工程力学第10章弯曲内力
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M B左
3 M B (左侧) FAy 4 M 0 q 3 5KN.m 2
M 0 8KN.m
P=2KN q=2KN/m
A D
1m 1m 2m
B
C
1m
FBy
FAy
截面： B右
1m
与 B 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有： 左
FQB右 FQB左 FBy 3 7 4KN
NB
对称弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都 在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中 心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条 平面曲线。
10.2
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x) — 分布力
1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
M
A
0
M e FA l 0
Me FB l
Me FA l
2、 列剪力方程和弯矩方程
a A FA
x
b C l
B FB
剪力方程无需分段：
A
FA
x
Me 0 x l FS x FA M(x) M(x) l
B FS(x) FB
FS(x)
第10章 弯曲内力
10.1 对称弯曲的概念
一、弯曲实例 工厂厂房的天车大梁：
F F
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
RA
q
P M
三、对称弯曲的概念： 平面弯曲： 杆发生弯曲变形后，轴线仍和外力在同一平面内
a
qa
由 M C 0, 得到：
（剪力FQ 的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
M C FAy 2a 2qa a M1 0 2 M C FAy 2a 2qa a M1 2qa
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
如以右侧梁作为研究对象，则：
M 0 8KN.m
P=2KN q=2KN/m
A
F
E
1m 1m 2m
B
D
1m
FBy
1m
FAy
因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界 点为各段梁的控制截面。
四、剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿 梁轴线的变化情况。
FQ
(+) x
(-)
注意：必须标明控制 截面上的内力值
FQc q 2a FBy
qa
Mc
q
M 2 2qa2
B a
M C FBy 2a 2qa a M 2 C FQc 2 2qa
FBy
为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。
M1 2qa
2
q
M 2 2qa2
B
A a
C
a 4a
FAy
FBy
取左段梁为研究对象:
L
（L称为梁的跨长）
L
10.3
剪力与弯矩
一、梁的内力—剪力与弯矩 解： (1)、根据平衡条件求支座反力 m F Fa Fb b a FBy FAy , L L (2)、截取m-m截面左段。 A B m 剪力FQ——使截面不产生移动 x L 弯矩M ——使截面不产生转动
FAy
A o x
m
FBy
M Fi () Fi () M i (
i 1 i 1 i 1
n
n
n
) M i (
i 1
n
)
M Fi () Fi () M i (
i 1 i 1 i 1
n
n
n
) M i (
i 1
n
)
若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使 该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产 生负号的弯矩;在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该 截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该 截面上产生负号的弯矩。 (5)集中力作用的截面上剪力有“跳跃“（突变），其 跳跃的值就是这个集中力的大小；集中力偶作用的截面上弯 矩有”跳跃”，其跳跃的值就是这个集中力偶的大小．
取右段梁为研究对象:
FQc FAy q 2a qa
FQc q 2a FBy
qa
M C FAy 2a 2qa a M 1
2qa
2
M C FBy 2a 2qa a M 2 2 2qa
四、小结(基本规律) （1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离 体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转 向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。 （2）在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FQ 、 M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方 向（转向）是正确的，解得的FQ、M即为正的剪力和弯矩。 若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的， 其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上 假设的内力方向改过来）。
例2、一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M 0 8KN.m
P=2KN
q=2KN/m
A D B
FBy
1m 2m 1m 1m
C
FAy
解：
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7 KN
FAy 3KN
B
2、求B、D截面上的内力?
求D左、D右、B左、B右截面上的内力。
M1 RA 2 0.8 0.5 1.5 2 0.8 0.5 2.6 (kN m) 2--2截面右段左侧截面： RB q
Fs1
Fs 2 1.2 1.5 2.9 1.1(kN )
M 2 RB 1.5 1.2 1.5 0.75
M2
Fs 2
FS
* 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有转 折
Fb l
x
Fab l
x
M
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
例7、图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。
a A FA 解: 1、求支反力
Me C l
b
B FB
Fa a x l M(x) FS x FB l Fa l x M x FB (l x) FS(x) l a x l
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
M
(+)
(-) x
MA
FAY
例4、列出梁内力方程并画出内力图。
A
L
F B
解：①求支反力
FAY F ; M A FL
x
F(x) F
x
②写出内力方程
Fs ( x) FAY F
M ( x) FAY x M A F ( x L)
(0 x l )
(0 x l )
M 0 8KN.m
P=2KN q=2KN/m
A D B
FBy
1m 2m 1m 1m
C
FAy
1m
FBy 7 KN
FAy 3KN
D左截面： FQD Fy (左侧) FAy 3KN 左
M D左 M D (左侧) FAy 1 3KN.m
M 0 8KN.m
q=2KN/m
C
a a 4a
FAy
FBy
解：1、根据平衡条件求支座反力
M
A
0 0
FBy 3qa FAy qa
M
B
2、求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2
A
q
Mc
CF
Qc
由 Fy 0, 得到：
FAy q 2a FQc 0 FQc FAy q 2a
FAy
由 Fy 0,
得到：
M
FAy
FQ
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Fb FQ FAy L 由 M o 0, 得到： Fb M FAy x x L
二、剪力、弯矩的正、负号规定：
符号规定
左上右下，剪力为正
Q
Q
（＋）
M
（－）
左顺右逆，弯矩为正
M
三、求指定截面上的剪力和弯矩
例1、一简支梁受力如图所示。 试求C截面（跨中截面）上的内力。 2 M 2 2qa 2 M1 2qa q A B
弯矩方程——两段：
Me 0 x a AC段： M x FA x x l Me l x a x l CB段： M x FA x M e l
3、作剪力图和弯矩图
（3）梁内任一截面上的剪力FQ的大小，等于这截面左 边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。
FQ Fi () Fi ()
i 1 i 1
n
n
若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会 使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上 产生负号的剪力。 （4）梁内任一截面上的弯矩M的大小，等于这截面左边 （或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的 代数和。
3m 2 1.5m
M RB
B
0, 1.2 31.5 0.8 4.5 RA 6 0
2m
0 .8
1
M1
RA 1.5 (kN ), RB 2.9 (kN )
(2) 1-1截面左段右侧截面：
RA
Fs1 RA 0.8 1.5 0.8 0.7 (kN )
FQ FQ ( x),
M M ( x)
称为剪力方程和弯矩方程
二、内力与外力的相依关系
某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的 外力相平衡；
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变 化；
三、控制截面的概念 所谓控制截面,即外力规律发生变化的截面—集中力、集中 力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称
例6、图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩 图。 a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA l
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
M(x) FS(x)
M(x) F x F qx ql qx S A
3、作剪力图和弯矩图
q l
A FS ql 2
ql B FS x 2 qx
qlx qx2 M x 2 2
FS,max
ql2 8
M l/2
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
ql 2
ql 2 8
M max
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA
FS
Fb l
Fb FS1 x l B F x Fa S2 l FB Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l
x
Fab l
Fb l
x
M
a
F
C
l
b
A
x Fb l
M(x)
③根据方程画内力图
x
FL
例5、图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图
和弯矩图。
q B
A
l
FA x FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
ql FA FB 2
q A FA
x
2 x qlx qx2 FS(x) M x FA x qx 2 2 2
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5KN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。
0.8kN 1
A 1.5m 1.5m RA
2
1.2kN/m 例3、梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Fy 0, RA RB 0.8 1.2 3 0
2.9 1.5 1.2 1.5 0.75
3.0(kN m)
10.4
剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
一、剪力方程与弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。
M 0 8KN.m
P=2KN q=2KN/m
A E
1m 1m
F
C
2m
B
1m 1m
D
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
P=2KN
A D
1m 1m 2m
B
C
1m 1m
FBy
FAy
D右截面： FQD右 Fy (右侧) FAy 3KN
M D右 M D (右侧) FAy 1 M o 3 8 5KN m
左
B左截面： FQB Fy (左侧) FAy q 3 3KN
3 M B (左侧) FAy 4 M 0 q 3 5KN.m 2
M 0 8KN.m
P=2KN q=2KN/m
A D
1m 1m 2m
B
C
1m
FBy
FAy
截面： B右
1m
与 B 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有： 左
FQB右 FQB左 FBy 3 7 4KN
NB
对称弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都 在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中 心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条 平面曲线。
10.2
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x) — 分布力
1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
M
A
0
M e FA l 0
Me FB l
Me FA l
2、 列剪力方程和弯矩方程
a A FA
x
b C l
B FB
剪力方程无需分段：
A
FA
x
Me 0 x l FS x FA M(x) M(x) l
B FS(x) FB
FS(x)
第10章 弯曲内力
10.1 对称弯曲的概念
一、弯曲实例 工厂厂房的天车大梁：
F F
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
RA
q
P M
三、对称弯曲的概念： 平面弯曲： 杆发生弯曲变形后，轴线仍和外力在同一平面内
a
qa
由 M C 0, 得到：
（剪力FQ 的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
M C FAy 2a 2qa a M1 0 2 M C FAy 2a 2qa a M1 2qa
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
如以右侧梁作为研究对象，则：
M 0 8KN.m
P=2KN q=2KN/m
A
F
E
1m 1m 2m
B
D
1m
FBy
1m
FAy
因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界 点为各段梁的控制截面。
四、剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿 梁轴线的变化情况。
FQ
(+) x
(-)
注意：必须标明控制 截面上的内力值
FQc q 2a FBy
qa
Mc
q
M 2 2qa2
B a
M C FBy 2a 2qa a M 2 C FQc 2 2qa
FBy
为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。
M1 2qa
2
q
M 2 2qa2
B
A a
C
a 4a
FAy
FBy
取左段梁为研究对象:
L
（L称为梁的跨长）
L
10.3
剪力与弯矩
一、梁的内力—剪力与弯矩 解： (1)、根据平衡条件求支座反力 m F Fa Fb b a FBy FAy , L L (2)、截取m-m截面左段。 A B m 剪力FQ——使截面不产生移动 x L 弯矩M ——使截面不产生转动
FAy
A o x
m
FBy
M Fi () Fi () M i (
i 1 i 1 i 1
n
n
n
) M i (
i 1
n
)
M Fi () Fi () M i (
i 1 i 1 i 1
n
n
n
) M i (
i 1
n
)
若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使 该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产 生负号的弯矩;在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该 截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该 截面上产生负号的弯矩。 (5)集中力作用的截面上剪力有“跳跃“（突变），其 跳跃的值就是这个集中力的大小；集中力偶作用的截面上弯 矩有”跳跃”，其跳跃的值就是这个集中力偶的大小．
取右段梁为研究对象:
FQc FAy q 2a qa
FQc q 2a FBy
qa
M C FAy 2a 2qa a M 1
2qa
2
M C FBy 2a 2qa a M 2 2 2qa
四、小结(基本规律) （1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离 体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转 向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。 （2）在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FQ 、 M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方 向（转向）是正确的，解得的FQ、M即为正的剪力和弯矩。 若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的， 其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上 假设的内力方向改过来）。
例2、一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M 0 8KN.m
P=2KN
q=2KN/m
A D B
FBy
1m 2m 1m 1m
C
FAy
解：
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7 KN
FAy 3KN
B
2、求B、D截面上的内力?
求D左、D右、B左、B右截面上的内力。
M1 RA 2 0.8 0.5 1.5 2 0.8 0.5 2.6 (kN m) 2--2截面右段左侧截面： RB q
Fs1
Fs 2 1.2 1.5 2.9 1.1(kN )
M 2 RB 1.5 1.2 1.5 0.75
M2
Fs 2
FS
* 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有转 折
Fb l
x
Fab l
x
M
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
例7、图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。
a A FA 解: 1、求支反力
Me C l
b
B FB
Fa a x l M(x) FS x FB l Fa l x M x FB (l x) FS(x) l a x l
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
M
(+)
(-) x
MA
FAY
例4、列出梁内力方程并画出内力图。
A
L
F B
解：①求支反力
FAY F ; M A FL
x
F(x) F
x
②写出内力方程
Fs ( x) FAY F
M ( x) FAY x M A F ( x L)
(0 x l )
(0 x l )
M 0 8KN.m
P=2KN q=2KN/m
A D B
FBy
1m 2m 1m 1m
C
FAy
1m
FBy 7 KN
FAy 3KN
D左截面： FQD Fy (左侧) FAy 3KN 左
M D左 M D (左侧) FAy 1 3KN.m
M 0 8KN.m
q=2KN/m
C
a a 4a
FAy
FBy
解：1、根据平衡条件求支座反力
M
A
0 0
FBy 3qa FAy qa
M
B
2、求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2
A
q
Mc
CF
Qc
由 Fy 0, 得到：
FAy q 2a FQc 0 FQc FAy q 2a
FAy
由 Fy 0,
得到：
M
FAy
FQ
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Fb FQ FAy L 由 M o 0, 得到： Fb M FAy x x L
二、剪力、弯矩的正、负号规定：
符号规定
左上右下，剪力为正
Q
Q
（＋）
M
（－）
左顺右逆，弯矩为正
M
三、求指定截面上的剪力和弯矩
例1、一简支梁受力如图所示。 试求C截面（跨中截面）上的内力。 2 M 2 2qa 2 M1 2qa q A B
弯矩方程——两段：
Me 0 x a AC段： M x FA x x l Me l x a x l CB段： M x FA x M e l
3、作剪力图和弯矩图
（3）梁内任一截面上的剪力FQ的大小，等于这截面左 边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。
FQ Fi () Fi ()
i 1 i 1
n
n
若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会 使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上 产生负号的剪力。 （4）梁内任一截面上的弯矩M的大小，等于这截面左边 （或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的 代数和。
3m 2 1.5m
M RB
B
0, 1.2 31.5 0.8 4.5 RA 6 0
2m
0 .8
1
M1
RA 1.5 (kN ), RB 2.9 (kN )
(2) 1-1截面左段右侧截面：
RA
Fs1 RA 0.8 1.5 0.8 0.7 (kN )
FQ FQ ( x),
M M ( x)
称为剪力方程和弯矩方程
二、内力与外力的相依关系
某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的 外力相平衡；
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变 化；
三、控制截面的概念 所谓控制截面,即外力规律发生变化的截面—集中力、集中 力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称
例6、图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩 图。 a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA l
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
M(x) FS(x)
M(x) F x F qx ql qx S A
3、作剪力图和弯矩图
q l
A FS ql 2
ql B FS x 2 qx
qlx qx2 M x 2 2
FS,max
ql2 8
M l/2
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
ql 2
ql 2 8
M max
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA
FS
Fb l
Fb FS1 x l B F x Fa S2 l FB Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l
x
Fab l
Fb l
x
M
a
F
C
l
b
A
x Fb l
M(x)
③根据方程画内力图
x
FL
例5、图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图
和弯矩图。
q B
A
l
FA x FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
ql FA FB 2
q A FA
x
2 x qlx qx2 FS(x) M x FA x qx 2 2 2
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5KN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。
0.8kN 1
A 1.5m 1.5m RA
2
1.2kN/m 例3、梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Fy 0, RA RB 0.8 1.2 3 0
2.9 1.5 1.2 1.5 0.75
3.0(kN m)
10.4
剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
一、剪力方程与弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。
M 0 8KN.m
P=2KN q=2KN/m
A E
1m 1m
F
C
2m
B
1m 1m
D
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
P=2KN
A D
1m 1m 2m
B
C
1m 1m
FBy
FAy
D右截面： FQD右 Fy (右侧) FAy 3KN
M D右 M D (右侧) FAy 1 M o 3 8 5KN m
左
B左截面： FQB Fy (左侧) FAy q 3 3KN