流体力学第6章 气体的一维定常流动

p 1 1 pcr Ma 2 ( 1) Ma2
1 2
r 1 1 rcr Ma 2 ( 1) Ma 2

1 2
设最大管长
为平均达西摩擦因子
Lmax dh
Lmax 为发展到Ma =1时极限管长，d h 为管径,
气流在激波前后的总能量相等，并保持不变，对于完全气体能 量可以写为
2 2 v12 p1 v2 p2 pT 1 ccr 常数 2 1 r1 2 1 r 2 1 rT 1 2
式中临界声速 ccr 也保持不变。 将气体状态方程应用与正激波前、后的状态，得
p 2 p1 R( r 2T2 r1T1 )
整理得： 结合能 量方程 可得
p1 2 p2 2 v1 v1 v2 r v r1 2 2
1 2 1 2 p2 1 2 1 2 ccr 1 v1 r 2 ccr 1 v2 r1 2 2
p2 2 1 Ma12 1 p1 1
1 Ma12 r2 r1 2 1 Ma12
气体的温度突跃与压强突跃之间也有一定的关系
2 T2 2 1 Ma1 2 Ma12 1 2 T1 1 Ma12
[(c dv) (c)] crAdt [( p dp) p] A dt
或
1 dv dp cr
dr dp c 1 r dr
2
由于是微弱扰动， dr 1 r dr 远小于r ，即
c dp dr
所以
上式与物理学中计算声音在弹性介质中传播速度（即声速） 的拉普拉斯公式完全相同。可见气体中微弱扰动波的传播 速度就是声速。 推导过程中，并未对介质提出特殊要求，故该式既适用于气体， 也适用于液体，乃至适用于一切弹性连续介质。不同介质的压 缩性不同，压缩性小的扰动波传播速度高，压缩性大的扰动波 传播速度低，因此声速值反映了流体可压缩性的大小。 声速的通用表达式，要计算某种流体中具有的声速值，尚需 确定 dp 和 dr 的关系，以求出 dp /(dr ) 的值。
2 300 1 0.4 298.3
1/ 2
0.17
r1
p1 98 1000 1.14 kg/m3 RT1 287 298.3
V1 Ma1c1 Ma1 RT1 0.17 1.4 289 298.3 58.9(m/s)
（2）截面2的状态参数不能用等熵公式而要用绝热公式,
1 2 2 1 T2 T0 1 Ma2 300 1 0.2 0.4 290.7 K 2
1
T02 T0
V2 Ma2c2 Ma2 RT2 0.4 1.4 287 290.7 136.7 m/s
由于微弱扰动波的传播过程进行得很迅速，与外界来 不及进行热交换，而且其中的压强、密度和温度变化极为 微小，所以这个传播过程可以近似地认为是一个可逆的绝 热过程，即等熵过程。 假定气体是热力学中的完全气体，则根据等熵过程关系式可 得 dp p RT dr r 为热力学 绝对温度， p K
1 Ma 2 1 Ma 1 ln 2 Ma 2 2 ( 1) Ma 2
2
对短管 亚声速流时
L 12
dh
L max L max d h 1 d h 2
查Moody图
0.002 0.003
激波前后压强比
激波行进速度
1 r2 1 p2 1 r1 p1 1 r 2 1 r1
1/ 2
1 ( p2 / p1 1)( r 2 / r1 1) vg c1 r 2 / r1
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c1
激波行进速度总是大于当地声速
激波后的熵增加
b
由(a) (b)式可得范诺线如图:
（1）摩擦作用使熵增加
（2）使亚声速流加速,但最大达声速, T , p , r , p0
（3）使超声速流减速,最小达声速,
T , p , r , p0
T 1 二、范诺流气动 Tcr 2 ( 1) Ma 2 函数(以临界参 数为参考)
r1v1 r 2v2
若忽略摩擦的影响，则动量方程可写成
2 p1 r1v12 p2 r 2v2
气流通过激波时受到急剧地压缩，由于其时间极短，所产 生的热量来不及外传，故使气流的熵增加。所以气流通过 激波时的突跃压缩过程是一个不可逆的绝热过程。
2 v12 v2 c pT1 c pT2 c pTT 常数 2 2
求:(1)入口处 Ma1 ; (2)截面2处 T2 , p2 , r2 ,V2 ;(3)入口处到截面2的长度L . 解:（1）利用等熵流动公式求 Ma1
2 T0 Ma1 1 1 T1
1/ 2
口处 T1＝298.3K,p1 98kPa(ab) 经过有摩擦的流动到达截面2时, Ma2＝0.4 ;
p1
简化后得
2 v2 v1 v1v2 v2 v1 ccr
v1v2 c
2 cr
就是著名的普朗特公式，再由动量方程和连 续性方可知
v2 p2 p1 r v r v r v 1 v 1
2 1 1 2 2 2 2 1 1
由于激波是压缩波，即p2 > p1，因此v2 < v1。所以由上式可得 重要结论：若正激波前是超音速流，则在正激波后必定是亚音 速气流。 整理后得到完全气体的朗金—许贡纽（Rankine-Hugoniot)公式
v Ma c
常根据马赫数的大小，把气流分为亚声速流Ma<1， 跨声速流 Ma≈1，超声速流1< Ma<3和高超声速流 Ma>3等几类。亚声速流动和超声速流动有许多显著 的差别，我们将在以后各节中逐一介绍。
6.2 气流的特定状态和参考速度
一、滞止参数
在实际工程上，为了分析和计算流动问题方便起见，常 使用滞止参数这个概念，而且由于它比较容易测量，所以滞 止参数得到广泛的应用。设想气体流过流管的两个有效截面 时，在一个截面上完全滞止下来，也就是说，在这个截面上 的气流速度等于零。则这个截面上的气流状态称为滞止状态， p0 滞止状态下各相应参数称为滞止参数。
第六章
气体的一维定常 流动
第五章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体，即 使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况下， 可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压缩的程 度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在该气体中 声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。例如空气 的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的声速343m/s 要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。所以为简化 问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近似地看作是常 数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。当气体流动的速 度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过声速时，如果气体 受到扰动，必然会引起很大的压强变化，以致密度和温度也会 发生显著的变化，气体的流动状态和流动图形都会有根本性的 变化，这时就必须考虑压缩性的影响。气体动力学就是研究可 压缩流体运动规律以及在工程实际中应用的一门科学。本章中 仅主要讨论气体动力学中一些最基本的知识。
c

r

RT
为绝热指数
对于空气， 1.4 ,
为气体常数，J/(kg· K) R= 287 J/(kg· K)。
气体中的声速随气体的状态参数的变化而变化。于是在同 一流场中，各点的状态参数若不同，则各点的声速也不同。 所以声速指的是流场中某一点在某一瞬时的声速，称为当 地声速。
在实际计算中，通常用气体速 度v与当地声速c的比值 来作为 判断气体压缩性对流动影响的 一个标准，即马赫数Ma
1 1
三、 最大速度vmax
在等熵条件下温度降到绝对零度时的速度。
vmax
2R 1 TT
1/ 2
对空气 vmax 2.45ccr
6.3 正激波
一、正激波形成
二、正激波前后气流参数
正激波前和正激波后各气流参数 的下标分别为1和2。由于圆管的 截面积不变，所以连续性方程可 写成
在dt时间内流入和流出该控制面的气体质量应该相等，即
crAdt (c dv)( r dr ) Adt
化简后，得
cdr dv r dr
由于压缩波很薄，作用在该波上的摩擦力可以忽略不计。于是 对于控制面，根据动量定理，沿气体流动的方向，质量为crA 的气体的动量变化率等于作用在该气体上的压力之和，即
v2 由一维定常绝热流的能量方程 h hT 常数 2
c TT 可得： T 2c p
2
对应于滞止 温度，有一 滞止声速：
cT (RTT )
1/ 2
当比热容这定值，并利用定压热容与气体常数、绝热指数之 间的关系，以及定熵过程的过程方程，可得
TT c 1 2 1 Ma T c 2
r2 r1
p2 R r2T2 287 0.49 290.7 41.0 kPa
V1 58.9 1.14 0.49 kg/m3 V2 136.7
（3） 按短管计算
Lmax 1 Ma12 1 1 Ma12 ln d 1 Ma12 2 2 1 Ma12
工程背景
主要内容
6.1 微弱压力波的一维传播 6.2 气流的特定状态和参考速度 6.3 正激波 6.4 等截面摩擦管流
6.1 微弱压力波的一维传播
显然，这是不定常 流动。为了得到定 常流动，可以设想 观察者随波面mn一 起以速度c向右运 动。 气体相对于观察者定 常地从右向左流动， 经过波面速度由c降 为c-dv，而压强由p升 高到p+dp，密度和温 度分别由 r、T增加 到 r+dr 、T+dT 。
超声速流时取
3.摩擦造成壅塞现象 在 Lmax 处达到声速, 流量最大, 在 L Lmax 段, 由于总压强下降 流量通不过。亚声速时, 入口段发生溢流, 流量减少至出口声速; 超 声速时, 产生激波,使出口截面为临界截面。
已知:空气从T0＝300K 的贮气罐进入一根直径为d=10mm的绝热光滑管入
二、临界状态参数
临界状态：气体等熵地改变速度到声速时所具有的状态,
ccr , Tcr , pcr , r cr
在等熵流气动函数中令Ma =1可得
Tcr 2 TT 1
pcr 2 1 pT
1
rcr 2 1 rT
2 T 2
pT 1 2 1 Ma p 2
1
rT 1 1 Ma 2 r 2
1 1
只要知道气流的滞止参数和Ma，就可求得流管 内气流在某指定截面上的温度、压强 、密度和 速度。反之，若已知截面上的参数，也可得到滞 止参数。所以这三个公式是计算气体一维定常等 熵流动问题的基本公式。
6.4 等截面摩擦管流
一、范诺线
基本方程: 一维等截面连续性方程 rv qm / A 常数
由以上两式可导得
v2 TT 常数 完全气体一维定常绝热方程 T 2c p
rV T 2 T 2 2c p p / R
2
T0
a
完全气体熵增公式
T p s s1 c p ln Rln T1 p1