工程力学第10章弯曲内力
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工程力学课件_10弯曲内力.
4
力学模型: F1
q
F2
M
纵向对称面
构件特征： 等截面直杆（等直梁）。
受力特点： 外力或外力偶矩矢垂直于梁的轴线。
变形特点: 轴线变成了纵向对称面内的平面曲线。 横截面发生了相对转动。
5
4. 工程实例
6
弯曲变形工程实例
7
二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M(x)
q(x) FS(x)+dFS(x) A
FS(x) dx M(x)+d M(x)
弯矩与荷载集度的关系是：
dM 2(x) dx2
q(x)
28
二、剪力、弯矩与外力间的关系
无外力段 外 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
F C
集中力偶
M
C
水平直线
不变
M 抛物线 突变
CB 水平线 直线
x
(3)作FS 、M图：（从左至右）
qa/3
5a
25qa 2
M
25qa2 / 18 4qa2/3
FS 0 x 3
M 18
qa2/3 x (4)求FS 、M最大值：
5qa FS max 3
M1 qLx
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL 1
Fy qL FS2 q(x a) 0
1a
2q 2b
FS 2 q(x a L)
y x 图（a）
MB (Fi ) 0 ,
力学模型: F1
q
F2
M
纵向对称面
构件特征： 等截面直杆（等直梁）。
受力特点： 外力或外力偶矩矢垂直于梁的轴线。
变形特点: 轴线变成了纵向对称面内的平面曲线。 横截面发生了相对转动。
5
4. 工程实例
6
弯曲变形工程实例
7
二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M(x)
q(x) FS(x)+dFS(x) A
FS(x) dx M(x)+d M(x)
弯矩与荷载集度的关系是：
dM 2(x) dx2
q(x)
28
二、剪力、弯矩与外力间的关系
无外力段 外 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
F C
集中力偶
M
C
水平直线
不变
M 抛物线 突变
CB 水平线 直线
x
(3)作FS 、M图：（从左至右）
qa/3
5a
25qa 2
M
25qa2 / 18 4qa2/3
FS 0 x 3
M 18
qa2/3 x (4)求FS 、M最大值：
5qa FS max 3
M1 qLx
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL 1
Fy qL FS2 q(x a) 0
1a
2q 2b
FS 2 q(x a L)
y x 图（a）
MB (Fi ) 0 ,
工程力学：10第十章 弯曲变形
1、积分法的步骤
EIw M (x)
EIw EI M (x)dx C
EIw M (x)dx C dx D
或 EIw M (x)dxdx Cx D
积这个条件称为边界条件。
2、举例
以A为原点，取直角坐标系，x 轴向右，y轴向上。
(3l
x)
EIw Plx P x2 C 2
EIw Pl x2 P x3 Cx D 26
（6）求最大转角和最大挠度
B
Pl 2 2EI
,即
Pl 2
max 2EI
wB
Pl 3 3EI
,即
w Pl 3 max 3EI
说明：转角为正，说 明横截面绕中性轴顺 时针转动；挠度为正， 说明B点位移向下。
E 210GPa 21106 N/cm2
由表6-1查出，因P1在C处引起的 挠度和在B引起的转角（图c）为：
yCP1
P1a 2 3EI
(l
a)
2000 202 3 21106 188 (40
20)
40.6 104 cm
BP1
P1al 3EI
200 20 40 3 21 106 188
ql 12
x
3
q x4 ql3 24 24
x
qx 24EI
l3 2lx2
x3
(f)
（5）求最大转角和最大挠度
由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将x=l/2代入（f），得：
wC
q l 2
24EI
l
3
l3 2
l3 8
5ql 4 384EI
故
y 5ql4
max 384EI
又由图6-9可见，在两支座处横截面的转角相等，均为最大。 由式（e）
EIw M (x)
EIw EI M (x)dx C
EIw M (x)dx C dx D
或 EIw M (x)dxdx Cx D
积这个条件称为边界条件。
2、举例
以A为原点，取直角坐标系，x 轴向右，y轴向上。
(3l
x)
EIw Plx P x2 C 2
EIw Pl x2 P x3 Cx D 26
（6）求最大转角和最大挠度
B
Pl 2 2EI
,即
Pl 2
max 2EI
wB
Pl 3 3EI
,即
w Pl 3 max 3EI
说明：转角为正，说 明横截面绕中性轴顺 时针转动；挠度为正， 说明B点位移向下。
E 210GPa 21106 N/cm2
由表6-1查出，因P1在C处引起的 挠度和在B引起的转角（图c）为：
yCP1
P1a 2 3EI
(l
a)
2000 202 3 21106 188 (40
20)
40.6 104 cm
BP1
P1al 3EI
200 20 40 3 21 106 188
ql 12
x
3
q x4 ql3 24 24
x
qx 24EI
l3 2lx2
x3
(f)
（5）求最大转角和最大挠度
由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将x=l/2代入（f），得：
wC
q l 2
24EI
l
3
l3 2
l3 8
5ql 4 384EI
故
y 5ql4
max 384EI
又由图6-9可见，在两支座处横截面的转角相等，均为最大。 由式（e）
弯曲内力
（2）求剪力
5 1 qa Q2 qa RB qa ( qa) 4 4 5 Q3 qa RB qa 4
5 Q4 qa RB RD qa 4 （3）求弯矩 1 1 M 1 qa a qa 2 2 2 1 1 M 2 qa a RB 0 qa 2 2 2 3 M 3 qa a R a B 2
弯矩 —— 作用面与梁截面垂直的内力偶矩，用“ M ”表示。 剪力、弯矩的数值：
Q
RB
剪力 —— 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上投影代数和；
弯矩 —— 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面形心矩的代数和；
二、剪力和弯矩的正负号规定
—— 按截面处的梁微段的变形规定 1. 剪力的正负 使梁微段发生顺时针转动的剪 力Q为正，反之为负。 截面左侧：向下的Q为正，向上的Q为负； 截面右侧：向上的Q为正，向下的Q为负。
剪力： 弯矩： 取左半部分 顺时针转向的外力偶引起正的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负的弯矩 取右半部分 逆时针转向的外力偶引起正的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负的弯矩
M2
RA
Q2
M1
Q1
RB
例： 图示外伸梁，试求指定截面的弯矩。
解： （1）先求约束反力
M B 0, Y 0,
1 2 qa m RD 2a 0 2 qa RB RD 0
杆件的轴线由直线变成曲线， 任意两相邻截面绕垂直于轴线的 直线发生转动。 —— 杆件的这种变形称为弯曲变形。 梁：—— 以弯曲变形为主的杆件
P
P
P
(3) 平面弯曲概念 梁的截面对称轴与轴线构成的平面 —— 称为纵向对称平面。 若梁上的外载都作用在此对称平面内， 则梁弯曲变形后的轴线为纵向对称平面内 的平面曲线。 —— 这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。 发生平面弯曲的条件： 截面具有纵向对称平面； 外力作用于纵向对称平面内。
工程力学精品课程-梁的弯曲内力PPT课件
BB
A+
A 1m C
C+
D
D+
得 R=4.75 （KN） 2)用截面法求各段梁关键截面的内力 CD BD
1m
1m
段
AC
横截面
Q
A+
4.75(KN)
C+
-5.25(KN)
B0
D+
1(KN)
段
AC
CD
BD
横截面
M
A+
0
C
C
D
B0
D
-0.5(KNm)
4.75(KNm) 4.75(KNm) -0.5(KNm)
由平衡方程确定剪力的大小及实际方向
F R q AC Q 0
Y A
Q 10 － 20 0 . 2 6 ( KN ) （C截面上剪力的实际方向向下）
q A ＲALeabharlann C M Q又由平衡条件m ( F ) 0
C
可知
C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶,称为弯矩，以M表示。
x m R x qx M 0 o A 2
x ql q2 M R x qx x x A 2 2 2
由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图
例7—4．图示简支梁，在截面C处受集中力P作用，试作梁的剪力图与弯矩图。 解： 由平衡方程求支反力：
ＲA a x1 l P C b x2 ＲB B
第七章
梁 的 弯 曲 内 力
Shear Forces and Bending Moments
1 弯曲的相关概念
p m q 对称轴
外载荷矢量垂直于杆件轴线时，杆 件将产生弯曲变形 以弯曲为主要变形的构件，称为梁
A+
A 1m C
C+
D
D+
得 R=4.75 （KN） 2)用截面法求各段梁关键截面的内力 CD BD
1m
1m
段
AC
横截面
Q
A+
4.75(KN)
C+
-5.25(KN)
B0
D+
1(KN)
段
AC
CD
BD
横截面
M
A+
0
C
C
D
B0
D
-0.5(KNm)
4.75(KNm) 4.75(KNm) -0.5(KNm)
由平衡方程确定剪力的大小及实际方向
F R q AC Q 0
Y A
Q 10 － 20 0 . 2 6 ( KN ) （C截面上剪力的实际方向向下）
q A ＲALeabharlann C M Q又由平衡条件m ( F ) 0
C
可知
C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶,称为弯矩，以M表示。
x m R x qx M 0 o A 2
x ql q2 M R x qx x x A 2 2 2
由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图
例7—4．图示简支梁，在截面C处受集中力P作用，试作梁的剪力图与弯矩图。 解： 由平衡方程求支反力：
ＲA a x1 l P C b x2 ＲB B
第七章
梁 的 弯 曲 内 力
Shear Forces and Bending Moments
1 弯曲的相关概念
p m q 对称轴
外载荷矢量垂直于杆件轴线时，杆 件将产生弯曲变形 以弯曲为主要变形的构件，称为梁
弯曲内力
q(x)
C Q(x) dx Q(x)+dQ(x) y A x dx q(x) x M(x) M(x)+dM(x)
dQ x qx dx
dM x Qx dx
d 2 M x qx dx2
（2）Q图M 图的变化规律；
q（x）=0； Q(x)图是水平直线 Q（x）>0 M图是斜直线， （＼）
2
2截面在C截面右边，距离C截面是无穷 小。3，4，5截面均类似。 【解】（1）求解支座反力； RA=15KN（↑）RB=12KN（↑） （2）用计算规律计算各指定截面剪力，弯矩；
15KN
6KN/m
30KNm 1 4 5 D B
RA=15KN RB=12KN
A RA
3
2
2m
C
2m
2m
RB
Q1=15－6×2－15＝－12KN； М1＝15×3－6×2×2－15×1＝6KNm; Q2＝15－6×2－15=－12KN M2＝15×2－6×2×1=18KNm Ｑ3＝15－6×2=3KN M3＝15×2－6×2×1=18KNm Ｑ4＝－12KN； M4＝12×2－30=－6KNm Q5＝－12KN； M5＝12×2=24KNm
y
x A K RA a K
P b
C B
aP RB L （2）计算K-K截面内力
∑Y=0； RA －Q＝0;
bP Q = RA L
bP RA L x
L
M
RB
Q
∑МK=0; M－ｘRA＝0；
bP x M＝RA· ｘ L
【例】习题6.7 计算1-1截面的剪力和弯矩。
4KNm
1 A C1 1m 1m 8KN B RB
C Q(x) dx Q(x)+dQ(x) y A x dx q(x) x M(x) M(x)+dM(x)
dQ x qx dx
dM x Qx dx
d 2 M x qx dx2
（2）Q图M 图的变化规律；
q（x）=0； Q(x)图是水平直线 Q（x）>0 M图是斜直线， （＼）
2
2截面在C截面右边，距离C截面是无穷 小。3，4，5截面均类似。 【解】（1）求解支座反力； RA=15KN（↑）RB=12KN（↑） （2）用计算规律计算各指定截面剪力，弯矩；
15KN
6KN/m
30KNm 1 4 5 D B
RA=15KN RB=12KN
A RA
3
2
2m
C
2m
2m
RB
Q1=15－6×2－15＝－12KN； М1＝15×3－6×2×2－15×1＝6KNm; Q2＝15－6×2－15=－12KN M2＝15×2－6×2×1=18KNm Ｑ3＝15－6×2=3KN M3＝15×2－6×2×1=18KNm Ｑ4＝－12KN； M4＝12×2－30=－6KNm Q5＝－12KN； M5＝12×2=24KNm
y
x A K RA a K
P b
C B
aP RB L （2）计算K-K截面内力
∑Y=0； RA －Q＝0;
bP Q = RA L
bP RA L x
L
M
RB
Q
∑МK=0; M－ｘRA＝0；
bP x M＝RA· ｘ L
【例】习题6.7 计算1-1截面的剪力和弯矩。
4KNm
1 A C1 1m 1m 8KN B RB
第10章 弯曲内力
6.04
－
左图中 FS=0 的截面上，弯矩 有极值，其他的例子中也总 结了一些规律，这都说明载 荷、剪力、弯矩之间存在着 一定的关系； 找到这些关系，对我们方便 快速地画出剪力弯矩图具有 很大的益处。
x
6
0 M
4
+
7
x
一、基本原理
如图所示简支梁受到载荷的作用： 建立坐标系
y
F1
F2
x
取其中一微段d x q(x)为连续函数，规定向上为正
dx
FS
x
q(x) dx
M
M+dM
FS+dFS
将该微段取出，加以受力分析
q
dx FS M C M+dM Fs+dFS q
若梁上某段作用一向下（上）的均布载荷，则在剪力图上 该段的左侧截面到右侧截面发生向下（上）的线性渐变，渐 变总的值等于该均布载荷在此梁段上的总的作用力。
ql2/8
例10-6 建立以下外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯 矩图（已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶M=3kNm）
q C A 2m
M
M
M
M
FS
FS F S FS为正 FS为负
FS
M为正 M为负
上面的约定形式上比较繁琐，在实际求解问题中，可按照以 下方法预先设臵剪力和弯矩为正。
m m l1 F
M
l
M
B
FS
剪力和弯矩均按图示设为正。
取截面左右两侧的部分构件计算， 所得到的内力大小相等，方向相 剪力和弯矩均按图示设为正。 反，但符号是一样的。
[2]取CA段中任意截面的左侧 部分加以分析:
q C
q
－
左图中 FS=0 的截面上，弯矩 有极值，其他的例子中也总 结了一些规律，这都说明载 荷、剪力、弯矩之间存在着 一定的关系； 找到这些关系，对我们方便 快速地画出剪力弯矩图具有 很大的益处。
x
6
0 M
4
+
7
x
一、基本原理
如图所示简支梁受到载荷的作用： 建立坐标系
y
F1
F2
x
取其中一微段d x q(x)为连续函数，规定向上为正
dx
FS
x
q(x) dx
M
M+dM
FS+dFS
将该微段取出，加以受力分析
q
dx FS M C M+dM Fs+dFS q
若梁上某段作用一向下（上）的均布载荷，则在剪力图上 该段的左侧截面到右侧截面发生向下（上）的线性渐变，渐 变总的值等于该均布载荷在此梁段上的总的作用力。
ql2/8
例10-6 建立以下外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯 矩图（已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶M=3kNm）
q C A 2m
M
M
M
M
FS
FS F S FS为正 FS为负
FS
M为正 M为负
上面的约定形式上比较繁琐，在实际求解问题中，可按照以 下方法预先设臵剪力和弯矩为正。
m m l1 F
M
l
M
B
FS
剪力和弯矩均按图示设为正。
取截面左右两侧的部分构件计算， 所得到的内力大小相等，方向相 剪力和弯矩均按图示设为正。 反，但符号是一样的。
[2]取CA段中任意截面的左侧 部分加以分析:
q C
q
工程力学-弯曲内力)
横截面上的剪力和弯矩。
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
解：支反力为
M A 0 FB 2a 3Fa F a 0
Fy 0
FB 2F () FB FA F FA 3F ()
y
F
1A2
12 a
FA
Me =3Fa
34 34
a 2a
B x
FB
截面1—1
F
例：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。
MA FAy F=50kN q=20kN/m
Me=5kN·m
FAx
AE
1m
CD
1m
3m
K
1m
B FBy
0.5m
已知： FAy 81kN
FBy 29kN() M A 96.5kN m (逆时针)
MA FAy F=50kN q=20kN/m
Me=5kN·m
称为弯矩
x
x
0 F
l
m
a l
x
FB B
剪力和弯矩的符号规则：
剪力：使微段有沿顺时 针方向转动趋势为正
弯矩：使微段弯曲呈 下凹形为正
截面法求剪力和弯矩的步骤: (1)所求内力处截开截面,取一部分来研究; (2)将该截面上内力设为正值; (3)由平衡方程求解内力;
例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4
8a/3
qa/3 x
处无突变，故
FSC
FA
5 qa 3
FSB FSC q(2a)
1 3
q
MC
x-a
FSC
工程力学 第10章.弯曲内力
M (x)
FS (x)
FS ( x) dFS
M ( x) dM
M
C
0
dx M ( x) FS ( x)dx q( x)dx [ M ( x) dM ( x)] 0 2
dM ( x ) dx2 Fs ( x ) 略去二阶微量 q ( x) ，得： dx 2
弯矩图曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力 FS。 弯矩图上某点切线斜率等于该点的剪力值。
面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§10-2 梁的计算简图
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
1.梁的支座简化(平面力系)：
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
2.作用在梁上的荷载可分为: (a)集中荷载
E 3
x=3.1m
3.8
3.8
1.41
M
(kN· m) 3 2.2
[例6] 已知F图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。 F(kN) 2 1
+
1m 3 – 2m
+
1m
x
5kN
1kN
q=2kN/m
M(kN· m) 1 + 1.25 x
–
1
练习
P211:10-5
作业
P211:10-5 (b),(d),(f)
例题10 梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。
x
A a C l
F B b
解： 1、求支反力
FA Fb Fa , FB l l
工程力学10弯曲内力PPT课件
P
Y 0
A 4Pa
B
C
FsC YA 0
YA
a
a
2a YB
Fs C
P 2
4Pa
MC
mo 0
A
M C YA a 4Pa 0
• C Fs
MC
7 Pa 2
YA
P 2
（3）计算 B 截面内力
Y 0
A
Fs B YB 0
YA
Fs B
3 2
P
mo 0
M B YB 0 0
MB 0
P 4Pa
b
任意载
1. 分布载荷q(x) ――连续作用在一段长度的载荷。 例如：自重、惯性力、液压等， 单位：kg/cm，
N/m。
q(x)
a dx
b
因为每个小微段（dx）可以看成一个小的集中力 [q (x)dx]，根据平行力系求合力：
合力 b q(x) dx （载荷图面积） a
合力着力点：――在载荷图的面积形心上
Fb/l
+
x a Fbx / l Fab/ l x a Fa(l x) / l Fa(l a) / l Fab/ l
－
Fab/l
+
Fa/l
F
C处存在集中力F
剪力图上发生突变
突变的大小为
F Fb / l (Fa / l) Fl / l F
若梁上某点作用一向下（上） 的集中力，则在剪力图上该点的极
FA FB q 6 0 FB 3.5kN
[2]取CA段中任意截面的左侧部分加以
分析:
FS (x) qx 3x (0 x 2) C A
M (x) 1 qx2 3 qx2 (0 x 2) 2m
工程力学第10章弯曲内力
1.剪力
FQ Fy左侧外力
的代数和。
如取左侧段梁，则向上的 力为正，向下的力为负； 如取右侧段梁，则向上的 力为负，向下的力为正。
或FQ Fy右侧外力
即：某截面的剪力等于该截面以左（或右）所有横向外力
左上右下为正
22
2.弯矩
M M C左侧外力
形心的力矩之和。
或M M C右侧外力
m
F
B
m
FB
FQ M
FAy
19
二、剪力和弯矩的符号规定
+
m
FQ
剪力FQ：左上右下为正，或使微段顺时针转 动为正.
m
FQ
dx
左下右上为负，或使微段逆时针转动为负.
-
m
FQ
m dx
20
+
弯矩M：左顺右逆为正，反之为负；或使微 段下凸为正，上凸为负
M m
M
m
（受拉）
-
m
m
21 （受压）
三、计算规律★★★
A
F
FB
B b
C a l
FB
Fa l
因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方 程和弯矩方程.
34
将坐标原点取在梁的左端 AC段:
FA
F
FB
B b x
Fb FQ ( x ) FA (0 x a ) (1) A l Fb M ( x ) FA x x ( 0 x a ) ( 2) l
a = 230mm，b = 100 mm 和c = 1000 mm. 求 C 、D 点处横截面
上的剪力和弯矩. F1=F
C
FA
FB
十 弯曲内力
+
FAy
(左侧梁) 左侧梁)
m F
m
F2
F3
M Fs
x (右侧梁) FB 右侧梁)
m
例：图示简支梁，已知： 图示简支梁，已知：
F =100 N, m1 = 20 N m, m2 =10 N m
F 1
m1 m2
2
试求指定截面的剪力F 和弯矩M 试求指定截面的剪力FS和弯矩M 。
a =100 mm, x1 =150 mm, x2 = 50mm
§10.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
一、剪力方程与弯矩方程 x—— 表示梁横截面的位置。 表示梁横截面的位置。
FS = FS (x)
——剪力方程 ——剪力方程 ——弯矩方程 ——弯矩方程
M = M(x)
二、剪力图与弯矩图
表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。 表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。
一、梁的内力的引入
例：悬臂梁截面内的内力 剪力F ): 剪力 s(x): 抵抗剪切作用的内 力, 是与横截面相切的分布内力系 的合力. 的合力. 弯矩M( ): 抵抗弯曲作用的矩, 弯矩 (x): 抵抗弯曲作用的矩, 是与横截面垂直的分布内力系的合 力偶矩. 注: 弯矩和扭矩的比较 共同点: 共同点:力偶矩 不同点:作用面和所绕的轴不同;作用不同,抵抗扭转还是弯曲. 不同点:作用面和所绕的轴不同;作用不同,抵抗扭转还是弯曲. F
左侧梁： 左侧梁：外力对 截面形心的力矩顺时针取正值 右侧梁：外力对 截面形心的力矩逆时针取正值 右侧梁：外力对截面形心的力矩逆时针取正值
计算剪力和弯矩的规律总结： 计算剪力和弯矩的规律总结：
外力、 外力、外力偶对弯曲内力符号的影响
工程力学弯曲内力
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Fs+dFs
Fs
c
ΣFy=0: Fs+q dx- (Fs +dFs)=0
ΣMc=0: -Mz+(Mz+dMz)- Fsdx略去高阶项，得到
q dx .dx /2=0
dFs
dx
=q
Fs+dFs Fs
dM dx = Fs d2M dx2 = q
dFs dM d2 M q; Fs ; q dx dx dx2
15
kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
0 x2 4
0 x2 4
20
31.25
kNm
注意：在剪力等于零的地方，弯矩 有极值。
§10－5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
考察 dx 微段的受力与平衡
Fs +dFs Fs
例题 10.8
解： 1、求支反力
FA 7.2kN FB 3.8kN
外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的内力图。
3kN
C A
2kN/m
6kN m
D B
2、判断各段FS、M图形状：
1m
FA
4m
1m
FB CA和DB段：q=0，FS图为水平线，
4.2 (kN)
3 3 (kN· m)
x=3.1m
340
280
q
A B
结构对称， 载荷反对称， 则FS图对称， M图反对称
qa 2
qa 2
q
a
a
qa 2
qa 2
a 2
qa 2
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Fs+dFs
Fs
c
ΣFy=0: Fs+q dx- (Fs +dFs)=0
ΣMc=0: -Mz+(Mz+dMz)- Fsdx略去高阶项，得到
q dx .dx /2=0
dFs
dx
=q
Fs+dFs Fs
dM dx = Fs d2M dx2 = q
dFs dM d2 M q; Fs ; q dx dx dx2
15
kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
0 x2 4
0 x2 4
20
31.25
kNm
注意：在剪力等于零的地方，弯矩 有极值。
§10－5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
考察 dx 微段的受力与平衡
Fs +dFs Fs
例题 10.8
解： 1、求支反力
FA 7.2kN FB 3.8kN
外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的内力图。
3kN
C A
2kN/m
6kN m
D B
2、判断各段FS、M图形状：
1m
FA
4m
1m
FB CA和DB段：q=0，FS图为水平线，
4.2 (kN)
3 3 (kN· m)
x=3.1m
340
280
q
A B
结构对称， 载荷反对称， 则FS图对称， M图反对称
qa 2
qa 2
q
a
a
qa 2
qa 2
a 2
qa 2
第10章弯曲内力
M
mb
x
l
第十章 弯曲内力
§10－5 剪力、弯矩和载荷集度间的微分关系
一、M、FS和q之间的微分关系
二、推论 三、边界条件和突变条件 四、控制点法
§10－5 剪力、弯矩和载荷集度间的微分关系
一、M、 FS和q之间的微分关系y PF
q(x)
Me
q qx q↑为 +
Y 0 q↓为 -
x
q( x) q 常量
q q图
x FQ FQ图
dFS (x) q(x) 0 dx
dFS (x) q(x) q 常量 dx
x
水平线
斜直线 斜直线
M M图
dM (x) dx
FS (x)
FS
常量
FS 0
FS 0
FS 0
x
斜直线 水平线 斜直线
d
2M(x) dx2
一、工程实例 3. 吊车横梁
§10－1 引 言
§10－1 引 言
弯曲变形：外力垂直于杆的轴线，力偶作用在纵向平面内
梁：主要承受垂直于轴线载荷的杆件
直梁、曲梁
对称梁、非对称梁
二、平面弯曲
F A
FAy
§10－1 引 言
q
Me 对称面
B
x
FBy 对称轴
y
y
y
y
第十章 弯曲内力
§10－2 梁的计算简图
4
1 qa2 4
第十章 弯曲内力
§10－4 剪力、弯距方程与剪力、弯距图
一、剪力方程与弯矩方程 二、剪力图与弯矩图
§10－4 剪力、弯距方程与剪力、弯距图
一、剪力方程与弯矩方程
《工程力学》第十章 弯曲应力
• 三、静力学关系
• 自纯弯曲的梁中截开一个横截
面来分析，如图10-5所示，图
中y轴为横截面的对称轴；z轴
为中性轴，z轴的确切位置待
定。在截面中取一微面积dA，
作用于其上的法向内力元素为
σdA，截面上各处的法向内力
图10-5
元素构成了一个空间平行力系。
• 由于梁弯曲时横截面上没有轴向外力，所以
这些内力元素的合力在x方向的分量应等于
• 图10-3所示。
图10-3
图10-4的对称轴，z轴与截面的中性轴重 合，如图10-4所示，至于中性轴的确切位 置，暂未确定。现研究距中性层y处纵向 纤维ab
• 由平截面规律知，在梁变形后该微段梁两
端相对地旋转了一个角度d ，如果以ρ代
表梁变曲后中性层
《工程力学》第十章 弯曲应力
§10-1梁弯曲时的正应力 设一简支梁如图10-1(a)所示，其上作用两个对称的集中 力P。此时在靠近支座的AC，DB两段内，各横截面上同 时有弯矩M和剪力Q，这种情况的弯曲，称为剪切变曲； 在中段CD内的各横截面上，则只有弯矩M，而无剪力Q， 这种情况的弯曲，称为纯弯曲。为了更集中地分析正应力
（10-15） • Wz称为抗弯截面模量，它是衡量横截面抗
弯强度的一个几何量，其值与横截面的形 状和尺寸有关，单位为米3(m3)或厘米 3(cm3)。对于矩形截面(图10-9)
（10-16）
• 对于圆形截面(图10-10(a))， （10-17）
• 对于空心圆形截面(图10-10(b))，
（10-18）
• (1)若梁较短或载荷很靠近支座，这时梁的最大 弯矩Mmax可能很小，而最大剪应力Qmax却 相对地较大，如果按这时的Mmax来设计截面 尺寸，就不一定能满足剪应力的强度条件；
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例2、一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M 0 8KN.m
P=2KN
q=2KN/m
A D B
FBy
1m 2m 1m 1m
C
FAy
解：
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7 KN
FAy 3KN
B
2、求B、D截面上的内力?
求D左、D右、B左、B右截面上的内力。
NB
对称弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都 在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中 心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条 平面曲线。
10.2
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x) — 分布力
1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
P=2KN
A D
1m 1m 2m
B
C
1m 1m
FBy
FAy
D右截面： FQD右 Fy (右侧) FAy 3KN
M D右 M D (右侧) FAy 1 M o 3 8 5KN m
左
B左截面： FQB Fy (左侧) FAy q 3 3KN
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5KN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。
0.8kN 1
A 1.5m 1.5m RA
2
1.2kN/m 例3、梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Fy 0, RA RB 0.8 1.2 3 0
M(x) F x F qx ql qx S A
3、作剪力图和弯矩图
q l
A FS ql 2
ql B FS x 2 qx
qlx qx2 M x 2 2
FS,max
ql2 8
M l/2
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
ql 2
ql F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有转 折
Fb l
x
Fab l
x
M
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
例7、图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。
a A FA 解: 1、求支反力
Me C l
b
B FB
2.9 1.5 1.2 1.5 0.75
3.0(kN m)
10.4
剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
一、剪力方程与弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。
M 0 8KN.m
P=2KN q=2KN/m
A E
1m 1m
F
C
2m
B
1m 1m
D
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
M(x)
③根据方程画内力图
x
FL
例5、图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图
和弯矩图。
q B
A
l
FA x FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
ql FA FB 2
q A FA
x
2 x qlx qx2 FS(x) M x FA x qx 2 2 2
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA
FS
Fb l
Fb FS1 x l B F x Fa S2 l FB Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l
x
Fab l
Fb l
x
M
a
F
C
l
b
A
x Fb l
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称
例6、图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩 图。 a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA l
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
M(x) FS(x)
M B左
3 M B (左侧) FAy 4 M 0 q 3 5KN.m 2
M 0 8KN.m
P=2KN q=2KN/m
A D
1m 1m 2m
B
C
1m
FBy
FAy
截面： B右
1m
与 B 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有： 左
FQB右 FQB左 FBy 3 7 4KN
取右段梁为研究对象:
FQc FAy q 2a qa
FQc q 2a FBy
qa
M C FAy 2a 2qa a M 1
2qa
2
M C FBy 2a 2qa a M 2 2 2qa
四、小结(基本规律) （1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离 体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转 向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。 （2）在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FQ 、 M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方 向（转向）是正确的，解得的FQ、M即为正的剪力和弯矩。 若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的， 其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上 假设的内力方向改过来）。
3m 2 1.5m
M RB
B
0, 1.2 31.5 0.8 4.5 RA 6 0
2m
0 .8
1
M1
RA 1.5 (kN ), RB 2.9 (kN )
(2) 1-1截面左段右侧截面：
RA
Fs1 RA 0.8 1.5 0.8 0.7 (kN )
M
(+)
(-) x
MA
FAY
例4、列出梁内力方程并画出内力图。
A
L
F B
解：①求支反力
FAY F ; M A FL
x
F(x) F
x
②写出内力方程
Fs ( x) FAY F
M ( x) FAY x M A F ( x L)
(0 x l )
(0 x l )
第10章 弯曲内力
10.1 对称弯曲的概念
一、弯曲实例 工厂厂房的天车大梁：
F F
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
RA
q
P M
三、对称弯曲的概念： 平面弯曲： 杆发生弯曲变形后，轴线仍和外力在同一平面内
L
（L称为梁的跨长）
L
10.3
剪力与弯矩
一、梁的内力—剪力与弯矩 解： (1)、根据平衡条件求支座反力 m F Fa Fb b a FBy FAy , L L (2)、截取m-m截面左段。 A B m 剪力FQ——使截面不产生移动 x L 弯矩M ——使截面不产生转动
FAy
A o x
m
FBy
FQc q 2a FBy
qa
Mc
q
M 2 2qa2
B a
M C FBy 2a 2qa a M 2 C FQc 2 2qa
FBy
为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。
M1 2qa
2
q
M 2 2qa2
B
A a
C
a 4a
FAy
FBy
取左段梁为研究对象:
a
qa
由 M C 0, 得到：
（剪力FQ 的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
M C FAy 2a 2qa a M1 0 2 M C FAy 2a 2qa a M1 2qa
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
如以右侧梁作为研究对象，则：
M1 RA 2 0.8 0.5 1.5 2 0.8 0.5 2.6 (kN m) 2--2截面右段左侧截面： RB q
Fs1
Fs 2 1.2 1.5 2.9 1.1(kN )
M 2 RB 1.5 1.2 1.5 0.75
M2
Fs 2
由 Fy 0,
得到：
M
FAy
FQ
m
Fb FQ FAy L 由 M o 0, 得到： Fb M FAy x x L
二、剪力、弯矩的正、负号规定：
符号规定
左上右下，剪力为正
Q
Q
（＋）
M
（－）
左顺右逆，弯矩为正
M
三、求指定截面上的剪力和弯矩
例1、一简支梁受力如图所示。 试求C截面（跨中截面）上的内力。 2 M 2 2qa 2 M1 2qa q A B
Fa a x l M(x) FS x FB l Fa l x M x FB (l x) FS(x) l a x l
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l