此，鼓轮的位
以上定义既适合无向图，又适合有向图。
2015/12/25
110-6
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
欧拉通路和欧拉回路的特征
欧拉通路是经过图中所有边的通路中长度最短 的通路，即为通过图中所有边的简单通路；
欧拉回路是经过图中所有边的回路中长度最短 的回路，即为通过图中所有边的简单回路。 如果仅用边来描述，欧拉通路和欧拉回路就是 图中所有边的一种全排列。
P12 = v1e1v2e2v3e3v4e4v5e5v6e6v7e7v8e9v2e10v4e11v6e12v8e8v1
110-18
2015/12/25
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
11.2.3 欧拉图的难点
1. 仅有欧拉通路而无欧拉回路的图不是欧拉图；
2. 图中是否存在欧拉通路、欧拉回路图的判定非 常简单，只需要数一下图中结点的度数即可； 3. 使用 Fleury 算法求欧拉通路 ( 回路 ) 时，每次走 一条边，在可能的情况下，不走桥。
《离散数学》课件第6章 (2)
〈SS, , 〈Σ*, τ〉不是可交换半群。
定义 6.1.3 含有关于*运算的幺元的半群〈S， *〉， 称
它为独异点(monoid)， 或含幺半群， 常记为〈S, *, e〉(e是
幺元)。
第六章 几个典型的代数系统
【例6.1.4】
〈Z, +〉是独异点， 幺元是0， 〈Z, +, 0〉;
〈Z, ×〉是独异点， 幺元是1， 〈Z, ×, 1〉；
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群， 幺元为A， 非空集合无逆
元， 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S， 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群， 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群， 因为数0无逆元。
因为零元无逆元， 所以含有零元的代数系统就不会是群。
逻辑关系见图6.1.1。
第六章 几个典型的代数系统
图6.1.1
第六章 几个典型的代数系统
定义 6.1.1 设〈S， *〉是代数系统， *是二元运算， 如果*运算满足结合律， 则称它为半群(semigroups)。
换言之， x, y, z∈S, 若*是S上的封闭运算且满足 (x*y)*z=x*(y*z)， 则〈S， *〉是半群。
设半群〈S, *〉中元素a(简记为a∈S)的n次幂记为an， 递 归定义如下：
a1=a an+1=an*a1 n∈Z+ 即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。
因为半群满足结合律， 所以可用数学归纳法证明
am*an=am+n， (am)n=amn。
第六章 几个典型的代数系统
普通乘法的幂、 关系的幂、 矩阵乘法的幂等具体的代 数系统都满足这个幂运算规则。
§64子群及其陪集(离散数学)-专业PPT文档-PPT精品文档
故（1）成立。
应用判别条件二 例
给定整数m，证明(mZ,+)是一个群。 证明：注意到(Z,+)是一个群， mZ是Z的非 空子集，因此，只需证(mZ,+)是(Z,+)的子 群。 对任意x,y∈ mZ,存在k,l ∈Z，使得 x=km, y=lm, 于是 x-y=km-lm=(k-l)m ∈ mZ 。 因此， (mZ,+)是(Z,+)的子群，当然本身是 一个群。
判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。
现要证（2）.
(错误证法：由H是G的子群知，H是群，故 对a∈H，有b∈H，使得ab=1，所以b是a 的逆，由a的逆的唯一性，知a-1 =b,而b ∈H ，故 a-1 ∈H 。)
判别条件一
先证H中的单位元就是G中的单位元。 设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
6.4.1 子 群 的 定 义
子群 设（G，·）是一个群， H G，
如果 (H， ·) 仍是一个群，则 （H，·）叫做（G，·）的子群。
真子群 如果G的一个子群H不等于G，
即H G，则（H，·）叫做
（G，·）的真子群。 Note: G的子群H的运算必须与G的运算一样，
比如， （C*，·）不是（C，+）的子群。
❖例. 整数加法群（Z，+）是由1生成的循环群。 （mZ，+）是由m生成的循环群。
❖例.设G是4次对称群（本身不是循环群），由
（1 2）生成的循环子群为{I，（1 2）}。
元素的周期
看由元素a所生成的循环群（a）：
…，a-2，a-1，a0，a，a2，…
应用判别条件二 例
给定整数m，证明(mZ,+)是一个群。 证明：注意到(Z,+)是一个群， mZ是Z的非 空子集，因此，只需证(mZ,+)是(Z,+)的子 群。 对任意x,y∈ mZ,存在k,l ∈Z，使得 x=km, y=lm, 于是 x-y=km-lm=(k-l)m ∈ mZ 。 因此， (mZ,+)是(Z,+)的子群，当然本身是 一个群。
判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。
现要证（2）.
(错误证法：由H是G的子群知，H是群，故 对a∈H，有b∈H，使得ab=1，所以b是a 的逆，由a的逆的唯一性，知a-1 =b,而b ∈H ，故 a-1 ∈H 。)
判别条件一
先证H中的单位元就是G中的单位元。 设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
6.4.1 子 群 的 定 义
子群 设（G，·）是一个群， H G，
如果 (H， ·) 仍是一个群，则 （H，·）叫做（G，·）的子群。
真子群 如果G的一个子群H不等于G，
即H G，则（H，·）叫做
（G，·）的真子群。 Note: G的子群H的运算必须与G的运算一样，
比如， （C*，·）不是（C，+）的子群。
❖例. 整数加法群（Z，+）是由1生成的循环群。 （mZ，+）是由m生成的循环群。
❖例.设G是4次对称群（本身不是循环群），由
（1 2）生成的循环子群为{I，（1 2）}。
元素的周期
看由元素a所生成的循环群（a）：
…，a-2，a-1，a0，a，a2，…
离散数学 一些特殊的图共38页
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
离散数学 一些特殊的图
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
第8章 一些特殊的图 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]PPT课件
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若街道图（街道的交叉口为顶点）存在欧拉 通路，显然此路是全程最短。
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
11
有向欧拉图的例子
❖一个模数转换中的应用举例：
旋转鼓设计：只需要16个物理触点便可以表示0-15总共16个不同的状态。
如何安排这16个触点使每转过一个触点都得到一个不同的二进制信号。
❖ 连通有向图D具有欧拉通路当且仅当D中除了两个 顶点外，其余顶点的入度均等于出度。这两个特 殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个 顶点的入度比出度小1。
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
中国邮递员问题
(欧拉通路的应用)(加权图)
问题:
邮递员从邮局出发，走遍投递区域的所有街 道，送完邮件后回到邮局，怎样使所走的路线全 程最短。
第八章 一些特殊的图
9/16/2020
§1 二部图 §2 欧拉图 §3 哈密尔顿图 §4 平面图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
1
§1 二部图
无向图G是二部图当且
仅当G中无奇数长度的
❖ 二部图(偶图)：G=<V1,V2,E>
回路。
❖ 完全二部图(完全偶图)：Kn,m，其中|V1| =n, |V2|=m.
（求布鲁英序列）
0000
❖每转一个触点，信号1234变成2345，
000
前者后三位决定了后者的前三位。因此，可把所
0001
1000
001
1001
0010 010 0100
100
有三位二进制数作顶点，从每一个顶点123到 234引一条有向边表示1234这个4位二进
制数，做出表示所有可能的码变换的有向图。于
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
11
有向欧拉图的例子
❖一个模数转换中的应用举例：
旋转鼓设计：只需要16个物理触点便可以表示0-15总共16个不同的状态。
如何安排这16个触点使每转过一个触点都得到一个不同的二进制信号。
❖ 连通有向图D具有欧拉通路当且仅当D中除了两个 顶点外，其余顶点的入度均等于出度。这两个特 殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个 顶点的入度比出度小1。
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
中国邮递员问题
(欧拉通路的应用)(加权图)
问题:
邮递员从邮局出发，走遍投递区域的所有街 道，送完邮件后回到邮局，怎样使所走的路线全 程最短。
第八章 一些特殊的图
9/16/2020
§1 二部图 §2 欧拉图 §3 哈密尔顿图 §4 平面图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
1
§1 二部图
无向图G是二部图当且
仅当G中无奇数长度的
❖ 二部图(偶图)：G=<V1,V2,E>
回路。
❖ 完全二部图(完全偶图)：Kn,m，其中|V1| =n, |V2|=m.
（求布鲁英序列）
0000
❖每转一个触点，信号1234变成2345，
000
前者后三位决定了后者的前三位。因此，可把所
0001
1000
001
1001
0010 010 0100
100
有三位二进制数作顶点，从每一个顶点123到 234引一条有向边表示1234这个4位二进
制数，做出表示所有可能的码变换的有向图。于
离散数学特殊图
(1) 1,1,1,1,4 数为n-1的n阶无向树为星
(2) 1,1,1,2,3
形图，称唯一的分支点为 星心。
(3) 1,1,2,2,2
。 。。。
。
。 。。。 。
。 。。。 。
第8章 特殊图
例9.3：无向树G有5片树叶，3个2度分支点， 其余分支点均为3度，问G有多少个顶点？
解：由握手定理 2m=∑d(vi) 及定理9.1 n = m+1
则有序树。 ⑤ 若T是r元正则树，且所有树叶的层数相
同，则称T为r元完全正则树 ⑥ 若r元完全正则树T是有序树，则称T是
r元有序完全正则树。
第8章 特殊图
例 9.15 。
。。 。 。。 。 。。
二元(叉)树 二元(叉)正则树
。 。。 。 。。 。
二元(叉)完全正则树
在所有的r元有序正则树中，2 元有序 正则树最重要。
我们还可以从另一个角度来考虑最小成树 (最优树)问题，由G的圈（回路）最优条件， 我们也可以在原连通权图G中逐步删除构 成回路中权最大的边，最后剩下的无回路 的生成子图为最小成树(最优树)。我们把 这种方法称为“破圈法”。
第8章 特殊图
例 9.11 在图(a)中给出了一个连通图, 求此图的生 成树
定理9.3 无向图G具有生成树 G是连通图。 推论1 设G是n阶m条边的无向连通图，
则m ≥ n-1。 推论2 设G是n阶m条边的无向连通图，T为G
的生成树，则T的余树T'中含有 m-n+1边(即T'有m-n+1条弦)。
第8章 特殊图
定义9.3 设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生
成树，设e1,e2, … ,em-n+1为T的弦，设Cr为T 添加弦er产生的G的回路， r=1,2, …, m-n+1。 则称Cr为对应于弦er的基本回路，称 {C1,C2,Cm-n+1}为对应生成数T的基本回路系统，
离散数学离散数学第8章 一些特殊的图 PPT课件
在23岁时，他发表了他还是一个17岁的孩子时作出的“奇怪的发 现”，…即《光线系统理论》第一部分，这是一篇伟大的杰作，它对于 光学，就象拉格朗日的《分析力学》之于力学。
哈密尔顿最深刻的悲剧既不是酒精，也不是他的婚姻，而是他顽固地
相信，四元数是解决物质宇宙的数学关键。…从来没有一个伟大的数学
家这样毫无希望地错误过。
2
1
3
4
(2) 有限面与无限面：面积有限的区域称为有 限面(或内部面)，否则为无限面(或外部面) 。 上图中，面4是无限面。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
24
(3) 面的次数等于面边界的边数(注意：悬挂边算2 次)，记为deg(R).
(4) 平面图中面的次数之和等于边数m的两倍，即
d(u)+d(v)≥n-1 则G是半哈密尔顿图。
注意:
此定理条件显然不是必要条件，如n≥6的n边形，对于 任意不相邻的顶点u, v, d(u)+d(v)=4，4<n-1，而n边形显 然有哈密尔顿通路。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
18
哈密尔顿图的充分条件
❖ 设G是n(n≥3)阶无向简单图，若G中 任意不相邻的顶点对u,v均满足： d(u)+d(v)≥n 则G是哈密尔顿图。
a
bc
d
e
f g
h
i j
k
l
ba
d
g
e j
f
l
b
a
c
d
g
j
i
e
h
f
k
7/1/2020 9:05 PM
离散数学-几种特殊图
第四讲几种特殊图一、小结本讲主要介绍欧拉图与汉密尔顿图、平面图与着色以及一些相关的概念与结论等。
1．欧拉图的概念给定无孤立结点图G ，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路；若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，在该回路称为欧拉回路；具有欧拉回路的图称为欧拉图；具有欧拉路但无欧拉回路的图称为半欧拉图。
规定平凡图为欧拉图。
2．欧拉路与回路存在的充要条件无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或2个奇数度数的结点。
无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且它的结点度数都是偶数的。
3．汉密尔顿图的概念给定图G ，若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图；具有汉密尔顿路但无汉密尔顿回路的图称为半汉密尔顿图。
4．汉密尔顿回路存在的必要条件若图G=<V,E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S均有W(G-S)￡|S|成立，其中W(G-S)是（G-S）中连通分支数。
5．汉密尔顿路存在的充分条件设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于n - 1，则在G中存在一条汉密尔顿路。
6．平面图的概念设G=<V，E>是一个无向图，如果能把G的所有结点与边画在平面上，并且使得任何两条边除端点外没有其他的交点，则称G是一个平面图（也称可平面图）.显然平面图的边与边只在结点处相交。
将平面图“图示在平面上”，有时也说成“将平面图嵌入一平面”。
7．平面图的面、边界、面的次数等概念设G是一个连通平面图，如果由图中的边所包围的一个区域内既不包含图的结点，也不包含图的边，则这个区域称为G的一个面，包围该面的所有边所构成的回路称为这个面的边界。
面r的边界的回路长度称为该面的次数，记为deg(r)。
图,上海大学,离散数学
–图的着色（补充）
29
对偶图
定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=<V*,E*>构造如下: (1) 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点,
V*= { vi*| i=1,2,…,r }.
(2) 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边ek*=(vi*,vj*), 且与ek相交;
例如
极大平面图
外部面的次数为4 非极大平面图
13
极小非平面图
定义6.25 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图都 是平面图, 则称G为极小非平面图. 例如: (1) K5, K3,3都是极小非平面图; (2)下述4个图也都是极小非平面图.
14
6.4.4 平面图
–平面图与平面嵌入
–平面图的面及其次数 –极大平面图 –极小非平面图 –欧拉公式
11
极大平面图
定义6.24 若G是简单平面图, 且在任意两个不相邻的顶点 之间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图. 例如:
K1, K2, K3, K4都是极大平面图;
(1)是K5删去一条边, 是极大平面图. (2)、(3)不是.
(1)
(2)
(3)
12
极大平面图的性质
• • •
极大平面图是连通的; 结点数大于等于3的极大平面图不可能存在割点和桥。 设G为n(n3)阶简单图, G为极大平面图的充分必要条 件是, G每个面的次数均为3.
x1 1 x5 2 3 2 x2 x4 x3
与K3,3同胚
与K5同胚
也可收缩到K3,3
也可收缩到K5
27
实例
例6 画出所有非同构的6阶11条边的简单连通非平面图. 解: 在K5(5阶10条边)上 加一个顶点和一条边
29
对偶图
定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=<V*,E*>构造如下: (1) 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点,
V*= { vi*| i=1,2,…,r }.
(2) 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边ek*=(vi*,vj*), 且与ek相交;
例如
极大平面图
外部面的次数为4 非极大平面图
13
极小非平面图
定义6.25 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图都 是平面图, 则称G为极小非平面图. 例如: (1) K5, K3,3都是极小非平面图; (2)下述4个图也都是极小非平面图.
14
6.4.4 平面图
–平面图与平面嵌入
–平面图的面及其次数 –极大平面图 –极小非平面图 –欧拉公式
11
极大平面图
定义6.24 若G是简单平面图, 且在任意两个不相邻的顶点 之间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图. 例如:
K1, K2, K3, K4都是极大平面图;
(1)是K5删去一条边, 是极大平面图. (2)、(3)不是.
(1)
(2)
(3)
12
极大平面图的性质
• • •
极大平面图是连通的; 结点数大于等于3的极大平面图不可能存在割点和桥。 设G为n(n3)阶简单图, G为极大平面图的充分必要条 件是, G每个面的次数均为3.
x1 1 x5 2 3 2 x2 x4 x3
与K3,3同胚
与K5同胚
也可收缩到K3,3
也可收缩到K5
27
实例
例6 画出所有非同构的6阶11条边的简单连通非平面图. 解: 在K5(5阶10条边)上 加一个顶点和一条边
第十一章 几种特殊的图 离散数学及其应用课件
27
11.4 平面图
定义11.6 如果能将无向图G画在平面上使得除顶点处外无边相 交, 则称G是可平面图, 简称平面图. 画出的无边相交的图称为 G的平面嵌入. 无平面嵌入的图称为非平面图．
) 的平面嵌入，(4)是(3)的平面嵌入.
(4)
28
平面图的性质
K5, K3,3都是非平面图（定理11.13） 平行边与环不影响平面性.
邻的顶点vi,vj, 均有
d(vi)+d(vj) n 则G中存在哈密顿回路.
（）
14
判断是否为哈密顿图
判断是否为(半)哈密顿图至今还是一个难题. (1) 观察出一条哈密顿回路或哈密顿通路. (2) 证明满足充分条件. (3) 证明不满足必要条件.
例4 证明右图(周游世界问题)是哈密顿图 证 abcdefghijklmnopqrsta 是一条哈密顿回路. 注意，此图不满足定理11.3推论的条件.
第十一章 几种特殊的图
主要内容 欧拉图 哈密顿图 二部图与匹配 平面图 着色
1
11.1 欧拉图
历史背景：哥尼斯堡七桥问题
2
欧拉图定义
定义11.1 图(无向图或有向图)中所有边恰好通过一次且经过 所有顶点的通路称为欧拉通路. 图中所有边恰好通过一次且 经过所有顶点的回路称为欧拉回路．具有欧拉回路的图称为 欧拉图. 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图． 说明： 规定平凡图为欧拉图. 环不影响图的欧拉性.
例
哈密顿图
哈密顿图
半哈密顿图
不是
10
无向哈密顿图的一个必要条件
定理11.2 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路 (1) p(CV1) |V1| (2) p(GV1) p(CV1) |V1| （因为CG）
11.4 平面图
定义11.6 如果能将无向图G画在平面上使得除顶点处外无边相 交, 则称G是可平面图, 简称平面图. 画出的无边相交的图称为 G的平面嵌入. 无平面嵌入的图称为非平面图．
) 的平面嵌入，(4)是(3)的平面嵌入.
(4)
28
平面图的性质
K5, K3,3都是非平面图（定理11.13） 平行边与环不影响平面性.
邻的顶点vi,vj, 均有
d(vi)+d(vj) n 则G中存在哈密顿回路.
（）
14
判断是否为哈密顿图
判断是否为(半)哈密顿图至今还是一个难题. (1) 观察出一条哈密顿回路或哈密顿通路. (2) 证明满足充分条件. (3) 证明不满足必要条件.
例4 证明右图(周游世界问题)是哈密顿图 证 abcdefghijklmnopqrsta 是一条哈密顿回路. 注意，此图不满足定理11.3推论的条件.
第十一章 几种特殊的图
主要内容 欧拉图 哈密顿图 二部图与匹配 平面图 着色
1
11.1 欧拉图
历史背景：哥尼斯堡七桥问题
2
欧拉图定义
定义11.1 图(无向图或有向图)中所有边恰好通过一次且经过 所有顶点的通路称为欧拉通路. 图中所有边恰好通过一次且 经过所有顶点的回路称为欧拉回路．具有欧拉回路的图称为 欧拉图. 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图． 说明： 规定平凡图为欧拉图. 环不影响图的欧拉性.
例
哈密顿图
哈密顿图
半哈密顿图
不是
10
无向哈密顿图的一个必要条件
定理11.2 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路 (1) p(CV1) |V1| (2) p(GV1) p(CV1) |V1| （因为CG）
离散数学--61图的基本概念30页PPT
AB=BA={(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)} AA={(a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (b,c), (c,c)} BB={(1,1), (1,2), (2,2)}
多重集合: 元素可以重复出现的集合
重复度: 元素在多重集合中出现的次数
出度列:4,0,2,1 入度列:1,3,1,2
课件
e1 v1 e2 v2
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4
e1
a
e4
e2
d
e6e3
b
e7
e5
c
12
实例
例1 下述2组数能成为无向图的度数列吗? (1) 3,3,3,4; (2) 1,2,2,3 解 (1) 不可能. 有奇数个奇数. (2) 能
课件
G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
e1 v1 e2 v2
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
(G)=4, (G)=1,
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边,课件e1是环
v4
9
顶点的度数(续)
设Байду номын сангаас=<V,E>为有向图, vV,
v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和
+=4, +=0, =3, =1, =5, =3
课件
e1
a
e4
e2
d
e6e3
b
e7
e5
c
10
握手定理
定理6.1 任何图(无向图和有向图)的所有顶点度数之和都 等于边数的2倍. 证 图中每条边(包括环)均有两个端点, 所以在计算各顶点 度数之和时, 每条边均提供2度, m条边共提供2m度.
多重集合: 元素可以重复出现的集合
重复度: 元素在多重集合中出现的次数
出度列:4,0,2,1 入度列:1,3,1,2
课件
e1 v1 e2 v2
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4
e1
a
e4
e2
d
e6e3
b
e7
e5
c
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实例
例1 下述2组数能成为无向图的度数列吗? (1) 3,3,3,4; (2) 1,2,2,3 解 (1) 不可能. 有奇数个奇数. (2) 能
课件
G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
e1 v1 e2 v2
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
(G)=4, (G)=1,
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边,课件e1是环
v4
9
顶点的度数(续)
设Байду номын сангаас=<V,E>为有向图, vV,
v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和
+=4, +=0, =3, =1, =5, =3
课件
e1
a
e4
e2
d
e6e3
b
e7
e5
c
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握手定理
定理6.1 任何图(无向图和有向图)的所有顶点度数之和都 等于边数的2倍. 证 图中每条边(包括环)均有两个端点, 所以在计算各顶点 度数之和时, 每条边均提供2度, m条边共提供2m度.
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3
实例
非二部图
非二部图
4
实例
例1 某中学有3个课外活动小组:数学组, 计算机组和生物 组. 有赵,钱,孙,李,周5名学生, 问分别在下述3种情况下, 能 否选出3人各任一个组的组长? (1) 赵, 钱为数学组成员, 赵,孙,李为计算机组成员, 孙,李, 周为生物组成员. (2) 赵为数学组成员, 钱,孙,李为计算机组成员, 钱,孙,李,周 为生物组成员. (3) 赵为数学组和计算机组成员, 钱,孙,李,周为生物组成员.
14
哈密顿图的必要条件
定理6.10 若无向图G=<V,E>是哈密顿图, 则对于V的任意 非空真子集V1均有 p(GV1)|V1|. 证 设C为G中一条哈密顿回路, 有p(CV1) |V1|. 又因为 CG, 故 p(GV1) p(CV1) |V1|. 例如 当r≠s时, Kr,s不是哈密顿图 推论 有割点的图不是哈密顿图
说明： 上述定义对无向图和有向图都适用 规定平凡图为欧拉图 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路 环不影响图的欧拉性
8
欧拉图判别定理
定理6.8 无向图G具有欧拉回路当且仅当G是连通的且无 奇度顶点. 无向图G具有欧拉通路、但没有欧拉回路当且仅当G是连 通的且有2个奇度顶点, 其余顶点均为偶度数的. 这2个奇 度顶点是每条欧拉通路的端点. 推论 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且无奇度顶点
17
存在哈密顿回路(通路)的充分条件
定理6.11 设G是n(n3)阶无向简单图, 若任意两个不相邻 的顶点的度数之和大于等于n1, 则G中存在哈密顿通路; 若任意两个不相邻的顶点的度数之和大于等于n, 则G中 存在哈密顿回路, 即G为哈密顿图.
推论 设G是n(n3)阶无向简单图, 若(G)n/2, 则G是哈密 顿图 当n3时, Kn是哈密顿图; 当r=s2时, Kr,s是哈密顿图. 定理6,12 设D是n(n2)阶有向图, 若略去所有边的方向后 所得无向图中含子图Kn, 则D中有哈密顿通路.
18
应用
例4 有7个人, A会讲英语, B会讲英语和汉语, C会讲英语、 意大利语和俄语, D会讲日语和汉语, E会讲德语和意大利 语, F会讲法语、日语和俄语, G会讲法语和德语. 问能否将 他们沿圆桌安排就坐成一圈, 使得每个人都能与两旁的人 交谈? 解 作无向图, 每人是一个顶点, G A 2人之间有边他们有共同的语言.
15
实例
例2 证明下述各图不是哈密顿图:
(a)
(b)
(c)
(c) 中存在哈密顿通路
16
实例
例3 证明右图不是哈密顿图 证 假设存在一条哈密顿回路, a,f,g是2度顶点, 边(a,c), (f,c)和 (g,c)必在这条哈密顿回路上, f d e a b c g
从而点c出现3次, 矛盾.
此外, 该图满足定理6.10的条件, 这表明此条件是必要、 而不充分的. 又, 该图有哈密顿通路.
6.4 几种特殊的图
• 6.4.1 二部图
– 二部图的充要条件
• 6.4.2 欧拉图
– 欧拉回路(通路)及其存在的充要条件
• 6.4.3 哈密顿图
– 哈密顿回路(通路)及其存在的必要条件和充 分条件
• 6.4.4 平面图
1
二部图
定义6.19 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 分成V1 和 V2 使得 V1V2=V, V1V2=, 且G中的每条边的两个端点都一个 属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G是简单图, 且V1中每个顶 点均与V2中每个顶点都相邻, 则称G为完全二部图, 记为 Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|.
5
实例(续)
解
数 计 生 数 计 生 数 计 生
赵 钱 孙 李 周
赵 钱 孙 李 周
赵 钱 孙 李 周有多种方案, (3) 不可能
6
欧拉图
哥尼斯堡七桥
7
欧拉图
欧拉通路:经过所有边且每条边恰好经过一次的通路 欧拉回路:经过所有边且每条边恰好经过一次的回路 欧拉图:有欧拉回路的图
9
实例
无欧拉通路
欧拉图
欧拉图
有欧拉通路 非欧拉图
有欧拉通路 非欧拉图
无欧拉通路
10
欧拉图判别定理(续)
定理6.9 有向图D有欧拉回路当且仅当D是连通的且所有 顶点的入度等于出度. 有向图D有欧拉通路、但没有欧拉回路当且仅当D是连通 的且有一个顶点的入度比出度大1、一个顶点的入度比出 度小1, 其余的顶点的入度等于出度. 推论 有向图D是欧拉图当且仅当D是连通的且所有顶点的 入度等于出度.
K23
K33
2
二部图的判别定理
定理6.7 无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇长度 的回路 证 必要性. 设G=<V1,V2,E>是二部图, 每条边只能从V1到 V2, 或从V2到V1, 故任何回路必为偶长度. 充分性. 不妨设G至少有一条边且连通. 取任一顶点u, 令 V1={v | vV d(v,u)为偶数}, V2={v | vV d(v,u)为奇数} 则V1V2=V, V1V2=. 先证V1中任意两点不相邻. 假设存 在s,tV1, e=(s,t)E. 设Γ1, Γ2分别是u到s,t的短程线, 则 Γ1eΓ2是一条回路, 其长度为奇数, 与假设矛盾. 同理可 证V2中任意两点不相邻.
11
实例
欧拉图
无欧拉通路
无欧拉通路
有欧拉通路 无欧拉回路
无欧拉通路
有欧拉通路 无欧拉回路
12
周游世界问题(W.Hamilton, 1859年)
13
哈密顿回路与哈密顿通路
哈密顿通路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路. 哈密顿回路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的回路. 哈密顿图: 具有哈密顿回路的图. 说明： 哈密顿通路是初级通路 哈密顿回路是初级回路 有哈密顿通路不一定有哈密顿回路 环与平行边不影响图的哈密顿性
ACEGFDBA是一条哈密顿回路, 按此顺序就坐即可. F E D C
19
B
实例
非二部图
非二部图
4
实例
例1 某中学有3个课外活动小组:数学组, 计算机组和生物 组. 有赵,钱,孙,李,周5名学生, 问分别在下述3种情况下, 能 否选出3人各任一个组的组长? (1) 赵, 钱为数学组成员, 赵,孙,李为计算机组成员, 孙,李, 周为生物组成员. (2) 赵为数学组成员, 钱,孙,李为计算机组成员, 钱,孙,李,周 为生物组成员. (3) 赵为数学组和计算机组成员, 钱,孙,李,周为生物组成员.
14
哈密顿图的必要条件
定理6.10 若无向图G=<V,E>是哈密顿图, 则对于V的任意 非空真子集V1均有 p(GV1)|V1|. 证 设C为G中一条哈密顿回路, 有p(CV1) |V1|. 又因为 CG, 故 p(GV1) p(CV1) |V1|. 例如 当r≠s时, Kr,s不是哈密顿图 推论 有割点的图不是哈密顿图
说明： 上述定义对无向图和有向图都适用 规定平凡图为欧拉图 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路 环不影响图的欧拉性
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欧拉图判别定理
定理6.8 无向图G具有欧拉回路当且仅当G是连通的且无 奇度顶点. 无向图G具有欧拉通路、但没有欧拉回路当且仅当G是连 通的且有2个奇度顶点, 其余顶点均为偶度数的. 这2个奇 度顶点是每条欧拉通路的端点. 推论 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且无奇度顶点
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存在哈密顿回路(通路)的充分条件
定理6.11 设G是n(n3)阶无向简单图, 若任意两个不相邻 的顶点的度数之和大于等于n1, 则G中存在哈密顿通路; 若任意两个不相邻的顶点的度数之和大于等于n, 则G中 存在哈密顿回路, 即G为哈密顿图.
推论 设G是n(n3)阶无向简单图, 若(G)n/2, 则G是哈密 顿图 当n3时, Kn是哈密顿图; 当r=s2时, Kr,s是哈密顿图. 定理6,12 设D是n(n2)阶有向图, 若略去所有边的方向后 所得无向图中含子图Kn, 则D中有哈密顿通路.
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应用
例4 有7个人, A会讲英语, B会讲英语和汉语, C会讲英语、 意大利语和俄语, D会讲日语和汉语, E会讲德语和意大利 语, F会讲法语、日语和俄语, G会讲法语和德语. 问能否将 他们沿圆桌安排就坐成一圈, 使得每个人都能与两旁的人 交谈? 解 作无向图, 每人是一个顶点, G A 2人之间有边他们有共同的语言.
15
实例
例2 证明下述各图不是哈密顿图:
(a)
(b)
(c)
(c) 中存在哈密顿通路
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实例
例3 证明右图不是哈密顿图 证 假设存在一条哈密顿回路, a,f,g是2度顶点, 边(a,c), (f,c)和 (g,c)必在这条哈密顿回路上, f d e a b c g
从而点c出现3次, 矛盾.
此外, 该图满足定理6.10的条件, 这表明此条件是必要、 而不充分的. 又, 该图有哈密顿通路.
6.4 几种特殊的图
• 6.4.1 二部图
– 二部图的充要条件
• 6.4.2 欧拉图
– 欧拉回路(通路)及其存在的充要条件
• 6.4.3 哈密顿图
– 哈密顿回路(通路)及其存在的必要条件和充 分条件
• 6.4.4 平面图
1
二部图
定义6.19 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 分成V1 和 V2 使得 V1V2=V, V1V2=, 且G中的每条边的两个端点都一个 属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G是简单图, 且V1中每个顶 点均与V2中每个顶点都相邻, 则称G为完全二部图, 记为 Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|.
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实例(续)
解
数 计 生 数 计 生 数 计 生
赵 钱 孙 李 周
赵 钱 孙 李 周
赵 钱 孙 李 周有多种方案, (3) 不可能
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欧拉图
哥尼斯堡七桥
7
欧拉图
欧拉通路:经过所有边且每条边恰好经过一次的通路 欧拉回路:经过所有边且每条边恰好经过一次的回路 欧拉图:有欧拉回路的图
9
实例
无欧拉通路
欧拉图
欧拉图
有欧拉通路 非欧拉图
有欧拉通路 非欧拉图
无欧拉通路
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欧拉图判别定理(续)
定理6.9 有向图D有欧拉回路当且仅当D是连通的且所有 顶点的入度等于出度. 有向图D有欧拉通路、但没有欧拉回路当且仅当D是连通 的且有一个顶点的入度比出度大1、一个顶点的入度比出 度小1, 其余的顶点的入度等于出度. 推论 有向图D是欧拉图当且仅当D是连通的且所有顶点的 入度等于出度.
K23
K33
2
二部图的判别定理
定理6.7 无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇长度 的回路 证 必要性. 设G=<V1,V2,E>是二部图, 每条边只能从V1到 V2, 或从V2到V1, 故任何回路必为偶长度. 充分性. 不妨设G至少有一条边且连通. 取任一顶点u, 令 V1={v | vV d(v,u)为偶数}, V2={v | vV d(v,u)为奇数} 则V1V2=V, V1V2=. 先证V1中任意两点不相邻. 假设存 在s,tV1, e=(s,t)E. 设Γ1, Γ2分别是u到s,t的短程线, 则 Γ1eΓ2是一条回路, 其长度为奇数, 与假设矛盾. 同理可 证V2中任意两点不相邻.
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实例
欧拉图
无欧拉通路
无欧拉通路
有欧拉通路 无欧拉回路
无欧拉通路
有欧拉通路 无欧拉回路
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周游世界问题(W.Hamilton, 1859年)
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哈密顿回路与哈密顿通路
哈密顿通路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路. 哈密顿回路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的回路. 哈密顿图: 具有哈密顿回路的图. 说明： 哈密顿通路是初级通路 哈密顿回路是初级回路 有哈密顿通路不一定有哈密顿回路 环与平行边不影响图的哈密顿性
ACEGFDBA是一条哈密顿回路, 按此顺序就坐即可. F E D C
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B