信号与系统冲激响应和阶跃响应

X
第
总结
冲激响应的定义
19 页
•零状态；
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。 冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况 下加同样的激励 t ，看响应 h( t )， h( t )不同，说明其 系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。 冲激响应的求解至关重要。
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简 捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
2
d dt





d 2 r t dt 2


4
3
dr t dt

r t
子系统交换
e t
Fra Baidu bibliotek
d dt

ˆ t d2r dt 2

4
3
ˆ t dr dt

ˆ t r
2


r t
d dt
X
第
求冲激响应的几种方法
18 页
方法1：冲激函数匹配法求出0 ~ 0 跃变值，定系数A。 方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法3：齐次解法求冲激响应。
X
第
方法2：奇异函数项相平衡原理
已知方程 冲激响应 求导 代入原方程
d vC ( t ) RC vC ( t ) ( t ) dt t vC ( t ) Ae RC u( t ) 1 d vC ( t ) A RC t A ( t ) e u( t ) dt RC
此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更 有优越性。
X
第
例2-5-3
16 页
d 2 r (t ) d r (t ) d e( t ) 4 3r ( t ) 2e( t ) ，求h(t) 。 已知系统 2 dt dt dt
ˆ 0 0 h 1 A A1 3 A2 1 1 2 将边界条件代入 ht 式 A A 0 1 2 1 A2 2 1 t 3 t ˆ ( t ) e e u( t ) h 2 ˆ(t ) dh ˆ(t ) 则由系统的线性时不变特性 h( t ) 2h dt 1 t 3 3t 1 t 1 3t ht e e u( t ) e e ( t ) e t e 3 t u( t ) 2 2 2 2 1 t e e 3 t u( t ) X 2 ˆ ( t ) A e t A e 3 t u( t ) h 1 2
r ( t) → h ( t)
d 2 h( t ) d h( t ) d (t ) 4 3h( t ) 2 ( t ) 2 dt dt dt
求特征根
2 4 3 0 1 1, 2 3
ht 中不包含冲激项
n 2, m 1, n m
t 3 t 1 2 t 3t 2 1 2
t
3 t
1
2
1
2
1
2
将h(t ), h(t ), h(t )代入原方程
1 A1 A2 1 A1 2 根据系数平衡，得 3 A A 2 1 2 1 A2 2 1 t h( t ) e e 3 t u( t ) 2
第 5 页
代入方程得 得出
RCa t RCbut aut t
RCa 1 1 即 a RC
所以
1 1 υ C 0 υ C 0 RC RC
1 t RC
1 把 C 0 代入 C t Ae 得A RC 1 t 1 RC C t e ut RC
1 A1 2 h0 A1 A2 1 ' 1 h 0 A1 3 A2 2 A2 2 1 t 3t h( t ) e e u( t )
第
11 页
设
代入h(t),得


X
第
用奇异函数项相平衡法求待定系数
当n m时，ht 中应包含 t ； 当n m时，ht 应包含 t 及其各阶导数。
X
第
例2-5-2
10 页
d 2 r (t ) d r (t ) d e( t ) 4 3r ( t ) 2e( t ) 的冲激响应。 求系统 2 dt dt dt 解：
将e(t)→(t)，
15 页
ˆ t 令方程左端系数为1，右端只有一项(t)时，冲激响应为 h
左端最高阶微分中含有(t)项
(n-1)阶微分中含有u(t)项。
可以由此定初始条件
( n 1 ) ( n 2 ) h (0 ) 1, h(0 ) h(0 ) h(0 ) h (0 ) 0
第
信号与系统
§2.6 冲激响应和阶跃响应
1 页
• 冲激响应 • 阶跃响应
X
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 ( t ) 作用下产生的零状态响应， 称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
t
H
ht
第 2 页
2．一阶系统的冲激响应
3．n阶系统的冲激响应
X
例2-5-1 一阶系统的冲激响应

1 R 2C
X
第
3．n阶系统的冲激响应
(1)冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
d n r (t ) d n 1 r ( t ) d r (t ) C0 C1 C n 1 C nr (t ) n n 1 dt dt dt d m e( t ) d m 1 e ( t ) d e( t ) E0 E1 E m 1 E m e( t ) m m 1 dt dt dt
X
第
(2)h(t)解答的形式
9 页
由于 t 及其导数在 t 0 时都为零，因而方程式右 端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次 解的形式相同。 ①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根）
n it h( t ) Ai e u( t ) i 1 ②与n, m相对大小有关 当n m时，ht 不含 t 及其各阶导数；
u(t ) ( t ) d t
t
第
14 页
g( t ) h( t ) d t

t
阶跃响应是冲激响应的 积分，注意积分限：

t
－
, 对因果系统：
0
t
X
第
三．齐次解法求冲激响应（补充）
ˆ(t ) ˆ(t ) d n h d n 1 h ˆ(t ) (t ) a a h n 1 0 dtn d t n 1
X
1 RC t vC ( t ) e u( t ) RC
即:
1 t 1 RC h( t ) e u( t ) RC
X
方法1：冲激函数匹配法求 vC 0
dυ C t 据方程可设 a t but dt υ C t aut
vC 0 0） 求下图RC电路的冲激响应。 （条件：
R
第 3 页
iC (t )
列系统微分方程： (t ) vC ( t ) C d vC ( t ) RC vC ( t ) ( t ) dt t 0, t 0 齐次方程 d vC ( t ) RC vC ( t ) 0 dt 冲激 t 在 t 0时转为系统的储能（由 vC (0 )体现）， t >0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统 的冲激响应。
8 页
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
令 e(t)=(t) 则 r(t)=h(t)
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
C 0 h n ( t ) C 1 h n1 ( t ) C n1 h 1 ( t ) C n h( t )
E 0 m ( t ) E1 m 1 ( t ) E m 1 1 ( t ) E m ( t )
X
求解
特征方程
1 RC 1 0 特征根 RC
vC ( t ) Ae
t RC
第 4 页
u( t )
t 0 时的解
下面的问题是确定系数A,求A有两种方法： 方法1：冲激函数匹配法求出 vC (0 ) ，定系数A。 方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。 1 A RC 1 波形
12 页
h ( t ) A e
1 1
h(t ) A1e t A2e 3t u(t )
t 3 t 2
A e ( t ) A e 3 A e u( t ) A A ( t ) A e 3 A e u( t ) ht A A t A 3 A t A e 9 A e ut


ˆ 0 1 h
系统框图
d 2 r (t ) d r (t ) d e( t ) 4 3r ( t ) 2e( t ) 2 dt dt dt
e t
2
第
17 页



d 2 r t dt 2

4
3
dr t dt

r t
两个加法器
et
A1 A2 (t ) 3 A1 A2 (t ) 0 u(t ) (t ) 2 (t )


X
二．阶跃响应
1．定义
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单 位阶跃响应，简称阶跃响应。
e t
第
13 页
H
r t
ut
H
g t
1 t 1 RC ht vC ( t ) e u( t ) RC
7 页
1 RC
d vC ( t ) 注意！ iC ( t ) C dt 1 1 RC t 1 2 e u( t ) ( t ) RC R
O
iC ( t )
1 R
t
O
t
电容器的电流在 t =0时有一冲激， 这就是电容电压突 变的原因 。
t RC t RC
6 页
1 RC Ae u( t ) RCA ( t ) Ae RC 整理，方程左右奇异函数项系数相平衡
u( t ) ( t )
RCA ( t ) ( t )
RCA 1 1 A RC
X
第
波形
vC ( t ) h( t )
系统的输入 et ut ，其响应为 r t gt 。系统 方程的右端将包含阶跃函数 ut ，所以除了齐次解外， 还有特解项。 我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应和阶 跃响应关系求阶跃响应。
X
2．阶跃响应与冲激响应的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
带 u ( t)
冲激响应 h(t ) ( A1e t A2e3t )u(t ) 求待定系数 ，冲击匹配法求0+法, 奇异函数项相平衡
X
冲击匹配法求0+定系数
d 2 r t a t b t cu t 2 dt d r t a t bu t dt r t au t h0 1 , h' 0 2