流体力学第6章 气体的一维定常流动
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工程流体力学-粘性流体的一维定常流动
总结词
动量守恒方程是流体运动的基本方程之一，表示流体在运动过程中动量的增加或减少等于作用在流体 上的外力之和。
详细描述
动量守恒方程的数学表达式为ρdudt=−p+ρg+τx+F,其中p表示流体的压强，g表示重力加速度，τx表示 由于粘性作用在x方向上的应力，F表示作用在流体上的外力。
能量守恒方程
总结词
化提供了重要支持。
能源利用
能源领域如火力发电、 水力发电等涉及到大量 的流体流动问题。通过 一维定常流动理论，可 以深入理解流体在涡轮 机内的流动规律，提高
能源利用效率。
生物医学
在生物医学领域，血液 、淋巴液等生物流体也 存在着一维定常流动的 现象。研究这些流动有 助于深入了解人体生理 机制，为疾病诊断和治
边界层。
边界层的分离
当流体经过弯曲的壁面或突然扩大 的区域时，边界层可能会与壁面分 离。分离后的边界层会形成涡旋， 影响流体的流动特性。
边界层的厚度
边界层的厚度与流体的粘性、流速 和壁面的粗糙度有关。了解边界层 的厚度对于控制流体流动和减小阻 力具有重要意义。
射流流动的实例分析
射流的定义
射流是指流体从一定口径的喷嘴喷出后形成的流动。射流的特性与 喷嘴的口径、流体性质和出口压力有关。
一维定常流动的特性
01
流体参数不随时间变化而变化，只与空间位置有关。
02
流体参数沿流程方向不发生变化，只与流程位置有 关。
03
流体参数在垂直方向上均匀分布，不随高度变化而 变化。
05
粘性流体的一维定常流动 的实例分析
管道流动的实例分析
管道流动的特点
在管道中，流体受到壁面的限制，呈现出一定的流动规律。 由于粘性作用，流体的速度在靠近管壁处较小，而在中心 区域较大。
动量守恒方程是流体运动的基本方程之一，表示流体在运动过程中动量的增加或减少等于作用在流体 上的外力之和。
详细描述
动量守恒方程的数学表达式为ρdudt=−p+ρg+τx+F,其中p表示流体的压强，g表示重力加速度，τx表示 由于粘性作用在x方向上的应力，F表示作用在流体上的外力。
能量守恒方程
总结词
化提供了重要支持。
能源利用
能源领域如火力发电、 水力发电等涉及到大量 的流体流动问题。通过 一维定常流动理论，可 以深入理解流体在涡轮 机内的流动规律，提高
能源利用效率。
生物医学
在生物医学领域，血液 、淋巴液等生物流体也 存在着一维定常流动的 现象。研究这些流动有 助于深入了解人体生理 机制，为疾病诊断和治
边界层。
边界层的分离
当流体经过弯曲的壁面或突然扩大 的区域时，边界层可能会与壁面分 离。分离后的边界层会形成涡旋， 影响流体的流动特性。
边界层的厚度
边界层的厚度与流体的粘性、流速 和壁面的粗糙度有关。了解边界层 的厚度对于控制流体流动和减小阻 力具有重要意义。
射流流动的实例分析
射流的定义
射流是指流体从一定口径的喷嘴喷出后形成的流动。射流的特性与 喷嘴的口径、流体性质和出口压力有关。
一维定常流动的特性
01
流体参数不随时间变化而变化，只与空间位置有关。
02
流体参数沿流程方向不发生变化，只与流程位置有 关。
03
流体参数在垂直方向上均匀分布，不随高度变化而 变化。
05
粘性流体的一维定常流动 的实例分析
管道流动的实例分析
管道流动的特点
在管道中，流体受到壁面的限制，呈现出一定的流动规律。 由于粘性作用，流体的速度在靠近管壁处较小，而在中心 区域较大。
气体的一维定常流动复习-文档资料
连续性方程 一维定常流的连续 性方程式
A C
取对数后微分得
d dv dA 0 v A
能量方程
由热力学,单位质量气体的焓可以表示为：
c c p p pp p h c T p R c c 1 p V
对于气体的一维定常绝热流动，质量力 可以忽略，所以有
第六章 气体的一维定常流动
本章的任务是讨论完全气体一维定常流动， 另外还讨论一维定常等截面摩擦管流和等截面 换热管流。
第一节 气体一维流动的基本概念
一、气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S
p p ( V ,T )
E E ( V ,T )
熵
SS ( V ,T )
上述方程为热状态方程，或简称为状态方程。
p2
2
T2
c dv
p1
1
T1
活塞以微小的速度dv向右 运动,产生一道微弱压缩波, 流动是非定常的
选用与微弱扰动波一起运动的相 对坐标系作为参考坐标系,流动转 化成定常的了
由连续方程
d c d A v cA 0 1 1
(1)
1 1
dv 略去二阶微量 cd 1
c
p
完全气体状态方程
RT
v2 RT h 0 -1 2
等熵指数。
第四节 气流的三种状态和速度系数
气体在运动过程中有速度为零和以声速运动的 状态，为了计算分析问题起见，还假定一种热力 学温度为零的极限状态。 在这三种状态下，可推导出一些极具应用价值 的公式；本节建立气体在三种状态下的有关计算 公式，并介绍与此相关的速度系数。
当Ma=1时， 90°，达到马赫锥的极限位 置，即图（c）中AOB公切面，所以也称它为 马赫锥。当Ma＜1时，微弱扰动波的传播已无 界，不存在马赫锥。
A C
取对数后微分得
d dv dA 0 v A
能量方程
由热力学,单位质量气体的焓可以表示为：
c c p p pp p h c T p R c c 1 p V
对于气体的一维定常绝热流动，质量力 可以忽略，所以有
第六章 气体的一维定常流动
本章的任务是讨论完全气体一维定常流动， 另外还讨论一维定常等截面摩擦管流和等截面 换热管流。
第一节 气体一维流动的基本概念
一、气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S
p p ( V ,T )
E E ( V ,T )
熵
SS ( V ,T )
上述方程为热状态方程，或简称为状态方程。
p2
2
T2
c dv
p1
1
T1
活塞以微小的速度dv向右 运动,产生一道微弱压缩波, 流动是非定常的
选用与微弱扰动波一起运动的相 对坐标系作为参考坐标系,流动转 化成定常的了
由连续方程
d c d A v cA 0 1 1
(1)
1 1
dv 略去二阶微量 cd 1
c
p
完全气体状态方程
RT
v2 RT h 0 -1 2
等熵指数。
第四节 气流的三种状态和速度系数
气体在运动过程中有速度为零和以声速运动的 状态，为了计算分析问题起见，还假定一种热力 学温度为零的极限状态。 在这三种状态下，可推导出一些极具应用价值 的公式；本节建立气体在三种状态下的有关计算 公式，并介绍与此相关的速度系数。
当Ma=1时， 90°，达到马赫锥的极限位 置，即图（c）中AOB公切面，所以也称它为 马赫锥。当Ma＜1时，微弱扰动波的传播已无 界，不存在马赫锥。
工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
② μ和ρ随温度变化不大时，温度对流场(速度和压力)的影响很小，这
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
第六章气体的一维定常流动知识讲解
工程流体力学
第六章 气体的一维定常流动
第一节 气体一维流动的基本概念
气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S熵
pp(V,T)
EE(V,T) SS(V,T)
比定容热容和比定压热容
cV 比定容热容 c p 比定压热容 两者的关系 cp cV
热力学过程
等温过程 p2 V1 p1 V2
绝热过程 dQ0
v
A
p dp 2 A dA
p dp
整理并略去二阶以上的无穷小量有
dF
v dv
vAdA v ddpF
dx
vdvdpdF0
A
单位质量流体的损失可以表示为
dF dx v2 A d 2
第七节 实际气体在管道中的定常流动
粘性气体的绝热流动微分关系式可表示为
vdvdpdxv2 0 d2
联立可导出
ddvdA0 v A
能量方程 由热力学
hcpTcR ppcpc pcVp1p
代入 得
v2
h 2 h0
声速公式
p v2 -1 2
h0
c2 v2 -1 2
h0
c
p
RT
完全气体状态方程
RTv2 -1 2
h0
第四节 气流的三种状态和速度系数
滞止状态 ： 气流速度等熵地滞止到零这时的参数称为滞止参数
d 2
0 .025
q m cv c rr 4 2 .86 35 .3 2 3 3 14 1 .80 ks g 76
第六节 喷管流动的计算和分析
缩放喷管
流量
1
qm,crAt212-1 p00
由连续方程求得
A A crccr At Acr v
第六章 气体的一维定常流动
第一节 气体一维流动的基本概念
气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S熵
pp(V,T)
EE(V,T) SS(V,T)
比定容热容和比定压热容
cV 比定容热容 c p 比定压热容 两者的关系 cp cV
热力学过程
等温过程 p2 V1 p1 V2
绝热过程 dQ0
v
A
p dp 2 A dA
p dp
整理并略去二阶以上的无穷小量有
dF
v dv
vAdA v ddpF
dx
vdvdpdF0
A
单位质量流体的损失可以表示为
dF dx v2 A d 2
第七节 实际气体在管道中的定常流动
粘性气体的绝热流动微分关系式可表示为
vdvdpdxv2 0 d2
联立可导出
ddvdA0 v A
能量方程 由热力学
hcpTcR ppcpc pcVp1p
代入 得
v2
h 2 h0
声速公式
p v2 -1 2
h0
c2 v2 -1 2
h0
c
p
RT
完全气体状态方程
RTv2 -1 2
h0
第四节 气流的三种状态和速度系数
滞止状态 ： 气流速度等熵地滞止到零这时的参数称为滞止参数
d 2
0 .025
q m cv c rr 4 2 .86 35 .3 2 3 3 14 1 .80 ks g 76
第六节 喷管流动的计算和分析
缩放喷管
流量
1
qm,crAt212-1 p00
由连续方程求得
A A crccr At Acr v
流体力学——定常流动
h
vA
A
d B
d+h
图8 测流速原理
如图6.8所示，A点的流速为VA, 该点在水面下 的深度为d, 故该处的压强PA =ρgd, B点在管 口之前，流速VB=0，压强PB=ρg(d+h), 根据 伯努利方程 PA v A PB 所以，
vA
PB PA
gh
27
泊肃叶公式 无限长刚性圆管内稳定层流的黏 滞性规律有如下公式
P P Q ( )R l
其中，Q为体积流量，P1，P2为圆管两端的压 强，R为圆管的半径，l为管长。当流速小， 管子细，黏滞系数大，泊肃叶公式很准确， 它可用于测量黏滞系数。
例7 人的某根血管内半径为4*10-3M，流过 血管的血液流量
S2 S2’ S1 S1’
v2
v1
h2
h1
图5 推导伯努利方程
由于理想流体不可压缩有：Δm1=Δm2=Δm Δt时间内动能变化： ΔEk=1/2Δm V22 —1/2Δm V12 Δt时间内外力作功 S1处，压力f1=P1 S1 ，正功W1= f1V1Δt S2处，压力f2=P2 S2 ，负功W2= - f2V2Δt 重力作负功：W3= -Δm g(h2—h1) 总功W= P1S1V1Δt-P2S2V2Δt-Δmg(h2-h1) 根据连续性原理，V1S1=V2S2=Δm/ρΔt 综合上式有，W=(P1 -P2)Δm/ρ-Δmg(h2—h1)
根据动能定理：外力作功等于动能的增量，
(P1 —P2 )Δm/ρ-Δm g(h2—h1)=1/2ΔmV22-1/2Δm V12
得：P2 + 1/2ρV22 +ρgh2 = P1 + 1/2ρV12 +ρgh1 即对于定常流动的理想流体中同一根流线上 （或同一根细流管内）的任意一点，有
vA
A
d B
d+h
图8 测流速原理
如图6.8所示，A点的流速为VA, 该点在水面下 的深度为d, 故该处的压强PA =ρgd, B点在管 口之前，流速VB=0，压强PB=ρg(d+h), 根据 伯努利方程 PA v A PB 所以，
vA
PB PA
gh
27
泊肃叶公式 无限长刚性圆管内稳定层流的黏 滞性规律有如下公式
P P Q ( )R l
其中，Q为体积流量，P1，P2为圆管两端的压 强，R为圆管的半径，l为管长。当流速小， 管子细，黏滞系数大，泊肃叶公式很准确， 它可用于测量黏滞系数。
例7 人的某根血管内半径为4*10-3M，流过 血管的血液流量
S2 S2’ S1 S1’
v2
v1
h2
h1
图5 推导伯努利方程
由于理想流体不可压缩有：Δm1=Δm2=Δm Δt时间内动能变化： ΔEk=1/2Δm V22 —1/2Δm V12 Δt时间内外力作功 S1处，压力f1=P1 S1 ，正功W1= f1V1Δt S2处，压力f2=P2 S2 ，负功W2= - f2V2Δt 重力作负功：W3= -Δm g(h2—h1) 总功W= P1S1V1Δt-P2S2V2Δt-Δmg(h2-h1) 根据连续性原理，V1S1=V2S2=Δm/ρΔt 综合上式有，W=(P1 -P2)Δm/ρ-Δmg(h2—h1)
根据动能定理：外力作功等于动能的增量，
(P1 —P2 )Δm/ρ-Δm g(h2—h1)=1/2ΔmV22-1/2Δm V12
得：P2 + 1/2ρV22 +ρgh2 = P1 + 1/2ρV12 +ρgh1 即对于定常流动的理想流体中同一根流线上 （或同一根细流管内）的任意一点，有
第六章理想流体不可压缩流体的定常流动
一、流体运动的基本方程回顾 动量方程： 粘性、不可压缩流体 N-S方程
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿
流体力学第6章气体的一维定常流动
临界状态：气体等熵地改变速度到声速时所具有的状态,
ccr ,Tcr , pcr , cr 在等熵流气动函数中令Ma =1可得
Tcr 2
TT 1
pcr pT
2 1
1
1
cr T
2
1
1
三、 最大速度vmax
在等熵条件下温度降到绝对零度时的速度。
vm a x
2R 1
TT
1/ 2
2021/4/10
为了得到定常流动可以设想观察者随波面mn一起以速度c向右运气体相对于观察者定常地从右向左流动经过波面速度由c降为cdv而压强由p升高到pdp密度和温度分别由加到rdr在dt时间内流入和流出该控制面的气体质量应该相等即化简后得由于压缩波很薄作用在该波上的摩擦力可以忽略不计
第六章 气体的一维定常
流动
1
第五章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体，即 使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况下， 可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压缩的程 度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在该气体中 声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。例如空气 的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的声速343m/s 要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。所以为简化 问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近似地看作是常 数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。当气体流动的速 度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过声速时，如果气体 受到扰动，必然会引起很大的压强变化，以致密度和温度也会 发生显著的变化，气体的流动状态和流动图形都会有根本性的 变化，这时就必须考虑压缩性的影响。气体动力学就是研究可 压缩流体运动规律以及在工程实际中应用的一门科学。本章中 仅主要讨论气体动力学中一些最基本的知识。
ccr ,Tcr , pcr , cr 在等熵流气动函数中令Ma =1可得
Tcr 2
TT 1
pcr pT
2 1
1
1
cr T
2
1
1
三、 最大速度vmax
在等熵条件下温度降到绝对零度时的速度。
vm a x
2R 1
TT
1/ 2
2021/4/10
为了得到定常流动可以设想观察者随波面mn一起以速度c向右运气体相对于观察者定常地从右向左流动经过波面速度由c降为cdv而压强由p升高到pdp密度和温度分别由加到rdr在dt时间内流入和流出该控制面的气体质量应该相等即化简后得由于压缩波很薄作用在该波上的摩擦力可以忽略不计
第六章 气体的一维定常
流动
1
第五章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体，即 使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况下， 可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压缩的程 度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在该气体中 声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。例如空气 的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的声速343m/s 要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。所以为简化 问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近似地看作是常 数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。当气体流动的速 度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过声速时，如果气体 受到扰动，必然会引起很大的压强变化，以致密度和温度也会 发生显著的变化，气体的流动状态和流动图形都会有根本性的 变化，这时就必须考虑压缩性的影响。气体动力学就是研究可 压缩流体运动规律以及在工程实际中应用的一门科学。本章中 仅主要讨论气体动力学中一些最基本的知识。
气体的一维定常流动
1 1
1 2 1 M* 0 1
1 1
0 1 2 1 Ma 2
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
第六章 气体的一维定常流动
第五节 气流参数与通道截面 之间的关系
变截面一维定常等熵流动模型
§6-1 气体一维流动的基本概念
气体的比热容
比热容：单位质量物质温度升高 1K 或 1 ℃ 时所 吸收的热量。 单位质量气体升高 1K 或 1 ℃ 时所吸收的热量与 热力学过程有关，故气体的比热容不唯一。 定容比热容cV：容积不变条件下的比热容。 定压比热容cp：压强不变条件下的比热容。 比热比γ：定压比热与定容比热的比值。
v h h0 2
c v h0 1 2
2 2
2
v h0 1 2 v RT h0 1 2
p
2
2
cp p cp p p h R cp cV 1
§6-3 气体一维定常流动的基本方程
第六章 气体的一维定常流动
第四节 气体流动的三种状态 和速度系数
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
速度系数
速度系数的优点在于： 临界声速是常数，故速度系数与流动速度成 线性正比关系； 速度存在极限速度，故速度系数的极限是有 限值。
vmax 1 M *max ccr 1
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
滞止状态
气流速度减到零时的状态称为滞止状态，对应 的流动参数称为滞止参数或总参数。 能量方程可以写为
1 v2 v2 T T T0 R 2 2cp
c
1 2 1 M* 0 1
1 1
0 1 2 1 Ma 2
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
第六章 气体的一维定常流动
第五节 气流参数与通道截面 之间的关系
变截面一维定常等熵流动模型
§6-1 气体一维流动的基本概念
气体的比热容
比热容：单位质量物质温度升高 1K 或 1 ℃ 时所 吸收的热量。 单位质量气体升高 1K 或 1 ℃ 时所吸收的热量与 热力学过程有关，故气体的比热容不唯一。 定容比热容cV：容积不变条件下的比热容。 定压比热容cp：压强不变条件下的比热容。 比热比γ：定压比热与定容比热的比值。
v h h0 2
c v h0 1 2
2 2
2
v h0 1 2 v RT h0 1 2
p
2
2
cp p cp p p h R cp cV 1
§6-3 气体一维定常流动的基本方程
第六章 气体的一维定常流动
第四节 气体流动的三种状态 和速度系数
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
速度系数
速度系数的优点在于： 临界声速是常数，故速度系数与流动速度成 线性正比关系； 速度存在极限速度，故速度系数的极限是有 限值。
vmax 1 M *max ccr 1
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
滞止状态
气流速度减到零时的状态称为滞止状态，对应 的流动参数称为滞止参数或总参数。 能量方程可以写为
1 v2 v2 T T T0 R 2 2cp
c
流体力学气体的一维流动
v1
v2
2.斜激波
波面与气流方向不垂直的平面激波
Ma1>1
2< 2 max
3.曲激波
波面与气流方向不垂直的曲面激波
Ma1>1 2< 2 max
19
工程流体力学
0 B 气体的一维流动 第七章 A
二、正激波的形成和厚度
1.正激波的形成
第一道波 波前当地声速 c1 dvg1
p1 1 T1
0 p B A
2 T0 c0 1 2 2 1 Ma T c 2
0 1 2 11 (1 Ma ) 2
p0 1 2 1 (1 Ma ) p 2
10
工程流体力学
第七章 气体的一维流动
二、极限状态
假定气体的分子无规则运动的动能（即气流的 静温和静压均降到零）全部转换成宏观运动动能的 状态称为极限状态。
27
工程流体力学
第七章 气体的一维流动
2 v2 1 2 ( 1) Ma1 2 2 v1 M *1 ( 1)Ma1 2 2 ( 1)Ma1 2 M *1 2 1 2 ( 1)Ma1 2 p2 ( 1)M * 2 2 1 1 ( 1) Ma 1 2 p1 ( 1) ( 1)M *1 1 1
2.正激波的厚度
激波是有厚度的， 激波厚度随马赫数的增大二迅速减小， 激波的厚度非常小，通常忽略不计， 实际计算中将激波作为间断面来处理。
21
工程流体力学
第七章 气体的一维流动
三、正激波的传播速度
vg
2
p2 , 2 , T2
1
vs
p1 , 1 , T1
x vs t
气体的一维定常流动
6-3 气体一维定常流动的基本方程
连续性方程
ρvA = 常数
dρ
dv dA + + =0 v A ρ
能量方程
cp p p κ p = = cp = h = c pT Rρ c p − cV ρ κ − 1 ρ
代入
v h+ = h0 得 2
2
κ p v2 + = h0 κ -1 ρ 2
κp c= = κRT ρ
c = κRT
⇒ c = 20.05 T
1 声速的大小与流动介质的压缩性大小有关，流体越容易 声速的大小与流动介质的压缩性大小有关， 压缩，其中的声速越小， 压缩，其中的声速越小，反之就越大 2 声速随流体参数而变化，通常我们说的声速是指特定点 声速随流体参数而变化， 上的声速， 上的声速，称为当地声速
⇒
c2 v2 + = h0 κ -1 2
v2 κ RT + = h0 κ -1 2
6-4 气流的三种状态和速度系数
滞止状态
2 vv 2 h + = h0 T0 T+ = 2c p
cp =
2
κR κ −1
v2 Ma = 2 c
c 2 = κRT
}
T00 c0 v 2 κ − 1 T = 1 +2 κ= 2 = 1 + 2 Ma 2 T T c 2c pTc κR 2
⇒
vmax =
2κR T0 κ −1
α = arcsin
1 = arcsin 1.5 = 41.8 Ma
设飞机在观察站上方时,马赫波与地面交点离观察站距 设飞机在观察站上方时 马赫波与地面交点离观察站距 离为l, 时间t后到达观察站 离为 时间 后到达观察站 l =Vt = Hctgα
工程流体力学7.2气体一维定常等熵流动
cp c p cV
p p 1
代入
h v2 2
h0
得
p -1
v2 2
h0
c2 v2
-1
2
h0
c K RT
RT -1
v2 2
h0
二、滞止状态
cp
R 1
Ma 2
v2 c2
v2
T
2c p
T0
能量方程的另一种形式
c2
v2
v2 max
c02
1 2 2 1
四、临界状态
ccr
2 1c0
1 1vmax
或者
c
c0
Ma 1
ccr
RTcr
2R 1
T0
Ma 1
ccr
Ma 1
0
vcr
vmax
v
令Ma=1
Tcr cc2r 2
Ma2
2M
2
1
1M
2
用速度系数表示
T T0
c2 c02
1-
-1 1
M
2
p p0
1 -
-1 1
M
2
1
1
0
1
-
-1 1
M
2
1
T0 c02 1
pcr p0
2
1
第六章气体的一维定常流动
0
得
2 p p 0 0 v 1 p 1 0 0
1 1 p 2 p 2 p 0 v 1 RT 01 1 p 1 p 0 0 0
v RT 1 . 4 297 248 . 32 321 . 33 m s cr cr
2
d 0 . 05 q v 2 . 8653 321 . 33 1 . 8076 kg s
2 m cr cr
4
4
第六节 喷管流动的计算和分析
缩放喷管
流量
2 q A m , cr t 1
由（1）、（2）得 流体的体积模量
K
c
d dp
s
声速公式
c＝ K
V dp dp dV d
代入声速公式得
d 1 dp p RT
由等熵过程关系式以及状态方程可得
代入声速公式得
c
p
RT
第一节 气体一维Βιβλιοθήκη 动的基本概念空气 1.4
1 2 1
p 0 0
根据环境压强的变化对收缩喷管的工况作以下分析
( 1 ) p p p p 时，沿喷管各截面的气 流速度都是亚声速， 出口处 Ma 1 ,p p ; amb 0 cr 0 amb
当 p 降低时，速度和流量都 增大，气体在喷管内得 以完全膨胀。 amb ( 2 ) p p p 时，喷管内为亚声速流 ，出口截面的气流 界状态， Ma 1 , amb 0 crp 0
R 287 . 1 J kg K
c 20 . 05T
得
2 p p 0 0 v 1 p 1 0 0
1 1 p 2 p 2 p 0 v 1 RT 01 1 p 1 p 0 0 0
v RT 1 . 4 297 248 . 32 321 . 33 m s cr cr
2
d 0 . 05 q v 2 . 8653 321 . 33 1 . 8076 kg s
2 m cr cr
4
4
第六节 喷管流动的计算和分析
缩放喷管
流量
2 q A m , cr t 1
由（1）、（2）得 流体的体积模量
K
c
d dp
s
声速公式
c＝ K
V dp dp dV d
代入声速公式得
d 1 dp p RT
由等熵过程关系式以及状态方程可得
代入声速公式得
c
p
RT
第一节 气体一维Βιβλιοθήκη 动的基本概念空气 1.4
1 2 1
p 0 0
根据环境压强的变化对收缩喷管的工况作以下分析
( 1 ) p p p p 时，沿喷管各截面的气 流速度都是亚声速， 出口处 Ma 1 ,p p ; amb 0 cr 0 amb
当 p 降低时，速度和流量都 增大，气体在喷管内得 以完全膨胀。 amb ( 2 ) p p p 时，喷管内为亚声速流 ，出口截面的气流 界状态， Ma 1 , amb 0 crp 0
R 287 . 1 J kg K
c 20 . 05T
流体力学第6章流体运动微分方程
代入式(5)可得
b p C1 2 x
C2 0
38
于是得速度分布
1 p 2 vx (by y ) 2 x
(2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b U
39
代入式(5)可得
U b p C1 b 2 x
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
yy
x
dx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dv x ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
v x v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为 2 y
v y yx
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
b p C1 2 x
C2 0
38
于是得速度分布
1 p 2 vx (by y ) 2 x
(2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b U
39
代入式(5)可得
U b p C1 b 2 x
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
yy
x
dx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dv x ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
v x v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为 2 y
v y yx
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
6工程流体力学 第六章理想不可压缩流体的定常流动
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动（续41）
分别取进口截面与喉部截面为1、2计算截面， 利用伯努利方程可得：
gz——重力场中单位质量流体从z=0上升至z克服重
力所做的功，因此具有的重力势能。
p
——单位质量流体从 p=0至状态p克服压力所做
功，也可以理解为流体相对于p=0的状态所
蕴含的能量，这种能量称为压力能。
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动（续9）
引入压力能的概念后，伯努利方程就 可理解为：
在重力场中，当理想不可压缩流体定常 流动时，单位质量流体沿流线的重力势能、 压力能和动能之和为常数，该定理反映了机 械能转化和守恒定理。
表示理论出流射流速度。
上述分析中，忽略了粘性和表面张力的影响。
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动（续30）
速度系数定义为：
CV
实 际 平 均 速 度——速度系数 理论速度
Cd
实
际出流的体积流 理论体积流量
量——流量系数
CC
收 缩截 面 面积AC 孔 口 面 积A
——面积收缩系数
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动（续31）
Cd
实际体积流量 理 论 体 积 流 量
收
缩 截 面 面 积 孔 口 面 积
实 理
际 论
平 速
均 度
速
度＝CcCV
Q CdQth Cd A 2gH CcCV A 2gH
速度系数，体积收缩系数和流量系数均需由实 验确定。对于锐缘圆形孔口，
CV 0.97 0.99, Cc 0.61 0.66
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动 一元流动： 所谓一元是指只有一个空间变量。
在流体力学中属于这种性质的流动是指沿流 线的流动。
南京理工大学工程流体力学基础 第6章__气体的一维定常流动
基本假设： 完全气体一维定常流动； 截面积变化是影响流动变化的唯一因素； 忽略摩擦、传热、质量力等因素； 流动是等熵流动。
p+dp p ρ v T A
控制体
ρ+dρ v+dv T+dT A+dA
dx
§6-5 气流参数与通道截面之间的关系
控制方程
d
连续方程：
dA dv 0 A v
vA const .
速度系数
用速度系数表示的无量纲化能量方程
T c2 1 2 2 1 M* T0 c0 1
p 1 2 1 1 1 M* p0
T0 c0 1 2 2 1 Ma T c 2
2
1 p0 1 2 1 Ma p 2
§6-2 微弱扰动在气体中的传播
气体静止不动
v0 Ma 0
扰动波是球形波，向所有方向传遍全部空间。
§6-2 微弱扰动在气体中的传播
气流亚声速流动
vc Ma 1
扰动波可以逆流传播，向所有方向传遍全部空 间。
§6-2 微弱扰动在气体中的传播
气流以声速流动
vc Ma 1
扰动波不能逆流传播，传播限制在下游半个空 间。
声速
取虚线所围控制体。 连续方程：
d c dvA cA
动量方程：
cd dv
cAc dv c p p dp A
可视为等熵过程。
声速反映了可压缩性 越易压缩，声速越小
体积模量 K
cdv dp
Vdp dp dV d
连续方程
一维定常流的连续方程
vA const .
p+dp p ρ v T A
控制体
ρ+dρ v+dv T+dT A+dA
dx
§6-5 气流参数与通道截面之间的关系
控制方程
d
连续方程：
dA dv 0 A v
vA const .
速度系数
用速度系数表示的无量纲化能量方程
T c2 1 2 2 1 M* T0 c0 1
p 1 2 1 1 1 M* p0
T0 c0 1 2 2 1 Ma T c 2
2
1 p0 1 2 1 Ma p 2
§6-2 微弱扰动在气体中的传播
气体静止不动
v0 Ma 0
扰动波是球形波，向所有方向传遍全部空间。
§6-2 微弱扰动在气体中的传播
气流亚声速流动
vc Ma 1
扰动波可以逆流传播，向所有方向传遍全部空 间。
§6-2 微弱扰动在气体中的传播
气流以声速流动
vc Ma 1
扰动波不能逆流传播，传播限制在下游半个空 间。
声速
取虚线所围控制体。 连续方程：
d c dvA cA
动量方程：
cd dv
cAc dv c p p dp A
可视为等熵过程。
声速反映了可压缩性 越易压缩，声速越小
体积模量 K
cdv dp
Vdp dp dV d
连续方程
一维定常流的连续方程
vA const .
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p2 2 1 Ma12 1 p1 1
1 Ma12 r2 r1 2 1 Ma12
气体的温度突跃与压强突跃之间也有一定的关系
2 T2 2 1 Ma1 2 Ma12 1 2 T1 1 Ma12
（2）截面2的状态参数不能用等熵公式而要用绝热公式,
1 2 2 1 T2 T0 1 Ma2 300 1 0.2 0.4 290.7 K 2
1
T02 T0
V2 Ma2c2 Ma2 RT2 0.4 1.4 287 290.7 136.7 m/s
v2 由一维定常绝热流的能量方程 h hT 常数 2
c TT 可得： T 2c p
2
对应于滞止 温度，有一 滞止声速：
cT (RTT )
1/ 2
当比热容这定值，并利用定压热容与气体常数、绝热指数之 间的关系，以及定熵过程的过程方程，可得
TT c 1 2 1 Ma T c 2
b
由(a) (b)式可得范诺线如图:
（1）摩擦作用使熵增加
（2）使亚声速流加速,但最大达声速, T , p , r , p0
（3）使超声速流减速,最小达声速,
T , p , r , p0
T 1 二、范诺流气动 Tcr 2 ( 1) Ma 2 函数(以临界参 数为参考)
超声速流时取
3.摩擦造成壅塞现象 在 Lmax 处达到声速, 流量最大, 在 L Lmax 段, 由于总压强下降 流量通不过。亚声速时, 入口段发生溢流, 流量减少至出口声速; 超 声速时, 产生激波,使出口截面为临界截面。
已知:空气从T0＝300K 的贮气罐进入一根直径为d=10mm的绝热光滑管入
1 1
三、 最大速度vmax
在等熵条件下温度降到绝对零度时的速度。
vmax
2R 1 TT
1/ 2
对空气 vmax 2.45ccr
6.3 正激波
一、正激波形成
二、正激波前后气流参数
正激波前和正激波后各气流参数 的下标分别为1和2。由于圆管的 截面积不变，所以连续性方程可 写成
p1
简化后得
2 v2 v1 v1v2 v2 v1 ccr
v1v2 c
2 cr
就是著名的普朗特公式，再由动量方程和连 续性方可知
v2 p2 p1 r v r v r v 1 v 1
2 1 1 2 2 2 2 1 1
由于激波是压缩波，即p2 > p1，因此v2 < v1。所以由上式可得 重要结论：若正激波前是超音速流，则在正激波后必定是亚音 速气流。 整理后得到完全气体的朗金—许贡纽（Rankine-Hugoniot)公式
v Ma c
常根据马赫数的大小，把气流分为亚声速流Ma<1， 跨声速流 Ma≈1，超声速流1< Ma<3和高超声速流 Ma>3等几类。亚声速流动和超声速流动有许多显著 的差别，我们将在以后各节中逐一介绍。
6.2 气流的特定状态和参考速度
一、滞止参数
在实际工程上，为了分析和计算流动问题方便起见，常 使用滞止参数这个概念，而且由于它比较容易测量，所以滞 止参数得到广泛的应用。设想气体流过流管的两个有效截面 时，在一个截面上完全滞止下来，也就是说，在这个截面上 的气流速度等于零。则这个截面上的气流状态称为滞止状态， p0 滞止状态下各相应参数称为滞止参数。
c
r
RT
为绝热指数
对于空气， 1.4 ,
为气体常数，J/(kg· K) R= 287 J/(kg· K)。
气体中的声速随气体的状态参数的变化而变化。于是在同 一流场中，各点的状态参数若不同，则各点的声速也不同。 所以声速指的是流场中某一点在某一瞬时的声速，称为当 地声速。
在实际计算中，通常用气体速 度v与当地声速c的比值 来作为 判断气体压缩性对流动影响的 一个标准，即马赫数Ma
p 1 1 pcr Ma 2 ( 1) Ma2
1 2
r 1 1 rcr Ma 2 ( 1) Ma 2
1 2
设最大管长
为平均达西摩擦因子
Lmax dh
Lmax 为发展到Ma =1时极限管长，d h 为管径,
p 2 p1 R( r 2T2 r1T1 )
整理得： 结合能 量方程 可得
p1 2 p2 2 v1 v1 v2 r v r1 2 2
1 2 1 2 p2 1 2 1 2 ccr 1 v1 r 2 ccr 1 v2 r1 2 2
求:(1)入口处 Ma1 ; (2)截面2处 T2 , p2 , r2 ,V2 ;(3)入口处到截面2的长度L . 解:（1）利用等熵流动公式求 Ma1
2 T0 Ma1 1 1 T1
1/ 2
口处 T1＝298.3K,p1 98kPa(ab) 经过有摩擦的流动到达截面2时, Ma2＝0.4 ;
激波前后压强比
激波行进速度
1 r2 1 p2 1 r1 p1 1 r 2 1 r1
1/ 2
1 ( p2 / p1 1)( r 2 / r1 1) vg c1 r 2 / r1
c1
激波行进速度总是大于当地声速
激波后的熵增加
r2 r1
p2 R r2T2 287 0.49 290.7 41.0 kPa
V1 58.9 1.14 0.49 kg/m3 V2 136.7
（3） 按短管计算
Lmax 1 Ma12 1 1 Ma12 ln d 1 Ma12 2 2 1 Ma12
r1v1 r 2v2
若忽略摩擦的影响，则动量方程可写成
2 p1 r1v12 p2 r 2v2
气流通过激波时受到急剧地压缩，由于其时间极短，所产 生的热量来不及外传，故使气流的熵增加。所以气流通过 激波时的突跃压缩过程是一个不可逆的绝热过程。
2 v12 v2 c pT1 c pT2 c pTT 常数 2 2
二、临界状态参数
临界状态：气体等熵地改变速度到声速时所具有的状态,
ccr , Tcr , pcr , r cr
在等熵流气动函数中令Ma =1可得
Tcr 2 TT 1
pcr 2 1 pT
1
rcr 2 1 rT
[(c dv) (c)] crAdt [( p dp) p] A dt
或
1 dv dp cr
dr dp c 1 r dr
2
由于是微弱扰动， dr 1 r dr 远小于r ，即
c dp dr
所以
上式与物理学中计算声音在弹性介质中传播速度（即声速） 的拉普拉斯公式完全相同。可见气体中微弱扰动波的传播 速度就是声速。 推导过程中，并未对介质提出特殊要求，故该式既适用于气体， 也适用于液体，乃至适用于一切弹性连续介质。不同介质的压 缩性不同，压缩性小的扰动波传播速度高，压缩性大的扰动波 传播速度低，因此声速值反映了流体可压缩性的大小。 声速的通用表达式，要计算某种流体中具有的声速值，尚需 确定 dp 和 dr 的关系，以求出 dp /(dr ) 的值。
工程背景
主要内容
6.1 微弱压力波的一维传播 6.2 气流的特定状态和参考速度 6.3 正激波 6.4 等截面摩擦管流
6.1 微弱压力波的一维传播
显然，这是不定常 流动。为了得到定 常流动，可以设想 观察者随波面mn一 起以速度c向右运 动。 气体相对于观察者定 常地从右向左流动， 经过波面速度由c降 为c-dv，而压强由p升 高到p+dp，密度和温 度分别由 r、T增加 到 r+dr 、T+dT 。
2 T 2
pT 1 2 1 Ma p 2
1
rT 1 1 Ma 2 r 2
1 1
只要知道气流的滞止参数和Ma，就可求得流管 内气流在某指定截面上的温度、压强 、密度和 速度。反之，若已知截面上的参数，也可得到滞 止参数。所以这三个公式是计算气体一维定常等 熵流动问题的基本公式。
气流在激波前后的总能量相等，并保持不变，对于完全气体能 量可以写为
2 2 v12 p1 v2 p2 pT 1 ccr 常数 2 1 r1 2 1 r 2 1 rT 1 2
式中临界声速 ccr 也保持不变。 将气体状态方程应用与正激波前、后的状态，得
第六章
气体的一维定常 流动
第五章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体，即 使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况下， 可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压缩的程 度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在该气体中 声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。例如空气 的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的声速343m/s 要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。所以为简化 问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近似地看作是常 数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。当气体流动的速 度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过声速时，如果气体 受到扰动，必然会引起很大的压强变化，以致密度和温度也会 发生显著的变化，气体的流动状态和流动图形都会有根本性的 变化，这时就必须考虑压缩性的影响。气体动力学就是研究可 压缩流体运动规律以及在工程实际中应用的一门科学。本章中 仅主要讨论气体动力学中一些最基本的知识。