二次互反律

高斯二次互反律

主讲：李宗儒

在正式介绍高斯二次互反律之前，我们先简单的介绍一下同余方程式

同余方程式

给定正整数m 及n 次整系数多项式

1110()...n n n n f x a x a x a x a --=++++

我们讨论这样的问题：求出所有的整数x ，使同余式

()0f x ≡ (mod m ) (1)

成立，这就是所谓的解同余方程式。而上式称为模m 的同余方程式。若(1)式在x=c 时同余式成立，称c 是(1)式的解。显然，这时剩余类 c (mod m ) 中的任意整数也都是解，我们把这些解看作是相同的，并说剩余类 c (mod m ) 是(1)中的一个解，我们把它记为

x c ≡ (mod m )

当12,c c 均为(1)式的解，且模m 不同余，我们就称它是同余方程式(1)的不同解，所有模m 两两不同余的解的个数，称为是同余方程式(1)的解数。

模为质数的二次同余方程

在此节，由于2p =的情形是显然的，所以下面我们假定p 是奇质数。假设p 不整除a ，二次同余方程的一般形式是

20ax bx c ++≡ (mod p ) (2)

但是因为p 不整除a ，所以p 不整除4a ，所以(2)的解跟

()240a ax bx c ++≡ (mod p ) (3)

的解相同，上式可以改为

()2224ax b b ac +≡- (mod p) (4)

透过变量变换，我们可以得到下列式子

224y b ac ≡- (mod p ) (5)

(4)与(5)是等价的，也就是说，两者同时无解或有解。若有解，对于(5)的每个解0y y ≡ (mod p )，通过变数变换2y ax b =+(因为这是x 的一次同余方程，(,2)1p a =，所以解数为1)，我们可以解出一个0x x ≡ (mod p )，由以上的讨论可

知，我们只要讨论形如

2x d ≡ (mod p ) (6)

的同余方程式，很容易的，当p 整除d 时，(6)仅有一解0x ≡(mod p )。所以，我们只讨论p 不整除d 的情形。

定义1

设质数2p >，d 是整数，且p 不整除d ，如果同余方程式(6)有解，则称d 是模p 的二次剩余，若无解，则称d 是模p 的二次非剩余。

定理1

在模p 的一个完全剩余系中，恰有12p -个模p 的二次剩余，12

p -个模p 的二次非剩余，此外，若d 是模p 的二次剩余，则同余方程式(6)的解数为二。

定理2

设质数2p >且p 不整除d ，其中d 是整数。那么d 是模p 的二次剩余的充要条件是 (1)21p d -≡ (mod p )；d 是模p 的二次非剩余的充要条件是 (1)21p d -≡- (mod p )

为了接下来的讨论方便，我们引进一个表示模p 的二次剩余、二次非剩余的符号 ─ Legendre 符号

定义2

设质数2p >，定义整数变量d 的函数

引理1

(1) d p d p p ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(2) (1)2p d d p -⎛⎫= ⎪⎝⎭

(mod p ) (3) dc d c p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

(4) 21d p ⎛⎫= ⎪⎝⎭

若p 不整除d (5) 11p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()(1)211p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

(6) 同余方程式2x d ≡ (mod p )的解数是1d p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

引理2

设质数2p >且p 不整除d ，再设12p j ≤<，j t jd ≡，0j t p <<，以n 表示这(1)2p -个j t 中大于2p 的j t 的个数，那么有

(1)n d p ⎛⎫≡- ⎪⎝⎭

定理3

我们有 2(1)82(1)p p -⎛⎫=- ⎪⎝⎭

定理4

设质数2p >且p 不整除d ，且当(,2)1d p =，有

(1)T d p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中 (1)1p j jd T p -=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

∑ 定理5

在定理四中，若d 也是奇质数，则有

(1)2(1)(1)p q q p p q -⋅-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

这就是有名的高斯二次互反律