您的位置：360文档中心› 2020中考数学 勾股定理复习题(含答案)

2020中考数学 勾股定理复习题(含答案)

合集下载

中考数学总复习教材过关(试卷版+解析版)十八 勾股定理(附答案)

中考数学总复习教材过关(试卷版+解析版)十八 勾股定理(附答案)

教材过关十八 勾股定理一、填空题1.一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是________________.2.在△ABC 中,若AB=17,AC=8,BC=15,则根据______________可知∠ACB=_______________.3.一座垂直于两岸的桥长15米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头9米,则小船实际行驶了______________米.4.若三角形中相等的两边长为10 cm,第三边长为16 cm,则第三边上的高为_____________cm.5.如图8-41,矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为______________cm 2.图8-416.等边三角形的边长为4,则其面积为_______________.7.如图8-42,在高3米,坡面线段距离AB 为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯长度至少需____________米.图8-428.若13 c +|a-12|+(b-5)2=0,则以a 、b 、c 为三边的三角形是______________三角形. 二、选择题9.下列是勾股数的一组是A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,15D.21,28,35 10.下列说法不正确的是A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D.三边长度之比为5∶12∶13的三角形是直角三角形11.一个圆桶底面直径为24 cm,高32 cm,则桶内所能容下的最长木棒为A.20 cmB.50 cmC.40 cmD.45 cm12.一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为______________米.A.100B.500C.1 240D.1 000 三、解答题13.如图8-43，在四边形ABCD 中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,∠C=90°.图8-43(1)求BD的长;(2)当AD为多少时,∠ABD=90°?14.有一块土地形状如图8-44所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.图8-4415.甲、乙两船上午11时同时从港口A出发,甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行,乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行,求下午1时两船之间的距离.图8-4516.已知:a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②∴c2=a2+b2.③∴△ABC是直角三角形.问:(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: ______________;(2)错误的原因为_________________________________________________________________;(3)本题正确的解题过程:17.一辆装满货物的卡车,高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图8-46所示的某工厂,问这辆卡车能否通过厂门(厂门上方为半圆形拱门)?说明你的理由.图8-46教材过关十八 勾股定理 一、填空题1.一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是________________. 答案：24提示：根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，设其中一条直角边为x ，另两条分别为(x-2)，(x+2),则有(x-2)2+x 2=(x+2)2，解得x=0或x=8，x=0不合题意舍去，所以三边长为6、8、10，周长为24.2.在△ABC 中,若AB=17,AC=8,BC=15,则根据______________可知∠ACB=_______________.答案：勾股定理逆定理 90°提示：勾股定理逆定理是判定一个角是直角的重要方法，AC 2+BC 2=82+152=289=172=AB 2，根据勾股定理的逆定理说明AB 的对角是90度.3.一座垂直于两岸的桥长15米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头9米,则小船实际行驶了______________米. 答案：334提示：桥长、偏离桥南头的距离、实际行驶的路程构成一个直角三角形，利用勾股定理，可得实际行驶的路程的平方=152+92=306，所以实际行驶了334米.4.若三角形中相等的两边长为10 cm,第三边长为16 cm,则第三边上的高为_____________cm. 答案：6提示：等腰三角形三线合一，底边上的高也是底边的中线，所以底边的一半为8，则高为22810-=36=6.5.如图8-41,矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为______________cm 2.图8-41答案：60提示：根据勾股定理求出BC 的长，BC 2=132-52=144，则BC=12，面积为5×12=60. 6.等边三角形的边长为4,则其面积为_______________. 答案：43提示：根据勾股定理求出高为2224-=23，面积为底×高×21=4×232=43.7.如图8-42,在高3米,坡面线段距离AB 为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯长度至少需____________米.图8-42答案：7提示：由勾股定理求出另一直角边为4，将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和=3+4=7.8.若13-c +|a-12|+(b-5)2=0,则以a 、b 、c 为三边的三角形是______________三角形. 答案：直角提示：满足a 2+b 2=c 2. 二、选择题9.下列是勾股数的一组是A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,15D.21,28,35 答案：D提示：满足a 2+b 2=c 2的正整数是勾股数，只有212+282=352，所以选D. 10.下列说法不正确的是A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D.三边长度之比为5∶12∶13的三角形是直角三角形 答案：B提示：三个角的度数之比中有两个之和等于另一个，可以判定是直角三角形，另外两边的平方和=第三边的平方，也可以判定是直角三角形，三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形，三个角分别是45度、60度和75度，不是直角三角形.11.一个圆桶底面直径为24 cm,高32 cm,则桶内所能容下的最长木棒为A.20 cmB.50 cmC.40 cmD.45 cm 答案：C提示：根据勾股定理，最长木棒长的平方=242+322，解得40 cm.12.一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为______________米.A.100B.500C.1 240D.1 000 答案：D提示：由于东西方向与南北方向互相垂直，两段路程与家离公司距离形成直角三角形，根据勾股定理求得家离公司距离=22)502.19()506.5(⨯+⨯=1 000米.三、解答题13.如图8-43，在四边形ABCD 中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,∠C=90°.图8-43(1)求BD 的长;(2)当AD 为多少时,∠ABD=90°? (1)答案：5.提示：在△BDC 中，∠C=90°，BC=3 cm ，CD=4 cm ，根据勾股定理，BD 2=BC 2+CD 2，求得BD=5 cm. (2)答案：13.提示：根据勾股定理的逆定理，三角形两边的平方和等于斜边的平方，则三角形是直角三角形，所以AD=13时，可满足AD 2=BD 2+AB 2，可说明∠ABD=90°，AD=22512+=13. 14.有一块土地形状如图8-44所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.图8-44答案：234米2.提示：连结AC ，将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面积之和，根据勾股定理求出AC ，进而求出AD.AC=221520+=25,AD=22725-=24，面积为21AB ×BC+21AD ×CD=234米2.15.甲、乙两船上午11时同时从港口A 出发,甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行,乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行,求下午1时两船之间的距离.图8-45答案：50海里.提示：东北方向航行，东南方向航行，则夹角为90度，根据勾股定理，相距=22)215()220(⨯+⨯=50.16.已知:a 、b 、c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,试判断△ABC 的形状. 解:∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,①∴c 2(a 2-b 2)=(a 2+b 2)(a 2-b 2).② ∴c 2=a 2+b 2.③∴△ABC 是直角三角形. 问:(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: ______________; (2)错误的原因为_________________________________________________________________; (3)本题正确的解题过程:答案：(1)③ (2)除式可能为零 (3)∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,∴c 2(a 2-b 2)=(a 2+b 2)(a 2-b 2). ∴a 2-b 2=0或c 2=a 2+b 2. 当a 2-b 2=0时，a=b ；当c 2=a 2+b 2时，∠C=90度,∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.提示：(1)(2)两边都除以a 2-b 2,而a 2-b 2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立.(3)根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论.17.一辆装满货物的卡车,高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图8-46所示的某工厂,问这辆卡车能否通过厂门(厂门上方为半圆形拱门)?说明你的理由.图8-46提示：如图，作厂门的对称轴，求出PR 的长，只要PR ＞车高2.5，就说明卡车能通过厂门. 在Rt △OPQ 中，由勾股定理得PQ=228.01-=0.6米, ∴PR=0.6+2.3=2.9＞2.5. ∴这辆卡车能通过厂门.。

中考数学专题复习《勾股定理之折叠问题分类讨论、存在性问题》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《勾股定理之折叠问题分类讨论、存在性问题》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《勾股定理之折叠问题分类讨论存在性问题》测试卷（附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 ABC 中 90A ∠= 7AB = 24AC = 点D 为边AC 上一点 将ABC 沿BD 折叠后 点A 的对应点A '恰好落在BC 边上 则线段AD 的长为（ ）A ．407B ．214C ．16825D ．3262．如图是一张直角三角形纸片 已知6AC = 10AB = 将纸片沿AD 折叠 使点C 落在AB 边上的点C '处 则折痕AD 长为（ ）．A ．5B ．35C ．3D ．323．已知2OA = 2OB = 将AOB 沿着某直线CD 折叠后如图所示 CD 与x 轴交于点C 与AB 交于点D 则点C 坐标是（ ）A ．()0.4,0B ．()0.5,0C ．()0.6,0D ．()0.7,04．如图 长方形纸片ABCD 中 6AB = 18AD = 将此长方形纸片折叠 使点D 与点B 重合 点C 落在点H 的位置 折痕为EF 则ABE 的面积为（ ）A ．6B ．18C ．24D ．485．如图 在平行四边形ABCD 中 60B ∠=︒ 4AB = 6AD = E 是AB 边的中点 F 是线段BC 上的动点 将EBF 沿EF 所在直线折叠得到EB F ' 连接B D ' 则B D '的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．2D ．26．将长方形纸片ABCD 如图折叠 B C 两点恰好重合在AD 边上的同一点P 处折痕分别是MH NG 若90MPN ∠=︒ 3PM = 5MN = 分别记PHM PNG PMN 的面积为1S 2S 3S 则1S 2S 3S 之间的数量关系是 ( )A ．312S S S =+B ．312322S S S =+C ．32155S S S =-D ．2123S S S =-7．如图 直角ABC 中 90C ∠=︒ 3AC = 4BC = 将ABC 沿AB 折叠得ABD △ 点C 的对应点为点D 则点D 到BC 的距离为（ ）A ．125B ．245C ．9625D ．125或245 8．如图 在Rt ABC △纸片中 9043A AB AC ∠=︒==，， 将Rt ABC △纸片按图示方式折叠 使点A 恰好落在斜边BC 上的点E 处 BD 为折痕 则下列四个结论：①BD 平分ABC ∠①AD DE = ①DE EC = ①DEC 的周长为4 其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二 填空题9．如图 Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30B ∠=︒ 4AC = 点P 为AB 上一个动点 以PC 为轴折叠APC △得到QPC 点A 的对应点为点Q 当点Q 落在ABC 内部（不包括边）上时 AP 的取值范围为 .10．如图 在平面直角坐标系中 长方形ABCO 的边OC OA 、分别在x 轴 y 轴上 3AB = 点E 在边BC 上 将长方形ABCO 沿AE 折叠 若点B 的对应点F 恰好是边OC 的三等分点 则点E 的坐标是 ．11．如图 有一个直角三角形纸片 两直角边18cm AC = 24cm BC = 现将直角边AC 沿直线AD 折叠 使它落在斜边AB 上 且与AE 重合 则BD = cm ．12．已知直线l 为长方形ABCD 的对称轴 5AD = 6AB = 点E 为射线DC 上一个动点 把ADE 沿直线AE 折叠 点D 的对应点D 恰好落在对称轴l 上．则点D 到边CD 的距离是 ．13．如图 把长方形ABCD 沿直线BD 向上折叠 使点C 落在C '的位置上 BC '交AD 于E 已知4CD = 8BC = 则EC D '的面积为 ．三 解答题14．如图是一张直角三角形ABC 纸片 90C ∠=︒ 6AC = 8BC =．(1)在图1中 将直角边AC 沿AD 折叠 使点C 落在斜边AB 上的点E 处 求CD 的长(2)在图2中 将BFG 沿FG 折叠 使点B 与点A 重合 求BF 的长．15．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用 如图 将一张长方形纸片ABCD 放在平面直角坐标系中 点A 与原点O 重合 顶点B D 分别在x 轴 y 轴上 P 为边CD 上一动点 连接BP 将BCP 沿BP 折叠 点C 落在点C '处．(1)若4AB = 3AD = 如图1 连接BD 当点C '在线段BD 上时 求点P 的坐标．(2)在（1）的条件下如图2 当点P 与点D 重合时 沿BD 将BCD △折叠得BC D '△ DC '与x 轴交于E 点 求BDE 的面积．(3)若8AB = 4BC = 当ADC '为等腰三角形时 求点P 的坐标．16．如图1 ABC 中 90,BAC AB AC ∠=︒= D E 是直线BC 上两动点 且45DAE =︒∠．探究线段BD DE EC 三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2 将ABD △沿AD 折叠 得ADF △ 连接EF 看能否将三条线段转化到一个三角形中 …请你参照小明的思路 探究并解决下列问题：(1)猜想BD DE EC 三条线段之间的数量关系 并证明(2)如图3 当动点E 在线段BC 上 动点D 运动在线段CB 延长线上时 其它条件不变 （1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．17．已知ABC CDE △≌△ 且90B D ∠=∠=︒ 把ABC 和CDE 拼成如图所示的形状 使点B C D 在同一条直线上 若4AB = 3DE =．(1)求AE 的长(2)将ABC 沿AC 折叠 点B 落在点F 处 延长AF 与CE 相交于点G 求FG 的长．18．如图 在ABC 中 90C ∠=︒ 把ABC 沿直线DE 折叠 使ADE 与BDE 重合．(1)若38A ∠=︒ 则CBD ∠的度数为________(2)若6AC = 4BC = 求AD 的长(3)当(0)AB m m ABC =>，△的面积为24m +时 求BCD △的周长．（用含m 的代数式表示）参考答案：1．B2．B3．B4．C5．C6．C7．C8．C9．234AP <<10．25⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭11．1512．1或9/9或113．614．(1)3CD = (2)254BF15．(1)点P 的坐标为5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)7516(3)当ADC '为等腰三角形时 点P 的坐标为()44，或4⎫⎪⎪⎝⎭．16．(1)222DE BD EC =+(2)不变 222DE BD EC =+17．(1)AE =(2)9418．(1)14︒ (2)133AD =(3)BCD △的周长为4m +．。

中考数学勾股定理(讲义及答案)附解析

中考数学勾股定理(讲义及答案)附解析

一、选择题1．如图，在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于点D ，DE BC ⊥，垂足为E ，若CDE ∆的周长为6，则ABC ∆的面积为（ ）.A ．36B ．18C ．12D ．9 2．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4B ．5C ．7D ．63．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）A ．①④⑤B ．③④⑤C ．①③④D ．①②③4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )A ．3B ．154C ．5D ．1525．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（）A ．22B ．32C ．62D ．826．如图,A 、B 两点在直线l 的两侧,点A 到直线l 的距离AC=4,点B 到直线l 的距离BD=2,且CD=6,P 为直线CD 上的动点, 则PA PB -的最大值是（ ）A ．62B ．22C ．210D ．67．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的中垂线交AC 于D ，P 是BD 的中点，若BC ＝4，AC ＝8，则S △PBC 为（ ）A ．3B ．3.3C ．4D ．4.58．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ，则 h 的取值范围是（ ）A ．h≤15cmB ．h≥8cmC ．8cm≤h≤17cmD ．7cm≤h≤16cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．610．有下列的判断： ①△ABC 中，如果a 2＋b 2≠c 2，那么△ABC 不是直角三角形②△ABC 中，如果a 2－b 2＝c 2，那么△ABC 是直角三角形③如果△ABC 是直角三角形，那么a 2＋b 2＝c 2以下说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm 、3 dm 和1 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm ．12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．13．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．14．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．15．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若22AB =，42AC =，则DA 的长为______．16．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．17．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．18．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．19．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．22．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．23．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．24．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．25．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：2，CD 36，求线段AB 的长．26．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在 ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5；②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；=532ABD S ∆+③； ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．27．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.28．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠.求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.29．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.30．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用角平分定理得到DE=AD ，根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA ，再利用角平分线定理得到BE=AB=AC ，根据CDE ∆的周长为6求出AB=6，再根据勾股定理求出218AB =，即可求得ABC ∆的面积.【详解】∵90BAC ︒∠=，∴AB ⊥AD,∵DE BC ⊥,BD 平分ABC ∠,∴DE=AD ，∠BED=90BAC ︒∠=，∴∠BDE=∠BDA ，∴BE=AB=AC ，∵CDE ∆的周长为6，∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6，∵,90︒=∠=AB AC BAC∴22236AB AC BC +==,∴2236AB =, 218AB =,∴ABC ∆的面积=211922AB AC AB ⋅⋅==, 故选：D.【点睛】此题考查角平分线定理的运用，勾股定理求边长，在利用角平分线定理时必须是两个垂直一个平分同时运用，得到到角两边的距离相等的结论. 2．D解析：D【解析】【分析】先利用勾股定理计算BC 的长度，然后阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直径的半圆面积. 【详解】解：在中 ∵，, ∴, ∴BC=3,∴阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直径的半圆面积=6.故选D. 【点睛】本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积. 3．A解析：A【分析】作常规辅助线连接CF ，由SAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF ．所以△DEF 是等腰直角三角形；由割补法可知四边形CDFE 的面积保持不变；△DEF 是等腰直角三角形2DF ，当DF 与BC 垂直，即DF 最小时，DE 取最小值42，△CDE 最大的面积等于四边形CDEF 的面积减去△DEF 的最小面积．【详解】连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形.当D. E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形.∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CEFD=S△AFC.由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=12BC=4.∴22当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小.此时S△CEF=S四边形CEFD−S△DEF=S△AFC−S△DEF=16−8=8，则结论正确的是①④⑤.故选A.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形性质.要证明线段或者角相等，一般证明它们所在三角形全等，如果不存在三角形可作辅助线解决问题.4．C解析：C【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S2=x+4y=5，故答案为5．点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=15求解是解决问题的关键．5．B解析：B【解析】由题可知（a-b ）2+a 2=（a+b ）2，解得a=4b ，所以直角三角形三边分别为3b ，4b ，5b ，当b=8时，4b=32，故选B ．6．C解析：C【解析】试题解析：作点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '并延长,与直线l 的交点即为使得PA PB -取最大值时对应的点.P此时.PA PB PA PB AB -=-'='过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,四边形B DCE '为矩形，6, 2.B E CD EC B D BD ∴=====''2.AE ∴=22210.AB AE B E ''+=PA PB -的最大值为：210.故答案为：210.7．A解析：A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB ，根据勾股定理求出BD ，得到CD 的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，解得，BD＝5，∴CD＝8﹣5＝3，∴△BCD的面积＝12×CD×BC＝12×3×4＝6，∵P是BD的中点，∴S△PBC＝12S△BCD＝3，故选：A．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．8．C解析：C【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cmAD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故选：C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.9．B解析：B【分析】已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，'DF B F ∴=，设DF x =，则8AF CF x ==-，在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，835CF CD FD ∴=-=-=， 1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△． 故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键．10．D解析：D【分析】欲判断三角形是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】①c 不一定是斜边，故错误；②正确；③若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则a 2＋b 2≠c 2，故错误，所以正确的只有②，故选D.【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.二、填空题11．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．12．45【分析】如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD. ABC ACB DAC ∠+∠=∠，只需证△ADC 是等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，555BC=5，∴5其中BD 、DC 、BC 边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC 是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA ，构造处△ABC 的外角∠CAD13．1或78【分析】 分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：分为3种情况：①当PB PQ =时，4=OA ，3OB =，∴5BC AB ===， C 点与A 点关于直线OB 对称，BAO BCO ∴∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BPQ BCO ∴∠=∠，APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，APQ CBP ∴∠=∠，在APQ 和CBP 中，BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，∴5AP BC ==，1OP AP OA ∴=-=；②当BQ BP =时，BPQ BQP ∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BAO BQP ∴∠=∠，根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，∴这种情况不存在；③当QB QP =时，QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，PB PA ∴=，设OP x =，则4PB PA x ==-在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，222(4)3x x ∴-=+， 解得：78x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或78； 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．14．【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可．【详解】解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接BE，∵D是BC边中点，∴BD＝CD，又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝6，又∵AB＝10，∴AE2＋BE2＝AB2，∴∠E＝90°，∴在Rt△BED中，2222=++=，BD BE DE64213∴BC＝2BD＝13故答案为：13【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．15．6或2.【分析】由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．【详解】解：分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1所示，把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，则∠ABD=∠ECD，2，AD=DE，且∠ADE=90°在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，∴∠ACD+∠ECD=180°，∴A、C、E三点共线．∴AE=AC+CE=42+22=62在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即2AD2=（62）2，解得AD=6②当D点在BC下方时，如图2所示，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，则CE=AB=22，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，所以∠EAD=∠AED=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．∴AE=AC-CE=42-22=22在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．故答案为：6或2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．1671【分析】分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--，∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71-- 71【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.17．10【分析】首先作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值，易得△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∠N ′OM ′=90°，继而可以求得答案．【详解】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N 22''OM ON +． 故答案为10．【点睛】本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．18．12013【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，则CF=BE+FF 的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB ⋅CF=BC ⋅AD ，∴CF=BC AD AB ⋅=101213⨯=12013故答案为12013. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.19．39或639【分析】通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG SS S =-即可求解． 【详解】①当点D 在H 点上方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒ ．30,6A AE ∠=︒=，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，DH EH ∴=，333AD AH DH =-=，45EDH ∴∠=︒，15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒，230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ， 12GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=， 3GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，112(333)36363922DGF S ∴=⨯⨯-⨯-⨯⨯=-； ②当点D 在H 点下方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒．30,6A AE ∠=︒= ，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=．3DE =，3DH ∴=== ，DH EH ∴=，3AD AH DH =+=，45DEH ∴∠=︒ ，90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，12GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=，GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，1123)36922DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=，综上所述，DGF △的面积为9或9．故答案为：9或9．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．20．【分析】根据三角形等面积法求出32AC BC = ，在Rt△ACD 中根据勾股定理得出AC 2=14BC 2+36，依据这两个式子求出AC 、BC 的值.【详解】 ∵AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高， ∴12AC•BE＝12BC•AD， ∵AD＝6，BE ＝4，∴AC BC ＝32， ∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，∴BD＝DC ＝12BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，∴AC 2＝14BC 2+36， ∴221364BC BC +＝94， 整理得，BC 2＝3648⨯， 解得：BC＝∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．三、解答题21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(2y x =【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据30°角的直角三角形的性质可得DMBM ，进而可得BE +CF（BE ﹣CF ），代入x 、y 后整理即得结果．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝12BC＝2．∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝12BD＝1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝12BC＝12AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，∴DM ＝22=3BD BM BM -，∴()3x y x y +=-，整理，得()23y x =-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．22．（1）45度；（2）∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝140°，可得∠CAE ＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝180°﹣2α，可得∠CAE ＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，由等腰直角三角形的性质可得EH 2EF ，CH ＝2CG ，由“AAS ”可证△AFB ≌△CGA ，可得AF ＝CG ，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，AE ＝AB ，∴AB ＝AC ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ACE ＝∠AEC ，∵∠AED ＝20°，∴∠ABE ＝∠AED ＝20°，∴∠BAE ＝140°，且∠BAC ＝90°∴∠CAE ＝50°，∵∠CAE +∠ACE +∠AEC ＝180°，且∠ACE ＝∠AEC ，∴∠AEC ＝∠ACE ＝65°，∴∠DEC ＝∠AEC ﹣∠AED ＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由如下：∵∠AED ＝∠ABE ＝α，∴∠BAE ＝180°﹣2α，∴∠CAE ＝∠BAE ﹣∠BAC ＝90°﹣2α，∵∠CAE +∠ACE +∠AEC ＝180°，且∠ACE ＝∠AEC ，∴∠AEC ＝45°+α，∴∠AEC ﹣∠AED ＝45°；（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，∵∠AEC ﹣∠AED ＝45°，∴∠FEH ＝45°，∵AH ⊥BE ，∴∠FHE ＝∠FEH ＝45°，∴EF ＝FH ，且∠EFH ＝90°，∴EH 2EF ，∵∠FHE ＝45°，CG ⊥FH ，∴∠GCH ＝∠FHE ＝45°，∴GC ＝GH ，∴CH 2CG ，∵∠BAC ＝∠CGA ＝90°，∴∠BAF +∠CAG ＝90°，∠CAG +∠ACG ＝90°，∴∠BAF ＝∠ACG ，且AB ＝AC ，∠AFB ＝∠AGC ，∴△AFB ≌△CGA （AAS ）∴AF ＝CG ，∴CH 2AF ，∵在Rt △AEF 中，AE 2＝AF 2+EF 2， 2AF ）2+2EF ）2＝2AE 2，∴EH 2+CH 2＝2AE 2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.23．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．24．（1）①见解析；②DE ＝297；（2）DE 的值为 【分析】（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．【详解】（1）①如图1中，∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，∴△BAE ≌△CAF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，∴∠DAE ＝∠DAF ，∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，∴△AED ≌△AFD （SAS ）；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∵∠ABE ＝∠ACF ＝45°，∴∠DCF ＝90°，∵△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE ＝DF ＝x ，∵在Rt △DCF 中， DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，∴x 2＝（7﹣x ）2+32，∴x ＝297， ∴DE ＝297； （2）∵BD ＝3，BC ＝9，∴分两种情况如下：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，∴DE＝35；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，∴DE＝317，综上所述，DE的值为35或317．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．25．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.26．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=，∵2AE AP ==，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==，∴()22227BE +=， 解得：3BE =，作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒， ∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴26sin 453HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 6，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322=⨯ 13=，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：6EH HB ==∴622 AH AE EH=+=+，22222256623AB AH BH⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，21153222ABDS AB AD AB∆=⋅==+，故③正确；④因为AC是定值，所以当A P C、、共线时，PC最小，如图，连接BC，∵A C、关于BD的对称，∴523AB BC==+∴225231043AC BC==+=+∴minPC AC AP=-，10432=+⑤∵ABD与AEP都是等腰直角三角形，∴90BAD∠=︒，90EAP∠=︒，AB AD=，AE AP=，在ABP和ADE中，AB ADBAP DAEAP AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS≅，∴ABP ADE∠=∠，∵AN BN=，∴ABP NAB∠=∠，∴EAN ADE∠=∠，∵90EAN DAN∠+∠=︒，∴90ADE DAN∠+∠=︒，∴AN DE⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．27．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a 的值为92；②k 的取值范围为13k ≤<；（3）ABC ∆的面积为2033或1235． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；（2）①先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式，然后求解即可；②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；（3）如图（见解析），设BD x =，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x 的值，即可得出ABC ∆的面积．【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为2a ，恰好是第三边a 的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1故该命题是真命题；（2）①90,6CB b A ∠=︒=22236c a b a ∴=++根据优三角形的定义，分以下三种情况：当2a b c +=时，26236a a +=+，整理得24360a a -+=，此方程没有实数根。

中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)

中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)

中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。

2020年中考数学精选考点试卷13 三角形和勾股定理(解析版)

2020年中考数学精选考点试卷13 三角形和勾股定理(解析版)

中考数学 专题13.1三角形和勾股定理精选考点专项突破卷（一）考试范围：三角形和勾股定理；考试时间：90分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2017·江苏中考真题）三角形的重心是（ ）A ．三角形三条边上中线的交点B ．三角形三条边上高线的交点C ．三角形三条边垂直平分线的交点D ．三角形三条内角平行线的交点2．（2019·江苏中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．2，2，4B ．5，6，12C ．5，7，2D ．6，8，103．（2019·山东中考真题）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，//FC AB ，若4AB =，3CF =，则BD 的长是（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．24．（2019·吉林中考真题）如图，在ABC ∆中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使ADC 2B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·湖南中考真题）如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．（2018·浙江中考真题）如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，△CAD=20°，则△ACE 的度数是（ ）A ．20°B ．35°C ．40°D ．70°7．（2015·贵州中考真题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是（ ）A B ．C ．6,7,8 D ．2,3,48．（2019·湖南中考真题）如图，Rt△ABC 中，△C ＝90°，△B ＝30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则△CAD 的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．45°D ．60°9．（2012·黑龙江中考真题）如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分△BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．14D ．1310．（2019·广西中考真题）如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共28分)11．（2019·沭阳县修远中学中考模拟）如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积为____.12．（2019·山东中考模拟）如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段________.13．（2019·北京中考模拟）如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE△AD于E，CF△AD于F，请补充一个条件，使△BED△△CFD，你补充的条件是______（填出一个即可）．14．（2019·北京中考模拟）当三角形中的一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为直角三角形，则这个“特征角”的度数为______．15．（2019·辽宁中考模拟）如图，已知AB△CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=_______．16．（2018·安徽中考模拟）如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E是AD上的一个动点,把△BAE沿BE向矩形内部折叠,当点A的对应点A1恰好落在△BCD的平分线上时,CA1的长为__.17．（2019·双柏县雨龙中学中考模拟）已知三角形的两边长分别是7和10，则第三边长a的取值范围是_____．三、解答题一（每小题6分，共30分)18．（2014·江苏中考真题）如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．19．（2015·浙江中考真题）如图，已知△ABC，△C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若△B=37°，求△CAD的度数．20．（2013·浙江中考真题）如图，在△ABC中，△C=90°，AD平分△CAB，交CB于点D，过点D作DE△AB，于点E（1）求证：△ACD△△AED；（2）若△B=30°，CD=1，求BD的长．21．（2019·重庆中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分△ABC交AC 于点E，过点E作EF△BC交AB于点F．（1）若△C=36°，求△BAD的度数．（2）若点E在边AB上，EF//AC叫AD的延长线于点F．求证：FB=FE．22．（2019·四川中考真题）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE△直线m于点E，BD△直线m于点D．；①求证：EC BD②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．四、解答题二（每小题8分，共32分)23．（2017·江苏中考真题）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，△BCE=△ACD=90°，△BAC=△D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求△DEC的度数．24．（2018·山东中考真题）已知，在△ABC 中，△A=90°，AB=AC ，点D 为BC 的中点．（1）如图①，若点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且DE△DF ，求证：BE=AF ；（2）若点E 、F 分别为AB 、CA 延长线上的点，且DE△DF ，那么BE=AF 吗？请利用图②说明理由．25．（2015·广西中考真题）如图，在△ABC 中，△ACB=90°，AC=BC=AD ．（1）作△A 的平分线交CD 于E ；（2）过B 作CD 的垂线，垂足为F ；（3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明．26．（2019·山东中考真题）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．13.1三角形和勾股定理精选考点专项突破卷（一）参考答案1．A【解析】三角形的重心是三条中线的交点，故选A ．2．D【解析】根据三角形三边关系，看其中较小两边的和是否大于最长边即可判断各个选项中的三条线段是否能组成三角形．【详解】224+=Q ，2∴，2，4不能组成三角形，故选项A 错误，5612+<Q ，5∴，6，12不能组成三角形，故选项B 错误，527+=Q ，5∴，7，2不能组成三角形，故选项C 错误，6810+>Q ， 6∴，8，10能组成三角形，故选项D 正确，故选D ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．3．B【解析】根据平行线的性质，得出A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，根据全等三角形的判定，得出ADE CFE ∆≅∆，根据全等三角形的性质，得出AD CF =，根据4AB =，3CF =，即可求线段DB 的长．【详解】△//CF AB ，△A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE ∆和FCE ∆中A FCE ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ADE CFE AAS ∆≅∆，△3AD CF ==，△4AB =，△431DB AB AD =-=-=.故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定ADE FCE ∆≅∆是解此题的关键．4．B【解析】由ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠知B BCD ∠=∠，据此得DB DC =，由线段的中垂线的性质可得答案．【详解】解：△ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，△B BCD ∠=∠，△DB DC =，△点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.5．C【解析】如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，根据已知求出CD 的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.【详解】如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，AC 8=Q ，1DC AD 3=， 1CD 8213∴=⨯=+， C 90∠︒=Q ，BD 平分ABC ∠，DE CD 2∴==，即点D到AB的距离为2，故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键. 6．B【解析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出△CAB=2△CAD=40°，△B=△ACB=12（180°-△CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出△ACE=12△ACB=35°．【详解】△AD是△ABC的中线，AB=AC，△CAD=20°，△△CAB=2△CAD=40°，△B=△ACB=12（180°-△CAB）=70°．△CE是△ABC的角平分线，△△ACE=12△ACB=35°．故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出△ACB=70°是解题的关键．7．B【解析】试题解析：A．）2+）2≠2，故该选项错误；B．12+）2=2,故该选项正确；C．62+72≠82，故该选项错误；D．22+32≠42，故该选项错误.故选B.考点：勾股定理.8．B【解析】根据内角和定理求得△BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即△DAB=△B=30°，从而得出答案．【详解】在△ABC中，△△B=30°，△C=90°，△△BAC=180°-△B-△C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，△DA=DB，△△DAB=△B=30°，△△CAD=△BAC-△DAB=30°，故选B．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．9．C【解析】解：△AB=AC，AD平分△BAC，BC=8，△AD△BC，CD=BD=12BC=4，△点E为AC的中点，△DE=CE=12AC=5，△△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．10．B【解析】根据题意可知点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可排除选项C与D；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，故选项B符合题意，选项A不合题意．【详解】根据题意得，点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故选项C与选项D 不合题意；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，△选项B符合题意，选项A不合题意．故选B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．11．7【解析】如下图，连接A 1C ，B 1A ，C 1B ，，因B 是线段B 1C 的中点，所以B 1B=BC.△A 1B 1A 和△AB 1B 等底同高，根据等底同高的两个三角形面积相等可得S △B1AB =S △ABC =1；同理可得S △A1B1A =S △AB1B =1；所以=S △A1B1A +S △AB1B =1+1=2；同理可得S △C1CB1=2， S △C1AA1=2.S △A1B1C1= S △A1BB1+ S △C1CB1+ S △C1AA1+S △ABC =2+2+2+1=7.考点：等底同高的两个三角形面积相等.12．AF【解析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．【详解】△AF△BC 于F ，△AF 是△ABC 的高线，故答案为：AF ．【点睛】本题主要考查了三角形的高线，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．13．答案不唯一，如BD=DC【解析】根据全等三角形的判定定理AAS 判定△BED△△CFD ．【详解】解：可以添加条件：BD=DC ．理由：△BD=CD ；又△BE△AD ，CF△AD ，△△E=△CFD=90°；△在△BED 和△CFD 中，90BDE CDF E CFD BD CD ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，△△BED△△CFD（AAS）．故答案是：答案不唯一，如BD=DC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．14．45°或30°【解析】分①“特征角”的2倍是直角时，根据“特征角”的定义列式计算即可得解；②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角，根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可．【详解】解：①“特征角”的2倍是直角时，“特征角”=12×90°=45°；②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，由题意得，x+2x=90°，解得x=30°，所以，“特征角”是30°，综上所述，这个“特征角”的度数为45°或30°．故答案为：45°或30°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，读懂题目信息，理解“特征角”的定义是解题的关键．15．3【解析】△AB//CF，△△A=△FCE，△ADE=△F，又△DE=FE，△△ADE△△CFE，△AD=CF=5，△AB=8，△BD=AB-AD=8-5=3，故答案为3.16．【解析】过点A1作A1M△BC于点M.由A1C是角平分线可知△A1CM=45°，可证明A1M=CM，可知△AMC是等腰直角三角形，设CM=A1M=x，在Rt△A1MB中利用勾股定理列方程求出x的值，根据△AMC是等腰直角三角形即可求出答案.【详解】过点A1作A1M△BC于点M.△点A的对应点A1恰落在△BCD的平分线上，△BCD=90°，△△A1CM=45°，即△AMC是等腰直角三角形，△设CM=A 1M=x,则BM=7-x.又由折叠的性质知AB=A 1B=5，△在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-(7-x)2，△25-(7-x)2=x 2,解得x 1=3，x 2=4，△在等腰Rt△A 1CM 中,CA 1A 1M ，△CA 1或.【点睛】本题考查折叠性质及解直角三角形，图形折叠后对应边相等，对应角相等，熟练掌握折叠的性质是解题关键.17．3＜a ＜17．【解析】根据三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，即可解决问题．【详解】解：△三角形的两边长分别是10和7，△第三边长a 的取值范围是3＜a ＜17．故答案为3＜a ＜17．【点睛】本题考查三角形三边关系的运用，熟记三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和是解题的关键．18．证明见解析.【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可证△DBM=△ECM ，可证△BDM△△CEM ，可得MD=ME ，即可解题． 试题解析：证明：△ABC 中，△AB=AC ，△△DBM=△ECM.△M 是BC 的中点，△BM=CM.在△BDM 和△CEM 中，△，△△BDM△△CEM （SAS ）.△MD=ME ．BD CE DBM ECM BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩考点：1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质.19．（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）16°．【解析】（1）根据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作出AB的中垂线．（2）要求△CAD的度数，只需求出△CAD，而由（1）可知：△CAD=2△B【详解】解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）△在Rt△ABC中，△B=37°，△△CAB=53°．又△AD=BD，△△BAD=△B=37°．△△CAD=53°—37°=16°．考点：尺规作图，直角三角形两锐角互余、垂直平分线的性质．20．（1）见解析（2）BD=2【解析】解：（1）证明：△AD平分△CAB，DE△AB，△C=90°，△CD=ED，△DEA=△C=90°．△在Rt△ACD和Rt△AED中，AD AD {CD DE==，△Rt△ACD△Rt△AED（HL）．（2）△Rt△ACD△Rt△AED ，CD=1，△DC=DE=1．△DE△AB，△△DEB=90°．△△B=30°，△BD=2DE=2．（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可．（2）求出△DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．21．（1）54BAD︒∠=；（2）见解析.【解析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明△ADB=90°，再利用等腰三角形的性质求出△ABC即可解决问题.（2）只要证明△FBE=△FEB即可解决问题.【详解】解：（1）AB AC =QC ABC ∴∠=∠36C ︒∠=Q36ABC ︒∴∠=Q D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥90903654BAD ABC ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=（2）Q BE 平分ABC ∠ABE EBC ∴∠=∠又//EF BC QEBC BEF ∴∠=∠EBF FEB ∴∠=∠BF EF ∴=【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.22．①证明见解析；②见解析.【解析】①通过AAS 证得CAE BCD ∆≅∆，根据全等三角形的对应边相等证得结论；②利用等面积法证得勾股定理．【详解】①证明：△90ACB ︒∠=，△90ACE BCD ︒∠+∠=．△90ACE CAE ︒∠+∠=，△CAE BCD ∠=∠．在△AEC 与△BCD 中，CEA BDC CAE BCD AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()CAE BCD AAS ∆∆≌．△EC BD =；②解：由①知：BD CE a ==CD AE b == △1()()2AEDB S a b a b =++梯形 221122a ab b =++． 又△AEC BCD ABC AEDB S S S S =++V V V 梯形2111222ab ab c =++ 212ab c =+． △222111222a ab b ab c ++=+． 整理，得222+=a b c ．【点睛】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等．23．（1）证明见解析；（2）112.5°．【解析】()1根据同角的余角相等可得到24∠=∠，结合条件BAC D ∠=∠，再加上BC CE =， 可证得结论； ()2根据90ACD AC CD ∠=︒=，，得到145D ∠=∠=︒， 根据等腰三角形的性质得到3567.5∠=∠=︒， 由平角的定义得到1805112.5DEC ∠=︒-∠=︒．【详解】() 1证明：90BCE ACD ∠=∠=︒Q ，2334，∴∠+∠=∠+∠ 24∴∠=∠，在△ABC 和△DEC 中，24BAC D BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC DEC ∴V V ≌，AC CD ∴=；（2）△△ACD ＝90°，AC ＝CD ，△△1＝△D ＝45°，△AE ＝AC ，△△3＝△5＝67.5°，△△DEC ＝180°－△5＝112.5°．24．（1）证明见解析；（2）BE=AF ，证明见解析.【解析】分析：（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD 、△EBD=△FAD ，根据同角的余角相等可得出△BDE=△ADF ，由此即可证出△BDE△△ADF （ASA ），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF ；（2）连接AD ，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出△EBD=△FAD 、BD=AD ，根据同角的余角相等可得出△BDE=△ADF ，由此即可证出△EDB△△FDA （ASA ），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF ． 详（1）证明：连接AD ，如图①所示．△△A=90°，AB=AC ，△△ABC 为等腰直角三角形，△EBD=45°．△点D 为BC 的中点， △AD=12BC=BD ，△FAD=45°． △△BDE+△EDA=90°，△EDA+△ADF=90°，△△BDE=△ADF ．在△BDE 和△ADF 中，EBD FAD BD ADBDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△BDE△△ADF （ASA ），△BE=AF ；（2）BE=AF ，证明如下：连接AD ，如图②所示．△△ABD=△BAD=45°，△△EBD=△FAD=135°．△△EDB+△BDF=90°，△BDF+△FDA=90°，△△EDB=△FDA ．在△EDB 和△FDA 中，EBD FAD BD ADEDB FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△EDB△△FDA （ASA ），△BE=AF ．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：（1）根据全等三角形的判定定理ASA 证出△BDE△△ADF ；（2）根据全等三角形的判定定理ASA 证出△EDB△△FDA ． 25．（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）△ACE△△ADE ，△ACE△△CFB ．【解析】试题分析：（1）利用角平分线的作法得出△A 的平分线；（2）利用钝角三角形高线的作法得出BF ；（3）利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定得出答案．试题解析：（1）如图所示：AE 即为所求；（2）如图所示：BF 即为所求；（3）如图所示：△ACE△△ADE ，△ACE△△CFB ，△AC=AD ，AE 平分△CAD ，△AE△CD ，EC=DE ，在△ACE 和△ADE 中，△AE=AE ，△AEC=△AED ，EC=ED ，△△ACE△△ADE （SAS ）．考点：1．作图—复杂作图；2．全等三角形的判定．26．(1) AM =(2)见解析；(3)见解析.【解析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD ＝BD ＝DC ＝，求出 △MBD ＝30°，根据勾股定理计算即可；（2）证明△BDE △△ADF ，根据全等三角形的性质证明； （3）过点 M 作 ME △BC 交 AB 的延长线于 E ，证明△BME △△AMN ，根据全等三角形的性质得到 BE ＝AN ，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．【详解】（1）解：90BAC ∠=︒Q ，AB AC =，AD BC ⊥，AD BD DC ∴==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒，2AB =Q ，AD BD DC ∴===，30AMN ∠=︒Q ，180903060BMD ∴∠=︒-︒-︒=︒，30BMD ∴∠=︒，2BM DM ∴=，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得，DM =AM AD DM∴=-=（2）证明：AD BC⊥Q，90EDF∠=︒，BDE ADF∴∠=∠，在BDE∆和ADF∆中，{B DAFDB DABDE ADF∠=∠=∠=∠，()BDE ADF ASA∴∆∆≌BE AF∴=；（3）证明：过点M作//ME BC交AB的延长线于E，90AME∴∠=︒，则AE=，45E∠=︒，ME MA∴=，90AME∠=︒∵，90BMN∠=︒，BME AMN∴∠=∠，在BME∆和AMN∆中，{E MANME MABME AMN∠=∠=∠=∠，()BME AMN ASA∴∆∆≌，BE AN∴=，AB AN AB BE AE∴+=+==．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键。

2023年中考数学几何专题：勾股定理的应用(解析版)

2023年中考数学几何专题：勾股定理的应用(解析版)

2023中考数学几何专题：勾股定理的应用（解析版）1. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定【解析】速度一定且相同，路程比=时间比.再用勾股定理，直线距离应该是25分钟的路程.选C.【答案】C2. 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米 【解析】在初始和结束两个状态下,选定直角三角形,应用勾股定理. 初始时,经计算,可知,梯顶距墙底端24分米.结束时,经计算,可知,梯足距离墙底端15分米.选D. 【答案】D3. 如图,点P 是AOB ∠的角平分线上一点，过点P 作//PC OA 交OB 于点C .若60,4AOB OC ∠==,则点P 到OA 的距离PD 等于__________.【解析】过P 点作PE OB ⊥，并交OB 于点E .∵60,AOB OP ∠=是AOB ∠的角平分线， ∴630BOP ∠==. 又∵//PC OA ，∴60PCB AOB ∠=∠=.∴30OPC BOP BPC ∠==∠=∠.∴14,22PC OC EC PC ====.∴PB =.【答案】4. 将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为PODC B A EP ODC BA【答案】2.3cm5. 如图，是一块直角三角形的土地，现在要在这块地上挖一个正方形蓄水池AEDF ，已知剩余的两直角三角形（阴影部分）的斜边长分别为20cm 和30cm ，则剩余的两个直角三角形（阴影部分）的面积和．．．为 2cm ．【解析】cm AE x =，cm BE a =，cm CF b =，在Rt BDE ∆中，22230900a x +== ① 在Rt CDF ∆中，22220400b x +== ②在Rt ABC ∆中，()()222502500a x b x +++==，即2222222500a ax x b bx x +++++= ③③-①-②得，221200ax bx +=，3002ax bx+=最简单的方法为两个小的直角三角形旋转合并成一个大的直角三角形（正方形的边重合）故130203002⨯⨯=．【答案】3006. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．【解析】直接应用勾股定理可知,少走了5m.又知2步为1米,所以少走了10步. 【答案】107. 蚂蚁沿图中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）【解析】把折线从A 到D,分三段计算.第1段长为5,第2段长为13,第3段长为10,进行加法计算,所以蚂蚁一共爬了28cm .【答案】28cm8. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若54a b c +==，，则ABC S ∆= . 【解析】 在Rt ABC ∆中,由勾股定理得，222a b c +=. 又有()2222a b a b ab +=++, 所以 ()222a b c ab +-=所以1924ABC S ab ∆==.【答案】94ABC S ∆=9. 如图，Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，AB AC =，E 、F 为BC 上的点，且45EAF ∠=︒，求证：222EF BE FC =+．【解析】过点A 作线段AD ，使CAF BAD ∠=∠，且AD AF =．在ACF ∆和ABD ∆中， AC AB CAF BAD AF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF ABD ∆∆≌ ∴CF BD =，DBA FCA ∠=∠90DBE DBA ABE FCA ABE ∠=∠+∠=∠+∠=︒ 在ADE ∆和AFE ∆中， 45AE AE EAF EAD AD AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ADE AFE ∆∆≌ ∴ED EF =在Rt BDE ∆中，222DE BD BE =+，∴222EF BE FC =+．【答案】见解析F E C B ADF E CB ACBAD10. 如图，已知Rt △ABC 的周长为26+，其中斜边2AB =，求这个三角形的面积.【解析】在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得2222a b +=，即2()24a b ab +-=。

中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案

中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案

中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案一、单选题1．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．Ba= √41，b=4，c=5C．a= 34，b=1，c= 54D．a=40，b=50，c=602．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．1653．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为（）A．16 B．2 C．32 D．1304．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在图中找出格点C，使得△ABC是腰长为无理数的等腰三角形，点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．75．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A=10，S B=8，S C=9，S D=4则下列判断不正确的是（）A．S E=18B．S F=13C．S M=31D．S M−S E=176．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.1B．√5C．2√2D．2√37．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么(a+b)2的值为（）.A．49 B．25 C．13 D．18．如图，在△ABC中∠C=60°，AC=4，BC=3 .分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AC于点D，则CD的长为（）A．1 B．75C．32D．3二、填空题9．如图，△ABC中AB=AC=10，BC=16，△ABC的面积是.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4 √2，则BC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是12．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为m．13．活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为三、解答题14．如图，点C在∠DAB内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，若AD＝5，求AB的长．15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：∠ACB＝90°．16．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C 点的距离．17．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，E为AC边上一点，且满足∠AED＝2∠DCB．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠B＝90°，AD＝6，AE＝9，求CE的长．18．如图，在正△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M（1）如图1，求∠BME的度数；（2）如图2，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H①求证：2MH+DM=AE；②若BE=2EC=2，求BH的长．答案1．D2．C3．A4．C5．D6．B7．A8．B9．4810．511．1.512．2.213．2√3或√314．解：解法一：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°在Rt△ABC与Rt△ADC中有AC=AC，CD=CB∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴AB=AD=5解法二：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°∵CD=CB∴由勾股定理得：AB= √AC2−BC2 = √AC2−CD2 =AD=515．证明：∵CD是△ABC的高∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=1，BD=4，CD=2∴AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=BD2+CD2=42+22=20，AB2=（1+4）2=25．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形∴∠ACB=90°．16．解：由勾股定理得；BC2=AC2−AB2=252−202=225∴BC=15（米）∵BD=AB−AD=20−12=8（米）∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=√DB2+BC2=√82+152=17∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答；此时小鸟到地面C点的距离为17米．17．（1）证明：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCB即∠ACB=2∠DCB又∵∠AED=2∠DCB∴∠ACB=∠AED∴DE//BC；（2）解：∵DE//BC∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE=90°∵∠BCD=∠ECD∴∠EDC=∠ECD∴ED=CE∵AD=6，AE=9∴DE=√AE2−AD2=√92−62=3√5∴CE=3√5．18．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°又∵AD=CE ∴△ABD≌△CAE(SAS)∴∠BME=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°（2）解：①∵BH⊥AE ∠BME=60°∴∠HBM=30°∴BM=2MH∵△ABD≌△CAE ∴AE=BD=BM+MD=2MH+MD②过点E作EG⊥AB于点GBE=2EC=2 ∴AB=BC=3∴使用ABC=60°∴BG=1，AG=2，由勾股定理可得，GE= √3，AE= √7设HE=x，则AH= √7 -x由勾股定理得32-（√7 -x）2=22-x2解得x= √77再由勾般定理可得：BH= 3√21.7。

八年级上册第1章《勾股定理》单元试卷含答案(中考数学试题)

八年级上册第1章《勾股定理》单元试卷含答案(中考数学试题)

中考数学试题分类汇编：北师版数学八年级上册第1章《勾股定理》考点一：勾股定理1.（•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5B．6C．7D．8【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦的平方为32+42=25，弦长为5．故选：A．2.（•模拟）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．64【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．3.（•模拟）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答．【解答】解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，运用勾股定理得：BC2=（15﹣3）2+（20﹣4）2=122+162=400，所以BC=20．则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．故选：D．4.（•模拟）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC，AB=5，BC=6，则AD=（）A．3B．4C．5D．6【分析】先判定△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求得BD，在Rt△ABD中利用勾股定理可求得AD的长．【解答】解：∵∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=12BC=3，在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，∴AD=4，故选：B．考点二：勾股定理得证明1.（•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，∴4×ab+（a﹣b）2=25，∴（a﹣b）2=25﹣16=9，∴a﹣b=3，故选：D．2.（•期中）如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它验证勾股定理．【分析】通过图中小正方形面积证明勾股定理．【解答】解：S小正方形=（b﹣a）2=b2﹣2ab+a2，另一方面S小正方形=c2﹣4×ab=c2﹣2ab，即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab，∴a2+b2=c2．3.（•期中）如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，试利用图形证明勾股定理．【分析】由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．【解答】证明：∵∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∴∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，∵∠ABC+∠DBE=90°，∴∠ABE=90°，三个Rt△其面积分别为12ab，12ab和12c2．直角梯形的面积为12（a+b）（a+b）．由图形可知：12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，整理得（a+b）2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，∴a2+b2=c2．4.（•模拟）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a），∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a），∴a2+b2=c2．请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a（b﹣a），∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（b﹣a），∴a2+b2=c2．考点三：勾股定理的逆定理1.（•南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3，4，5B．2，3，4C．4，6，7D．5，11，12【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．【解答】解：A、∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；故选：A．2.（•模拟）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；根据勾股定理，得：AD2=AC2+CD2=25，CD=5cm；∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．3.（•期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3B．6，8，10C．5，12，13D．15，20，25【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断三角形是不是直角三角形，据此进行判断．【解答】解：A、（1.5）2+22≠32，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、52+122=169=132，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、152+202=252，能构成直角三角形，故本选项符合题意；故选：A．4.（•期末）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2B．a：b：c=3：4：5C．∠C=∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C=9：12：15【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．【解答】解：A.b2﹣c2=a2，则b2=a2+c2，△ABC是直角三角形；B.a：b：c=3：4：5，设a=3x，b=4x，c=5x，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形；C.∠C=∠A﹣∠B，则∠B=∠A+∠C，∠B=90°，△ABC是直角三角形；D.∠A：∠B：∠C=9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x=180°，解得，x=5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．5.（•期中）已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（）A．24B．30C．40D．48【分析】因为△ABC的三边分别是6，8，10，根据勾股定理的逆定理可求出此三角形为直角三角形，根据三角形面积公式可求出面积．【解答】解：∵62+82=102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积=×6×8=24．故选：A．6.（•期中）已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．【解答】解：∵a+b=10，ab=18，c=8，∴（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，c2=64，∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．7.（•期末）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．【分析】勾股定理和了解数的规律变化是解题关键．【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：112+x2=（x+1）2，解得x=60，则得第5组数是：11、60、61．故答案为：11、60、61．8.（•期中）如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．【分析】根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=225，CD=15，∴S△ABC=12BC•AD=12（BD+CD）•AD=12×21×8=84，因此△ABC的面积为84．答：△ABC的面积是84．考点四：勾股定理的应用1.（•期末）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（）A．75B．100C．120D．125【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．故选：B．2.（•模拟）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明（）A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断【分析】由勾股定理求出BC=4＞3.9，即可得出结论．【解答】解：如图所示：AB=9﹣4=5，AC=4﹣1=3，由勾股定理得：BC=4＞3.9，∴此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明有危险，故选：B．3.（•模拟）如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB=32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF=25cm，则AD的长为（）A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm【分析】首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明∠EAC=∠DCA，根据等角对等边证明FC=AF，则DF即可求得，然后在直角△ADF中利用勾股定理求解．【解答】解：∵长方形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∵∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠DCA，∴FC=AF=25cm，又∵长方形ABCD中，DC=AB=32cm，∴DF=DC﹣FC=32﹣25=7cm，在直角△ADF中，AD=24（cm）．故选：C．4.（•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为．【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．故答案为：x2+32=（10﹣x）2．5.（•包头）如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为．【分析】根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长．【解答】解：根据勾股定理得：AC=5，由网格得：S△ABC=12×2×4=4，且S△ABC=12AC•BD=12×5BD，∴12×5BD=4，解得：BD=85．故答案为：8 56.（•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B2=A′D2+BD2=400，A′B=20（cm）．故答案为20．7.（•期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方两丈，葭生其，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池是边长为2丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正长有一根芦苇，芦苇露出水面2尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是多少？”答：这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是．【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理可得x2+（102）2=（x+1）2，再解答即可．【解答】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（102）2=（x+1）2，解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），答：水池深12尺，芦苇长13尺．故答案是：12尺；13尺．8.（•期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长．【分析】根据折叠得到BE=EB′，AB′=AB=3，设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，根据勾股定理求得AC的值，再由勾股定理可得方程x2+22=（4﹣x）2，再解方程即可算出答案．【解答】解：根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3，设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=5，∴B′C=5﹣3=2，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4﹣x）2，解得x=1.5．11/ 11。

《勾股定理》专题复习(含答案)

《勾股定理》专题复习(含答案)

第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆 孔中心A 和B 的距离为______mm ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，， 若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180—60=120，由勾股定理得: AB 2=902+1202=22500,所以AB=150（mm ）（2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边,求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理,得:4532C E C E ===，4532A E A E ===,44332A C A C ==,445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠图1 图21A2A3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A 2A 3A4A 5A 5E2E 1E1D 1C 1B 4C 3C 2C图3122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力． 专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2:1：1,a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =; （C)222c a =； (D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4,x,则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； (C ）3个； (D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7。

【中考数学】 易错易错压轴勾股定理选择题(附答案)

【中考数学】 易错易错压轴勾股定理选择题(附答案)

【中考数学】易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题(附答案)一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．600m B．500mC．400m D．300m2．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（）A．5B．8C．10D．123．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（）A．3 B．3C．5D．3或54．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A ．5cmB ．10cmC ．14cmD ．20cm6．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．3D ．47．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（ ）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm8．如图钢架中，∠A ＝15°，现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2，P 2P 3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．109．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，45C ︒∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（ ）A ．3B ．23C ．4D ．3210．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ）A ．1B ．54C ．74D ．25411．在ΔAB C 中,211a b c=+,则∠A( ) A ．一定是锐角B ．一定是直角C ．一定是钝角D ．非上述答案12．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）A ．29cmB ．5cmC ．37cmD ．4.5cm13．一个直角三角形两边长分别是12和 5，则第三边的长是（ ） A ．13B ．13或15C ．13或119D ．1514．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC DE BC ︒∠=⊥于点E ，BF ⊥DC 于点F ，DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①12CE BE =；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．②③⑤C ．①⑤D ．③④ 15．在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =，则AC =（ ）A ．6B ．12C ．62D ．316．已知x ，y 为正数，且224(3)0x y -+-=，如果以x ，y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．7D ．1517．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．3B ．4C ．7(21)-D ．7(21)+18．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )A ．3-B ．5-C ．13-D ．15-19．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2(1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形20．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )A ．3，4，5B ．1，1，2C ．8，12，13D ．2、3、521．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=︒BEC ，1FG =，则2AB 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．722．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD 的长为（ ）A ．10B ．5C ．4D ．323．如图，正方体的棱长为4cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ）A ．9B ．210C ．326+D ．1224．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A ．6，8，10B ．5，12，13C ．3，5，6D ．2，3，525．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）A 33B ．4cmC ．2cmD ．6cm26．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） A ．5B 7C 5D ．5727．如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )A ．4B ．6C ．8D ．928．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )A ．(3510)cm +B ．513cmC ．277cmD ．(2583)cm +29．如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB ＝3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长为（ ）A ．3B 6C 10D ．930．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，6D ．13，2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题 1．B 解析：B【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如右图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC=300m，在Rt△ABC中，AC=22=500m，AB BC∴CE=AC-AE=200，从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m．故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．2．C解析：C【解析】分析：通过切线的性质表示出EC的长度，用相似三角形的性质表示出OE的长度，由已知条件表示出OC的长度即可通过勾股定理求出结果.详解：如图：连接BC，并连接OD交BC于点E：∵DP ⊥BP ，AC 为直径； ∴∠DPB=∠PBC=90°. ∴PD ∥BC,且PD 为⊙O 的切线. ∴∠PDE=90°=∠DEB, ∴四边形PDEB 为矩形， ∴AB ∥OE ，且O 为AC 中点，AB=6. ∴PD=BE=EC. ∴OE=12AB=3. 设PA=x ，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC ，EC=PD=6-x. .在Rt △OEC 中:222OE EC OC +=,即：()()222363x x +-=+，解得x=2. 所以AC=2OC=2×（3+x ）=10.点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理.3．D解析：D 【解析】当一直角边、斜边为1和2时，第三边==；当两直角边长为1和2时，第三边==；故选：D ．4．C解析：C 【解析】试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ． ∵在△BAD 和△CAE 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAE ，AD=AE ， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ）．∴BD=CE ．本结论正确． ②∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ．∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°． ∴BD ⊥CE ．本结论正确．③∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°． ∵∠ABD=∠ACE ，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．④∵BD ⊥CE ，∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得：BE 2=BD 2+DE 2． ∵△ADE 为等腰直角三角形，∴2AD ，即DE 2=2AD 2． ∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2． 而BD 2≠2AB 2，本结论错误．综上所述，正确的个数为3个．故选C ．5．D解析：D 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，12OA AC =，12OB BD =，再利用勾股定理列式求出AB ，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解. 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，11622OA AC ==⨯=3cm ， 118422OB BD cm ==⨯=根据勾股定理得，5cm AB == ，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm. 故选：D. 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记.6．B解析：B 【分析】过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，由角平分线的性质得到OD=OE=OF ，根据勾股定理求出BC 的长，易得四边形ADFO 为正方形，根据线段间的转化即可得出结果. 【详解】解：过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ， ∵BO,CO 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线， 所以OD=OE=OF ， 又BO=BO,∴△BDO ≌△BEO,∴BE=BD. 同理可得，CE=CF.又四边形ADOE 为矩形，∴四边形ADOE 为正方形. ∴AD=AF.∵在Rt △ABC 中，AB=6，AC=8，∴BC=10. ∴AD+BD=6①, AF+FC=8②， BE+CE=BD+CF=10③，①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14， ∴AD=2. 故选：B.【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．7．D解析：D【分析】根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．8．D解析：D【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离即AP5为3AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，再用含a的式子表示出P1P3，P3P5，从而可求出a的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．【详解】解：如图，∵AP1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P1P2A=15°，∴∠P2P1P3=30°，∴∠P1P3P2=30°，∴∠P3P2P4=45°，∴∠P3P4P2=45°，∴∠P4P3P5=60°，∴∠P3P5P4=60°，∴∠P5P4P6=75°，∴∠P4P6P5=75°，∴∠P6P5B=90°，此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，∵∠P2P1D＝30°，∴P2D=12P1P2，∴P1D＝32a，∵P1P2=P2P3，∴P1P3＝2P13a，∵∠P 4P 3P 5=60°，P 3P 4=P 4P 5，∴△P 4P 3P 5是等边三角形，∴P 3P 5＝a ，∵最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为4+23，∴AP 5=a +3a +a ＝4+23，解得，a ＝2，∴所有钢条的总长为2×5＝10，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．9．D解析：D【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD 是线段QE 垂直平分线，再根据垂直平分线的性质、两点之间线段最短得出PB PQ +最小值为BE ，最后根据垂线段最短、直角三角形的性质得出BE 的最小值即可得．【详解】如图，作QE AD ⊥，交AC 于点E ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ，AD ∴是线段QE 垂直平分线（等腰三角形的三线合一）PQ PE ∴=PB PQ PB PE ∴+=+由两点之间线段最短得：当点,,B P E 共线时，PB PE +最小，最小值为BE点,P Q 都是动点BE ∴随点,P Q 的运动而变化由垂线段最短得：当BE AC ⊥时，BE 取得最小值在Rt BCE ∆中，456,C C B ∠=︒=2322BE CE BC ∴===即PB PQ +的最小值为32故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短确认PB PQ +的最小值是解题关键．10．C解析：C【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD ，由此根据勾股定理求出CD.【详解】∵AB=10，AC=8，BC=6，∴2222228610AC BC AB +=+==,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∵DE 垂直平分AB ，∴AD=BD ，在Rt △BCD 中，222BD BC CD =+ ,∴222(8)6CD CD -=+,解得CD=74， 故选：C. 【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC 是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.11．A解析：A【解析】【分析】根据211a b c=+以及三角形三边关系可得2bc ＞a 2 ，再根据（b-c ） 2 ≥0，可推导得出b 2 +c 2 ＞a 2 ，据此进行判断即可得. 【详解】∵211a b c =+， ∴2b c a bc+=，∴2bc=a（b+c），∵a、b、c是三角形的三条边，∴b+c＞a，∴2bc＞a·a，即2bc＞a 2，∵（b-c）2≥0，∴b 2 +c 2 -2bc≥0，b 2 +c 2≥2bc，∴b 2 +c 2＞a 2，∴一定为锐角，故选A．【点睛】本题考查了三角形三边关系、完全平方公式、不等式的传递性、勾股定理等，题目较难，得出b 2 +c 2＞a 2是解题的关键.12．B解析：B【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA'，A C''，C B''，B B'剪开，得图1:22222'=+'=++=；(21)425AB AB BB（2）沿AC，CC'，C B''，B D''，D A''，A A'剪开，得图2:22222'=+'=++=+=；AB AC B C2(41)42529DD，B D''，C B''，C A''，AA'剪开，得图3:（3）沿AD，'22222'=+'=++=+=；AB AD B D1(42)13637AB'=．综上所述，最短路径应为（1）所示，所以225AB'=，即5cm故选：B．【点睛】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．13．C解析：C【分析】记第三边为c ，然后分c 为直角三角形的斜边和直角边两种情况，利用勾股定理求解即可．【详解】解：记第三边为c ，若c 为直角三角形的斜边，则13c ==；若c 为直角三角形的直角边，则c =故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，属于基本题目，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键．14．B解析：B【分析】根据直角三角形的意义和性质可以得到解答．【详解】解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=︒∠=∠，∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE∴Rt BEH Rt DEC ≅，∴BH=CD=AB ，③正确；∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确，∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确故选B ．【点睛】本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．15．D解析：D【分析】根据直角三角形的性质求出BC ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB=6，由勾股定理得，=故选：D ．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．16．C解析：C【分析】本题可根据两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0解出x 、y 的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．【详解】依题意得：2240,30x y -=-=，∴2,x y ==，斜边长==所以正方形的面积27==．故选C ．考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．17．C解析：C【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据角平分线的性质定理，可得：DE ＝DC ＝x ，则BE ＝x ，进而可得到AE ＝AC ＝7，在Rt △BDE 中，应用勾股定理即可求解．【详解】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则∠AED ＝90°，AE ＝AC ＝7，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴BC ＝AC ＝7，AB在Rt △AED 和Rt △ACD 中，AE ＝AC ，DE ＝DC ，∴Rt △AED ≌Rt △ACD ，∴AE ＝AC ＝7，设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝7－x ，在Rt △BDE 中，222BE +DE =BD ，即：()()22277-x x +=，解得： 1)x =-，故选：C ．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，运用方程思想是解题的关键．18．D解析：D【分析】根据勾股定理求出AB 的长，即为AC 的长，再根据数轴上的点的表示解答.【详解】 由勾股定理得，22125AB =+=∴5AC AB ==∵点A 表示的数是1∴点C 表示的数是15-故选D.【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB 的长是解题的关键.19．D解析：D【分析】由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由222+=a b c 的关系，可推导得到△ABC 为直角三角形．【详解】 ∵2(1)250a b c --=又∵()2102050a b c ⎧-≥-≥-≥⎪⎩∴()21=02=05a b c ⎧-⎪⎪-⎨⎪⎪⎩∴12a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴222+=a b c∴△ABC 为直角三角形故选：D ．【点睛】本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．20．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．【详解】A. 32+42=52，能构成直角三角形，故不符合题意；B. 12+12=）2，能构成直角三角形，故不符合题意；C. 82+122≠132，不能构成直角三角形，故符合题意；D.）2+2=2，能构成直角三角形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．21．C解析：C【分析】结合等边三角形得性质易证△ABE ≌△CAD ，可得∠FBG ＝30°，BF ＝2FG ＝2，再求解∠ABE ＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．【详解】∵△ABC 为等边三角形∴∠BAE ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ，CD ＝AE∴△ABE ≌△CAD （SAS ）∴∠ABE=∠CAD∴∠BFD ＝∠ABE+∠BAD ＝∠CAD+∠BAF ＝∠BAC ＝60°，∵BG ⊥AD ，∴∠BGF ＝90°，∴∠FBG ＝30°，∵FG ＝1，∴BF＝2FG＝2，∵∠BEC＝75°，∠BAE＝60°，∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°，∴∠ABG＝45°，∵BG⊥AD，∴∠AGB＝90°，∴=AB2=AG2+BG22)2=6．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG为等腰直角三角形是解题关键．22．B解析：B【分析】根据“在Rt△ABC中”和“沿BD进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．【详解】∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴，根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD，∴A′C=10-6=4．设CD=x，则A′D=8-x，根据勾股定理可得x2-（8-x）2=42，解得x=5，故CD=5．故答案为：B．【点睛】本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．23．B解析：B【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．【详解】解：如图，AB=．故选：B．【点睛】此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．24．C解析：C【分析】求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】A、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、32+52≠62，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D、222235+=，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．25．A解析：A【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.【详解】∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由AD＝AD，所以，Rt△ACD≌Rt△AED，所以，AC=AE.∵E为AB中点，∴AC=AE=12AB，所以，∠B=30° .∵DE为AB中线且DE⊥AB，∴AD=BD=3cm ，∴DE=12BD=32,∴= 故选A.【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.26．D解析：D【分析】分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．【详解】当4是直角边时，斜边，当4是斜边时，另一条直角边=，故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．27．B解析：B【分析】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，用a 、b 、c 分别表示'A BC ，'AB C △，'ABC △的面积，再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2，求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积.【详解】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，由题意得'A BC 的面积=11022a a ⋅⋅=，'AB C △的面积=142b ⋅=∴2a = 2b =在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，b 2+c 2=a 2，∴c 2=a 2-b 2=∴'ABC △的面积=2133224c c c ⋅⋅==38364⨯= 故此题选B【点睛】 此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积28．C解析：C【分析】当E 1F 1在直线EE 1上时，，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP 的长；当E 1F 1在直线B 2E 1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP 的长,两者进行比较即可确定答案【详解】① 当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm ，PE=6+3=9cm ，由勾股定理得2222149277AP AE PE cm =+=+=② 当展开方法如图2时，AP 1=8+6+3=17cm ，PP 1=6cm ， 由勾股定理得222211176325AP AP PP cm =+=+= ∵277<325∴蚂蚁爬行的最短距离是277cm,【点睛】此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的29．C解析：C【分析】做点F 做FH AD ⊥交AD 于点H ，因此要求出EF 的长，只要求出EH 和HF 即可；由折叠的性质可得BE=DE=9-AE ，在Rt ABE △中应用勾股定理求得AE 和BE ，同理在Rt BC F 'Rt ABE △中应用勾股定理求得BF ，在Rt EFH 中应用勾股定理即可求得EF ．【详解】过点F 做FH AD ⊥交AD 于点H ．∵四边形EFC B '是四边形EFCD 沿EF 折叠所得，∴ED=BE ，CF=C F '，3BC CD '==∵ED=BE ，DE=AD-AE=9-AE∴BE=9-AE∵Rt ABE △，AB=3，BE=9-AE∴()22293AE AE -=+∴AE=4∴DE=5∴9C F BC BF BF '=-=-∴Rt BC F '，3BC '=,9C F BF '=-∴()22293BF BF -+=∴BF=5，EH=1∵Rt EFH ，HF=3，EH=1 ∴22223110EF EH HF =+=+故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 30．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．【详解】解：A 、12+22=5≠32，故不符合题意；B 、22+32=13≠42，故不符合题意；C 、32+42=25≠62，故不符合题意；D 、12+23=4=22，符合题意. 故选D.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，简便的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．。

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解） 知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。

若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。

2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。

3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。

4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。

②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。

5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。

练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ． 故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝， 故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝ ．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。

中考数学专题复习题：勾股定理逆定理及其应用

中考数学专题复习题：勾股定理逆定理及其应用

中考数学专题复习题：勾股定理逆定理及其应用1．若ABC ∆的三边a ，b ，c ，满足2:1:1::=c b a ，试判断ABC ∆的形状．2．已知a ，b ，c 分别ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b −=−，则ABC ∆为________．3．若三角形的三边分别为44n m +，44n m −，222n m （0＞＞n m ），试判断三角形的形状．4．已知三角形的三边分别为a 、b 、c ，且1a m =−，2b m =，1(1)c m m =+>．（1）这个三角形一定是直角三角形吗？为什么？（2）试给出一组直角三角形的三边的长，使它的最小边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数．5．满足方程222x y z +=的正整数x 、y 、z ，我们称它们为勾股数．（1）已知22x m n =−，2y mn =，22z m n =+，请证明x 、y 、z 是一组勾股数．（2）求有一个数是16的一组勾股数．6．如图，在ABC ∆中，CD 为AB 边上的高，2AD =，8BD =，4CD =，求证：ABC ∆是直角三角形．第6题图 第7题图 第8题图7．如图，在ABC ∆中，CD 是AB 边上的中线，且有2224AC BC CD +=．（1）探究ABC ∆是否为直角三角形．（2）证明你的结论．8．如图所示的一块地，已知4AD m =，3CD m =，AD DC ⊥，13AB m =，12BC m =，求这块地的面积．9．直角三角形中两个直角边为a ，b ，斜边为c ，斜边上的高为h ，那么c h +，a b +，h 为三边构成的三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形10．已知ABC ∆的三边为a 、b 、c ，且4a b +=，1ab =，14c =，试判定ABC ∆的形状．11．已知：如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，4AB =，6BC =，5CD =，3AD =．求：四边形ABCD 的面积．第11题图 第12题图 第13题图12．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且4AB =，14CE BC =，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问AEF ∆是什么三角形？请说明理由．13．如图，ABC ∆中，已知AB AC =，D 是AC 上的一点，9CD =，15BC =，12BD =．（1）判断BCD ∆的形状并证明你的结论．（2）求ABC ∆的面积．14．已知ABC ∆的三边长为cm BC 4=，cm AC 5=，cm AB 41=，求BC 边上的中线AD 长．15．在下列说法中是错误的是（ ）A ．在ABC ∆中，若::5:2:3ABC ∠∠∠=，则ABC ∆为直角三角形B ．在ABC ∆中，C A B ∠=∠−∠，则ABC ∆为直角三角形C ．在ABC ∆中，若35a c =，45b c =，则ABC ∆为直角三角形D ．在ABC ∆中，若::2:2:4a b c =，则ABC ∆为直角三角形16．三角形的三边长分别为a 、b 、c ，如果满足等式：22()2a b c ab +−=，那么此三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形17．某位同学把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（ ）A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍18．已知三角形的三边分别是2n n +，12n +和21(0)2n n n ++>．求证：这个三角形是直角三角形．19．如图，已知四边形ABCD 中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，求四边形ABCD 的面积．第19题图 第20题图 第21题图20．如图，已知:::2:2:3:1AB BC CD DA =，且90ABC ∠=︒，求DAB ∠的度数． 21．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，若BC a =，AC b =，AB c =，CD h =，求证：222111a b h+=．。

中考数学专题复习《利用勾股定理求最短路径》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《利用勾股定理求最短路径》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《利用勾股定理求最短路径》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图一个牧童在小河的南4km的A处牧马而他正位于他的小屋B的西8km北7km 处他想把他的马牵到小河边去饮水然后回家他要完成这件事情所走的最短路径是km．2．如图长方体的长为3cm 宽为2cm 高为1cm的长方体蚂蚁沿着表面从A爬行到B 的最短路程是．3．如图在△ABC中AD是BC边上的高垂足为D已知BD=1,AD=CD=2,BC上方有一动点P且点P到A,D两点的距离相等则△BCP的周长最小值为．4．如图这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图该U型池可以看成是长方体去掉m的半圆其边缘AB＝CD＝15m 一个“半圆柱”而成中间可供滑行部分的截面是直径为32π点E在CD上CE＝3m一滑板爱好者从A点滑到E点则他滑行的最短距离约为m．（边缘部分的厚度忽略不计）5．如图四边形ABCD∠BAD＝60° ∠ADC＝150° 且BD∠DC已知AC的最大值是3 则BC＝．6．如图在一个长为5m宽为3m的长方形草地上放着一根长方体的木块它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD木块从正面看是边长为1m的正方形一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程约为m．（精确到1m）7．如图C为线段BD上一动点分别过B D作AB⊥BD ED⊥BD连接AC EC已知AB=5DE=1BD=8设CD=x．请用含x的代数式表示AC+CE的长为根据上述方法求出√x2+4+√(12−x)2+9的最小值为．8．如图四边形ABCD为矩形AD=3AB=4点E是AD所在直线的一个动点点F 是对角线BD上的动点且BF=DE则AF+BE的最小值是．9．如图长方形BCFG是一块草地折线ABCDE是一条人行道BC＝12米CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD践踏绿草管理部门分别在B D处各挂了一块牌子牌子上写着“少走米踏之何忍”．10．如图BD是RtΔABC的角平分线点F是BD上的动点已知AC=2AE=2√3−2∠ABC=30°则（1）BE=（2）AF+EF的最小值是．11．如图AB是半圆O的直径半圆的半径为4 点C D在半圆上OC⊥AB,BD=2CD 点P是OC上的一个动点则BP+DP的最小值为．12．如图一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直点P在墙面上若P A＝AB＝5米点P到AD的距离是4米有一只蚂蚁要从点P爬到点B它的最短行程是米13．如图在Rt∠AOB中∠AOB＝90° OA＝4 OB＝6 以点O为圆心3为半径的∠O与OB交于点C过点C作CD∠OB交AB于点D点P是边OA上的动点则PC+PD的最小值为．14．如图台阶阶梯每一层高20cm宽40cm长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是．15．已知正方形ABCD的边长为1 点E F分别是边BC CD上的两个动点且满足BE= CF连接AE AF则AE+AF的最小值为．16．如图在菱形ABCD中AB=4∠ABC=60°M为AD中点P为对角线BD上一动点连接PA和PM则PA+PM的最小值是．17．如图圆柱形容器高为18cm 底面周长为24cm 在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处则蚂蚁从外币A 处到达内壁B处的最短距离为．18．如图直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A B两点点C的坐标是（1 0）DE分别是AB OA上的动点当∠CDE的周长最小时点E的坐标是．19．如图菱形ABCD的边长为4 ∠BAD＝120° E是边CD的中点F是边AD上的一个动点将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF' 连接AF' BF' 则∠ABF'的周长的最小值是．20．如图已知矩形ABCD中AB＝4 AD＝3 E F分别为AB DC上的两个动点且EF∠AC则AF+FE+EC的最小值为．参考答案1．解：如图做出点A关于小河MN的对称点A` 连接A`B交MN于点P则A`B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．在Rt∠A`DB中由勾股定理求得A`B=√A`D2+DB2=√(7+4+4)2+82=17(km)．则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．2．解：如图1AB= √52+12=√26（cm）如图2AB= √32+32=3√2（cm）如图3AB= √22+42=√20=2√5（cm）故沿长方体的表面爬到对面顶点B处只有图2最短其最短路线长为：3√2cm．故答案为：3√2.3．解：∠P到AD两点的距离相同∠P在线段AD的垂直平分线上取AD的中点H作HF//BC作B关于HF的对称点E连接CE与直线FH交于P点P 即为所求∠∠BFH=90° BF=EF EP=BP∠要使∠BCP的周长最小∠BP+CP最小即为CE长又∠EF//BC∠ADC=90°∠∠FHD=∠HDB=90°∠四边形BDHF是矩形AD=1∠FBD=90°∠BF=DH=EF=12∠BE=2∠CE=√BC2+BE2∠CE=√13∠BCP的周长最小值=BC+BP+CP=3+√13故答案为：3+√13．4．解：如图是其侧面展开图：AD=12π⋅32π=16（m）AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m）在Rt∠ADE中AE=√AD2+DE2=√162+122=20（m）．故他滑行的最短距离约为20m．故答案为：20．5．解：如图取BC的中点F以BC为边在∠BCD另一侧作等边三角形∠BCG连接DG DF FG∠∠ADC＝150° 且BD∠DC∠∠ADB＝150°﹣90°＝60°∠∠BAD＝60°∠∠ADB＝∠BAD＝60°∠∠ABD是等边三角形而∠BCG也是等边三角形∠AB＝DB BC＝BG∠ABD＝∠CBG＝60°∠∠ABD+∠DBC＝∠CBG+∠DBC即∠ABC＝∠DBG在∠ABC和∠DBG中{AB=DB ∠ABC=∠DBG BC=BG∠∠ABC∠∠DBG（S A S）∠AC＝DG∠AC 的最大值是3∠DG 的最大值也是3在∠DGF 中 DG ≤DF +FG∠当DF FG 在同一条直线上时 DG 取最大值3 即DG ＝DF +FG ＝3 ∠BD ∠DC BC 的中点F∠DF ＝BF ＝CF ＝12BC∠等边三角形∠BCG BC 的中点F∠GF ∠BC ∠BGF ＝∠CGF ＝12∠BGC ＝30°∠BF ＝CF ＝12BG ＝12BC∠设DF ＝BF ＝CF ＝x 则BC ＝BG ＝2x∠FG ＝√BG 2−BF 2=√(2x)2−x 2=√3x∠DF +FG ＝x +√3x ＝3解得：x ＝3√3−32∠BC ＝2x ＝2×3√3−32＝3√3﹣3故答案为3√3﹣3．6．解：由题意可知 将木块展开 如图长相当于是AB +2个正方形的宽∠长为5+2×1＝7m 宽为3 m ．于是最短路径为：√32+72=√58≈8 m ．故答案为8．7． 解：AC +CE =√BC 2+AB 2+√CD 2+DE 2=√(8−x)2+25+√x 2+1 当A C E 三点共线时 AC +CE 的值最小如右图所示 作BD =12 过点B 作AB ∠BD 过点D 作ED ∠BD 使AB =2 ED =3连接AE交BD于点C设BC=x则AE的长即为代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．过点A作AF∠BD交ED的延长线于点F得矩形ABDF则AB=DF=2 AF=BD=12 EF=ED+DF=3+2=5所以AE=√AF2+EF2=√122+52=13即√x2+4+√(12−x)2+9的最小值为13故答案为：√(8−x)2+25+√x2+113．8．解：如图延长BC至G使得BG=BD连接GF∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB=∠ABC=90°,AD//CB∴∠EDB=∠FBC在△EDB与△FBG中{ED=BF ∠EDB=∠FBG BD=BG∴△EDB≌△FBG∴BE=GF∴AF+BE=AF+GF≥AG 在Rt△ABD中AD=3,AB=4BD=√AD2+AB2=5∴BG=5在Rt△ABG中BG=5,AB=4AG=√AB2+BG2=√42+52=√41∴AF+BE的最小值是√41．故答案为：√41．9．解：在Rt△BCD中∴BD=√BC2+CD2=13则BC+CD−BD=12+5−13=4（米）故答案为：410．解：（1）∠AC=2∠ABC=30°∠BAC=90°∠BC=2AC=4∠AB=√BC2−AC2=√42−22=2√3∠BE=AB−AE=2√3−(2√3−2)=2故答案为：2（2）如图所示作E点关于BD的对称点G连接EG AG GF∠BD是∠ABC的平分线∠点G在线段BC上∠根据对称性可得EF=GF BG=BE=2∠EF+AF=GF+AF≥AG∠当点A F G三点共线时GF+AF的长度最短即EF+AF的最小值为AG的长度．∠GC=BC-BG=4-2=2又∠∠ABC=30°∠BAC=90°∠∠C=60°又∠AC=2∠△AGC是等边三角形∠AG=AC=2．∠AF+EF的最小值是2．故答案为：2．11．解：作点D关于OC的对称点为D1连接BD1OD1过点D1作D1Q⊥AB由题知OC⊥AB BD=2CD∠BC=3CD可得CD对应的圆心角∠COD=30°又点D关于OC的对称点为D1∠∠COD1=30°∠AOD1=60°∠BD1长为BP+DP的最小值在RtΔQOD1中OD1=4∠OQ=2D1Q=2√3在RtΔQD1B中BQ=OQ+OB=6D1Q=2√3∠BD1=√62+(2√3)2=4√3故填：4√312．解：如图过P作PG∠BF于G连接PB∠AG=4 AP=AB=5∠PG=√AP2−AG2=3BG=9∠PB=√GB2+GP2=3√10故这只蚂蚁的最短行程应该是3√10故答案为：3√1013．解：延长CO交∠O于点E连接ED交AO于点P则PC+PD的值最小最小值为线段DE的长．∠CD∠OB∠∠DCB＝90°∠∠AOB＝90°∠∠DCB＝∠AOB ∠CD∠AO∠CD AO =BCBO∠CD 4=36∠CD＝2在Rt∠CDE中DE＝√CD2+CE2=√22+62=2√10∠PC+PD的最小值为2√10．故答案为：2√10．14．解：如图所示∠楼梯的每一级的高宽长分别为20cm宽40cm长50cm ∠AB=√502+[2(20+40)]2=130(cm)即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．故答案为：130cm．15．解：连接DE∠BE=CF且四边形ABCD为正方形∠CD-CF=BC-BE即DF=CE在△ADF和△DCE中{AD=DC ∠ADF=∠DCE DF=CE∴△ADF∠∠DCE∠AF=DE AE+AF=AE+DE以BC为对称轴作A点关于BC的对应点A′连接DA′与BC交点即为点E∠点A和点A′关于BC对称∠AE=A′EAE+DE=A′E+DE=A′D由勾股定理可得：A′D=√AD2+A′A2=√22+12=√5∠AE+AF的最小值为√5故答案为：√516．解：作点M关于BD的对称点N交CD于点N连接AN则AN就是P A+PM的最小值∠在菱形ABCD 中 AB =4 ∠ABC =60° M 为AD 中点 AC ∠BD∠∠ADC =60° DA =DC 点N 为CD 的中点∠∠DAC 是等边三角形 AN ∠CD∠AC =AD =AB =4∴AN =√AD 2−DN 2=√42−22=2√3故答案为：2√317．解∠如图 将杯子侧面展开 作A 关于EF 的对称点A ′ 连接A ′B 则A ′B 即为最短距离． 根据勾股定理 得A ′B =√A ′D 2+BD 2=√122+162=20m ．故答案为：20cm ．18．解：如图 点C 关于OA 的对称点C ′（-1 0） 点C 关于直线AB 的对称点C ″ ∠直线AB 的解析式为y =-x +7∠直线C C ″的解析式为y =x -1由{y =−x +7y =x −1得{x =4y =3∠F（4 3）∠F是C C″中点∠可得C″（7 6）．连接C′C″与AO交于点E与AB交于点D此时∠DEC周长最小∠DEC的周长=DE+EC+CD=E C′+ED+D C″=C′C″=√82+62=10．故答案为10．19．解：取AD中点G连接EG F'G BE作BH∠DC的延长线于点H∠四边形ABCD为菱形∠AB＝AD∠∠BAD＝120°∠∠CAD＝60°∠∠ACD为等边三角形又∠DE＝DG∠∠DEG也为等边三角形．∠DE＝GE∠∠DEG＝60°＝∠FEF'∠∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG即∠DEF＝∠GEF'由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'所以EF＝EF'．在∠DEF和∠GEF'中{DE=GE∠DEF=∠GEF′EF=EF′∠∠DEF∠∠GEF'（SAS）．∠∠EGF'＝∠EDF＝60°∠∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形可得A E关于GF'对称∠AF'＝EF'∠BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE在Rt∠BCH中∠∠H＝90° BC＝4 ∠BCH＝60°∠CH=12BC=2,BH=2√3,在Rt∠BEH中BE＝√BH2+EH2＝√12+16＝2√7∠BF'+EF'≥2√7∠∠ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2√7故答案为：4+2√7．20．解：过B作BH∠EF交CD于H过A作AG∠EF且使AG＝EF连接GE∠四边形AGEF是平行四边形∠AF＝GE∠当G E C三点共线时AF+EC最小∠EF ∠AC∠BH ∠AC∠∠HBC +∠BCA ＝90° ∠BCA +∠ACH ＝90° ∠∠HBC ＝∠ACH∠tan∠HBC ＝tan∠ACD 即HC BC =AD CD∠AB ＝4 AD ＝3∠ HC 3=34∠HC ＝94∠BH =√BC 2+CH 2=√9+(94)2=154∠AF +EF +EC ≥GC +BH∠GA ∠AC∠∠ACG 为直角三角形∠AB ＝4 AD ＝3∠AC ＝5∠EF ＝BH ＝AG∠AG ＝154∠GC ＝√AG 2+AC 2=√52+(154)2=254∠GC +EF ＝254+154＝10∠AF +FE +EC 的最小值为10故答案为：10．。

2023年人教版数学中考复习高频考点突破——勾股定理的应用(含答案)

2023年人教版数学中考复习高频考点突破——勾股定理的应用(含答案)

2023年人教版数学中考复习高频考点突破——勾股定理的应用一、单选题1．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得=，15BC m=，则A、B两点之间的距离为∠=︒，又量得9AC m90BAC（）A．10m B．11m C．12m D．13m 2．长度为下列四组数据的线段中，可以构成直角三角形的是()A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，63．如图，在□ABCD中，AB ⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．11B．10C．9D．8 4．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A．4B．5C．6D．7 5．如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）A．1米B米C．2米D．4米6．直线l上有三个正方形A、B、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和12，则正方形B的面积为（）．A．11B．12C．13D 7．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形.如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+ B．10+ C．10+ D．24 8．如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．5≤a≤12B．5≤a≤13C．12≤a≤13D．12≤a≤159．如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x 2+y 2=49；②x−y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 10．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD ，AC=4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是( )A ．2225y x =B ．2425y x =C ．225y x = D ．245y x = 二、填空题11．如图，在Rt∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB=4，AC=3，AD∠BC 于点D ，则∠ACD 与∠ABC 的面积比为12．某物体沿着坡比为4∠3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了 米． 13．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB ＝20cm ，底面直径BC ＝12cm ，球的最高点到瓶底面的距离为32cm ，则球的半径为 cm （玻璃瓶厚度忽略不计）.14．如图，在 ABC 中， 90ACB ∠=︒ ，点D, E 分别在 ,AC BC 上，且 CDE B ∠=∠ ，将 CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，如果 8AC = ， 10AB = ，那么CD 的长为 ．15．如图，在Rt∠ABC 中，∠ABC=90°，AB=8cm ，BC=6cm ，点D 以每秒1cm 的速度从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止。

2020年九年级数学中考复习微专题 勾股定理(解析版)

2020年九年级数学中考复习微专题 勾股定理(解析版)

2020年中考数学复习解答题专题练勾股定理1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，求点D到BC的距离.2. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求PD+PE的长.3. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，求AP的长.4. 如图为一个棱长为1的正方体的展开图，A，B，C是展开后小正方形的顶点，则∠ABC的度数为________.5.如图，已知AB=12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD=5，BC=10.点E是CD的中点，求AE的长.6. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5.(1)求DB的长.(2)在△ABC中，求BC边上高的长.7. 如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断三角形的形状.8. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.9. 已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=15，BD=25，求AC的长.10. 如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A 开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少？11如图，在四边形ABCD中，AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1，且∠ABC=90°，求∠DAB的度数.12.在三角形ABC中，D为BC的中点，AB等于5，AD等于6，AC等于13，试判断AD与AB的位置关系.13.如图，已知△ABC，AB=8，BC=10，AC=6.(1)判断△ABC是什么三角形？(2)用尺规作图法作出边BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E.(3)连接CE，求CE的长.14. 在某小区的A处有一个凉亭，道路AB，BC，AC两两相交于点A，B，C，并且道路AB与道路BC互相垂直，如图所示.已知点A与点B之间的距离为20m，若有两个小朋友在与点B相距10m的点D处玩耍，玩累了他们分别沿不同的路线D →B→A，D→C→A到凉亭A处喝水休息，已知路线D→B→A与D→C→A路程相等，求AC的长度.15. 如图，是某次机器人创意大赛中一位参赛队员设计的机器人行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B.问从点A到点B的直线距离是多少？2020年中考数学复习解答题专题练勾股定理（解析版）1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，求点D到BC的距离.【解析】选A.过D点作DE⊥BC于E.因为∠A=90°，AB=4，BD=5，所以AD 2=BD 2-AB 2=52-42=9，所以AD=3，因为BD 平分∠ABC ，∠A=90°，所以点D 到BC 的距离DE=AD=3.2. 在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点P 是BC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，求PD+PE 的长.【解析】过A 点作AF ⊥BC 于点F ，连接AP ，因为△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，所以BF=4，所以在Rt △ABF 中，AF 2=AB 2-BF 2=9，所以AF=3.所以12×8×3=12×5×PD+12×5×PE ，12=12×5×(PD+PE)，PD+PE=4.8.3. 如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE=OD ，求AP 的长.【解析】如图：设AP=x ，则DP=AD-AP=6-x ，因为将△ABP 翻折至△EBP ，所以EP=AP=x ，EB=AB=8，∠E=∠A=90°，因为∠D=∠E=90°，OE=OD ，∠DOP=∠EOF ，所以△DOP ≌△EOF ，所以EF=DP=6-x，OP=OF，因为OE=OD，所以DF=PE=x，所以CF=CD-DF=8-x，因为EF=6-x，BE=8，所以BF=BE-EF=8-(6-x)=x+2，在Rt△BCF中，CF2+BC2=BF2，所以(8-x)2+62=(x+2)2，解得x=4.8，所以AP=4.8.答案：4.84. 如图为一个棱长为1的正方体的展开图，A，B，C是展开后小正方形的顶点，则∠ABC的度数为________.【解析】连接AC，则AC2=22+1=5，BC2=22+1=5，AB2=32+1=10.因为AC2+BC2=AB2，所以△ABC为直角三角形.又因为AC2=BC2，所以AC=BC，所以∠CAB=∠ABC=45°.5.如图，已知AB=12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD=5，BC=10.点E是CD的中点，求AE的长.【解析】如图，延长AE交BC于点F.因为AB⊥BC，AB⊥AD，所以AD∥BC所以∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，又因为点E是CD的中点，所以DE=CE.因为在△AED与△FEC中，∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，DE=CE，所以△AED≌△FEC(AAS)，所以AE=FE，AD=FC.因为AD=5，BC=10.所以BF=5.在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2=122+52=169，AF=6.5.所以AF=13，所以AE=126. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5.(1)求DB的长.(2)在△ABC中，求BC边上高的长.【解析】(1)因为DB⊥BC，BC=4，CD=5，所以BD2=52-42=9，所以BD=3.(2)延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E，因为DB⊥BC，AE⊥BC，所以AE∥DB，因为D为AC边的中点，所以BD=1AE，所以AE=6，即BC边上高的长为6.27.如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断三角形的形状.【解析】因为a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，所以a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0，即a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，所以(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，所以a=3，b=4，c=5，因为a2+b2=c2，所以三角形为直角三角形.8. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.【解析】设EC=xcm，则DE=(8-x)cm，由折叠可知，EF=DE，AD=AF，在直角△ABF中，由勾股定理得AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，所以BF=6cm，所以FC=10-6=4(cm).在直角△EFC中，由勾股定理得FC2+CE2=EF2，即42+x2=(8-x)2，解之得x=3，即EC的长度为3cm.9. 已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=15，BD=25，求AC的长.【解析】过D作DE⊥AB，垂足为E，因为∠1=∠2，所以CD=DE=15，在Rt△BDE中，BE2=BD2-DE2=252-152=202，所以BE=20，因为∠1=2，∠C=∠DEA=90°，AD=AD，所以Rt△ACD≌Rt△AED，又因为AB2=AC2+BC2，即(AC+20)2=AC2+(15+25)2，解得AC=30.10. 如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A 开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少？【解析】设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，因为周长为36cm，AB+BC+AC=36，所以3x+4x+5x=36，得x=3，所以AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.因为AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，所以S△BPQ =12BP·BQ=12×6×6=18(cm2).11如图，在四边形ABCD中，AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1，且∠ABC= 90°，求∠DAB的度数.【解析】设AB=2a，BC=2a，CD=3a，DA=a.因为∠ABC=90°，AB=BC，所以∠BAC=∠BCA=45°，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=(2a)2+(2a)2=8a2，又AD2=a2，CD2=(3a)2=9a2.所以AC2+AD2=CD2，所以△ACD是以∠CAD为直角的直角三角形，所以∠CAD=90°，所以∠DAB=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°.12.在三角形ABC中，D为BC的中点，AB等于5，AD等于6，AC等于13，试判断AD与AB的位置关系.【解析】延长AD至点E，使DE=AD，并连接BE，因为D为BC的中点，所以CD=BD，因为∠ADC=∠EDB，所以△ADC≌△EDB，所以EB=AC=13，因为AD=6，所以AE=12，因为52+122=132，即AB2+AE2=EB2，所以∠EAB=90°，所以AD⊥AB.13.如图，已知△ABC，AB=8，BC=10，AC=6.(1)判断△ABC是什么三角形？(2)用尺规作图法作出边BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E.(3)连接CE，求CE的长.【解析】(1)因为AB=8，BC=10，AC=6，所以102=82+62，即BC2=AB2+AC2，所以△ABC是直角三角形.(2)作图如图1：(3)连接CE，如图2：设CE为x，因为边BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，所以CE=BE=x，在Rt△ACE中，CE2=AE2+AC2，即x2=(8-x)2+62，解得x=6.25，所以CE=6.25.14. 在某小区的A处有一个凉亭，道路AB，BC，AC两两相交于点A，B，C，并且道路AB与道路BC互相垂直，如图所示.已知点A与点B之间的距离为20m，若有两个小朋友在与点B相距10m的点D处玩耍，玩累了他们分别沿不同的路线D →B→A，D→C→A到凉亭A处喝水休息，已知路线D→B→A与D→C→A路程相等，求AC的长度.【解析】设AC的距离为xm，则DC的长为(30-x)m，则BC的长为(40-x)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，即202+(40-x)2=x2，解得x=25.答：AC之间的距离是25m.15. 如图，是某次机器人创意大赛中一位参赛队员设计的机器人行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B.问从点A到点B的直线距离是多少？【解析】过点B作BC⊥AD于C，从图中可以看出AC=4-2+0.5=2.5(m)，BC=4.5+1.5=6(m)，在Rt△ABC中，AB为斜边，，则AB2=AC2+BC2=1694所以AB=13m.2答：从点A到点B的直线距离是13m.2。

专题21 勾股定理-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)

专题21 勾股定理-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)

专题21 勾股定理【考查题型】【知识要点】知识点一勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。

变式：，，,,.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法：方法一（图一）：，，化简可证．方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为，所以方法三（图三）：，，化简得证图一图二图三知识点二勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数常见的勾股数：如；；；等扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：1）（为正整数）；2）（为正整数）3）（，为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。

知识点三勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边【注意】1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；2)定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边3)勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点四直角三角形的性质与判定性质：1）直角三角形的两个锐角互余。

中考数学勾股定理复习题含答案

中考数学勾股定理复习题含答案
24．如图， 是等边三角形， 为 上两点，且 ，延长 至点 ，使 ，连接 ．
（1）如图1，当 两点重合时，求证： ；
（2）延长 与 交于点 ．
①如图2，求证： ；
②如图3，连接 ，若 ，则 的面积为______________．
25．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．
23．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．
A．（2，0）B．（4，0）
C．（－ ，0）D．（3，0）
3．如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ，分别以点A，C为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）
A． B．6C． D．8
4．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．

中考数学勾股定理知识点-+典型题含答案

中考数学勾股定理知识点-+典型题含答案

中考数学勾股定理知识点-+典型题含答案一、选择题1．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：①BD =CE ，②BD ⊥CE ，③∠ACE +∠DBC=30°，④()2222BE AD AB =+．其中，正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 3．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（ ） A ．a =3，b=4，c=6B ．a =1，b=2，c=3C ．a =5，b=6，c=8D ．a =3，b=2，c=55．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，则点D 到AB 的距离是（ ）A．3 B．4 C．7(21)-D．7(21)+6．下列命题中，是假命题的是( )A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形7．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）A．6 B．32πC．2πD．128．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）A．3 B．5 C．4.2 D．410．如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9 B．210C．326+D．12二、填空题11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝12，BC＝5，D是AB边上的动点，E 是AC边上的动点，则BE＋ED的最小值为．∠+∠=__________°（点A，B，C是13．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB网格线交点）．14．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A对应的点B就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.15．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.16．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________17．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，斜边AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，连接AD ，线段CD 的长为_________．18．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．19．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝7EF，则正方形ABCD的面积为_______.三、解答题21．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D．，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3D，使四边形ABCD是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．23．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点E 的运动时间为t :（秒）（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．24．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；（2）延长BD 与EF 交于点G ．①如图2，求证：60BGE ∠=︒；②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．25．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.27．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.28．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．29．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+； 勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式． （4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；②由三角形ABD 与三角形ACE 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°； ④由BD 垂直于CE ，在直角三角形BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．【详解】解：如图，① ∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ，∵在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD=CE ，故①正确；②∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°， ∴∠BDC=90°，∴BD ⊥CE ，故②正确；③∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°，故③错误；④∵BD ⊥CE ，∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，∵△ADE 为等腰直角三角形，∴AE=AD ，∴DE 2=2AD 2，∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2，在Rt △BDC 中，BD BC <，而BC 2=2AB 2，∴BD 2<2AB 2，∴()2222BE AD AB<+故④错误，综上，正确的个数为2个．故选：B ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 2．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。

中考复习九年级数学三角形(勾股定理)专练(word版含答案)

中考复习九年级数学三角形(勾股定理)专练(word版含答案)
（1）如图①,连接BE、CD,求证：BE＝CD；
（2）如图②,连接BD、CD,若∠BAC＝∠DAE＝60°,CD⊥AE,CD＝3 ,BD＝3 ,求△ACD的面积；
（3）如图③,若∠BAC＝∠DAE＝90°,且C点恰好落在DE上,试探究AB、CD、CE之间的数量关系,并证明．
参考答案
1．A
解：A、72+242=252,三边是整数,同时能构成直角三角形,故是勾股数,此选项符合题意；
B、 , 不是正整数,不是勾股数,此选项不合题意；
C、1.5,2.5,不是正整数,不是勾股数,此选项不合题意；
D、92+162≠252,不是勾股数,不合题意．
2．A
解：A、∵ ,∴三条线段不能组成直角三角形,故A选项符合题意；
B、∵ ,∴三条线段能组成直角三角形,故B选项不符合题意；
C、∵ ,∴三条线段能组成直角三角形,故C选项不符合题意；
17．如图,在 中, , 是边 上一点, , , ,则 的长为（ ）
A． B． C．6D．8
18．如图,在正方形ABCD中,AB＝4,点M在CD边上,且DM＝1,△AEM与△ADM关于AM所在直线对称,将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
4．C
解：如下图,在等腰三角形ABC中,底边长为BC=10 ,腰长为AB=13 ,
过点A作AD⊥BC于D,过点B作BE⊥AC于E,
∵AD⊥BC于D,
∴BD=DC,
∵BC=10 ,
∴BD=DC=5 ,
在Rt△ABD中, ,
由于 ,
∴ ,
5．A
解：设一条直角边为x,斜边为3x,依题意有
x2+（ ）2=（3x）2,
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2020中考数学 勾股定理复习题（含答案）
1．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A. a=1.5，b=2,c=3 B. a=7,b=24,c=25 C. a=6,b=8,c=10 D. a=3,b=4, c=5
2.图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）
A ．22()()4m n m n mn +--=
B ．222()()2m n m n mn +-+=
C ．222()2m n mn m n -+=+
D ．22()()m n m n m n +-=-
3．已知两条线段的长为5cm 和12cm,
当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.
4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于C ，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝ ．
5．已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直 角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 ．
← → → ←
m n m n
m
n 图①
图②
第2题图
6．如图，过原点的直线l与反比例函数的图象交于M，N两点，
根据图象猜想线段MN的长的最小值是___________．
7．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．
8．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，
高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．
9. 如图所示，四边形OABC是矩形，点A. C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B. C不重合），过点D作直线y＝－
1
2
x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分A
B
C
E
H
第12题图1
y
x
=-
n
B
A
6cm
3cm
1cm
的面积；若改变，请说明理由.
10. 已知△ABC 的两边AB. AC 的长是方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5。

（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；
（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。

C D
B
A
E O
突破练习
1. 以下四个命题正确的是（）
2. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）
A．1，2，3B．1，1，C．1，1，D．1，2，
3. 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）
A．3B．4C．5D．6
4. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M. N分别在AB. AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）
A．B．C．D．﹣2
5. 如图，⊙O 的半径为3，P 是CB 延长线上一点，PO =5，P A 切⊙O 于A 点，则P A = ．
6. 如图1，有一个“顽皮虫”想从点A 沿棱长为1cm 的正方体的表面爬到点B ，求它所爬过的最短路程．
7. 在△ABC 中，AB=13cm ，BC=10cm ，BC 边上的中线AD=12cm ，求AC 8. 已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。

⑴求等边△ABC 的高。

⑵求S △ABC 。

D
B
A
9. 判断由线段a. b. c 组成的三角形是不是直角三角形
（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15
10. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2
摆放时，都可以用
“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
参考答案
基础巩固
1．【答案】A 2.【答案】B
3．【答案】13或119
4．【答案】 5． 【答案】．
6．【答案】 7．【答案】
8．【答案】10，（或） 9.
【答案】（1）由题意得
B （3，1）．
若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝5
2
若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1 1.若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b ≤
3
2
，如图25-a ， 1252
9
222(32)-2
2916n +2
3664n +C D
B
A E O
此时E （2b ，0）
∴S ＝
12OE ·CO ＝12
×2b ×1＝b ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即
32＜b ＜5
2
，如图2
此时E （3，3
2
b -
），D （2b －2，1） ∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE )
＝ 3－[
12(2b －1)×1＋12×(5－2b )·(52b -)＋12×3(32b -)]＝252
b b - ∴23
125352
22
b b S b b b ⎧<≤
⎪⎪
=⎨
⎪-<<⎪⎩
（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形OA 1B 1C 1与
矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积。

由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形 根据轴对称知，∠MED ＝∠NED
又∠MDE ＝∠NED ，∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形． 过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，
D
E
x
y
C B A
O 图2
图3
H
N M
C 1
A 1
O 1
D
E
x
y C
B
A O
由题易知，tan ∠DEN ＝
1
2
，DH ＝1，∴HE ＝2， 设菱形DNEM 的边长为a ，
则在Rt △DHM 中，由勾股定理知：2
2
2
(2)1a a =-+，∴54
a = ∴S 四边形DNEM ＝NE ·DH ＝
5
4
∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54
． 10. 【答案】（1）2；（2）k ＝4或3，当k ＝4时，面积为12。

突破练习
1. A
2. 4
3. D
4. C
5. 4
6. 析解：欲求正方体表面上点A 与点B 的最短路程，直接求解有困难，我们把以点A 与点B 为顶点的相邻的某两个正方形展开，得到一个长方形，由“两点之间线段最短”可知，“顽皮虫”在正方体表面上从点A 爬到点B 的最短路程是线段AB 的长．由勾股定理得，
AB ==cm ）．
7. 解：∵BC=10cm ，D 是BC 的中点，∴BD=CD=5cm
又∵2
2
2
13125=+，即2
22AB AD BD =+，∴△ABD 是直角三角形，即AD ⊥BC
∴△ACD 也是直角三角形，2
2
2
AC AD CD =+，即()cm AC 131252
2=+=
8.（1）（2）
9. 解：（1）因为2896422581522=+=+，289172
=
所以2
2217815=+，这个三角形是直角三角形 （2）因为22515,36519616914132
2
2
==+=+ 所以2
2
2
151413≠+，这个三角形不是直角三角形
10. 证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF =EC =b ﹣A ． ∵S 四边形ADCB =S △ACD +S △ABC =b 2+a B ．
又∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =c 2+a （b ﹣a ） ∴b 2+ab =c 2+a （b ﹣a ） ∴a 2+b 2=c 2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2
证明：连结过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2=c2．。

相关文档
最新文档